O documento discute as relações semânticas entre os conectivos da lógica proposicional. Apresenta que os conjuntos {¬, V} e {¬, Λ} são conjuntos completos e podem expressar todos os outros conectivos. Também mostra como obter as formas normais disjuntiva e conjuntiva de uma fórmula e como resolver o problema de Post para determinar uma fórmula a partir de uma tabela verdade.

1. 03/05/2016
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Lógica para Computação
Professor Marlon Marcon
UTFPR – Dois Vizinhos
RELAÇÕES SEMANTICAS ENTRE
CONECTIVOS DA LÓGICA
PROPOSICIONAL

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Introdução
 A partir da compreensão das relações semânticas entre os
conectivos da LP, é possível reduzir o número de conectivos
proposicionais da alfabeto, mantendo a linguagem da lógica
inalterada.
 A redução de conectivos é muito utilizada em arquitetura de
computadores, na qual são projetados circuitos eletrônicos.
Conjuntos de Conectivos Completos
 Um conjunto de conectivos proposicionais Ψ é completo quando é
possível expressar, equivalentemente, os conectivos ¬, V, Λ, → e ↔
utilizando apenas os conectivos de Ψ.
 Definição 1 (Conjunto de conectivos completo). Seja Ψ um conjunto
de conectivos. Ψ é um conjunto completo se as condições a seguir
são satisfeitas. Dada uma fórmula H do tipo ¬P, (P1 V P2), (P1Λ P2),
(P1→ P2) ou P1↔ P2 então é possível determinar uma outra
fórmula G, equivalente a H, tal que G contém apenas conectivos do
conjunto Ψ e os símbolos P1 e P2 presentes em H.

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Equivalência entre
→ e ¬, V
 O conectivo → pode ser expresso semanticamente pelos conectivos
¬ e V
 Como (P→Q)↔(¬P V Q) é uma tautologia, então as fórmulas (P→Q)
e (¬P V Q) são equivalentes
 Isso significa que a fórmula (P→Q) pode ser expressa
equivalentemente por uma fórmula que utiliza apenas conectivos ¬
e V e os símbolos proposicionais P e Q.
Equivalência entre
Λ e ¬, V
 O conectivo Λ pode ser expresso semanticamente pelos
conectivos ¬ e V
 Como (PΛQ)↔¬(¬P V¬Q) é uma tautologia, então as fórmulas
(PΛQ) e ¬(¬P V¬Q) são equivalentes
 Logo, do ponto de vista semântico, o conectivo Λ pode ser
expresso equivalentemente em termos dos conectivos ¬ e V.

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Equivalência entre
↔ e ¬, V
 O conectivo ↔ pode ser expresso semanticamente pelos conectivos ¬ e V
(P ↔ Q) equivale a ((P → Q) ∧ (Q → P))
P → Q ∧ Q → P equivale a (((¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∨ P))
P → Q ∧ Q → P equivale a ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P))
Equivalência entre
↔ e ¬, V
 Como a equivalência entre as fórmulas é transitiva, então
(P ↔ Q) equivale a ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P))
 A conclusão é que o conectivo ↔ pode ser expresso
semanticamente, de forma equivalente, pelos conectivos ¬ e V.

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Conjunto de conectivos completos
 A partir das três equivalências anteriores, é possível provar que:
 O conjunto {¬, V} é completo, ou seja:
 Dada uma fórmula H do tipo ¬P, (P1 VP2), (P1Λ P2), (P1→ P2)
ou P1↔ P2 então é possível determinar uma outra fórmula
G, equivalente a H, tal que G contém apenas conectivos do
conjunto Ψ e os símbolos P1 e P2 presentes em H.
Redefinição do Alfabeto da Lógica
Proposicional
O alfabeto da Lógica Proposicional é constituído por:
 Símbolos de pontuação: (, );
 Símbolos de verdade: false;
 Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2,...;
 Conectivos proposicionais: ¬, V.

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Relação semântica entre conectivos
 Dada uma fórmula E, represente utilizando somente os
conectivos do conjunto completo {¬, V}
 Exemplo:
E = P ↔ Q ∨ (𝑅→ S)
Formas Normais
 Existem dois tipos de formas normais:
 Forma Normal Disjuntiva (FND) se é uma disjunção de conjunções de
literais.
𝐻 = (¬𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (¬𝑅 ∧ ¬𝑄 ∧ 𝑃) ∨ (𝑃 ∧ 𝑆)
 Forma Normal Conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de disjunções
de literais
𝐻 = (¬𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (¬𝑅 ∨ ¬𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)

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Como verificar se uma fórmula está nas
Formas Normais
 Deste modo, uma fórmula está em FNC ou FND se, e somente se:
1. No máximo contém os conectivos ¬,∨,∧.
2. A negação ¬ não tem alcance sobre os conectivos ∨ 𝑒 ∧
3. Não aparecem negações sucessivas.
4. O conectivo ∨ não tem alcance sobre ∧ na FNC e, o
conectivo ∧ não tem alcance sobre ∨ na FND.
Como obter as Formas Normais
 Exemplo:
𝐻 = (𝑃 → 𝑄) ∧ 𝑅
Na FNC:
𝐻 = (¬𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅
Na FND:
𝐻 = ¬𝑃 ∧ 𝑅 ∨ (𝑄 ∧ 𝑅)

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Problema de Post
 Como já observamos podemos construir a tabela verdade de
uma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que a
compõem.
 O problema recíproco se coloca: para toda tabela verdade,
existe uma fórmula que a determina?
 Este problema é conhecido como PROBLEMA DE POST(Emil
Leon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-se
uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada.
Fórmula Normal Disjuntiva
 Para se obter uma FND:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem T na
última coluna;
2. Construímos para cada uma destas linhas
as conjunções correspondentes;
3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo uma
fórmula em FND que satisfaz a tabela verdade.

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Fórmula Normal Disjuntiva
 Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela
verdade abaixo:
 Resposta: 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ (¬𝑃 ∧ ¬𝑄)
P Q H
T T T (𝑃 ∧ 𝑄)
T F F
F T F
F F T (¬𝑃 ∧ ¬𝑄)
Fórmula Normal Conjuntiva
 Para se obter uma FNC:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na
última coluna;
2. Construímos para cada uma destas linhas
as disjunções correspondentes;
3. Fazemos a conjunção destas disjunções obtendo uma
fórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade.

10. 03/05/2016
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Fórmula Normal Conjuntiva
 Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela
verdade abaixo:
 Resposta: ¬𝑃 ∨ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ ¬𝑄)
P Q H
T T T
T F F (¬𝑃 ∨ 𝑄)
F T F (𝑃 ∨ ¬𝑄)
F F T
FNC e FND
 As FND e FNC obtidas como anteriormente são completas ou
seja, em cada disjunção (FND) ou em cada conjunção (FNC)
todas as variáveis proposicionais estão presentes.