1. Sistemas Lineares
T´elico Jos´e de O. S. Filho
27 de Mar¸co de 2014
1 Introdu¸c˜ao
Apresentaremos um classe e modelos muito importante a qual ´e usada para
analisar e projetar sistemas f´ısicos chamada sistemas dinˆamicos.
Grosseiramente falando, um sistema dinˆamico pode ser asociado a um espa¸co
de entrada U, ( i.e. o conjunto de todas as entradas de interesse), um espa¸co
de sa´ıda Y ( o conjunto de todas as sa´ıdas) e um espa¸co de estado Σ (i.e. o
conjunto de todos os estados). As entradas e sa´ıdas s˜ao fun¸c˜oes do tempo,
definidas, tipicamente em (−∞, +∞) ou [0, ∞) no caso de tempo cont´ınuo ou
em {nT : n ∈ Z} ou {nT : n ∈ N} no caso de tempo discreto. Para equipar
de dom´ınio do tempo nas entradas e sa´ıdas, iremos denotar por T, onde T ´e
um subconjunto de R. A propriedade fundamental de um sistema dinˆamico ´e
que ele ´e dado por um tempo ”inicial”t0 ∈ T, um estado ”iniclal”x0 ∈ Σ e uma
entradau(.) ∈ U, ambos x(t) e y(t) s˜ao unicamente definidos. Tamb´em, dados
x0 e t0 o estado x(t) e a sa´ıda y(t) dependem apenas dos valores da entrada
u(.)no intervalo fechado [t0, t]. Estamos prontos para uma defini¸c˜ao formal.
2 Conceitos iniciais
Defini¸c˜ao 1. Dizemos que o modelo de um sistema f´ısico ´e um sistema dinˆamico
se podemos associ´a-lo a uma qu´ıntupla D = (U, Σ, Y, s, r) satisfazendo dois
axiomas, onde:
• U: ´e o conjunto de fun¸c˜oes: seus elementos s˜ao fun¸c˜oes T. Um elemento
u(.) ∈ U´e chamado de entrada no tempo t.
• Σ ´e um conjunto. Um elemento x de Σ ´e chamado estado. (Tipicamente
Σ ´e Rn
. Para algum t ∈ T, x(t) ´e chamado de estado no tempo t. Uma
fun¸c˜ao x(.) ´e chamada trajet´oria de estado.
• Y ´e um conjunto de fun¸c˜oes. Seus elementos s˜ao fun¸c˜oes T Um elemento
y(.) de Y ´e chamada de sa´ıda. y(t) ´e chamado valor de sa´ıda no tempo t.
• s ´e chamada de fun¸c˜ao de transi¸c˜ao de estado a fun¸c˜ao s ´e definida para
todos os pares (t1, t0) ∈ (T × T)+ para todo estado inicial x0 ∈ Σ e todas
as entradas u tal que x(t1) = s(t1, t0, x0, u),
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2. • r ´e a fun¸c˜ao de sa´ıda: a fun¸c˜ao r ´e definida para todo os instantes t ∈ T,
para todos os estados no tempo t a saber x(t) ∈ Σ e para todas as entradas
u(t) ∈ U no tempo t tal que
y(t) = r(x(t), u(t), t)
Axioma da transi¸c˜ao de estado
Para todo par (t1, t0) ∈ (T)+, para todo x0 ∈ Σ, se u, ˜u ∈ U tal que u(t) = ˜(u)(t)
para todo t ∈ [t0, t1] ∩ T ent˜ao
s(t1, t0, x0, u) = s(t1, t0, x0, ˜u)
Axioma do semi-grupo
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