O documento discute a propagação de incertezas em medições. Explica que quando se mede duas grandezas com incertezas, é necessário propagar essas incertezas para calcular a incerteza na distância entre os pontos medidos. Também apresenta conceitos como erro, incerteza, desvio padrão e como calcular a incerteza resultante de uma função das grandezas originais.

1. Propagação de Incerteza
em Medições
Vitor F. Pamplona
vitor@vitorpamplona.com

2. Problema
●
Dois pontos quaisquer em um espaço 2D
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3. Problema
●
Calcular a distância entre eles
4cm
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4. Problema
●
Estes dois pontos possuem incertezas
4cm
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5. Problema
●
Propagar as incertezas para distância?
4 +- 0.5 cm
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6. Conceitos: Acurácia e Precisão
●
Acurácia
●
Proximidade do valor verdadeiro
●
Precisão
●
Tamanho da dispersão
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7. Conceitos: Erro e Incerteza
●
Erro
●
É conhecido, logo o valor deve ser corrigido
conhecido
●
Incerteza
●
Não é conhecido, logo não é possível corrigí-lo.
conhecido
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8. Conceitos: Valores médios
●
Valor verdadeiro
yv
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9. Conceitos: Valores médios
●
Valor verdadeiro
yv
●
Valor médio verdadeiro
n
1
y mv==lim
n ∞
∑ yi
n i=1
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10. Conceitos: Valores médios
●
Valor verdadeiro
yv
●
Valor médio verdadeiro
n
1
y mv==lim
n ∞
∑ yi
n i=1
●
Valor médio
n
1
y= ∑ y i
n i=1
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11. Tipos de Erros
●
Erros sistemáticos
●
Sempre o mesmo erro em todas as medidas
●
Podem ser reduzidos ou corrigidos
y yv
●
Instrumental / Calibração
●
Ambiental
●
Observacional
●
Teórico
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12. Tipos de Erros
●
Erros sistemáticos residuais
●
Sempre o mesmo erro em todas as medidas
●
Não podem ser corrigidos
?
y yv
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13. Tipos de Erros
●
Erros estatísticos
●
Erro varia em torno do valor médio
●
Se repete entre conjuntos de leituras
yv y
●
Incerteza tipo A: estimadas estatisticamente
A
●
Incerteza tipo B: estimadas de outras formas
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14. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão  em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
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15. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão  em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
 = ∑  y j− y v 
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
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16. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão  em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
 = ∑  y j− y v 
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
2 2 2
 = 
p m r
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
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17. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão  em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
 = ∑  y j− y v 
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
2 2 2
 = 
p m r
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Valor médio do verdadeiro
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18. Incerteza Padrão
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
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19. Incerteza Padrão
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
2 1 2 1 2
 = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ...
p
k j=1 k j=1
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20. Incerteza Padrão
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
2 1 2 1 2
 = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
 = 
p m r
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21. Incerteza Padrão
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
21 2 1 2
 = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
 = 
p m r
k k
2 1 2 2 1 2
 = ∑  y j − j 
m  = ∑  j − y v 
r
k j=1 k j=1
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22. Incerteza Padrão
k
2 1 2
 = ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
21 2 1 2
 = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
 = 
p m r
k k
2 1 2 2 1 2
 = ∑  y j − j 
m  = ∑  j − y v 
r
k j=1 k j=1
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23. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão  em em n medições
repetidas k vezes
●
Desvio das médias

 p≈
n
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24. Incerteza Relativa
●
Um percentual da medida y
p
=
y
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25. Incerteza Relativa
●
Um percentual da medida y
p
=
y
4 +- 10%
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26. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w  x , y , z ,...
Copyright Vitor F. Pamplona 26

27. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w  x , y , z ,...
w=dist  x1 , y1 , x2 , y2
Copyright Vitor F. Pamplona 27

28. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w  x , y , z ,...
●
E que x , y , z , ... são grandezas experimentais
x x y  y z z
Copyright Vitor F. Pamplona 28

29. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w  x , y , z ,...
●
E que x , y , z , ... são grandezas experimentais
x x y  y z z
●
Como calcular  w ?
Copyright Vitor F. Pamplona 29

30. Propagação de Incerteza
2 2 2
2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2
 =
w   x    y    z ...
∂x ∂y ∂z
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31. Dedução da Propagação
●
Dados as grandezas
x1 y 1 z1 ...
x2 y2 z2 ...
... ... ... ...
xn yn zn ...
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32. Dedução da Propagação
●
Dados as grandezas
x1 y 1 z1 ...
x2 y2 z2 ...
... ... ... ...
xn yn zn ...
●
E suas respectivas incertezas
n n n
2 1 2 2 1 2 1
 x = ∑  x i − x   y = ∑  y i − y  2
 = ∑  z i − z 
2
n i=1 n i=1 z
n i=1
Valor médio do verdadeiro
Copyright Vitor F. Pamplona 32

33. Dedução da Propagação
●
Pode-se encontrar w i
w 1=w  x 1, y 1, z 1, ...
w 2=w  x 2, y 2, z 2, ...
... ... ,... ,... ,...
w n=w  x n , y n , z n , ...
Copyright Vitor F. Pamplona 33

34. Dedução da Propagação
●
Pode-se encontrar w i
w 1=w  x 1, y 1, z 1, ...
w 2=w  x 2, y 2, z 2, ...
... ... ,... ,... ,...
w n=w  x n , y n , z n , ...
●
E o valor médio verdadeiro para w
n
1
w mv =lim ∑ w i
n ∞ n i=1
Copyright Vitor F. Pamplona 34

35. Dedução da Propagação
●
Cada w i pode ser expandido em potência de
desvios
w i ≈w  x , y , z , ...
∂w ∂w ∂w
  x i − x    y i − y    z i − z ...
∂x ∂y ∂z
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36. Dedução da Propagação
●
Cada w i pode ser expandido em potência de
desvios
w i ≈w  x , y , z , ...
∂w ∂w ∂w
  x i − x    y i − y    z i − z ...
∂x ∂y ∂z
●
As derivadas de segunda ordem são
desprezíveis se não houver covariância
Copyright Vitor F. Pamplona 36

37. Dedução da Propagação
●
A soma de w i , então
n n
∂w
∑ w i ≈nw x , y ,z ,...   ∂ x  ∑  xi −x 
i=0 i=0
n n
∂w ∂w
   ∑  y i − y     ∑  z i − z  ...
∂ y i=0 ∂ z i=0
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38. Dedução da Propagação
●
A soma de w i , então
n n
∂w
∑ w i ≈nw x , y ,z ,...   ∂ x  ∑  xi −x 
i=0 i=0
n n
∂w ∂w
   ∑  y i − y     ∑  z i − z  ...
∂ y i=0 ∂ z i=0
●
No infinito os três últimos se anulam
w mv ≈w  x ,  y ,  z ,...
Copyright Vitor F. Pamplona 38

39. Dedução da Propagação
●
Logo o desvio padrão de w no infinito é
n
2 1 2
 =lim ∑ w i −w mv 
w
n  ∞ n i=1
Copyright Vitor F. Pamplona 39

40. Dedução da Propagação
●
Logo o desvio padrão de w no infinito é
n
2 1 2
 =lim ∑ w i −w mv 
w
n  ∞ n i=1
●
Utilizando a série de potências dos desvios
2 2
2 ∂w 2 ∂w 2
w i −w mv  ≈   x i − x      y i − y 
∂x ∂y
2
∂w
    z i − z 2 ...
∂z
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41. Dedução da Propagação
●
Aplicando o somatório
n 2 n n
∂w 2 1 2
∑ w i −w mv  =  ∂ x  ∑  x i − x   x = n ∑  xi −x 
2 2
i=1
i=0 i=0
2 n
∂w 2
   ∑  y i − y 
∂ y i=0
2 n
∂w 2
   ∑  z i − z  ...
∂ z i=0
Copyright Vitor F. Pamplona 41

42. Dedução da Propagação
●
Substituindo o somatório pela incerteza
2
2 ∂w 2
 = 
w  x
∂x
2
∂w
   2y
∂y
∂w 2 2
    z ...
∂z
Copyright Vitor F. Pamplona 42

43. Propagação de Incerteza
2 2 2
2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2
 =
w   x    y    z ...
∂x ∂y ∂z
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44. Covariância
●
Quanto duas variáveis mudam juntas
●
Estimada através de
n
1
2
 ≈
xy ∑  x i −x y i − y
n−1 i=1
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45. Prop. Incerteza com Covariância
2 2 2
2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2
 = 
w  x    y     z  ...
∂x ∂y ∂z
∂w ∂w 2 ∂w ∂w 2
 2   xy  2   xz
∂x ∂y ∂x ∂z
∂w ∂w 2
 2   xz  ...
∂ y ∂z
Copyright Vitor F. Pamplona 45

46. Perguntas?
Vitor F. Pamplona
vitor@vitorpamplona.com