Este documento apresenta 14 exercícios de probabilidade para engenharia que envolvem circuitos elétricos, produção industrial, transporte aéreo e fabricação de semicondutores. Os exercícios calculam probabilidades de eventos como falha em equipamentos, aprovação de projetos, disponibilidade de serviços e qualidade de processos produtivos.

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Primeira Lista de Exercícios de
Métodos Estocásticos da Engenharia I
1. O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho de equipamentos
funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de que cada equipamento
funcione é mostrada na figura abaixo. Suponha que os equipamentos falhem in-
dependentemente. Qual é a probabilidade de que o circuito opere? (Resposta ∼
=
0,963)
Figura 1: circuito considerado no exercício 1.
2. O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho de equipamentos
(representados pelos círculos) funcionais, da esquerda para a direita. Suponha que os
equipamentos falhem independentemente. A probabilidade de que cada equipamento
funcione é a mesma para todos. Qual deve ser o valor dessa probabilidade para que
o circuito falhe em 0,1% das vezes? (Resposta ∼
= 0,949)
Figura 2: circuito considerado no exercício 2.
3. A probabilidade de que a construção de um prédio termine a tempo é 17/20;
a probabilidade de que não haja greve é 3/4;
a probabilidade de que a construção termine a tempo dado que não houve greve
é 14/15;
e a probabilidade de que haja greve e a construção não termine a tempo é 1/10.
Qual é a probabilidade de que:
a) A construção termine a tempo e não haja greve? (Resposta = 0,70)
b) Não haja greve dado que a construção terminou a tempo? (Resposta ∼
= 0,82)
c) A construção não termine a tempo se houve greve? (Resposta = 0,40)
d) A construção não termine a tempo se não houve greve? (Resposta ∼
= 0,067)

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4. Uma empresa de desenvolvimento urbano está considerando a possibilidade de se
construir um centro comercial na região de Belo Horizonte. Uma condição para que
essa obra seja realizada é a construção de uma estrada que una a região ao centro da
cidade. Se a prefeitura aprovar a construção da estrada, haverá uma probabilidade
de 0,90 de que a empresa construa o centro comercial.No entanto, se a estrada não
for aprovada, a probabilidade será de 0,20. Baseada na informação disponível, a
empresa estima que há uma probabilidade de 0,60 de que a construção da estrada
seja aprovada pela prefeitura.
a) Qual é a probabilidade de que a empresa construa o centro comercial ? (Resposta
= 0,62)
b) Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada
tenha sido aprovada pela prefeitura.? (Resposta ∼
= 0,87)
c) Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada
não tenha sido aprovada pela prefeitura?(Resposta = 0,13)
5. O gerente da empresa X viaja em um avião de 6 motores para assistir a uma reunião
importante nos Estados Unidos. A probabilidade de que motor falhe é de 0,10 e
cada um funciona independentemente dos outros. Precisa-se de que pelo menos um
motor de cada lado do avião funcione. Existem 3 motores de cada lado. Qual é a
probabilidade que o gerente esteja ausente na reunião por causa de um acidente com
seu avião? (Resposta ∼
= 0,002)
6. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura 3 é
dado por p. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual é a probabilidade
de que haja corrente entre os terminais L e R? (Resposta = 3p2
− 3p4
+ p6
)
Figura 3: circuito considerado no exercício 6.
7. Em uma linha de produção há dois processos A e B. No processo A há 20% de
defeituosos e em B há 25%. Em um lote de 300 produtos há 200 do processo A e
100 do processo B.
a) Se um produto é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de que seja defeituoso?
(Resposta ∼
= 0,216)
b) Se o produto sorteado resultou ser defeituoso, qual é a probabilidade de que
seja do processo B? (Resposta ∼
= 0,381)
8. No circuito elétrico dado na figura 4, em que existe uma ddp entre os pontos A e
B, determine a probabilidade de se passar corrente entre A e B, sabendo-se que a
probabilidade de cada chave estar fechada é 0,5 e que cada chave estará aberta ou
fechada independente de qualquer outra. (Resposta ∼
= 0,53)

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Figura 4: circuito considerado no exercício 8.
9. Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma determinada peça.
As chances de que uma peça proveniente dos fornecedores A e B esteja fora das
especificações são 10% e 5%, respectivamente. A montadora recebe 30% das peças
do fornecedor A e 70% de B.
a) Se uma peça do estoque inteiro é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de
que ela esteja fora das especificações. (Resposta = 0,065)
b) Se uma peça do estoque inteiro é escolhida ao acaso e verifica-se que ela está
fora das especificações, de qual fornecedor ela é mais provável de ter vindo ?
(Resposta = B : P(A) ∼
= 0,46 e P(B) ∼
= 0,54)
10. Três maquinas A B e C apresentam, respectivamente, 10%, 20% e 30% de defeituosos
na sua produção. Se as três maquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos
uma peça ao acaso da produção global qual é a probabilidade que seja perfeita?
(Resposta = 0,80)
11. Duas ambulâncias são mantidas em um posto para atender emergências. Devido a
vários problemas, como por exemplo, manutenção, a probabilidade de que cada ambu-
lância esteja disponível é 0,9. A disponibilidade de uma ambulância é independente
da outra.
a) Em um acidente qual é a probabilidade de que as duas ambulâncias estejam
disponíveis? (Resposta = 0,81)
b) Qual a probabilidade de que nenhuma esteja disponível? (Resposta = 0,01)
c) Se uma ambulância é chamada em um acidente, qual a probabilidade de que o
chamado seja atendido? (Resposta = 0,99)
12. Em um processo de fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade
seja:
0,10 de que um chip sujeitos a níveis altos de contaminação durante a fabricação
cause uma falha no produto;
0,01 de que um chip sujeitos a níveis médios de contaminação durante a fabricação
cause uma falha no produto;
e 0,001 de que um chip sujeitos a níveis baixos de contaminação durante a
fabricação cause uma falha no produto;
Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos

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de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips,
falhe? (Resposta = 0,0235)
13. Considere que a probabilidade de uma pastilha de freio conter uma grande partícula de
contaminação seja 0,01 e que as pastilhas sejam independentes, isto é, a probabilidade
de uma partícula conter uma grande partícula não é dependente das características
de qualquer uma das outras partículas. Se 15 partículas forem analisadas, qual será
a probabilidade de que nenhuma partícula grande seja encontrada? (Resp. = 0,86)
14. Um fabricante de um equipamento de teste de circuitos afirma que a probabilidade
de que seu equipamento indique que um circuito é defeituoso, se ele for defeituoso,
é p = 0,95, e que a probabilidade de que seu equipamento indique que um circuito
é bom, se ele for bom, também é p = 0,95. Deseja-se testar um grande lote de
circuitos, no qual 5% são defeituosos. Um circuito é escolhido ao acaso e testado
pelo equipamento, que indica que o circuito é defeituoso.
a) Qual a probabilidade de que este circuito seja realmente defeituoso? (Resposta
= 0,50)
b) Suponha que o parâmetro p (definido como o valor da probabilidade de o
equipamento indicar corretamente que um circuito é defeituoso, se o circuito
for defeituoso; valor que também será igual à probabilidade de o equipamento
indicar corretamente que um circuito é bom, se o circuito for bom) é um
parâmetro de projeto, que pode ser ajustado (p pode ser aumentado, apenas
tornando mais caro o desenvolvimento do equipamento). Desejamos que o valor
de p seja tal que a probabilidade de que este circuito seja realmente defeituoso,
quando o equipamento indicar que ele é defeituoso, seja 0,90. Qual deve ser
o valor de p para que isto aconteça? (Continue supondo que a proporção de
defeituosos no lote seja 5%) (Resposta: p = 0,994)
Nota: Os exercícios dessa lista se encontram nas obras referenciadas abaixo. Para um
melhor aproveitamento, aconselha-se pesquisá-las e resolver outros exercícios nelas contidos.
1. CANCHO, V.G. Notas de Aulas sobre Noções de Estatística e Probabilidade. São
Paulo: USP, 2010.
2. HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
3. MENDES, F. C. T. Probabilidade para Engenharias. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
4. MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
5. ROSS, S. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2010.