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Física
GABRIEL DIAS DE CARVALHO JÚNIOR
1 cor preto
CINEMÁTICA
Conceitos Iniciais
1.1- Introdução .......................................................5
1.2- Referencial ......................................................5
1.3- Deslocamento e Espaço Percorrido................6
1.4- Velocidade Média............................................7
1.5- Velocidade Escalar Instantânea......................8
1.6- Aceleração Escalar Média...............................8
MECÂNICA
Leis de Newton
1 - Introdução .......................................................10
2 - Força ...............................................................10
3 - Leis de Newton................................................10
Movimentos Retilíneos
1 - Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) ......... 11
2 - Movimento Retilíneo
Uniformemente Variado (M.R.U.V.) ...............13
3 - Força Peso (P ) e Reação Normal ..................16
4 - Movimentos Verticais
próximos à superfície da Terra ......................17
5 - Atrito ................................................................18
6 - Plano Inclinado................................................19
7 - Movimento Circular Uniforme..........................20
8 - Força Centrípeta .............................................22
Vetores
1 - Vetores ............................................................29
2 - Composição de Movimentos...........................31
Areproduçãoporqualquermeio,inteiraouemparte,ven-
da,exposiçãoàvenda,aluguel,aquisição,ocultamento,
empréstimo,trocaoumanutençãoemdepósitosemau-
torizaçãododetentordosdireitosautoraisécrimeprevisto
noCódigoPenal,Artigo184,parágrafo1e2,com
multaepenadereclusãode01a04anos.
Estática dos Corpos Rígidos
1 - Introdução ...................................................................... 35
2 - Momento de uma Força (M)........................................... 35
3 - Condições de Equilíbrio ................................................. 36
Dinâmica - Trabalho, Potência e Energia
1 - Introdução ...................................................................... 38
2 - Trabalho (W.τ) ............................................................... 38
3 - Potência Média............................................................... 39
4 - Energia Mecânica (EMEC) .............................................. 39
5 - Conservação da Energia Mecânica ............................... 40
Hidrostática
1 - Introdução ...................................................................... 44
2 - Densidade Absoluta ou Massa Específica (d)................ 44
3 - Pressão (p)..................................................................... 44
4 - Pressão Hidrostática ...................................................... 45
5 - Teorema de Stevin ......................................................... 45
6 - Experiência de Torricelli ................................................. 46
7 - Princípio de Pascal......................................................... 46
8 - Princípio de Arquimedes ................................................ 46
Gravitação Universal
1 - Introdução ...................................................................... 50
2 - Leis de Kepler ................................................................ 50
3 - Lei da Gravitação Universal ........................................... 51
4 - Aceleração da Gravidade............................................... 51
5 - Movimento Orbital .......................................................... 52
2 cor preto
Tecnologia ITAPECURSOS
3 cor preto
3Física - M1
Caro VESTIBULANDO,
Você está recebendo o primeiro volume da coleção ITAPECURSOS. Ao todo são
3 livros que irão abranger o programa básico do Ensino Médio: Mecânica, Eletro-
magnetismo, Termologia, Óptica e Ondulatória.
Neste primeiro volume o assunto tratado é a Mecânica. Você terá um capítulo
inicial contendo conceitos introdutórios, tais como referencial, velocidade e acelera-
ção. Logo em seguida, haverá um capítulo contendo Leis de Newton, com tópicos
de Cinemática inseridos. A seguir, os capítulos tratarão da Energia, Hidrostática e
Gravitação Universal.
Optamos por não efetuar uma divisão clara entre Física 1 e 2 para dar maior
adaptabilidade à sua realidade. No entanto, sugerimos dois tipos de divisão:
1™) - Considerando 3 aulas por semana:
Física 1: 2 aulas ⇒ Conceitos Iniciais
Leis de Newton
Hidrostática
Física 2: 1 aula ⇒ Energia
Gravitação
2™) - Considerando 4 aulas por semana:
Física 1: 2 aulas ⇒ Conceitos Iniciais
Leis de Newton
Física 2: 2 aulas ⇒ Energia
Hidrostática
Gravitação
Atenciosamente,
Anotações
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5 cor preto
5Física - M1
CINEMÁTICA
CONCEITOS INICIAIS
1.1 - INTRODUÇÃO
AFísica é uma ciência que se preocupa em investigar os fenômenos naturais.Assim, toda vez que você estiver es-
tudando a queda de um corpo ou a formação de um raio em um dia de tempestade, a Física estará presente.
Ao longo dos três volumes desta coleção iremos trabalhar com 4 tópicos, basicamente: Mecânica, Termo-
logia, Eletromagnetismo e Ondulatória. Para uma melhor distribuição destes assuntos, iremos dividi-los da
seguinte forma: Volume 1: Mecânica, Volume 2: Termologia e Ondulatória e Volume 3: Eletromagnetismo.
Começaremos nosso estudo pela Mecânica, que é a parte da Física que estuda os movimentos e as
condições de equilíbrio de um corpo.
Para o estudo da Mecânica, será necessário o conhecimento de alguns conceitos que serão vistos neste
primeiro capítulo.
Vejamos estes conceitos:
1.2 - REFERENCIAL
É um sistema qualquer utilizado para se estudar o movimento de um ou vários corpos. De acordo com o
referencial, poderemos definir o que é movimento, repouso, trajetória e partícula.
a) Movimento e Repouso
Imagine que você está em sua primeira aula de Física e o professor lhe faz a seguinte pergunta:
- Você está em movimento exatamente neste instante?
Talvez sua resposta intuitiva seja NÃO, uma vez que você está fixo em uma carteira, dentro de uma sala de aula.
A pergunta do seu professor soou estranha porque você estabeleceu intuitivamente como referencial um
corpo fixo dentro da sala de aula (por exemplo, o quadro negro, a carteira em que você está assentado ou
um colega). Neste caso, é verdade que, em relação ao referencial escolhido, você está em repouso.
Por outro lado, se você tivesse estabelecido que o Sol é o seu referencial, a sua resposta seria SIM para a
pergunta do professor, pois você viaja pelo espaço (junto com a Terra) ao redor do Sol. Logo, em relação
ao Sol, você está em movimento.
A diferença entre as duas situações é muito clara:
• No primeiro exemplo você não está em movimento, pois a sua posição em relação ao referencial escolhido
não varia em relação ao tempo.
• Já no segundo caso, a sua posição se altera, com o passar do tempo, em relação ao referencial.
Uma pergunta que geralmente deve estar surgindo em sua mente é:
- Mas, na verdade eu estou ou não em movimento?
Não existe uma situação verdadeira e outra enganosa. Você está em repouso em relação ao quadro negro e
está em movimento em relação ao Sol. Na verdade, não existe movimento ou repouso absolutos, ou seja, não
há corpo algum que sempre esteja em movimento ou sempre esteja em repouso, tudo depende do referencial.
Para você pensar:
Durante muito tempo acreditou-se no modelo Geocêntrico no qual o Sol se movimenta em rela-
ção à Terra. Alguns cientistas morreram queimados por defender o modelo Heliocêntrico (a Terra
gira em torno do Sol) no passado. De acordo com o que foi estudado neste tópico, você poderia
apontar qual dos modelos está correto?
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6 cor preto
6 Física - M1
b) Trajetória
Chamamos de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo em seu movimento. A trajetória que
um corpo qualquer possui depende do referencial adotado.
Imagine um ônibus que se movimenta em linha reta com velocidade constante em relação ao solo. Dentro do ôni-
bus, uma pessoa atira uma moeda verticalmente para cima. A moeda irá cair exatamente na mão da pessoa.
Qual será a trajetória descrita pela moeda?
Observada por qualquer passageiro sentado, a moeda irá de-
screver um movimento retilíneo de subida e descida. Em relação
a um referencial fixo na estrada, a moeda fará dois movimentos: o
movimento vertical observado pelos passageiros e um movimento
de deslocamento horizontal, acompanhando o ônibus.
Assim, para os passageiros (referencial fixo no ônibus), a trajetória da moeda será uma linha reta. Para o
referencial na estrada, a trajetória será um arco de parábola.
c) Partícula
Um corpo qualquer poderá ser considerado uma partícula se as suas dimensões forem desprezíveis em
relação às distâncias envolvidas no processo. Desta forma, um avião pode ser uma partícula em uma viagem
de 1.000 km. O mesmo avião quando estiver dentro do hangar do aeroporto não poderá ser considerado
uma partícula. Neste caso, ele será chamado de Corpo Extenso.
Observações:
1 - O conceito de partícula despreza as dimensões e não a massa.
2 - Para uma partícula não definimos movimento de rotação.
1.3 - DESLOCAMENTO E ESPAÇO PERCORRIDO
Uma partícula, quando está em movimento, vai ocupando vários pontos em sua trajetória. Para que possamos
formalizar o estudo deste movimento, podemos escolher um ponto
qualquer desta trajetória para ser o marco zero da contagem das
distâncias. Este ponto será chamado de origem.Além disso, temos
que adotar um sentido qualquer para ser o crescente (sentido posi-
tivo do movimento) para estas distâncias. Veja a figura.
Imagine que uma partícula se desloca ao longo da trajetória mostrada a seguir, indo do ponto A ao B e, logo
após, retornando ao ponto C. Os valores abaixo de cada letra representam as posições de cada ponto.
(+)
origem
A C B
(1m) (8m) (20m)
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7 cor preto
7Física - M1
a) Deslocamento
Chamaremos de deslocamento de uma partícula ao vetor que liga o ponto inicial ao ponto final da trajetória.
O estudo dos vetores será feito no capítulo 3, por isso nos preocuparemos em estudar somente o valor
deste deslocamento. Numericamente, o deslocamento representa a distância entre os pontos de saída e de
chegada. No esquema acima, o deslocamento será a distância entre os pontos A e C. Assim,
D = 8 - 1 = 7 m
b) Espaço Percorrido
O espaço percorrido por um corpo é definido como sendo o total das distâncias efetivamente percorridas pela
partícula, não importando o sentido do movimento. No exemplo anterior, a partícula percorreu 19 m para a
direita e, logo após, 12 m para a esquerda. Logo, o Espaço Percorrido por ela foi de 31 m.
Observações:
1. Em um movimento em linha reta, sempre no mesmo sentido, o espaço percorrido e o deslocamento
possuem valores iguais.
2. No caso do item anterior, podemos representar o espaço percorrido por
DS = S - S0:
onde: S = posição final da partícula S0 = posição inicial da partícula
Um exemplo dessa situação seria considerarmos apenas o movimento de A para B na figura anterior. Nesse
caso, DS = 20 - 1 = 19 m
1.4 - VELOCIDADE MÉDIA
A velocidade média é uma grandeza física que nos indica a rapidez com que um movimento se processa.
Existem dois tipos de velocidade: escalar e vetorial.
a) Velocidade ESCALAR Média
É a razão entre o Espaço Percorrido por um móvel e o tempo total gasto. Imagine um corpo qualquer que
se movimenta entre dois pontos, percorrendo um espaço DS em um intervalo de tempo Dt.
Vm
espaço percorrido
=
tempo gasto ⇒
Vm
S
t
=
∆
∆
a.1) Unidades
Qualquer unidade de distância dividida por qualquer unidade de tempo será unidade de velocidade. Teremos
duas unidades principais para a velocidade.
Se a distância for dada em metros e o tempo em segundos, a velocidade
será medida em metro/segundo (m/s). A outra unidade é o quilômetro/
hora (km/h), muito utilizada em nosso cotidiano.
Para efetuarmos a conversão entre as duas unidades citadas, devemos
utilizar o esquema ao lado.
Observação:
O velocímetro dos carros importados geralmente mostram a velocidade em m.p.h. (milhas por hora). Para
efetuarmos a conversão para o quilômetro por hora, devemos multiplicar a velocidade (em mph) por 1,6
(uma milha é, aproximadamente, 1,6 km).
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8 cor preto
8 Física - M1
b) Velocidade VETORIAL Média
É a razão entre o deslocamento do móvel e o tempo total gasto para deslocá-lo.
Iremos estudar esta velocidade em capítulos posteriores.
1.5 - VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
Você acha que o velocímetro de um automóvel mede a velocidade escalar média em uma viagem? É fácil
perceber que não, pois em cada momento temos um valor diferente indicado pelo velocímetro.
Podemos dizer que o velocímetro mede a velocidade que um automóvel possui em cada instante de tempo. A esta
velocidadedamosonomedevelocidade escalar instantânea. Podemos dizer que é uma velocidade média em
um intervalo de tempo muito pequeno, onde os instantes (e as posições) inicial e final estão muito próximos.
1.6 - ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
A aceleração é uma grandeza que mede a taxa de variação da velocidade de um corpo em relação a um certo
intervalo de tempo. Sempre que houver variação na velocidade (em módulo ou direção), haverá uma aceleração
para medir esta variação. Nos nos preocuparemos, inicialmente, em estudar a aceleração escalar média.
V0 V
A B a
V
t
=
∆
∆
onde: DV = V - V0
Apartícula da figura acima possui, no início de seu
movimento (ponto A), uma velocidade inicial V0.
Após um intervalo de tempo Dt, sua velocidade
passa a ser V. A aceleração escalar média neste
intervalo de tempo será:
Vm
deslocamento
=
tempo total gasto
a) Unidade
Observação:
Quando dizemos que a aceleração escalar média de um corpo
é de 3 m/s2 , por exemplo, isto significa dizer que, em média,
a sua velocidade escalar variou (aumentou ou diminuiu) 3
m/s em cada segundo.
[ ]
[ ]
[ ]
a
V
t
m s
s
m
s s
= = =
∆
∆
/
.
1
⇒ [ ]a
m
s
= 2
1) (UFMG) João, Pedro e Marcos observam um ponto P na borda de um disco que gira em um plano hori-
zontal (ver figura). João se encontra acima do disco, sobre seu eixo, Pedro está no mesmo plano do disco
e Marcos, entre João e Pedro.
a)
b)
c)
d)
e)
As trajetórias do ponto P, observadas por João, Marcos e
Pedro, respectivamente, são melhor apresentadas pelas
figuras da alternativa.
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9 cor preto
9Física - M1
2) (PUC-MG) Um móvel parte do repouso, de um
ponto sobre uma circunferência de raio R, e efetua
um movimento circular uniforme, gastando 8,0 s
para completar uma volta. Após 18 s de movi-
mento, o seu deslocamento tem módulo igual a:
a)
R
2
c) e) 5.R
b) d) 2.R
3) (UFMG) Marcelo Negrão, numa partida de vôlei,
deu uma cortada na qual a bola partiu com uma
velocidade de 126 km/h (35m/s). Sua mão gol-
peou a bola a 3,0 m de altura, sobre a rede, e
ela tocou o chão do adversário a 4,0 m da base
da rede, como mostra a figura. Nessa situação
pode-se considerar, com boa aproximação, que
o movimento da bola é retilíneo e uniforme.
Considerando essa aproximação, pode-se
afirmar que o tempo decorrido entre o golpe do
jogador e o toque da bola no chão é de:
a) 1/7 s d) 4/35 s
b) 2/63 s e) 5/126 s
c) 3/35 s
4) (UFMG) Uma escola de samba, ao se movimen-
tar numa rua reta e muito extensa, mantém um
comprimento constante de 2 km. Se ela gasta
90 minutos para passar completamente por
uma arquibancada de 1 km de comprimento,
sua velocidade média deve ser:
a) 2/3 km/h d) 2 km/h
b) 1 km/h e) 3 km/h
c) 4/3 km/h
5) (PUC-MG) A figura abaixo mostra dois in-
stantâneos sucessivos do movimento de uma
bolinha que desce rolando uma calha, num
laboratório.
Aescala da figura é 1:20, isto é, cada centímetro
da figura corresponde a 20 cm do tamanho real.
O intervalo de tempo entre os dois instantâneos
sucessivos da figura vale 0,25 s. A velocidade
média da bolinha, em cm/s, é aproximadamente
igual a:
a) 70 d) 240
b) 120 e) 280
c) 140
6) (UFMG) Um automóvel fez uma viagem de 100
km, sem paradas, e sua velocidade média,
nesse percurso, foi de 60 km/h. Tendo em
vista essas informações, pode-se concluir que
o tempo gasto pelo automóvel para percorrer os
primeiros 30 km da viagem foi:
a) 0,50 h
b) 0,30 h
c) 0,60 h
d) 1,0 h
e) Um valor impossível de se determinar
7) (UFMG) Numa avenida longa, os sinais de tráfego
são sincronizados de tal forma que os carros,
trafegando a uma determinada velocidade, en-
contram sempre os sinais abertos (onda verde).
Sabendo-se que a distância entre os sinais
sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o
intervalo de tempo entre a abertura de um sinal
e a do seguinte é de 12 s, qual a velocidade em
que deve trafegar um veículo para encontrar
sempre os sinais abertos?
a) 30 km/h d) 80 km/h
b) 40 km/h e) 100 km/h
c) 60 km/h
8) (UFMG) Um corpo é movimentado, em linha reta,
com aceleração constante. No instante em que
o relógio marca zero, a velocidade do corpo é
X e, no instante em que o relógio marca Z, a
velocidade é Y.
A expressão CORRETA que permite obter a
aceleração desse corpo é:
a) X + ZY d) (Y - X)/Z
b) Y + ZY e) Z/(Y - X)
c) (X + Y)/Z
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10 cor preto
10 Física - M1
MECÂNICA
LEIS DE NEWTON
1 - INTRODUÇÃO
A partir deste capítulo, vamos estudar a Mecânica. Para isso, devemos conhecer o que é uma força e quais
as suas principais características. Logo a seguir, estaremos conhecendo as leis que regem os movimentos
e suas conseqüências. Por último, faremos um estudo de algumas forças específicas tais como a força de
atrito e a força centrípeta.
Este capítulo é de vital importância para um maior conhecimento da Física de uma maneira geral. Podemos
dizer que serão apresentados os pilares do que, hoje, chamamos de Física Clássica.
Um estudo mais detalhado de Dinâmica começou a ser feito pelo italiano Galileu Galilei e ganhou uma for-
mulação matemática mais coesa nas mãos de Isaac Newton. Apesar de, atualmente, a Física Clássica não
estar em perfeita sintonia com alguns modelos científicos com, por exemplo, a Relatividade e a Quântica,
devemos creditar a ela todo o embasamento para a evolução e o progresso da ciência.
2 - FORÇA
Força é uma interação entre dois corpos capaz de produzir, pelo menos, um dos seguintes efeitos:
• iniciar um movimento;
• parar um movimento;
• variar o valor da velocidade de um corpo;
• desviar a trajetória de um corpo;
• modificar as formas de um corpo.
Podemos notar que os quatro primeiros itens estão relacionados com a variação da velocidade em módulo,
direção ou sentido e o último, com mudanças estruturais no corpo.
A definição de força exige que existam dois corpos. Desta forma, expressões do tipo: “eu tenho a força”
são desprovidas de sentido dentro da Física. O correto seria: “eu posso aplicar uma força de grande inten-
sidade em todos os corpos”.
Observação:
Força é uma grandeza vetorial e, portanto, possui Módulo, Direção e Sentido.
3 - LEIS DE NEWTON
No século XVII, o físico inglês Isaac Newton formulou um conjunto de três leis que governam o movimento
dos corpos. A este conjunto chamamos de Leis de Newton. Vejamos estas leis.
A) 1ª Lei de Newton (Lei da Inércia): Uma partícula qualquer pode estar sujeita a várias forças diferentes,
aplicadas em direções e sentidos distintos.
A 1ª Lei de Newton afirma que se a resultante das forças que atuam em uma partícula for nula, ela estará
em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
FR 0= Þ
As duas situações descritas acima representam que a velocidade da partícula
é constante. Diremos que estas são situações de equilíbrio. Se a partícula
estiver em repouso, chamaremos de equilíbrio estático, se ela estiver em
movimento, equilíbrio dinâmico.
A conclusão a que chegamos é que, naturalmente, um corpo parado tende
a se manter em repouso e um corpo que se desloca, tende a se manter em movimento retilíneo uniforme.
Esta propriedade inerente a todos os corpos chama-se inércia.
Podemos medir a quantidade de inércia de um corpo através de sua massa. Assim, um elefante possui muito
mais inércia do que uma formiga.
É por causa da inércia que nós somos projetados para frente quando freamos um automóvel. Em relação à
rua, nós estávamos em movimento e temos, por inércia, a tendência de continuarmos em M.R.U. Quando
iniciamos o movimento do automóvel novamente, temos uma sensação de compressão contra o assento.
Estávamos parados e a nossa tendência era continuar nesse estado.
REPOUSO
ou
MRU
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11 cor preto
11Física - M1
MOVIMENTOS RETILÍNEOS
Vamos estudar mais detalhadamente o Movimento Retilíneo Uniforme.
1 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
a) Definição
É todo movimento em que o móvel percorre, em linha reta, espaços iguais em tempos iguais.
Neste tipo de movimento, velocidade escalar instantânea é constante e igual à velocidade escalar média.
Como não há variação da velocidade, a aceleração escalar e a força resultante é sempre nula. Um resumo
destas características está na tabela abaixo:
Trajetória: Reta
M.R.U. Velocidade: Constante
Aceleração: Nula
b) Função Horária
V
S S
t
V t S S=
−
⇒ = −0
0.
Vm V
S
t
= =
∆
∆
S S V t= +0 .
S = posição do móvel em um instante t
S0= posição inicial do móvel
V = velocidade escalar do móvel
t = instante de tempo.
Já que a velocidade escalar instantânea (V) é
sempre igual à velocidade escalar média (Vm),
podemos escrever:
Imagine um móvel que percorre uma distância
DS = S - S0 em um intervalo de tempo igual a
∆t = t - t0. Vamos convencionar que, no instante
inicial do movimento, o cronômetro marca zero.
Neste caso o instante de tempo inicial será nulo, ou
seja, t0 = 0. Assim, podemos escrever:
Desta forma, a equação do M.R.U. será dada por:
Que é chamada de função horária dos espaços, pois relaciona a posição (espaço) de um móvel com um
certo instante de tempo.
Na função horária:
c) Gráficos
Vamos construir dois tipos de gráficos e estudar as suas propriedades. No M.R.U. é importante conhecermos
os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo.
c.1) Gráfico Espaço X Tempo
A função horária dos espaços no M.R.U. é do primeiro grau. Logo, o gráfico que relaciona estas duas gran-
dezas será uma reta inclinada em relação ao eixo horizontal. Veja os exemplos.
gráfico A gráfico B
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12 cor preto
12 Física - M1
Repare que no gráfico A, a reta é inclinada para cima. Isto significa que a velocidade do móvel é positiva,
pois as posições da partícula vão crescendo com o passar do tempo. Dizemos que o movimento é progres-
sivo quando isto acontece.
Já no gráfico B, a reta está voltada para baixo, o que significa que a velocidade do móvel é negativa. Neste
caso, o movimento é dito retrógrado.
Em qualquer um dos gráficos, podemos dizer que o ponto de interseção entre a reta e o eixo vertical rep-
resenta a posição inicial do móvel.
Para todo gráfico posição X tempo, vale a seguinte propriedade:
A tangente do ângulo a é numericamente igual à velocidade do móvel.
tg a =
∆
∆
S
t
=
V
Utilizaremos a nomenclatura “Inclinação da Reta” para designar a tg a.
Na verdade, o correto seria “declividade”. Porém, os vestibulares utilizam o termo citado inicialmente.
c.2) Gráfico Velocidade X Tempo
Como a velocidade escalar é constante neste tipo de movimento, o gráfico velocidade X tempo será uma
reta paralela ao eixo dos tempos.
V
V > 0
t
V
t
V < 0
Em qualquer gráfico velocidade X tempo, a área sob a curva é numericamente igual ao espaço percorrido
pelo móvel.
V
V
área (A)
t
t
A área mostrada na figura pode ser calculada por: A = t.V
Mas, V.t = DS. Assim: A = DV
B) 2ª Lei de Newton: Esta lei (também chamada de Princípio Fundamental da Dinâmica) nos informa o que
irá acontecer se a força resultante sobre uma partícula não for nula. Newton mostrou que a força resultante
é proporcional à aceleração adquirida pela partícula.
Matematicamente, podemos expressar esta Lei da seguinte forma:
F m aR = .
A força resultante sobre uma partícula é igual à massa multiplicada pela aceleração.
Note que a equação descrita acima é vetorial, o que nos leva a concluir que a força resultante e a acel-
eração sempre terão o mesmo sentido.
Podemos determinar a unidade de força no sistema internacional, utilizando a 2ª Lei.
[FR] = [m] . [a] = kg . m/s2 = newton (N)
Para que se tenha uma idéia, 1 newton de força equivale ao peso de uma pequena xícara de café, aproxi-
madamente.
Uma outra unidade utilizada na prática é o quilograma-força (kgf). A relação entre o newton e o kgf é:
1kgf @ 10 N
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13 cor preto
13Física - M1
Vamos estudar um tipo especial de movimento. Nele, a aceleração será constante.
2 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)
a) Definição
Podemos classificar um movimento qualquer em função da velocidade da partícula que o executa. Como já
vimos, se a velocidade escalar permanece constante ao longo do tempo, o movimento é dito uniforme. Já
se a velocidade variar com o tempo, chamaremos o movimento de variado.
Uma partícula estará em M.R.U.V. num dado intervalo de tempo se percorrer uma trajetória reta e a sua acel-
eração for constante (e não nula) e apresentar a mesma direção da velocidade neste mesmo intervalo.
Um resumo desta definição está apresentado na tabela abaixo.
Trajetória: Reta
M.R.U.V Velocidade: Variável
Aceleração: Constante
b) Equações
b.1) Função Horária da Velocidade
No M.R.U.V. a aceleração escalar é constante. Logo, podemos dizer que ela é igual à aceleração escalar
média. Assim:
Considerando t0 = 0, temos:
Que é chamada de função horária da velocidade, pois relaciona a velocidade de um móvel com um certo
instante de tempo.
Na função horária:
b.2) Função Horária dos Espaços
Esta função horária irá relacionar a posição de uma partícula em função do tempo. Ela pode ser deduzida a
partir do gráfico velocidade x tempo para este movimento. No entanto, o conhecimento desta dedução não
é relevante neste ponto da matéria. A função é:
V V a t= +0 .
a a
V
t
a
V V
t t
m = = ⇒ =
−
−
∆
∆
0
0
a
V V
t
V V a t=
−
⇒ − =0
0 .
S = posição do móvel em um instante t
S0 = posição inicial do móvel
V0 = velocidade inicial do móvel
a = aceleração escalar do móvel
t = instante de tempo.
V = velocidade do móvel em um instante t
V0 = velocidade inicial do móvel
a = aceleração escalar do móvel
t = instante de tempo.
S = S0 + V0.t +
a
t
2
2
b.3) Equação de Torricelli
Existem certos problemas na cinemática em que não se conhece o tempo gasto para um certo movimento
acontecer. Nesses casos você pode calcular a posição da partícula ou sua velocidade criando um sistema
com as duas funções horárias.
Evangelista Torricelli desenvolveu uma equação em que não figura o tempo t, facilitando a solução dos
problemas citados.
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14 cor preto
14 Física - M1
a > 0 a < 0
Acompanhe o desenvolvimento.
V - V0 = a.t ⇒ t
V V
a
=
− 0
(equação 1); DS = V0.t +
a
t
2
2
. (equação 2)
Substituindo (1) em (2), temos:
DS = V0 .
V V
a
−





0
+
a V V
a2
0
2
.
−





Desenvolvendo a expressão anterior, podemos mostrar que a equação de Torricelli é: V V a S2
0
2
2= + . .∆
Resumindo todas as equações do M.R.U.V. , temos:
Função dos espaços S = S0 + V0.t +
a
t
2
2
Função da velocidade V V a t= +0 .
Equação de Torricelli V V a S2
0
2
2= + . .∆
c) Gráficos
c.1) Espaço X Tempo
A função horária dos espaços no M. R. U. V. é do 2º grau. Assim, o gráfico S x t será uma parábola.
gráfico 1 gráfico 2
No caso da aceleração ser positiva, a concavidade
da parábola será voltada para cima. Se a acelera-
ção for negativa, a concavidade da parábola será
voltada para baixo. Veja as figuras:
Neste gráfico continua valendo a propriedade de que a inclinação representa a velocidade, porém, em cada
ponto da parábola haverá uma inclinação diferente, pois a velocidade não é constante. Acompanhe o pro-
cedimento que deve ser feito para determinar a inclinação:
Em cada ponto da parábola devemos desenhar uma reta tan-
gente a ela. A inclinação desta reta tangente nos informará a
velocidade da partícula naquele ponto.
Note que no gráfico posição versus tempo podemos
descobrir em qual trecho o movimento foi acelerado
ou retardado. Acompanhe o raciocínio:
Na parte A do gráfico 1, percebe-se que as posições
vão diminuindo com o passar do tempo, logo a veloci-
dade escalar do móvel é negativa. Como a aceleração
é positiva (a concavidade da parábola é voltada para
cima), o movimento será RETARDADO. Já na parte
B do mesmo gráfico, o móvel tem as suas posições
aumentando de valor, o que mostra que a velocidade é
positiva.Aaceleração é, também, positiva, o que nos faz
concluir que o movimento é ACELERADO. No ponto C
ocorre uma inversão no sentido do movimento. Isto só
é possível se a velocidade for nula neste ponto.
O mesmo raciocínio pode ser utilizado para se explicar
o motivo pelo qual na região D existe um movimento
RETARDADO, na região E o movimento é ACELERA-
DO e no ponto F a velocidade é nula no gráfico 2.
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15Física - M1
c.2) Velocidade X Tempo
A função horária das velocidades é do 1º grau.
Logo o gráfico V x t será uma reta.
Se a aceleração for positiva, a reta será inclinada
para cima. Já se a aceleração for negativa, a
inclinação da reta será para baixo.
Como já foi mostrado no Movimento Retilíneo
Uniforme, a área sob o gráfico nos fornece a
distância percorrida pelo móvel.
Além dessa propriedade, pode-se demonstrar que
a inclinação da reta é numericamente igual à aceleração do móvel.
c.3) Aceleração X Tempo
No M.R.U.V. a aceleração é constante. Dessa forma, o gráfico a x t será uma reta paralela ao eixo horizontal.
Neste tipo de gráfico, a área sob a linha é numericamente igual à variação da velocidade.
Podemos resumir todas as propriedades dos gráficos da cinemática da seguinte forma:
Gráfico INCLINAÇÃO ÁREA
DS
DV
a
VS x t
V x t
a x t
C) 3ª Lei de Newton (Ação e Reação): Quando aproximamos um ímã de um prego bem pequeno, notamos
que o segundo se desloca em direção ao primeiro. Isto nos faz concluir que o ímã atrai o prego. Por outro
lado, se tivermos um ímã bem pequeno e um prego bem grande, iremos notar em uma situação oposta, o
que irá mostrar que existe uma atração do prego sobre o ímã.
A 3ª Lei de Newton nos informa que se um corpo A aplica uma força FAB em outro corpo B, então B irá
aplicar força FBA em A. Estas duas forças (chamadas de par de forças ação e reação) terão as seguintes
características:
• mesma direção;
• sentidos opostos;
• mesmo módulo.
Enquanto as duas primeiras características são de fácil compreensão, a terceira pode nos causar uma certa
estranheza, a princípio. Por exemplo, em uma colisão entre um ônibus e uma bicicleta, esta irá apresentar
estragos muito maiores. Temos que ter cuidado com as conclusões que tiramos a partir das observações
que fazemos. No caso citado, apesar de as forças trocadas entre o ônibus e a bicicleta serem iguais em
módulo, os efeitos produzidos são diferentes. Devemos perceber que a estrutura de uma bicicleta é muito
mais frágil do que a de um ônibus. Amesma força de 10 newtons aplicada sobre uma formiga não irá produzir
o mesmo efeito do que se for aplicada em um elefante.
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16 Física - M1
Vamos, agora, estudar algumas forças especiais:
3 - FORÇA PESO (P ) E REAÇÃO NORMAL (N )
A) Força Peso: Sabemos que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional. Qualquer corpo aí inserido
é atraído para o seu centro. A queda será feita em movimento acelerado e, nas proximidades da superfície
da Terra, a aceleração (chamada de aceleração da gravidade, g) é cerca de 10 m/s2.
De acordo com a 2ª Lei de Newton, se um corpo possui uma aceleração, deve existir uma força resultante.
Esta força com que a Terra atrai os corpos recebe o nome de força peso.
Podemos mostrar que o peso de um corpo de massa m é calculado por:
O peso tem direção radial e aponta sempre para o centro do planeta. Em nos-
sos exercícios, iremos considerar o peso uma força vertical para baixo.
Definimos o peso de um corpo para a Terra mas o que foi discutido é válido
para qualquer corpo celeste. Na superficie da Lua, por exemplo, onde a
aceleração da gravidade é cerca de 6 vezes menor do que na da Terra, o
peso de um corpo será 1/6 de seu peso em nosso planeta.
No nosso dia-a-dia, utilizamos a palavra peso para designar massa. Per-
guntamos: “Qual é o seu peso?” e temos como resposta: “70 quilos”.Aresposta que foi dada está errada, pois
70 quilos (quilogramas) representa a sua massa. Pelo que estudamos neste item, a resposta correta deveria
ser: “considerando g = 10 m/s2, o meu peso é 700N.” Pois, neste caso, efetuamos o seguinte cálculo:
P = m.g = 70 (kg).10 (m/s2) = 700 N
B) Reação Normal: Vamos imaginar um bloco apoiado em uma superfície horizontal.
Já sabemos que a Terra aplica uma força de atração sobre este
bloco. No caso, o Peso tem direção vertical e sentido para baixo.
Por causa desta força, o bloco tende a se deslocar para o centro
da Terra. Este fato não acontece, pois a superfície horizontal aplica
sobre o bloco uma força vertical para cima, que é contrária à com-
pressão exercida pelo bloco sobre a superfície.
A esta força contrária à compressão damos o nome de Reação Normal. O nome normal se refere ao fato
de esta força ser sempre perpendicular à superficie.
A figura seguinte mostra o esquema de forças que atuam no bloco.
Note que, neste caso, as forças Peso e Normal possuam mesma
direção, sentidos opostos e mesmo módulo. Por isso, estas forças
se equilibram, produzindo uma força resultante nula.
Observação:
Normal e Peso não representam um par de forças ação e reação,
pois atuam em um mesmo corpo.
Afigura seguinte irá mostrar as forças Peso (P ), Normal (N ) e suas respectivas
reações (P e N ).
Na figura: P : Força de atração da Terra sobre o corpo
P ’:Força de atração do corpo sobre a Terra
N : Força da superfície sobre o corpo
N ’: Força do corpo sobre a superfície
P m g= .
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17Física - M1
4 - MOVIMENTOS VERTICAIS PRÓXIMOS À SUPERFÍCIE DA TERRA
a) Introdução
A partir de agora, estudaremos o movimento retilíneo que ocorre na vertical. Um corpo sólido qualquer pode
ser abandonado ou lançado próximo à superfície da Terra e efetuar um movimento de subida ou descida.
Veremos que estes movimentos são uniformemente variados.
b) Aceleração da Gravidade
Como já vimos, a Terra gera em torno de si um campo de forças chamado Campo Gravitacional. Todo corpo
aí colocado será atraído para o centro do planeta.
Esta atração faz com que os corpos lançados ou abandonados no campo
gravitacional adquiram uma aceleração que é denominada ACELERAÇÃO
DA GRAVIDADE (g).
Nas proximidades da superfície da Terra, o módulo de g é praticamente
constante. O seu valor é, aproximadamente, 10 m/s2.
Além disso, sabe-se que esta aceleração não depende da massa do corpo.
Assim, dois corpos de massas diferentes, quando abandonados de uma
mesma altura (no vácuo), irão chegar no solo exatamente com a mesma
velocidade e no mesmo instante.
Como a aceleração da gravidade será considerada constante, o estudo dos movimentos verticais será, na
verdade, uma extensão do movimento retilíneo uniformemente variado.
c) Equações do Movimento Vertical
Vamos imaginar que um corpo foi lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra. O seu
movimento será RETARDADO na descida e ACELERADO na descida.
Teremos que adotar um sentido para ser o positivo e um ponto para ser
a origem dos espaços que, neste caso, será uma altura. A figura ao lado
mostra uma partícula lançada do solo e um eixo vertical orientado para
cima que servirá de referencial para este movimento. Note que este ref-
erencial está orientado para cima. Isto significa que a origem está fixa no
chão e que o sentido positivo é de baixo para cima. Logo, a aceleração
da gravidade será negativa.
Este movimento vertical é um M.R.U.V. , onde a aceleração é a da gravi-
dade. Portanto, as equações estudadas no item anterior serão válidas
agora. Não é preciso que você decore novas equações específicas para
este tópico.
Acompanhe:
As equações do MRUV são:
S = S0 + V0.t +
a
t
2
2
V V a t= +0 .
V V a S2
0
2
2= + . .∆
Mas, neste tipo de movimento, a = -g e o espaço S é
uma altura qualquer. Assim:
h = h0 + V0.t -
g
t
2
2
V V g t= −0 .
V V g S2
0
2
2= − . .∆
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18 Física - M1
5 - ATRITO ( fa )
Você já deve ter percebido que, em uma corrida de Fórmula 1, os pneus dos carros para dias de chuva
contêm frisos, ao passo que, para os dias de tempo bom, os pneus possuem menos frisos. O motivo dessa
diferença é que, com a pista molhada, o atrito tende a diminuir, sendo necessário um tipo especial de pneu
para que os carros possam efetuar as voltas com um mínimo de segurança.
Da mesma maneira, um tênis de solado liso pode provocar mais quedas do que outro cuja sola é frisada.
A força de atrito está relacionada com esses exemplos e é responsável por uma infinidade de outras situa-
ções cotidianas. Antes de iniciarmos um estudo quantitativo desta força, faremos uma análise qualitativa,
no sentido de entendermos o motivo da existência do atrito.
Por mais polida que uma superficie possa nos parecer, ela apresenta, microscopicamente, inúmeras irregu-
laridades. Imagine, então, que duas destas superfícies irregulares estejam em contato e exista entre elas, um
movimento efetivo ou a tendência de movimento. Podemos concluir que, por causa destas irregularidades,
haverá uma força contrária ao movimento (ou à sua tendência). Esta força será chamada de atrito. Note que,
quanto mais rugosas forem as superfícies em contato, mais intenso será o módulo da força de atrito.
Para podermos encontrar uma fórmula matemática que nos permita calcular o valor desse atrito, vamos
seguir o seguinte raciocínio:
Estamos querendo mover um bloco que está apoiado em uma superfície horizontal.
• Inicialmente iremos aplicar uma força F1 , mas o corpo continu-
ará em repouso. Isto pode ser explicado pela força de atrito que
está atuando no bloco, no sentido contrário ao da força
F1 .
De acordo com a 1ª Lei de Newton: F fa1 1=
•Agora, vamos aumentar a força aplicada para
F2 (F2 > F1). Con-
sidere que, mesmo assim, o corpo continua parado.Aexplicação
a que podemos chegar é que o atrito também aumentou, tendo,
agora, o mesmo valor de
F2 .
• Iremos, então, aumentar ainda mais o valor da força aplicada, produzindo uma força
F3 (F3 > F2 ) Ainda
assim, o bloco permaneceu em repouso. Mais uma vez, a força de atrito teve seu valor aumentado para
fa3 = F3 . Porém, podemos notar que o corpo está quase se
movimentando. Se aumentarmos um pouco mais a força apli-
cada, poderemos colocar o bloco em movimento.
Podemos dizer que, neste caso, o atrito já atingiu o seu valor
máximo.
• A partir desta situação, se aumentarmos um pouco mais a
força, o bloco entrará em movimento.
É interessante notar que, quando o corpo está em movimento,
a força de atrito que sobre ele atua é constante e possui um
valor menor do que o módulo do atrito máximo descrito anteri-
ormente.
A conclusão a que chegamos é que, enquanto o corpo estiver
em repouso, a força de atrito é variável, tendo sempre o mesmo
valor da força que tende a gerar o movimento. Quando o corpo entra em movimento, a força de atrito passa
a possuir um valor constante que é menor do que o atrito máximo que atuava no corpo em repouso.
a) Força de atrito estático: É o nome que damos à força de atrito que atua nos corpos em repouso. De
acordo com o que vimos, este atrito possui as seguintes características:
1. Possui módulo variável – depende da força motriz aplicada.
2. Admite um valor máximo.
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19Física - M1
Este valor máximo é proporcional à força normal aplicada sobre o corpo e pode ser calculado pela seguinte
expressão: f Na
max
ee
= µ .
Onde:
µe é chamado de coeficiente de atrito estático e depende da rugosidade das superfícies em contato.
b) Força de atrito cinético: É a força de atrito que atua nos corpos em movimento. Como já vimos, este
tipo de atrito possui um módulo constante. O seu valor é dado por: f Na cc
= µ .
Onde: µc é o coeficiente de atrito cinético e também depende da rugosidade das superfícies em contato.
Já que a força de atrito cinético é menor do que a força de atrito estático máximo, podemos admitir que é
mais fácil manter um certo corpo em movimento uniforme do que iniciar o movimento deste corpo. A con-
clusão a que podemos chegar é que, para um mesmo par de superfícies:
µ µe c>
O gráfico da força de atrito em função da força motriz aplicada será, então:
força de atrito
me . N
estático
cinético
força motriz
Observação:
A força de atrito em objetos rígidos não depende da área de
contato entre as superfícies.
6 – PLANO INCLINADO
Sabemos, intuitivamente, que é mais fácil elevarmos uma carga qualquer
ao longo de uma rampa do que se a levarmos verticalmente para cima.
Neste item estaremos estudando as rampas que, de uma maneira geral,
chamaremos de Plano Inclinado.Afigura seguinte mostra um plano incli-
nado (cujo ângulo de inclinação é igual a q) e um bloco nele apoiado.
Em relação ao estudo dos planos inclinados, teremos duas situações:
com ou sem atrito.
a) Plano inclinado sem atrito: É o caso mais simples, pois atuam so-
mente duas forças sobre o bloco: Peso e Normal. Veja a figura ao lado.
Para que possamos facilitar o estudo do movimento do bloco, devemos
proceder da seguinte forma:
1. Desenhar um sistema de eixos cartesianos, fazendo com que o eixo y co-
incida com a direção da reação normal e o eixo x, com a direção do plano.
2. Efetuar a decomposição do Peso em relação aos eixos citados.
A figura seguinte mostra este procedimento.
Onde: Px = P.senq e Py = P.cosq
A primeira relação que podemos perceber é que a normal é equili-
brada pela componente y do peso, ou seja, N = Py .
No eixo x existe somente a componente Px do peso. Logo, esta
será a força resultante que atua sobre o corpo.
A aceleração a que fica sujeito um corpo qualquer em um plano
inclinado é independente de sua massa. A conclusão a que che-
gamos é que, na ausência do atrito, se dois corpos forem abando-
nados no alto de uma rampa, chegarão ao mesmo tempo (e com
a mesma velocidade) na base do plano, independente de um ser
mais pesado do que o outro.
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20 Física - M1
7 - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Dizemos que um corpo está em Movimento
Circular Uniforme quando a sua trajetória é uma cir-
cunferência e a sua velocidade escalar é constante
ao longo do tempo.
A figura ao lado está representando a vista
superior de uma pedra amarrada por um fio e gi-
rando na horizontal em M.C.U.
Em qualquer ponto da trajetória em que o fio se
rompa, a pedra sairá tangenciando a curva, o que
nos sugere que a velocidade é tangente à tra-
jetória em todos os pontos.
Se o movimento da pedra é uniforme, então o módulo da velocidade é constante em qualquer instante de
tempo. Logo:
Mesmo assim, ocorre uma variação na direção do vetor velocidade. Podemos notar que, em cada ponto, a
velocidade apresenta uma direção diferente.
Conforme já foi visto, a toda variação da velocidade podemos relacionar uma aceleração. Desta forma,
podemos concluir que o Movimento Circular Uniforme possui aceleração.
Quando o módulo da velocidade variar, a aceleração será chamada de tangencial (
at ) e é a aceleração que já
estudamos até aqui. Ela recebe este nome porque possui sempre a mesma direção do vetor velocidade.
Porém, se for a direção da velocidade que varia, a aceleração será chamada de centrípeta (
ac ) e tem as
seguintes características:
1 - É sempre perpendicular ao vetor velocidade.
2 - A sua direção é sempre radial, ou seja, a da linha que passa pelo centro da curva.
3 - O seu sentido é sempre para o centro.
Chamamos de aceleração vetorial à soma vetorial entre as acelerações tangencial e centrípeta.
Como a aceleração tangencial é sempre perpendicular à aceleração centrípeta, o módulo da aceleração
vetorial será calculado através do teorema de Pitágoras.
V V V V1 2 3 4= = =
A figura mostra os vetores velocidade e aceleração em
diversos pontos de uma trajetória circular.
O módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado pela
seguinte expressão:
Onde R é o raio da trajetória circular.
a a at c= +2 2
a a at c= +
a
V
R
c =
2
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21Física - M1
7.1) Velocidade Angular (w)
Já sabemos que a velocidade é uma grandeza que mede a
rapidez com que um movimento se processa. Para o cálculo
da velocidade escalar média em um movimento circular,
devemos encontrar a medida do arco descrito pelo móvel
em um certo tempo.
A figura está mostrando um corpo que, partindo
da posição inicial, percorre um arco DS em um certo
tempo. Podemos observar que, à medida em que
o corpo se desloca, vai sendo descrito um ângulo
central Dq.
Para calcularmos a velocidade escalar média (que também será chamada de velocidade linear), devemos
efetuar a seguinte operação:
que irá nos contar qual o espaço percorrido pelo móvel na unidade do tempo.
Porém, podemos também determinar qual é o ângulo descrito na unidade de tempo. A grandeza que irá nos
fornecer esta informação será chamada de velocidade angular (w). A sua expressão matemática será:
E sua unidade no S.I. será:
7.2) Período (T) e Freqüência (f)
A) Período
Todo movimento que se repete em intervalos iguais de tempo é chamado de periódico. O tempo necessário
para que o movimento se repita é denominado Período. No movimento circular, podemos dizer que o Período
é o tempo gasto por um corpo para executar uma volta completa. Qualquer unidade de tempo será, portanto,
unidade do Período.
B) Freqüência
Podemos encontrar, em um movimento periódico, o número de repetições que acontece em uma unidade de
tempo. Fazendo isto, estamos calculando a freqüência deste movimento. Para o movimento circular, dizemos
que a freqüência representa o número de voltas efetuadas pelo móvel na unidade de tempo.
A unidade da freqüência é, no S.I. : voltas por segundo = hertz (Hz)
Outra unidade utilizada é: rotações por minuto = r.p.m.
Para transformarmos estas unidades devemos utilizar a seguinte relação:
Podemos mostrar que a freqüência é o inverso do período. Matematicamente:
V
S
t
m =
∆
∆
ϖ =
∆θ
∆t
[ ] [ ]
[ ]
[ ]ϖ ϖ= ⇒ =
∆θ
∆t
rad
s
T
f
=
1
f
T
=
1
ou
Observação:
No movimento circular uniforme, o período
e a freqüência são constantes.
x 60
60 :
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22 Física - M1
8 - FORÇA CENTRÍPETA
De acordo com a 2ª Lei de Newton, podemos estabelecer que a acel-
eração centrípeta aparece em decorrência de uma força resultante
aplicada sobre o corpo que executa o M.C.U. Daremos o nome de
Resultante Centrípeta (ou Força Centrípeta) à resultante das forças
que estão sendo aplicadas sobre um corpo na direção radial (ou seja,
na direção que passa pelo centro da trajetória curva). A Força Centrí-
peta terá sempre a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração
centrípeta. Veja figura abaixo.
Pela 2ª Lei de Newton, FC = m.aC
F m
V
R
c = .
2
Veremos, nos próximos itens, algumas aplicações da força centrípeta.
a) Lombada: Um móvel, ao passar pelo ponto mais alto de uma lombada circular terá, desprezando-se os
atritos, o seguinte diagrama de forças:
b) Depressão: Neste caso, o diagrama de forças será:
Como podemos perceber, a força peso aponta para o centro da tra-
jetória, enquanto que a normal tem o sentido oposto ao do centro da
curva. Assim, o módulo do peso deve ser maior do que o da normal,
uma vez que a força resultante (centrípeta) tem que apontar para o
centro da trajetória. Para calcularmos a intensidade da resultante
centrípeta, devemos efetuar a seguinte operação:
Fc = P - N = m.
V
R
2
A força que aponta para o centro da curva é a normal. Logo, ela deve
ter uma intensidade maior do que a do peso. Assim, a força centrípeta
será:
Fc = N - P = m.
V
R
2
c) Globo da Morte: Vemos, nos circos, uma cena fantástica que se passa no Globo da Morte. Um ou vários
motociclistas efetuam voltas dentro de uma armação de metal e não caem. A mesma situação pode ser
verificada na montanha russa, nos parques de diversão. Quando o motociclista está no ponto mais alto do
globo, as forças que atuam sobre ele são:
Note que, neste ponto, o motociclista aplica, no globo, uma força vertical para
cima e, por isso, a normal sobre o motociclista é vertical para baixo.
Nesta situação, a força centrípeta será: Fc = P + N = m.
V
R
2
Quanto maior for a velocidade com que o motociclista passa pelo ponto mais
alto do globo, mais intensa será a força normal. Por outro lado, se a velocidade
naquele ponto for pequena, a normal também terá um módulo pequeno. Podemos
estabelecer que a velocidade mínima necessária para que o motociclista consiga
completar a volta está relacionada com uma força normal nula. Assim:
VMIN Þ N = 0 Þ Fc = P
m.
V
R
min
2
= m. g Þ VMIN = R g.
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23Física - M1
01) (UFMG) Um homem empurra um caixote para a direita, com velocidade constante, sobre a superficie
horizontal.
Desprezando-se a resistência do ar, o diagrama que melhor representa as forças que atuam no caixote é:
a) b) c) d) e)
02) Na tabela seguinte apresentamos as acelerações adquiridas por três corpos A, B e C quando sobre eles
atuam as forças indicadas.
Podemos concluir que
a) mA > mB > mc c) mA > mB = mc
b) mA < mB < mc d) mA = mB = mc
03) (UNICAMP) Dois objetos A e B equilibram-se quando colocados em pratos opostos de uma balança de
braços iguais. Quando colocados num mesmo prato da balança, eles equilibram um terceiro objeto C,
colocado no outro prato. Suponha, então, que sobre uma mesa horizontal, sem atrito, uma certa força
imprima ao objeto A uma aceleração de 10 m/s2. Qual será a aceleração adquirida pelo objeto C quando
submetido a essa mesma força?
04) Imagine a seguinte situação:
Um burro se preparava para puxar uma carroça pela primeira vez. De repente o burro se dirige ao con-
dutor da carroça e diz:
– “Se eu puxar a carroça, ela me puxará com força oposta e de mesmo módulo, de tal forma que a força
resultante será igual a zero. Dessa forma, não haverá movimento. Então, eu desisto.”
O que você diria ao burro para convencê-lo de que ele está errado?
05) (UFV) Uma pessoa está sobre uma balança, que se encontra presa ao piso de um elevador. O elevador
está subindo, ao mesmo tempo que sua velocidade está sendo reduzida. Nestas condições, a balança
indicará um valor:
a) maior que o peso real da pessoa. d) que não depende da aceleração do elevador.
b) igual ao peso real da pessoa. e) que depende da velocidade do elevador.
c) menor que o peso real da pessoa.
06) (FUVEST) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três corpos A, B e C
de mesma massa m, suspensos por fios ideais como representado na figura. O corpo B está suspenso
Corpo
A
B
C
Força (N)
20,0
10,0
4,0
a (m/s2)
1,0
2,0
0,8
simultaneamente por dois fios, um ligado a A e outro a C. Podemos afirmar
que a aceleração do corpo B será:
a) zero d) (2g/3) para baixo
b) (g/3) para baixo e) (2g/3) para cima
c) (g/3) para cima
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24 Física - M1
07) (UFMG) Duas partículas de massas m e M estão ligadas uma à outra por uma mola de massa desprezível.
Esticando-se e soltando-se a mola de modo que apenas as forças devidas a ela atuam sobre as partícu-
las, o cociente da aceleração am, de m e aM, de M, é
a
a
m
M
= 2.
Sabendo-se que M = 1 kg, a massa m é igual a:
a) - 0,50 kg b) zero c) 2 kg d) 0,25 kg e) 0,50 kg
08) (Izabela Hendrix) Um corpo A, cuja massa é de 1 kg, é colocado sobre uma mesa e amarrado a uma
corda. A corda passa por uma roldana e está presa, na outra extremidade, a um pequeno corpo B, cuja
massa é de 0,1 kg (ver figura). As forças de atrito são muito menores do que as forças que atuam sobre
o carrinho, sendo, portanto, desprezíveis.
Ao ser puxado desta maneira, concluímos corretamente que o corpo A:
a) permanece em repouso, porque a força com que o corpo B o
puxa é menor do que o seu próprio peso.
b) se move com velocidade constante (movimento uniforme),
porque a força que atua sobre ele é constante.
c) se move com aceleração constante (movimento uniformemente
acelerado), porque a força que atua sobre ele é constante.
d) se move com aceleração constante (movimento uniforme-
mente acelerado), porque a força que atua sobre ele aumenta
constantemente.
e) tem uma pequena aceleração no início, mas depois prossegue
com velocidade constante.
09) (PUC-MG) Um corpo de peso P = 200 N está em repouso sobre a superfície plana e horizontal de uma
mesa. O coeficiente de atrito estático entre a mesa e o corpo vale 0,3. Aplica-se, sobre o corpo, uma
força F = 50 N. paralela à superficie da mesa. O corpo se mantém em repouso. Nessas condições, é
CORRETO afirmar que a força de atrito vale:
a) 15 N b) 60 N c) 40 N d) 80 N e) 50 N
10) (PUC-MG) Um corpo de peso 200 N está inicialmente em repouso sobre uma superficie horizontal. Os
coeficientes de atrito estático e cinético entre o corpo e a superficie são, respectivamente, 0,6 e 0,4.
Aplica-se sobre o corpo uma força de módulo F, também horizontal. Dos valores de F, indicados abaixo,
em newtons, assinale o mínimo valor que garante ao corpo obter movimento:
a) 80 b) 110 c) 90 d) 130 e) 10
As questões 11 e 12 referem-se ao enunciado e à figura que se seguem
Nessa figura, está representado um bloco de 2,0 kg sendo pressionado contra
uma parede com uma força F . O coeficiente de atrito estático entre esses corpos
vale 0,5 e o cinético, 0,3. Considere g = 10 m/s2.
11) (UFMG) Se F = 50 N, então a reação normal e
a força de atrito que atuam sobre o bloco valem,
respectivamente,
a) 20 N e 6,0 N
b) 20 N e 10 N
c) 50 N e 20 N
d) 50 N e 25 N
12) (UFMG)Aforça mínima F que pode ser aplicada
ao bloco para que ele não deslize na parede é
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
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25Física - M1
As questões 13 a 15 referem-se ao seguinte enunciado:
Durante uma experiência de laboratório, um estudante de Física, utilizando a montagem descrita no desenho
abaixo, procurava mostrar a segunda Lei de Newton. Variando a massa M, colocada dentro do carrinho, ele
obteve a tabela a seguir. (O carrinho tem massa muito pequena em relação a M e g = 10 m/s2)
13) (PUC-MG) O gráfico que melhor representa a Força x Massa é:
a) b) c) d) e)
14) (PUC-MG) Com base na tabela, a aceleração provocada pela força F, no carrinho, em m/s2, é igual a:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 10
15) (PUC-MG) Com a finalidade de verificar a precisão do resultado obtido, o aluno mediu o ângulo A e
constatou que seu valor era muito próximo de 30°. Sabendo-se que sen 30° = 0,500 e cos 30° = 0,866,
ele concluiu, corretamente, que:
a) o valor da aceleração não depende do ângulo.
b) para o ângulo medido, a aceleração é de 10 m/s2.
c) a determinação do ângulo não serve para aferir o resultado da experiência.
d) o resultado da experiência foi satisfatório.
e) os erros, cometidos durante o procedimento, determinaram um resultado inaceitável.
16) (UFMG) Quando um carro se desloca numa estrada horizontal, seu peso P é anulado pela reação normal N
exercida pela estrada. Quando esse carro passa no alto de uma lombada, sem perder o contato com a pista,
como mostra a figura, seu peso será representado por P e a reação normal da pista sobre ele por N.
Com relação aos módulos destas forças, pode-se afirmar
que
a) P’ < P e N’= N c) P’= P e N’ < N
b) P’ < P e N’ > N d) P’ = P e N’ > N
F(N) 0,25 0,40 0,75 1,50
M(Kg) 0,050 0,080 0,15 0,30
17) (UFMG) Seja P o ponto mais alto de um “looping” em uma montanha russa. Imagine um carrinho que
passa pelo ponto P e não cai. Pode-se afirmar que, no ponto P
a) a força centrífuga que atua no carrinho o empurra sempre para a frente.
b) a força centrípeta que atua no carrinho equilibra o seu peso.
c) a força centrípeta que atua no carrinho mantém a sua trajetória circular.
d) a soma das forças que o trilho faz sobre o carrinho equilibra o seu peso.
e) o peso do carrinho é nulo nesse ponto.
18) (Univ. Rio de Janeiro) - Dois blocos A e B, cujas massas são mA e mB (mA menor que mB),unidas por
uma barra ideal deslizam com atrito desprezível sobre um plano inclinado no Laboratório.
Sendo a resistência do ar desprezível, nas condições desta experiência, o que podemos afirmar sobre
a tensão na barra?
a) a tensão é nula.
b) a barra está comprimida, sendo sua tensão proporcional a mB - mA.
c) a barra está comprimida, sendo sua tensão proporcional a mB + mA.
d) a barra está distendida, sendo sua tensão proporcional a mB - mA.
e) a barra está distendida, sendo sua tensão proporcional a mB + mA.
Lombada
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26 Física - M1
19) (UFMG) Duas esferas se movem em linha reta
e com velocidades constantes ao longo de uma
régua centimetrada. Na figura estão indicadas
as velocidades das esferas e as posições que
ocupavam num certo instante.
As esferas irão colidir na posição correspon-
dente a:
a) 15 cm c) 18 cm e) 22 cm
b) 17 cm d) 20 cm
20) (UFMG) Uma pessoa passeia durante 30 minu-
tos. Neste tempo ela andou, correu e parou por
alguns instantes. O gráfico que representa o seu
movimento está descrito abaixo:
As regiões 1, 2, 3 e 4 do gráfico podem ser
relacionadas respectivamente com:
a) andou (1), correu (2), andou (3) e parou (4)
b) correu (1), andou (2), parou (3) e andou (4)
c) andou (1), correu (2), parou (3) e andou (4)
d) correu (1), andou (2), parou (3) e parou (4)
21) (PUC-MG) O movimento de um móvel é descrito
pelo gráfico: distância percorrida em função do
tempo. Como você pode observar, o gráfico
consta de dois trechos distintos, I e II.
Dessa observação, é correto afirmar que:
22) (UFMG) O gráfico abaixo representa a posição
de uma partícula que se movimenta em linha
reta em função do tempo.
De acordo com a análise do gráfico, podemos
afirmar que a velocidade da partícula no instante
60 s vale, em m/s:
a) 5,0
a) o móvel apresentou a mesma velocidade con-
stante, durante todo o intervalo de 5,0 s.
b) a velocidade do móvel não foi constante em
nenhum dos dois trechos.
c) somente no trecho I a velocidade foi constante.
d) a velocidade foi constante somente no trecho II.
e) a velocidade do corpo foi constante tanto em I
quanto em II, porém com valores diferentes.
b) 10
c) 15
d) 20
e) 50
Instrução: As questões 23 e 24 referem-se ao
enunciado e à figura seguintes:
O gráfico abaixo representa a velocidade em
função do tempo de uma partícula que se des-
loca em linha reta.
23) (UFMG) Quanto à aceleração, a, da partícula,
a afirmação CERTA é:
a) a = 0 entre 2 e 4 s.
b) a > 0 entre 0 e 3 s e a < 0 entre 3 e 6 s
c) a < 0 entre 0 e 3 s e a > 0 entre 3 e 6 s
d) a é constante não nula entre 0 e 4s.
e) a = 0 em t = 3 s.
24) (UFMG) Quanto ao deslocamento da partícula,
a afirmação CERTA é:
a) o módulo do deslocamento entre 0 e 1s é igual
ao módulo do deslocamento entre 5 e 6s.
b) o módulo do deslocamento sempre cresce
com o tempo.
c) o módulo do deslocamento sempre decresce
com o tempo.
d) seu deslocamento total (entre 0 e 6s) é dife-
rente de zero.
e) o deslocamento da partícula entre 0 e 1s é
igual ao deslocamento entre 3 e 4s.
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27Física - M1
25) (PUC-MG) Um trem desloca-se entre duas esta-
ções por uma ferrovia plana e retilínea. Ele parte
do repouso e acelera 0,5 m/s2 durante 40 s. Em
seguida, mantém a velocidade constante durante
120 s, para então ser freado com aceleração de
módulo 0,5 m/s2 até parar. O gráfico que melhor
representa o movimento do trem é:
a) b)
c) d)
e)
Esta explicação refere-se aos testes de números
26 a 28.
Um móvel tem movimento retilíneo a partir do
repouso. O gráfico de sua aceleração em função
do tempo decorrido a partir do instante de partida
é dado pela figura abaixo.
26) (CESCEA) Depois de 8,0 s sua velocidade
vale:
a) 12 m/s d) 16 m/s
b) zero e) n.r.a.
c) 22 m/s
27) (CESCEA) Em que trecho a velocidade do corpo
diminui com o tempo?
a) no trecho I - II
b) no trecho III - IV
c) nenhum
d) sempre
e) n.r.a.
28) (CESCEA) No intervalo de tempo I a II, qual
foi o espaço percorrido?
a) 24 m d) 4 m
b) 8 m e) 2 m
c) 12 m
29) (PUC-MG) Um carro, em movimento, encontra-
se a uma distância D de um sinal de trânsito, que
indica trânsito impedido. A partir desse instante,
o seu movimento é descrito pelo gráfico abaixo.
É correto afirmar:
a) o semáforo permaneceu fechado por 10 s.
b) o carro permaneceu parado por 30 s.
c) o módulo da desaceleração do carro é
V
30
m / s2
d) nointervalodetempode10sa30s,ocarroteve
velocidade constante e diferente de zero.
e) a distância D é numericamente igual a 5V.
30) (UFMG) Um balão está subindo com uma velo-
cidade constante de 5 m/s. Em dado instante,
solta-se um saco de areia que se encontrava
preso à lateral externa desse balão. Para um
observador na Terra, a partir deste instante e até
o saco de areia chegar ao chão, o movimento
dele, desprezando-se a resistência do ar, será:
a) apenas uniforme, com velocidade igual a 5 m/s.
b) apenas uniformemente acelerado, com uma
aceleração maior do que a aceleração da
gravidade.
c) apenas uniformemente acelerado, com uma
aceleração menor do que a da gravidade.
d) inicialmente uniforme e, depois, uniforme-
mente acelerado.
e) uniformemente retardado e, depois, unifor-
memente acelerado.
31) (UFMG) Um menino atira, simultaneamente,
duas bolas, A e B, verticalmente para cima.
A velocidade inicial das duas bolinhas são,
respectivamente iguais a 10 m/s e 5 m/
s. Despreze a resistência do ar e adote
g = 10 m/s2. A razão entre a altura máxima
atingida pela bola A e a altura máxima atingida
pela bola B vale:
a) 2 d) 16
b) 4 e) 20
c) 8
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28 Física - M1
32) (CESGRANRIO) Uma torneira deixa pingar
gotas de água em intervalos iguais de tempo. A
figura mostra quatro dessas gotas e as distân-
cias entre elas.
a) 20 cm c) 70 cm e)90 cm
b) 60 cm d) 80 cm
33) (UFMG) Um pequeno objeto arremessado da
extremidade de uma mesa, com uma velocidade
inicial horizontal, cai sob a ação apenas da força
da gravidade. Sobre o movimento desse objeto,
é correto afirmar:
a) não possui nem aceleração centrípeta nem
aceleração tangencial, porque são anuladas
pela aceleração da gravidade.
b) possui aceleração centrípeta e aceleração
tangencial, porque variam tanto o módulo
quanto a direção de sua velocidade.
c) possui apenas aceleração centrípeta, porque
somente a direção de sua velocidade sofre
variação.
d) possui apenas aceleração centrípeta, porque
somente o módulo de sua velocidade sofre
variação.
e) possui apenas aceleração tangencial, porque
a direção de sua velocidade sofre variação.
34) (UFMG) As figuras a seguir representam as
posições de quatro partículas medidas em iguais
intervalos de tempo.
35) (PUC-MG) A figura seguinte representa uma
polia girando em torno do seu eixo O.
-----•---•
A B
Desprezando-se a resistência
do ar, podemos afirmar que a
distância (h) entre a gota 1 e
a gota 2 vale:
Dos movimentos descritos acima, são acelera-
dos:
a) apenas I, II e III c) apenas III e IV
b) apenas II, III e IV d) apenas II e IV
Os pontos A e B mostrados têm velocidades
VA e VB. A opção que apresenta a relação cor-
reta entre v, w e R é:
a) VA < VB e wA > ωB
b)
V
V
R
R
A
B
A
B
=
e wA = wB
c) VA > VB e wA = wB
d) VA wA = VB wB e RA = RB
e) VA > VB e wA > wB
36) (PUC-MG) Uma partícula descreve uma trajetória
circular com velocidade escalar constante de
30 m/s. O raio da circunferência é de 100 m.
A aceleração vetorial da partícula:
a) é dirigida para o centro.
b) é nula.
c) é paralela ao vetor velocidade.
d) é tangente à trajetória.
e) tem por módulo 0,3 m/s2.
37) (PUC-MG) Um menino gira uma pedra presa
à extremidade de um barbante, em um M.C.U.
com velocidade angular de 16 rad/s. e raio igual a
50 cm. Em certo momento, o barbante se rompe
e a pedra é lançada verticalmente para cima.
A altura máxima que a pedra atinge, acima do
ponto de lançamento, é de:
a) 0,4 m c) 2,4 m e) 4,0 m
b) 1,6 m d) 3,2 m
38) (UFMG) Uma partícula descreve uma trajetória
circular de raio R, com velocidade escalar V.
Se o raio é aumentado para 2R e a velocidade
para 3V, a relação entre as acelerações centrí-
petas antes e depois é:
a) 3
1
c) 5
3
e) 5
9
b) 9
2
d) 9
4
4
30 cm
3
50 cm
2
h
1
I
II
III
IV
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29Física - M1
VETORES
1 - VETORES
a) Grandezas Escalares e Vetoriais
Uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido.
Se a grandeza ficar bem entendida somente com o conhecimento de seu valor numérico (módulo) e da sua
unidade (se houver), chamaremos esta grandeza de ESCALAR. O tempo, a massa de um corpo, a energia
e o espaço percorrido por um móvel são grandezas escalares.
Por outro lado, se além do módulo e da unidade uma grandeza física necessitar de uma direção e de um
sentido para ser bem compreendida, será chamada de VETORIAL. A velocidade, a aceleração e o desloca-
mento são exemplos de grandezas vetoriais.
b) Vetor
Para que possamos representar geometricamente uma grandeza
vetorial, vamos utilizar um ente matemático chamado vetor. O vetor
é um segmento de reta orientado como o mostrado na figura.
A inclinação do vetor (ângulo a) determina a direção da gran-
deza que ele representa, a seta representa o sentido e o ta-
manho é proporcional ao módulo da grandeza. Utilizamos uma
letra do alfabeto afetada por uma seta sobre a mesma para
representarmos um vetor.
Para representar-
mos o módulo de um vetor, utilizaremos a seguinte notação:
a
ou a
Observação:
1 - É um grande erro escrever a = 5 . O correto seria
a = 5
ou a = 5 .
2 - Um vetor tem uma origem e uma extremidade.
3 - Somente poderemos dizer que dois vetores são iguais quando eles possuírem mesmo módulo, mesma
direção e mesmo sentido.
c) Adição de Vetores
c.1) Método do Polígono
Imagine que queiramos somar os três vetores
abaixo.
Pelo método do polígono, vamos enfileirando os ve-
tores, tomados ao acaso, fazendo coincidir a origem
de um vetor com a extremidade do anterior. Veja:
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30 Física - M1
R = a - b (se a > b)
c.2) Método do Paralelogramo
Este método somente pode ser empregado para
se somar vetores dois a dois. Vamos somar os dois
vetores da figura seguinte:
Inicialmente devemos fazer coincidir as origens dos
dois vetores.
Note que os dois vetores formam entre si um ângulo q.
Apartir da extremidade de um dos vetores, traçamos
uma reta paralela ao outro.
O vetor soma (resultante) terá origem na origem
comum dos dois vetores e extremidade no encontro
das paralelas traçadas.
R = a + b
R a b= +2 2
O vetor soma (ou resultante) terá origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do último
vetor.
Observações:
1 - Quando q = 0º :
Vetores com mesma direção e sentido.
Esta é a maior resultante entre dois vetores.
2 - Quando q = 180º :
Vetores com mesma direção e sentidos opostos.
Esta é a menor resultante entre dois vetores.
3 - Quando q = 90º :
Vetores perpendiculares entre si.
d) Subtração de Vetores
d.1) Vetor Oposto (Simétrico)
Na figura abaixo, estamos apresentando um vetor
qualquer a .
O módulo do vetor resultante será dado por: R a b a b= + +2 2
2. . .cosθ
Definiremos como sendo o vetor oposto (representação: − a ) de a , um vetor que
tenha mesmo módulo a , mesma direção de a
e sentido oposto ao de a .
A figura nos mostra o vetor original e o seu
oposto.
Apesar de este método ser gráfico, podemos identificar o módulo do vetor resultante.
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31Física - M1
d.2) Método de Subtração
A partir de dois vetores, a e b , devemos determinar R a b= − . Note que
( )R a b= + −
, ou seja, a subtração
entre dois vetores é, na verdade, a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo.
Em termos práticos, podemos dizer que, para subtrairmos os vetores a e b (nesta ordem), devemos inverter
o sentido do vetor b e efetuar uma adição, utilizando, para isto, um dos métodos estudados.
e) Decomposição de Vetores
Anteriormente, através da soma ou composição, obtínhamos um único vetor a partir de dois outros. Agora,
pela decomposição, a partir de um vetor podemos obter dois outros.
Estudaremos a decomposição de um vetor em componentes ortogonais.
Seja um vetor v inclinado de um ângulo a em relação à horizontal, como mostra a figura.
Para efetuarmos a decomposição do vetor v devemos, inicialmente, traçar um sistema de eixos cartesianos
de tal forma que a sua origem coincida com a do vetor.
Da extremidade do vetor v desenhamos duas retas, uma
paralela ao eixo x e outra paralela ao eixo y.
As interseções entre as retas desenhadas e os eixos car-
tesianos determinam as componentes ortogonais do
vetor v.
Podemos entender estas projeções como sendo “pedaços”
do vetor v desenhados nos eixos cartesianos.
2 - COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
Sabemos que o movimento de um corpo deve ser estudado em relação a um
determinado referencial. É possível que o mesmo movimento seja visto por
dois referenciais em situações diferentes.
Imagine o caso de um trem em movimento uniforme sobre uma estrada retilínea
com uma velocidade v (em relação à Terra). Dentro do trem, uma partícula se
desloca obliquamente com uma velocidade u (em relação ao trem). A figura
mostra uma visão superior do fenômeno.
Queremos determinar a velocidade da partícula em relação à Terra. Para isso
devemos efetuar a composição (soma) de velocidades, lembrando que a ve-
locidade resultante V v u= + será:
a) Travessia de Rios
Um caso em que a composição de velocidades é aplicada é o de travessia de
rios. Observe a figura ao lado:
Na figura: Vc = velocidade da correnteza (em relação à Terra).
Vb = velocidade própria do barco (em relação à água).
sen .sen
cos .cos
α α
α α
= ⇒ =
= ⇒ =
V
V
V V
V
V
V V
Y
Y
X
X
Os módulos destas componentes são:
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32 Física - M1
Queremos encontrar a velocidade do barco em relação à Terra. Para isso, basta efetuarmos a soma
V V Vc b= +
.
Há duas situações interessantes a respeito da travessia de rios.
a.1) Tempo Mínimo para a Travessia
Para que o tempo de travessia seja mínimo, a velocidade própria do barco deve ser orientada perpendicu-
larmente às margens.
Assim, a trajetória do barco será oblíqua em relação às margens (seguirá a orientação de sua velocidade
resultante).
Neste caso, o módulo da velocidade do barco em
relação à Terra será:
Sendo L a largura do rio, o tempo de travessia de-
penderá exclusivamente da velocidade própria do
barco (que é a velocidade direcionada para atraves-
sar o rio). O tempo mínimo poderá ser calculado
pela expressão:
a.2) Trajetória Mínima na Travessia
A velocidade própria do barco deve ser orientada de tal forma que a travessia
seja perpendicular às margens.
A componente da velocidade própria do barco na direção da correnteza
tem o mesmo valor que Vc . Assim, a velocidade resultante em relação às
margens será igual à componente da velocidade própria do barco na direção
perpendicular às margens.
O tempo gasto na travessia (sendo L a largura do rio) será:
Neste caso, o tempo de travessia será maior do que o do caso anterior.
Observações:
1 - Quando o barco simplesmente desce o rio (viaja a favor da correnteza), a sua velocidade resultante
será
V V Vb c= +
.
2 - Para o barco que sobe o rio (viaja contra a correnteza), a sua velocidade resultante será
V V Vb c= −
t
L
V
MIN
b
=
V V Vb c= +2 2
t
L
V
=
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33Física - M1
1) (UCS) Uma pessoa sai de sua casa e percorre
as seguintes distâncias em qualquer ordem
possível:
I) 30 metros para leste;
II) 20 metros para norte;
III) 30 metros para oeste.
No final das três caminhadas, a distância a que
ela se encontra do ponto de partida é:
a) 80 m c) 20 m e) 60 m
b) 50 m d) 40 m
2) Qual é a relação correta entre os vetores M, N ,
P e R , representados a seguir?
5) Um barco, com velocidade v, quer atravessar
um rio, cuja velocidade da correnteza é u. Su-
ponha v > u. Sobre este movimento podemos
afirmar:
a) o tempo de travessia será mínimo se o barco
orientar-se de tal maneira que a travessia se
faça normalmente às margens.
b) conforme a orientação do barco, a com-
ponente de sua velocidade resultante, na
direção normal às margens, poderá ser
superior a v.
c) conforme a orientação do barco, a com-
ponente de sua velocidade resultante, na
direção da corrente, poderá ser nula.
d) quando o barco orienta sua velocidade v
normalmente às margens, ele vai percorrer o
menor caminho possível na travessia.
e) a maior velocidade resultante que o barco
conseguirá dar-se-á quando ele se orientar
normalmente às margens.
6) (UFJF) Um barco percorre a largura de um rio AB
igual a 2 km, em 30 min. Sendo a velocidade da
correnteza igual a 3 km/h, temos para a velocid-
ade do barco em relação à correnteza:
a) 5 km/h
b) 1,5 km/h
c) 10 km/h
d) 50 km/h
e) n.r.a.
7) (MACK) Um passageiro em um trem, que se
move para sua direita em movimento retilíneo
e uniforme, observa a chuva através da janela.
Não há ventos e as gotas de chuva já atingiram
sua velocidade limite (elas caem com velocidade
constante). O aspecto da chuva observado pelo
passageiro é:
a) M + N + P + R = 0
b) P + M = R + N
c) P + R = M + N
d) P - R = M - N
e) P + R + N =M
3) (UEL-PR) Um navio sofre deslocamentos suces-
sivos de 6,0 km de norte para sul e 8,0 km de
leste para oeste. O deslocamento vetorial do
navio tem módulo:
a) 2,0 km c) 10 km e)48 km
b) 7,0 km d) 14 km
4) Um barco descendo um rio, cuja correnteza se
desloca a 10 km/h, gasta 6,0 h para viajar de
uma cidade a outra, situadas na mesma mar-
gem, e distanciadas em 180 km. Quanto tempo
o barco gastaria para fazer esta mesma viagem
se não existisse correnteza?
a) 20 h c) 12 h e) 6,0 h
b) 18 h d) 9,0 h
a) b) c)
d) e)
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34 Física - M1
8) Um navio desloca-se na direção norte-sul com movimento retilíneo e uniforme de velocidade 10 m/s. Um
passarinho, pousado numa das paredes do navio, levanta vôo na direção leste-oeste, com velocidade
constante de 20 m/s, em relação ao navio. Para um observador parado, no navio, o pássaro:
a) voa na direção leste-oeste, com velocidade 500 m / s .
b) voa na direção aproximada de sudoeste, com velocidade 500 m / s .
c) voa na direção leste-oeste, com velocidade 20 m/s.
d) voa aproximadamente na direção noroeste, com velocidade 20 m/s.
e) voa com direção e velocidade não identificáveis com as respostas anteriores.
9) (Taubaté) Um homem cai, à velocidade de 10 m/s, sobre um vagão de trem que corre à velocidade de
72 km/h (veja a figura seguinte).
Qual dos vetores abaixo melhor representa a velocidade do homem em relação ao vagão?
a) b) c)
d) e)
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35Física - M1
ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
1 - INTRODUÇÃO
Estática é a parte da Física que estuda as condições de equilíbrio estático dos corpos extensos e pontos
materiais.
Nós já estudamos a 1ª Lei de Newton que trata do equilíbrio de pontos materiais (corpos cujas dimen-
sões são desprezíveis). Esta Lei diz que se a resultante das forças que atuam em uma partícula for
nula, então esta partícula estará em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo uniforme
(equilíbrio dinâmico).
Um ponto material não possui movimento de rotação apreciável, o que simplifica em muito o estudo do
seu equilíbrio, pois tudo o que devemos verificar é o seu movimento de translação.
Agora, imagine que você quer estudar o equilíbrio de um poste, por exemplo. Neste caso temos um corpo
extenso, que possui um certo tamanho a ser considerado. E fácil notar que o poste estando em equilíbrio,
não terá movimentos de translação ou rotação acelerados.
O que vai ser desenvolvido neste capítulo visa estudar as condições de equilíbrio para os corpos extensos.
2 - MOMENTO DE UMA FORÇA (M)
Uma força aplicada a um corpo pode produzir nele uma rotação quando possui uma componente perpen-
dicular ao seu eixo de rotação. Essa característica pode ser encontrada no nosso dia-a-dia. Por exemplo,
ao fechar uma porta, você a empurra (aplica uma força) em uma direção praticamente perpendicular à sua
área. Verifica-se, também, que quanto mais distante da dobradiça você aplicar a força, mais facilmente
a porta efetuará o movimento de rotação.
No caso do exemplo citado acima, dizemos que a força que foi aplicada na porta cria um momento (M)
que é responsável pelo movimento de rotação da porta.
A figura seguinte mostra uma barra que está presa a uma parede por meio de uma dobradiça móvel.
Como o peso da barra é vertical para baixo1, podemos dizer que a sua
tendência é girar no sentido horário em relação ao ponto O. Em outras
palavras, o peso gera um momento no sentido horário que fez com que
a barra adquira um movimento de rotação acelerado.
Se quisermos manter a barra em repouso na posição horizontal, de-
vemos aplicar uma força F que tenha uma componente perpendicular
à barra para gerar um momento no sentido anti-horário de igual inten-
sidade ao momento criado pelo peso da barra.
E fácil notar que o esforço para sustentar a barra será menor se a força
for aplicada à direita do seu peso. Há muito tempo atrás, Arquimedes
já dizia: “Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio que eu moverei
a Terra!”
O próximo esquema servirá de base para que possamos definir
matematicamente o momento de uma força. Nele, uma força é aplicada
na barra que está presa a parede.
Esta força comprime a barra contra a parede (por causa de sua com-
ponente F .cos q) e, ao mesmo tempo, tende a girar a barra no sentido
anti-horário (pela ação da componente F.sen q).Adistância é medida
do ponto de aplicação da força até ao ponto de rotação da barra.
A definição do Momento de uma força leva em consideração opera-
ções que não serão estudadas no Ensino Médio e, por isto, vamos
apresentar simplesmente a maneira de se calcular o módulo desta
grandeza, que é: M = (F.sen q) , onde o termo (F.senq) representa a
componente da força que é perpendicular a distância .
1Toda vez que tivermos um corpo homogêneo iremos considerar que o seu peso é aplicado exatamente em seu centro
geométrico.
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36 Física - M1
Uma outra maneira de se escrever esta expressão é: M = F( .senq)
O termo ( .senq) é a componente da distância perpendicular à força aplicada e se chama braço. Note bem
que para calcularmos o momento, a força e o braço devem ser perpendiculares, mas tanto faz decompor a
força ou a distância. A unidade do momento no Sl é:
[M] = [F]. [ ] = newton x metro = N. m
CUIDADO!: Esta unidade NÃO é igual à do trabalho (N.m = joule) apesar de ambas representarem a mesma
combinação de unidades.
Quando várias forças são aplicadas em um mesmo corpo, podemos calcular o Momento Resultante. Para
isto, devemos seguir a seguinte seqüência:
A - Escolher um ponto de rotação, em relação ao qual serão calculados os momentos.
B - Calcular isoladamente o momento de cada força aplicada em relação ao ponto escolhido, most-
rando qual a tendência de rotação.
C - Somar todos os momentos: gerados no sentido horário.
D - Somar todos os momentos gerados no sentido anti-horário.
E - Efetuar a subtração do momento total no sentido horário pelo momento total no sentido anti-horário
(ou vice-versa, dependendo de qual for maior).
O Momento Resultante terá o valor encontrado no item E e o seu sentido (horário ou anti-horário) será igual
ao sentido do momento total maior.
3 - CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Um corpo extenso que possui um momento resultante diferente de zero, apresentará um movimento de
rotação em que o módulo da velocidade varia. Já vimos que a intensidade desse momento resultante é o
módulo da diferença entre o momento total no sentido horário e o momento total no sentido anti-horário.
Para que um corpo extenso qualquer fique em equilíbrio estático é necessário que ele não possua movi-
mento nem de translação, nem de rotação. As duas condições de equilíbrio podem, então, ser expressas
da seguinte forma:
01) (UFV) Uma pessoa pretende utilizar um pé-de-
cabra para arrancar um prego. Dos cinco vetores
representados na figura, o que corresponde à
menor força necessária à tarefa é:
a) F2
b) F1
c) F3
d) F5
e) F4
02) (UFV) Uma carga de 450 N está presa a uma
roldana por meio de uma corda, conforme mostra a
figura seguinte.Aforça, P, necessária para manter o
braço, AB, na posição horizontal, em Newtons, é:
a) 150
b) 1350
c) 450
d) 300
e) 900
1ª) FR = 0
2ª) MR = 0
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37Física - M1
03) (UFMG) A figura mostra duas cargas positivas, Q e Qx, de massas desprezíveis colocadas sobre os
braços de mesmo comprimento de uma balança nas distâncias indicadas. A balança está em uma região
a) Q/3
b) Q
c) 3Q
d) 9Q
04) (PUC-MG) Dois meninos A e B, de 40 kg e 30 kg , respectivamente, estão brincando numa gangorra
conforme desenho abaixo.
Eles querem equilibrar a gangorra de maneira que
eles fiquem nas extremidades. Para isso, podem
usar uma ou mais pedras disponíveis no jardim. Se
a posição a ser usada for o ponto médio de OB,
uma das possibilidades é usar:
a) apenas uma pedra de 10 kg
b) três pedras de 5,0 kg e uma de 10 kg
c) duas pedras de 5,0 kg, uma de 8,0 kg e duas de 2,0 kg
d) uma pedra de 10 kg, uma de 8,0 kg e uma de 5,0 kg
e) duas pedras de 8,0 kg e duas de 2,0 kg
05) (PUC-MG) Uma lanterna, de peso P, está presa a um sistema, constituído por uma corrente e uma haste,
presas a uma parede, como mostra a figura. O ângulo entre a corrente e a parede vale 45°. Considerando
a lanterna em equilíbrio, o valor da força F que atua na haste é:
a) 2P d) P
b) 2 . P e)
P
2
c)
P 2
2
06) (MACKSP) Na figura abaixo, os fios e as polias são ideais; AB é uma barra homogênea, tem secção
transversal constante e seu peso é de 10 N. A relação entre os pesos dos corpos X e Z, respectivamente
PX e PZ, que fazem com que a barra AB fique em equilíbrio
segundo a horizontal, é:
a) PX = (7/10).PZ d) PX= 3 PZ
b) PX = PZ e) PX = 7 PZ
c) PX= (10/7).PZ
O M
onde existe um campo elétrico uniforme E na direção mostrada.
Para que a balança fique em equilíbrio na horizontal, pode-se afirmar que o valor de Qx, será igual a:
X Y
Z
2
2
45osc45sen oo
==
o
45
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38 Física - M1
DINÂMICA – TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA
1 - INTRODUÇÃO
Quando lançamos um corpo verticalmente para cima, podemos calcular, através das equações da Cin-
emática, a sua altura máxima. Ao estudarmos o movimento de um carro que é freado em uma estrada
horizontal, temos condições de calcular a distância por ele percorrida até parar. Para isto, utilizamos a
Lei de Newton e a equação de Torricelli.
Neste capítulo veremos uma maneira nova de resolver os problemas citados no parágrafo anterior. Esta
nova abordagem a problemas da Mecânica será, para nós, de grande valia pois irá simplificar a obtenção
de resultados.
O objetivo principal deste capítulo é estudar a energia. Apesar de ser intuitivo, o conceito de energia é
um dos mais importantes nas ciências físicas. Podemos dizer que, quando um corpo qualquer possui
energia, ele estará em movimento ou terá condições de entrar em movimento.
Começaremos o estudo do capítulo investigando o conceito de trabalho . Em seguida , entenderemos a
potência e, logo após, estudaremos a energia mecânica e as condições para que ela se conserve.
2 – TRABALHO (W. t)
O motor de um carro, através da queima do combustível nos pistons, consegue aplicar uma força no
automóvel que, por sua vez, produz um certo deslocamento. Note que existe transformação de energia
– a energia química armazenada no combustível se transforma em energia de movimento para o carro.
A medida desta transformação de energia será definida como sendo o trabalho realizado pelo motor.
A geração de energia elétrica em usinas hidrelétricas é um outro exemplo muito conhecido que pode ser
citado. A água armazenada na represa possui energia. Quando ela desce pela tubulação da usina, faz
girar o dínamo e, através deste processo, a energia elétrica será gerada.
Os dois processos citados serão estudados com mais detalhes nos capítulos sobre Termodinâmica e
Eletromagnetismo, respectivamente.
A partir deste ponto, vamos definir matematicamente o trabalho. A próxima figura mostra um bloco que
sofre a ação de uma força constante F inclinada em relação ao deslocamento.
O trabalho realizado pela força F é:
W = F.d.cosq
Note que, para uma força realizar trabalho é necessário
que haja deslocamento e, além disso, a força deve ter uma
componente na direção do deslocamento (a força não pode
ser perpendicular ao deslocamento).
Portanto, uma pessoa que passe o dia inteiro segurando uma pedra a 2,0 metros de altura não realiza
trabalho algum. Mesmo se esta pessoa transportar a pedra, na horizontal, com velocidade constante, o
trabalho será nulo, uma vez que a força aplicada é vertical e o deslocamento horizontal
A unidade do trabalho no S.l.: [W] = [F] . [d] = N . m = joule (J)
Observação:
A unidade do trabalho é a mesma de qualquer forma de energia, já que, conceitualmente, o trabalho
representa a medida da transformação da energia.
a) Gráfico F x d: Quando uma força variar ao longo do deslocamento,
a única maneira de se calcular o trabalho por ela realizado é através
da área sob o gráfico F x d. Para tal, iremos considerar que F repre-
senta a projeção da força na direção do deslocamento.
b) Trabalho da força resultante: Imagine um sistema composto por
várias forças aplicadas a uma partícula. Cada uma, isoladamente,
realiza um trabalho.
O trabalho da força resultante (ou trabalho resultante) é a soma algébrica dos trabalhos realizados por cada força.
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39Física - M1
3 - POTÊNCIA MÉDIA (Pm)
Em algumas situações é importante sabermos a taxa de realização de trabalho (transformação de energia)
em uma certa unidade de tempo.
Para descobrirmos esta taxa dividimos o valor da energia que é transformada pelo intervalo de tempo gasto no
processo. Ao resultado desta operação, chamamos de potência média. Matematicamente, temos: Pm =
W
t∆
A unidade S.l. desta grandeza é: [P] =
[ ]
[ ]
W
t∆ =
J
s = watt (W)
Existem duas outras unidades que são: cavalo-vapor (cv) Þ 1 cv = 735W
horse-power (hp) Þ 1 hp = 746W
Observação: Uma unidade de energia muito utilizada na prática é o quilowatt-hora (kwh). Esta unidade
é definida a partir da relação estudada neste item. Se a potência estiver expressa em watt e o tempo em
segundo, a unidade do trabalho (ou energia) será o joule. Porém, se a potência estiver em quilowatt e o
tempo em horas, teremos o trabalho (ou a energia) em quilowatt-hora. Veja:
[W] = [P].[Dt] = W.s = joule (J)
[w] = [P] . [Dt] = kW.h
A relação entre estas duas unidades é a seguinte: 1 kW.h = 1000 W . 3600 s = 3,6 x 106 J
4 – ENERGIA MECÂNICA (EMEC)
Em nosso cotidiano lidamos com vários tipos de energia. A energia elétrica é transformada em energia
térmica em um chuveiro e em energia sonora em um auto-falante. A energia luminosa é transformada em
energia elétrica em uma bateria solar. A energia nuclear é transformada em térmica e, depois, em elétrica
em uma usina nuclear. São vários os exemplos em que diversas formas de energia estão em jogo.
De uma maneira geral, podemos dizer que a quantidade de energia presente no universo é constante, ou seja, a
energia não pode ser criada ou destruída, simplesmente ela sofre transformação de uma forma para outra.
Iremos estudar uma forma específica de energia chamada Energia Mecânica. Este tipo de energia é a soma de
dois outros tipos: energia cinética e energia potencial mecânica. Veremos, a seguir, estes tipos de energia.
a) Energia Cinética (Ec): Esta é a forma de energia dos corpos em movimento. Um corpo terá energia ci-
nética quando apresentar uma certa velocidade, em relação a um referencial. A sua expressão matemática
é: Ec =
m V. 2
2
a.1) Teorema Trabalho-Energia: Uma partícula que sofre a ação de uma força resultante certamente verificará
uma variação em sua velocidade.Aesta variação podemos relacionar uma modificação na sua energia cinética.
Diremos que o trabalho realizado pela força resultante é igual à variação da energia cinética da partícula.
A figura seguinte mostra a força resultante que atua em uma partícula de massa m, inicialmente com uma ve-
locidade V0. Por causa desta força, a sua velocidade passa a ter um valor V após um deslocamento d. Veja.
O trabalho realizado pela força resultante F é:
W = F.d.cos 0°
mas, pela 2ª Lei de Newton, F = m.a.
Assim, W = m.a.d ; utilizando a equação de Torricelli,
V2 = V0
2 + 2.a.d Þ a.d =
V V2
0
2
2
−
Substituindo na expressão do trabalho, W = m.
V V2
0
2
2
−





=
m V. 2
2 -
m V. 0
2
2
Que irá resultar na seguinte relação: WFr = DEc
O trabalho da força resultante sobre um móvel é igual à variação da sua energia cinética.
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40 Física - M1
b) Energia Potencial (Ep): Quando a energia está acumulada em um certo corpo, ela recebe o nome de
potencial. Assim, temos energia potencial elétrica, química, magnética, etc. Podemos estabelecer que para
toda força conservativa haverá uma energia potencial a ela relacionada.
Vamos estudar as formas de energia potencial mecânica. Existem duas situações que irão nos interessar: energia
potencial gravitacional (relacionada com a força peso) e energia potencial elástica (relacionada com a força elástica).
b.1) Energia Potencial Gravitacional: Imagine que um corpo foi levado do solo até uma certa altura h.
Nesta situação, podemos dizer que este corpo possui uma certa
energia guardada (potencial), uma vez que o seu peso é capaz de
realizar um trabalho para trazê-lo de volta ao solo. Na verdade, esta
energia foi acumulada pelo corpo por causa do trabalho realizado
para colocá-lo na altura h.
A energia potencial gravitacional é igual ao trabalho realizado pelo
peso durante o deslocamento da altura h até o solo (que será o nosso
nível de referência).
Epg = WP = P.h
Epg = m.g.h
b.2) Energia Potencial Elástica: Uma mola deformada é capaz de empurrar um certo bloco. Note que, neste
caso, a mola irá aplicar uma força no bloco que produzirá um deslocamento. Logo, esta mola, quando estiver
comprimida ou distendida, será capaz de realizar um trabalho. Isto significa que ela possui uma energia
acumulada. Esta energia chamaremos de energia potencial elástica.
De maneira semelhante ao que ocorre com a gravitacional, a energia potencial elástica é igual ao trabalho
realizado pela força elástica para voltar à posição inicial.
Epe =
k x. 2
2
c) Energia Mecânica ( EMEC): Como já vimos, a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial, ou seja:
EMEC = Ec + Ep
5 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
As forças podem ser classificadas em conservativas e não-conservativas. Uma determinada força é con-
servativa quando o trabalho que ela realiza não depende da trajetória. As forças elétrica, gravitacional e
magnética são exemplos de conservativas. Quando o trabalho de uma certa força depender da trajetória
utilizada, ela é chamada de força não-conservativa. A força de atrito é uma força não-conservativa (como
o atrito é sempre contrário ao movimento, diremos que ele é uma força dissipativa).
Quando um móvel estiver sob a ação exclusiva de forças conservativas, o valor da energia mecânica será
constante em todos os pontos de sua trajetória. É importante notar que este móvel pode ter, em alguns
pontos, apenas energia cinética e, em outros pontos, somente energia potencial.
Vamos imaginar, inicialmente, uma situação bem simples: Uma pedra (massa igual a 1,0 kg) é lançada vertical-
mente para cima, a partir do solo, com uma velocidade de 40 m/s. Desprezando a resistência do ar, vamos estudar
o movimento desta pedra. A figura a seguir mostra o instante do lançamento e diversos pontos da trajetória.
O ponto A representa o local do lançamento, B está situado a 20 m de altura, C a 60 m e o ponto D é o de
altura máxima atingida pela pedra.
Iremos considerar a aceleração da gravidade local constante e igual 10 m/s2.
Inicialmente vamos calcular a energia mecânica da pedra no ponto A. Como,
neste ponto, a altura é nula, a pedra só terá energia cinética. Assim,
EA
MEC = EcA =
m VA. 2
2 =
140
2
2
.
EA
MEC = EcA = 800 J
A única força que atua da pedra, em todo o movimento, é o peso (que é uma
força conservativa). Logo, a energia cinética da pedra terá o mesmo valor em
todos os pontos de sua trajetória.
Observação: Quando houver atrito no sistema, a energia mecânica irá diminuir
progressivamente com o tempo, de tal forma que:
Wfa = Emec
final - EMEC
inicial
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41Física - M1
01) (CESCEA) Um corpo A de peso P escorrega com atrito num plano inclinado, com aceleração a diferente
de zero. Que forças realizam trabalho?
a) a componente da força peso ao longo da trajetória e a de atrito
b) somente a força peso
c) somente a força de atrito
d) nenhuma, pois se equilibram
e) a reação normal do plano sobre o corpo
02) (PUC-MG)Umcorpodemassa0,20kgpresoporumfiogiraemmovimentocircularuniformederaio50cmsobre
uma superfície horizontal lisa. O trabalho realizado pela força de tração do fio, durante uma volta completa, é:
a) zero b) 6,3 J c) 10 J d) 1,0 J e) 31 J
03) (Santa Casa) Para as questões I e II relacione cada um dos gráficos dados a seguir com o que se es-
tabelece em cada um dos itens:
I – trabalho de uma força constante em função do deslocamento efetuado na direção e sentido da
força.
II – trabalho de uma força de intensidade constante para um dado deslocamento em função do ângulo
que a referida força forma com a direção e sentido do deslocamento a partir do ângulo igual a zero.
a) b) c) d) e)
04) (UFV) Uma bomba eleva 18 000 litros de água por hora a uma altura de 20 metros. A massa de um litro
de água é um quilograma: suponha g = 10 m/s. A potência da bomba em watts, é:
a) 1,8 x 104 b) 1,8 x 105 c) 1,0 x 102 d) 1,0 x 103 e) 3,6 x 103
05) (PUCMG) A figura desta questão mostra um
corpo de massa igual a 6,0 kg e velocidade 10 m/
s, instantes antes de penetrar em uma região de
comprimento 5,0 m onde o coeficiente de atrito
cinético vale 0,6. A energia cinética do móvel ao
deixar a região, em joules, é igual a:
06) (UFMG)Atlra-se uma bola vertlcalmente para cima.
A bola sobe e desde caindo no mesmo ponto de
onde foi lançada. Desprezando-se o atrito com o
ar, pode-se dizer que:
a) energia cinética da bola é ¼ da energia cinética
inicial quando ela, na subida, atinge a metade da
altura máxima.
b) a energia cinética da bola é a mesma, tanto na
subida quando na descida, quando ela estiver na
metade da altura máxima.
c) a energia cinética da bola é máxima quando ela
atinge o ponto mais alto da sua trajetória.
d) a energia potencial da bola é máxima no ponto de
partida.
a) 80
b) 120
c) 160
d) 180
e) 200
07) (PUCMG)Afigura desta questão mostra duas rampas ideais e dois corpos de massa m e 2m, inicialmente
em repouso. Se eles são abandonados simultaneamente,é correto afirmar que:
a) atingem a base, ao mesmo tempo.
b) possuem a mesma aceleração ao descerem as rampas.
c) alcançam a base da rampa com a mesma velocidade escalar.
d) possuem a mesma energia potencial que antes de serem
abandonados.
e) têm a mesma energia cinética ao chegarem à base.
Física  - Módulo 01
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Física - Módulo 01

  • 1. Física GABRIEL DIAS DE CARVALHO JÚNIOR 1 cor preto CINEMÁTICA Conceitos Iniciais 1.1- Introdução .......................................................5 1.2- Referencial ......................................................5 1.3- Deslocamento e Espaço Percorrido................6 1.4- Velocidade Média............................................7 1.5- Velocidade Escalar Instantânea......................8 1.6- Aceleração Escalar Média...............................8 MECÂNICA Leis de Newton 1 - Introdução .......................................................10 2 - Força ...............................................................10 3 - Leis de Newton................................................10 Movimentos Retilíneos 1 - Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) ......... 11 2 - Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) ...............13 3 - Força Peso (P ) e Reação Normal ..................16 4 - Movimentos Verticais próximos à superfície da Terra ......................17 5 - Atrito ................................................................18 6 - Plano Inclinado................................................19 7 - Movimento Circular Uniforme..........................20 8 - Força Centrípeta .............................................22 Vetores 1 - Vetores ............................................................29 2 - Composição de Movimentos...........................31 Areproduçãoporqualquermeio,inteiraouemparte,ven- da,exposiçãoàvenda,aluguel,aquisição,ocultamento, empréstimo,trocaoumanutençãoemdepósitosemau- torizaçãododetentordosdireitosautoraisécrimeprevisto noCódigoPenal,Artigo184,parágrafo1e2,com multaepenadereclusãode01a04anos.
  • 2. Estática dos Corpos Rígidos 1 - Introdução ...................................................................... 35 2 - Momento de uma Força (M)........................................... 35 3 - Condições de Equilíbrio ................................................. 36 Dinâmica - Trabalho, Potência e Energia 1 - Introdução ...................................................................... 38 2 - Trabalho (W.τ) ............................................................... 38 3 - Potência Média............................................................... 39 4 - Energia Mecânica (EMEC) .............................................. 39 5 - Conservação da Energia Mecânica ............................... 40 Hidrostática 1 - Introdução ...................................................................... 44 2 - Densidade Absoluta ou Massa Específica (d)................ 44 3 - Pressão (p)..................................................................... 44 4 - Pressão Hidrostática ...................................................... 45 5 - Teorema de Stevin ......................................................... 45 6 - Experiência de Torricelli ................................................. 46 7 - Princípio de Pascal......................................................... 46 8 - Princípio de Arquimedes ................................................ 46 Gravitação Universal 1 - Introdução ...................................................................... 50 2 - Leis de Kepler ................................................................ 50 3 - Lei da Gravitação Universal ........................................... 51 4 - Aceleração da Gravidade............................................... 51 5 - Movimento Orbital .......................................................... 52 2 cor preto
  • 3. Tecnologia ITAPECURSOS 3 cor preto 3Física - M1 Caro VESTIBULANDO, Você está recebendo o primeiro volume da coleção ITAPECURSOS. Ao todo são 3 livros que irão abranger o programa básico do Ensino Médio: Mecânica, Eletro- magnetismo, Termologia, Óptica e Ondulatória. Neste primeiro volume o assunto tratado é a Mecânica. Você terá um capítulo inicial contendo conceitos introdutórios, tais como referencial, velocidade e acelera- ção. Logo em seguida, haverá um capítulo contendo Leis de Newton, com tópicos de Cinemática inseridos. A seguir, os capítulos tratarão da Energia, Hidrostática e Gravitação Universal. Optamos por não efetuar uma divisão clara entre Física 1 e 2 para dar maior adaptabilidade à sua realidade. No entanto, sugerimos dois tipos de divisão: 1™) - Considerando 3 aulas por semana: Física 1: 2 aulas ⇒ Conceitos Iniciais Leis de Newton Hidrostática Física 2: 1 aula ⇒ Energia Gravitação 2™) - Considerando 4 aulas por semana: Física 1: 2 aulas ⇒ Conceitos Iniciais Leis de Newton Física 2: 2 aulas ⇒ Energia Hidrostática Gravitação Atenciosamente,
  • 5. Tecnologia ITAPECURSOS 5 cor preto 5Física - M1 CINEMÁTICA CONCEITOS INICIAIS 1.1 - INTRODUÇÃO AFísica é uma ciência que se preocupa em investigar os fenômenos naturais.Assim, toda vez que você estiver es- tudando a queda de um corpo ou a formação de um raio em um dia de tempestade, a Física estará presente. Ao longo dos três volumes desta coleção iremos trabalhar com 4 tópicos, basicamente: Mecânica, Termo- logia, Eletromagnetismo e Ondulatória. Para uma melhor distribuição destes assuntos, iremos dividi-los da seguinte forma: Volume 1: Mecânica, Volume 2: Termologia e Ondulatória e Volume 3: Eletromagnetismo. Começaremos nosso estudo pela Mecânica, que é a parte da Física que estuda os movimentos e as condições de equilíbrio de um corpo. Para o estudo da Mecânica, será necessário o conhecimento de alguns conceitos que serão vistos neste primeiro capítulo. Vejamos estes conceitos: 1.2 - REFERENCIAL É um sistema qualquer utilizado para se estudar o movimento de um ou vários corpos. De acordo com o referencial, poderemos definir o que é movimento, repouso, trajetória e partícula. a) Movimento e Repouso Imagine que você está em sua primeira aula de Física e o professor lhe faz a seguinte pergunta: - Você está em movimento exatamente neste instante? Talvez sua resposta intuitiva seja NÃO, uma vez que você está fixo em uma carteira, dentro de uma sala de aula. A pergunta do seu professor soou estranha porque você estabeleceu intuitivamente como referencial um corpo fixo dentro da sala de aula (por exemplo, o quadro negro, a carteira em que você está assentado ou um colega). Neste caso, é verdade que, em relação ao referencial escolhido, você está em repouso. Por outro lado, se você tivesse estabelecido que o Sol é o seu referencial, a sua resposta seria SIM para a pergunta do professor, pois você viaja pelo espaço (junto com a Terra) ao redor do Sol. Logo, em relação ao Sol, você está em movimento. A diferença entre as duas situações é muito clara: • No primeiro exemplo você não está em movimento, pois a sua posição em relação ao referencial escolhido não varia em relação ao tempo. • Já no segundo caso, a sua posição se altera, com o passar do tempo, em relação ao referencial. Uma pergunta que geralmente deve estar surgindo em sua mente é: - Mas, na verdade eu estou ou não em movimento? Não existe uma situação verdadeira e outra enganosa. Você está em repouso em relação ao quadro negro e está em movimento em relação ao Sol. Na verdade, não existe movimento ou repouso absolutos, ou seja, não há corpo algum que sempre esteja em movimento ou sempre esteja em repouso, tudo depende do referencial. Para você pensar: Durante muito tempo acreditou-se no modelo Geocêntrico no qual o Sol se movimenta em rela- ção à Terra. Alguns cientistas morreram queimados por defender o modelo Heliocêntrico (a Terra gira em torno do Sol) no passado. De acordo com o que foi estudado neste tópico, você poderia apontar qual dos modelos está correto?
  • 6. Tecnologia ITAPECURSOS 6 cor preto 6 Física - M1 b) Trajetória Chamamos de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo em seu movimento. A trajetória que um corpo qualquer possui depende do referencial adotado. Imagine um ônibus que se movimenta em linha reta com velocidade constante em relação ao solo. Dentro do ôni- bus, uma pessoa atira uma moeda verticalmente para cima. A moeda irá cair exatamente na mão da pessoa. Qual será a trajetória descrita pela moeda? Observada por qualquer passageiro sentado, a moeda irá de- screver um movimento retilíneo de subida e descida. Em relação a um referencial fixo na estrada, a moeda fará dois movimentos: o movimento vertical observado pelos passageiros e um movimento de deslocamento horizontal, acompanhando o ônibus. Assim, para os passageiros (referencial fixo no ônibus), a trajetória da moeda será uma linha reta. Para o referencial na estrada, a trajetória será um arco de parábola. c) Partícula Um corpo qualquer poderá ser considerado uma partícula se as suas dimensões forem desprezíveis em relação às distâncias envolvidas no processo. Desta forma, um avião pode ser uma partícula em uma viagem de 1.000 km. O mesmo avião quando estiver dentro do hangar do aeroporto não poderá ser considerado uma partícula. Neste caso, ele será chamado de Corpo Extenso. Observações: 1 - O conceito de partícula despreza as dimensões e não a massa. 2 - Para uma partícula não definimos movimento de rotação. 1.3 - DESLOCAMENTO E ESPAÇO PERCORRIDO Uma partícula, quando está em movimento, vai ocupando vários pontos em sua trajetória. Para que possamos formalizar o estudo deste movimento, podemos escolher um ponto qualquer desta trajetória para ser o marco zero da contagem das distâncias. Este ponto será chamado de origem.Além disso, temos que adotar um sentido qualquer para ser o crescente (sentido posi- tivo do movimento) para estas distâncias. Veja a figura. Imagine que uma partícula se desloca ao longo da trajetória mostrada a seguir, indo do ponto A ao B e, logo após, retornando ao ponto C. Os valores abaixo de cada letra representam as posições de cada ponto. (+) origem A C B (1m) (8m) (20m)
  • 7. Tecnologia ITAPECURSOS 7 cor preto 7Física - M1 a) Deslocamento Chamaremos de deslocamento de uma partícula ao vetor que liga o ponto inicial ao ponto final da trajetória. O estudo dos vetores será feito no capítulo 3, por isso nos preocuparemos em estudar somente o valor deste deslocamento. Numericamente, o deslocamento representa a distância entre os pontos de saída e de chegada. No esquema acima, o deslocamento será a distância entre os pontos A e C. Assim, D = 8 - 1 = 7 m b) Espaço Percorrido O espaço percorrido por um corpo é definido como sendo o total das distâncias efetivamente percorridas pela partícula, não importando o sentido do movimento. No exemplo anterior, a partícula percorreu 19 m para a direita e, logo após, 12 m para a esquerda. Logo, o Espaço Percorrido por ela foi de 31 m. Observações: 1. Em um movimento em linha reta, sempre no mesmo sentido, o espaço percorrido e o deslocamento possuem valores iguais. 2. No caso do item anterior, podemos representar o espaço percorrido por DS = S - S0: onde: S = posição final da partícula S0 = posição inicial da partícula Um exemplo dessa situação seria considerarmos apenas o movimento de A para B na figura anterior. Nesse caso, DS = 20 - 1 = 19 m 1.4 - VELOCIDADE MÉDIA A velocidade média é uma grandeza física que nos indica a rapidez com que um movimento se processa. Existem dois tipos de velocidade: escalar e vetorial. a) Velocidade ESCALAR Média É a razão entre o Espaço Percorrido por um móvel e o tempo total gasto. Imagine um corpo qualquer que se movimenta entre dois pontos, percorrendo um espaço DS em um intervalo de tempo Dt. Vm espaço percorrido = tempo gasto ⇒ Vm S t = ∆ ∆ a.1) Unidades Qualquer unidade de distância dividida por qualquer unidade de tempo será unidade de velocidade. Teremos duas unidades principais para a velocidade. Se a distância for dada em metros e o tempo em segundos, a velocidade será medida em metro/segundo (m/s). A outra unidade é o quilômetro/ hora (km/h), muito utilizada em nosso cotidiano. Para efetuarmos a conversão entre as duas unidades citadas, devemos utilizar o esquema ao lado. Observação: O velocímetro dos carros importados geralmente mostram a velocidade em m.p.h. (milhas por hora). Para efetuarmos a conversão para o quilômetro por hora, devemos multiplicar a velocidade (em mph) por 1,6 (uma milha é, aproximadamente, 1,6 km).
  • 8. Tecnologia ITAPECURSOS 8 cor preto 8 Física - M1 b) Velocidade VETORIAL Média É a razão entre o deslocamento do móvel e o tempo total gasto para deslocá-lo. Iremos estudar esta velocidade em capítulos posteriores. 1.5 - VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA Você acha que o velocímetro de um automóvel mede a velocidade escalar média em uma viagem? É fácil perceber que não, pois em cada momento temos um valor diferente indicado pelo velocímetro. Podemos dizer que o velocímetro mede a velocidade que um automóvel possui em cada instante de tempo. A esta velocidadedamosonomedevelocidade escalar instantânea. Podemos dizer que é uma velocidade média em um intervalo de tempo muito pequeno, onde os instantes (e as posições) inicial e final estão muito próximos. 1.6 - ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA A aceleração é uma grandeza que mede a taxa de variação da velocidade de um corpo em relação a um certo intervalo de tempo. Sempre que houver variação na velocidade (em módulo ou direção), haverá uma aceleração para medir esta variação. Nos nos preocuparemos, inicialmente, em estudar a aceleração escalar média. V0 V A B a V t = ∆ ∆ onde: DV = V - V0 Apartícula da figura acima possui, no início de seu movimento (ponto A), uma velocidade inicial V0. Após um intervalo de tempo Dt, sua velocidade passa a ser V. A aceleração escalar média neste intervalo de tempo será: Vm deslocamento = tempo total gasto a) Unidade Observação: Quando dizemos que a aceleração escalar média de um corpo é de 3 m/s2 , por exemplo, isto significa dizer que, em média, a sua velocidade escalar variou (aumentou ou diminuiu) 3 m/s em cada segundo. [ ] [ ] [ ] a V t m s s m s s = = = ∆ ∆ / . 1 ⇒ [ ]a m s = 2 1) (UFMG) João, Pedro e Marcos observam um ponto P na borda de um disco que gira em um plano hori- zontal (ver figura). João se encontra acima do disco, sobre seu eixo, Pedro está no mesmo plano do disco e Marcos, entre João e Pedro. a) b) c) d) e) As trajetórias do ponto P, observadas por João, Marcos e Pedro, respectivamente, são melhor apresentadas pelas figuras da alternativa.
  • 9. Tecnologia ITAPECURSOS 9 cor preto 9Física - M1 2) (PUC-MG) Um móvel parte do repouso, de um ponto sobre uma circunferência de raio R, e efetua um movimento circular uniforme, gastando 8,0 s para completar uma volta. Após 18 s de movi- mento, o seu deslocamento tem módulo igual a: a) R 2 c) e) 5.R b) d) 2.R 3) (UFMG) Marcelo Negrão, numa partida de vôlei, deu uma cortada na qual a bola partiu com uma velocidade de 126 km/h (35m/s). Sua mão gol- peou a bola a 3,0 m de altura, sobre a rede, e ela tocou o chão do adversário a 4,0 m da base da rede, como mostra a figura. Nessa situação pode-se considerar, com boa aproximação, que o movimento da bola é retilíneo e uniforme. Considerando essa aproximação, pode-se afirmar que o tempo decorrido entre o golpe do jogador e o toque da bola no chão é de: a) 1/7 s d) 4/35 s b) 2/63 s e) 5/126 s c) 3/35 s 4) (UFMG) Uma escola de samba, ao se movimen- tar numa rua reta e muito extensa, mantém um comprimento constante de 2 km. Se ela gasta 90 minutos para passar completamente por uma arquibancada de 1 km de comprimento, sua velocidade média deve ser: a) 2/3 km/h d) 2 km/h b) 1 km/h e) 3 km/h c) 4/3 km/h 5) (PUC-MG) A figura abaixo mostra dois in- stantâneos sucessivos do movimento de uma bolinha que desce rolando uma calha, num laboratório. Aescala da figura é 1:20, isto é, cada centímetro da figura corresponde a 20 cm do tamanho real. O intervalo de tempo entre os dois instantâneos sucessivos da figura vale 0,25 s. A velocidade média da bolinha, em cm/s, é aproximadamente igual a: a) 70 d) 240 b) 120 e) 280 c) 140 6) (UFMG) Um automóvel fez uma viagem de 100 km, sem paradas, e sua velocidade média, nesse percurso, foi de 60 km/h. Tendo em vista essas informações, pode-se concluir que o tempo gasto pelo automóvel para percorrer os primeiros 30 km da viagem foi: a) 0,50 h b) 0,30 h c) 0,60 h d) 1,0 h e) Um valor impossível de se determinar 7) (UFMG) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velocidade, en- contram sempre os sinais abertos (onda verde). Sabendo-se que a distância entre os sinais sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a do seguinte é de 12 s, qual a velocidade em que deve trafegar um veículo para encontrar sempre os sinais abertos? a) 30 km/h d) 80 km/h b) 40 km/h e) 100 km/h c) 60 km/h 8) (UFMG) Um corpo é movimentado, em linha reta, com aceleração constante. No instante em que o relógio marca zero, a velocidade do corpo é X e, no instante em que o relógio marca Z, a velocidade é Y. A expressão CORRETA que permite obter a aceleração desse corpo é: a) X + ZY d) (Y - X)/Z b) Y + ZY e) Z/(Y - X) c) (X + Y)/Z
  • 10. Tecnologia ITAPECURSOS 10 cor preto 10 Física - M1 MECÂNICA LEIS DE NEWTON 1 - INTRODUÇÃO A partir deste capítulo, vamos estudar a Mecânica. Para isso, devemos conhecer o que é uma força e quais as suas principais características. Logo a seguir, estaremos conhecendo as leis que regem os movimentos e suas conseqüências. Por último, faremos um estudo de algumas forças específicas tais como a força de atrito e a força centrípeta. Este capítulo é de vital importância para um maior conhecimento da Física de uma maneira geral. Podemos dizer que serão apresentados os pilares do que, hoje, chamamos de Física Clássica. Um estudo mais detalhado de Dinâmica começou a ser feito pelo italiano Galileu Galilei e ganhou uma for- mulação matemática mais coesa nas mãos de Isaac Newton. Apesar de, atualmente, a Física Clássica não estar em perfeita sintonia com alguns modelos científicos com, por exemplo, a Relatividade e a Quântica, devemos creditar a ela todo o embasamento para a evolução e o progresso da ciência. 2 - FORÇA Força é uma interação entre dois corpos capaz de produzir, pelo menos, um dos seguintes efeitos: • iniciar um movimento; • parar um movimento; • variar o valor da velocidade de um corpo; • desviar a trajetória de um corpo; • modificar as formas de um corpo. Podemos notar que os quatro primeiros itens estão relacionados com a variação da velocidade em módulo, direção ou sentido e o último, com mudanças estruturais no corpo. A definição de força exige que existam dois corpos. Desta forma, expressões do tipo: “eu tenho a força” são desprovidas de sentido dentro da Física. O correto seria: “eu posso aplicar uma força de grande inten- sidade em todos os corpos”. Observação: Força é uma grandeza vetorial e, portanto, possui Módulo, Direção e Sentido. 3 - LEIS DE NEWTON No século XVII, o físico inglês Isaac Newton formulou um conjunto de três leis que governam o movimento dos corpos. A este conjunto chamamos de Leis de Newton. Vejamos estas leis. A) 1ª Lei de Newton (Lei da Inércia): Uma partícula qualquer pode estar sujeita a várias forças diferentes, aplicadas em direções e sentidos distintos. A 1ª Lei de Newton afirma que se a resultante das forças que atuam em uma partícula for nula, ela estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. FR 0= Þ As duas situações descritas acima representam que a velocidade da partícula é constante. Diremos que estas são situações de equilíbrio. Se a partícula estiver em repouso, chamaremos de equilíbrio estático, se ela estiver em movimento, equilíbrio dinâmico. A conclusão a que chegamos é que, naturalmente, um corpo parado tende a se manter em repouso e um corpo que se desloca, tende a se manter em movimento retilíneo uniforme. Esta propriedade inerente a todos os corpos chama-se inércia. Podemos medir a quantidade de inércia de um corpo através de sua massa. Assim, um elefante possui muito mais inércia do que uma formiga. É por causa da inércia que nós somos projetados para frente quando freamos um automóvel. Em relação à rua, nós estávamos em movimento e temos, por inércia, a tendência de continuarmos em M.R.U. Quando iniciamos o movimento do automóvel novamente, temos uma sensação de compressão contra o assento. Estávamos parados e a nossa tendência era continuar nesse estado. REPOUSO ou MRU
  • 11. Tecnologia ITAPECURSOS 11 cor preto 11Física - M1 MOVIMENTOS RETILÍNEOS Vamos estudar mais detalhadamente o Movimento Retilíneo Uniforme. 1 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) a) Definição É todo movimento em que o móvel percorre, em linha reta, espaços iguais em tempos iguais. Neste tipo de movimento, velocidade escalar instantânea é constante e igual à velocidade escalar média. Como não há variação da velocidade, a aceleração escalar e a força resultante é sempre nula. Um resumo destas características está na tabela abaixo: Trajetória: Reta M.R.U. Velocidade: Constante Aceleração: Nula b) Função Horária V S S t V t S S= − ⇒ = −0 0. Vm V S t = = ∆ ∆ S S V t= +0 . S = posição do móvel em um instante t S0= posição inicial do móvel V = velocidade escalar do móvel t = instante de tempo. Já que a velocidade escalar instantânea (V) é sempre igual à velocidade escalar média (Vm), podemos escrever: Imagine um móvel que percorre uma distância DS = S - S0 em um intervalo de tempo igual a ∆t = t - t0. Vamos convencionar que, no instante inicial do movimento, o cronômetro marca zero. Neste caso o instante de tempo inicial será nulo, ou seja, t0 = 0. Assim, podemos escrever: Desta forma, a equação do M.R.U. será dada por: Que é chamada de função horária dos espaços, pois relaciona a posição (espaço) de um móvel com um certo instante de tempo. Na função horária: c) Gráficos Vamos construir dois tipos de gráficos e estudar as suas propriedades. No M.R.U. é importante conhecermos os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo. c.1) Gráfico Espaço X Tempo A função horária dos espaços no M.R.U. é do primeiro grau. Logo, o gráfico que relaciona estas duas gran- dezas será uma reta inclinada em relação ao eixo horizontal. Veja os exemplos. gráfico A gráfico B
  • 12. Tecnologia ITAPECURSOS 12 cor preto 12 Física - M1 Repare que no gráfico A, a reta é inclinada para cima. Isto significa que a velocidade do móvel é positiva, pois as posições da partícula vão crescendo com o passar do tempo. Dizemos que o movimento é progres- sivo quando isto acontece. Já no gráfico B, a reta está voltada para baixo, o que significa que a velocidade do móvel é negativa. Neste caso, o movimento é dito retrógrado. Em qualquer um dos gráficos, podemos dizer que o ponto de interseção entre a reta e o eixo vertical rep- resenta a posição inicial do móvel. Para todo gráfico posição X tempo, vale a seguinte propriedade: A tangente do ângulo a é numericamente igual à velocidade do móvel. tg a = ∆ ∆ S t = V Utilizaremos a nomenclatura “Inclinação da Reta” para designar a tg a. Na verdade, o correto seria “declividade”. Porém, os vestibulares utilizam o termo citado inicialmente. c.2) Gráfico Velocidade X Tempo Como a velocidade escalar é constante neste tipo de movimento, o gráfico velocidade X tempo será uma reta paralela ao eixo dos tempos. V V > 0 t V t V < 0 Em qualquer gráfico velocidade X tempo, a área sob a curva é numericamente igual ao espaço percorrido pelo móvel. V V área (A) t t A área mostrada na figura pode ser calculada por: A = t.V Mas, V.t = DS. Assim: A = DV B) 2ª Lei de Newton: Esta lei (também chamada de Princípio Fundamental da Dinâmica) nos informa o que irá acontecer se a força resultante sobre uma partícula não for nula. Newton mostrou que a força resultante é proporcional à aceleração adquirida pela partícula. Matematicamente, podemos expressar esta Lei da seguinte forma: F m aR = . A força resultante sobre uma partícula é igual à massa multiplicada pela aceleração. Note que a equação descrita acima é vetorial, o que nos leva a concluir que a força resultante e a acel- eração sempre terão o mesmo sentido. Podemos determinar a unidade de força no sistema internacional, utilizando a 2ª Lei. [FR] = [m] . [a] = kg . m/s2 = newton (N) Para que se tenha uma idéia, 1 newton de força equivale ao peso de uma pequena xícara de café, aproxi- madamente. Uma outra unidade utilizada na prática é o quilograma-força (kgf). A relação entre o newton e o kgf é: 1kgf @ 10 N
  • 13. Tecnologia ITAPECURSOS 13 cor preto 13Física - M1 Vamos estudar um tipo especial de movimento. Nele, a aceleração será constante. 2 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) a) Definição Podemos classificar um movimento qualquer em função da velocidade da partícula que o executa. Como já vimos, se a velocidade escalar permanece constante ao longo do tempo, o movimento é dito uniforme. Já se a velocidade variar com o tempo, chamaremos o movimento de variado. Uma partícula estará em M.R.U.V. num dado intervalo de tempo se percorrer uma trajetória reta e a sua acel- eração for constante (e não nula) e apresentar a mesma direção da velocidade neste mesmo intervalo. Um resumo desta definição está apresentado na tabela abaixo. Trajetória: Reta M.R.U.V Velocidade: Variável Aceleração: Constante b) Equações b.1) Função Horária da Velocidade No M.R.U.V. a aceleração escalar é constante. Logo, podemos dizer que ela é igual à aceleração escalar média. Assim: Considerando t0 = 0, temos: Que é chamada de função horária da velocidade, pois relaciona a velocidade de um móvel com um certo instante de tempo. Na função horária: b.2) Função Horária dos Espaços Esta função horária irá relacionar a posição de uma partícula em função do tempo. Ela pode ser deduzida a partir do gráfico velocidade x tempo para este movimento. No entanto, o conhecimento desta dedução não é relevante neste ponto da matéria. A função é: V V a t= +0 . a a V t a V V t t m = = ⇒ = − − ∆ ∆ 0 0 a V V t V V a t= − ⇒ − =0 0 . S = posição do móvel em um instante t S0 = posição inicial do móvel V0 = velocidade inicial do móvel a = aceleração escalar do móvel t = instante de tempo. V = velocidade do móvel em um instante t V0 = velocidade inicial do móvel a = aceleração escalar do móvel t = instante de tempo. S = S0 + V0.t + a t 2 2 b.3) Equação de Torricelli Existem certos problemas na cinemática em que não se conhece o tempo gasto para um certo movimento acontecer. Nesses casos você pode calcular a posição da partícula ou sua velocidade criando um sistema com as duas funções horárias. Evangelista Torricelli desenvolveu uma equação em que não figura o tempo t, facilitando a solução dos problemas citados.
  • 14. Tecnologia ITAPECURSOS 14 cor preto 14 Física - M1 a > 0 a < 0 Acompanhe o desenvolvimento. V - V0 = a.t ⇒ t V V a = − 0 (equação 1); DS = V0.t + a t 2 2 . (equação 2) Substituindo (1) em (2), temos: DS = V0 . V V a −      0 + a V V a2 0 2 . −      Desenvolvendo a expressão anterior, podemos mostrar que a equação de Torricelli é: V V a S2 0 2 2= + . .∆ Resumindo todas as equações do M.R.U.V. , temos: Função dos espaços S = S0 + V0.t + a t 2 2 Função da velocidade V V a t= +0 . Equação de Torricelli V V a S2 0 2 2= + . .∆ c) Gráficos c.1) Espaço X Tempo A função horária dos espaços no M. R. U. V. é do 2º grau. Assim, o gráfico S x t será uma parábola. gráfico 1 gráfico 2 No caso da aceleração ser positiva, a concavidade da parábola será voltada para cima. Se a acelera- ção for negativa, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Veja as figuras: Neste gráfico continua valendo a propriedade de que a inclinação representa a velocidade, porém, em cada ponto da parábola haverá uma inclinação diferente, pois a velocidade não é constante. Acompanhe o pro- cedimento que deve ser feito para determinar a inclinação: Em cada ponto da parábola devemos desenhar uma reta tan- gente a ela. A inclinação desta reta tangente nos informará a velocidade da partícula naquele ponto. Note que no gráfico posição versus tempo podemos descobrir em qual trecho o movimento foi acelerado ou retardado. Acompanhe o raciocínio: Na parte A do gráfico 1, percebe-se que as posições vão diminuindo com o passar do tempo, logo a veloci- dade escalar do móvel é negativa. Como a aceleração é positiva (a concavidade da parábola é voltada para cima), o movimento será RETARDADO. Já na parte B do mesmo gráfico, o móvel tem as suas posições aumentando de valor, o que mostra que a velocidade é positiva.Aaceleração é, também, positiva, o que nos faz concluir que o movimento é ACELERADO. No ponto C ocorre uma inversão no sentido do movimento. Isto só é possível se a velocidade for nula neste ponto. O mesmo raciocínio pode ser utilizado para se explicar o motivo pelo qual na região D existe um movimento RETARDADO, na região E o movimento é ACELERA- DO e no ponto F a velocidade é nula no gráfico 2.
  • 15. Tecnologia ITAPECURSOS 15 cor preto 15Física - M1 c.2) Velocidade X Tempo A função horária das velocidades é do 1º grau. Logo o gráfico V x t será uma reta. Se a aceleração for positiva, a reta será inclinada para cima. Já se a aceleração for negativa, a inclinação da reta será para baixo. Como já foi mostrado no Movimento Retilíneo Uniforme, a área sob o gráfico nos fornece a distância percorrida pelo móvel. Além dessa propriedade, pode-se demonstrar que a inclinação da reta é numericamente igual à aceleração do móvel. c.3) Aceleração X Tempo No M.R.U.V. a aceleração é constante. Dessa forma, o gráfico a x t será uma reta paralela ao eixo horizontal. Neste tipo de gráfico, a área sob a linha é numericamente igual à variação da velocidade. Podemos resumir todas as propriedades dos gráficos da cinemática da seguinte forma: Gráfico INCLINAÇÃO ÁREA DS DV a VS x t V x t a x t C) 3ª Lei de Newton (Ação e Reação): Quando aproximamos um ímã de um prego bem pequeno, notamos que o segundo se desloca em direção ao primeiro. Isto nos faz concluir que o ímã atrai o prego. Por outro lado, se tivermos um ímã bem pequeno e um prego bem grande, iremos notar em uma situação oposta, o que irá mostrar que existe uma atração do prego sobre o ímã. A 3ª Lei de Newton nos informa que se um corpo A aplica uma força FAB em outro corpo B, então B irá aplicar força FBA em A. Estas duas forças (chamadas de par de forças ação e reação) terão as seguintes características: • mesma direção; • sentidos opostos; • mesmo módulo. Enquanto as duas primeiras características são de fácil compreensão, a terceira pode nos causar uma certa estranheza, a princípio. Por exemplo, em uma colisão entre um ônibus e uma bicicleta, esta irá apresentar estragos muito maiores. Temos que ter cuidado com as conclusões que tiramos a partir das observações que fazemos. No caso citado, apesar de as forças trocadas entre o ônibus e a bicicleta serem iguais em módulo, os efeitos produzidos são diferentes. Devemos perceber que a estrutura de uma bicicleta é muito mais frágil do que a de um ônibus. Amesma força de 10 newtons aplicada sobre uma formiga não irá produzir o mesmo efeito do que se for aplicada em um elefante.
  • 16. Tecnologia ITAPECURSOS 16 cor preto 16 Física - M1 Vamos, agora, estudar algumas forças especiais: 3 - FORÇA PESO (P ) E REAÇÃO NORMAL (N ) A) Força Peso: Sabemos que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional. Qualquer corpo aí inserido é atraído para o seu centro. A queda será feita em movimento acelerado e, nas proximidades da superfície da Terra, a aceleração (chamada de aceleração da gravidade, g) é cerca de 10 m/s2. De acordo com a 2ª Lei de Newton, se um corpo possui uma aceleração, deve existir uma força resultante. Esta força com que a Terra atrai os corpos recebe o nome de força peso. Podemos mostrar que o peso de um corpo de massa m é calculado por: O peso tem direção radial e aponta sempre para o centro do planeta. Em nos- sos exercícios, iremos considerar o peso uma força vertical para baixo. Definimos o peso de um corpo para a Terra mas o que foi discutido é válido para qualquer corpo celeste. Na superficie da Lua, por exemplo, onde a aceleração da gravidade é cerca de 6 vezes menor do que na da Terra, o peso de um corpo será 1/6 de seu peso em nosso planeta. No nosso dia-a-dia, utilizamos a palavra peso para designar massa. Per- guntamos: “Qual é o seu peso?” e temos como resposta: “70 quilos”.Aresposta que foi dada está errada, pois 70 quilos (quilogramas) representa a sua massa. Pelo que estudamos neste item, a resposta correta deveria ser: “considerando g = 10 m/s2, o meu peso é 700N.” Pois, neste caso, efetuamos o seguinte cálculo: P = m.g = 70 (kg).10 (m/s2) = 700 N B) Reação Normal: Vamos imaginar um bloco apoiado em uma superfície horizontal. Já sabemos que a Terra aplica uma força de atração sobre este bloco. No caso, o Peso tem direção vertical e sentido para baixo. Por causa desta força, o bloco tende a se deslocar para o centro da Terra. Este fato não acontece, pois a superfície horizontal aplica sobre o bloco uma força vertical para cima, que é contrária à com- pressão exercida pelo bloco sobre a superfície. A esta força contrária à compressão damos o nome de Reação Normal. O nome normal se refere ao fato de esta força ser sempre perpendicular à superficie. A figura seguinte mostra o esquema de forças que atuam no bloco. Note que, neste caso, as forças Peso e Normal possuam mesma direção, sentidos opostos e mesmo módulo. Por isso, estas forças se equilibram, produzindo uma força resultante nula. Observação: Normal e Peso não representam um par de forças ação e reação, pois atuam em um mesmo corpo. Afigura seguinte irá mostrar as forças Peso (P ), Normal (N ) e suas respectivas reações (P e N ). Na figura: P : Força de atração da Terra sobre o corpo P ’:Força de atração do corpo sobre a Terra N : Força da superfície sobre o corpo N ’: Força do corpo sobre a superfície P m g= .
  • 17. Tecnologia ITAPECURSOS 17 cor preto 17Física - M1 4 - MOVIMENTOS VERTICAIS PRÓXIMOS À SUPERFÍCIE DA TERRA a) Introdução A partir de agora, estudaremos o movimento retilíneo que ocorre na vertical. Um corpo sólido qualquer pode ser abandonado ou lançado próximo à superfície da Terra e efetuar um movimento de subida ou descida. Veremos que estes movimentos são uniformemente variados. b) Aceleração da Gravidade Como já vimos, a Terra gera em torno de si um campo de forças chamado Campo Gravitacional. Todo corpo aí colocado será atraído para o centro do planeta. Esta atração faz com que os corpos lançados ou abandonados no campo gravitacional adquiram uma aceleração que é denominada ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE (g). Nas proximidades da superfície da Terra, o módulo de g é praticamente constante. O seu valor é, aproximadamente, 10 m/s2. Além disso, sabe-se que esta aceleração não depende da massa do corpo. Assim, dois corpos de massas diferentes, quando abandonados de uma mesma altura (no vácuo), irão chegar no solo exatamente com a mesma velocidade e no mesmo instante. Como a aceleração da gravidade será considerada constante, o estudo dos movimentos verticais será, na verdade, uma extensão do movimento retilíneo uniformemente variado. c) Equações do Movimento Vertical Vamos imaginar que um corpo foi lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra. O seu movimento será RETARDADO na descida e ACELERADO na descida. Teremos que adotar um sentido para ser o positivo e um ponto para ser a origem dos espaços que, neste caso, será uma altura. A figura ao lado mostra uma partícula lançada do solo e um eixo vertical orientado para cima que servirá de referencial para este movimento. Note que este ref- erencial está orientado para cima. Isto significa que a origem está fixa no chão e que o sentido positivo é de baixo para cima. Logo, a aceleração da gravidade será negativa. Este movimento vertical é um M.R.U.V. , onde a aceleração é a da gravi- dade. Portanto, as equações estudadas no item anterior serão válidas agora. Não é preciso que você decore novas equações específicas para este tópico. Acompanhe: As equações do MRUV são: S = S0 + V0.t + a t 2 2 V V a t= +0 . V V a S2 0 2 2= + . .∆ Mas, neste tipo de movimento, a = -g e o espaço S é uma altura qualquer. Assim: h = h0 + V0.t - g t 2 2 V V g t= −0 . V V g S2 0 2 2= − . .∆
  • 18. Tecnologia ITAPECURSOS 18 cor preto 18 Física - M1 5 - ATRITO ( fa ) Você já deve ter percebido que, em uma corrida de Fórmula 1, os pneus dos carros para dias de chuva contêm frisos, ao passo que, para os dias de tempo bom, os pneus possuem menos frisos. O motivo dessa diferença é que, com a pista molhada, o atrito tende a diminuir, sendo necessário um tipo especial de pneu para que os carros possam efetuar as voltas com um mínimo de segurança. Da mesma maneira, um tênis de solado liso pode provocar mais quedas do que outro cuja sola é frisada. A força de atrito está relacionada com esses exemplos e é responsável por uma infinidade de outras situa- ções cotidianas. Antes de iniciarmos um estudo quantitativo desta força, faremos uma análise qualitativa, no sentido de entendermos o motivo da existência do atrito. Por mais polida que uma superficie possa nos parecer, ela apresenta, microscopicamente, inúmeras irregu- laridades. Imagine, então, que duas destas superfícies irregulares estejam em contato e exista entre elas, um movimento efetivo ou a tendência de movimento. Podemos concluir que, por causa destas irregularidades, haverá uma força contrária ao movimento (ou à sua tendência). Esta força será chamada de atrito. Note que, quanto mais rugosas forem as superfícies em contato, mais intenso será o módulo da força de atrito. Para podermos encontrar uma fórmula matemática que nos permita calcular o valor desse atrito, vamos seguir o seguinte raciocínio: Estamos querendo mover um bloco que está apoiado em uma superfície horizontal. • Inicialmente iremos aplicar uma força F1 , mas o corpo continu- ará em repouso. Isto pode ser explicado pela força de atrito que está atuando no bloco, no sentido contrário ao da força F1 . De acordo com a 1ª Lei de Newton: F fa1 1= •Agora, vamos aumentar a força aplicada para F2 (F2 > F1). Con- sidere que, mesmo assim, o corpo continua parado.Aexplicação a que podemos chegar é que o atrito também aumentou, tendo, agora, o mesmo valor de F2 . • Iremos, então, aumentar ainda mais o valor da força aplicada, produzindo uma força F3 (F3 > F2 ) Ainda assim, o bloco permaneceu em repouso. Mais uma vez, a força de atrito teve seu valor aumentado para fa3 = F3 . Porém, podemos notar que o corpo está quase se movimentando. Se aumentarmos um pouco mais a força apli- cada, poderemos colocar o bloco em movimento. Podemos dizer que, neste caso, o atrito já atingiu o seu valor máximo. • A partir desta situação, se aumentarmos um pouco mais a força, o bloco entrará em movimento. É interessante notar que, quando o corpo está em movimento, a força de atrito que sobre ele atua é constante e possui um valor menor do que o módulo do atrito máximo descrito anteri- ormente. A conclusão a que chegamos é que, enquanto o corpo estiver em repouso, a força de atrito é variável, tendo sempre o mesmo valor da força que tende a gerar o movimento. Quando o corpo entra em movimento, a força de atrito passa a possuir um valor constante que é menor do que o atrito máximo que atuava no corpo em repouso. a) Força de atrito estático: É o nome que damos à força de atrito que atua nos corpos em repouso. De acordo com o que vimos, este atrito possui as seguintes características: 1. Possui módulo variável – depende da força motriz aplicada. 2. Admite um valor máximo.
  • 19. Tecnologia ITAPECURSOS 19 cor preto 19Física - M1 Este valor máximo é proporcional à força normal aplicada sobre o corpo e pode ser calculado pela seguinte expressão: f Na max ee = µ . Onde: µe é chamado de coeficiente de atrito estático e depende da rugosidade das superfícies em contato. b) Força de atrito cinético: É a força de atrito que atua nos corpos em movimento. Como já vimos, este tipo de atrito possui um módulo constante. O seu valor é dado por: f Na cc = µ . Onde: µc é o coeficiente de atrito cinético e também depende da rugosidade das superfícies em contato. Já que a força de atrito cinético é menor do que a força de atrito estático máximo, podemos admitir que é mais fácil manter um certo corpo em movimento uniforme do que iniciar o movimento deste corpo. A con- clusão a que podemos chegar é que, para um mesmo par de superfícies: µ µe c> O gráfico da força de atrito em função da força motriz aplicada será, então: força de atrito me . N estático cinético força motriz Observação: A força de atrito em objetos rígidos não depende da área de contato entre as superfícies. 6 – PLANO INCLINADO Sabemos, intuitivamente, que é mais fácil elevarmos uma carga qualquer ao longo de uma rampa do que se a levarmos verticalmente para cima. Neste item estaremos estudando as rampas que, de uma maneira geral, chamaremos de Plano Inclinado.Afigura seguinte mostra um plano incli- nado (cujo ângulo de inclinação é igual a q) e um bloco nele apoiado. Em relação ao estudo dos planos inclinados, teremos duas situações: com ou sem atrito. a) Plano inclinado sem atrito: É o caso mais simples, pois atuam so- mente duas forças sobre o bloco: Peso e Normal. Veja a figura ao lado. Para que possamos facilitar o estudo do movimento do bloco, devemos proceder da seguinte forma: 1. Desenhar um sistema de eixos cartesianos, fazendo com que o eixo y co- incida com a direção da reação normal e o eixo x, com a direção do plano. 2. Efetuar a decomposição do Peso em relação aos eixos citados. A figura seguinte mostra este procedimento. Onde: Px = P.senq e Py = P.cosq A primeira relação que podemos perceber é que a normal é equili- brada pela componente y do peso, ou seja, N = Py . No eixo x existe somente a componente Px do peso. Logo, esta será a força resultante que atua sobre o corpo. A aceleração a que fica sujeito um corpo qualquer em um plano inclinado é independente de sua massa. A conclusão a que che- gamos é que, na ausência do atrito, se dois corpos forem abando- nados no alto de uma rampa, chegarão ao mesmo tempo (e com a mesma velocidade) na base do plano, independente de um ser mais pesado do que o outro.
  • 20. Tecnologia ITAPECURSOS 20 cor preto 20 Física - M1 7 - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Dizemos que um corpo está em Movimento Circular Uniforme quando a sua trajetória é uma cir- cunferência e a sua velocidade escalar é constante ao longo do tempo. A figura ao lado está representando a vista superior de uma pedra amarrada por um fio e gi- rando na horizontal em M.C.U. Em qualquer ponto da trajetória em que o fio se rompa, a pedra sairá tangenciando a curva, o que nos sugere que a velocidade é tangente à tra- jetória em todos os pontos. Se o movimento da pedra é uniforme, então o módulo da velocidade é constante em qualquer instante de tempo. Logo: Mesmo assim, ocorre uma variação na direção do vetor velocidade. Podemos notar que, em cada ponto, a velocidade apresenta uma direção diferente. Conforme já foi visto, a toda variação da velocidade podemos relacionar uma aceleração. Desta forma, podemos concluir que o Movimento Circular Uniforme possui aceleração. Quando o módulo da velocidade variar, a aceleração será chamada de tangencial ( at ) e é a aceleração que já estudamos até aqui. Ela recebe este nome porque possui sempre a mesma direção do vetor velocidade. Porém, se for a direção da velocidade que varia, a aceleração será chamada de centrípeta ( ac ) e tem as seguintes características: 1 - É sempre perpendicular ao vetor velocidade. 2 - A sua direção é sempre radial, ou seja, a da linha que passa pelo centro da curva. 3 - O seu sentido é sempre para o centro. Chamamos de aceleração vetorial à soma vetorial entre as acelerações tangencial e centrípeta. Como a aceleração tangencial é sempre perpendicular à aceleração centrípeta, o módulo da aceleração vetorial será calculado através do teorema de Pitágoras. V V V V1 2 3 4= = = A figura mostra os vetores velocidade e aceleração em diversos pontos de uma trajetória circular. O módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado pela seguinte expressão: Onde R é o raio da trajetória circular. a a at c= +2 2 a a at c= + a V R c = 2
  • 21. Tecnologia ITAPECURSOS 21 cor preto 21Física - M1 7.1) Velocidade Angular (w) Já sabemos que a velocidade é uma grandeza que mede a rapidez com que um movimento se processa. Para o cálculo da velocidade escalar média em um movimento circular, devemos encontrar a medida do arco descrito pelo móvel em um certo tempo. A figura está mostrando um corpo que, partindo da posição inicial, percorre um arco DS em um certo tempo. Podemos observar que, à medida em que o corpo se desloca, vai sendo descrito um ângulo central Dq. Para calcularmos a velocidade escalar média (que também será chamada de velocidade linear), devemos efetuar a seguinte operação: que irá nos contar qual o espaço percorrido pelo móvel na unidade do tempo. Porém, podemos também determinar qual é o ângulo descrito na unidade de tempo. A grandeza que irá nos fornecer esta informação será chamada de velocidade angular (w). A sua expressão matemática será: E sua unidade no S.I. será: 7.2) Período (T) e Freqüência (f) A) Período Todo movimento que se repete em intervalos iguais de tempo é chamado de periódico. O tempo necessário para que o movimento se repita é denominado Período. No movimento circular, podemos dizer que o Período é o tempo gasto por um corpo para executar uma volta completa. Qualquer unidade de tempo será, portanto, unidade do Período. B) Freqüência Podemos encontrar, em um movimento periódico, o número de repetições que acontece em uma unidade de tempo. Fazendo isto, estamos calculando a freqüência deste movimento. Para o movimento circular, dizemos que a freqüência representa o número de voltas efetuadas pelo móvel na unidade de tempo. A unidade da freqüência é, no S.I. : voltas por segundo = hertz (Hz) Outra unidade utilizada é: rotações por minuto = r.p.m. Para transformarmos estas unidades devemos utilizar a seguinte relação: Podemos mostrar que a freqüência é o inverso do período. Matematicamente: V S t m = ∆ ∆ ϖ = ∆θ ∆t [ ] [ ] [ ] [ ]ϖ ϖ= ⇒ = ∆θ ∆t rad s T f = 1 f T = 1 ou Observação: No movimento circular uniforme, o período e a freqüência são constantes. x 60 60 :
  • 22. Tecnologia N ITAPECURSOS 22 cor preto 22 Física - M1 8 - FORÇA CENTRÍPETA De acordo com a 2ª Lei de Newton, podemos estabelecer que a acel- eração centrípeta aparece em decorrência de uma força resultante aplicada sobre o corpo que executa o M.C.U. Daremos o nome de Resultante Centrípeta (ou Força Centrípeta) à resultante das forças que estão sendo aplicadas sobre um corpo na direção radial (ou seja, na direção que passa pelo centro da trajetória curva). A Força Centrí- peta terá sempre a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração centrípeta. Veja figura abaixo. Pela 2ª Lei de Newton, FC = m.aC F m V R c = . 2 Veremos, nos próximos itens, algumas aplicações da força centrípeta. a) Lombada: Um móvel, ao passar pelo ponto mais alto de uma lombada circular terá, desprezando-se os atritos, o seguinte diagrama de forças: b) Depressão: Neste caso, o diagrama de forças será: Como podemos perceber, a força peso aponta para o centro da tra- jetória, enquanto que a normal tem o sentido oposto ao do centro da curva. Assim, o módulo do peso deve ser maior do que o da normal, uma vez que a força resultante (centrípeta) tem que apontar para o centro da trajetória. Para calcularmos a intensidade da resultante centrípeta, devemos efetuar a seguinte operação: Fc = P - N = m. V R 2 A força que aponta para o centro da curva é a normal. Logo, ela deve ter uma intensidade maior do que a do peso. Assim, a força centrípeta será: Fc = N - P = m. V R 2 c) Globo da Morte: Vemos, nos circos, uma cena fantástica que se passa no Globo da Morte. Um ou vários motociclistas efetuam voltas dentro de uma armação de metal e não caem. A mesma situação pode ser verificada na montanha russa, nos parques de diversão. Quando o motociclista está no ponto mais alto do globo, as forças que atuam sobre ele são: Note que, neste ponto, o motociclista aplica, no globo, uma força vertical para cima e, por isso, a normal sobre o motociclista é vertical para baixo. Nesta situação, a força centrípeta será: Fc = P + N = m. V R 2 Quanto maior for a velocidade com que o motociclista passa pelo ponto mais alto do globo, mais intensa será a força normal. Por outro lado, se a velocidade naquele ponto for pequena, a normal também terá um módulo pequeno. Podemos estabelecer que a velocidade mínima necessária para que o motociclista consiga completar a volta está relacionada com uma força normal nula. Assim: VMIN Þ N = 0 Þ Fc = P m. V R min 2 = m. g Þ VMIN = R g.
  • 23. Tecnologia ITAPECURSOS 23 cor preto 23Física - M1 01) (UFMG) Um homem empurra um caixote para a direita, com velocidade constante, sobre a superficie horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, o diagrama que melhor representa as forças que atuam no caixote é: a) b) c) d) e) 02) Na tabela seguinte apresentamos as acelerações adquiridas por três corpos A, B e C quando sobre eles atuam as forças indicadas. Podemos concluir que a) mA > mB > mc c) mA > mB = mc b) mA < mB < mc d) mA = mB = mc 03) (UNICAMP) Dois objetos A e B equilibram-se quando colocados em pratos opostos de uma balança de braços iguais. Quando colocados num mesmo prato da balança, eles equilibram um terceiro objeto C, colocado no outro prato. Suponha, então, que sobre uma mesa horizontal, sem atrito, uma certa força imprima ao objeto A uma aceleração de 10 m/s2. Qual será a aceleração adquirida pelo objeto C quando submetido a essa mesma força? 04) Imagine a seguinte situação: Um burro se preparava para puxar uma carroça pela primeira vez. De repente o burro se dirige ao con- dutor da carroça e diz: – “Se eu puxar a carroça, ela me puxará com força oposta e de mesmo módulo, de tal forma que a força resultante será igual a zero. Dessa forma, não haverá movimento. Então, eu desisto.” O que você diria ao burro para convencê-lo de que ele está errado? 05) (UFV) Uma pessoa está sobre uma balança, que se encontra presa ao piso de um elevador. O elevador está subindo, ao mesmo tempo que sua velocidade está sendo reduzida. Nestas condições, a balança indicará um valor: a) maior que o peso real da pessoa. d) que não depende da aceleração do elevador. b) igual ao peso real da pessoa. e) que depende da velocidade do elevador. c) menor que o peso real da pessoa. 06) (FUVEST) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três corpos A, B e C de mesma massa m, suspensos por fios ideais como representado na figura. O corpo B está suspenso Corpo A B C Força (N) 20,0 10,0 4,0 a (m/s2) 1,0 2,0 0,8 simultaneamente por dois fios, um ligado a A e outro a C. Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será: a) zero d) (2g/3) para baixo b) (g/3) para baixo e) (2g/3) para cima c) (g/3) para cima
  • 24. Tecnologia ITAPECURSOS 24 cor preto 24 Física - M1 07) (UFMG) Duas partículas de massas m e M estão ligadas uma à outra por uma mola de massa desprezível. Esticando-se e soltando-se a mola de modo que apenas as forças devidas a ela atuam sobre as partícu- las, o cociente da aceleração am, de m e aM, de M, é a a m M = 2. Sabendo-se que M = 1 kg, a massa m é igual a: a) - 0,50 kg b) zero c) 2 kg d) 0,25 kg e) 0,50 kg 08) (Izabela Hendrix) Um corpo A, cuja massa é de 1 kg, é colocado sobre uma mesa e amarrado a uma corda. A corda passa por uma roldana e está presa, na outra extremidade, a um pequeno corpo B, cuja massa é de 0,1 kg (ver figura). As forças de atrito são muito menores do que as forças que atuam sobre o carrinho, sendo, portanto, desprezíveis. Ao ser puxado desta maneira, concluímos corretamente que o corpo A: a) permanece em repouso, porque a força com que o corpo B o puxa é menor do que o seu próprio peso. b) se move com velocidade constante (movimento uniforme), porque a força que atua sobre ele é constante. c) se move com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado), porque a força que atua sobre ele é constante. d) se move com aceleração constante (movimento uniforme- mente acelerado), porque a força que atua sobre ele aumenta constantemente. e) tem uma pequena aceleração no início, mas depois prossegue com velocidade constante. 09) (PUC-MG) Um corpo de peso P = 200 N está em repouso sobre a superfície plana e horizontal de uma mesa. O coeficiente de atrito estático entre a mesa e o corpo vale 0,3. Aplica-se, sobre o corpo, uma força F = 50 N. paralela à superficie da mesa. O corpo se mantém em repouso. Nessas condições, é CORRETO afirmar que a força de atrito vale: a) 15 N b) 60 N c) 40 N d) 80 N e) 50 N 10) (PUC-MG) Um corpo de peso 200 N está inicialmente em repouso sobre uma superficie horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o corpo e a superficie são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Aplica-se sobre o corpo uma força de módulo F, também horizontal. Dos valores de F, indicados abaixo, em newtons, assinale o mínimo valor que garante ao corpo obter movimento: a) 80 b) 110 c) 90 d) 130 e) 10 As questões 11 e 12 referem-se ao enunciado e à figura que se seguem Nessa figura, está representado um bloco de 2,0 kg sendo pressionado contra uma parede com uma força F . O coeficiente de atrito estático entre esses corpos vale 0,5 e o cinético, 0,3. Considere g = 10 m/s2. 11) (UFMG) Se F = 50 N, então a reação normal e a força de atrito que atuam sobre o bloco valem, respectivamente, a) 20 N e 6,0 N b) 20 N e 10 N c) 50 N e 20 N d) 50 N e 25 N 12) (UFMG)Aforça mínima F que pode ser aplicada ao bloco para que ele não deslize na parede é a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N
  • 25. Tecnologia ITAPECURSOS 25 cor preto 25Física - M1 As questões 13 a 15 referem-se ao seguinte enunciado: Durante uma experiência de laboratório, um estudante de Física, utilizando a montagem descrita no desenho abaixo, procurava mostrar a segunda Lei de Newton. Variando a massa M, colocada dentro do carrinho, ele obteve a tabela a seguir. (O carrinho tem massa muito pequena em relação a M e g = 10 m/s2) 13) (PUC-MG) O gráfico que melhor representa a Força x Massa é: a) b) c) d) e) 14) (PUC-MG) Com base na tabela, a aceleração provocada pela força F, no carrinho, em m/s2, é igual a: a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 10 15) (PUC-MG) Com a finalidade de verificar a precisão do resultado obtido, o aluno mediu o ângulo A e constatou que seu valor era muito próximo de 30°. Sabendo-se que sen 30° = 0,500 e cos 30° = 0,866, ele concluiu, corretamente, que: a) o valor da aceleração não depende do ângulo. b) para o ângulo medido, a aceleração é de 10 m/s2. c) a determinação do ângulo não serve para aferir o resultado da experiência. d) o resultado da experiência foi satisfatório. e) os erros, cometidos durante o procedimento, determinaram um resultado inaceitável. 16) (UFMG) Quando um carro se desloca numa estrada horizontal, seu peso P é anulado pela reação normal N exercida pela estrada. Quando esse carro passa no alto de uma lombada, sem perder o contato com a pista, como mostra a figura, seu peso será representado por P e a reação normal da pista sobre ele por N. Com relação aos módulos destas forças, pode-se afirmar que a) P’ < P e N’= N c) P’= P e N’ < N b) P’ < P e N’ > N d) P’ = P e N’ > N F(N) 0,25 0,40 0,75 1,50 M(Kg) 0,050 0,080 0,15 0,30 17) (UFMG) Seja P o ponto mais alto de um “looping” em uma montanha russa. Imagine um carrinho que passa pelo ponto P e não cai. Pode-se afirmar que, no ponto P a) a força centrífuga que atua no carrinho o empurra sempre para a frente. b) a força centrípeta que atua no carrinho equilibra o seu peso. c) a força centrípeta que atua no carrinho mantém a sua trajetória circular. d) a soma das forças que o trilho faz sobre o carrinho equilibra o seu peso. e) o peso do carrinho é nulo nesse ponto. 18) (Univ. Rio de Janeiro) - Dois blocos A e B, cujas massas são mA e mB (mA menor que mB),unidas por uma barra ideal deslizam com atrito desprezível sobre um plano inclinado no Laboratório. Sendo a resistência do ar desprezível, nas condições desta experiência, o que podemos afirmar sobre a tensão na barra? a) a tensão é nula. b) a barra está comprimida, sendo sua tensão proporcional a mB - mA. c) a barra está comprimida, sendo sua tensão proporcional a mB + mA. d) a barra está distendida, sendo sua tensão proporcional a mB - mA. e) a barra está distendida, sendo sua tensão proporcional a mB + mA. Lombada
  • 26. Tecnologia ITAPECURSOS 26 cor preto 26 Física - M1 19) (UFMG) Duas esferas se movem em linha reta e com velocidades constantes ao longo de uma régua centimetrada. Na figura estão indicadas as velocidades das esferas e as posições que ocupavam num certo instante. As esferas irão colidir na posição correspon- dente a: a) 15 cm c) 18 cm e) 22 cm b) 17 cm d) 20 cm 20) (UFMG) Uma pessoa passeia durante 30 minu- tos. Neste tempo ela andou, correu e parou por alguns instantes. O gráfico que representa o seu movimento está descrito abaixo: As regiões 1, 2, 3 e 4 do gráfico podem ser relacionadas respectivamente com: a) andou (1), correu (2), andou (3) e parou (4) b) correu (1), andou (2), parou (3) e andou (4) c) andou (1), correu (2), parou (3) e andou (4) d) correu (1), andou (2), parou (3) e parou (4) 21) (PUC-MG) O movimento de um móvel é descrito pelo gráfico: distância percorrida em função do tempo. Como você pode observar, o gráfico consta de dois trechos distintos, I e II. Dessa observação, é correto afirmar que: 22) (UFMG) O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula que se movimenta em linha reta em função do tempo. De acordo com a análise do gráfico, podemos afirmar que a velocidade da partícula no instante 60 s vale, em m/s: a) 5,0 a) o móvel apresentou a mesma velocidade con- stante, durante todo o intervalo de 5,0 s. b) a velocidade do móvel não foi constante em nenhum dos dois trechos. c) somente no trecho I a velocidade foi constante. d) a velocidade foi constante somente no trecho II. e) a velocidade do corpo foi constante tanto em I quanto em II, porém com valores diferentes. b) 10 c) 15 d) 20 e) 50 Instrução: As questões 23 e 24 referem-se ao enunciado e à figura seguintes: O gráfico abaixo representa a velocidade em função do tempo de uma partícula que se des- loca em linha reta. 23) (UFMG) Quanto à aceleração, a, da partícula, a afirmação CERTA é: a) a = 0 entre 2 e 4 s. b) a > 0 entre 0 e 3 s e a < 0 entre 3 e 6 s c) a < 0 entre 0 e 3 s e a > 0 entre 3 e 6 s d) a é constante não nula entre 0 e 4s. e) a = 0 em t = 3 s. 24) (UFMG) Quanto ao deslocamento da partícula, a afirmação CERTA é: a) o módulo do deslocamento entre 0 e 1s é igual ao módulo do deslocamento entre 5 e 6s. b) o módulo do deslocamento sempre cresce com o tempo. c) o módulo do deslocamento sempre decresce com o tempo. d) seu deslocamento total (entre 0 e 6s) é dife- rente de zero. e) o deslocamento da partícula entre 0 e 1s é igual ao deslocamento entre 3 e 4s.
  • 27. Tecnologia ITAPECURSOS 27 cor preto 27Física - M1 25) (PUC-MG) Um trem desloca-se entre duas esta- ções por uma ferrovia plana e retilínea. Ele parte do repouso e acelera 0,5 m/s2 durante 40 s. Em seguida, mantém a velocidade constante durante 120 s, para então ser freado com aceleração de módulo 0,5 m/s2 até parar. O gráfico que melhor representa o movimento do trem é: a) b) c) d) e) Esta explicação refere-se aos testes de números 26 a 28. Um móvel tem movimento retilíneo a partir do repouso. O gráfico de sua aceleração em função do tempo decorrido a partir do instante de partida é dado pela figura abaixo. 26) (CESCEA) Depois de 8,0 s sua velocidade vale: a) 12 m/s d) 16 m/s b) zero e) n.r.a. c) 22 m/s 27) (CESCEA) Em que trecho a velocidade do corpo diminui com o tempo? a) no trecho I - II b) no trecho III - IV c) nenhum d) sempre e) n.r.a. 28) (CESCEA) No intervalo de tempo I a II, qual foi o espaço percorrido? a) 24 m d) 4 m b) 8 m e) 2 m c) 12 m 29) (PUC-MG) Um carro, em movimento, encontra- se a uma distância D de um sinal de trânsito, que indica trânsito impedido. A partir desse instante, o seu movimento é descrito pelo gráfico abaixo. É correto afirmar: a) o semáforo permaneceu fechado por 10 s. b) o carro permaneceu parado por 30 s. c) o módulo da desaceleração do carro é V 30 m / s2 d) nointervalodetempode10sa30s,ocarroteve velocidade constante e diferente de zero. e) a distância D é numericamente igual a 5V. 30) (UFMG) Um balão está subindo com uma velo- cidade constante de 5 m/s. Em dado instante, solta-se um saco de areia que se encontrava preso à lateral externa desse balão. Para um observador na Terra, a partir deste instante e até o saco de areia chegar ao chão, o movimento dele, desprezando-se a resistência do ar, será: a) apenas uniforme, com velocidade igual a 5 m/s. b) apenas uniformemente acelerado, com uma aceleração maior do que a aceleração da gravidade. c) apenas uniformemente acelerado, com uma aceleração menor do que a da gravidade. d) inicialmente uniforme e, depois, uniforme- mente acelerado. e) uniformemente retardado e, depois, unifor- memente acelerado. 31) (UFMG) Um menino atira, simultaneamente, duas bolas, A e B, verticalmente para cima. A velocidade inicial das duas bolinhas são, respectivamente iguais a 10 m/s e 5 m/ s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. A razão entre a altura máxima atingida pela bola A e a altura máxima atingida pela bola B vale: a) 2 d) 16 b) 4 e) 20 c) 8
  • 28. Tecnologia ITAPECURSOS 28 cor preto 28 Física - M1 32) (CESGRANRIO) Uma torneira deixa pingar gotas de água em intervalos iguais de tempo. A figura mostra quatro dessas gotas e as distân- cias entre elas. a) 20 cm c) 70 cm e)90 cm b) 60 cm d) 80 cm 33) (UFMG) Um pequeno objeto arremessado da extremidade de uma mesa, com uma velocidade inicial horizontal, cai sob a ação apenas da força da gravidade. Sobre o movimento desse objeto, é correto afirmar: a) não possui nem aceleração centrípeta nem aceleração tangencial, porque são anuladas pela aceleração da gravidade. b) possui aceleração centrípeta e aceleração tangencial, porque variam tanto o módulo quanto a direção de sua velocidade. c) possui apenas aceleração centrípeta, porque somente a direção de sua velocidade sofre variação. d) possui apenas aceleração centrípeta, porque somente o módulo de sua velocidade sofre variação. e) possui apenas aceleração tangencial, porque a direção de sua velocidade sofre variação. 34) (UFMG) As figuras a seguir representam as posições de quatro partículas medidas em iguais intervalos de tempo. 35) (PUC-MG) A figura seguinte representa uma polia girando em torno do seu eixo O. -----•---• A B Desprezando-se a resistência do ar, podemos afirmar que a distância (h) entre a gota 1 e a gota 2 vale: Dos movimentos descritos acima, são acelera- dos: a) apenas I, II e III c) apenas III e IV b) apenas II, III e IV d) apenas II e IV Os pontos A e B mostrados têm velocidades VA e VB. A opção que apresenta a relação cor- reta entre v, w e R é: a) VA < VB e wA > ωB b) V V R R A B A B = e wA = wB c) VA > VB e wA = wB d) VA wA = VB wB e RA = RB e) VA > VB e wA > wB 36) (PUC-MG) Uma partícula descreve uma trajetória circular com velocidade escalar constante de 30 m/s. O raio da circunferência é de 100 m. A aceleração vetorial da partícula: a) é dirigida para o centro. b) é nula. c) é paralela ao vetor velocidade. d) é tangente à trajetória. e) tem por módulo 0,3 m/s2. 37) (PUC-MG) Um menino gira uma pedra presa à extremidade de um barbante, em um M.C.U. com velocidade angular de 16 rad/s. e raio igual a 50 cm. Em certo momento, o barbante se rompe e a pedra é lançada verticalmente para cima. A altura máxima que a pedra atinge, acima do ponto de lançamento, é de: a) 0,4 m c) 2,4 m e) 4,0 m b) 1,6 m d) 3,2 m 38) (UFMG) Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio R, com velocidade escalar V. Se o raio é aumentado para 2R e a velocidade para 3V, a relação entre as acelerações centrí- petas antes e depois é: a) 3 1 c) 5 3 e) 5 9 b) 9 2 d) 9 4 4 30 cm 3 50 cm 2 h 1 I II III IV
  • 29. Tecnologia ITAPECURSOS 29 cor preto 29Física - M1 VETORES 1 - VETORES a) Grandezas Escalares e Vetoriais Uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Se a grandeza ficar bem entendida somente com o conhecimento de seu valor numérico (módulo) e da sua unidade (se houver), chamaremos esta grandeza de ESCALAR. O tempo, a massa de um corpo, a energia e o espaço percorrido por um móvel são grandezas escalares. Por outro lado, se além do módulo e da unidade uma grandeza física necessitar de uma direção e de um sentido para ser bem compreendida, será chamada de VETORIAL. A velocidade, a aceleração e o desloca- mento são exemplos de grandezas vetoriais. b) Vetor Para que possamos representar geometricamente uma grandeza vetorial, vamos utilizar um ente matemático chamado vetor. O vetor é um segmento de reta orientado como o mostrado na figura. A inclinação do vetor (ângulo a) determina a direção da gran- deza que ele representa, a seta representa o sentido e o ta- manho é proporcional ao módulo da grandeza. Utilizamos uma letra do alfabeto afetada por uma seta sobre a mesma para representarmos um vetor. Para representar- mos o módulo de um vetor, utilizaremos a seguinte notação: a ou a Observação: 1 - É um grande erro escrever a = 5 . O correto seria a = 5 ou a = 5 . 2 - Um vetor tem uma origem e uma extremidade. 3 - Somente poderemos dizer que dois vetores são iguais quando eles possuírem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. c) Adição de Vetores c.1) Método do Polígono Imagine que queiramos somar os três vetores abaixo. Pelo método do polígono, vamos enfileirando os ve- tores, tomados ao acaso, fazendo coincidir a origem de um vetor com a extremidade do anterior. Veja:
  • 30. Tecnologia ITAPECURSOS 30 cor preto 30 Física - M1 R = a - b (se a > b) c.2) Método do Paralelogramo Este método somente pode ser empregado para se somar vetores dois a dois. Vamos somar os dois vetores da figura seguinte: Inicialmente devemos fazer coincidir as origens dos dois vetores. Note que os dois vetores formam entre si um ângulo q. Apartir da extremidade de um dos vetores, traçamos uma reta paralela ao outro. O vetor soma (resultante) terá origem na origem comum dos dois vetores e extremidade no encontro das paralelas traçadas. R = a + b R a b= +2 2 O vetor soma (ou resultante) terá origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do último vetor. Observações: 1 - Quando q = 0º : Vetores com mesma direção e sentido. Esta é a maior resultante entre dois vetores. 2 - Quando q = 180º : Vetores com mesma direção e sentidos opostos. Esta é a menor resultante entre dois vetores. 3 - Quando q = 90º : Vetores perpendiculares entre si. d) Subtração de Vetores d.1) Vetor Oposto (Simétrico) Na figura abaixo, estamos apresentando um vetor qualquer a . O módulo do vetor resultante será dado por: R a b a b= + +2 2 2. . .cosθ Definiremos como sendo o vetor oposto (representação: − a ) de a , um vetor que tenha mesmo módulo a , mesma direção de a e sentido oposto ao de a . A figura nos mostra o vetor original e o seu oposto. Apesar de este método ser gráfico, podemos identificar o módulo do vetor resultante.
  • 31. Tecnologia ITAPECURSOS 31 cor preto 31Física - M1 d.2) Método de Subtração A partir de dois vetores, a e b , devemos determinar R a b= − . Note que ( )R a b= + − , ou seja, a subtração entre dois vetores é, na verdade, a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo. Em termos práticos, podemos dizer que, para subtrairmos os vetores a e b (nesta ordem), devemos inverter o sentido do vetor b e efetuar uma adição, utilizando, para isto, um dos métodos estudados. e) Decomposição de Vetores Anteriormente, através da soma ou composição, obtínhamos um único vetor a partir de dois outros. Agora, pela decomposição, a partir de um vetor podemos obter dois outros. Estudaremos a decomposição de um vetor em componentes ortogonais. Seja um vetor v inclinado de um ângulo a em relação à horizontal, como mostra a figura. Para efetuarmos a decomposição do vetor v devemos, inicialmente, traçar um sistema de eixos cartesianos de tal forma que a sua origem coincida com a do vetor. Da extremidade do vetor v desenhamos duas retas, uma paralela ao eixo x e outra paralela ao eixo y. As interseções entre as retas desenhadas e os eixos car- tesianos determinam as componentes ortogonais do vetor v. Podemos entender estas projeções como sendo “pedaços” do vetor v desenhados nos eixos cartesianos. 2 - COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS Sabemos que o movimento de um corpo deve ser estudado em relação a um determinado referencial. É possível que o mesmo movimento seja visto por dois referenciais em situações diferentes. Imagine o caso de um trem em movimento uniforme sobre uma estrada retilínea com uma velocidade v (em relação à Terra). Dentro do trem, uma partícula se desloca obliquamente com uma velocidade u (em relação ao trem). A figura mostra uma visão superior do fenômeno. Queremos determinar a velocidade da partícula em relação à Terra. Para isso devemos efetuar a composição (soma) de velocidades, lembrando que a ve- locidade resultante V v u= + será: a) Travessia de Rios Um caso em que a composição de velocidades é aplicada é o de travessia de rios. Observe a figura ao lado: Na figura: Vc = velocidade da correnteza (em relação à Terra). Vb = velocidade própria do barco (em relação à água). sen .sen cos .cos α α α α = ⇒ = = ⇒ = V V V V V V V V Y Y X X Os módulos destas componentes são:
  • 32. Tecnologia ITAPECURSOS 32 cor preto 32 Física - M1 Queremos encontrar a velocidade do barco em relação à Terra. Para isso, basta efetuarmos a soma V V Vc b= + . Há duas situações interessantes a respeito da travessia de rios. a.1) Tempo Mínimo para a Travessia Para que o tempo de travessia seja mínimo, a velocidade própria do barco deve ser orientada perpendicu- larmente às margens. Assim, a trajetória do barco será oblíqua em relação às margens (seguirá a orientação de sua velocidade resultante). Neste caso, o módulo da velocidade do barco em relação à Terra será: Sendo L a largura do rio, o tempo de travessia de- penderá exclusivamente da velocidade própria do barco (que é a velocidade direcionada para atraves- sar o rio). O tempo mínimo poderá ser calculado pela expressão: a.2) Trajetória Mínima na Travessia A velocidade própria do barco deve ser orientada de tal forma que a travessia seja perpendicular às margens. A componente da velocidade própria do barco na direção da correnteza tem o mesmo valor que Vc . Assim, a velocidade resultante em relação às margens será igual à componente da velocidade própria do barco na direção perpendicular às margens. O tempo gasto na travessia (sendo L a largura do rio) será: Neste caso, o tempo de travessia será maior do que o do caso anterior. Observações: 1 - Quando o barco simplesmente desce o rio (viaja a favor da correnteza), a sua velocidade resultante será V V Vb c= + . 2 - Para o barco que sobe o rio (viaja contra a correnteza), a sua velocidade resultante será V V Vb c= − t L V MIN b = V V Vb c= +2 2 t L V =
  • 33. Tecnologia ITAPECURSOS 33 cor preto 33Física - M1 1) (UCS) Uma pessoa sai de sua casa e percorre as seguintes distâncias em qualquer ordem possível: I) 30 metros para leste; II) 20 metros para norte; III) 30 metros para oeste. No final das três caminhadas, a distância a que ela se encontra do ponto de partida é: a) 80 m c) 20 m e) 60 m b) 50 m d) 40 m 2) Qual é a relação correta entre os vetores M, N , P e R , representados a seguir? 5) Um barco, com velocidade v, quer atravessar um rio, cuja velocidade da correnteza é u. Su- ponha v > u. Sobre este movimento podemos afirmar: a) o tempo de travessia será mínimo se o barco orientar-se de tal maneira que a travessia se faça normalmente às margens. b) conforme a orientação do barco, a com- ponente de sua velocidade resultante, na direção normal às margens, poderá ser superior a v. c) conforme a orientação do barco, a com- ponente de sua velocidade resultante, na direção da corrente, poderá ser nula. d) quando o barco orienta sua velocidade v normalmente às margens, ele vai percorrer o menor caminho possível na travessia. e) a maior velocidade resultante que o barco conseguirá dar-se-á quando ele se orientar normalmente às margens. 6) (UFJF) Um barco percorre a largura de um rio AB igual a 2 km, em 30 min. Sendo a velocidade da correnteza igual a 3 km/h, temos para a velocid- ade do barco em relação à correnteza: a) 5 km/h b) 1,5 km/h c) 10 km/h d) 50 km/h e) n.r.a. 7) (MACK) Um passageiro em um trem, que se move para sua direita em movimento retilíneo e uniforme, observa a chuva através da janela. Não há ventos e as gotas de chuva já atingiram sua velocidade limite (elas caem com velocidade constante). O aspecto da chuva observado pelo passageiro é: a) M + N + P + R = 0 b) P + M = R + N c) P + R = M + N d) P - R = M - N e) P + R + N =M 3) (UEL-PR) Um navio sofre deslocamentos suces- sivos de 6,0 km de norte para sul e 8,0 km de leste para oeste. O deslocamento vetorial do navio tem módulo: a) 2,0 km c) 10 km e)48 km b) 7,0 km d) 14 km 4) Um barco descendo um rio, cuja correnteza se desloca a 10 km/h, gasta 6,0 h para viajar de uma cidade a outra, situadas na mesma mar- gem, e distanciadas em 180 km. Quanto tempo o barco gastaria para fazer esta mesma viagem se não existisse correnteza? a) 20 h c) 12 h e) 6,0 h b) 18 h d) 9,0 h a) b) c) d) e)
  • 34. Tecnologia ITAPECURSOS 34 cor preto 34 Física - M1 8) Um navio desloca-se na direção norte-sul com movimento retilíneo e uniforme de velocidade 10 m/s. Um passarinho, pousado numa das paredes do navio, levanta vôo na direção leste-oeste, com velocidade constante de 20 m/s, em relação ao navio. Para um observador parado, no navio, o pássaro: a) voa na direção leste-oeste, com velocidade 500 m / s . b) voa na direção aproximada de sudoeste, com velocidade 500 m / s . c) voa na direção leste-oeste, com velocidade 20 m/s. d) voa aproximadamente na direção noroeste, com velocidade 20 m/s. e) voa com direção e velocidade não identificáveis com as respostas anteriores. 9) (Taubaté) Um homem cai, à velocidade de 10 m/s, sobre um vagão de trem que corre à velocidade de 72 km/h (veja a figura seguinte). Qual dos vetores abaixo melhor representa a velocidade do homem em relação ao vagão? a) b) c) d) e)
  • 35. Tecnologia ITAPECURSOS 35 cor preto 35Física - M1 ESTÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS 1 - INTRODUÇÃO Estática é a parte da Física que estuda as condições de equilíbrio estático dos corpos extensos e pontos materiais. Nós já estudamos a 1ª Lei de Newton que trata do equilíbrio de pontos materiais (corpos cujas dimen- sões são desprezíveis). Esta Lei diz que se a resultante das forças que atuam em uma partícula for nula, então esta partícula estará em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico). Um ponto material não possui movimento de rotação apreciável, o que simplifica em muito o estudo do seu equilíbrio, pois tudo o que devemos verificar é o seu movimento de translação. Agora, imagine que você quer estudar o equilíbrio de um poste, por exemplo. Neste caso temos um corpo extenso, que possui um certo tamanho a ser considerado. E fácil notar que o poste estando em equilíbrio, não terá movimentos de translação ou rotação acelerados. O que vai ser desenvolvido neste capítulo visa estudar as condições de equilíbrio para os corpos extensos. 2 - MOMENTO DE UMA FORÇA (M) Uma força aplicada a um corpo pode produzir nele uma rotação quando possui uma componente perpen- dicular ao seu eixo de rotação. Essa característica pode ser encontrada no nosso dia-a-dia. Por exemplo, ao fechar uma porta, você a empurra (aplica uma força) em uma direção praticamente perpendicular à sua área. Verifica-se, também, que quanto mais distante da dobradiça você aplicar a força, mais facilmente a porta efetuará o movimento de rotação. No caso do exemplo citado acima, dizemos que a força que foi aplicada na porta cria um momento (M) que é responsável pelo movimento de rotação da porta. A figura seguinte mostra uma barra que está presa a uma parede por meio de uma dobradiça móvel. Como o peso da barra é vertical para baixo1, podemos dizer que a sua tendência é girar no sentido horário em relação ao ponto O. Em outras palavras, o peso gera um momento no sentido horário que fez com que a barra adquira um movimento de rotação acelerado. Se quisermos manter a barra em repouso na posição horizontal, de- vemos aplicar uma força F que tenha uma componente perpendicular à barra para gerar um momento no sentido anti-horário de igual inten- sidade ao momento criado pelo peso da barra. E fácil notar que o esforço para sustentar a barra será menor se a força for aplicada à direita do seu peso. Há muito tempo atrás, Arquimedes já dizia: “Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio que eu moverei a Terra!” O próximo esquema servirá de base para que possamos definir matematicamente o momento de uma força. Nele, uma força é aplicada na barra que está presa a parede. Esta força comprime a barra contra a parede (por causa de sua com- ponente F .cos q) e, ao mesmo tempo, tende a girar a barra no sentido anti-horário (pela ação da componente F.sen q).Adistância é medida do ponto de aplicação da força até ao ponto de rotação da barra. A definição do Momento de uma força leva em consideração opera- ções que não serão estudadas no Ensino Médio e, por isto, vamos apresentar simplesmente a maneira de se calcular o módulo desta grandeza, que é: M = (F.sen q) , onde o termo (F.senq) representa a componente da força que é perpendicular a distância . 1Toda vez que tivermos um corpo homogêneo iremos considerar que o seu peso é aplicado exatamente em seu centro geométrico.
  • 36. Tecnologia ITAPECURSOS 36 cor preto 36 Física - M1 Uma outra maneira de se escrever esta expressão é: M = F( .senq) O termo ( .senq) é a componente da distância perpendicular à força aplicada e se chama braço. Note bem que para calcularmos o momento, a força e o braço devem ser perpendiculares, mas tanto faz decompor a força ou a distância. A unidade do momento no Sl é: [M] = [F]. [ ] = newton x metro = N. m CUIDADO!: Esta unidade NÃO é igual à do trabalho (N.m = joule) apesar de ambas representarem a mesma combinação de unidades. Quando várias forças são aplicadas em um mesmo corpo, podemos calcular o Momento Resultante. Para isto, devemos seguir a seguinte seqüência: A - Escolher um ponto de rotação, em relação ao qual serão calculados os momentos. B - Calcular isoladamente o momento de cada força aplicada em relação ao ponto escolhido, most- rando qual a tendência de rotação. C - Somar todos os momentos: gerados no sentido horário. D - Somar todos os momentos gerados no sentido anti-horário. E - Efetuar a subtração do momento total no sentido horário pelo momento total no sentido anti-horário (ou vice-versa, dependendo de qual for maior). O Momento Resultante terá o valor encontrado no item E e o seu sentido (horário ou anti-horário) será igual ao sentido do momento total maior. 3 - CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Um corpo extenso que possui um momento resultante diferente de zero, apresentará um movimento de rotação em que o módulo da velocidade varia. Já vimos que a intensidade desse momento resultante é o módulo da diferença entre o momento total no sentido horário e o momento total no sentido anti-horário. Para que um corpo extenso qualquer fique em equilíbrio estático é necessário que ele não possua movi- mento nem de translação, nem de rotação. As duas condições de equilíbrio podem, então, ser expressas da seguinte forma: 01) (UFV) Uma pessoa pretende utilizar um pé-de- cabra para arrancar um prego. Dos cinco vetores representados na figura, o que corresponde à menor força necessária à tarefa é: a) F2 b) F1 c) F3 d) F5 e) F4 02) (UFV) Uma carga de 450 N está presa a uma roldana por meio de uma corda, conforme mostra a figura seguinte.Aforça, P, necessária para manter o braço, AB, na posição horizontal, em Newtons, é: a) 150 b) 1350 c) 450 d) 300 e) 900 1ª) FR = 0 2ª) MR = 0
  • 37. Tecnologia ITAPECURSOS 37 cor preto 37Física - M1 03) (UFMG) A figura mostra duas cargas positivas, Q e Qx, de massas desprezíveis colocadas sobre os braços de mesmo comprimento de uma balança nas distâncias indicadas. A balança está em uma região a) Q/3 b) Q c) 3Q d) 9Q 04) (PUC-MG) Dois meninos A e B, de 40 kg e 30 kg , respectivamente, estão brincando numa gangorra conforme desenho abaixo. Eles querem equilibrar a gangorra de maneira que eles fiquem nas extremidades. Para isso, podem usar uma ou mais pedras disponíveis no jardim. Se a posição a ser usada for o ponto médio de OB, uma das possibilidades é usar: a) apenas uma pedra de 10 kg b) três pedras de 5,0 kg e uma de 10 kg c) duas pedras de 5,0 kg, uma de 8,0 kg e duas de 2,0 kg d) uma pedra de 10 kg, uma de 8,0 kg e uma de 5,0 kg e) duas pedras de 8,0 kg e duas de 2,0 kg 05) (PUC-MG) Uma lanterna, de peso P, está presa a um sistema, constituído por uma corrente e uma haste, presas a uma parede, como mostra a figura. O ângulo entre a corrente e a parede vale 45°. Considerando a lanterna em equilíbrio, o valor da força F que atua na haste é: a) 2P d) P b) 2 . P e) P 2 c) P 2 2 06) (MACKSP) Na figura abaixo, os fios e as polias são ideais; AB é uma barra homogênea, tem secção transversal constante e seu peso é de 10 N. A relação entre os pesos dos corpos X e Z, respectivamente PX e PZ, que fazem com que a barra AB fique em equilíbrio segundo a horizontal, é: a) PX = (7/10).PZ d) PX= 3 PZ b) PX = PZ e) PX = 7 PZ c) PX= (10/7).PZ O M onde existe um campo elétrico uniforme E na direção mostrada. Para que a balança fique em equilíbrio na horizontal, pode-se afirmar que o valor de Qx, será igual a: X Y Z 2 2 45osc45sen oo == o 45
  • 38. Tecnologia ITAPECURSOS 38 cor preto 38 Física - M1 DINÂMICA – TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA 1 - INTRODUÇÃO Quando lançamos um corpo verticalmente para cima, podemos calcular, através das equações da Cin- emática, a sua altura máxima. Ao estudarmos o movimento de um carro que é freado em uma estrada horizontal, temos condições de calcular a distância por ele percorrida até parar. Para isto, utilizamos a Lei de Newton e a equação de Torricelli. Neste capítulo veremos uma maneira nova de resolver os problemas citados no parágrafo anterior. Esta nova abordagem a problemas da Mecânica será, para nós, de grande valia pois irá simplificar a obtenção de resultados. O objetivo principal deste capítulo é estudar a energia. Apesar de ser intuitivo, o conceito de energia é um dos mais importantes nas ciências físicas. Podemos dizer que, quando um corpo qualquer possui energia, ele estará em movimento ou terá condições de entrar em movimento. Começaremos o estudo do capítulo investigando o conceito de trabalho . Em seguida , entenderemos a potência e, logo após, estudaremos a energia mecânica e as condições para que ela se conserve. 2 – TRABALHO (W. t) O motor de um carro, através da queima do combustível nos pistons, consegue aplicar uma força no automóvel que, por sua vez, produz um certo deslocamento. Note que existe transformação de energia – a energia química armazenada no combustível se transforma em energia de movimento para o carro. A medida desta transformação de energia será definida como sendo o trabalho realizado pelo motor. A geração de energia elétrica em usinas hidrelétricas é um outro exemplo muito conhecido que pode ser citado. A água armazenada na represa possui energia. Quando ela desce pela tubulação da usina, faz girar o dínamo e, através deste processo, a energia elétrica será gerada. Os dois processos citados serão estudados com mais detalhes nos capítulos sobre Termodinâmica e Eletromagnetismo, respectivamente. A partir deste ponto, vamos definir matematicamente o trabalho. A próxima figura mostra um bloco que sofre a ação de uma força constante F inclinada em relação ao deslocamento. O trabalho realizado pela força F é: W = F.d.cosq Note que, para uma força realizar trabalho é necessário que haja deslocamento e, além disso, a força deve ter uma componente na direção do deslocamento (a força não pode ser perpendicular ao deslocamento). Portanto, uma pessoa que passe o dia inteiro segurando uma pedra a 2,0 metros de altura não realiza trabalho algum. Mesmo se esta pessoa transportar a pedra, na horizontal, com velocidade constante, o trabalho será nulo, uma vez que a força aplicada é vertical e o deslocamento horizontal A unidade do trabalho no S.l.: [W] = [F] . [d] = N . m = joule (J) Observação: A unidade do trabalho é a mesma de qualquer forma de energia, já que, conceitualmente, o trabalho representa a medida da transformação da energia. a) Gráfico F x d: Quando uma força variar ao longo do deslocamento, a única maneira de se calcular o trabalho por ela realizado é através da área sob o gráfico F x d. Para tal, iremos considerar que F repre- senta a projeção da força na direção do deslocamento. b) Trabalho da força resultante: Imagine um sistema composto por várias forças aplicadas a uma partícula. Cada uma, isoladamente, realiza um trabalho. O trabalho da força resultante (ou trabalho resultante) é a soma algébrica dos trabalhos realizados por cada força.
  • 39. Tecnologia ITAPECURSOS 39 cor preto 39Física - M1 3 - POTÊNCIA MÉDIA (Pm) Em algumas situações é importante sabermos a taxa de realização de trabalho (transformação de energia) em uma certa unidade de tempo. Para descobrirmos esta taxa dividimos o valor da energia que é transformada pelo intervalo de tempo gasto no processo. Ao resultado desta operação, chamamos de potência média. Matematicamente, temos: Pm = W t∆ A unidade S.l. desta grandeza é: [P] = [ ] [ ] W t∆ = J s = watt (W) Existem duas outras unidades que são: cavalo-vapor (cv) Þ 1 cv = 735W horse-power (hp) Þ 1 hp = 746W Observação: Uma unidade de energia muito utilizada na prática é o quilowatt-hora (kwh). Esta unidade é definida a partir da relação estudada neste item. Se a potência estiver expressa em watt e o tempo em segundo, a unidade do trabalho (ou energia) será o joule. Porém, se a potência estiver em quilowatt e o tempo em horas, teremos o trabalho (ou a energia) em quilowatt-hora. Veja: [W] = [P].[Dt] = W.s = joule (J) [w] = [P] . [Dt] = kW.h A relação entre estas duas unidades é a seguinte: 1 kW.h = 1000 W . 3600 s = 3,6 x 106 J 4 – ENERGIA MECÂNICA (EMEC) Em nosso cotidiano lidamos com vários tipos de energia. A energia elétrica é transformada em energia térmica em um chuveiro e em energia sonora em um auto-falante. A energia luminosa é transformada em energia elétrica em uma bateria solar. A energia nuclear é transformada em térmica e, depois, em elétrica em uma usina nuclear. São vários os exemplos em que diversas formas de energia estão em jogo. De uma maneira geral, podemos dizer que a quantidade de energia presente no universo é constante, ou seja, a energia não pode ser criada ou destruída, simplesmente ela sofre transformação de uma forma para outra. Iremos estudar uma forma específica de energia chamada Energia Mecânica. Este tipo de energia é a soma de dois outros tipos: energia cinética e energia potencial mecânica. Veremos, a seguir, estes tipos de energia. a) Energia Cinética (Ec): Esta é a forma de energia dos corpos em movimento. Um corpo terá energia ci- nética quando apresentar uma certa velocidade, em relação a um referencial. A sua expressão matemática é: Ec = m V. 2 2 a.1) Teorema Trabalho-Energia: Uma partícula que sofre a ação de uma força resultante certamente verificará uma variação em sua velocidade.Aesta variação podemos relacionar uma modificação na sua energia cinética. Diremos que o trabalho realizado pela força resultante é igual à variação da energia cinética da partícula. A figura seguinte mostra a força resultante que atua em uma partícula de massa m, inicialmente com uma ve- locidade V0. Por causa desta força, a sua velocidade passa a ter um valor V após um deslocamento d. Veja. O trabalho realizado pela força resultante F é: W = F.d.cos 0° mas, pela 2ª Lei de Newton, F = m.a. Assim, W = m.a.d ; utilizando a equação de Torricelli, V2 = V0 2 + 2.a.d Þ a.d = V V2 0 2 2 − Substituindo na expressão do trabalho, W = m. V V2 0 2 2 −      = m V. 2 2 - m V. 0 2 2 Que irá resultar na seguinte relação: WFr = DEc O trabalho da força resultante sobre um móvel é igual à variação da sua energia cinética.
  • 40. Tecnologia ITAPECURSOS 40 cor preto 40 Física - M1 b) Energia Potencial (Ep): Quando a energia está acumulada em um certo corpo, ela recebe o nome de potencial. Assim, temos energia potencial elétrica, química, magnética, etc. Podemos estabelecer que para toda força conservativa haverá uma energia potencial a ela relacionada. Vamos estudar as formas de energia potencial mecânica. Existem duas situações que irão nos interessar: energia potencial gravitacional (relacionada com a força peso) e energia potencial elástica (relacionada com a força elástica). b.1) Energia Potencial Gravitacional: Imagine que um corpo foi levado do solo até uma certa altura h. Nesta situação, podemos dizer que este corpo possui uma certa energia guardada (potencial), uma vez que o seu peso é capaz de realizar um trabalho para trazê-lo de volta ao solo. Na verdade, esta energia foi acumulada pelo corpo por causa do trabalho realizado para colocá-lo na altura h. A energia potencial gravitacional é igual ao trabalho realizado pelo peso durante o deslocamento da altura h até o solo (que será o nosso nível de referência). Epg = WP = P.h Epg = m.g.h b.2) Energia Potencial Elástica: Uma mola deformada é capaz de empurrar um certo bloco. Note que, neste caso, a mola irá aplicar uma força no bloco que produzirá um deslocamento. Logo, esta mola, quando estiver comprimida ou distendida, será capaz de realizar um trabalho. Isto significa que ela possui uma energia acumulada. Esta energia chamaremos de energia potencial elástica. De maneira semelhante ao que ocorre com a gravitacional, a energia potencial elástica é igual ao trabalho realizado pela força elástica para voltar à posição inicial. Epe = k x. 2 2 c) Energia Mecânica ( EMEC): Como já vimos, a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial, ou seja: EMEC = Ec + Ep 5 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA As forças podem ser classificadas em conservativas e não-conservativas. Uma determinada força é con- servativa quando o trabalho que ela realiza não depende da trajetória. As forças elétrica, gravitacional e magnética são exemplos de conservativas. Quando o trabalho de uma certa força depender da trajetória utilizada, ela é chamada de força não-conservativa. A força de atrito é uma força não-conservativa (como o atrito é sempre contrário ao movimento, diremos que ele é uma força dissipativa). Quando um móvel estiver sob a ação exclusiva de forças conservativas, o valor da energia mecânica será constante em todos os pontos de sua trajetória. É importante notar que este móvel pode ter, em alguns pontos, apenas energia cinética e, em outros pontos, somente energia potencial. Vamos imaginar, inicialmente, uma situação bem simples: Uma pedra (massa igual a 1,0 kg) é lançada vertical- mente para cima, a partir do solo, com uma velocidade de 40 m/s. Desprezando a resistência do ar, vamos estudar o movimento desta pedra. A figura a seguir mostra o instante do lançamento e diversos pontos da trajetória. O ponto A representa o local do lançamento, B está situado a 20 m de altura, C a 60 m e o ponto D é o de altura máxima atingida pela pedra. Iremos considerar a aceleração da gravidade local constante e igual 10 m/s2. Inicialmente vamos calcular a energia mecânica da pedra no ponto A. Como, neste ponto, a altura é nula, a pedra só terá energia cinética. Assim, EA MEC = EcA = m VA. 2 2 = 140 2 2 . EA MEC = EcA = 800 J A única força que atua da pedra, em todo o movimento, é o peso (que é uma força conservativa). Logo, a energia cinética da pedra terá o mesmo valor em todos os pontos de sua trajetória. Observação: Quando houver atrito no sistema, a energia mecânica irá diminuir progressivamente com o tempo, de tal forma que: Wfa = Emec final - EMEC inicial
  • 41. Tecnologia ITAPECURSOS 41 cor preto 41Física - M1 01) (CESCEA) Um corpo A de peso P escorrega com atrito num plano inclinado, com aceleração a diferente de zero. Que forças realizam trabalho? a) a componente da força peso ao longo da trajetória e a de atrito b) somente a força peso c) somente a força de atrito d) nenhuma, pois se equilibram e) a reação normal do plano sobre o corpo 02) (PUC-MG)Umcorpodemassa0,20kgpresoporumfiogiraemmovimentocircularuniformederaio50cmsobre uma superfície horizontal lisa. O trabalho realizado pela força de tração do fio, durante uma volta completa, é: a) zero b) 6,3 J c) 10 J d) 1,0 J e) 31 J 03) (Santa Casa) Para as questões I e II relacione cada um dos gráficos dados a seguir com o que se es- tabelece em cada um dos itens: I – trabalho de uma força constante em função do deslocamento efetuado na direção e sentido da força. II – trabalho de uma força de intensidade constante para um dado deslocamento em função do ângulo que a referida força forma com a direção e sentido do deslocamento a partir do ângulo igual a zero. a) b) c) d) e) 04) (UFV) Uma bomba eleva 18 000 litros de água por hora a uma altura de 20 metros. A massa de um litro de água é um quilograma: suponha g = 10 m/s. A potência da bomba em watts, é: a) 1,8 x 104 b) 1,8 x 105 c) 1,0 x 102 d) 1,0 x 103 e) 3,6 x 103 05) (PUCMG) A figura desta questão mostra um corpo de massa igual a 6,0 kg e velocidade 10 m/ s, instantes antes de penetrar em uma região de comprimento 5,0 m onde o coeficiente de atrito cinético vale 0,6. A energia cinética do móvel ao deixar a região, em joules, é igual a: 06) (UFMG)Atlra-se uma bola vertlcalmente para cima. A bola sobe e desde caindo no mesmo ponto de onde foi lançada. Desprezando-se o atrito com o ar, pode-se dizer que: a) energia cinética da bola é ¼ da energia cinética inicial quando ela, na subida, atinge a metade da altura máxima. b) a energia cinética da bola é a mesma, tanto na subida quando na descida, quando ela estiver na metade da altura máxima. c) a energia cinética da bola é máxima quando ela atinge o ponto mais alto da sua trajetória. d) a energia potencial da bola é máxima no ponto de partida. a) 80 b) 120 c) 160 d) 180 e) 200 07) (PUCMG)Afigura desta questão mostra duas rampas ideais e dois corpos de massa m e 2m, inicialmente em repouso. Se eles são abandonados simultaneamente,é correto afirmar que: a) atingem a base, ao mesmo tempo. b) possuem a mesma aceleração ao descerem as rampas. c) alcançam a base da rampa com a mesma velocidade escalar. d) possuem a mesma energia potencial que antes de serem abandonados. e) têm a mesma energia cinética ao chegarem à base.