O documento explica como deduzir a fórmula para a área da superfície de uma esfera a partir da fórmula para o volume de uma esfera. Ele faz isso comparando o volume entre duas esferas quase idênticas e mostrando que a razão entre a diferença de volume e a diferença de raio aproxima-se da área da superfície esférica à medida que a diferença de raio diminui, levando à fórmula 4πr2.

1. O Volume e a Área da Superfície de uma Esfera

2. Todo mundo sabe que decorar fórmulas é chato . Isso ocorre, em especial se não entendemos o relacionamento entre uma fórmula e outra. Deduzindo Fórmulas

3. Como podemos compreender o relacionamento entre diversas fórmulas? Estudando se existe alguma ligação entre elas. Deduzindo Fórmulas

4. Conhece a fórmula do volume da esfera? Vamos ver um Exemplo?

5. A partir dessa fórmula podemos deduzir a fórmula da área da superfície esférica. Como fazemos isto?? Vamos ver um Exemplo?

6. Imagine duas esferas. Uma de raio r e outra de raio r +d . Comparando as duas vemos que a segunda é um pouquinho maior do que a primeira. Encontrando a Fórmula

7. Coloquemos a menor (de raio r ), dentro da maior (de raio r + d ), de forma que os centros coincidam. Entre as duas esferas teremos uma pequena região, semelhante a obtida quando tiramos toda a parte interna de um melão. Encontrando a Fórmula

8. O volume da região entre as duas esferas é como se fosse a “casca” de nosso melão. Esse volume é a diferença entre o volume das duas esferas. Volume da “Casca do Melão”

9. Quanto mais fina for esta “casca” mais os raios das duas esferas se aproximam. Isto é, a diferença entre os raios das esferas se aproxima de zero . Volume da “Casca do Melão”

10. A razão entre estes dois valores aproxima-se da área da superfície esférica quando diminuímos a diferença entre os raios das esferas, ou seja, A razão entre os valores

11. Diferença entre o volume das duas esferas Diferença entre os raios das duas esferas se aproxima da Área da superfície esférica quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui. A razão entre os valores

12. A razão entre os dois valores Portanto, a razão entre a diferença do volume das duas esferas e a diferença entre seus raios (nosso d ) aproxima-se da área da superfície da esfera menor quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui .

13. Cálculo da Razão Para encontrar a área da superfície esférica basta, então, calcular esta razão e ver de onde ela se aproxima quando diminuímos a diferença entre os raios das duas esferas.

14. O volume da esfera maior (a de raio r + d ) é dado por Volume da Esfera Maior

15. O volume da esfera menor (de raio r ) é dado por Volume da Esfera Menor

16. Subtraindo os dois volumes obtemos a diferença entre eles, isto é, Diferença entre os volumes

17. Subtraindo os dois raios obtemos a diferença entre eles, isto é, r + d – r = d Diferença entre os raios

18. Para encontrar a razão basta dividir a diferença entre os volumes pela diferença entre os raios , isto é, por d . A Razão entre as diferenças

19. Observe o lado direito desta última fórmula Diminuindo a diferença entre os raios (d)

20. Vamos agora diminuir a diferença entre os raios das duas esferas aproximando cada vez mais o raio r + d do raio r , isto é, vamos diminuir d . Isso fará com que 3rd e d 2 fiquem cada vez menor. Diminuindo a diferença entre os raios (d)

21. Quanto mais 3rd e d 2 se aproximam de zero mais diminui a espessura de nossa “casca de melão”. Numa situação limite, quando tomamos estes valores como iguais a zero não temos mais espessura nenhuma e as duas esferas se tornam uma única esfera de raio r . E nossa razão pode ser usada para calcular a área da superfície esférica . Área da Superfície Esférica

22. Então para calcular esta área basta substituir 3rd e d 2 em nossa fórmula por zero : Área da Superfície Esférica

23. Portanto: é a fórmula da área da superfície esférica Área da Superfície Esférica

24. Talvez alguém diga: “ Ora, é mais fácil decorar a fórmula” Realmente, mas aprendemos mais se conseguimos entender de onde ela veio. Achou difícil? Assista novamente. Área da Superfície Esférica

25. Obrigado pela atenção FIM