Este documento descreve o projeto estrutural de lajes de concreto armado para um edifício. Ele apresenta a classificação, cálculo e dimensionamento de lajes maciças de concreto armado, considerando seu comportamento estrutural como placas bidimensionais. Inclui a determinação das condições de apoio, cálculo de esforços e compatibilização dos momentos entre lajes adjacentes.

1. ES-013
Exemplo de um Projeto Completo de um
Edifício de Concreto Armado
São Paulo
agosto - 2001

2. 2 – Lajes de Concreto Armado
2.1 Lajes Maciças de Concreto Armado
2.1.1
Introdução
Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente
normais ao seu plano médio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes
transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares,
através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo.
Figura 2-1 – Representação de uma laje [FUSCO]
O comportamento estrutural primário das lajes é o de placa, que por definição, é uma
estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h),
com esforços externos aplicados perpendicularmente a S.
As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais,
comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento
dos pilares em cada piso (contraventando-os).
Figura 2-2 – Comportamento das placas [FUSCO]
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fl. 2

3. As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses
[ABNT-2]:
Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente
estreitas;
Representação dos elementos por seu plano médio.
Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o
cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das
vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação,
considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser
desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas
apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes,
justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez
à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se,
em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto,
a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a
compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da
laje [ISHITANI-1].
As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e
dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.
2.1.2
Classificação
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única
direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem
ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções,
podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa,
utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta
sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as
condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou
não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo
de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de
engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se
tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny,
Timoshenko).
A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparandose a relação entre os vãos (dimensões) da laje. Desta forma, temos:
lajes armadas em cruz, quando
ly
lx
≤ 2, e
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4. C
lx
flecha a
D
D
C
ly ≤ 2 lx
Figura 2-3 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)
lajes armadas numa só direção, quando
P1
lx
A
V1
ly
lx
> 2.
P2
flecha a
B
B
V
P
A
P4
ly
Figura 2-4 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)
Lembramos que nas “lajes armadas em uma direção” sempre existe uma armadura
perpendicular à principal, de distribuição.
2.1.3
Ações a considerar
As cargas verticais que atuam sobre as lajes são consideradas geralmente uniformes,
algumas o são de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em
cruz, são transformadas em cargas uniformes utilizando hipóteses simplificadoras.
Referimo-nos sempre às lajes de edifícios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de
pontes, por exemplo, o cálculo deve ser mais preciso.
As principais cargas a se considerar são:
Peso próprio da laje;
Peso de eventual enchimento;
Revestimento;
Paredes sobre lajes;
Carregamento acidental.
O método para o levantamento destas cargas é indicado no Capítulo 1.
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5. 2.1.4
Pré-dimensionamento (Aplicação ao Edifício Exemplo)
O pré-dimensionamento das lajes já foi realizado no capítulo anterior e desta forma,
apenas transcrevemos os resultados:
Tabela 2-1 – Pré-dimensionamento das lajes (cópia da Tabela 1.3)
Laje
L1=L3=L8=L10
L2=L4=L9=L11
L5=L6
L7
2.1.5
lx (m)
4,31
4,60
2,75
3,60
ly (m)
5,59
5,69
2,76
3,80
0,7 ly (m)
3,91
3,98
1,93
l* (m)
3,91
3,98
1,93
n(*)
1
2
3
d (cm)
9,4
9,2
4,2
h (cm)
10
10
7
10
Vãos Teóricos
O item 3.3.2.3 da NB-1 ensina a calcular os vãos teóricos de uma laje. Em edifícios, as
vigas são geralmente de pequena largura, como no edifício exemplo. Neste caso, pode-se
adotar sempre como vão teórico a distância entre os eixos das vigas de apoio.
l x = vão menor
Por convenção, suporemos sempre 
l y = vão maior
2.1.6
Determinação das Condições de Apoio das Lajes
Admitem-se três tipos de apoio para as lajes:
Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço);
Figura 2-5 – Corte de uma laje em balanço (bordo livre)
Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem
impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas);
Figura 2-6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)
Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da
laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez).
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6. Figura 2-7 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)
2.1.6.1
Lajes Isoladas
Para lajes isoladas, admite-se que se utilize:
Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez;
Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal;
Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.
Figura 2-8 – Convenção utilizada para a representação dos apoios
2.1.6.2
Painéis de Lajes
Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o
bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como
mostra a próxima figura:
Figura 2-9 – Lajes contíguas
Casos Particulares
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7. Figura 2-10 – Lajes em níveis diferentes
Figura 2-11 – Lajes com inércias muito diferentes
Figura 2-12 – Lajes com vãos muito diferentes
2

l menor ≥ 3 l maior




2
l
l maior
menor <

3

→
→
Figura 2-13 – Condição de apoio parcial de lajes
Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos
esforços de engastamento.
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8. 2.1.7
Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico)
Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses:
Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente;
Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis;
Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.
2.1.7.1
Lajes Armadas em Uma Direção
a) Lajes Isoladas
Figura 2-14 – Determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção
b) Lajes Contínuas
Figura 2-15 – Laje armada em uma direção contínua
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9. 2.1.7.2
Lajes Armadas em Duas Direções
Pelo fato de apresentarem dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em
cruz apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na
figura), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, mx e my.
mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx;
my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.
B
lx
α
A
ly
B
α
A
ao
ly
C
C
lx ≤ ly
ao
ao
Figura 2-16 – Lajes armadas em cruz
Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo,
a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (mα = momento por unidade de
largura atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto
de armadura paralela ao lado lx, para resisitir a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a
my. Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por:
mα = mx cos2 α + my sen2 α
( 2.1 )
Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos
aos lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje.
A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é
bastante trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito.
Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com
coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas.
Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes
isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes
adjacentes, como veremos no item b.
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10. a) Lajes Isoladas
As tabelas do tópico 2.2 reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída em
lajes retangulares. O lado lx é sempre o menor. A notação m significa momento fletor por
unidade de largura (por metro) de laje. O cálculo é imediato:
mx =
my =
pl 2
x
αy
mbx =
pl 2
x
βx
mby =
( 2.2 )
pl 2
x
αx
pl 2
x
βy
onde,
αx, αy, βx e βy
p
m x e my
mbx e mby
são coeficientes tabelados
é a carga atuante;
são os momentos positivos,
mx na direção x e my na direção y;
são os momentos negativos de borda,
mbx na direção x e mby na direção y.
Observa-se que as tabelas enfrentam o problema também quando K > 2. Podemos,
portanto, calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz.
Figura 2-17 – Distribuição de esforços (pela Teoria da Elasticidade) [FUSCO]
b) Lajes Contíguas
O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da
compatibilização dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas:
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11. mb12
( 2.3 )
 mb1 + mb 2

2

≥ 0,8 ⋅ mb1
0,8 ⋅ m
b2


Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o
momento positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminuído:
se
mbi < mb12 → mi,final = mi + 0,5(mbi − mb12 )
( 2.4 )
O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não pode ser reduzido.
2.1.8
Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último – E.L.Últ.)
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente,
b = 1 m = 100 cm) e altura igual à espessura total da laje, h.
a) Altura útil
A armadura de flexão será distribuída na largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos,
num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si.
Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o
momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx é maior do que my;
por isso, costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento
fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx),
fig. 2.7.
100 cm
dx
Asy
dy
dx
dy
φy
h
φx
c
Asx
Figura 2-18 – Altura útil
Conforme a figura, tem-se:
dx = h - c - φx / 2
dy = h - c - φx - φy / 2
( 2.5 )
onde
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12. c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes
protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)
φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx
φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my .
Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se
adotar aproximadamente:
dx ≅ h - c - 0,5 cm
dy ≅ h - c - 1 cm
( 2.6 )
b) Cálculo das Armaduras
Tem-se uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e
altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my ) em valor característico. A altura d é igual a
dx para o momento fletor mx e, dy para o momento fletor my. O momento fletor de cálculo é
dado por:
md = γf mk = 1,4 mk
( 2.7 )
100 cm
0,85fc
d
h
0,8
md
Rcd
Rsd
Figura 2-19 – Armadura de flexão
Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça sub-armada
com armadura simples (x ≤ x34). Assim, conforme a fig. 2.8, a equação de equilíbrio
conduz a:
0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md
( 2.8 )
resultando, para a altura da zona comprimida o valor

md
x = 1,25d1 − 1 −
0,425bd 2 fcd






( 2.9 )
(x ≤ x34)
e a armadura
As =
( 2.10 )
md
f yd (d − 0,4 x )
onde
e
As = Asx , para m = mx
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13. As = Asy para m = my.
Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm
e As em cm2 / m.
2.1.9
Cálculo das Reações de Apoio
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme,
permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos
triângulos ou trapézios determinados por meio das charneiras plásticas correspondentes à
análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas
charneiras podem ser (de maneira aproximada) representadas por retas inclinadas, a
partir dos vértices da laje, com ângulos de:
45o entre dois apoios de mesmo tipo;
60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre (NBR6118).
Outra forma de representar estas charneiras, utilizada pelo prof. Lauro Modesto, é a de
traçar sempre as charneiras pelas bissetrizes entre as arestas das lajes.
Os resultados para o edifício exemplo já foram apresentados no Capítulo 1.
Figura 2-20 – Charneiras plásticas [FUSCO]
2.1.10 Esbeltez das Lajes
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14. Um estado limite de utilização que não pode ser esquecido nas lajes é o de deformação
excessiva. A flecha da laje não pode exceder a flecha máxima admissível.
Segundo o item 4.2.3.1 da NB-1/78, o cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no
Estádio I de comportamento do concreto (seção não fissurada) com:
E cs = 0,9 ⋅ 6600 fck + 3,5
( 2.11 )
(MPa) E cs = 0,85 ⋅ 5600 fck
Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são:
a) Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas equações para o cálculo de
deformações elásticas na viga de largura unitária;
b) Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny .
a=
( 2.12 )
pl 4
x
, onde α2 é um valor tabelado
3
E csh α 2
As deformações devem ser verificadas para cargas de curta e longa duração:
( 2.13 )
 lx

Curta duração: a1 ≤  500
l
 x
→ para balanços
 250
 lx

Longa duração: a 2 ≤  300
l
 x
→ para balanços
150
onde lx é o vão teórico menor.
No mesmo artigo, a NB-1/78 dispensa o cálculo da flecha desde que uma determinada
condição seja verificada. Para isto, fornece coeficientes ψ2 e ψ3. Não recomendamos tal
verificação. É igualmente simples e geralmente mais econômico calcular as flechas a1 e
a2, para as cargas acima referidas, e verificar diretamente as condições (2.11) e (2.12).
Para o cálculo da flecha proveniente do carregamento de curta duração deve-se
considerar p * = 0,7q , de acordo com o item 5.4.2.2 da NB-1.
Para a estimativa da flecha de longa duração, sob carregamento total, é necessário
levarmos em conta o efeito da fluência.
Considerando o item 4.2.3.1 da NB-1/78, temos:
flecha final = a inicial
(1 )final
r
1
(r )inicial
= a inicial
3ε c + ε s
(εc e εs em valor absoluto)
εc + εs
( 2.14 )
Para a compatibilidade das deformações:
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15. εc
kx
x
x
; kx =
=
=
d
εs d − x 1 − k x
( 2.15 )
de modo que,
(1 )final
r
1
(r )inicial
( 2.16 )
= 1+ 2k x
e desta forma,
a final = a inicial (1 + 2k x )
( 2.17 )
A expressão acima foi mostrada por MOREIRA DA ROCHA [7]. MACHADO [1] retomou o
problema e mostrou que, no estádio I (lajes), um valor razoável de kx é igual a 0,7. Sendo
assim, pela (2.17):
a final = a inicial (1 + 2 ⋅ 0,7 ) = 2,4 ⋅ a inicial no caso de lajes.
( 2.18 )
MACHADO sugere então, para o cálculo de afinal, que se trabalhe com Ecs inicial constante
(2.12), mas que se adote:
( 2.19 )
p * = 2,4g + 0,7q para o cálculo de a2.
2.1.11 Cisalhamento em Lajes: Verificação (ELÚlt.)
A NBR6118/78 permite a dispensa da armadura de cisalhamento para lajes pouco
solicitadas, o que é o caso usual de lajes de edifícios.
Para dispensarmos a armadura de cisalhamento, devemos verificar duas condições:
a) Verificação da resistência do concreto
τ wd ≤ τ wu
( 2.20 )
onde,
τ wd =
( 2.21 )
vd γf ⋅ vk
=
bd
bd
e
τ wu = β ⋅ 0,25 fcd ≤ 4,5 MPa com β = 0,5
(considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura
transversal inclinada a 45o)
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( 2.22 )
fl. 15

16. b) Verificação da dispensa da armadura transversal de cisalhamento
Para que possamos dispensar a armadura transversal em lajes, devemos verificar:
τ wd ≤ τ wu1
( 2.23 )
com
( 2.24 )
τ wu1 = ψ 4 fck (em MPa)
sendo,
( 2.25 )
ψ 4 = 0,60 4 ρ1 para h ≤ 15cm
Onde ρ1 é a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.
2.1.12 Escolha das Barras e Espaçamentos
Dimensionadas as armaduras e feitas todas as verificações necessárias, resta-nos
detalhar as armaduras. Para a correta escolha de bitolas e de espaçamento, é preciso
lembrar de algumas prescrições normativas:
a) Bitola máxima das barras
A bitola máxima, definida pela NB-1, é:
φ máx =
( 2.26 )
h
10
Recomenda-se utilizar como bitola mínima φ = 4mm e utilizar para a armadura negativa,
no mínimo φ = 6,3mm, para evitar que esta se amasse muito (pelo peso de funcionários)
antes da concretagem, o que reduz a altura útil da laje. Desta forma, devemos respeitar:
( 2.27 )
4mm ( + ) 
h
≤φ≤
10
6,3mm ( − )
b) Taxas de armadura mínimas de flexão
Utilizando aços CA-40, 50 ou 60, devemos respeitar:
Armadura Negativa: A s,mín = 0,15% de bh
( 2.28 )
0,10% de bh para lajes armadas em 2 direções
Armadura Positiva: A s,mín = 
0,15% de bh para lajes armadas em 1 direção
( 2.29 )
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fl. 16

17. Comentários:
O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é:
As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura
“principal” fosse menor que a de distribuição.
A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos que haja
estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T.
c) Espaçamento das barras
Lajes armadas em cruz:
Lajes armadas em 1 direção:
O espaçamento máximo da armadura principal positiva
é 20cm.
O espaçamento máximo da armadura principal positiva
é 20 cm ou 2h.
Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se utilizar o espaçamento s, entre as
barras de no mínimo 8cm.
d) Armadura de distribuição
Nas lajes armadas numa só direção, a armadura de distribuição deve:
Ser ≥ 20% da área da armadura principal;
Ser ≥ 0,9 cm2/m;
Ter espaçamento s ≤ 33cm.
Utiliza-se também a armadura de distribuição para apoiar a armadura negativa das lajes.
e) Definição das barras e espaçamentos
Bitolas comerciais
100 cm
h
s
s
φ(mm)
4
5
6,3
8
10
12,5
As1(cm2)
0,125
0,2
0,315
0,5
0,8
1,25
m1(kg/m)
0,1
0,16
0,25
0,4
0,63
1,0
φ = diâmetro nominal da barra em mm
As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2
m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m
Figura 2-21 – Escolha das barras (bitola x espaçamento)
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fl. 17

18. Calculada a área de aço As por metro de laje, e conhecendo a área da seção transversal
de uma barra (As1) de uma determinada bitola (Figura 2-21), determinamos a quantidade
mínima de barras necessária em 1m de laje:
n=
( 2.30 )
As
A s1
Com a quantidade de barras, determinamos o espaçamento entre as barras:
100
(em cm)
s=
n
( 2.31 )
Para escolher as barras e espaçamentos, podemos fazer também uso de tabelas:
2
Tabela 2-2 - Área da seção da armadura por metro de laje (cm /m)
Espaç.
cm
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Bitola
3,2
1,14
1,00
0,89
0,80
0,73
0,67
0,62
0,57
0,53
0,50
0,47
0,44
0,42
0,40
4
1,79
1,56
1,39
1,25
1,14
1,04
0,96
0,89
0,83
0,78
0,74
0,69
0,66
0,63
5
2,86
2,50
2,22
2,00
1,82
1,67
1,54
1,43
1,33
1,25
1,18
1,11
1,05
1,00
6,3
4,50
3,94
3,50
3,15
2,86
2,63
2,42
2,25
2,10
1,97
1,85
1,75
1,66
1,58
8
7,14
6,25
5,56
5,00
4,55
4,17
3,85
3,57
3,33
3,13
2,94
2,78
2,63
2,50
10
11,43
10,00
8,89
8,00
7,27
6,67
6,15
5,71
5,33
5,00
4,71
4,44
4,21
4,00
12,5
17,86
15,63
13,89
12,50
11,36
10,42
9,62
8,93
8,33
7,81
7,35
6,94
6,58
6,25
16
28,57
25,00
22,22
20,00
18,18
16,67
15,38
14,29
13,33
12,50
11,76
11,11
10,53
10,00
2.1.13 Detalhamento das Armaduras
a) Armadura Positiva
É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φ ou 6cm no
apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas.
Alguma economia pode ser conseguida utilizando barras alternadas, que podem ter seu
comprimento reduzido de 0,2 lx.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 18

19. Figura 2-22 – Armadura positiva – barras alternadas
b) Armadura Negativa
Devem cobrir o diagrama de momento fletor negativo. Em geral, utiliza-se uma extensão
lx/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes, adota-se lx = l>vão).
Deve ser utilizada uma “armadura de borda” ao longo dos apoios livres, para combater a
eventual fissuração decorrente do engaste parcial. Costuma-se adotar barras com
comprimento de lx/5 com porcentagem de armadura igual à mínima, restringindo o
espaçamento entre as barras a 2h, devendo-se lembrar da armadura de distribuição
associada.
Figura 2-23 – Armadura de borda
Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje
adjacente, com extensão de lbalanço.
Alguma economia pode ser feita utilizando barras alternadas:
Figura 2-24 – Armadura negativa – barras alternadas
Quando não houver viga em algum bordo de uma laje, deve ser feito um “gancho” com a
armadura positiva ou negativa para proteger a borda da laje.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 19

20. Figura 2-25 – Armadura de proteção (bordos sem vigas)
20φ
Figura 2-26 – Armadura de proteção (furo em laje – bordos sem vigas)
2.1.14 Desenho das Armaduras
Determinados a bitola e o espaçamento das barras pode ser feito nos “croquis” das
fôrmas um desenho esquemático das armaduras. O esquema mais importante é o da
armadura negativa, onde aparecem os detalhes: comprimento da barra sem considerar os
ganchos e dimensões de um lado e de outro do eixo da viga.
2.1.15 Tabela de Ferros e Tabela Resumo
Fica por conta do desenhista, com fiscalização do engenheiro calculista, os detalhes
restantes, como por exemplo, número da barra (ou posição número tal), número de
barras, comprimento total da barra incluindo ganchos, etc.
No fim, o desenho deve apresentar a “tabela de ferros”:
No.
φ (mm)
Quant.
...
...
...
Comprimento (m)
Unitário
Total
...
...
Figura 2-27 – Tabela de Ferros
Seguida da “tabela-resumo”:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 20

21. φ (mm)
C. Total
(m)
Peso
(kg)
...
...
...
Figura 2-28 – Tabela Resumo
Com as tabelas-resumo, o construtor encomenda o aço necessário à obra. A coluna “kg”
pode incluir um peso adicional de 10% como previsão para as perdas inevitáveis no corte
das barras.
2.1.16 Funcionamento Global das Lajes
As lajes possuem grande capacidade de acomodação plástica, permitindo o cálculo na
ruptura em regime rígido plástico, sem maiores indagações sobre a capacidade de
rotação das charneiras plásticas.
Entretanto, quando precisarmos que a laje funcione também como chapa:
Deveremos admitir uma redistribuição máxima de 15% dos momentos negativos
calculados em regime elástico, evitando a formação de charneiras plásticas;
A laje não deve ser calculada pelo método das charneiras plásticas.
Trabalhando como chapa, as lajes contraventam a estrutura, ajudando a garantir a
integridade estrutural tridimensional da estrutura como um todo. A garantia do
comportamento de chapa das lajes decorre do detalhamento adequado das ancoragens,
conforme mostram as próximas figuras.
Figura 2-29 – Ancoragens das armaduras das lajes para o seu funcionamento como chapa
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 21

22. 2.1.17 Aplicação ao Edifício Exemplo
Neste item serão apresentados os cálculos das lajes L1 e L7 do edifício exemplo,
tomando como base a teoria apresentada anteriormente. Inicialmente, será feito o cálculo
da laje L7 e posteriormente será apresentado o cálculo da laje L1.
a) Laje L7
A laje 7 é uma laje de tipo especial: em forma de L, com duas bordas livres. Dificilmente
encontraremos tabelas para tais casos. O cálculo “exato”, pela Teoria da Elasticidade ou
utilizando um programa de elementos finitos, como já dissemos, é bastante trabalhoso e
não se justifica pela dimensão do problema. Faremos, então, um cálculo aproximado bem
simples, a favor da segurança.
Hipótese Simplificadora:
A faixa com 1,97m de largura apóia-se nas vigas V6 e V11 e a faixa com 2,00m de largura
apóia-se nas vigas V18 e V20, conforme ilustra a Figura 2-30.
Pd=10,77 kN/m
my
L7
V20
V18
V6
mx
V11
Figura 2-30 – Simplificação adotada para o cálculo da laje L7
A laje L7 apresenta carregamento permanente de 4,69 kN/cm² e carregamento variável de
3,0 kN/cm², o que resulta em um carregamento total de 7,69 kN/cm². Dessa maneira, o
valor de cálculo do carregamento é igual a :
pd = 1,4.pk = 1,4.7,69 = 10,77 kN/cm²
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 22

23. Sabendo-se os carregamentos e os vãos podemos calcular os momentos nas direções x
e y. Assim, temos:
p dl 2 10,77.3,5 2
x
=
= 1648,5 kN.cm
8
8
p dl2 10,77.3,65 2
y
my =
=
= 1792,9 kN.cm
8
8
mx =
A altura da laje L7 e o cobrimento de armadura adotado baseado no Projeto de Revisão
da NBR6118 são ilustrados na Figura 2-31.
Figura 2-31 – Altura e cobrimentos de armaduras das lajes com h=10cm
Conhecidos os momentos atuantes nas duas direções é possível calcular a armadura
necessária. O cálculo é feito da seguinte maneira:
Direção x
mx = 1648,5 kN.cm (valor de cálculo)
dx = 6,5 cm
2,5
fcd =
= 1,786 kN / cm²
1,4
50
= 43,48 kN / cm²
f yd =
1,15




md
1648,5
x = 1,25 ⋅ d 1 − 1 −
 = 1,25.7,5.1 − 1 −

2
2
0,425.b.d .fcd 
0,425.100.6,5 .1,786 




x = 2,46 cm < x 34 = 0,628d = 4,08 cm → OK!
md
1648,5
As =
=
= 6,87 cm²
f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(7,5 − 0,4.2,46)
Direção y
my = 1792,9 kN.cm(valor de cálculo)
dy = 7,5 cm
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 23

24. 2,5
= 1,786 kN / cm²
1,4
50
f yd =
= 43,48 kN / cm²
1,15




md
1792,9
x = 1,25 ⋅ d 1 − 1 −
 = 1,25.6,5.1 − 1 −

2
2
0,425.b.d .fcd 
0,425.100.7,5 .1,786 




fcd =
x = 2,24 cm < x 34 = 0,628d = 4,08 cm → OK!
md
1792,9
As =
=
= 6,24 cm²
f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(6,5 − 0,4.2,24)
b) Laje L1
A laje L1 possui continuidade com as lajes adjacentes L2 e L5. Dessa maneira, os
momentos negativos devem ser calculados de maneira isolada para cada laje e então
compatibilizados. A correção do momento positivo sempre deve ser feita no lado em que
o momento negativo atuante é menor que o momento negativo compatibilizado. A Figura
2-32 ilustra a denominação adotada para os momentos atuantes nas lajes de maneira
isolada e compatibilizada.
mx1
mby1
L1
mbx2
mb12
L2
mbx5
mb15
my1
L5
Figura 2-32 – Momentos atuantes nas lajes adjacentes a L1
Conhecidos os carregamentos, os vãos e as condições de vinculação das lajes isoladas
pode-se obter os esforços solicitantes por meio da utilização das Tabelas de Czerny,
fornecidas no item 2.2.
A laje L1 possui três bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada, dessa
maneira, trata-se de uma laje do Tipo 2A. A partir da relação entre os vãos da laje é
possível entrar na tabela citada anteriormente e obter os coeficientes para o cálculo dos
esforços solicitantes. Assim, temos que:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 24

25. α x = 19,5
555

Tabela − Tipo 2 A
=
= 1,28     → α y = 23,7

l x 432
 β = 9,7
 y
ly
p d = 1,4.p = 1,4.6,89 = 9,65 kN / m²
mx 1 =
p d .lx 2 9,65.4,32 2
=
= 9,23 kN.m = 923,2 kN.cm
19,5
αx
my 1 =
p d .lx 2 9,65.4,32 2
=
= 7,60 kN.m = 759,9 kN.cm
23,7
αy
mby 1 =
p d .lx 2 9,65.4,32 2
=
= 18,56 kN.m = 1856,6 kN.cm
9,7
βy
A laje L2 possui duas bordas adjacentes engastadas e duas bordas livremente apoiadas.
Dessa maneira, temos uma laje do Tipo 3.
ly
lx
=
565
Tabela Tipo 3
= 1,23  −→ β x = 11,7
460
p d = 1,4.p = 1,4.7,19 = 10,07 kN / m²
mbx 2 =
p d .lx 2 10,07.4,6 2
=
= 18,2 kN.m = 1821,2 kN.cm
11,7
βx
A Laje L5, por sua vez, possui 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor
engastada e outra livremente apoiada. Dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 5B.
ly
lx
=
275
Tabela Tipo 5B
= 1,01  −  → β x = 16,2

273
p d = 1,4.p = 1,4.6,55 = 9,17 kN / m²
mbx 5 =
p d .lx 2 9,17.2,73 2
=
= 4,2 kN.m = 421,9 kN.cm
16,2
βx
Após calcular os momentos negativos atuantes na laje 1 e nas lajes adjacentes é
necessário então fazer a compatibilização dos momentos fletores negativos. O momento
compatibilizado é o maior valor entre a média dos momentos negativos e 80% do maior
momento negativo. Dessa maneira, temos na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte
compatibilização:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 25

26. mb 12
 mby 1 + mbx 2 1856,6 + 1821,2
=
= 1838,9 kN.cm

2
2

≥

0,8.mby 1 = 0,8.1856,6 = 1485,3 kN.cm


Na continuidade existente entre as lajes L1 e L5 o momento compatibilizado é dado por:
mb 15
mbx 5 421,9

=
= 211kN.cm

2
2

≥
0,8.mbx = 0,8.421,9 = 337,5 kN.cm
5


Feita a compatibilização dos momentos negativos é necessário corrigir os momentos
positivos da laje L1. Isto é feito da seguinte maneira:
mby 1 − mb 12
1856,6 − 1838,9
= 759,9 +
= 768,8 kN.cm
2
2
mb15 > mbx 1 = 0 → mx 1 = 923,2 kN.cm
mb 12 < mby 1 → my 1 = my 1 +
Uma vez obtidos os esforços finais (momentos corrigidos e compatibilizados), podemos
então calcular as armaduras necessárias. A rotina de cálculo para o cálculo das
armaduras é a mesma apresentada para a laje L7. Dessa maneira, temos:
mx1 = 923,2 kN.cm (valor de cálculo)
d = 7,5 cm
2,5
= 1,786 kN / cm²
1,4
50
= 43,48 kN / cm²
f yd =
1,15




md
923,2
x = 1,25.d1 − 1 −
 = 1,25.7,5.1 − 1 −

2
2
0,425.b.d .fcd 
0,425.100.7,5 .1,786 




fcd =
x = 1,1cm < x 34 = 0,628d = 4,7cm → OK!
md
923,2
As =
=
= 3,0 cm²
f yd (d − 0,4.x ) 43,48.(7,5 − 0,4.1,1)
Realizando os mesmos cálculos descritos anteriormente para os vários momentos
atuantes na laje L1, chega-se as armaduras apresentadas na Tabela 2-3. Deve-se
observar que a altura da laje L5 é igual a 7cm, e por isso, a altura útil (d) é igual a 4,5 cm.
Essa condição foi utilizada no cálculo da armadura necessária para vencer o momento
negativo mb15.
Tabela 2-3 – Armaduras necessárias para a laje L1
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 26

27. mx1
my1
mb12
mb15
As (cm²/m)
3,00
2,91
6,43
1,83
d(cm)
7,5
6,5
7,5
4,5
Após calculadas as armaduras resistentes é necessário verificar a flecha da laje satisfaz
os valores limites.
Da Tabela 2A temos que α 2 = 17,9 , tal que:
pl 4
x
a=
3
Eh α 2
Do Projeto de Revisão da NBR6118 temos que:
E = E cs = 0,85.5600. fck = 0,85.5600. 25 = 23800 MPa = 2380 kN / cm²
lx = 4,32 m
h = 10 cm
0,7q = 0,7.1,5 = 1,05 kN / cm² (inicial)

p=
2,4g + 0,7q = 2,4.5,39 + 0,7.1,5 = 13,99 kN / cm² ( final)
lx
= 0,86 cm → OK!
500
l
= 1,14 cm < x = 1,44 cm → OK!
300
ainicial = 0,09 cm <
a final
Dessa maneira, as flechas da laje L1 estão dentro dos limites estabelecidos por norma.
Finalmente, é preciso fazer a verificação da laje quanto ao cisalhamento junto aos apoios.
O primeiro passo é a verificação do concreto:
Vd
≤ τ wu
bd
Vd,max = 1,4.(23,9 + 4,9) = 40,04 kN / m
40,04
τ wd =
= 0,04 kN / cm²
10.100
τ wu = 0,5.0,25.fcd = 0,223 kN / cm²
τ wd =
τ wd ≤ τ wu → OK!
Como a tensão de cisalhamento atuante é menor que o valor último de cisalhamento do
concreto utilizado pode-se garantir que não haverá ruptura do concreto nas regiões de
apoio da laje L1. No entanto, deve ser feita uma nova verificação, para avaliar se a laje L1
precisará de armadura transversal. Esse cálculo segue a seguinte rotina:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 27

28. τ wd = 0,04 kN / cm²
A s,existente
6,43
= 0,00643
b.h
10.100
ψ 4 = 0,60 4 ρ1 = 0,60 4 0,00643 = 0,17
ρ1 =
=
τ wu1 = ψ 4 fck = 0,17 25 = 0,085kN / cm²
Como τ wd < τ wu1 não é necessário dispor armadura transversal.
Calculadas as armaduras deve-se então fazer o detalhamento final da laje L1. A escolha
das barras e os espaçamentos máximos são feitos utilizando os critérios abaixo:
Escolha da bitola →
4 mm
h
≤φ ≤
= 10mm
6,3 mm
10
Escolha do espaçamento → 8 cm ≤ s ≤ 20 cm
As armaduras mínimas calculadas para a laje L1 são dadas abaixo:
+
A s,min = 0,10.10 = 1cm² / m
−
A s,min = 0,15.10 = 1,5 cm² / m
O cálculo do número de barras para o momento negativo mb12 é apresentado abaixo:
As = 6,43 cm²/m
As1= 0,8 cm² (φ10 mm)
A
6,43
n= s =
= 8,04 barras / m
A s1
0,8
100
s=
= 12,4 → s = 12 cm → N1 - φ10 c/ 12cm
8,04
N1 - φ10 c/12 cm
Do mesmo modo, procede-se para as demais armaduras, de maneira que é possível
montar a Tabela 2-4.
Tabela 2-4 – Bitolas e espaçamentos de armaduras para a laje L1
mx1
my1
mb12
mb15
As (cm²/m)
3,00
2,91
6,43
1,83
Bitolas e Espaçamento
φ6,3 c/10 cm
φ6,3 c/10 cm
φ10 c/12 cm
φ6,3 c/17 cm
Calculadas as armaduras, resta-nos determinar os desenhos de armação e as tabelas
resumo:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 28

29. P1
P2
(19/65)
P4
P3
(110/19)
V1(19/55)
(20/40)
(20/40)
V9(19-12/55)
(20/285)
(20/140)
V5(12/55)
V7(12/55)
L5
h=7cm
V15(12/55)
(19/65)
P10
V3(12/55)
(20/140)
P8
V4(19-12/55)
P13
P9
P14
(20/160)
L7
h=10cm
V8(12/55)
19 N3 - 0 10 c/ 11 - c= 379
17 N6 - 0 10 c/ 12 - c= 364
(19/65)
L2
h=10cm
V18(10/40)
P7
L1
h=10cm
13 N5 - 0 10 c/ 12 - c= 231
V14(19/55)
54 N2 - 0 6,3 c/ 10 - c= 446
42 N1 - 0 6,3 c/ 10 - c= 569
V11(12/55)
13 N4 - 0 10 c/ 11 - c= 236
P15
(20/160)
Figura 2-33 – Armaduras positivas
P1
P2
L1
h=10cm
P9
P10
V3(12/55)
(20/140)
(20/140)
70
V5(12/55)
112
112
15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236
V7(12/55)
P14
(20/160)
L9
h=10cm
V11(12/55)
112
112
15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236
L7
h=10cm
88
V9(19-12/55)
L5
h=7cm
(20/285)
P15
(20/160)
88
V15(12/55)
(19/65)
108
16 N9 - 0 6,3 c/ 17 - c= 225
P7
P13
V18(10/40)
P8
15 N12 - 0 5 c/ 13 - c= 188
L2
h=10cm
27 N11 - 0 5 c/ 13 - c= 83
115
115
35 N8 - 0 10 c/ 12 - c= 242
V4(19-12/55)
(19/65)
(20/40)
(20/40)
108
V14(19/55)
21 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99
32 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99
P4
P3
(110/19)
V1(19/55)
42 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99
(19/65)
L8
Figura 2-34 – Armaduras negativas
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 29

30. No.
φ (mm)
Quant.
1
...
6,3
...
42
...
Comprimento
Unitário (cm) Total (m)
569
239
...
...
φ (mm)
C. Total
(m)
Peso
(kg)
6,3
...
239
...
59,75
...
2.1.18 Referências Bibliográficas
[1] MACHADO, Claudinei Pinheiro – Fixação prática e econômica das espessuras de lajes
usuais maciças e nervuradas de concreto armado.
[2] FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 30

31. 2.2 Tabelas de Czerny
TABELA 1 - TIPO 1
Laje com as 4 bordas livremente apoiadas
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
22,7
20,8
19,3
18,1
16,9
15,9
15,2
14,4
13,8
13,2
12,7
12,3
11,9
11,5
11,2
10,8
10,7
10,4
10,2
10,1
9,9
8,0
βx
βy
22,7
22,5
22,3
22,3
22,3
22,4
22,7
22,9
23,1
23,3
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
23,5
α2
21,4
19,4
17,8
16,5
15,4
14,3
13,6
12,9
12,3
11,7
11,2
10,8
10,4
10,1
9,8
9,5
9,3
9,1
8,9
8,7
8,6
6,7
mx
ly
my
lx
mx =
pl
αx
my =
pl2
x
αy
2
x
pl 4
x
Eh 3 α 2
w max =
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
TABELA 2 - TIPO 2A
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e
uma borda menor engastada
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
32,4
29,2
26,1
23,7
22,0
20,2
19,0
17,8
16,8
15,8
15,1
14,3
13,8
13,2
12,8
12,3
12,0
11,5
11,3
10,9
10,8
8,0
26,5
25,0
24,4
23,9
23,8
23,6
23,7
23,7
23,8
23,9
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
βx
βy
α2
11,9
11,3
10,9
10,4
10,1
9,8
9,6
9,3
9,2
9,0
8,9
8,8
8,7
8,6
8,5
8,45
8,4
8,35
8,3
8,25
8,2
8,0
31,2
27,6
24,7
22,3
20,3
18,7
17,3
16,1
15,1
14,2
13,5
12,8
12,2
11,7
11,2
10,8
10,5
10,1
9,9
9,6
9,4
6,7
m’y
mx
ly
my
lx
mx =
my =
2
x
pl
α x2
pl x
αy
2
y
m′ = −
w
max
pl x
βy
4
pl x
3
=
Eh α 2
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 31

32. TABELA 3 - TIPO 2B
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e
uma borda maior engastada
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
26,5
25,7
24,4
23,3
22,3
21,4
20,7
20,1
19,7
19,2
18,8
18,3
17,8
17,5
17,2
17,0
16,8
16,5
16,4
16,3
16,2
14,2
32,4
33,3
33,9
34,5
34,9
35,2
35,4
37,8
39,9
41,1
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
42,5
11,9
11,3
10,9
10,5
10,2
9,9
9,7
9,4
9,3
9,1
9,0
8,9
8,8
8,7
8,6
8,5
8,4
8,3
8,3
8,3
8,3
8,0
βy
α2
31,2
29,2
27,4
26,0
24,8
23,8
22,9
22,1
21,5
20,9
20,4
20,0
19,6
19,3
19,0
18,7
18,5
18,3
18,1
18,0
17,8
16,7
ly
mx
m’x
my
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
m′ = −
x
pl 2
x
βx
w max =
pl 4
x
Eh 3 α 2
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
TABELA 4 - TIPO 3
Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e
as outras duas livremente apoiadas
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
βy
α2
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
34,5
32,1
30,1
28,0
26,4
24,9
23,8
23,0
22,2
21,4
20,7
20,2
19,7
19,2
18,8
18,4
18,1
17,8
17,5
17,2
17,1
14,2
34,5
33,7
33,9
33,9
34,0
34,4
35,0
36,6
37,8
39,1
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
40,2
14,3
13,3
12,7
12,0
11,5
11,1
10,7
10,3
10,0
9,8
9,6
9,4
9,2
9,1
8,9
8,8
8,7
8,6
8,5
8,4
8,4
8,0
14,3
13,8
13,6
13,3
13,1
12,9
12,8
12,7
12,6
12,5
12,4
12,3
12,3
12,2
12,2
12,2
12,2
12,2
12,2
12,2
12,2
12,0
41,3
37,1
34,5
31,7
29,9
28,2
26,8
25,5
24,5
23,5
22,7
22,1
21,5
21,0
20,5
20,1
19,7
19,4
19,0
18,8
18,5
16,7
m’y
ly
mx
m’x
my
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
m′ = −
x
pl 2
x
βx
m′ = −
y
pl 2
x
βy
w max =
pl x
3
Eh α 2
4
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 32

33. TABELA 5 - TIPO 4A
Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas
menores engastadas (carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
46,1
39,9
36,0
31,9
29,0
26,2
24,1
22,1
20,6
19,3
18,1
17,0
16,2
15,4
14,7
14,0
13,5
13,0
12,6
12,1
11,8
8,0
βx
βy
α2
14,3
13,4
12,7
12,0
11,5
11,1
10,7
10,3
10,0
9,75
9,5
9,3
9,2
9,05
8,9
8,8
8,7
8,6
8,5
8,4
8,4
8,0
31,6
29,8
28,8
27,7
26,9
26,1
25,6
25,1
24,8
24,6
24,4
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
24,3
45,3
39,2
34,4
30,4
27,2
24,5
22,3
20,4
18,8
17,5
16,3
15,3
14,4
13,7
13,0
12,4
11,9
11,4
11,0
10,6
10,3
6,7
m’y
mx
ly
my
m’y
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
m′ = −
y
pl 2
x
βy
w max =
pl 4
x
Eh 3 α 2
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
TABELA 6 - TIPO 4B
Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores
livremente apoiadas (carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
31,6
29,9
29,0
28,0
27,2
26,4
25,8
25,3
24,8
24,4
24,2
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
46,1
46,4
47,2
47,7
48,1
48,2
48,1
47,9
47,8
47,7
47,6
47,6
47,6
47,6
47,4
47,3
47,2
47,1
47,1
47,1
47,0
47,0
14,3
13,8
13,5
13,2
13,0
12,7
12,6
12,4
12,3
12,2
12,2
12,1
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
βy
α2
45,3
43,2
41,5
40,1
39,0
37,9
37,2
36,5
36,0
35,6
35,1
34,7
34,5
34,2
33,9
33,8
33,7
33,6
33,5
33,4
33,3
32,0
ly
mx
m’x
m’x
my
lx
mx =
pl
αx
my =
pl2
x
αy
2
x
m′ = −
x
pl 2
x
βx
w max =
pl 4
x
Eh 3 α 2
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 33

34. TABELA 7 - TIPO 5A
Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e
outra livremente apoiada
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
βy
α2
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
44,6
41,7
38,1
34,9
32,1
29,8
28,0
26,4
25,2
24,0
23,1
22,3
21,7
21,1
20,4
20,0
19,5
19,1
18,7
18,4
18,0
14,2
38,1
37,3
36,7
36,4
36,2
36,1
36,2
36,6
37,0
37,5
38,3
39,3
40,3
41,4
42,7
43,8
44,8
45,9
46,7
47,7
48,6
48,6
18,3
16,6
15,4
14,4
13,5
12,7
12,2
11,6
11,2
10,9
10,6
10,3
10,1
9,9
9,7
9,5
9,4
9,2
9,0
8,9
8,8
8,0
16,2
15,4
14,8
14,3
13,9
13,5
13,3
13,1
13,0
12,8
12,7
12,6
12,6
12,5
12,5
12,4
12,4
12,3
12,3
12,3
12,3
12,0
55,4
49,1
44,1
40,1
36,7
33,8
31,7
29,7
28,1
26,6
25,5
24,5
23,6
22,8
22,1
21,5
21,0
20,5
20,1
19,7
19,3
16,7
m’y
ly
mx
m’x
my
m’y
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
pl 2
x
βx
2
pl
m′ = − x
y
βy
m′ = −
x
pl 4
x
Eh 3 α 2
w max =
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
TABELA 8 - TIPO 5B
Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e
outra livremente apoiada
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
βy
α2
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
38,1
35,5
33,7
32,0
30,7
29,5
28,4
27,6
26,8
26,2
25,7
25,2
24,8
24,5
24,2
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
24,0
44,6
44,8
45,7
47,1
47,6
47,7
47,7
47,9
48,1
48,3
48,7
49,0
49,4
49,8
50,2
50,7
51,3
52,0
52,6
53,4
54,1
54,0
16,2
15,3
14,8
14,2
13,9
13,5
13,2
12,9
12,7
12,6
12,5
12,4
12,3
12,2
12,2
12,1
12,1
12,0
12,0
12,0
12,0
12,0
18,3
17,9
17,7
17,6
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
55,4
51,6
48,7
46,1
44,1
42,5
41,2
39,9
38,9
38,0
37,2
36,5
36,0
35,4
35,0
34,6
34,4
34,2
33,9
33,8
33,7
32,0
m’y
ly
mx
m’x
m’x
my
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
m′ = −
x
pl 2
x
βx
m′ = −
y
pl 2
x
βy
w max =
pl x
3
Eh α 2
4
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 34

35. TABELA 9 - TIPO 6
Laje com as 4 bordas engastadas
(carga uniforme)
ly / lx
αx
αy
βx
βy
α2
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
>2
47,3
43,1
40,0
37,3
35,2
33,4
31,8
30,7
29,6
28,6
27,8
27,2
26,6
26,1
25,5
25,1
24,8
24,5
24,2
24,0
24,0
24,0
47,3
47,3
47,8
48,3
49,3
50,5
51,7
53,3
54,8
56,4
57,3
57,6
57,8
57,9
57,8
57,7
57,6
57,5
57,4
57,2
57,1
57,0
19,4
18,2
17,1
16,3
15,5
14,9
14,5
14,0
13,7
13,4
13,2
13,0
12,8
12,7
12,5
12,4
12,3
12,2
12,1
12,0
12,0
12,0
19,4
18,8
18,4
18,1
17,9
17,7
17,6
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
68,5
62,4
57,6
53,4
50,3
47,6
45,3
43,4
42,0
40,5
39,5
38,4
37,6
36,9
36,3
35,8
35,4
35,1
34,7
34,5
34,3
32,0
m’y
ly
mx
m’x
m’x
my
m’y
lx
pl 2
mx = x
αx
my =
pl2
x
αy
pl 2
x
βx
2
pl
m′ = − x
y
βy
m′ = −
x
w max =
pl 4
x
Eh 3 α 2
ν = 0,2
Beton-Kalender (1976)
TABELA 10
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre
(carga triangular)
ly / lx
αx
αy
βx
βy
α2
1,00
85,5
80,5
29,0
34,5
118
1,10
73,5
78,1
25,3
32,1
94,7
1,20
65,2
77,7
22,9
30,3
79,5
1,30
57,6
78,2
21,1
29,2
69,0
1,40
52,4
80,8
19,6
28,5
61,3
1,50
48,2
83,2
18,8
28,2
55,7
2,00
37,8
94,6
16,6
27,3
43,0
>2
33,5
94,6
15,0
26,0
34,9
ly
lx
mx
m’y
m’y
my
p
m’x
Valem as mesmas fórmulas
das tabelas anteriores.
TABELA 11
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre
(carga triangular)
ly / lx
αx
1,00
80,5
αy
85,5
βx
βy
α2
34,5
29,0
118
1,10
70,3
82,9
31,1
26,9
103
1,20
62,8
80,7
28,7
25,8
92,2
1,30
57,7
78,9
26,7
24,9
85,4
1,40
54,3
77,5
25,3
24,1
80,1
1,50
51,5
76,4
23,7
23,8
76,6
2,00
45,2
73,3
20,2
21,9
70,9
>2
40,0
70,0
16,0
20,0
lx
68,0
my
m’x
mx
m’x
ly
p
m’y
Valem as mesmas fórmulas
das tabelas anteriores.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 35

36. 2.3 Lajes Nervuradas
2.3.1
Generalidades
Lajes nervuradas são lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais
podem ser postos materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície externa (laje
mista). Ainda que o material colocado entre as nervuras tenha certa resistência, não se
conta com ela (caso contrário, teremos as lajes mistas, objeto da norma NB-4).
As lajes nervuradas podem ser armadas em uma só direção, ou em cruz. Para realizar
uma laje nervurada, há vários tipos de materiais de enchimento ou de técnicas de
execução: “caixão perdido”, tijolos furados, blocos de concreto, de pumex, de isopor, etc.
As nervuras podem ficar também aparentes, não havendo o material inerte entre
nervuras, sem ou com forro falso (placas de gesso, “duratex”, etc.).
As lajes maciças cobrem em geral vãos de até 6m, e possuem grande peso próprio. Já
com as lajes nervuradas, aumentamos sua altura útil sem aumentar em demasia seu peso
próprio.
2.3.2
Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas:
(Item 6.1.1.3 da NBR6118/78)
bw
Figura 2-35 – Laje nervurada
(a = l 0 ) ≤ 100cm
(distância entre as faces das nervuras);
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 36

37. b w ≥ 4cm (largura das nervuras);
4cm

h f ≥  l 0 (altura da mesa);
15

Para lajes armadas em 1 direção, deve-se dispor de:
1 nervura distribuída para l > 4m
;

2 nervuras distribuídas para l > 6m
Nervuras com bw < 8cm não podem ter A´s no lado oposto à mesa.
As lajes nervuradas podem ser calculadas como se fossem maciças ( a ≤ 50cm) , segundo
o item 3.3.2.10 da NBR6118/78. A determinação dos esforços solicitantes pode ser feita
no regime elástico.
Seja a ou l0 a distância livre entre nervuras. A resistência da mesa à flexão deve ser
verificada quando:
l 0 > 50cm ;
Houver carga concentrada.
As nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento sempre. O valor último τwu será o de
vigas quando l 0 > 50cm e o de laje quando l 0 ≤ 50cm .
A armadura mínima de distribuição é a mesma das lajes maciças armadas numa só
direção (Item 6.3.1.1 da NB1/78).
Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter espaçamento s ≥ 20cm (Item
6.3.2.1 da NB1/78).
2.3.3
Verificação de flechas
A norma (NBR6118/78) é incompleta neste ponto (Item 4.2.3.1.c). De qualquer maneira,
não usaremos os coeficientes ψ2 e ψ3. Ao invés disto, utilizaremos a verificação de flechas
no Estádio II.
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fl. 37