1) O documento discute semigrupos uniparamétricos de operadores limitados e suas propriedades, incluindo a definição de gerador infinitesimal e integral de Riemann. 2) É apresentada a definição de C0-semigrupo e mostrado que o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo é denso. 3) O Teorema de Hille-Yosida caracteriza quando um operador gera um C0-semigrupo de contrações.

1. Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
Notas de semin´ario sobre semigrupos
Felix Bernardo
Universidade Federal de Pernambuco
27 de Abril de 2016

2. Revis˜oes
Semigrupos uniparam´etricos de operadores limitados
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3. Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach. Uma fam´ılia
{T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) ´e um semigrupo uniparam´etrico de operadores
limitados se:
1. T(0) = I;
2. T(s + t) = T(s)T(t), ∀s,t≥0.
Se al´em disso T(t) verificar a condi¸c˜ao:
3. lim
t→0+
||T(t) − I||B(X,X) = 0 ent˜ao dizemos que T(t) ´e um
semigrupo uniformemente continuo, ou SUC.
Nota: Prova-se que
lim
s→t
||T(s) − T(t)||B(X,X) = 0
.
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4. Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) um semigrupo uniparam´etrico
de operadores limitados. O gerador infinitesimal de T(t) ´e o operador
AT : D(AT ) → X
definido por:
AT x = lim
t→0
T(t)x − x
t
:=
d+T(x)
dt
.
Nota: Prova-se que AT = X e AT ∈ B(X, X)
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5. ´E possivel definir, da forma cl´assica, um novo operador chamado
integral de Riemann do semigrupo uniformemente cont´ınuo T(t) que
tem as seguintes propriedades:
1.
b
a
T(t)dt ∈ B(X, X);
2. Se U e T son Semigrupos Uniformemente Continuos e A ´e
limitado ent˜ao
b
a
[AT(t) + U(t)] dt = A
b
a
T(t)dt +
b
a
U(t)dt
3. ∀t≥0 lim
h→0
1
h
t+h
t
T(s)ds = T(t);
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6. Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co de Banach e a fam´ılia
{T(t)}t≥0 ⊂ B(X, X) um semigrupo uniformemente cont´ınuo,
ent˜ao:
1. Existe um ´unico A ∈ B(X, X) tal que T(t) = etA, ∀t≥0, mais,
A = AT .
2. ∃w≥0, ||T(t)|| ≤ ewt
3. A fun¸c˜ao f : [0, +∞[→ B(X, X) verifica df (t)
dt = A T(t)
t T(t)
logo φ(t) = T(t).f0 ´e solu¸c˜ao de



df (t)
dt = Af (t)
f (0) = f0
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7. C0 − semigrupo
Defini¸c˜ao: Diz-se que um semigrupo {T(t)}t≥0 de operadores
limitados ´e fortemente cont´ınuo se
∀x∈X lim
t→0+
T(t)x = x
. Tamb´em se diz que T(t) ´e de classe C0 ou que ´e um
C0 − Semigrupo
Prop:: Seja {T(t)}t≥0 un C0-semigrupo. Ent˜ao existem w ≥ 0 e
M ≥ 1 tais que ||T(t)|| ≤ Mewt.
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8. Integral de um C0 − semigrupo
Prop.:: Se {T(t)}t≥0 ´e um C0 − semigrupo, ent˜ao para cada x ∈ X
a fun¸c˜ao φx : [0, +∞[ definida por φx (t) = T(t)x ´e cont´ınua logo
existe o operador
b
a
T(s)ds
para todo o x.
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9. Gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo
Defini¸c˜ao: Seja {T(t)}t≥0 ∈ B(X, X) C0 − semigrupo
uniparam´etrico de operadores limitados. O gerador infinitesimal de
T(t) ´e o operador
AT : D(AT ) → X
definido por:
AT x = lim
t→0
T(t)x − x
t
:=
d+T(x)
dt
.
Nota: Em geral D(AT ) X mas prova-se que o operador ´e denso.
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10. Prop.: Sejam {T(t)}t≥0, um C0 − semigrupo e AT o seu gerador
infinit´esimal, ent˜ao, ∀x∈X :
1. lim
h→0
1
h
t+h
t
T(s)x ds = T(t)x;
2.
t
0
T(s)x ds ∈ D(AT ) e AT
t
0
T(s)x ds = T(t)x − x
3. T(t)x ∈ D(AT ) e
d
dt
T(t)x = AT T(t)x = T(t)AT x
4. T(t)x − T(s)x =
t
s
T(τ)AT x dτ =
t
s
AT T(τ)x dτ
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11. Fecho de um gerador infinitesimal de un
C0 − semigrupo
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao
D(AT ) = X.
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo e
D(An
T ) ´e o dom´ınio de An
T ent˜ao n∈ND(An
T ) = X.
Prop.: Se AT ´e o gerador infinitesimal de um C0 − semigrupo ent˜ao
AT ´e fechado.
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12. C0 − semigrupos de contra¸c˜oes
Defini¸c˜ao: Diz-se que um C0 − semigrupo, {T(t)}t≥0, ´e um
semigrupo de contra¸c˜oes se w = 0 e M = 1 e nesse caso temos
||T(t)|| ≤ 1 e
||T(t)x − T(t)y|| ≤ ||x − y|| , ∀x,y∈X
Defini¸c˜ao: O conjunto resolvente, ρ(A), de A se define como:
ρ(A) := {λ ∈ C : (λI − A)−1
´e um operador limitado em X}
Ao complementar deste conjunto chama-se espetro de A.
Defini¸c˜ao: A fam´ılia de operadores lineares limitados
R(λ : A) := {(λI − A)−1
, λ ∈ ρ(A)}
se chama resolvente de A.
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13. Operadores dissipativos
Nota: Todo operador A, limitado ou n˜ao, comuta com todos os
operadores do seu resolvente.
Defini¸c˜ao: Seja H um espa¸co de Hilbert. Diremos que um operador
A ´e dissipativo se
Re(< AU, U >)H ≤ 0, ∀U ∈ H
Prop.: Seja H um espa¸co de Hilbert e {S(t)}t≥0 o semigrupo gerado
por A. Ent˜ao, {S(t)}t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜oes sse A ´e
dissipativo.
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14. Teorema de Hille-Yosida
Teorema [Hille-Yosida]: Un operador linear A : D(A) −→ X, n˜ao
necesariamente limitado, ´e o gerador infinitesimal de um
C0 − semigrupo de contra¸c˜oes, {T(t)}t≥0, sse
1. A ´e fechado e D(A) = X
2. ρ(A) cont´em R∗
+ e para todo λ > 0 se tem ||(λI − A)−1|| ≤ 1
λ
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15. Consequˆencias do Teoema de Hille-Yosida
Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de
Hille-Yosida, ent˜ao
lim
λ→+∞
λ(λI − A)−1
x = x , ∀x ∈ D(A)
.
Corol´ario:O operador Aλ = λA(λI − A)−1, chamado regularizada de
Yosida, ´e cont´ınuo e converge para Ax , para todo x ∈ D(A).
Prop.: Seja A um operador satisfazendo as condic˜oes do Teorema de
Hille-Yosida, ent˜ao etAµ ´e um SUC de contra¸c˜oes e temos
||etAλx
− etAµx
|| ≤ t||Aλx − Aµx||, ∀λ,µ>0
.
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16. Aproximadores de Yosida
Dado um operador n˜ao limitado A, aproximaremos este operador por
operadores limitados, regularizadas de Yosida, por Aµn , de tal forma
que se verifiquem as seguintes condic¸c˜oes:
1. Aµn w → Aw, ∀w ∈ D(A)
2. eAµn t
n∈N
´e uma sequˆencia de Cauchy em L(X).
Prop.: Nas condi¸c˜oes anteriores podemos concluir que existe um
operador S(t), que ´e o limite desta sequˆencia
S(t) = lim
µn→+∞
eAµn t
que ´e o semigrupo gerado por A isto por ser limite de semigrupos.
A ´e o gerador infinitesimal de S.
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17. Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida
Mostrar que existe uma ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger
ut − iαuxx = 0, com x ∈ R e u(x, 0) = u0
Dem.: Para calcular a energia do sistema ver A. Haraux & E. Zuazua;
Decay estimates for some semilinear damped hyperbolic problems.
Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 100(2), pages 191– 206, (1988).
Escolha do espa¸co de face onde a energia esteja bem definida,
X = L2(R).
A = iα
δ2
δx2
D(A) = {w ∈ L2(R); wxx ∈ L2(R)} = H2(R).
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18. Aplica¸c˜ao do Teoema de Hille-Yosida (cont.)
Verificar que A ´e um operador fechado e com dom´ınio denso.
Mostrar que ρ(A) cont´em R∗
+ e para todo λ > 0 se tem
||(λI − A)−1|| ≤ 1
λ
Pelo teorema de Hille-Yosida A ´e o gerador infinitesimal de um
C0 − semigrupo de contra¸c˜oes. Da´ı temos:
u0 ∈ L2
(R) ⇒ u ∈ C(0, +∞; L2
(R))
ou ent˜ao
u0 ∈ H2
(R) ⇒ u ∈ C(0, +∞; H2
(R)) ∩ C1
(0, +∞; L2
(R))
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