1) O documento explica o que é a raiz quadrada de um número positivo e como calculá-la, além de afirmar que não existe raiz quadrada de números negativos. 2) Apresenta operações com radicais como multiplicação, divisão, adição e subtração, além de simplificação e racionalização de radicais. 3) Fornece exemplos detalhados de como aplicar essas operações com radicais.

1. Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2
= A.
A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32
= 9.
Escrevemos 39 
Não existe a raiz quadrada de um número negativo.
Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) que
elevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou
igual a zero.
Está errado!
Os alunos escrevem bastantes vezes:
39 
Isto está errado porque       9333 2

Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
99 
9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
39 
Raiz quadrada e potências
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 2
1
25 . O valor é 5. Se
experimentares elevar outros números positivos a
2
1
verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2
1
aa  , para qualquer valor de a não negativo.
Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
  babababa  2
1
2
1
2
1
, a e b não negativos. O produto de raízes quadradas é igual à
raiz quadrada do produto.
Exemplo: 10100205205 
77777 
Albino Linhares
Setembro de 2005

2. Divisão:
b
a
b
a
b
a
b
a







2
1
2
1
2
1
, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz
quadrada do quociente.
Exemplo: 636
2
72
2
72

Adição e subtracção:
Será que
20416  ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
...47,420
24
416



Concluímos então que 20416 
De um modo geral, para quaisquer números positivos,
baba 
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
  595725752 
5238  não se pode somar.
6
77
6
79
6
72
2
73
3
7

Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.
Para qualquer número positivo temos:
aa 2
Exemplos: 52552
 ; 3932


3. Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica. 2
)5( não é -5 mas sim 5.
Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os
seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:
Por exemplo, para simplificar 180
1º Decompor 180 em factores primos.
1
55
315
345
290
2180
532180 22

2º Temos então 56532532532180 2222

Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.
Mais exemplos:
120
1
55
315
230
260
2120
30253225322120 2

Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.
***********

4. 32
1
22
24
28
216
232
24222222232 225

Racionalização de denominadores:
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à
eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
Exemplo 1
3
3
neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter aa
n n

de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 .
3
3
33
3
33
33
33
3
3
2



 então, 3
3
3

Exemplo 2:
72
5
temos que multiplicar o denominador e o numerador por 7 .
14
75
72
75
72
75
772
75
72
5
2





 então,
14
75
72
5

2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Exemplo 1:
102
3

Se o denominador é da forma cba  multiplicámos o numerador e o denominador por cba  de modo a
obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,
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5.  
    
10
2
1
1
6
1036
104
1036
102
1036
102102
1023
102
3
22














Exemplo 2:
323
21


  
    
6
3
2
23
3
2
1
3
6223323
349
6223323
323
32223323
323323
32321
323
21
22
















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