Livro com as resoluções de exercícios

1. MÓDULO 2
Funções (parte 3)
Cálculo Diferencial e Integral 1
Prof. Alisson (2021-1)
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UTFPR - Campus Apucarana
Departamento Acadêmico de Matemática

2. Cálculo Diferencial e Integral 1 2
Prof. Alisson
Conteúdos
- Operações com funções
- Funções polinomiais, racionais e algébricas
- Funções definidas por partes
- Funções inversas
- Funções trigonométricas inversas
- Funções hiperbólicas
- Transformações de funções

3. Cálculo Diferencial e Integral 1 3
Prof. Alisson
Operações com funções
- Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções a partir destas operações.
Definimos:

4. Cálculo Diferencial e Integral 1 4
Prof. Alisson
Operações com funções
- Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções a partir destas operações.
Definimos:
- Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
- Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

5. Cálculo Diferencial e Integral 1 5
Prof. Alisson
Operações com funções
- Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções a partir destas operações.
Definimos:
- Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
- Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
- Os domínios 𝐷𝑓+𝑔 e 𝐷𝑓−𝑔 das funções soma e diferença, respectivamente,
é a intersecção dos domínios 𝐷𝑓 da função 𝑓 e 𝐷𝑔 da função 𝑔, ou seja,
𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔.

6. Cálculo Diferencial e Integral 1 6
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔.
𝑔 𝑥 =
1
𝑥
.

7. Cálculo Diferencial e Integral 1 7
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔.
Então,
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 +
1
𝑥
=
𝑥 𝑥 + 1
𝑥
,
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 −
1
𝑥
=
𝑥 𝑥 − 1
𝑥
.
𝑔 𝑥 =
1
𝑥
.

8. Cálculo Diferencial e Integral 1 8
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔.
Então,
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 +
1
𝑥
=
𝑥 𝑥 + 1
𝑥
,
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 −
1
𝑥
=
𝑥 𝑥 − 1
𝑥
.
Além disso,
𝐷𝑓+𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[
𝐷𝑓−𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[
𝑔 𝑥 =
1
𝑥
.
0
0
0
𝐷𝑓
𝐷𝑔
𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

9. Cálculo Diferencial e Integral 1 9
Prof. Alisson
- Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
- Função quociente:
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)

10. Cálculo Diferencial e Integral 1 10
Prof. Alisson
- Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
- Função quociente:
- Os domínios da função produto e da função quociente são dados por:
𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 .
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)

11. Cálculo Diferencial e Integral 1 11
Prof. Alisson
- Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
- Função quociente:
- Os domínios da função produto e da função quociente são dados por:
𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 .
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)

12. Cálculo Diferencial e Integral 1 12
Prof. Alisson
- Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
- Função quociente:
- Os domínios da função produto e da função quociente são dados por:
𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 .
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔.
Então,
Além disso,
𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1 𝑜𝑢 [0, 1 ∪ 1, +∞[
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑥
𝑥 − 1
.
0
0
𝐷𝑓
𝐷𝑔
𝐷𝑓/𝑔
1

13. Cálculo Diferencial e Integral 1 13
Prof. Alisson
- Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓
com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .

14. Cálculo Diferencial e Integral 1 14
Prof. Alisson
- Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓
com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .
𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 )
𝑓
𝑔
𝑓 ∘ 𝑔

15. Cálculo Diferencial e Integral 1 15
Prof. Alisson
- Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓
com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .
- O domínio da função 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os 𝑥 no domínio de 𝑔
tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓, ou seja
𝐷𝑓∘𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓
𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 )
𝑓
𝑔
𝑓 ∘ 𝑔

16. Cálculo Diferencial e Integral 1 16
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.

17. Cálculo Diferencial e Integral 1 17
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2
= 𝑥2
− 3

18. Cálculo Diferencial e Integral 1 18
Prof. Alisson
Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2
= 𝑥2
− 3
Observação: É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por
exemplo, sejam 𝑓, g e ℎ funções, então
(𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥)))

19. Cálculo Diferencial e Integral 1 19
Prof. Alisson
Funções polinomiais, racionais e algébricas
Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou,
simplesmente, polinômio) se é da forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0,
onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais
chamados de coeficientes do polinômio.

20. Cálculo Diferencial e Integral 1 20
Prof. Alisson
Funções polinomiais, racionais e algébricas
Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou,
simplesmente, polinômio) se é da forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0,
onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais
chamados de coeficientes do polinômio.
Neste caso, o domínio de 𝑓 é ℝ e se 𝑎𝑛 ≠ 0, então dizemos que o grau do
polinômio é 𝑛.

21. Cálculo Diferencial e Integral 1 21
Prof. Alisson
Exemplos:
1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5.
2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1.
3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2.

22. Cálculo Diferencial e Integral 1 22
Prof. Alisson
Exemplos:
1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5.
2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1.
3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2.
Funções racionais: Uma função racional 𝑓 é o quociente de dois polinômios,
isto é,
onde 𝑃 e 𝑄 são polinômios. Neste caso, o domínio de 𝑓 são todos os valores
de 𝑥 tais que 𝑄 𝑥 ≠ 0.
𝑓 𝑥 =
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
,

23. Cálculo Diferencial e Integral 1 23
Prof. Alisson
Exemplos:
1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}.
2) A função é uma função racional, cujo domínio é
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}.
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 =
2𝑥4
− 𝑥2
+ 1
𝑥2 − 4

24. Cálculo Diferencial e Integral 1 24
Prof. Alisson
Exemplos:
1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}.
2) A função é uma função racional, cujo domínio é
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}.
Funções algébricas: Uma função 𝑓 é uma função algébrica se puder ser
construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração,
multiplicação, divisão e radiciação) a partir de polinômios.
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 =
2𝑥4
− 𝑥2
+ 1
𝑥2 − 4

25. Cálculo Diferencial e Integral 1 25
Prof. Alisson
Exemplos:
1) Toda função racional é uma função algébrica.
2) A função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 é uma função algébrica.
3) A função é uma função
algébrica.
𝑔 𝑥 =
𝑥4
− 16𝑥2
𝑥 + 𝑥
+ 𝑥 − 2
3
𝑥 + 1

26. Cálculo Diferencial e Integral 1 26
Prof. Alisson
Funções definidas por partes
- Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu
domínio são chamadas de funções definidas por partes.

27. Cálculo Diferencial e Integral 1 27
Prof. Alisson
Funções definidas por partes
- Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu
domínio são chamadas de funções definidas por partes.
Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por
𝑓 𝑥 = ቊ
1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1
.
Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓.

28. Cálculo Diferencial e Integral 1 28
Prof. Alisson
Funções definidas por partes
- Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu
domínio são chamadas de funções definidas por partes.
Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por
𝑓 𝑥 = ቊ
1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1
.
Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓.
Para esta função vale a seguinte regra: primeiro olhe para o valor de 𝑥. Se 𝑥 for
menor ou igual a −1, então a regra é 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥. Agora, se 𝑥 for maior que −1,
então a regra é 𝑓 𝑥 = 𝑥2
.

29. Cálculo Diferencial e Integral 1 29
Prof. Alisson
Então:
−2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3
−1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2
0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02
= 0
Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0.

30. Cálculo Diferencial e Integral 1 30
Prof. Alisson
Então:
−2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3
−1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2
0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02
= 0
Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0.
Gráfico de 𝑓:
Para 𝑥 ≤ −1, 𝑓 comporta-se como a reta 𝑦 = 1 − 𝑥 e, para 𝑥 > −1, 𝑓 comporta-se
como a parábola 𝑦 = 𝑥2
.

31. Cálculo Diferencial e Integral 1 31
Prof. Alisson
Funções inversas
- Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.

32. Cálculo Diferencial e Integral 1 32
Prof. Alisson
Funções inversas
- Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
- Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
𝑦 = 𝑓(𝑥).

33. Cálculo Diferencial e Integral 1 33
Prof. Alisson
Funções inversas
- Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
- Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
𝑦 = 𝑓(𝑥).
- Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥.

34. Cálculo Diferencial e Integral 1 34
Prof. Alisson
Funções inversas
- Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
- Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
𝑦 = 𝑓(𝑥).
- Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥.
- A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e
denotada por 𝑓−1
.

35. Cálculo Diferencial e Integral 1 35
Prof. Alisson
Funções inversas
- Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
- Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
𝑦 = 𝑓(𝑥).
- Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥.
- A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e
denotada por 𝑓−1
.
𝑥 𝑦
𝑓
𝑓−1
𝐴 𝐵

36. Cálculo Diferencial e Integral 1 36
Prof. Alisson
Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5.

37. Cálculo Diferencial e Integral 1 37
Prof. Alisson
Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5.
Para obter a inversa de 𝑓, considere 𝑓 𝑥 = 𝑦. Logo,
𝑦 = 2𝑥 − 5
𝑥 = 2𝑦 − 5
𝑦 =
1
2
(𝑥 + 5)
Logo,
Troque 𝑥 e 𝑦 de posição
Isole o 𝑦
𝑓−1
𝑥 =
1
2
𝑥 + 5 .

38. Cálculo Diferencial e Integral 1 38
Prof. Alisson
Atenção! Nem toda função admite função inversa.

39. Cálculo Diferencial e Integral 1 39
Prof. Alisson
Atenção! Nem toda função admite função inversa.
- Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se,
𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2.

40. Cálculo Diferencial e Integral 1 40
Prof. Alisson
Atenção! Nem toda função admite função inversa.
- Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se,
𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2.
𝑓 é injetora. 𝑔 não é injetora.

41. Cálculo Diferencial e Integral 1 41
Prof. Alisson
Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal
intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.

42. Cálculo Diferencial e Integral 1 42
Prof. Alisson
Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal
intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.
A função 𝑓 não é injetora, pois
𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.

43. Cálculo Diferencial e Integral 1 43
Prof. Alisson
Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal
intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.
- Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é
igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar
associado a pelo menos um elemento do domínio.
A função 𝑓 não é injetora, pois
𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.

44. Cálculo Diferencial e Integral 1 44
Prof. Alisson
Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal
intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.
- Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é
igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar
associado a pelo menos um elemento do domínio.
A função 𝑓 não é injetora, pois
𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.
A função 𝑓 é sobrejetora, pois
𝐼𝑚𝑓 = −10, 5, 7 = 𝐵.

45. Cálculo Diferencial e Integral 1 45
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

46. Cálculo Diferencial e Integral 1 46
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.

47. Cálculo Diferencial e Integral 1 47
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.

48. Cálculo Diferencial e Integral 1 48
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
Note que 𝑓 não é injetora nem sobrejetora.

49. Cálculo Diferencial e Integral 1 49
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
Porém, observe que
- restringindo o contradomínio da função 𝑓
para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora;

50. Cálculo Diferencial e Integral 1 50
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
Porém, observe que
- restringindo o contradomínio da função 𝑓
para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora;
- restringindo o domínio da função 𝑓 para
para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora.

51. Cálculo Diferencial e Integral 1 51
Prof. Alisson
- Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
Porém, observe que
- restringindo o contradomínio da função 𝑓
para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora;
- restringindo o domínio da função 𝑓 para
para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora.
Neste caso, 𝑓 admite função inversa, que será
dada por 𝑓−1 𝑥 = 𝑥.

52. Cálculo Diferencial e Integral 1 52
Prof. Alisson
Observações:
1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa.
a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓
Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓

53. Cálculo Diferencial e Integral 1 53
Prof. Alisson
Observações:
1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa.
a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓
Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓
b) Os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.

54. Cálculo Diferencial e Integral 1 54
Prof. Alisson
2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.

55. Cálculo Diferencial e Integral 1 55
Prof. Alisson
2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
- Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥.
- Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥.

56. Cálculo Diferencial e Integral 1 56
Prof. Alisson
2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
- Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥.
- Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥.
- O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.

57. Cálculo Diferencial e Integral 1 57
Prof. Alisson
2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
- Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥.
- Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥.
- O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
Observação: Em particular, temos que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 e 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 são inversas
uma da outra.

58. Cálculo Diferencial e Integral 1 58
Prof. Alisson
Funções trigonométricas inversas
- Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as
funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦
corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.

59. Cálculo Diferencial e Integral 1 59
Prof. Alisson
Funções trigonométricas inversas
- Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as
funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦
corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.

60. Cálculo Diferencial e Integral 1 60
Prof. Alisson
Funções trigonométricas inversas
- Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as
funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦
corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.

61. Cálculo Diferencial e Integral 1 61
Prof. Alisson
- Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos
restringir o seu domínio.

62. Cálculo Diferencial e Integral 1 62
Prof. Alisson
- Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos
restringir o seu domínio.
Função arco-seno: Considere a função dada por
𝑓 𝑥 = sen 𝑥.
𝑓: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ −1, 1

63. Cálculo Diferencial e Integral 1 63
Prof. Alisson
- Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada
por
𝑓−1: −1, 1 → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 .

64. Cálculo Diferencial e Integral 1 64
Prof. Alisson
- Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada
por
𝑓−1: −1, 1 → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 .
- Deste modo, vale a equivalência
𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2

65. Cálculo Diferencial e Integral 1 65
Prof. Alisson
- Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada
por
𝑓−1: −1, 1 → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 .
- Deste modo, vale a equivalência
- Gráfico da função arco-seno:
𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2

66. Cálculo Diferencial e Integral 1 66
Prof. Alisson
Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por
𝑓 𝑥 = cos 𝑥.

67. Cálculo Diferencial e Integral 1 67
Prof. Alisson
Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por
𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por
𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥

68. Cálculo Diferencial e Integral 1 68
Prof. Alisson
Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por
𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por
𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥
- Deste modo, vale a equivalência
𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋.

69. Cálculo Diferencial e Integral 1 69
Prof. Alisson
Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por
𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por
𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥
- Deste modo, vale a equivalência
𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋.
- Gráfico da função arco-cosseno:

70. Cálculo Diferencial e Integral 1 70
Prof. Alisson
Função arco-tangente: Considere a função dada por
𝑓 𝑥 = tg 𝑥.
𝑓: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ

71. Cálculo Diferencial e Integral 1 71
Prof. Alisson
Função arco-tangente: Considere a função dada por
𝑓 𝑥 = tg 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por
𝑓−1: ℝ → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥
𝑓: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ

72. Cálculo Diferencial e Integral 1 72
Prof. Alisson
Função arco-tangente: Considere a função dada por
𝑓 𝑥 = tg 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por
- Deste modo, vale a equivalência
𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
.
𝑓−1: ℝ → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥
𝑓: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ

73. Cálculo Diferencial e Integral 1 73
Prof. Alisson
Função arco-tangente: Considere a função dada por
𝑓 𝑥 = tg 𝑥.
- A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por
- Deste modo, vale a equivalência
- Gráfico da função arco-tangente:
𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
.
𝑓−1: ℝ → −
𝜋
2
,
𝜋
2
, onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥
𝑓: −
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ

74. Cálculo Diferencial e Integral 1 74
Prof. Alisson
Transformações de funções
- Aplicando certas transformações ao gráfico de uma função, obtemos o
gráfico de novas funções. Isso nos permite esboçar o gráfico de funções
mais complicadas a partir do gráfico de funções conhecidas.

75. Cálculo Diferencial e Integral 1 75
Prof. Alisson
- Deslocamentos verticais e horizontais: Seja 𝑐 > 0. Temos que:
• 𝑓 𝑥 + 𝑐: descola o gráfico de 𝑓
em 𝑐 unidades para cima.
• 𝑓 𝑥 − 𝑐: descola o gráfico de 𝑓
em 𝑐 unidades para baixo.
• 𝑓 𝑥 + 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓
em 𝑐 unidades para a esquerda.
• 𝑓 𝑥 − 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓
em 𝑐 unidades para a direita.

76. Cálculo Diferencial e Integral 1 76
Prof. Alisson
- Reflexões e expansões: Seja 𝑐 > 1. Temos que:
• 𝑐𝑓 𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 verticalmente
•
1
𝑐
𝑓(𝑥): comprime o gráfico de 𝑓 verticalmente
• 𝑓 𝑐𝑥 : comprime o gráfico de 𝑓 horizontal-
mente
• 𝑓
1
𝑐
𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 horizontalmente
• −𝑓 𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do
eixo 𝑥
• 𝑓 −𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do eixo
𝑦

77. Cálculo Diferencial e Integral 1 77
Prof. Alisson
Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥.

78. Cálculo Diferencial e Integral 1 78
Prof. Alisson
Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥.
- Observe que, conhecendo-se o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,
conseguimos esboçar o gráfico de funções ‘mais difíceis’, como 𝑓 𝑥 =
𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 = 2 𝑥.

79. Cálculo Diferencial e Integral 1 79
Prof. Alisson
Referências bibliográficas
- GOMES, Francisco Magalhães. Pré-Cálculo: operações, equações, funções e
trigonometria. São Paulo – SP: Cengage Learning, 2018.
- STWART, James. Cálculo – Volume 1. 7. ed. São Paulo – SP: Cengage Learning,
2013.
- FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções,
limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo – SP: Pearson Prentice Hall,
2007.
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo – Volume 1. 5. ed. Rio de
Janeiro – RJ: LTC, 2001.