O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.
O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. São definidas retas e planos paralelos e perpendiculares com base na colinearidade ou perpendicularidade dos seus vetores diretores. São apresentados exemplos ilustrativos e discutida a interseção de três planos, que pode resultar num ponto, reta ou coincidência total dos planos.
O documento apresenta os conceitos de produto escalar entre vetores no espaço R3. São definidos o produto escalar, suas propriedades e expressão cartesiana. Também são apresentadas as interpretações geométricas do módulo do produto escalar como a projeção de um vetor na direção de outro e a determinação do ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. Exemplos ilustram o cálculo do produto escalar e a determinação de ângulos e projeções entre vetores.
Relações binárias e funções prof. rodolfo uhlmannRodolfo Freitas
Este documento discute conceitos matemáticos como conjunto, relação binária, função, plano cartesiano, produto cartesiano e suas aplicações no cotidiano. Explica propriedades de relações como reflexiva, simétrica e transitiva. Apresenta exemplos de funções como afim, linear, identidade, constante e quadrática.
O documento apresenta uma aula sobre espaços vetoriais. Define espaço vetorial como um conjunto não vazio com duas operações definidas: soma e multiplicação por escalar, que devem satisfazer propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elementos neutros. Em seguida, lista as propriedades que devem ser verificadas para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Por fim, propõe um exercício para verificar se um conjunto dado satisfaz as propriedades e portanto é um espaço vetorial.
1) O documento apresenta informações sobre geometria analítica de elipses, hipérboles e parábolas, incluindo seus elementos, relações e equações.
2) São descritas as propriedades, pontos, segmentos, relações e equações das elipses, hipérboles e parábolas.
3) O texto fornece detalhes sobre como representar geometricamente e algebraicamente cada uma das cônicas.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. São definidas retas e planos paralelos e perpendiculares com base na colinearidade ou perpendicularidade dos seus vetores diretores. São apresentados exemplos ilustrativos e discutida a interseção de três planos, que pode resultar num ponto, reta ou coincidência total dos planos.
O documento apresenta os conceitos de produto escalar entre vetores no espaço R3. São definidos o produto escalar, suas propriedades e expressão cartesiana. Também são apresentadas as interpretações geométricas do módulo do produto escalar como a projeção de um vetor na direção de outro e a determinação do ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. Exemplos ilustram o cálculo do produto escalar e a determinação de ângulos e projeções entre vetores.
Relações binárias e funções prof. rodolfo uhlmannRodolfo Freitas
Este documento discute conceitos matemáticos como conjunto, relação binária, função, plano cartesiano, produto cartesiano e suas aplicações no cotidiano. Explica propriedades de relações como reflexiva, simétrica e transitiva. Apresenta exemplos de funções como afim, linear, identidade, constante e quadrática.
O documento apresenta uma aula sobre espaços vetoriais. Define espaço vetorial como um conjunto não vazio com duas operações definidas: soma e multiplicação por escalar, que devem satisfazer propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elementos neutros. Em seguida, lista as propriedades que devem ser verificadas para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Por fim, propõe um exercício para verificar se um conjunto dado satisfaz as propriedades e portanto é um espaço vetorial.
1) O documento apresenta informações sobre geometria analítica de elipses, hipérboles e parábolas, incluindo seus elementos, relações e equações.
2) São descritas as propriedades, pontos, segmentos, relações e equações das elipses, hipérboles e parábolas.
3) O texto fornece detalhes sobre como representar geometricamente e algebraicamente cada uma das cônicas.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Este documento apresenta um método chamado "segmentos proporcionais" para resolver problemas de funções do primeiro grau, cinemática e termometria através de gráficos. Exemplos demonstram como usar este método para determinar valores de funções, posição, velocidade e temperatura a partir de gráficos.
O documento descreve superfícies quádricas e superfícies de revolução. Define superfícies quádricas como gráficos de equações do segundo grau e classifica-as em duas categorias. Superfícies de revolução são geradas pela rotação de curvas em torno de eixos, como hipérboles e elipses. Hiperboloides e elipsoides são exemplos de superfícies de revolução.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano e no espaço, incluindo definição de coordenadas cartesianas para pontos, distância entre pontos, equações de retas e circunferências.
2) É explicado o sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço, definindo quadrantes, octantes, fórmulas para cálculo de distâncias.
3) São apresentadas as equações paramétricas, simétricas, gerais e reduzidas que representam retas no plano cartesiano.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento discute o cálculo de estatísticas como covariância, correlação e regressão linear para um conjunto de dados. Há uma "pegadinha" no enunciado que força um modelo de regressão sem intercepto que não é o melhor para os dados. Isso faz com que algumas fórmulas e propriedades da regressão linear não se apliquem corretamente.
O documento descreve os conceitos fundamentais de espaço vetorial e subespaço vetorial.
1) Um espaço vetorial é um conjunto não vazio com operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem propriedades algébricas específicas.
2) Um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que é ele mesmo um espaço vetorial sob as mesmas operações.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de ponto, reta e circunferência no plano cartesiano, incluindo suas definições, propriedades e fórmulas.
2) É mostrado como calcular a distância entre dois pontos e entre um ponto e uma reta.
3) Exemplos resolvidos ilustram o cálculo do coeficiente angular de uma reta e a distância mínima que um ponto deve percorrer para alcançar uma reta.
O documento discute derivadas direcionais, que fornecem a taxa de variação de uma função de várias variáveis em qualquer direção. A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função ao longo de uma reta na direção de um vetor unitário. Ela pode ser calculada como a combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor unitário. Exemplos ilustram o cálculo da derivada direcional em diferentes situações.
1. O documento descreve as propriedades de relações binárias, incluindo: produto cartesiano, domínio, imagem, relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas.
2. Uma relação de equivalência é uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva. As classes de equivalência formam uma partição do conjunto.
3. Exemplos mostram como verificar se uma relação é de equivalência e como determinar classes de equivalência.
Funções, Equações e Inequações TrigonométricasEverton Moraes
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São descritas as variações dessas funções trigonométricas nos diferentes quadrantes do ciclo trigonométrico.
3) Incluem-se também fórmulas para adição e subtração de arcos trigonométricos, assim como propriedades dessas funções.
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O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.
The Daniel Dopps Memorial Rodeo will take place on June 28-29, 2013. This rodeo is organized by the Daniel Dopps Memorial Rodeo Committee. Attendees are invited to come to the rodeo on those dates.
C-TAC 2015 National Summit on Advanced Illness Care - Master Slide Deckzbarehmi
This document provides an overview of the National Summit on Advanced Illness Care that took place on March 2-3, 2015 in Washington DC. The summit was hosted by C-TAC (Coalition to Transform Advanced Care) and brought together leaders, clinicians, researchers, and policymakers to drive improvements in advanced illness care. Over the two-day event, there were presentations on models of advanced illness care, engaging patients and families, improving clinician-patient communication, the role of research and policies to support high-quality end-of-life care for all Americans.
O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like depression and anxiety.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Este documento apresenta um método chamado "segmentos proporcionais" para resolver problemas de funções do primeiro grau, cinemática e termometria através de gráficos. Exemplos demonstram como usar este método para determinar valores de funções, posição, velocidade e temperatura a partir de gráficos.
O documento descreve superfícies quádricas e superfícies de revolução. Define superfícies quádricas como gráficos de equações do segundo grau e classifica-as em duas categorias. Superfícies de revolução são geradas pela rotação de curvas em torno de eixos, como hipérboles e elipses. Hiperboloides e elipsoides são exemplos de superfícies de revolução.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano e no espaço, incluindo definição de coordenadas cartesianas para pontos, distância entre pontos, equações de retas e circunferências.
2) É explicado o sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço, definindo quadrantes, octantes, fórmulas para cálculo de distâncias.
3) São apresentadas as equações paramétricas, simétricas, gerais e reduzidas que representam retas no plano cartesiano.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento discute o cálculo de estatísticas como covariância, correlação e regressão linear para um conjunto de dados. Há uma "pegadinha" no enunciado que força um modelo de regressão sem intercepto que não é o melhor para os dados. Isso faz com que algumas fórmulas e propriedades da regressão linear não se apliquem corretamente.
O documento descreve os conceitos fundamentais de espaço vetorial e subespaço vetorial.
1) Um espaço vetorial é um conjunto não vazio com operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem propriedades algébricas específicas.
2) Um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que é ele mesmo um espaço vetorial sob as mesmas operações.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de ponto, reta e circunferência no plano cartesiano, incluindo suas definições, propriedades e fórmulas.
2) É mostrado como calcular a distância entre dois pontos e entre um ponto e uma reta.
3) Exemplos resolvidos ilustram o cálculo do coeficiente angular de uma reta e a distância mínima que um ponto deve percorrer para alcançar uma reta.
O documento discute derivadas direcionais, que fornecem a taxa de variação de uma função de várias variáveis em qualquer direção. A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função ao longo de uma reta na direção de um vetor unitário. Ela pode ser calculada como a combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor unitário. Exemplos ilustram o cálculo da derivada direcional em diferentes situações.
1. O documento descreve as propriedades de relações binárias, incluindo: produto cartesiano, domínio, imagem, relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas.
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3. Exemplos mostram como verificar se uma relação é de equivalência e como determinar classes de equivalência.
Funções, Equações e Inequações TrigonométricasEverton Moraes
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São descritas as variações dessas funções trigonométricas nos diferentes quadrantes do ciclo trigonométrico.
3) Incluem-se também fórmulas para adição e subtração de arcos trigonométricos, assim como propriedades dessas funções.
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O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.
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C-TAC 2015 National Summit on Advanced Illness Care - Master Slide Deckzbarehmi
This document provides an overview of the National Summit on Advanced Illness Care that took place on March 2-3, 2015 in Washington DC. The summit was hosted by C-TAC (Coalition to Transform Advanced Care) and brought together leaders, clinicians, researchers, and policymakers to drive improvements in advanced illness care. Over the two-day event, there were presentations on models of advanced illness care, engaging patients and families, improving clinician-patient communication, the role of research and policies to support high-quality end-of-life care for all Americans.
O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like depression and anxiety.
The document discusses advance care planning (ACP) and problems with traditional approaches focusing on advance directives. It summarizes research showing many patients do not understand forms or hypothetical scenarios. Focus groups identified 5 themes to better prepare for medical decision-making: 1) Identify a surrogate, 2) Reflect on values and past experiences, 3) Discuss flexibility for surrogates, 4) Inform family/friends of decisions, and 5) Ask clinicians about treatment outcomes. The author developed an interactive website called PREPARE addressing these themes. A pilot study found it improved engagement in ACP behaviors among diverse older adults based on a new ACP survey measuring behavior change processes and actions.
Este documento apresenta definições e propriedades relacionadas a geometria vetorial no espaço, incluindo: 1) a definição de produto escalar de dois vetores; 2) como calcular o ângulo entre dois vetores ou duas retas usando o produto escalar; 3) como classificar a posição relativa de duas retas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) como calcular a distância entre dois pontos; (4) o ponto médio de um segmento de reta; (5) a condição de alinhamento de três pontos; (6) o coeficiente angular e a equação geral de uma reta. O documento também fornece vários exercícios
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) como calcular a distância entre dois pontos; e (4) como determinar se três pontos estão alinhados. O documento também fornece vários exercícios para aplicar esses conceitos.
1. O vértice E do paralelepípedo tem coordenadas (12,-12,-10).
2. Os outros dois vértices do quadrado são C(6,6,1) e D(2,2,0).
3. Uma equação do plano π que passa por P(1,0,1) e contém a reta r é: π: (x, y, z) = (1,0,1) + t(2,0,1) + h(0,1,1); t, h ∈ R.
1) S é um subespaço nas condições (a), (b), (c) e (d). A dimensão de S é 0 nas condições (a) e (d), 1 nas condições (b) e (c). S não é um subespaço nas condições (e), (f), (g) e (h).
2) As matrizes A, B e C são linearmente independentes porque cada uma tem linhas (ou colunas) linearmente independentes e não há linhas (ou colunas) repetidas.
3) Os polinômios p(x), q(x) e
O documento descreve o sistema de coordenadas polares, no qual a localização de um ponto P é dada pela distância r ao origem O e pelo ângulo θ formado com o eixo x. Exemplos mostram como converter entre coordenadas polares (r, θ) e cartesianas (x, y), e como escrever equações em coordenadas polares a partir de equações cartesianas.
Este documento descreve o sistema de coordenadas polares, que representa a localização de um ponto no plano através da distância ao origem e do ângulo formado com o eixo x. Explica como converter entre coordenadas polares (r, θ) e cartesianas (x, y), e fornece exercícios de conversão entre os sistemas.
1. As rectas são paralelas se os vectores diretores forem colineares.
2. As rectas são perpendiculares se o produto vetorial dos vectores diretores for igual a zero.
3. Os planos são paralelos se os vectores perpendiculares aos planos forem colineares.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIACarlos Campani
1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y.
2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano.
3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.
O documento descreve os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo o sistema cartesiano de eixos, quadrantes, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação destes conceitos.
1) O documento discute decomposição de vetores no plano e no espaço em componentes de bases de vetores.
2) É mostrado como qualquer vetor no plano ou espaço pode ser expresso como combinação linear de vetores de uma base.
3) As operações com vetores como soma, subtração e escalar são definidas para o plano e espaço.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento discute a definição de ângulos entre retas e planos no espaço. Para ângulos entre retas, ele define que o ângulo é 0° se as retas forem coincidentes ou paralelas, ou o menor ângulo positivo entre as retas se forem concorrentes. Para planos, o ângulo é 0° se forem paralelos ou coincidentes, ou o ângulo entre as retas perpendiculares aos planos que passam pelo ponto de interseção. Ele também fornece fórmulas para calcular esses ângulos
1. A expressão para du/dx se u depende de x, y(x) e z(x,y) é du/dx = fx + fy' + fz(fx + fy' ), onde y' é dy/dx e zx e zy são as derivadas parciais de z.
2. Se w depende de u e v, que dependem de x e y linearmente, então a derivada temporal de w é igual à combinação linear das derivadas espaciais.
3. A derivada de z = sen(x)cos(x) é dz/dx = (sen(x))(sen
O documento discute relações matemáticas, incluindo propriedades de relações, fechos de relações, ordens parciais e relações de equivalência. É apresentado o conceito de produto cartesiano e vários exemplos de relações binárias.
Este documento apresenta um trabalho de geometria realizado por um aluno sobre a Escola Secundária Pinheiro e Rosa. O trabalho inclui a identificação de elementos geométricos como pontos, retas, vetores e ângulos em uma imagem da escola colocada em um referencial tridimensional, além de determinar coordenadas, equações de retas, valores de ângulos e a equação geral do plano. O trabalho conclui que a geometria está presente na vida cotidiana e é fundamental para entender o mundo.
1) O vértice E do paralelepípedo pertence à reta r de equação z2yx −=−= . As coordenadas de E são determinadas como (10,12,12).
2) Sabendo que o vértice B tem coordenadas (0,1,1) e que A(0,0,1) são vértices consecutivos de um quadrado no plano 01z2yx: =−+−α , as coordenadas dos outros dois vértices são determinadas como (0,2,1) e (0,3,3).
3) Uma equação do plan
O plano cartesiano foi criado por René Descartes e consiste em dois eixos perpendiculares, um horizontal chamado de eixo das abscissas e um vertical chamado de eixo das ordenadas, que são usados para localizar pontos através de pares de números chamados de coordenadas cartesianas.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
1. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
1. Rectas Paralelas
r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ
Se as rectas são paralelas
r
v ( v1 , v2 , v3 ) os vectores directores são
colineares
r r
r v = ku
r u ( u1 , u2 , u3 ) ou seja:
s
v1 v2 v3
= =
u1 u2 u3
Jorge Freitas
ESAS 2006
2. Exemplo 1
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( −6, −4, 2 ) , k ∈ℜ
• São paralelas porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
são colineares
r r 3 2 −1
u = −2v ⇔ = =
−6 −4 2
Jorge Freitas
ESAS 2006
3. Exemplo 2
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
x −3 y + 2 z −3
s → = =
−6 −4 2
• São paralelas porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
são colineares
r r 3 2 −1
u = −2v ⇔ = =
−6 −4 2
Jorge Freitas
ESAS 2006
4. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
2. Rectas Perpendiculares
r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ
Se as rectas são perpendiculares
os vectores directores são
r
v ( v1 , v2 , v3 ) r perpendiculares
u ( u1 , u2 , u3 ) r r
v× =0
u
ou seja:
r v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0
s
Jorge Freitas
ESAS 2006
5. Exemplo 1
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( 1, 0,3) , k ∈ℜ
• São perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( 1, 0,3)
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 3 × 1 + 2 × 0 + ( −1) × 3 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006
6. Exemplo 2
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
x −3 z −3
=
s → 2 6
y = −3
• São perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( 2, 0, −6 )
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 3 × 2 + 2 × 0 + ( −1) × 6 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006
7. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
1. Planos Paralelos
α → ax + by + cz + d = 0
β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
r
v (a, b, c)
Se os planos são paralelos
α os vectores perpendiculares
aos planos são colineares
r r r
u (a′, b′, c′ ) v = ku
ou seja:
β
a b c
= =
a ′ b′ c ′
Jorge Freitas
ESAS 2006
8. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
β → −2 x + 6 y − 4 z + 5 = 0
• São paralelos porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, 6, −4 )
são colineares
r r 1 −3 2
u = −2v ⇔ = =
−2 6 −4
Jorge Freitas
ESAS 2006
9. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
2. Planos Perpendiculares
α → ax + by + cz + d = 0
β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
r Se os planos são perpendiculares
u (a′, b′, c′ ) os vectores perpendiculares aos
planos são perpendiculares entre si
r
v (a, b, c)
rr
v .u = 0
ou seja:
α
aa′ + bb′ + cc′ = 0
Jorge Freitas
β
ESAS 2006
10. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
β → −2 x − 2 y − z + 5 = 0
• Os planos são perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, −2, −1)
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 2 × ( −2 ) + ( −3) × ( −2 ) + 2 × ( −1) = 0 ⇔
r r
u ×v = 0 ⇔ −4 + 6 − 2 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006
11. Perpendicularidade de Rectas e Planos
α → ax + by + cz + d = 0
x − x1 y − y1 z − z1
r → = =
v1 v2 v3
Se a recta é perpendicular ao
plano, é paralela ao vector
r perpendicular ao plano
v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r
u ( a , b, c ) v // u ou v = ku
ou seja:
v1 v2 v3
α = =
a b c
Jorge Freitas
r
ESAS 2006
12. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
r → ( x, y, z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, −6, 4 ) , λ ∈ℜ
• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, −6, 4 )
são colineares (ou paralelos)
r r 1 −3 2
u = 2v ⇔ = =
2 −6 4
Jorge Freitas
ESAS 2006
13. Paralelismo de Rectas e Planos
α → ax + by + cz + d = 0
x − x1 y − y1 z − z1
r → = =
v1 v2 v3
Se a recta é paralela ao plano,
é perpendicular ao vector
r perpendicular ao plano
v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r
u ( a , b, c ) v ⊥ u ou v × = 0
u
ou seja:
α aa′ + bb′ + cc′ = 0
EscolaJorge Freitas
Secundária Alberto Sampaio
Jorge Manuel 2006
ESAS Carneiro de Freitas
Março 2006
14. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, 2, 2 ) , λ ∈ℜ
• A recta é paralela ao plano porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, 2, 2 )
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 1× 2 + ( −3) × 2 + 2 × 2 = 0 ⇔
r r
u ×v = 0 ⇔ 2 − 6 + 4 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006
16. Posição relativa de 3 planos
α → ax + by + cz + d = 0
β → a′x + b′y + c′z + d ′ = 0
γ → a′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0 r
w (a′ , b′ , c′ )
r
v (a, b, c) γ
r
u (a′ , b′ , c′ )
α
Jorge Freitas
β
ESAS 2006
17. A intersecção de três planos obtém-se
resolvendo o sistema:
ax + by + cz + d = 0
a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
a ′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006
18. r r r
v, u e w
não são colineares
Sistema possível
e determinado. r
w (a′ , b′ , c′ )
γ
A
A solução é r
r v ( a , b, c )
(x0,y0,z0) u (a′, b′, c′ )
(coordenadas
do ponto A)
β α
Jorge Freitas
ESAS 2006
19. Os 3 planos intersectam-se
num ponto. O sistema
é possível e determinado.
w ( a ′ , b′ , c ′ )
A solução é γ
(x0,y0,z0) A
(coordenadas u (a′, b′, c′ )
v (a, b, c)
do ponto A)
α
β
v, u e w
não são colineares
Jorge Freitas
ESAS 2006
20. Exemplo
x + 2 y − z + 6 = 0
3 x + y + z = 4
x − 3y − 2z = 1
• Os três planos intersectam-se num ponto.
• O sistema tem solução
x = 1 Resolver o sistema:
y = −2 • na calculadora
• método da substituição
z = 3
• método da redução
Jorge Freitas
ESAS 2006
21.
v, u e w
Os três planos não são colineares
intersectam-se segundo
uma recta. r
O sistema
é possível e γ
u ( a ′ , b′ , c ′ )
indeterminado. v ( a , b, c )
w ( a ′ , b′ , c ′ )
β
As soluções são
todos os pontos da recta r
α
Jorge Freitas
ESAS 2006
22. Exemplo
x + 2 y − 3z = −6
2 x − y − z = 3
x + y − 2 z = −3
• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z = x x−0 y +3 z −0
⇔ x = y+3= z ⇔ = =
z = y + 3 1 1 1
Jorge Freitas
ESAS 2006
23. Dois dos planos são
coincidentes. u // w
O sistema
é possível e
indeterminado. γ
w ( a ′ , b′ , c ′ )
r
As soluções
u (a′, b′, c′ ) β
são as coordenadas
v (a, b, c)
de cada um dos
pontos da recta r
α
Jorge Freitas
ESAS 2006
24. Exemplo
x + 2 y − 3z = −6
2 x + 4 y − 6 z = −12
x + y − 2 z = −3
• Dois dos planos são coincidentes
• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z = x x−0 y +3 z −0
⇔ x = y +3= z ⇔ = =
z = y + 3 1 1 1
Jorge Freitas
ESAS 2006
25. Os 3 planos são
coincidentes v // u // w
O sistema é
indeterminado
Qualquer ponto destes u (a′, b′, c′ )
planos é solução
v ( a , b, c )
do sistema. β
w ( a ′ , b′ , c ′ )
γ
α
Jorge Freitas
ESAS 2006
26. Exemplo
x + 2 y − 3z = −6
2 x + 4 y − 6 z = −12
− x − 2 y + 3 z = 6
• Os três planos são coincidentes
• Qualquer ponto de um dos planos pertence também
aos outros planos
• O sistema é indeterminado
Jorge Freitas
ESAS 2006
27.
v // u // w
Os 3 planos são
estritamente
w (a′ , b′ , c′ )
paralelos
γ
Os planos u (a′, b′, c′ )
não se intersectam
β
O sistema é
impossível
Jorge Freitas
ESAS 2006
v ( a , b, c ) α
28. Exemplo
x + 2 y − 3 z = −6
x + 2 y − 3z = 0
x + 2 y − 3z = 5
• Os três planos estritamente paralelos
• Os três planos nunca se interceptam
• O sistema é impossível
Jorge Freitas
ESAS 2006
29.
v // u
Dois dos planos são
estritamente γ
paralelos w ( a ′ , b′ , c ′ ) u (a′, b′, c′ )
β
Os 3 planos
não se
intersectam α
v ( a , b, c )
O sistema é
impossível
Jorge Freitas
ESAS 2006
30. Exemplo
x + 2 y − 3 z = −6
− x − 2 y + 3 z = 0
2 x + y − 3 z = 2
• Dois dos planos são estritamente paralelos
• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas
paralelas entre si
− x + y = −8 y = x −8
⇔
x − y = 2 y = x − 2
• O sistema é impossível
Jorge Freitas
ESAS 2006
31.
v, u e w
Os 3 planos não são colineares
intersectam-se
2 a 2 segundo
rectas
estritamente
paralelas
u (a′, b′, c′ ) v ( a , b, c )
O sistema é
impossível w ( a ′ , b′ , c ′ )
α
γ β
Jorge Freitas
ESAS 2006
32. Exemplo
x + y + z = 6
2 x − y = −1
3 x + z = 2
• Os três planos não são paralelos
• Os planos intersetam-se dois a dois segundo
rectas paralelas
3 y + 2 z = −11
3 y + 2 z = 16 • O sistema é impossível
3 y + 2 z = 7
Jorge Freitas
ESAS 2006