Livro cálculo diferencial de uma variável(60hs) unidade i

Cálculo Diferencial
de uma Variável
Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano
Prof. Daniel Scodeler Raimundo

Professoras conteudistas:
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / Valéria de Carvalho

Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre
em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.

Professora do curso de Pós-Graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e
professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância.

Coautora dos livros:

• Geometria analítica para computação, Editora LTC.
• Álgebra linear para computação, Editora LTC.
• Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, Editora Ícone.

Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação
Cientíﬁca), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp, é professora do Ensino
Superior desde 1988.

Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação
Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.

Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o
trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade.

Atualmente é professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade
EaD – Ensino a Distância.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

E77c Espinosa, Isabel

Cálculo diferencial de uma variável / Isabel Espinosa; Valéria de
Carvalho. - São Paulo: Editora Sol, 2011.
240 p., il.

Notas: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-036/11, ISSN 1517-9230.

1. Funções 2. Cálculo 3. Aplicações ao Maxima I. Título

CDU 517.2

© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem
permissão escrita da Universidade Paulista.

Prof. Dr. João Carlos Di Genio
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Unip Interativa – EaD

Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure

Material Didático – EaD

Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)

Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualiﬁcação e Avaliação de Cursos

Projeto gráﬁco:
Prof. Alexandre Ponzetto

Revisão:
Ana Luiza Fazzio
Elaine Fares

Sumário
Cálculo Diferencial de uma Variável

APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8

Unidade I
1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO ...................................................9
1.1 Plano cartesiano ................................................................................................................................... 10
1.2 Produto cartesiano ...............................................................................................................................11
1.3 Relação ..................................................................................................................................................... 12
2 FUNÇÃO .............................................................................................................................................................. 14
2.1 Elementos de uma função ................................................................................................................ 18
2.2 Operações com funções..................................................................................................................... 20
2.3 Gráfico ...................................................................................................................................................... 22
2.4 Funções par e ímpar ............................................................................................................................ 26
2.5 Tipos de funções ................................................................................................................................... 27
2.6 Função inversa ....................................................................................................................................... 28
2.7 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 30
3 FUNÇÕES POLINOMIAIS ............................................................................................................................... 36
3.1 Função de 1° grau ................................................................................................................................ 36
3.1.1 Função de 1° grau (ou função afim) ............................................................................................... 36
3.1.2 Gráfico ......................................................................................................................................................... 37
3.1.3 Crescimento da função de 1° grau .................................................................................................. 39
3.1.4 Sinais da função ...................................................................................................................................... 40
3.2 Função constante ................................................................................................................................. 41
4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (OU DE 2° GRAU) ............................................................................................. 42
4.1 Gráfico ...................................................................................................................................................... 43
4.2 Concavidade ........................................................................................................................................... 43
4.3 Sinais da função ................................................................................................................................... 47

Unidade II
5 OUTRAS FUNÇÕES REAIS ............................................................................................................................. 57
5.1 Função exponencial............................................................................................................................. 57
5.1.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 58
5.2 Função logarítmica .............................................................................................................................. 60

5.3 Função modular .................................................................................................................................... 62
5.3.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 62
5.4 Funções trigonométricas ................................................................................................................... 64
5.4.1 Função seno .............................................................................................................................................. 64
5.4.2 Função cosseno ....................................................................................................................................... 65
5.4.3 Função tangente ..................................................................................................................................... 66
5.5 Assíntotas ................................................................................................................................................ 67
5.5.1 Assíntotas horizontais .......................................................................................................................... 67
5.5.2 Assíntotas verticais ................................................................................................................................ 70
6 LIMITE................................................................................................................................................................... 76
6.1 Uma visão intuitiva ............................................................................................................................. 76
6.1.1 Função contínua ..................................................................................................................................... 80
6.1.2 Propriedades operatórias dos limites ............................................................................................. 82
6.1.3 Limites envolvendo infinito ................................................................................................................ 86
6.1.4 Limites fundamentais ........................................................................................................................... 94

Unidade III
7 DERIVADAS ......................................................................................................................................................107
7.1 Notações de derivada .......................................................................................................................109
7.2 Regras de derivação .......................................................................................................................... 114
7.3 Derivadas de ordem superior ........................................................................................................120
7.4 Alguns teoremas .................................................................................................................................123
7.5 Ampliando seu leque de exemplos .............................................................................................127
8 APLICAÇÕES ....................................................................................................................................................130
8.1 Variação aproximada – diferencial..............................................................................................130
8.2 Sinais da 1ª derivada – crescimento da função .....................................................................132
8.3 Concavidade da função – sinais da 2ª derivada ....................................................................135
8.4 Construção de gráficos ....................................................................................................................137
8.4.1 Assíntota horizontal ........................................................................................................................... 140
8.5 Regras de L’Hospital ..........................................................................................................................141
8.6 Logaritmo e exponencial .................................................................................................................142
8.7 Derivadas ...............................................................................................................................................149
8.8 Ampliando seu leque de exemplos .............................................................................................155

APRESENTAÇÃO

O objetivo desta disciplina é oferecer ao aluno do SEPI/SEI material de apoio para o acompanhamento
da disciplina Cálculo Diferencial de uma Variável.

Estudaremos, nesse livro-texto, as noções iniciais de funções, utilizando representações gráficas
e notações mais formais. Estudaremos também o conceito intuitivo de limites, deixando a definição
formal para outra ocasião.

O estudo de derivada será feito utilizando interpretação geométrica e definição formal, faremos
também o estudo geral das funções deriváveis.

Ao final, teremos aplicações dos conceitos estudados por meio de problemas em várias áreas.

Apresentamos, após as unidades, o aplicativo computacional Maxima, com exemplos ligados aos
assuntos estudados para você se familiarizar com as novas tecnologias.

Na unidade I, estudaremos o conceito de plano cartesiano e daremos início ao estudo das
funções e de algumas funções polinomiais e suas principais características. Até aqui não tratamos
de novidades, visto que todos já tiveram contato com esses conceitos em etapas anteriores de seus
estudos.

Na unidade II, trataremos inicialmente de algumas funções reais como exponencial, logaritmo e
algumas trigonométricas. Começaremos também a tratar do cálculo e sua teoria, iniciando com a noção
intuitiva de limite.

Na unidade III, teremos noção de derivadas e suas aplicações, primeiro as aplicações com a intenção
de facilitar a construção de gráficos mais elaborados e depois a resolução de problemas aplicados a
várias áreas.

Ao final de cada assunto, temos o item “Ampliando seu leque de exemplos”, no qual você
encontrará mais exemplos relacionados aos assuntos estudados. Nesse item você deve, após uma
leitura detalhada, refazer todos, afinal, o estudo de vários modelos diferentes melhorará o seu
aprendizado.

No apêndice, apresentamos um aplicativo computacional para orientá-lo no estudo do
Cálculo Diferencial utilizando software matemático Maxima. O software apresentado é livre
permitindo que todos tenham acesso. Em especial, focamos aplicações em limites, continuidade
e derivadas.

Esperamos que este material desperte seu espírito científico e interesse no Cálculo Diferencial e que
possa auxiliá-lo em seus estudos. Bom estudo!

7

INTRODUÇÃO

Neste livro-texto, estudaremos os aspectos iniciais do Cálculo Diferencial de uma Variável. Esses
conceitos servirão de base para que você possa se aprofundar no estudo do Cálculo Diferencial. Os
conceitos que serão vistos, podem ser aplicados nas mais variadas áreas, além da Matemática.

As aplicações passam por várias partes da Física, por exemplo, é comum o uso de derivadas para
facilitar os cálculos em Economia. Da mesma forma, temos vários conceitos que são definidos utilizando
derivadas, como por exemplo, o conceito de análise marginal. Encontramos aplicações também na
Engenharia, Biologia, entre outras.

Algumas destas aplicações serão encontradas nesse livro-texto, no entanto, é importante frisar que
você deve adaptar os enunciados de modo a torná-los mais ligados à realidade de seus educandos. Esse
procedimento facilita bastante o entendimento dos conceitos. São apresentadas situações-problema
que se aproximam de fatos que despertem a atenção para o assunto que está sendo tratado, tornando
o processo ensino-aprendizagem mais proveitoso.

Não faremos aqui as demonstrações dos teoremas citados, estas podem ser encontradas nos livros
indicados na bibliografia.

O Cálculo Diferencial requer bastante estudo e dedicação, sendo assim, é importante que você
complete seus estudos utilizando, além desse livro-texto, materiais complementares (pesquisas em
livros e sites, resolução de problemas e exercícios).

Esperamos que você, aluno, seja capaz de identificar os conhecimentos matemáticos necessários
para que se torne um bom profissional de ensino Fundamental, Médio ou Superior e que esteja sempre
preocupado com o papel social na função que desempenha.

Você deve ser um profissional capaz de trabalhar de forma integrada com os professores da sua área
e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta pedagógica da sua escola.

Esperamos ainda que você, aluno, se torne um professor que saiba reconhecer as dificuldades
individuais de seu educando e sugerir caminhos alternativos que permita a ele desenvolver e prosseguir
os estudos.

8

CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL

Unidade I
PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES

1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO

Muitas vezes, em nosso dia a dia, nos deparamos com situações que envolvem localização, por
exemplo, você marca uma consulta com um médico e como é a primeira vez que vai ao consultório, a
atendente lhe informa o endereço. Como você não sabe chegar até lá, vai procurar a localização num
guia de ruas e encontra a seguinte indicação: 22 J6.

Qual o signiﬁcado dessa informação?

O número 22 indica a página do guia e a letra J e o número 6 indicam a coluna e a linha para a
localização da rua.

No jogo batalha naval, também utilizamos o plano cartesiano para localizar e destruir os navios do
adversário, para isso, são indicadas as coordenadas linha e coluna.

Veja o exemplo a seguir:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a a
b b
c c
d d
e e
f f
g g
h h
i i
j j
L L
m m
n n
o o
p p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9

Unidade I

Nesse exemplo, se você escolher a2 conseguirá afundar o navio adversário que está na linha “a”
coluna “2”. Porém, se escolher d3 será água, isto é, não conseguirá acertar o adversário.

A ideia de termos uma forma de localizar pontos num plano é utilizada desde a Antiguidade. Nós
utilizamos, atualmente, o sistema cartesiano que estudaremos a seguir.

1.1 Plano cartesiano

O sistema cartesiano é baseado no sistema criado pelo matemático e ﬁlósofo francês René Descartes,
cujo pseudônimo era Cartesius, daí o nome plano cartesiano.

O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares (formam ângulo de 90º) e o ponto de
encontro delas é denominado origem. Cada eixo representa um dos conjuntos do produto cartesiano, o
eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas e o eixo vertical (y) é o eixo das coordenadas.

Como você pode ver, os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes, conforme a ﬁgura a
seguir. O eixo x será positivo no 1º e no 4º quadrantes, e negativo no 2º e 3º quadrantes, o eixo y será
positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e 4º quadrantes:
y
(ordenadas)

2º Q
1º Q

x
4º Q (abscissas)
3º Q

Um par ordenado pode ser representado geometricamente como um ponto em um plano
cartesiano.

Assim, para representarmos o par ordenado (2, 3) no plano cartesiano, devemos marcar 2 no eixo x
e 3 no eixo y.

Lembrete

As retas auxiliares utilizadas para localizar o ponto A devem ser paralelas
aos eixos.

10


y

3 A (2,3)

2 x

Exemplo:

Represente os pontos A (1, 3), B (3, 1), C (–1, –3), D (0, 2), E (–2, 4) e F (2, –2):

y

E (-2,4)
4
A (1,3)
3
2 D (0,2)
1 B (3,1)

-2 -1 1 2 3
x
-2
F (2,-2)
(-1,-3) C -3

1.2 Produto cartesiano

Consideremos dois conjuntos A e B não vazios. Chamamos de produto cartesiano de A e B ao
conjunto formado por todos os pares ordenados, com 1º elemento de A e 2º elemento de B.

Produto cartesiano de A e B:

A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo:

Se A = {0, 2} e B = {0, 2, 3} calculando A x B e B x A, temos:

A x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3)}

B x A = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}

11

Unidade I

Representando geometricamente, temos:

y (B) y (A)

(0,3)
(2,3)
(2,2)
(0,2) (2,2) (0,2) (3,2)

(0,0) (2,0) x (A) (0,0) (2,0) (3,0) x (B)

AxB BxA

Notemos que, como os pares são ordenados, o par (0, 2) é diferente do par (2, 0) e representam
pontos diferentes no plano.

O número de elementos do produto cartesiano A x B, sendo A e B ﬁnitos, é dado pela multiplicação
do número de elementos de A pelo número de elementos de B.

Assim, n(A x B) = n(A) . n(B)

Exemplo:

Sendo A = {–1, 0, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos:

• Número de elementos de A é n(A) = 4.

• Número de elementos de B é n(B) = 6.

Logo, o número de elementos de A x B é n(A x B) = 4 x 6 = 24.

1.3 Relação

Em vários momentos, trabalhamos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo, quando
estudamos o movimento de um carro em uma estrada, podemos construir uma tabela com a posição
do carro (S) e o tempo (t):

t ( s) 0 1 2 3 4 5 6
S(m) 0 10 20 30 40 50 60

Temos uma relação entre tempo (t) e distância (S) dada pelos pares ordenados:

{(0, 0), (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 50), (6, 60)}.

12


Observando o que ocorre com os valores da tabela, podemos escrever uma expressão para encontrar
a posição do carro em um dado tempo S = 10 t.

Deﬁnimos relação binária de A em B como todo subconjunto de A x B.

R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B

Exemplo:

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4}.

Determine o produto cartesiano A x B e a relação R dada pelos pares ordenados (x, y), tais que y = 2x

Temos:

A x B = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 1),
(3, 2), (3, 4)}

Como a relação é dada por y = 2x, temos:

x y (x, y)
0 2.0=0 (0, 0)
1 2.1=2 (1, 2)
2 2.2=4 (2, 4)
3 2.3=6 (3, 6)

Assim, a relação é dada pelo conjunto R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}.

Podemos também representar a relação por meio de um diagrama ou no plano cartesiano.

Observando o nosso exemplo, temos:

a) Representação por diagramas:

0 0

1 1

2 2

3 4

A B
13

Unidade I

Cada par ordenado é representado por uma flecha do 1° elemento do par para o 2° elemento do par.

b) Representação no plano cartesiano:

y (B)

(2,4)
4

(1,2)
2

(0,0) 1 2 3 x (A)

2 FUNÇÃO

Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana: “alugue um carro pagando
R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por Km rodado”.

Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo
aluguel, aproveitando a promoção.

Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?

Veremos, a seguir, um conceito que permitirá que você responda a questão acima.

Função é uma relação f de A em B, indica-se f: A → B, que obedece às seguintes regras:

• Não há elemento em A sem representante em B.

• Qualquer elemento de A tem um único correspondente em B.

Note que no 2° conjunto podemos ter elementos sem correspondente e também elementos com
mais de um correspondente.

A seguir, temos algumas situações para verificar se são funções ou não, isto é, se satisfazem as duas
condições da definição.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama,
verifiquemos se f é uma função:
14


Nesse exemplo, notamos que a relação f é uma função, pois obedece às duas regras dadas.

f

1
0

2

1
3

A B

2) Sejam A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e consideremos a relação f de A em B dada pelo diagrama a
seguir, veriﬁquemos se f é uma função:

f

0 0

1
2
2
4
3

A B

Note que a relação f não é uma função, pois não satisfaz a primeira regra, o elemento x = 3 do
conjunto A não tem correspondente no conjunto B.

3) Sejam A = {0, 1}; B = {–1, 0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, veriﬁquemos se f é
uma função:

f

0
0

-1

1
1

A B

15

Unidade I

A relação f não é uma função, pois não satisfaz a 2ª segunda regra, o elemento x = 1 do conjunto
A tem 2 correspondentes em B.

Chamamos de lei de uma função f de A em B a sentença aberta y = f(x) que relaciona os elementos de A e B.

Observação

Nem sempre é prático escrever a lei de uma função, nesses casos
usaremos os pares ordenados.

Exemplos:

1) Sejam A = {–1, 0, 1, 2, 3}; B = {–3, 0, 3, 6, 9} e f a função de A em B dada pelo conjunto
R = {(–1, –3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}, determinemos a lei da função f: A → B:

Notemos que o 2° número de cada par é o triplo do 1° número, assim, podemos escrever a lei de f,
então:

y = 3x ou ƒ(x) = 3x

2) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f a função de A em B dada pelo diagrama abaixo,
determinemos a lei da função f: A → B:
f

0 1
1 2
2 3

3 4
4 5
5 6

A B

Comparando os valores dos pares ordenados, notamos que cada elemento de B é o elemento de A
mais 1, assim, podemos escrever a lei de f:

y=x+1 ou ƒ(x) = x+1

3) Sejam A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 5, 6, 10} e f a função de A em B dada pelo diagrama a seguir,
determinemos a lei da função f: A → B:

16


f

1 0

2
5
6
3

4 10

A B

Comparando os pares ordenados, não encontramos facilmente uma relação entre os valores, nesse
caso, não escrevemos a lei da função f.

Vamos retornar ao problema do aluguel do carro.

4) Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana:

“alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por quilômetro rodado”.

Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo
aluguel, aproveitando a promoção.

Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?

Notemos que o valor a ser pago depende do km rodado, isto é, “está em função do km rodado”.
Temos, então, uma função e queremos estabelecer uma lei para ela, se for possível.

Pensemos inicialmente em alguns casos particulares:

• Andar 10 km – valor do aluguel 50 (ﬁxo) + 1. (10) = 50 + 10 = 60 reais.

Observando os cálculos que foram feitos, notamos que uma parte é ﬁxa e a outra é o produto de 1
pelos km rodados, podemos, então, representar a quantidade de km rodados pela variável x.

Assim, teremos que a expressão V(x) = 50 + 1x indica, para nós, o valor em função de x, isto é, você
muda o valor de x e, fazendo os cálculos, determina o valor do aluguel.

Por exemplo, se sua viagem for de 90 km, você deverá pagar por um dia de aluguel:
V(90) = 50 + 1. 90 = 140 reais.
17

Unidade I

2.1 Elementos de uma função

Se f: A → B é uma função, chamamos o conjunto A de domínio de f e o conjunto B de contra
domínio de f.

Indicamos o domínio de f por Dom f = D (f) = A e o contradomínio CD(f) = B.

Ao conjunto formado pelos elementos de B, que são correspondentes de algum elemento de A,
chamamos de imagem de f e escrevemos Im (f).

Exemplos:

1) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama abaixo:

f
1
0
2 5
6
3 8

4
10

A B

Observando o diagrama, notamos que:

D(f) = {1, 2, 3, 4} = A

CD (f) = {0, 5, 6, 8, 10} = B

Im (f) = {0, 5, 6, 8}

Nem todos os elementos de B são correspondentes de algum elemento de A, por exemplo, 10 está
no contradomínio, mas não está na imagem de f.

Observação

Mesmo sobrando um elemento no conjunto B, temos uma função e,
nesse caso, temos CD (f) ≠ Im (f).

2) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:

18


f
2
1

2 12

4

5
6
10

A B

Novamente observando os diagramas, notamos que:

D(f) = {1, 2, 4, 5} = A

CD (f) = {2, 5, 10, 12} = B

Im (f) = {12}

Observação

Como no exemplo anterior, vemos que existem elementos em B que
não estão no conjunto imagem e novamente temos CD (f) ≠ Im (f).

3) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama abaixo:
f
3

6
3
9

12

A B

Notamos que:

D(f) = {3, 6, 9, 12} = A

CD (f) = {3} = B

Im (f) = {3} = B

Nesse caso, não sobram elementos em B, isto é, Im (f) = B.
19

Unidade I

2.2 Operações com funções

Dadas as funções f e g, podemos fazer as seguintes operações:

adição (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x)
subtração (ƒ - g) (x) = ƒ(x) - g(x)
multiplicação (ƒ . g) (x) = ƒ(x) . g(x)
ƒ(x)
divisão (f/g) (x) =
g(x)

Produto por número real (k f)(x) = kƒ(x)

Veja a seguir uma representação da função f composta com g (fog)(x). Calculamos, inicialmente, a
função g em x e depois calculamos f no resultado obtido:

g f

x y = g(x) z = ƒ(g(x))

ƒog

Lembrete

Para que possamos calcular a função (fog), devemos ter a imagem de g
igual ao domínio de f.

Observemos que o domínio das funções f + g, f – g, f. g é a intersecção dos domínios de f e g.

O domínio de f / g é a intersecção dos domínios de f e g, menos os pontos no qual g(x) = 0.

O domínio de k f é o mesmo de f.

O domínio de f o g é formado pelos pontos x do domínio de g, tais que g(x) está no domínio de f, isto
é, D(fog) = {x ∈ D(g) | g(x) ∈ D(f)}.

Vejamos agora alguns exemplos, para que você entenda melhor como trabalhar com as funções e
suas operações.

20


Exemplos:

1) Dadas as funções f(x) = –2x – 4 e g(x) = x + 5, determine as funções f + g,

f – g, f. g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:

Resolução:

Calculando as funções, temos:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (–2x – 4) + (x + 5) = –x + 1

(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (–2x –4) – (x + 5) = – x – 4 – x – 5 = –3x – 9

(f . g) (x) = f(x) . g(x) = (–2x – 4) . (x + 5) = –2x2 – 14x – 20

f( x ) −2x − 4
(f / g) (x) = =
g( x ) x+5
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (–2x – 4) = –6x – 12

(fog) (x) = f(g(x)) = f(x + 5) = –2 (x + 5) – 4 = –2x – 14

(gof) (x) = g(f(x)) = g(–2x – 4) = (–2x – 4) + 5 = –2x + 1

Como o domínio das funções f e g é IR, temos:

D(f + g) = D(f – g) = D(f . g) = D(3 f)= D(f o g) = D(g o f) = IR

Para determinar o domínio da função (f / g), devemos observar os valores que anulam o denominador,
isto é, resolver a equação x + 5 = 0 e excluir a solução do domínio.

Resolvendo a equação, encontramos x = –5, logo, o domínio da função será todos os reais menos x = –5.

Assim, D(f / g) = IR – {–5}, ou D(f / g) = {x | x ≠ –5}.

2) Dadas as funções f(x) = 3x – 2 e g( x ) = x + 1 , determine as funções f + g,

f – g, f . g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:

Resolução:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (3x – 2) + x +1

21

Unidade I

(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (3x – 2) – x +1

(f. g) (x) = f(x) . g(x) = (3x – 2). x +1
f( x ) 3x − 2
f / g (x) = =
g( x ) x +1
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (3x – 2) = 9x – 6

(fog) (x) = f(g(x)) = f( x + 1 ) = 3 x +1 – 2

(gof) (x) = g(f(x)) = g(3 x – 2) = (3x − 2) + 1 = 3x − 1

O domínio da função f é IR e o domínio da função g é D(g) = {x | x ≥ –1}, pois a função tem uma
raiz quadrada e devemos ter a expressão x + 1 ≥ 0, isto é, x ≥ –1.

Assim, pelas expressões das funções f + g, f – g, f . g e fog, todas têm o mesmo domínio de g, isto é:

D(f+g) = D(f – g) = D(f. g) = D(fog) = {x | x ≥ –1}.

A função (3f) tem o mesmo domínio de f, isto é, D(3f) = IR.

A função gof tem em sua expressão a raiz quadrada de 3x – 1, assim, para determinar o seu domínio,
devemos ter a expressão 3x – 1 ≥ 0, daí 3x ≥ 1, logo, D(g o f) = {x | x ≥ 1/3}.

A função (f / g) tem em seu denominador a raiz quadrada de x – 1, assim, a expressão x – 1 > 0, logo,
D(f / g) = {x | x > –1}. Note que o valor x = –1 não está no domínio de f / g, pois zera o denominador.

2.3 Gráfico

Muitas vezes, encontramos em livros, jornais e revistas gráficos representando alguma situação. Veja
os exemplos a seguir:

O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil mede o crescimento econômico do país e é calculado a partir
da soma de todos os bens e serviços produzidos em um dado período. No Brasil, desde 1990, o IBGE
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é o único responsável pelo cálculo desse índice.

A carga tributária é formada por impostos diretos – que incidem sobre a renda e o patrimônio – e
por impostos indiretos – que incidem sobre o consumo.

O gráfico a seguir mostra a relação entre a carga tributária anual no Brasil e o nosso PIB:

22


Gráfico 1 – Carga tributária anual – Brasil

% do PIB
37,00

29,60

22,20

14,80

7,40

0,00
1939

1952

1958

1964

1970

1976

1982

1988

1994

2000
2007
Fonte: www.ibge.com.br

Esse gráfico mostra a carga tributária no Brasil, indicando anualmente o percentual do PIB que ela
representa, no período de 1939 a 2007.

A seguir, temos outro gráfico que também mostra como utilizar a representação gráfica para
representar uma situação de forma simplificada:

Gráfico 2 – Taxa de abandono escolar no Ensino Médio

13,00

10,40

7,80

5,20

2,60

0,00
1999 2000 2001 2003 2004 2005
Abrangência: Estados
Unidade territorial: São Paulo
Categorias: médio
Unidade: percentual

Fonte: www.ibge.com.br

23

Unidade I

Nesse gráfico, temos dados sobre as taxas de abandono escolar nas turmas do Ensino Médio do
estado se São Paulo, entre os anos de 1999 e 2005.

Observando o gráfico, é possível tirar várias informações, por exemplo, a taxa de abandono escolar
em um determinado ano, ou se a taxa de abandono escolar diminuiu ou aumentou em determinado
período.

Note que é uma forma prática de mostrar o que se quer, mesmo que não se saiba a expressão
matemática relacionada ao gráfico. De forma simples, representamos o que queremos.

Vejamos, então, o que é e como construir o gráfico de uma função.

Ao conjunto dos pares ordenados que representam a função no plano cartesiano, chamamos de
gráfico de f, isto é, a figura desenhada no plano cartesiano.

Exemplos:

1) Consideremos a função f de A em B, definida pela lei f(x) = x + 3, com

A = {–3, –2, –1, 0} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Construir o gráfico de f:

Resolução:

Para construir o gráfico da função, vamos determinar a imagem dos pontos do domínio montando
a tabela de valores de x e y = f(x):

x y (x,y)
-3 -3 + 3 = 0 (-3,0)
-2 -2 + 3 = 1 (-2,1)
-1 -1 + 3 = 2 (-1,2)
0 -0 + 3 = 3 (0,3)

Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, temos:
y (B)

3

2

1

-3 -2 -1 0 x (A)

24


Lembrete

O domínio de f é um conjunto com 4 elementos, assim o gráfico de f
será formado por 4 pontos isolados, não podemos unir os pontos.

Geralmente, trabalhamos com funções com domínio real e contradomínio real, então os seus gráficos
serão linhas unindo os pontos do plano cartesiano.

Vejamos no próximo exemplo:

2) Seja f: IR → IR, dada pela expressão f(x) = 2 x, construir o gráfico de f:

Como o domínio de f é IR (infinitos valores), para encontrar o gráfico de f devemos montar uma
tabela com alguns valores do domínio. Assim, escolhendo alguns valores de x para a nossa tabela,
temos:

x y = ƒ(x) = 2 x (x,y)
-1 2 . (-1) = -2 (-1,-2)
0 2 . (0) = 0 (0,0)
1 2 . (1) = 2 (1,2)
2 2.2=4 (2,4)

Representando no plano cartesiano e unindo os pontos, temos:
y

4

2
1

-1 0 1 2
-1
-2

Lembrete

O domínio de f é o conjunto dos reais, assim, no gráfico de f serão
formados infinitos pontos.

25

Unidade I

Nesse caso, devemos unir os pontos do gráfico da função, que é uma reta.

3) Construir o gráfico da função y = x2, sendo seu domínio e seu contradomínio o conjunto dos
reais.

Inicialmente, montemos uma tabela com alguns valores de x:

x y = x2 (x,y)
-2 (-2) = 4
2
(-2,4)
-1 (-1) = 1
2
(-1,1)
0 02 = 0 (0,0)
1 1 =1
2
(1,1)
2 2 =4
2
(2,4)

Substituindo os pontos no plano cartesiano e unindo os pontos, temos o gráfico da função f(x) =
x:
2

y
4
y=x^2
3

2

1

x

-2 -1 1 2 3 4 5
-1

Lembrete

Novamente, unimos os pontos, pois o domínio da função é real.

Da mesma forma que podemos, por meio da lei da função ou de uma tabela de pontos, montar o
gráfico, é possivel fazer o contrário também, isto é, dado um gráfico, montar uma tabela com os pontos
da função.

2.4 Funções par e ímpar

Definimos como função par toda função, tal que f(–x) = f(x) para qualquer x do seu domínio. E
função ímpar toda função, tal que f(–x) = –f(x), para qualquer x de seu domínio.

26


Uma função par tem seu gráﬁco simétrico em relação ao eixo y e uma função ímpar tem seu gráﬁco
simétrico em relação à origem.

Exemplos:

Considere as funções a seguir e decida se são par ou ímpar:

a) f(x) = x2

Para saber se a função é par ou não, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x).

Assim:

f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), temos que f(x) = x2 é uma função par.

b) f(x) = x3

f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x), temos que f(x) = x3 é uma função ímpar.

c) f(x) = x3 + 1

f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1, então a função f(x) = x3 + 1 não é par e não é ímpar.

2.5 Tipos de funções

• Função sobrejetora

f: A → B é sobrejetora, se e somente se Imf = CD f:

f sobrejetora ⇔ Imf = CD f

• Função injetora

f: A → B é injetora, se e somente se valores diferentes do domínio têm imagem diferentes:

f injetora ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) f(x2)

• Função bijetora

f: A → B é bijetora, se e somente se f é sobrejetora e injetora:

f bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora

27

Unidade I

Exemplos:

Determinar o tipo das funções a seguir:

a) f: IR → IR, f(x) = x + 3

A função tem domínio e contradomínio reais, como a imagem de f também é real, temos que
f(x) = x + 3 é função sobrejetora.

Para determinarmos se f é injetora, consideremos a e b dois valores quaisquer do domínio, com
a ≠ b, daí:

f(a) = a + 3 e f(b) = b + 3, mas logo f(a) ≠ f(b).

Então, f é injetora e, portanto, é bijetora.

b) f: IR → IR, f(x) = x2

Não é sobrejetora, pois Imf = { x | x > 0} = IR+ e CD f = IR, isto é, Imf ≠ CD f.

Não é injetora, pois para a = 1 e b = –1 são dois valores diferentes do domínio, temos:

f(a) = f(1) = 12 = 1 e f(b) = f(–1) = (–1)2 = 1, isto é, f(a) = f(b).

Observação

Nossa função, então, não é injetora e não é sobrejetora.

Lembrete

Notemos, no entanto, que se o contradomínio da função for alterado
de forma conveniente, podemos transformar nossa função em uma função
sobrejetora, basta deﬁnir a função de IR em IR+.

2.6 Função inversa

Seja f uma função bijetora de A em B, chamamos de inversa de f a função g bijetora de B em A, tal
que fog (x) = x e gof (x) = x.

Notação: f –1(x) representa a inversa da função f.

28


Exemplos:

Determinar a inversa das funções:

Observação

Para determinar a inversa de uma função, você deve isolar o valor de x
e depois trocar as posições das letras x e y, a nova expressão será a função
inversa.

a) f: IR → IR, deﬁnida por f(x) = 2x – 5 ou y = 2x – 5, função bijetora.

Isolando o valor de x, temos:

y + 5
2x=y+5 ⇒ x =
2
x + 5
Trocando x e y de posição, temos: y =
2
x + 5
Logo, f -1(x) = é a inversa de f e f –1: IR → IR.
2
b) f: IR+ → IR+, deﬁnida por f(x) = x2 ou y = x2

A função é bijetora.

Isolando o valor de x, temos:

x2 = y ⇒ x = y

Trocando x e y de posição, temos: y = x

Logo, f -1(x) = x é a inversa de f e f –1: IR+ → IR+

A seguir, você encontrará alguns exemplos para que possa perceber melhor as várias possibilidades
apresentadas na teoria.

Lembrete

Estude atentamente os exemplos apresentados e, a seguir, tente refazê-los.

29

Unidade I

2.7 Ampliando seu leque de exemplos

1) Determinar o conjunto que representa os elementos do produto cartesiano A x B, sendo
A = {–1, 0, 1} e B = {1, 2}

Resolução:

Lembrando que o produto cartesiano é formado pelos pares ordenados, no qual o primeiro elemento
é do conjunto A e o segundo é do conjunto B, teremos:

A x B = {(–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.
5x
2) Determinar o domínio da função f(x) =
3x − 9
Resolução:

Encontrar o domínio da função é indicar os valores que podem ser substituídos no lugar de x.

A nossa função possui uma fração e tem x tanto no numerador quanto no denominador. Observando
o numerador, notamos que não há restrição, porém, o denominador deve ser diferente de zero.

3x – 9 ≠ 0 ⇒ 3 x ≠ 9 ⇒ x ≠ 3.

Assim, o conjunto domínio de f será dado por:

Df = { x ∈ IR / x ≠ 3} ou podemos também escrever Df = IR – { 3 }.
1 
+1
3) Sendo f(x) =  x  , calcular o valor de f (½)
 
x
Resolução:

Para calcular o valor de f (½), devemos substituir o valor x = ½ na expressão, teremos:

 1 
 1 + 1
 2  2 +1
f( 12 ) = 1
= 1
=3 . 2 = 6
2 2

Logo, f (½) = 6.

4) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar a soma das funções, isto é, determinar o valor
de (f + g) (x)

30


Resolução:

Sabemos que para determinar (f + g) (x), devemos somar os resultados de f e de g, então:

(f + g) (x) = –4x + 5 + x2 + 2x

Somando os termos correspondentes, ﬁcamos com:

(f + g) (x) = x2 – 2x + 5

5) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar o valor de (2f – g) (1)

Resolução:

Agora, queremos saber não só o valor de 2f – g mas também quanto ele vale quando x = 1.

Para determinar 2f – g, vamos inicialmente determinar 2f, depois encontrar a expressão para 2f – g
e só então substituir o valor de x.

Sabemos que para determinar (2f)(x), devemos multiplicar f(x) = –4x + 5 por 2, assim, ﬁcamos com
(2 f)(x) = 2. (–4x + 5) = – 8x + 10.

Temos:

(2 f – g)(x) = (2 f) (x) – g(x) = –8x + 10 – (x2 + 2x) = –x2 – 10x + 10.

Não acabamos o exercício, ainda falta encontrar o valor da função para x = 1. Substituindo x por 1,
temos:

(2 f – g)(1) = – (1)2 – 10. 1 + 10 = –1 – 10 + 10 = –1.

Observação

Poderíamos ter resolvido esse exercício, calculando o valor de (2f)(1) e
o de g(1) e depois efetuando a conta (2f – g)(1). Refaça o exercício desta
outra forma e compare o procedimento e o resultado.

6) Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2, determinar o valor de (f o g) (x)

Resolução:

Sabemos que a função composta (f o g) (x) é igual a f(g(x)), isto é, (f o g) (x) = f(g(x)), devemos
substituir a expressão de g no lugar de x em f(x), assim, temos:
31

Unidade I

(f o g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = 3 (x2) + 2 = 3x2 + 2.

7) Uma função é par se f(–x) = f(x), veriﬁque qual das funções é par:

a) f(x) = x + 5

b) f(x) = x2

c) f(x) = x2 + 5x

Resolução:

Conforme a deﬁnição, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x) para podermos decidir se a função
é par ou ímpar.

a) Para a função f(x) = x + 5, temos:

f(–x) = (–x) + 5 = – x + 5 ≠ f(x), logo, a função não é par.

b) Para a função f(x) = x2, temos:

f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), logo, a função é par.

c) Para a função f(x) = x2 + 5x, temos:

f(–x) = (–x)2 + 5 (–x) = x2 – 5x ≠ f(x), logo, a função não é par.

Assim, a única das funções que é par é f(x) = x2.

8) Sabendo que f(x – 1) = 2x, determine o valor de f(2)

Resolução:

Para determinar o valor de f(2), devemos descobrir qual o valor de x que torna x – 1 = 2. Resolvendo
a equação, encontramos x = 3.

Calculando o valor de f(x – 1) quando x = 3, temos:

f (3 – 1) = 2. 3 = 6, logo, f(2) = 6.

32


Lembrete

O mesmo procedimento se aplica a qualquer outro valor que você queira
determinar, basta descobrir o valor de x e substituir na expressão.

9) Determinar a inversa da função f(x) = 5x + 1

Resolução:

Para determinar a inversa de uma função, devemos substituir f(x) por y e trocar as posições de x e y
na lei que deﬁne a função, depois isolar o valor de y.

Assim:

f(x) = 5x + 1 ⇒ y = 5x + 1

Trocando as posições de x e y, vem:

x = 5y + 1

Isolando y, encontramos:
−x + 1 x 1
x = 5y + 1 ⇒ – 5y = – x + 1 ⇒ x = 5y + 1 ⇒ −5y = − x + 1 ⇒ y = ⇒y= −
−5 5 5
x 1
Logo, f –1 (x) = f −1( x ) = −
5 5
10) Sabendo que uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora, veriﬁque qual das funções a
seguir é bijetora:

a) f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 2x.

b) f: IR → IR, tal que f(x) = x + 1.

c) f: IR → IR, tal que f(x) = 3.

d) f: IR → IR, tal que f(x) = sen(x).

Resolução:

Lembrando: uma função é injetora se valores diferentes de x vão a valores diferentes de y, e uma
função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.

33

Unidade I

Vamos utilizar o gráfico das funções para saber se são injetoras e sobrejetoras.

Esboçando o gráfico das funções, temos:

a) f : IR → IR, f(x) = x2 + 2x

y=x^2-2x y

2

1

x

-3 -2 -1 1

-1

Observando o gráfico da função, notamos que quando x = 0 e quando x = –2, temos f(0) = f(–2) =
0, logo, a função não pode ser injetora e, portanto, não será bijetora.

Observação

Esta função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio é IR,
mas sua imagem é formada pelos valores de y maiores que o y do vértice,
yv = –1, logo, Im f = { y ∈IR / y ≥ –1}.

b) f : IR → IR, f(x) = x + 1
y

–1 0 x

Observando o gráfico da função, notamos que a função é injetora e também sobrejetora, logo, será
bijetora.

c) f : IR → IR, f(x) = 3

34


y

3

–2 –1 0 2 x

A função é constante, logo seu gráﬁco é paralelo ao eixo x, passando em y = 3. Essa função não é
injetora, pois para todos os valores de x, temos a mesma imagem, y = 3.

Logo, a função não pode ser bijetora.

Observação

Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradominio
é IR mas sua imagem é Im f = {3}.

d) f : IR → IR, f(x) = sen x

y
2 y=sen(x)

1 π 2π
–π 3π/2
2 x

–3 –2 –1 π/2
1 2 3 4 5 6 7
–1

Observando o gráfico da função seno, notamos que não é injetora, pois existem vários valores
de x que têm a mesma imagem, por exemplo, para x = 0 e x = π, temos a mesma imagem, isto é,
f(0) = f(π) = 0.

Logo, não é bijetora.

Observação

Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio
é IR, mas sua imagem é o intervalo [–1, 1], isto é, Im f = [–1, 1].

35

Unidade I

3 FUNÇÕES POLINOMIAIS

Estudaremos agora algumas funções polinomiais importantes.

3.1 Função de 1° grau

3.1.1 Função de 1° grau (ou função afim)

É toda função f: IR → IR, dada por:

f(x) = a x + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR.

Os valores de a e b são chamados de coeficientes da função:

a: coeficiente angular
b: coeficiente linear

Quando b = 0, a função de 1° grau f(x) = ax é chamada função linear.

Quando b = 0 e a = 1, a função de 1° grau f(x) = x é chamada função identidade.

Exemplos:

Determinar se as funções a seguir são lineares ou afins, e identificar os coeficientes angular e
linear:

1) A função f(x) = 4x + 5 é uma função afim:

a = 4, coefiente angular

b = 5, coeficiente linear

2) A função y = –3x é uma função linear:

a = –3, coeficiente angular

b = 0, coeficiente linear

3) A função y = – x – 3 é uma função afim:

a = –1, coeficiente angular

b = –3, coeficiente linear

36


3.1.2 Gráfico

O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma reta.

Lembrete

Bastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, você deve encontrar
dois pontos da função, representar no plano cartesiano e unir os pontos.

Exemplos:

1) Traçar o gráfico das funções lineares:

a) y = –2x

Você deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:

x y = - 2x (x,y)
0 y=-2.0=0 (0,0)
1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)

y
y = -2x

0 1 x

-2

b) y = 3x

x y = 3x (x,y)
0 y=3.0=0 (0,0)
1 y=3.1=3 (1,3)

y
y = 3x
3

0 1 x

37

Unidade I

c) y = x

Nesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, você não vai concluir que só podemos
colocar para x valores iguais a 0 e 1:

x y=x (x,y)
0 y=0=0 (0,0)
1 y=1 (1,1)

y
y=x

1

–1
0 1 x

Observação

A reta que representa a função linear sempre passa na origem, isto é,
no ponto (0, 0).

2) Traçar o gráﬁco das funções de 1° grau:

a) y = 2x + 4

Ao invés de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos,
isto é:

x = 0 ⇒ y = 2. 0 + 4 = 4

y = 0 ⇒ 0 = 2x + 4 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2

Logo, a reta corta o eixo x em x = –2 e o eixo y em y = 4.

Graﬁcamente, temos:
y y = 2x + 4
4
corte em y
corte em x

-2 0 x

38


b) y = –3x + 6

x = 0 ⇒ y = –3 . 0 + 6 = 6

y = 0 ⇒ 0 = 3 – x + 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

Graficamente, temos:

y = 3x + 6 y
4
corte em y

corte em x

2 x

3.1.3 Crescimento da função de 1° grau

O coeficiente angular da função de 1°grau indica se nossa função é crescente ou decrescente.

decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)

Exemplos:

a) y = –4x + 5 é uma função decrescente, pois a = –4 < 0.

b) y = 3x – 6 é uma função crescente, pois a = 3 > 0.

c) y = 2x é uma função crescente, pois a = 2 > 0.

d) Graficamente, para verificar se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente utilizando o seu
gráfico, devemos observar a sua inclinação, assim:
y y

0 x 0 x

decrescente crescente
(inclinação à esquerda) (inclinação à direita)

39

Unidade I

3.1.4 Sinais da função

Muitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a função y = a x + b é positiva e no qual é negativa.
Para isso, devemos determinar x0 raiz da equação ax + b = 0 e observar a inclinação da reta.

Temos:

+ - - +
X0 x X0 x

a < 0 - inclinação à a > 0 - inclinação à
esquerda; decrescente direita; crescente

Resumindo
sinal contrário à a sinal de a

X0 x

Exemplos:

Determinar os sinais das funções:

a) y = –4x + 12

Determinando a raiz da função, temos:

–4x+12=0 ⇒ x=3

Como a = –4 < 0, a reta tem inclinação para a esquerda, assim:

ƒ(x) > 0 se x < 3
ƒ(x) < 0 se x > 3
+ -
ƒ(x) = 0 se x = 3 3 x

b) y = 3x – 15

Determinando a raiz da função, temos:

3x–15=0 ⇒ x=5

40


Como a = 3 > 0, a reta tem inclinação para a direita, assim:

ƒ(x) > 0 se x > 5
ƒ(x) < 0 se x < 5
- +
5 x
ƒ(x) = 0 se x = 5

3.2 Função constante

Toda função dada por f(x) = c, no qual c é uma constante, é chamada função constante. Seu gráﬁco
será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).

Exemplos:

Esboçar o gráﬁco das funções:

a) f(x) = 2 (ou y = 2)

Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:

x y=2 (x,y)
0 y=2 (0,2)
1 y=2 (1,2)
2 y=2 (2,2)
3 y=2 (3,2)

Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando
pelo ponto (0, 2):
y

2 y=2
corte em y

0 1 2 3 x

b) f(x) = –3 (ou y = –3)

Notemos que não é necessária a construção da tabela de pontos, basta traçar uma reta paralela ao
eixo x passando pelo ponto (0, –3):

41

Unidade I

y

0 x

y = -3
-3

Saiba mais

Para ver uma aplicação de função do 1º grau em economia, assista ao
vídeo

<http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g>.

4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (OU DE 2° GRAU)

Se jogamos para o alto um objeto a partir do chão e observamos a sua trajetória, notamos que o
objeto sobe até um determinado ponto e depois começa a cair até retornar ao chão. Representando a
sua trajetória graficamente, temos:
S

t

O gráfico fornece várias informações sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura máxima
atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessário para atingir a altura máxima.

Esse gráfico, uma parábola, é o gráfico de uma função do 2º grau.

Vamos agora estudar as funções quadráticas, ou de 2º grau, isto é, uma função dada pela relação:

y = ax2 + bx + c, com a, b, c números reais e a ≠ 0

Exemplos:

a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 é uma função quadrática completa, com a = 3, b = 2 e c = –1.

b) y = –5x2 + 10x é uma função quadrática incompleta, pois tem a = –5, b = 10 e c = 0.

42


c) f(x) = 10x2 é uma função quadrática incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.

d) y = 2x2 – 6 é uma função quadrática incompleta, com a = 2, b = 0, c = –6.

4.1 Gráfico

O gráfico de uma função do 2° grau é sempre uma parábola que pode ser obtida por uma tabela de
pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vértice.

Para determinarmos os cortes, devemos:

• No eixo x: ⇒ encontrar as raízes da equação de 2° grau correspondente.

• No eixo y: ⇒ determinar o valor de y, quando x = 0.
−b −∆
Para as coordenadas do vértice, usaremos a fórmula: x v = e yv =
2. a 4. a
4.2 Concavidade

A parábola terá concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:

a > 0 ⇔ concavidade para cima

a < 0 ⇔ concavidade para baixo

a>0 a<0

Exemplos:

Esboçar o gráfico das funções de 2°grau:

a) y = –x2 + 2x + 3

Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:

a = –1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3.

Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do gráfico de y, como é uma parábola, não
bastam 2 pontos para a construção, serão necessários mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:

43

Unidade I

x y = –x2 + 2x + 3 (x, y)
–1 y = – (–1)2 + 2(–1) + 3 = 0 (–1, 0)
0 y = –02 + 2 . 0 + 3 = 3 (0, 3)
1 y = –12 + 2 . 1 + 3 = 4 (1, 4)
2 y = –22 + 2 . 2 + 3 = 3 (2, 3)

Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:

y (1,4)
4
(0,3) (2,3)

2

1
(1,0) x

-3 -2 -1 1 2 3 4
-1

Lembrete

Você pode escolher outros valores para x e também pode fazer a tabela
com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do gráfico.

b) y = x2 + 2x + 1

Agora, vamos esboçar o gráfico da função sem a utilização de tabela de pontos.

Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:

a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1.

Calculemos agora os cortes nos eixos:

Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 2 x + 1 = 0:

∆ = b2 − 4.a.c
∆ = 22 − 4.1.1 = 4 − 4 = 0
−b ± ∆ −2 ± 0
x= = = −1
2.a 2. 1

44


Corta o eixo no ponto (–1, 0).

Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1.

Corta o eixo no ponto (0, 1).
−b −2
Coordenadas do vértice ⇒ x v = = = −1
2. a 2
− ∆ −0
yv = = =0
4. a 4
V = (–1, 0).

Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:

y
3

2

1
x

-3 -2 -1 1 2

c) y = x2 – 4

Inicialmente, devemos identiﬁcar os valores de a, b e c:

a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = –4


Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 – 4 = 0:

∆ = b2 − 4.a.c
∆ = 02 − 4.1.( −4 ) = 16
−b ± ∆ −0 ± 16 ±4
x= = = = ±2
2.a 2. 1 2

Corta o eixo nos pontos (–2, 0) e (2, 0).

Eixo y ⇒ para x = 0, temos y = 02 – 4 = –4.

45

Unidade I

Corta o eixo no ponto (0, –4).
−b 0
Coordenadas do vértice ⇒ x v = = =0
2. a 2
− ∆ −16
yv = = = −4
4. a 4
V = (0, –4).

Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:

y
2

1
x

-3 -2 -1 1 2 3
-1

-2

-3

-4

d) y = x2 + 3x

Identiﬁcando os valores de a, b e c, temos:

a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0


Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 3 x = 0:

∆ = b2 − 4.a.c
∆ = 32 − 4.1.(0) = 9
 −3 + 3
x1 = 2 = 0
−b ± ∆ −3 ± 9 −3 ± 3 
x= = = =
2.a 2. 1 2 x = −3 − 3 = −3
 1
 2

Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (–3, 0).

46


Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0.

Corta o eixo no ponto (0, 0).
−b −3
Coordenadas do vértice ⇒ x v = = = −1.5
2. a 2
− ∆ −9
yv = = = −2.25
4. a 4
V = (1.5, 2.25).

y
1
x
-1,5
-4 -3 -2 -1 1
-1

-2
-2,25

Saiba mais

Para saber mais sobre Baskara, acesse:

<http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/
26KAMILACELESTINO.pdf>.

4.3 Sinais da função

Queremos saber o intervalo no qual a função y = ax2 + bx + c é positiva e negativa.

Inicialmente, resolvemos a equação a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas raízes:

∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
mesmo sinal de a
x

∆ > 0 ⇒ duas raízes reais
mesmo sinal de a contrário de a mesmo sinal de a
x1 x2

47

Unidade I

∆ = 0 ⇒ existe 1 raiz real
mesmo sinal de a mesmo sinal de a
x1

Exemplos:

Determinar o sinal das funções:

a) y = x2 – 2x + 1

A equação tem uma raiz real x 1 = 1, pois ∆=0.

Como a = 1 > 0, temos:
+ +

1

f ( x ) > 0 ⇔ x ≠ 1
Logo, 
f ( x ) = 0 ⇔ x = 1
b) y = x2 – x – 2

A equação tem duas raizes reais x1 = –1 e x2= 2, pois ∆=9>0.

Como a = 1 > 0, temos:
+ — +
—1 2 x

f( x ) > 0 ⇔ x > 2 ou x < -1
Logo, f( x ) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 2

f( x ) < 0 ⇔ −1 < x < 2


c) y = –x2 + 2 x – 2

A equação não tem raiz real, pois ∆= –4<0.

Como a = –1 < 0, temos:
— —
x

Logo, f(x) < 0 para todo x.
48


4.4 Ampliando seu leque de exemplos

1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine os zeros da função e seu crescimento:

Resolução:

Para determinar os zeros da função, devemos determinar o valor de x, tal que f(x) = 0.

Assim:

3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3. O zero da função será x = –5/3.

Segundo a teoria para verificar o crescimento da função, devemos ver o sinal de a, coeficiente de x,
nesse caso, a = 3 > 0, logo, a função é crescente.

2) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –x 2 + mx + n, se o gráfico de f passa pelos pontos (0, 2) e (1, 3),
determinar os valores de m e n:

Resolução:

Sabemos que se o gráfico da função passa por um ponto, podemos substituir os valores na expressão
de f(x) e o resultado será verdadeiro, isto é:

Ponto (0, 2) significa que para x = 0, temos f(0) = 2.

Ponto (1, 3) significa que quando x = 1, temos f(1) = 3, substituindo esses valores na expressão de
f(x), encontramos o sistema:

 −02 + m . 0 + n = 2
 n = 2
 2 ⇒
 −1 + m . 1 + n = 3
  −1 + m + n = 3

Resolvendo o sistema, temos n = 2 e m = 2.

Observação

A expressão –x2 indica que somente o valor de x será elevado ao
quadrado, o sinal de menos permanece.

3) Considere a função y = x 2 – 8x + 15, determine o intervalo no qual y < 0:

49

Unidade I

Resolução:

Para determinar os sinais da função, devemos inicialmente encontrar os zeros de f, para isso, vamos
igualar a expressão a zero.

Resolvendo a equação x 2 – 8x + 15 = 0, temos:

∆=b2 –4 . a . c = (–8)2 –4 . 1 . 15 = 64 – 60 = 4

Calculando as raízes:

−b ± ∆ −( −8) ± 2 8 ± 2
x= = =
2a 2 2
8 + 2 10 8−2 6
Teremos: x1 = = = 5 e x2 = = =3
2 2 2 2
Vamos agora colocar esses valores na reta e estudar os sinais de f conforme o sinal de a. Nesse caso,
a = 1 > 0:
+ — +

m/m a contrário de a m/m a
3 5

Assim, teremos y < 0 para valores de x entre as raízes (zeros da função), isto é, no intervalo aberto
]3, 5[.

Lembrete

O intervalo deve ser aberto, pois nos pontos x = 3 e x = 5, temos y = 0.

Resumo

Nessa unidade, vimos o conceito de função e seus elementos. Por
meio de alguns exemplos, você pode notar que esse conceito está no seu
cotidiano, embora a expressão matemática nem sempre apareça.

Vejamos a seguir um resumo dos itens estudados.

Operações com funções:

adição (f + g) (x) = f(x) + g(x)

50


subtração (f - g) (x) = f(x) - g(x)

multiplicação (f. g) (x) = f(x). g(x)
f( x )
divisão (f / g)( x ) =
g( x )
composição (fog)(x) = f(g(x))

produto por número real k (k f) (x) = k f (x)

função par: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ Df

função ímpar: f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ Df

função sobrejetora: f: A → B é sobrejetora ⇔ Imf = Df

função injetora: f injetora ⇔(x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

função bijetora: injetora e sobrejetora

Função de 1° grau (ou função aﬁm):

f(x)=ax + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR

função linear: f(x) = a x

função identidade: f(x) = x

Função de 2° grau:

y = a x2 + b x + c

O seu gráﬁco é uma parábola com concavidade para cima, se a > 0 e
para baixo e a < 0 –

fórmula de Baskara:
−b ± ∆
∆ = b2 –4.a.c x=
2.a

−b −∆
Coordenadas do vértice: xv = e yv =
2.a 4.a

51

Unidade I

Exercícios

Questão 1 (ENEM/2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio
Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de
extinção:

461
Número de espécies ameaçadas de extinção

239

1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007 ano

Se mantida pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostra no gráfico o número de espécies
ameaçadas de extinção. Em 2011, será igual a:

(A) 465

(B) 493

(C) 498

(D) 838

(E) 899

Resposta correta: Alternativa (C)

Análise das alternativas:

A partir do gráfico, podemos obter o coeficiente angular (a) da reta. Logo:

52


∆y y2 − y1 461 − 239 222 111
a= = = = =
∆x x2 − x1 2007 − 1983 24 12

Então:

111
a=
12

Assim, podemos encontrar a equação da reta que representa a função do 1o grau:

Considerando-se o ponto (x0; y0)=(1983; 239), fazemos:

111 111 111
y − y 0 = a( x − x 0 ) ⇒ y − 239 =
( x − 1983) ⇒ y = x − 1983. + 239 ⇒
12 12 12
111 220113 12.239 111 220113 2868 111 217245
⇒y= x− + ⇒y= x− + ⇒y= x−
12 12 12 12 12 12 12 12

Então, a função do 1o grau é dada por:

111 217245
y= x−
12 12

Para encontrarmos o valor de y para x = 2011, fazemos:

111 217245 111 217245 223221 217245
y= x− ⇒y= (2011) − ⇒y= − ⇒
12 12 12 12 12 12
5976
⇒y= ⇒ y = 498
12

Sendo assim:

(A) Alternativa Incorreta.

Justiﬁcativa: de acordo com os cálculos.

(B) Alternativa Incorreta.


(C) Alternativa Correta.

53

Unidade I


(D) Alternativa Incorreta.


(E) Alternativa Incorreta.


Questão 2 (ENEM/2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre
acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram
consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar
com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como
o ano de 2007:

Nº de sacolas (em bilhões)
18

0 9 Nº de anos (após 2007)

De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?

(A) 4,0

(B) 6,5

(C) 7,0

(D) 8,0

(E) 10,0

Resolução desta questão na plataforma.

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