integral dupla

1. Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Campo Mourão
Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Profa. Tatiane Cazarin da Silva

2. A= lim
𝑛→∞
σ𝑖
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗
Δ𝑥 = ‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3.  Pode ser utilizada no cálculo de áreas, para isso devemos
lembrar que o sinal da integral depende da posição da
região no plano:

4. Volume;
Área de superfícies planas;
Densidade de massa;
Momentos e centro de massa;
Momento de inércia;
Probabilidade;
Valor esperado.

5. Exemplos

8. V= lim
𝑚,𝑛→∞
σ𝑖
𝑚 σ𝑖
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
Δ𝐴 = ‫׭‬
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

9. V= lim
𝑚,𝑛→∞
σ𝑖
𝑚 σ𝑖
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
Δ𝐴 = ‫׭‬
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

10. Pode ser usada no cálculo de volumes?
Pode ser usada no cálculo de áreas?
V= lim
𝑚,𝑛→∞
σ𝑖
𝑚 σ𝑖
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
Δ𝐴 = ‫׭‬
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

11. Definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é:
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = lim
𝑚,𝑛→∞
෍
𝑖
𝑚
෍
𝑖
𝑛
𝑓 𝑥𝑖𝑗
∗
, 𝑦𝑖𝑗
∗
Δ𝐴
𝑅 = 𝑎, 𝑏 × 𝑐, 𝑑 𝑜𝑢 𝑅 = {𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}

12. 𝑖 ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = ඵ
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ± ඵ
𝑅
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
(𝑖𝑖) ඵ
𝑅
𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑐 ඵ
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑖𝑖𝑖 𝑆𝑒 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑔 𝑥, 𝑦 , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ ඵ
𝑅
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

13. න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

14. Se f for contínua em 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ,
então
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

15. Ex. 1) Calcule o valor das integrais:
a) ‫׬‬0
1
‫׬‬1
3
𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
b) ‫׬‬−1
1
‫׬‬0
2
3𝑥 + 5𝑦2
𝑑𝑦 𝑑𝑥

16.  Ex. 2) Calcule a integral dupla ‫׭‬
𝑅
𝑥 − 3𝑦2
𝑑𝐴 onde 𝑅 =
{ 𝑥, 𝑦 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
Ex. 3) Calcule ‫׭‬
𝑅
𝑦 sin 𝑥𝑦 𝑑𝐴, onde 𝑅 = 1,2 × 0, 𝜋 .
Ex. 4) Calcule a área da região retangular 𝑅 = 1,2 ×
[3,4] usando integral dupla

17. Ex. 5) Determine o volume do sólido S que é limitado pelo
parabolóide elíptico 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧 = 16 , pelos planos 𝑥 =
2, 𝑦 = 2 e pelos 3 planos coordenados.
Ex. 6) Calcule ‫׭‬
𝑅
𝑥𝑦2
𝑥2+1
𝑑𝐴, onde 𝑅 = { 𝑥, 𝑦 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −3 ≤
𝑦 ≤ 3}
Ex. 7) Calcule ‫׭‬
𝑅
𝑥
1+𝑥𝑦
𝑑𝐴, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = 0,1 × [0,1]

19. Se 𝑓 for uma função contínua em uma região D do Tipo I, tal que
𝐷 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 ∣ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)}
Então,
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Analogamente, se D é do Tipo II
𝐷 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 ∣ 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦)}
Então,
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑐
𝑑
න
ℎ1(𝑦)
ℎ2(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

20. Ex. 8) Calcule ‫׭‬
𝐷
𝑥 + 2𝑦 𝑑𝐴, onde D é a região limitada
pelas parábolas 𝑦 = 2𝑥2 e 𝑦 = 1 + 𝑥2.
Ex. 9) Calcule ‫׭‬
𝐷
𝑥𝑦 𝑑𝐴, onde D é a região limitada pela
reta 𝑦 = 𝑥 − 1 e pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 + 6.

21.  Lembre-se que:

22. Através de uma mudança de variáveis
uma integral dupla sobre uma região 𝐷 do plano 𝑥𝑦 pode ser
transformada numa integral dupla sobre uma região 𝐷´ do plano
𝑢𝑣
A correspondência entre as regiões D´e D é Bijetora, e podemos
retornar D para D´através de uma transformação inversa:
Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais

23. 𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
Onde é o determinante jacobiano de 𝑥 𝑒 𝑦 em relação a 𝑢 𝑒 𝑣,
dado por
Válido se:
- f é contínua;
- As regiões D e D´são formadas por um número finito de sub-regiões;
- O jacobiano é não nulo em D´ou se anula num número finito de
pontos em D´.

24. A transformação que leva pontos (𝑟, 𝜃) do plano 𝑟 𝜃 a pontos (𝑥, 𝑦)
do plano 𝑥𝑦 é dada por
E seu jacobiano é dado por:
Portanto, a fórmula pode ser expressa por:
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න න 𝑓 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

25. Se 𝑓 é contínua no retângulo polar 𝑅 dado por 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 e
𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 onde 0 ≤ 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋 então
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝛼
𝛽
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

26. Ex. 10) Calcule ‫׭‬
𝑅
3𝑥 + 4𝑦2 𝑑𝐴, onde R é a região do
semipleno superior limitada pelos círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e
𝑥2
+ 𝑦2
= 4.
Ex. 11) Determine o volume do sólido que está sob o
parabolóide 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
, acima do plano 𝑥𝑦 e dentro do
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑥.

29. A área da superfície com equação 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ,
em que 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 onde 𝑓𝑥 𝑒 𝑓𝑦 são contínuas é dada por:
𝐴 𝑆 = ඵ
𝐷
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 2 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)
2
+ 1 𝑑𝑎

30. Ex. 12) Determine a área da superfície 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦 que
fica acima da região triangular 𝑇 no plano 𝑥𝑦 com vértices
(0,0), (1,0) 𝑒 (1,1).
Ex. 13) Determine a área do parabolóide 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
abaixo do plano 𝑧 = 9.