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Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
Notas de semin´ario sobre semigrupos
Felix Bernardo
Universidade Federal de Pernambuco
27 de Abril de 2016
Revis˜oes
Semigrupos uniparam´etricos de operadores limitados
2 of 18
Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach. Uma fam´ılia
{T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) ´e um semigrupo uniparam´etrico de operadores
limitados se:
1. T(0) = I;
2. T(s + t) = T(s)T(t), ∀s,t≥0.
Se al´em disso T(t) verificar a condi¸c˜ao:
3. lim
t→0+
||T(t) − I||B(X,X) = 0 ent˜ao dizemos que T(t) ´e um
semigrupo uniformemente continuo, ou SUC.
Nota: Prova-se que
lim
s→t
||T(s) − T(t)||B(X,X) = 0
.
3 of 18
Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) um semigrupo uniparam´etrico
de operadores limitados. O gerador infinitesimal de T(t) ´e o operador
AT : D(AT ) → X
definido por:
AT x = lim
t→0
T(t)x − x
t
:=
d+T(x)
dt
.
Nota: Prova-se que AT = X e AT ∈ B(X, X)
4 of 18
´E possivel definir, da forma cl´assica, um novo operador chamado
integral de Riemann do semigrupo uniformemente cont´ınuo T(t) que
tem as seguintes propriedades:
1.
b
a
T(t)dt ∈ B(X, X);
2. Se U e T son Semigrupos Uniformemente Continuos e A ´e
limitado ent˜ao
b
a
[AT(t) + U(t)] dt = A
b
a
T(t)dt +
b
a
U(t)dt
3. ∀t≥0 lim
h→0
1
h
t+h
t
T(s)ds = T(t);
5 of 18
Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach e a fam´ılia
{T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) um semigrupo uniformemente cont´ınuo,
ent˜ao:
1. Existe um ´unico A ∈ B(X, X) tal que T(t) = etA, ∀t≥0, mais,
A = AT .
2. ∃w≥0, ||T(t)|| ≤ ewt
3. A fun¸c˜ao f : [0, +∞[→ B(X, X) verifica df (t)
dt = A T(t)
t T(t)
logo φ(t) = T(t).f0 ´e solu¸c˜ao de



df (t)
dt = Af (t)
f (0) = f0
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C0 − semigrupo
Defini¸c˜ao: Diz-se que um semigrupo {T(t)}t≥0 de operadores
limitados ´e fortemente cont´ınuo se
∀x∈X lim
t→0+
T(t)x = x
. Tamb´em se diz que T(t) ´e de classe C0 ou que ´e um
C0 − Semigrupo
Prop:: Seja {T(t)}t≥0 un C0-semigrupo. Ent˜ao existem w ≥ 0 e
M ≥ 1 tais que ||T(t)|| ≤ Mewt.
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Integral de um C0 − semigrupo
Prop.:: Se {T(t)}t≥0 ´e um C0 − semigrupo, ent˜ao para cada x ∈ X
a fun¸c˜ao φx : [0, +∞[ definida por φx (t) = T(t)x ´e cont´ınua logo
existe o operador
b
a
T(s)ds
para todo o x.
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Gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo
Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) C0 − semigrupo
uniparam´etrico de operadores limitados. O gerador infinitesimal de
T(t) ´e o operador
AT : D(AT ) → X
definido por:
AT x = lim
t→0
T(t)x − x
t
:=
d+T(x)
dt
.
Nota: Em geral D(AT ) X mas prova-se que o operador ´e denso.
9 of 18
Prop.: Sejam {T(t)}t≥0, um C0 − semigrupo e AT o seu gerador
infinit´esimal, ent˜ao, ∀x∈X :
1. lim
h→0
1
h
t+h
t
T(s)x ds = T(t)x;
2.
t
0
T(s)x ds ∈ D(AT ) e AT
t
0
T(s)x ds = T(t)x − x
3. T(t)x ∈ D(AT ) e
d
dt
T(t)x = AT T(t)x = T(t)AT x
4. T(t)x − T(s)x =
t
s
T(τ)AT x dτ =
t
s
AT T(τ)x dτ
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Fecho de um gerador infinitesimal de un
C0 − semigrupo
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao
D(AT ) = X.
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo e
D(An
T ) ´e o dom´ınio de An
T ent˜ao n∈ND(An
T ) = X.
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao
AT ´e fechado.
11 of 18
C0 − semigrupos de contra¸c˜oes
Defini¸c˜ao: Diz-se que um C0 − semigrupo, {T(t)}t≥0, ´e um
semigrupo de contra¸c˜oes se w = 0 e M = 1 e nesse caso temos
||T(t)|| ≤ 1 e
||T(t)x − T(t)y|| ≤ ||x − y|| , ∀x,y∈X
Defini¸c˜ao: O conjunto resolvente, ρ(A), de A se define como:
ρ(A) := {λ ∈ C : (λI − A)−1
´e um operador limitado em X}
Ao complementar deste conjunto chama-se espetro de A.
Defini¸c˜ao: A fam´ılia de operadores lineares limitados
R(λ : A) := {(λI − A)−1
, λ ∈ ρ(A)}
se chama resolvente de A.
12 of 18
Operadores dissipativos
Nota: Todo operador A, limitado ou n˜ao, comuta com todos os
operadores do seu resolvente.
Defini¸c˜ao: Seja H um espa¸co de Hilbert. Diremos que um operador
A ´e dissipativo se
Re(< AU, U >)H ≤ 0, ∀U ∈ H
Prop.: Seja H um espa¸co de Hilbert e {S(t)}t≥0 o semigrupo gerado
por A. Ent˜ao, {S(t)}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜oes sse A ´e
dissipativo.
13 of 18
Teorema de Hille-Yosida
Teorema [Hille-Yosida]: Un operador linear A : D(A) −→ X, n˜ao
necesariamente limitado, ´e o gerador infinitesimal de um
C0 − semigrupo de contra¸c˜oes, {T(t)}t≥0, sse
1. A ´e fechado e D(A) = X
2. ρ(A) cont´em R∗
+ e para todo λ > 0 se tem ||(λI − A)−1|| ≤ 1
λ
14 of 18
Consequˆencias do Teoema de Hille-Yosida
Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de
Hille-Yosida, ent˜ao
lim
λ→+∞
λ(λI − A)−1
x = x , ∀x ∈ D(A)
.
Corol´ario:O operador Aλ = λA(λI − A)−1, chamado regularizada de
Yosida, ´e cont´ınuo e converge para Ax , para todo x ∈ D(A).
Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de
Hille-Yosida, ent˜ao etAµ ´e um SUC de contra¸c˜oes e temos
||etAλx
− etAµx
|| ≤ t||Aλx − Aµx||, ∀λ,µ>0
.
15 of 18
Aproximadores de Yosida
Dado um operador n˜ao limitado A, aproximaremos este operador por
operadores limitados, regularizadas de Yosida, por Aµn , de tal forma
que se verifiquem as seguintes condic¸c˜oes:
1. Aµn w → Aw, ∀w ∈ D(A)
2. eAµn t
n∈N
´e uma sequˆencia de Cauchy em L(X).
Prop.: Nas condi¸c˜oes anteriores podemos concluir que existe um
operador S(t), que ´e o limite desta sequˆencia
S(t) = lim
µn→+∞
eAµn t
que ´e o semigrupo gerado por A isto por ser limite de semigrupos.
A ´e o gerador infinitesimal de S.
16 of 18
Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida
Mostrar que existe uma ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger
ut − iαuxx = 0, com x ∈ R e u(x, 0) = u0
Dem.: Para calcular a energia do sistema ver A. Haraux & E. Zuazua;
Decay estimates for some semilinear damped hyperbolic problems.
Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 100(2), pages 191– 206, (1988).
Escolha do espa¸co de face onde a energia esteja bem definida,
X = L2(R).
A = iα
δ2
δx2
D(A) = {w ∈ L2(R); wxx ∈ L2(R)} = H2(R).
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Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida (cont.)
Verificar que A ´e um operador fechado e com dom´ınio denso.
Mostrar que ρ(A) cont´em R∗
+ e para todo λ > 0 se tem
||(λI − A)−1|| ≤ 1
λ
Pelo teorema de Hille-Yosida A ´e o gerador infinitesimal de um
C0 − semigrupo de contra¸c˜oes. Da´ı temos:
u0 ∈ L2
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(R))
ou ent˜ao
u0 ∈ H2
(R) ⇒ u ∈ C(0, +∞; H2
(R)) ∩ C1
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Semigroups strongly continuous

  • 1. Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias Notas de semin´ario sobre semigrupos Felix Bernardo Universidade Federal de Pernambuco 27 de Abril de 2016
  • 2. Revis˜oes Semigrupos uniparam´etricos de operadores limitados 2 of 18
  • 3. Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach. Uma fam´ılia {T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) ´e um semigrupo uniparam´etrico de operadores limitados se: 1. T(0) = I; 2. T(s + t) = T(s)T(t), ∀s,t≥0. Se al´em disso T(t) verificar a condi¸c˜ao: 3. lim t→0+ ||T(t) − I||B(X,X) = 0 ent˜ao dizemos que T(t) ´e um semigrupo uniformemente continuo, ou SUC. Nota: Prova-se que lim s→t ||T(s) − T(t)||B(X,X) = 0 . 3 of 18
  • 4. Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) um semigrupo uniparam´etrico de operadores limitados. O gerador infinitesimal de T(t) ´e o operador AT : D(AT ) → X definido por: AT x = lim t→0 T(t)x − x t := d+T(x) dt . Nota: Prova-se que AT = X e AT ∈ B(X, X) 4 of 18
  • 5. ´E possivel definir, da forma cl´assica, um novo operador chamado integral de Riemann do semigrupo uniformemente cont´ınuo T(t) que tem as seguintes propriedades: 1. b a T(t)dt ∈ B(X, X); 2. Se U e T son Semigrupos Uniformemente Continuos e A ´e limitado ent˜ao b a [AT(t) + U(t)] dt = A b a T(t)dt + b a U(t)dt 3. ∀t≥0 lim h→0 1 h t+h t T(s)ds = T(t); 5 of 18
  • 6. Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach e a fam´ılia {T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) um semigrupo uniformemente cont´ınuo, ent˜ao: 1. Existe um ´unico A ∈ B(X, X) tal que T(t) = etA, ∀t≥0, mais, A = AT . 2. ∃w≥0, ||T(t)|| ≤ ewt 3. A fun¸c˜ao f : [0, +∞[→ B(X, X) verifica df (t) dt = A T(t) t T(t) logo φ(t) = T(t).f0 ´e solu¸c˜ao de    df (t) dt = Af (t) f (0) = f0 6 of 18
  • 7. C0 − semigrupo Defini¸c˜ao: Diz-se que um semigrupo {T(t)}t≥0 de operadores limitados ´e fortemente cont´ınuo se ∀x∈X lim t→0+ T(t)x = x . Tamb´em se diz que T(t) ´e de classe C0 ou que ´e um C0 − Semigrupo Prop:: Seja {T(t)}t≥0 un C0-semigrupo. Ent˜ao existem w ≥ 0 e M ≥ 1 tais que ||T(t)|| ≤ Mewt. 7 of 18
  • 8. Integral de um C0 − semigrupo Prop.:: Se {T(t)}t≥0 ´e um C0 − semigrupo, ent˜ao para cada x ∈ X a fun¸c˜ao φx : [0, +∞[ definida por φx (t) = T(t)x ´e cont´ınua logo existe o operador b a T(s)ds para todo o x. 8 of 18
  • 9. Gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) C0 − semigrupo uniparam´etrico de operadores limitados. O gerador infinitesimal de T(t) ´e o operador AT : D(AT ) → X definido por: AT x = lim t→0 T(t)x − x t := d+T(x) dt . Nota: Em geral D(AT ) X mas prova-se que o operador ´e denso. 9 of 18
  • 10. Prop.: Sejam {T(t)}t≥0, um C0 − semigrupo e AT o seu gerador infinit´esimal, ent˜ao, ∀x∈X : 1. lim h→0 1 h t+h t T(s)x ds = T(t)x; 2. t 0 T(s)x ds ∈ D(AT ) e AT t 0 T(s)x ds = T(t)x − x 3. T(t)x ∈ D(AT ) e d dt T(t)x = AT T(t)x = T(t)AT x 4. T(t)x − T(s)x = t s T(τ)AT x dτ = t s AT T(τ)x dτ 10 of 18
  • 11. Fecho de um gerador infinitesimal de un C0 − semigrupo Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao D(AT ) = X. Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo e D(An T ) ´e o dom´ınio de An T ent˜ao n∈ND(An T ) = X. Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao AT ´e fechado. 11 of 18
  • 12. C0 − semigrupos de contra¸c˜oes Defini¸c˜ao: Diz-se que um C0 − semigrupo, {T(t)}t≥0, ´e um semigrupo de contra¸c˜oes se w = 0 e M = 1 e nesse caso temos ||T(t)|| ≤ 1 e ||T(t)x − T(t)y|| ≤ ||x − y|| , ∀x,y∈X Defini¸c˜ao: O conjunto resolvente, ρ(A), de A se define como: ρ(A) := {λ ∈ C : (λI − A)−1 ´e um operador limitado em X} Ao complementar deste conjunto chama-se espetro de A. Defini¸c˜ao: A fam´ılia de operadores lineares limitados R(λ : A) := {(λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A)} se chama resolvente de A. 12 of 18
  • 13. Operadores dissipativos Nota: Todo operador A, limitado ou n˜ao, comuta com todos os operadores do seu resolvente. Defini¸c˜ao: Seja H um espa¸co de Hilbert. Diremos que um operador A ´e dissipativo se Re(< AU, U >)H ≤ 0, ∀U ∈ H Prop.: Seja H um espa¸co de Hilbert e {S(t)}t≥0 o semigrupo gerado por A. Ent˜ao, {S(t)}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜oes sse A ´e dissipativo. 13 of 18
  • 14. Teorema de Hille-Yosida Teorema [Hille-Yosida]: Un operador linear A : D(A) −→ X, n˜ao necesariamente limitado, ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo de contra¸c˜oes, {T(t)}t≥0, sse 1. A ´e fechado e D(A) = X 2. ρ(A) cont´em R∗ + e para todo λ > 0 se tem ||(λI − A)−1|| ≤ 1 λ 14 of 18
  • 15. Consequˆencias do Teoema de Hille-Yosida Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de Hille-Yosida, ent˜ao lim λ→+∞ λ(λI − A)−1 x = x , ∀x ∈ D(A) . Corol´ario:O operador Aλ = λA(λI − A)−1, chamado regularizada de Yosida, ´e cont´ınuo e converge para Ax , para todo x ∈ D(A). Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de Hille-Yosida, ent˜ao etAµ ´e um SUC de contra¸c˜oes e temos ||etAλx − etAµx || ≤ t||Aλx − Aµx||, ∀λ,µ>0 . 15 of 18
  • 16. Aproximadores de Yosida Dado um operador n˜ao limitado A, aproximaremos este operador por operadores limitados, regularizadas de Yosida, por Aµn , de tal forma que se verifiquem as seguintes condic¸c˜oes: 1. Aµn w → Aw, ∀w ∈ D(A) 2. eAµn t n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy em L(X). Prop.: Nas condi¸c˜oes anteriores podemos concluir que existe um operador S(t), que ´e o limite desta sequˆencia S(t) = lim µn→+∞ eAµn t que ´e o semigrupo gerado por A isto por ser limite de semigrupos. A ´e o gerador infinitesimal de S. 16 of 18
  • 17. Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida Mostrar que existe uma ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger ut − iαuxx = 0, com x ∈ R e u(x, 0) = u0 Dem.: Para calcular a energia do sistema ver A. Haraux & E. Zuazua; Decay estimates for some semilinear damped hyperbolic problems. Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 100(2), pages 191– 206, (1988). Escolha do espa¸co de face onde a energia esteja bem definida, X = L2(R). A = iα δ2 δx2 D(A) = {w ∈ L2(R); wxx ∈ L2(R)} = H2(R). 17 of 18
  • 18. Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida (cont.) Verificar que A ´e um operador fechado e com dom´ınio denso. Mostrar que ρ(A) cont´em R∗ + e para todo λ > 0 se tem ||(λI − A)−1|| ≤ 1 λ Pelo teorema de Hille-Yosida A ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo de contra¸c˜oes. Da´ı temos: u0 ∈ L2 (R) ⇒ u ∈ C(0, +∞; L2 (R)) ou ent˜ao u0 ∈ H2 (R) ⇒ u ∈ C(0, +∞; H2 (R)) ∩ C1 (0, +∞; L2 (R)) 18 of 18