Este documento discute a noção de continuidade de funções. Uma função é contínua em um ponto quando o limite da função quando x se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Algumas funções como polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Operações entre funções contínuas também resultam em funções contínuas.

1. Continuidade de funções

2. Função contínua num ponto
Seja 𝑓 uma função real de variável real e seja 𝑎 ∈ D𝑓.
Diz-se que 𝒇 é contínua em 𝒂 quando lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 existe.
Notas:
1. Se um ponto não pertencer ao domínio de uma função, não faz sentido
falar em continuidade da função nesse ponto.
2. Se 𝑎 é um ponto isolado do domínio de 𝑓, lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 , ou seja, a
função é contínua nesse ponto.
3. Uma função que não é contínua num ponto do seu domínio diz-se
descontínua nesse ponto.

3. 𝑓
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 =
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎⁺
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
∃ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
𝒇 é contínua em 𝒂
Ex. 1

4. Ex. 2
𝑓 𝑓
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
∄ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
𝑓 não é contínua em 𝑎
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 e lim
𝑥→𝑎⁺
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎
∄ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
𝑓 não é contínua em 𝑎
Ex. 3

5. Ex. 4
Averigua se é contínua em 𝑥 = 2 a função 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
−𝑥 + 3 se 𝑥 < 2
1 se 𝑥 = 2
𝑥 − 1 se 𝑥 > 2
.
Sugestão de resolução:
• 𝑓 2 = 1
• lim
𝑥→2⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2⁻
−𝑥 + 3 = −2 + 3 = 1
• lim
𝑥→2⁺
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2⁺
𝑥 − 1 = 2 − 1 = 1
Como lim
𝑥→2⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = 𝑓 2 = 1, então a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2.
Volume 2, 11.º ano
Pág. 26 e 27, Ex: 17, 18 e 19
Pág. 34, Ex: 40

6. Função contínua num subconjunto do domínio
Sejam 𝑓 uma função real de variável real de domínio 𝐷𝑓 e 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓.
Diz-se que:
 𝒇 é contínua no conjunto 𝑨 quando 𝑓 for contínua em todos os pontos de 𝐴.
 𝒇 diz-se contínua quando for contínua em todos os pontos de 𝐷𝑓 .

7. Operações com funções contínuas
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções reais de variável real 𝑓: 𝐷𝑓 → ℝ e 𝑔: 𝐷𝑔 → ℝ,
contínuas num ponto 𝑎.
Então, também são contínuas em 𝑎 as funções:
 𝑓 + 𝑔
 𝑓 × 𝑔
 𝑓𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ
 𝑓 − 𝑔

𝑓
𝑔
, se 𝑔 𝑎 ≠ 0
 𝑛
𝑓, com 𝑛 ∈ ℕ e 𝑓 𝑎 ≥ 0, se 𝑛 for par

8. Continuidade das funções polinomiais:
 Toda a função racional é contínua no seu domínio.
 Toda a função polinomial é contínua em ℝ.
Exemplo:
𝑓 𝑥 = −𝑥3
−
3
4
𝑥2
+ 5 é contínua.
Exemplo:
𝑔 𝑥 =
−3𝑥4+𝑥2+2
𝑥5−1
é contínua em ℝ 1
Consequências

9. Exercício
Estuda a continuidade da função ℎ definida por
ℎ 𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 + 5 se 𝑥 > 1
3 se 𝑥 = 1
2𝑥2+𝑥
4𝑥−3𝑥2 se 𝑥 < 1
.
Sugestão de resolução:
• No intervalo 1, +∞ a função é contínua por se tratar da função potência de
expoente racional de uma função contínua (função polinomial 𝑥 ↦ 𝑥² + 3𝑥 + 5).
• No intervalo −∞, 1 a função é contínua por se tratar de uma função racional
cujo denominador não se anula no intervalo considerado.

10. Exercício (continuação)
ℎ 𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 + 5 se 𝑥 > 1
3 se 𝑥 = 1
2𝑥2 + 𝑥
4𝑥 − 3𝑥2
se 𝑥 < 1
• ℎ 1 = 3
• lim
𝑥→1⁻
ℎ 𝑥 = lim
𝑥→1⁻
2𝑥²+𝑥
4𝑥−3𝑥²
= lim
𝑥→1⁻
𝑥 2𝑥+1
𝑥 4−3𝑥
= lim
𝑥→1⁻
2𝑥+1
4−3𝑥
=
2+1
4−3
= 3
• lim
𝑥→1⁺
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1⁺
𝑥² + 3𝑥 + 5 = 12 + 3 + 5 = 3
Como lim
𝑥→1⁻
ℎ 𝑥 = lim
𝑥→1+
ℎ 𝑥 = ℎ 1 = 3, então a função ℎ é contínua em 𝑥 = 1.
Concluímos então que a função ℎ é contínua em ℝ

11. Volume 2, 11.º ano
Pág. 29, Ex: 20 e 21
Pág. 35, Ex: 41 e 42
Volume 1, 12.º ano
Pág. 127, Ex: 1 e 2 da Tarefa 4
Ex. 19
Ficha de trabalho 2