1. O documento discute sequências de números reais. Apresenta a prova de que se duas sequências (xn) e (yn) convergem para limites a e b respectivamente, e n nx y ε− ≥ para todo n, então a b ε− ≥ . 2. Define indutivamente as sequências (xn) e (yn) e prova que convergem para o mesmo limite, seja a ou b. 3. Mostra que se duas novas sequências forem dadas, então lim 1n nx y× = e deduz daí que lim 1 n n e

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
INSTITUTO UFC VIRTUAL
LICENCIATURA PLENA DE MATEMÁTICA - PÓLO DE QUIXADÁ
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE
PROFESSOR:
NOME: FRANCISCO ANDERSON MOREIRA FELIPE
DATA: 19/03/2015
SEQUENCIAS DE NUMEROS REAIS
Aula 04
QUIXADÁ – CE
2015.1

2. 1.Se lim nx a= , lim ny b= e n nx y ε− ≥ para todo n∈N , prove que a b ε− ≥ .
A princípio temos que lim (xn - yn ) = lim xn – lim yn = a – b.
Ou seja, e:
Dado ε > 0, existe n N tal que n ≥ nϵ 0 → |( xn - yn) – (a - b)| < ε
Entretanto, observe que:
||xn - yn |– |(a - b)|| ≤ → |( xn - yn) – (a - b)| < ε
Para todo n ≥ n0 , portanto lim |xn - yn | = |a - b| = ε1
Suponhamos por absurdo que |a - b| < ε e |xn - yn | ≥ ε podemos tomar n > n0 tal que |
yn -b| < ε2 e |xn - a| < ε3 teorema onde ε1 + ε2 + ε3 < ε que pode ser feito, basta tomar:
ε2 + ε3 < ε - ε1
|yn - xn | ≤ |yn -b| + |a - b| + |xn - a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε
Logo um absurdo, pois contradiz que:
|yn - xn | ≥ ε.
2.Dados ,a b +
∈R , defina indutivamente as sequências
( )nx
e
( )ny
pondo 1x ab= ,
1
2
a b
y
+
=
e 1n n nx x y+ =
,
1
2
n n
n
x y
y +
+
=
. Prove que
( )nx
e
( )ny
convergem para o
mesmo limite.
Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das medias, então:
xn. yn ≥ x²n → √ xn. yn ≥ xn → xn+1 ≥ xn
Entao xn é crescente. Dessa mesma forma yn é decrescente pois de xn ≤ yn, tem-se xn +
yn ≤ 2yn dai yn+1 = (xn + yn)/ 2 ≤ yn. Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n concluímos
que xn e yn são convergente por serem monótonas e limitadas.
Em outras palavras se a = b, teríamos xn = yn = a , para todo n N, e assim xϵ n e yn
convergiriam para o mesmo limite.
Se a ≠ b, digamos, a < b, teríamos:
a < x1 < x2 <...< xn<...< yn<...< y2< y1< b
Dessa mesma forma xn e yn seriam sequencias monótonas limitadas com xn crescente e
yn decrescente e, portanto convergentes.
Sejam:
y = lim yn e x = lim xn , temos:

3. 3.Seja
1
1
n
nx
n
 
= + ÷
 
e
1
1
1
1
n
ny
n
+
 
= − ÷
+ 
. Mostre que lim 1n nx y× = e deduza daí que
1 1
lim 1
n
n e
 
− = ÷
 
.
Primeiro:
Logo temos que:
4.Calcule os limites das sequências
a)
Então:
Dividindo tudo pela maior potencia de n, temos:
Temos que:

4. Logo temos que:
b)(n+1)1/2
/ (n+2)1/2
Logo:
Dividindo pela maior potencia de n, temos:
5.Seja (xn) um sequência tal que toda subsequência converge para o número real a.
Mostre que (xn) converge para a.
Se temos xn uma sequencia (xn)n Nϵ é uma função s: N’ → R, onde N’ é uma
subsequência (xnk)nk Nϵ , ou seja N’ N que é finito, como N’ é enumerável podemos
escrever como:
{xn1, xn2,..., xnk,... } um subsequência de xn.
Temos que :
a = lim xnk
Dado ε > 0 , existe n0 N, tal que:ϵ
n > n0 → | xn - a| < ε
Como os índices da sequencia formam um subconjunto infinito, existe entre eles um nnk
> n0. Então:
nn > nnk → nn > n0 → | nnk - a | < ε
Logo temos que :
Logo lim nnk = lim xn = a
lim = lim = a