Física 2
Equilíbrio e Elasticidade
Prof. Dr. Walmor Cardoso Godoi
Departamento de Física - DAFIS
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
URL: http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi
E-mail: walmorgodoi@utfpr.edu.br
Agenda
• Equilíbrio de corpos rígidos
• Elasticidade dos objetos não rígidos

Dubai - 829,84 m

Ed. Liberdade, Rio de Janeiro
Desabou no Centro da cidade, deixando
22 mortos em 25 de janeiro de 2012
Introdução

“Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.”
Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)
Bloco em um plano inclinado
Condição
N

fa=mgsenθ
µmgcosθ=mgsenθ

fa

µ=tanθ (máximo)
Portanto
P

θ

θ=29,7 , µ=0,57
θ=60,0 , µ=1,73

Correto?
Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar?
a) Para µ=0,57 (aço sobre aço sem lubrificação)
b) Para µ=1,73 (silicone sobre plástico)
Bloco em um plano inclinado

N
CM

θ = 60o
Equilíbrio

instável

estável

indiferente
Equilíbrio

Centro de massa
Requisitos para o Equilíbrio
• Um corpo rígido está em equilíbrio se

Equilíbrio estático
Condições de Equilíbrio
Translação
do CM

Equilíbrio das forças

Rotação
do CM

Equilíbrio dos torques
Condições de Equilíbrio
Rotação
do CM

Equilíbrio dos torques
Condições de Equilíbrio
Forças coplanares
Teste 1
• Em que condições a barra está em equilíbrio?

x2
O Centro de Gravidade

Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m)
CG está 2 cm abaixo do CM
O Centro de Gravidade
Lembrando...
• Coordenadas do CM
uso de contrapesos de chumbo
Teste 2

a) Não
b) No ponto de aplicação de F1
c) 45 N
Exemplo 1
• Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento
L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas
balanças. Um bloco homogêneo, de massa M= 2,7
kg, está apoiado na viga, com o centro a uma
distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais
são as leituras das balanças?
eixo de rotação
Generalizando o problema da barra e
balança ...
x

pivô

d

x
Se d=0

x

L
Equilíbrio (limite normal D =0)
Exemplo 2

Resposta: 30 kg
Exemplo 3
Escada de comprimento L
Qual o ângulo máximo permitido?

n2

pivô

parede
sem atrito
p=mg
n1

y

fa=µ.n1
x

piso com atrito
Exemplo 4

P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ?
a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm
#experimente
Estruturas indeterminadas
• 3 equações
• Supomos
corpos
rígidos
• Solução:
Considerar
deformações
- Elasticidade
Propriedades Elásticas
• Propriedades mecânicas
Imperfeições nos sólidos

R
Átomo de uma barra de ouro

Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouro
W= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J)
Nanotecnologia -> Para arrancar um único átomo é
necessário uma distância d= 4x10-10 m = 0,4 nm
1. Qual é a força necessária para arrancar um único
átomo?
Resposta: 1,5 nN
2. Se uma seção transversal da barra de ouro possui 1,6 x
1015 átomos/cm2, qual é a força necessária para
arrancar átomos de uma seção de 2 cm2?
Resposta 4,8 x 106 N
Tração e compressão
• Tensão trativa (tração)
Tensão (stress) e Deformação (strain)
• Máquina de Ensaio

Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm
http://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/applet.html
Tração e Compressão
tensão

onde E é o módulo de Young

deformação

stress

strain
Tração e Compressão
Tensão (stress)
• Tensão de cisalhamento
Cisalhamento
A

onde G é o módulo de cisalhamento
Exemplo 5
Tensão Hidrostática

onde B é o módulo de elasticidade volumétrico
Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!
Exemplo 6
• Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m
de comprimento e uma quarta perna
com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50
mm). Todas feitas de madeira com área
de seção reta de A=1,0 cm2 (E=1,3
x1010N/m)
• Cilindro de aço M=290 kg (massa da
mesa muito menor)
• Quais são os módulos das forças que o
chão exerce sobre as pernas da mesa?
Referências
• Halliday & Resnick - Fundamentos de Física,
vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC.
• Sears & Zemanski – Física I, Mecânica, 12ª
edição, Pearson, Cap 11, 2008.

Fisica 02 - Equilíbrio e elasticidade