1. O documento apresenta 23 exercícios sobre vetores que abordam conceitos como soma, diferença, módulo, coordenadas e colinearidade de vetores. 2. Os exercícios incluem determinar coordenadas de vetores, verificar propriedades algébricas e geométricas e calcular expressões envolvendo vetores. 3. Figuras geométricas como losango, hexágono e paralelepípedos são usadas para representar situações e definir vetores nos exercícios.

1. ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
6ª Ficha de Trabalho- Vetores
MATEMÁTICA – A
10º Ano
2012/2013
1 - ABCD  é um losango:
a) Indique quantos segmentos orientados podemos
definir:
 com os lados do losango;
 com os vértices do losango.
b) Indique quantos vetores distintos podemos definir:
 com os lados do losango;
 com os vértices.
2 – Indique as componentes e as coordenadas de cada um dos vetores representados na
figura.
3 – Considere os pontos : A(3;2) ; B(3;3) ; C(5;3) ; D(4;4) ; E(5;5) ; F(5;6) ; G(4;7) ;
H(2;6) ; I(3;5) e J(1;6).
a) Justifique que BA  FE .
b) Escreva as coordenadas de : JH ; BD ; AC ; GD e HF
 
4 – No referencial o . n. (O, i , j ) represente o vector:


a)  3i  5 j ;
b) de coordenadas (0;1) ;
c) de coordenadas (3;2) ;
d) de coordenadas (2;0) .
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2. 

5 – Sendo v  CD , v  ( 1;3 ) e D  (1;0) , determine as coordenadas de C.
6 – Dados A  (1;5) e B  (6;3) ,determine as coordenadas de M , sabendo que OM  AB .
7 – O paralelogramo ADLI  está dividido em seis paralelogramos geometricamente
iguais.
a) Com os elementos da figura, indique::
 dois segmentos orientados equipolentes;
 dois vetores com a mesma direcção, o
mesmo sentido e comprimentos diferentes;
 dois vetores simétricos;
b) Observe a figura e complete de modo a
obter proposições verdadeiras:
b.2) E  .......  J
b.1) F  HD  ......
b.5) BC  ........  BC b.6) AL  .....  0
b.9)
b.10)
2 AB  .....
b.3) IJ  KC  ......
b.4) .......  BJ  AJ
b.7) AB  AC  ...... b.8) AC  LI  .....
FG  CB  ....
8 – Considere os pontos P2;1 , Q5;2 , R3;1 e S  3;1 .
Determine as coordenadas de:
a)
b) PQ  RS
Q  QR
c) R  3QS
d) PP  PS
1
1


 1 
9 – Considere os pontos A  3;  , B 2;  , C   ;0  e D 2;3 . Determine as
2
3


 2 
coordenadas do ponto P sabendo que :
a) OP  AB
b) OP   CD
c) AP  AB  BC
d) PB  AC  2 BD
  
10 – Sendo a , b e c três vetores quaisquer do plano, simplifique:
 
 
  1 
4    5
a) 2 a - b - 3 a  b
b) 2 a  b -  8 c 
c)  2a  c   c  a
2
3
3





  
 




11 – Considere os vetores a  5i  3 j , b  2i  j , c  2i e d  5 j num referencial


o .m. O, i, j . Determine as coordenadas de cada um dos vetores:
   
   
  
1  
a) a  b  c  d
b) a  b  c  d
c) 2 a  b  c
a  2b  c
d)
2
  
e) a  b  c


1  2
i)  b  c  d
2
5
f)



 a  b  c
  
g) a  b  c


  
h) a  b  d



j)  a  2 b  3 c
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3. 12 - AB  é um diâmetro de uma circunferência de centro C.
Sabendo que A 1;3 e C 2;0 , determine as coordenadas de B.
13 – Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições:
a) A soma de dois vetores é um vetor;
b) A soma de um ponto com um vetor é um vetor;
c) O produto de um número real, não nulo, por um vetor, é um vetor com a mesma
direcção;
d) O produto de um número real, não nulo, por um vetor, é um vetor com o mesmo
sentido.
14 – Determine a norma dos vetores:

a) u  3;0
e)

3 2

b 
 2 ; 2 



b) v 0;5

c) w  1;2

3 1

d) a  
 2 ; 2 


f) AB em que A0;3 e B3;0
15 – Verifique se são colineares os seguintes pares de vetores:
 2  


a) u 4;1 e v (8;2 )
b) u  ;1 e v (4;1)
3 
 



  

3
c) u  2 i e v   i
d) u  i  j e v  3 i  3 j
5
16 – Para cada um dos seguintes pares de vetores, determine x de modo que sejam
colineares:




a) a  2; x  e b  20;30
c) a  5; x  e b  0;0




b) a  x;2 e b  0;16
d) a  3x  1;1  5x  e b  2;  3
 



17 – Num referencial o .m. O, i , j  é dado o vetor a  3 i  5 j . Determine pelas suas
coordenadas o vetor:

a) colinear com a e com o triplo do seu comprimento;


b) colinear com a , com o sentido oposto ao de a e o dobro do seu comprimento;

c) que tem a mesma direcção de a e a terça parte do seu comprimento.
 
18 – Determine, num referencial o .n. O, i , j  , as coordenadas dos vetores:




a) u colinear com o vetor v  3 i  4 j e de norma 4;


b) x colinear com o vetor u 1, 3 e de norma 10;



c) v colinear com o vetor u  4, 3 , de norma 12 e com sentido oposto a u .
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4. 19- a) Verifique se o hexágono ABDFGI  da
figura é regular;
b) Averigúe se os vetores AF e BD têm
a mesma direcção;
c) Determine os números reais k e s de
modo que:
HE  k GF
FD  s BG
d) Determine a área do hexágono.
  
20 – Considere num referencial o .n. O; e ; f ; g

 

o vetor u  3e  f  4 g . Calcule:


os pontos M (1;2;5) , N (2;0;3) e
a) As coordenadas do vetor MN ;
 1
b) As componentes do vetor 2u  MN ;
2

c) As coordenadas do ponto A onde está aplicado o representante do vetor u que
termina em M;


d) As coordenadas do vetor x colinear com u e de norma 52 ;
e) As coordenadas do ponto médio de MN  .
21 – Averigúe se são colineares os vetores a  0.1; 3; 5  e b =
 0.12;
3.6; 6  .

22 – Calcule a ordenada de um vetor a  2; y;6 sabendo que a sua norma é 7.
D
N
C
23 – A figura representa 2 paralelepípedos iguais
com a face MNPQ  comum.
1. Calcule:
A
a) EA  PG
B
M
b) AB  DH
c) Q  HP  2 NC
H

P
G


2. Sendo H a origem do referencial H E; H P; H D
os eixos coordenados,
HE  HP  1 e HD  2  HP .
E
Q
F
Indique as coordenadas de : M , B , C, HB , PC
GC , HB  PC , 2GC  3HB .
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