Concreto II - Dimensionamento Lajes.pptx

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE
FLUMINENSE - LECIV
Graduação em Engenharia Civil
CONCRETO ARMADO II
2024/1

Conteúdos Dimensionamento lajes maciças
DEFINIÇÃO:
As lajes são classificadas como elementos planos bidimensionais, que são aqueles onde duas dimensões, o
comprimento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão, a
espessura. As lajes são também chamadas elementos de superfície, ou placas. Destinam-se a receber a
maior parte das ações aplicadas numa construção, normalmente de pessoas, móveis, pisos, paredes, e os
mais variados tipos de carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje
faz parte. As ações são comumente perpendiculares ao plano da laje, podendo ser divididas em distribuídas
na área, distribuídas linearmente ou forças concentradas.
As lajes também servem para distribuir as ações horizontais entre os elementos estruturais de
contraventamento, além de funcionarem como mesas de compressão de vigas T.

TIPOS DE LAJES
Os pisos das edificações podem ser executados com
diferentes tipos de lajes, como as lajes maciças, as lajes
nervuradas, as lajes cogumelo, além dos diversos tipos de
lajes pré-moldadas. A definição do tipo de laje a ser
utilizado depende de considerações econômicas e de
segurança, sendo uma função do projeto arquitetônico em
análise.
As lajes maciças são placas de espessura uniforme,
apoiadas ao longo do seu contorno. Este tipo de laje é
predominantemente empregado em edifícios residenciais
onde os vão são relativamente pequenos.

TIPOS DE LAJES
As lajes nervuradas são empregadas para vencer grandes
vãos, geralmente superiores a 8 metros, sendo constituídas
por nervuras, onde são colocadas as armadura longitudinais
de tração. Dessa maneira consegue-se uma redução do peso
próprio da laje, já que se elimina uma parte do concreto que
ficaria na região tracionada, caso fosse adotada a solução
em sala maciça. Neste caso, as nervuras ficam aparentes, a
menos que a face inferior da laje seja revestida com um
forro.

TIPOS DE LAJES
Alternativamente, o espaço entre as nervuras pode ser
preenchido com algum material inerte de baixo peso
específico, para tornar plana a superfície inferior da laje.
Lajotas cerâmicas
Placas de isopor (EPS)

Vão efetivo
→ No projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos teóricos (𝑙) e a relação entre eles. O
vão teórico é determinado pela NBR 6118/2014 vão equivalente, que o define como a distância entre os
centros dos apoios. Devem ser calculados pela expressão:
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2
𝑎1 ≤
𝑡1/2
0,3ℎ
𝑎2 ≤
𝑡2/2
0,3ℎ

CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO DA ARMAÇÃO
Vigas com elevada rigidez
Flecha na direção y
Flecha na direção x
Carga p uniformemente
distribuída por área
Flecha máxima central
equivalente nas direções x e y
Curvaturas e momentos
diferentes em ambas as direções
Conclusão!

Uma vez que a flecha no centro da laje possui um valor único, as flechas nos centros das duas faixas são iguais. Em vista disso,
as curvaturas nas duas direções são diferentes, pois os vão em x e y se diferem entre si. Conforme se observa, a curvatura na
direção y é maior que a curvatura na direção x (no caso de se considerar x e y de acordo com os eixos cartesianos, como
mostrado na figura), já que o vão em x é maior do que em y. Sendo o momento fletor diretamente proporcional à curvatura, o
momento na direção y também será maior do que na direção x. Da teoria de flexão de placas, tem-se que os momentos
fletores Mx e My, nas direções x e y, respectivamente, são dados por:
𝑀𝑥 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑥
2 + ν
𝜕2𝑤
𝜕𝑦
2
𝑀𝑦 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑦
2 + ν
𝜕2𝑤
𝜕𝑥
2
Rigidez à flexão da placa
Curvatura na direção x
Curvatura na direção y
Coeficiente de Poisson
Quando o vão em x é muito maior
que em y, a curvatura na direção x
torna-se desprezível, de forma que
para o concreto 𝑀𝑥 =
𝑀𝑦
5
.
Dessa forma, é possível concluir
que a direção de menor vão possui
o maior momento fletor.

• Conhecidos os valores teóricos considera-se:
𝒍𝒙 → 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗ã𝒐
𝒍𝒚 → 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗ã𝒐
Sendo:
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥

→ O valor de 𝝀 irá determinar a direção de armação da laje. É usual a seguinte classificação:
𝜆 ≤ 2 → laje armada em duas direções
𝜆 > 2 → laje armada em uma direção
Apenas os bordos maiores são considerados como apoios
para fins de cálculo. Os momentos fletores são calculados
apenas na direção paralela ao menor vão, dos quais se
obtém a correspondente armadura principal. A armadura
na direção paralela ao vão maior não é calculada, sendo
denominada “armadura de distribuição” e fixada como
uma parcela da principal.

CONDIÇÕES DE CONTORNO
OBS: Convenção de estilo de linha:
• Bordas simplesmente apoiadas
O apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes
vizinhas. O apoio pode ser uma parede de alvenaria ou uma viga de concreto. No caso de vigas de concreto de
dimensões correntes, a rigidez da viga à torção é pequena, de modo que a viga gira e deforma-se,
acompanhando as pequenas rotações da laje, o que acaba garantindo a concepção teórica do apoio simples.
Cuidado especial há de se tomar na ligação de lajes com vigas de alta rigidez à torção. Pode ser mais adequado
engastar perfeitamente a laje na viga, dispondo-se uma armadura, geralmente negativa, na ligação com a viga.
Os esforços de torção daí decorrentes devem ser obrigatoriamente considerados no projeto da viga de borda.
Engaste perfeito
Apoio simples
Bordo livre

• Bordas com engaste perfeito
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, varandas, etc. É considerado também
nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas onde as situações abaixo devem ser analisadas:
lx,2
lx,1 ≤ lx,2
Esquema 1:
Uma vez que lx,2 (vão da laje L2) é maior que lx,1 (vão da laje L1),
a laje L1 está engastada na laje L2.
Se o vão lx,1 da laje L1 for maior ou igual a 0,8 do vão lx,2 da laje
L2, pode-se engastar a laje L2 em L1.

Esquema 1:
4,2 m 5 m 3,2 m 5 m
lx,1 ≤ lx,2 (engastar L1 em L2)
lx,1 ≥ 0,8 lx,2 (engastar L2 em L1)

Esquema 2:
lx,2
lx,1 ≤ lx,2 lx,3
l
y,2
l
y,1
Uma vez que lx,2 (vão da laje L2) é maior que lx,1
(vão da laje L1), a laje L1 está engastada na
laje L2. A laje L3 deve ser engastada na laje
L2 pois está em balanço.
Se o vão lx,1 da laje L1 for maior ou igual a 0,8
do vão lx,2 da laje L2 e a dimensão ly,1 for maior
ou igual a (2/3) da dimensão ly,2, é possível
engastar a laje L2 em L1.

Esquema 2:
3 m 4,5 m 1,2 m
4
m
6
m
• lx,1 ≤ lx,2 (engastar L1 em L2);
• lx,1 ≥ 0,8 lx,2 e ly,1 ≥ (2/3) ly,2
(engastar L2 em L1).
80%
2/3

Em função das várias combinações possíveis de vínculos
nas quatro bordas das lajes retangulares, as lajes
recebem números que diferenciam as combinações de
vínculos nas bordas, como indicados na Figura.
Conforme as tabelas de BARÉS que
serão utilizadas neste curso para
cálculo das lajes maciças retangulares

EXERCÍCIO
1) Considerando o painel de lajes abaixo, determine o vão efetivo, a classificação quanto à direção de trabalho
e as condições de contorno de cada laje.
OBS: Considere todas as lajes no mesmo nível e com
a mesma espessura. As paredes possuem 15 cm, as
vigas têm seção de 15cm x 50 cm e os pilares têm
seção de 15cm x 30 cm.

AÇÕES A CONSIDERAR
As lajes atuam recebendo as cargas de utilização e transmitindo-as para os apoios, geralmente vigas nas bordas.
Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como diafragmas rígidos (elemento de rigidez infinita no
seu próprio plano), distribuindo os esforços horizontais do vento para as estruturas de contraventamento,
responsáveis pela estabilidade global dos edifícios.
• Peso Próprio
O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje maciça. Para o peso específico do concreto
armado (𝛾𝑐) a NBR 6118 indica o valor de 25 kN/m³ . O peso próprio para lajes com espessura constante é
uniformemente distribuído na área da laje, e para um metro quadrado de laje pode ser calculado como:
𝒑𝒑 = 𝜸𝒄 ∙ 𝒉 (𝒌𝑵/𝒎²)
𝒑𝒑 = 𝜸𝒄 ∙ 𝒉 (𝒌𝑵/𝒎²)

• Revestimentos
Contrapiso e piso
A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das lajes recebe o nome de contrapiso ou
argamassa de regularização. A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade da laje, preparando-a para receber o
revestimento de piso final. A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada. Recomenda-se adotar espessura
não inferior a 3 cm. A argamassa do contrapiso tem comumente o traço 1:3, sendo considerado o peso específico (𝛾) de
21 kN/m³ , conforme a NBR 6120. O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a
argamassa de regularização. Para a sua correta quantificação é necessário definir o material do qual o piso é composto.
Revestimento do Teto
Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento inferior) é padrão executar-se uma camada de revestimento de
argamassa, sobreposta à camada fina de chapisco. Para essa argamassa, menos rica em cimento, pode-se considerar o
peso específico (𝛾) de 19 kN/m³ , conforme a NBR 6120. De modo geral, este revestimento tem pequena espessura, mas
recomenda-se adotar espessura não inferior a 1,5 ou 2 cm.
𝒑𝒓𝒆𝒗 = 𝜸𝒓𝒆𝒗 ∙ 𝒉 (𝒌𝑵/𝒎²)

• Paredes
A carga das paredes sobre as lajes maciças deve ser determinada em função da laje ser armada em uma ou
em duas direções. É necessário conhecer o tipo de unidade de alvenaria (tijolo, bloco, etc.), que compõe a
parede, ou o peso específico da parede, a espessura e a altura da parede, bem como a sua disposição e
extensão sobre a laje.
Laje Armada em Duas Direções:
Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da parede uniformemente
distribuída na área da laje, de forma que a carga é o peso total da parede dividido pela área da laje, isto é:
𝒑𝒂𝒍𝒗 =
𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒗𝒆𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔
á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒂 𝒍𝒂𝒋𝒆
=
𝑽𝒂𝒍𝒗 ∙ 𝜸𝒂𝒍𝒗
𝑨𝒍𝒂𝒋𝒆
(𝒌𝑵/𝒎²)

Laje Armada em Uma Direção:
Para laje armada em uma direção há dois casos a
serem analisados, em função da disposição da
parede sobre a laje. Para o caso de parede com
direção paralela à direção principal da laje,
considera-se simplificadamente a carga da parede
distribuída uniformemente numa área da laje
adjacente à parede, com largura de 2/3 lx, como
mostrado na Figura. A laje fica com regiões com
carregamentos diferentes. Nas regiões a e c não
ocorre a carga da parede, que fica limitada apenas à
região b. Portanto, dois cálculos de esforços
solicitantes necessitam serem feitos.
𝒑𝒂𝒍𝒗 =
𝟑𝑷𝒂𝒍𝒗
𝟐𝒍𝒙²
(𝒌𝑵/𝒎²)

No caso de parede com direção perpendicular à direção principal, a carga da parede deve ser considerada
como uma força concentrada na viga que representa a laje, como mostrado na Figura. O valor da força
concentrada P, representativo da carga da parede, é:
𝑷𝒂𝒍𝒗 = 𝑽𝒂𝒍𝒗 ∙ 𝜸𝒂𝒍𝒗 (𝒌𝑵)
𝑷𝒂𝒍𝒗 = 𝟏. 𝒉. 𝒆 ∙ 𝜸𝒂𝒍𝒗 (𝒌𝑵)

• Ações Variáveis
A ação variável nas lajes é tratada
pela NBR 6120 como “carga acidental”.
Na prática costumam chamar também
de “sobrecarga”. A carga acidental é
definida pela NBR 6120 como toda
aquela que pode atuar sobre a
estrutura de edificações em função do
seu uso (pessoas, móveis, materiais
diversos, veículos, etc.).

 Cargas concentradas em barreiras:
Nas bordas de balcões, varandas,
sacadas e terraços com guarda-corpo, a
NBR 6120/2019 prescreve a aplicação de
uma carga vertical mínima de 2 𝑘𝑁/𝑚
(Tabela 10, item j) e de uma carga
horizontal mínima, de acordo com a Tabela
12 da norma, aplicada na posição
desfavorável a 1,1 metros do piso acabado.

ESPESSURA MÍNIMA
A NBR 6118 (item 13.2.4.1) estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças deve respeitar:
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de piso biapoiadas e
l/50 para lajes de piso contínuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel.
𝒉 (𝒄𝒎) ≥ 𝟏𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏𝟓 𝟏𝟒 𝟏𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎
ϒn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45
OBS: Lajes em balanço devem ter seus esforços de cálculo majorados por um coeficiente adicional de acordo com a tabela:

COBRIMENTO (c)
→ São especificados os valores mínimos de cobrimento para armadura de lajes, de acordo com a
agressividade do meio. O cobrimento nominal é igual ao cobrimento mínimo acrescido da tolerância
de execução (Δ𝑐), Δ𝑐 = 10 𝑚𝑚.

ALTURA ÚTIL (d)

Estimativa da Altura útil (d)
→ Para as lajes com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil é estimada por:
𝑑𝑒𝑠𝑡 = (2,5 − 0,1𝑛)
𝑙
100
• 𝑙 ≤
𝑙𝑥
0,7𝑙𝑦
• 𝑛 – número de bordos engastados.

EXERCÍCIO
2-) Para o painel de lajes abaixo, estime a altura útil
e calcule o carregamento sobre cada laje,
considerando revestimento de argamassa de
cimento, areia e cal (𝛾 = 19 𝑘𝑁/𝑚³) e acabamento
em mármore ( 𝛾 = 28 𝑘𝑁/𝑚³ ), ambas com
espessura de 2 cm e carga variável de 2 𝑘𝑁/𝑚².

MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES
Os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é armada em uma ou
em duas direções. As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a direção principal e
as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias, como a Teoria da Elasticidade e a
das Charneiras Plásticas.
A Teoria da Elasticidade, na qual foi inicialmente baseado o cálculo
de placas, é, como o nome diz, uma teoria elástica, cujas hipóteses
básicas variam de acordo com o tipo de placa considerada. No caso
de placas de pouca espessura, como a maioria das lajes de edifícios,
algumas hipóteses básicas, são: o material da placa é elástico,
homogêneo e isotrópico; a placa indeformada é plana; a espessura
(h) da placa é pequena em relação às outras dimensões; as cargas
dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à
superfície da placa; a configuração deformada da placa é tal que
linhas retas inicialmente perpendiculares à superfície média
permanecem retas e perpendiculares; as deformações devidas ao
cisalhamento são desprezadas.
Uma placa submetida a uma carga apresenta três fases de comportamento,
uma inicial de comportamento elástico, em seguida a de fissuração e a de
comportamento plástico. Quando uma placa é submetida a uma carga que
cresce de forma gradual nos primeiros momentos a distribuição dos esforços
se dá de forma elástica. À medida que se forma a fissuração as inércias são
alteradas e os esforços são redistribuídos. Admitindo-se que a quantidade
de armadura é inferior à quantidade limite pode-se afirmar que existe uma
carga para a qual se atinge, em uma seção da placa, o limite elástico da
armadura. Após esta carga diz-se que a seção se plastificou. À medida que a
carga aplicada continua a aumentar outras seções da placa se plastificam
formando, então, as linhas de ruptura chamadas Charneiras Plásticas.

Laje armada em uma direção
No caso das lajes armadas em uma direção considera-se simplificadamente que a flexão na direção do menor vão da laje é
preponderante à da outra direção, de modo que a laje será suposta como uma viga com largura constante de um metro
(100 cm), segundo a direção principal da laje, na direção secundária desprezam-se os momentos fletores existentes.
Viga biapoiada Viga engastada e apoiada
𝑝
𝑙
𝑝𝑙
2 𝑝𝑙
2
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑝𝑙2
8
𝑎𝑖 =
5𝑝𝑙4
384𝐸𝐼
𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎:
𝑝
𝑙
5𝑝𝑙
8
3𝑝𝑙
8
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑝𝑙2
14,22
𝑎𝑖 =
𝑝𝑙4
185𝐸𝐼
𝑝𝑙²
8

Viga biengastada Viga engastada e livre
𝑝
𝑙
𝑝𝑙
2
𝑝𝑙
2
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑝𝑙2
24
𝑝𝑙2
12
𝑝𝑙2
12
𝑎𝑖 =
𝑝𝑙4
384𝐸𝐼
𝑎𝑖 =
𝑝𝑙4
8𝐸𝐼 𝑝𝑙
𝑝𝑙2
2
𝑝
𝑙

Laje armada em duas direções
O comportamento das lajes armadas em duas
direções, apoiadas nos quatro lados, é bem diferente
das lajes armadas em uma direção, de modo que o
seu cálculo é bem mais complexo se comparado ao
das lajes armadas em uma direção. Conforme as
tabelas de Barés, os momentos fletores, negativos ou
positivos, são calculados pela expressão:
𝑚𝑥 = μ𝑥
𝑝𝑙𝑥
2
100
𝑚′𝑥 = μ′𝑥
𝑝𝑙𝑥
2
100
𝑚𝑦 = μ𝑦
𝑝𝑙𝑥
2
100
𝑚′𝑦 = μ′𝑦
𝑝𝑙𝑥
2
100
𝑚𝑥, 𝑚′𝑥
𝑚𝑦, 𝑚′𝑦
Momentos na direção de
Momentos na direção de
𝑙𝑥
𝑙𝑦

Compatibilização dos Momentos Fletores
Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, os momentos fletores negativos em uma borda
comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes. Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um
método de compatibilização, onde o momento fletor negativo (X) de duas lajes adjacentes é tomado como:
𝑋𝑐 𝑜𝑢 𝑋12 ≥
0,8 ∙ 𝑋𝐿1
0,8 ∙ 𝑋𝐿2
𝑋𝐿1 + 𝑋𝐿2
2
Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados, quando for o caso. Se ocorrer diminuição do momento
fletor (alívio), este não é considerado, sendo desprezado. Acrescente-se que a compatibilização dos momentos positivos
e negativos deve ser feita nas duas direções da laje.

Compatibilização dos Momentos Fletores
• Vãos extremos:
• Vãos internos:
𝑀1𝑐 = 𝑀1 +
∆𝑥
2
𝑀2𝑐 = 𝑀2 −
∆𝑥1 + ∆𝑥2
2

REAÇÕES DE APOIO
Assim como no cálculo dos momentos fletores solicitantes, no cálculo das reações da laje nas bordas, as lajes serão
analisadas em função de serem armadas em uma ou em duas direções. No caso das lajes armadas em uma direção, as
reações de apoio são provenientes do cálculo da viga suposta, considerando-se que as cargas na laje caminhem para as
vigas nas bordas perpendiculares à direção principal da laje. Nas outras vigas, caso existirem, pode-se considerar, a favor da
segurança, uma carga referente à área do triângulo adjacente à viga, como mostrado na Figura.
A carga linear da laje na viga, em função da área do
triângulo, pode ser considerada como:
𝑉𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0,15𝑝𝑙𝑥
com:
𝑉𝑣𝑖𝑔𝑎 = carga da laje na viga (kN/m);
𝑙𝑥 = menor vão da laje (m)

A NBR 6118 (item 14.7.6.1) prescreve que, para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com
carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados
através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas
uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir
dos vértices, com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado;
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
REAÇÕES DE APOIO

REAÇÕES DE APOIO
A Figura mostra o esquema prescrito pela norma,
onde cada viga de apoio da laje receberá a carga
que estiver nos triângulos ou trapézios a ela
relacionada. São apresentados em Tabelas
coeficientes que auxiliam o cálculo das reações
de apoio para lajes armadas em duas direções,
com carregamento uniformemente distribuído.
As reações são calculadas pela equação:
𝑽 = 𝝂
𝒑 ∙ 𝒍𝒙
𝟏𝟎
𝑉 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝑘𝑁/𝑚
ν = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 λ, 𝑜𝑛𝑑𝑒:
ν𝑥 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑥;
ν𝑦 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑦;
ν′𝑥 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑥;
ν′𝑦 = 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑦;
𝑝 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑘𝑁/𝑚²

EXERCÍCIO
3) Para cada uma das lajes abaixo determine os momentos positivos e negativos e as reações de apoio.

DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO
Relembrando...
λ = 0,8 −
𝑓𝑐𝑘 − 50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎.
− 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑡é 𝐶50, α𝑐 = 0,85
− 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐶50 𝑎𝑡é 𝐶90, α𝑐 = 0,85 1 − (𝑓𝑐𝑘 − 50)/200
λ = 0,8, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎; 𝑜𝑢

Flexão Simples – ELU – Dimensionamento (Seção Retangular, Armadura Simples, Concretos Grupo I)
Relembrando...

Relembrando...
Equilíbrio de Forças Normais
Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força resultante das tensões
de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força resultante das tensões de tração na armadura As, pode-se
escrever:
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡
Tomando da Resistência dos Materiais que σ =
𝐹
𝐴
, a força resultante das tensões de compressão no concreto,
considerando o diagrama retângulas simplificado, pode ser escrita como:
𝑅𝑐𝑐 = σ𝑐𝑑𝐴′𝑐
𝑅𝑐𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑0,8𝑥𝑏𝑤
𝑅𝑐𝑐 = 0,68𝑓𝑐𝑑𝑥𝑏𝑤
E a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada:
𝑅𝑠𝑡 = σ𝑠𝑑𝐴𝑠

Relembrando...
Equilíbrio de Momentos Fletores
Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante deve ser equilibrado por
um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de
cálculo, por simplicidade de notação ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md, tal
que:
𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐 = 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀𝑑
As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada, formam um
binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito:
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐𝑧𝑐𝑐
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡𝑧𝑐𝑐
Onde:
- 𝑅𝑐𝑐𝑧𝑐𝑐 é o momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido;
- 𝑅𝑠𝑡𝑧𝑐𝑐 é o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada.

Relembrando...
Sendo, para concretos do Grupo I, 𝑧𝑐𝑐 = (𝑑 − 0,4𝑥), tem-se:
𝑀𝑑 = 0,68𝑓𝑐𝑑𝑥𝑏𝑤(𝑑 − 0,4𝑥)
Momento fletor resistente de
cálculo, proporcionado pelo
concreto comprimido
Profundidade da linha
neutra
Resistência à compressão de
cálculo do concreto Dimensão da base da seção
transversal (para lajes bw=100cm)
Altura útil da seção transversal
Isolando o x na equação acima, tem-se a Equação da Linha Neutra:
𝑥 = 1,25 𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑑²𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑

No dimensionamento de vigas e lajes, para que a armadura seja simples, ou seja, para que seja necessária apenas
armadura tracionada na seção transversal em questão, o valor da linha neutra deve obedecer o limite estabelecido por
norma, chamado critério de ductilidade.
Para concretos do Grupo I: 𝑥 ≤ 0,45𝑑
Para concretos do Grupo II: 𝑥 ≤ 0,35𝑑
Quando o critério é ultrapassado será necessária armadura dupla. Para lajes, a espessura é calculada evitando-se
armadura dupla.
De posse do valor da profundidade da linha neutra, a equação de equilíbrio de momentos a partir do momento
fletor resistente proporcionado pela armadura tracionada fornece a área de aço necessária para o dimensionamento do
elemento.
Relembrando...
𝑀𝑑 = σ𝑠𝑑𝐴𝑠 (𝑑 − 0,4𝑥)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
σ𝑠𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)

EXERCÍCIO
4) Dimensione as armaduras positivas e negativas das lajes abaixo.
Dados:
Concreto C25
Aço CA-50
d’ = 3 cm

DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Tabela auxiliar para a escolha do
diâmetro e do espaçamento entre
as barras da armadura calculada

Armadura mínima
Armadura Taxa mínima
Armadura negativa ρ𝑠 ≥ ρ𝑠𝑚í𝑛
Armadura negativa de borda sem continuidade ρ𝑠 ≥ 0,67ρ𝑠𝑚í𝑛
Armadura positiva (laje armada em 2 direções) ρ𝑠 ≥ 0,67ρ𝑠𝑚í𝑛
Armadura positiva principal (laje armada em 1 direção) ρ𝑠 ≥ ρ𝑠𝑚í𝑛
Armadura positiva secundária (laje armada em 1 direção)
ρ𝑠 ≥ 0,5ρ𝑠𝑚í𝑛
ρ𝑠 ≥ 20% 𝐴𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝐴𝑠
𝑠
= 0,9 𝑐𝑚2/𝑚
Valores de 𝝆𝒔𝒎í𝒏 (%) para seção transversal retangular
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256

Armadura máxima
Sobre a armadura máxima, a NBR 6118 diz que a soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não pode ter
valor maior que 4 % da área da seção transversal de concreto.
Diâmetro máximo
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8, sendo h a altura da seção transversal.
𝐴𝑠 + 𝐴′𝑠 ≤ 0,04𝐴𝑐
ϕ𝑙 ≤
ℎ
8

Espaçamento máximo
• As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm,
prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.
• A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 % da armadura principal, mantendo-se,
ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os
mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal.
• A norma não especifica o diâmetro mínimo para a armadura negativa das lajes. No entanto,
normalmente considera-se que o diâmetro deva ser de no mínimo 5 mm, a fim de evitar que a barra
possa se deformar durante as atividades de execução da laje. Barras de diâmetros maiores ficam menos
sujeitas a entortamentos, além de levarem a espaçamentos maiores sobre as vigas. Portanto, barras com
diâmetros de 8 e 10 mm são mais indicadas para a armadura negativa.
Diâmetro mínimo

• A norma não especifica um valor para o espaçamento mínimo entre as barras, porém deve-se
considerar que o espaçamento mínimo deve ser aquele que não dificulte a disposição e amarração das
barras da armadura, o completo preenchimento da peça pelo concreto e o envolvimento das barras
pelo concreto. De modo geral, na prática adotam-se espaçamentos entre barras superiores a 7 ou 8 cm.
Espaçamento mínimo
Comprimento das barras
• A rigor, os comprimentos das barras devem ser determinados após os cálculos dos comprimentos de
ancoragem nos apoios. O cálculo do comprimento de ancoragem necessário é feito de acordo com o
estudado para as vigas. Em virtude dos pequenos diâmetros das barras usadas nas lajes, normalmente,
o comprimento de ancoragem é inferior à largura dos apoios. Assim, é suficiente que as barras
penetrem nos apoios, deixando-se apenas os cobrimentos necessários.

Distribuição da armadura negativa
• O detalhamento da armadura negativa sobre os apoios internos das lajes contínuas é feito de acordo
com a Figura abaixo, sendo:
𝑎 = 0,25𝑙𝑥
O maior 𝑙𝑥entre as
duas lajes em questão
Δ = ℎ − (2𝑐 + ϕ)
Comprimento do
gancho
Altura da laje
Cobrimento
Diâmetro da
barra

Nos cantos das lajes com bordas apoiadas surgem momentos fletores negativos, que causam tração no lado superior da
laje na direção da diagonal, e positivos na direção perpendicular à diagonal, que causam tração no lado inferior da laje.
Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção, e recebem a notação de Mxy .
Para os momentos volventes devem ser dispostas armaduras nos cantos das lajes, conforme mostrado na figura abaixo.
O valor de As a ser disposto nessas regiões é equivalente ao valor máximo calculado para o meio do vão.
Armaduras de canto
Distribuição simplificada

Armaduras de borda
Nos apoios de extremidade das lajes são necessárias armaduras negativas quando as vigas de borda
possuírem grande rigidez à torção. Na maioria dos casos, em edifícios residências com vigas de borda
esbeltas, o cálculo dessa armadura não é necessário, sendo disposta a armadura equivalente a 0,67𝐴𝑠𝑚í𝑛.
Distribuição da armadura para lajes em balanço
O detalhamento da armadura negativa das lajes em
balanço que possuem continuidade com a laje vizinha é
realizado dispondo-se as barras desde a extremidade em
balanço (respeitando-se o cobrimento) até a laje
adjacente, de forma que a armadura penetre nesta última
uma distância equivalente ao comprimento do balanço. A
figura ao lado representa este detalhamento.

OBS 1:
Errado
Geralmente as lajes da sacada possuem um rebaixo da
ordem de 5 cm, para evitar a penetração da água da chuva
dentro do apartamento. Nesses casos, deve-se fazer um
laço na armadura principal, como mostrado na figura ao
lado. Devido à mudança de direção da armadura principal
tracionada, surge a força R dirigida para cima, a qual é
denominada de empuxo ao vazio. Essa força tende a
retificar as barras da armadura. A armadura deve ser bem
ancorada na viga para evitar o rompimento do cobrimento
do concreto.
Correto

OBS 2:
• Para lajes armadas em uma direção:
No caso de lajes possuindo apoios internos
paralelos à direção do vão de cálculo, deve-se
colocar uma armadura transversal sobre os
apoios, para absorver os momentos transversais
negativos. A área desta armadura deve ser igual
a área da armadura principal e sua distribuição
é feita de acordo com a figura ao lado.

OBS 3:
A armação das lajes também pode ser feita com o emprego de telas soldadas. As telas são fabricadas com fios
de aço CA-50 e CA-60. Os fios são soldados formando uma rede de malhas quadradas ou retangulares.
A caracterização geométrica de uma tela é feita através do formato da
malha, do comprimento e da largura, do espaçamento entre fios
longitudinais e transversais e da área das seções transversais nas duas
direções. Além disso, é necessário especificar o tipo da tela: Q, L ou T.
As telas do tipo Q possuem malha quadrada, com armaduras iguais nas
duas direções. As telas do tipo L têm armadura longitudinal maior e as
telas do tipo T possuem armadura transversal de maior área.
As telas padronizadas são designadas através do seu tipo , acrescido da
área da seção principal dos fios, em mm²/m. Por exemplo, a indicação
L196 – 2,45 x 6,00, corresponde a uma tela do tipo L, com área da
armadura longitudinal igual a 1,96 cm²/m, possuindo 2,45 metros de
largura e 6 metros de comprimento.

Exemplo de detalhamento das armaduras positivas
Ao detalhar as armaduras é necessário especificar o número
de barras, o diâmetro, o espaçamento e o comprimento das
barras em cada direção da laje. Desse modo, o desenho das
armaduras deve ser suficientemente claro para facilitar a
compreensão do mesmo na obra.
A figura ao lado mostra um exemplo de detalhamento das
armaduras positivas de uma laje isolada. O desenho indica
que na direção do vão maior devem ser colocadas 17 barras
de 5 mm de diâmetro, espaçadas de 20 em 20 cm, cada uma
delas possuindo um comprimento igual a 520 cm. Essas barras
são designadas por barras N1. Uma interpretação análoga é
feita para as barras da outra direção.

EXERCÍCIO
5) Faça o detalhamento das armaduras positivas e negativas das lajes abaixo.

DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE
Lajes sem Armadura para Força Cortante:
As lajes maciças ou nervuradas podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da
força cortante, quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão:
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑𝑘 1,2 + 40𝜌1 𝑏𝑤𝑑
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 𝑓𝑐𝑡𝑑
𝜌1 =
𝐴𝑠𝑙
𝑏𝑤𝑑
≤ 0,02
tensão resistente de cálculo
do concreto à força cortante área da armadura de tração que se
estende até não menos que d + lb,nec
k = coeficiente que tem os seguintes valores:
- para elementos onde 50 % da armadura inferior não
chega até o apoio: k = |1|;
- para os demais casos: k = |1,6 – d|, não menor que |1|,
com d em metros.

Lajes com Armadura para Força Cortante:
No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante, a NBR 6118 recomenda que sejam seguidos
os critérios apresentados no dimensionamento de vigas à força cortante. A tensão nos estribos deve ser:
A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos:
- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;
- 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm.
onde:
VSd = força cortante solicitante de cálculo na seção;
VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto;
VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;
Vsw = parcela absorvida pela armadura transversal.
Equações bases para o dimensionamento à força cortante de vigas
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉
𝑐 + 𝑉
𝑠𝑤
Relembrando...

EXERCÍCIO
6) Verifique a necessidade de armadura para força cortante para cada uma das lajes abaixo.

VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS
Assim como nas vigas, o estado-limite de deformações excessivas (ELS-DEF) deve ser também verificado nas lajes de
concreto. A NBR 6118 recomenda que sejam usados os critérios propostos no item 17.3.2, considerando a possibilidade de
fissuração (estádio II). As prescrições contidas no item 17.3.2 tratam dos deslocamentos (flechas) nas vigas de Concreto
Armado, o que implica que a norma recomenda que as flechas nas lajes sejam tratadas do mesmo modo como nas vigas.
O texto do item 17.3.2 (Estado-limite de deformação) é o seguinte:
“A verificação dos valores limites estabelecidos na Tabela 13.3 para a deformação da estrutura deve ser realizada através de
modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, que levem em consideração a presença
da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. Em face da
grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar,
portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.”
A avaliação da flecha nas vigas e lajes é feita de maneira aproximada, onde: “O modelo de comportamento da estrutura pode
admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento
estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I, desde que os esforços não superem aqueles
que dão início à fissuração, e no estádio II, em caso contrário”.

Verificação do Estádio
Para o cálculo da flecha é necessário conhecer o estádio de cálculo da seção crítica considerada. Segundo a NBR 6118
nos estados-limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. A
separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de fissuração. Esse momento pode ser
calculado pela seguinte expressão aproximada:
𝑀𝑟 =
α𝑓𝑐𝑡𝐼𝑐
𝑦𝑡
sendo:
α = 1,2 para seções T ou duplo T;
α = 1,3 para seções I ou T invertido;
α = 1,5 para seções retangulares.
é o fator que correlaciona aproximadamente a
resistência à tração na flexão com a resistência
à tração direta
é a distância do centro de gravidade
da seção à fibra mais tracionada
é o momento de inércia da seção
bruta de concreto
é a resistência à tração
direta do concreto

Se o momento fletor solicitante de uma seção na laje é maior que o momento fletor de fissuração, a seção está no
estádio II, ou seja, está fissurada. Neste caso deve-se considerar o módulo de elasticidade secante (Ecs) e a posição da
linha neutra deve ser calculada no estádio II. Por outro lado, no caso do momento fletor solicitante na laje ser menor
que o momento de fissuração, a seção está no estádio I, ou seja, não está fissurada. As deformações podem ser
determinadas no estádio I, com o momento de inércia da seção bruta de concreto.
Para o momento fletor na laje, a ser comparado com o momento fletor de fissuração, deve ser considerada a
combinação quase permanente.
Verificação do Estádio
Onde:
𝐹𝑔𝑖𝑘 = ações permanentes características;
Ψ2= fator de redução de combinação quase permanente para ELS;
𝐹𝑞𝑖𝑘= ação variável principal direta características
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖𝑘 + Ψ2𝐹𝑞𝑖𝑘

Rigidez equivalente
Uma vez que o elemento se encontra no Estádio II, ou seja, em sua configuração fissurada, para uma avaliação
aproximada da flecha imediata deste elemento, pode-se utilizar a expressão de rigidez equivalente dada a seguir:
momento de inércia da seção bruta de concreto
momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II
momento de fissuração do elemento estrutural
momento fletor na seção crítica do vão considerado
módulo de elasticidade secante do concreto
(𝐸𝐼)𝑒𝑞= 𝐸𝑐𝑠
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝑐 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐

O módulo de elasticidade secante pode ser estimado pela expressão:
O valor do módulo de elasticidade inicial (Eci) para concretos do Grupo 1 pode ser calculado segundo a expressão:
𝐸𝑐𝑠 = α𝑖𝐸𝑐𝑖
Sendo:
α𝑖 = 0,8 + 0,2
𝑓𝑐𝑘
80
≤ 1,0
𝐸𝑐𝑖 = α𝐸5600 𝑓𝑐𝑘
Sendo: α𝐸 = 1,2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑒 𝑑𝑖𝑏á𝑠𝑖𝑜;
α𝐸 = 1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑔𝑛𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒;
α𝐸 = 0,9 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐á𝑟𝑖𝑜;
α𝐸 = 0,7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑛𝑖𝑡𝑜.

Para cálculo do momento fletor Ma deve ser considerada a combinação rara. Para o cálculo do momento de inércia no
estádio II é necessário conhecer a posição da linha neutra neste estádio.
O momento de inércia no estádio II será:
Caso não haja amadura de compressão, a equação se reduz a:
𝑥𝐼𝐼
2
+
2𝐴𝑠α𝑒
𝑏
𝑥𝐼𝐼 −
2𝐴𝑠𝑑 α𝑒
𝑏
= 0
α𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
Relação entre os
Módulos de Elasticidade
do aço é do concreto.
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑥𝐼𝐼
3
12
+ 𝑏𝑥𝐼𝐼
𝑥𝐼𝐼
2
2
+ α𝑒𝐴′
𝑠 𝑥𝐼𝐼 − 𝑑′ 2 + α𝑒𝐴𝑠 𝑑 − 𝑥𝐼𝐼
2
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑥𝐼𝐼
3
12
+ 𝑏𝑥𝐼𝐼
𝑥𝐼𝐼
2
2
+ α𝑒𝐴𝑠 𝑑 − 𝑥𝐼𝐼
2

Flecha Imediata
O valor da ação de serviço na combinação quase
permanente é dado pela equação:
A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado o primeiro carregamento na peça, que não leva em conta os
efeitos da fluência. Para lajes armadas em um única direção, a flecha deve ser calculada de acordo com a equação
correspondente a cada tipo de vinculação e carregamento aplicado, conforme visto em Resistência dos Materiais. Para
lajes armadas em duas direções utiliza-se a expressão abaixo, na qual α é o coeficiente tabelado em função das
condições de contorno e do parâmetro λ.
𝑎𝑖 =
𝑎
12
𝑝𝑙𝑥
4
𝐸𝐼 𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖𝑘 + Ψ2𝐹𝑞𝑖𝑘
𝑎𝑖 = 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎;
𝑝 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒;
𝑙𝑥 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣ã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒;
α = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜;
𝐸𝐼 = 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜;
Onde:

Flecha Diferida no Tempo
A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento atuar na estrutura ao longo do tempo,
causando a sua deformação lenta ou fluência. Segundo a NBR 6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de
longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo
fator αf dado pela expressão:
α𝑓 =
Δξ
1 + 50ρ′
ρ′ =
𝐴′𝑠
𝑏𝑑
𝐴′𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎, 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟;
𝑏 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙;
𝑑 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙;
ξ = coeficiente função do tempo obtido da Tabela da norma.
Onde:

Tempo
(meses)
0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥70
ξ 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
Sendo:
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎;
𝑡0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠, 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 à 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎çã𝑜.
Δξ = ξ𝑡 − ξ𝑡0
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por: (1 + α𝑓)

As flechas máximas ou deslocamentos-limites
como definidos pela NBR 6118, são valores
práticos utilizados para verificação em serviço do
estado-limite de deformações excessivas da
estrutura. Tais valores constam na Tabela 13.3 da
NBR 6118. Parte desta tabela é mostrada ao
lado.
Valores limites de flecha

EXERCÍCIO
7-) Faça a verificação das flechas para as lajes L1, L2 e L3.

EXERCÍCIO DE REVISÃO
8-) Faça o dimensionamento, o detalhamento e a verificação do Estado Limite de Serviço de deformações
excessivas para o painel de lajes abaixo. Considere os seguintes dados:
d’ = 3 cm;
Sobrecarga de utilização: 2,0 kN/m²;
Revestimento 3 cm (ϒrev = 22 kN/m³);
Acabamento 2 cm: (ϒaca = 28 kN/m³);
fck= 25 MPa;
Aço CA-50;
c = 2,5 cm.
Obs: Para a laje 4 considere um carregamento
de 0,4 kN/m devido ao gradil a ser instalado em
todo o contorno em balanço.

Conteúdos Dimensionamento lajes nervuradas
INTRODUÇÃO
Usualmente, os pisos dos edifícios de concreto armado são projetados em lajes maciças. Entretanto,
quando os vão são grandes, essa solução pode ser antieconômica, em virtude da elevada espessura da laje.
Nesses casos, a solução em laje maciça pode exigir espessuras tão grandes que a maior parte do carregamento
passa a ser constituída por seu peso próprio.
Para reduzir o peso próprio da estrutura, pode-se adotar a solução em lajes nervuradas. Nessas lajes,
a zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser colocados materiais inertes, de forma a
tornar plana a superfície externa. Os materiais de enchimento podem ser constituídos por diversos materiais,
como bloco cerâmico furado, bloco de concreto, bloco de concreto celular autoclavado, isopor, etc.
Alternativamente, os espaços entre as nervuras podem ser preenchidos com formas industrializadas que, após
sua retirada, deixam à mostra as nervuras da laje.

A NBR 6118 define laje nervurada como as “lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas,
cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado
material inerte.” A resistência do material de enchimento (material inerte) não é considerada, ou seja, não
contribui para aumentar a resistência da laje nervurada. São as nervuras, unidas e solidarizadas pela mesa
(capa), que proporcionam a necessária resistência e rigidez.
As lajes nervuradas podem ser armadas em uma direção (unidirecional) ou em duas direções
(bidirecional ou em cruz), em função da existência de nervuras em uma ou em duas direções.
As lajes nervuradas apresentam as seguintes
vantagens em relação às lajes maciças de concreto:
• menor peso próprio;
• menor consumo de concreto;
• redução de fôrmas;
• maior capacidade de vencer grandes vãos;
• maiores planos lisos (sem vigas).

No caso usual de lajes nervuradas com nervuras inferiores, estas funcionam como viga T para
momentos fletores positivos. Se a laje for contínua, torna-se necessário que as faixas próximas aos apoios
intermediários sejam maciças, conforme a figura abaixo.
Nem geral, as lajes nervuradas exigem uma espessura total ℎ cerca de 50% superior à que seria
necessária para lajes maciças. Entretanto, o peso próprio da laje nervurada e o consumo de concreto são
inferiores ao da laje maciça, resultando numa solução mais econômica para vãos acima de 8 metros.

CÁLCULO SIMPLIFICADO
A laje nervurada pode ser entendida como um elemento estrutural constituído por vigas, em uma
direção ou em duas direções solidarizadas pela mesa (capa) de concreto. O comportamento estático é
intermediário entre o de grelha e o de laje maciça. A NBR 6118 indica que todas as prescrições relativas às
lajes como elementos de placa podem ser consideradas válidas, desde que sejam obedecidas determinadas
condições. Portanto, a norma permite o cálculo da laje nervurada como placa (laje) no regime elástico, desde
que condições sejam obedecidas.
O cálculo da laje nervurada como laje maciça é chamado simplificado. Quando as condições exigidas
não ocorrem, a norma diz que “deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça
apoiada em uma grelha de vigas.” As condições citadas pela norma são de dois tipos: relativas às
especificações para as dimensões da laje, e relativas ao projeto da laje.

As especificações quanto às dimensões são as seguintes:
a) A espessura da mesa, quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a
1/15 da distância entre as faces das nervuras e não menor que 4 cm;
b) O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem tubulações embutidas de
diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para tubulações com diâmetro (φ) maior que 10 mm, a mesa deve ter a
espessura mínima de 4 cm + φ, ou 4 cm + 2φ no caso de haver cruzamento destas tubulações;
c) A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm;
d) Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão.

Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as seguintes condições:
• para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a
verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a
consideração dos critérios de laje;
• para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão
da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação
como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for
maior que 12 cm;
• para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser
projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de
espessura.

O cálculo simplificado consiste em determinar os esforços solicitantes (momentos fletores e reações
de apoio) e deslocamentos (flechas) de acordo com as tabelas desenvolvidas para as lajes maciças segundo a
Teoria das Placas. A NBR 6118 especifica que as lajes nervuradas unidirecionais “devem ser calculadas segundo
a direção das nervuras, desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à torção. As lajes nervuradas bidirecionais
podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças.
Quando for necessário o projeto de uma laje nervurada de modo mais refinado que aquele
proporcionado pelo cálculo simplificado, deve-se calcular os esforços solicitantes e deslocamentos
considerando-se a laje como uma grelha, ou, o que é ainda mais refinado, considerar o método dos Elementos
Finitos. O cálculo da laje como uma grelha ao ser implementado conduz a resultados confiáveis e de boa
precisão. No Brasil existem programas computacionais comerciais para o projeto de lajes nervuradas que
permitem o cálculo por analogia de grelha e pelo método dos Elementos Finitos.
CÁLCULO SIMPLIFICADO

AÇÕES
As ações nas lajes nervuradas podem ter várias e diferentes causas sendo as
mais importantes as ações permanentes e as “cargas acidentais”, estas
últimas apresentadas na NBR 6120.
O peso próprio das lajes nervuradas pode ser calculado por metro quadrado
de área em se tratando de lajes bidirecionais. Uma forma de cálculo consiste
em separar uma área da laje, cujo centro coincide com o cruzamento de duas
nervuras, com lados de dimensões iguais à distância entre os eixos das
nervuras.
Na Figura ao lado está mostrada a área de uma laje com nervuras em duas
direções, igualmente espaçadas, com 24 cm de altura total e espessura de
capa de 4 cm. O procedimento consiste em determinar o volume de concreto
e as espessuras médias, de concreto e de enchimento, correspondentes à
área delimitada da laje. Considerando ϒconc = 25 kN/m³ e ϒench = 6 kN/m³, o
peso próprio da laje ao lado seria de 3,36 kN/m².

Dessa forma, os esforços (momentos fletores) são calculados em kNm/m e antes de serem inseridos nos
cálculos de dimensionamento, estes valores devem ser transformados para a “largura entre as nervuras”
(largura de influência) na respectiva direção, uma vez que não mais o bw a ser considerado é equivalente a
100 cm.
Para lajes nervuradas unidirecionais, as cargas podem ser calculadas por metro linear, multiplicando-se seus
valores pela largura de influência das nervuras (nas lajes maciças considerada como 100 cm). Sendo assim, os
esforços, ao serem calculados, já são referentes à largura entre as nervuras.
Para a laje mostrada na figura ao lado, considerando
ϒconc = 25 kN/m³ e ϒench = 18 kN/m³, o peso próprio da
seria de 1,28 kN/m².

DIMENSIONAMENTO
Flexão nas Nervuras
Quando a mesa está comprimida, no cálculo da armadura de flexão pode-se considerar a contribuição
desta. Neste caso, o cálculo é para uma seção T. Quando a mesa está tracionada, o cálculo é como seção
retangular, pois a resistência à tração do concreto não é considerada no cálculo à flexão.
A largura efetiva da mesa da seção T, para uma direção genérica, é dada por:
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 + 2𝑏1
Onde
𝑏1 ≤
0,1𝑎
0,5𝑙0
Sendo 𝑎 dependente do vão.
Limitando 𝑙0 ≤ 100 𝑐𝑚 e considerando que 𝑎 > 5 𝑚 em praticamente todos
os casos em que se emprega a solução em lajes nervuradas, verifica-se que
𝑏1 = 0,5𝑙0. Logo, pode-se garantir que toda a laje colabora como mesa de
compressão das vigas T. Assim, nos casos correntes, tem-se 𝑏𝑓 = 𝑆.

Conteúdos
Flexão Simples – Vigas com seção T
SITUAÇÃO 1 SITUAÇÃO 2
Dimensionamento lajes nervuradas
Relembrando...

Relembrando...
Flexão Simples – Vigas com seção T que trabalham como seção retangular
Obs: A Figura considera concretos do Grupo I.
Quando 0,8x ≤ hf a seção é dimensionada como retangular onde bw é substituído por bf.

Relembrando...
Flexão Simples – Vigas com seção T que trabalham como T
Obs: A Figura considera concretos do Grupo I.
Quando 0,8x > hf a seção é dimensionada como T.

DIMENSIONAMENTO
Força Cortante
O dimensionamento das lajes nervuradas à força cortante é feito em função do espaçamento entre as
nervuras. Quando a distância de eixo a eixo das nervuras é menor que 65 cm a força cortante deve ser
verificada de forma análoga ao das lajes maciças. Quando essa distância é superior a 65 cm e menor que
110 cm, a força cortante nas nervuras deve ser verificado como nas vigas de Concreto Armado. Neste caso,
sempre haverá uma armadura transversal nas nervuras, mesmo que mínima, ao longo de todo o
comprimento da nervura. A NBR 6118 (item 20.1) especifica que “Os estribos em lajes nervuradas, quando
necessários, não podem ter espaçamento superior a 20 cm.”

VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES – CÁLCULO DA FLECHA
Método da rigidez média equivalente
Em geral, as lajes nervuradas apresentam fissuras para as cargas de serviço, ao contrário do que ocorre com
as lajes maciças. Assim, rigorosamente falando, as lajes nervuradas se encontram no Estádio II, quando
submetidas às cargas normais de utilização. Entretanto, as flechas finais da lajes, incluindo os efeitos da
fluência do concreto, podem ser calculadas no Estádio I, como se faz para as lajes maciças. Isso é possível
porque os efeitos da fluência são superavaliados com o cálculo realizado no Estádio I, o que compensa os
efeitos desfavoráveis da fissuração.
A maneira correta de se determinar a laje maciça equivalente é baseada na equivalência da energia de
deformação. Esse procedimento rigoroso exige o emprego de um método numérico. Para efeito de projeto,
pode-se determinar a espessura equivalente da laje nervurada por dois processos simplificados: pela
igualdade da rigidez média ou pela igualdade do momento de inércia da seção T. O estudo realizado por
Araújo, mostrou que a rigidez média é a que melhor representa o comportamento das lajes nervuradas.

Dessa forma, a espessura equivalente da laje nervurada pode ser calculada de acordo com a seguinte
equação:
ℎ𝑒 = 1 − ξ ℎ3 + ξℎ𝑓
3
1
3
Onde:
ξ =
𝑙𝑜𝑥𝑙𝑜𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦

De posse do valor da espessura média, calcula-se o valor da flecha imediata no estádio I (flecha elástica)
com o auxílio das equações da linha elástica e coeficientes tabelados (lajes bidirecionais).
Após a determinação da flecha imediata, calcula-se a flecha total considerando-se o coeficiente relativo à
flecha diferida (efeitos da fluência do concreto) como sendo igual a 2,5.
O valor da flecha admissível é o mesmo utilizado para vigas e lajes maciças, de acordo com a Tabela 13.3 da
ABNT NBR 6118/2014.

DISPOSIÇÃO DAS NERVURAS NA LAJE
De um modo geral, o vão livre da laje não é múltiplo do espaçamento S entre as nervuras em
determinada direção. Assim, é necessário definir uma disposição para as nervuras, de modo a vencer todo
o vão livre. A seguir são apresentadas três opções para tal.
OPÇÃO 1:
Neste caso, emprega-se sempre o mesmo espaçamento livre lo entre as nervuras. Para acertar o
vão livre Lo da laje, utilizam-se as abas laterais maciças de largura a. Essa opção é vantajosa quando são
utilizadas formas de dimensões padronizadas e com nervuras aparentes.
𝐿𝑜 = 𝑛𝑏𝑤 + 𝑛 + 1 𝑙𝑜 + 2𝑎
Sendo n o número de nervuras.

OPÇÃO 1:
Inicialmente admite-se que a = 0 e calcula-se o número de nervuras.
Se resultar em um número inteiro, significa que não há necessidade de abas laterais. Em caso contrário
adota-se para n o número inteiro imediatamente inferior e calcula-se a largura das abas.
𝑎 =
𝐿𝑜 − 𝑛𝑏𝑤 − 𝑛 + 1 𝑙𝑜
2
n =
𝐿𝑜 − 𝑙𝑜
𝑏𝑤 + 𝑙𝑜

OPÇÃO 2:
Neste caso, o espaço livre entre nervuras em uma das extremidades é c < lo.
𝐿𝑜 = 𝑛 𝑏𝑤 + 𝑙𝑜 + 𝑐
O número de nervuras é calculado de acordo com a equação anterior. Se resultar em um número inteiro,
significa que c = lo. Em caso contrário adota-se para n o número inteiro imediatamente superior e calcula-se
o valor de c pela expressão acima.

OPÇÃO 3:
Neste caso, o espaço livre entre nervuras nas duas extremidades é d < lo.
𝐿𝑜 = 𝑛𝑏𝑤 + 𝑛 − 1 𝑙𝑜 + 2𝑑
O número de nervuras é calculado de acordo com a equação anterior. Se resultar em um número inteiro,
significa que d = lo. Em caso contrário adota-se para n o segundo número inteiro imediatamente superior e
calcula-se o valor de d pela expressão acima.

EXERCÍCIO
9-) Dimensione a laje abaixo à flexão considerando-a como laje nervurada unidirecional com enchimento de EPS.
Dados:
ϒconc = 25 kN/m³
ϒench = 0,18 kN/m³
prev = 1 kN/m²
psob = 1,5 kN/m²
Concreto C20
Aço CA-50
d’ = 3 cm

EXERCÍCIO
10-) Dimensione a laje abaixo à flexão considerando-a como laje nervurada unidirecional com enchimento de
lajotas cerâmicas.
Dados:
ϒconc = 25 kN/m³
ϒench = 18 kN/m³
prev = 1 kN/m²
psob = 1,5 kN/m²
Concreto C20
Aço CA-50
d’ = 2,5 cm

EXERCÍCIO
11-) Dimensione a laje abaixo à flexão considerando-a como laje nervurada bidirecional com enchimento de EPS.
Dados:
ϒconc = 25 kN/m³
prev = 1 kN/m²
psob = 1,5 kN/m²
Concreto C25
Aço CA-50
d’ = 3 cm

EXERCÍCIO
12-) Dimensione a laje abaixo à flexão considerando-a como laje nervurada bidirecional com enchimento de
blocos cerâmicos.
Dados:
ϒconc = 25 kN/m³
ϒench = 13 kN/m³
ϒrev = 19 kN/m³ com 2 cm
ϒench = 21 kN/m³ com 3 cm
psob = 2,0 kN/m²
ppiso = 0,15 kN/m²
Concreto C25
Aço CA-50
d’ = 2,5 cm

EXERCÍCIO
13-) Projetar a laje nervurada bidirecional abaixo com os espaços entre as nervuras preenchidos por blocos de
isopor.
Dados:
ϒconc = 25 kN/m³
psob = 2,0 kN/m²
ppar = 1,0 kN/m²
prev = 1,0 kN/m²
Concreto C25
Aço CA-50
d’ = 3 cm

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