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Tópico 2 – Atrito entre sólidos     147


                                                                           O fio e a polia são ideais e o coeficiente de atrito estático entre o corpo
 Tópico 2                                                                  do homem e a mesa vale 0,40. Se o homem está na iminência de desli-
                                                                           zar sobre a mesa, qual o valor da massa M?

  1                                                                        Resolução:
        (FGV-SP) O sistema indicado está em repouso devido à força de
                                                                           T = Fat ⇒ M g = μe m g
atrito entre o bloco de massa de 10 kg e o plano horizontal de apoio.             d
                                                                           M = μe m ⇒ M = 0,40 · 70 (kg)
Os fios e as polias são ideais e adota-se g = 10 m/s2.
                                       10 kg                                 M = 28 kg

                                                                             Resposta: 28 kg

                                                                            4 E.R. Uma caixa de peso 10 kgf acha-se em repouso sobre uma
                         4,0 kg                                             mesa horizontal. Calcule a intensidade da força de atrito exercida sobre
                                                 6,0 kg
                                                                            a caixa quando ela é empurrada por uma força horizontal de 2,0 kgf. O
a) Qual o sentido da força de atrito no bloco de massa de 10 kg, para a     coeficiente de atrito estático entre a caixa e a mesa vale 0,30.
   esquerda ou para a direita?
b) Qual a intensidade dessa força?                                          Resolução:
                                                                            A situação descrita está esquematizada abaixo:
Resolução:                                                                  Inicialmente, vamos calcular a intensidade da força de atrito de des-
a) O sistema tende a se movimentar em sentido horário. A força de           taque entre a caixa e a mesa:
   atrito no bloco de massa 10 kg será dirigida para a esquerda, de                                   F
   modo a impedir que ele escorregue.
                                                                                                                               Fat
b)
                                        10 kg

                                  T2            T1

                            Fat                                                                     Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P
                                                                                                       d                 d
      (I) T1 = P1 = m1g                                                     Sendo μe = 0,30 e P = 10 kgf, vem:
            T1 = 6,0 · 10 (N) ⇒ T1 = 60 N                                                            Fat = 030 · 10 (kgf)
                                                                                                           d
      (II) T2 = P2 = m2g
            T2 = 4,0 · 10 (N) ⇒ T2 = 40 N                                                         Donde:         Fat = 3,0 kgf
                                                                                                                    d

      (III) Fat + T2 = T1 ⇒ Fat + 40 = 60
                                                                            Como a força com que a caixa é empurrada (2,0 kgf) é menos intensa
        Fat = 20 N                                                          que a força de atrito de destaque (3,0 kgf), temos uma situação de
                                                                            equilíbrio. A caixa permanece em repouso e a força de atrito estático
                                                                            exercida sobre ela tem intensidade 2,0 kgf:
  Respostas: a) Para a esquerda; b) 20 N
                                                                                                               Fat = 2,0 kgf
   2 Para colocar um bloco de peso 100 N na iminência de movimen-
to sobre uma mesa horizontal, é necessário aplicar sobre ele uma força,
                                                                             5     Sobre um piso horizontal, repousa uma caixa de massa
paralela à mesa, de intensidade 20 N. Qual o coeficiente de atrito está-
tico entre o bloco e a mesa?                                               2,0 · 102 kg. Um homem a empurra, aplicando-lhe uma força paralela ao
                                                                           piso, conforme sugere o esquema abaixo:
Resolução:
Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P
  d                  d


20 = μe 100 ⇒            μe = 0,20

 Resposta: 0,20
                                                                           O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o piso é 0,10 e, no local,
                                                                           g = 10 m/s2. Determine:
  3 Na situação esquematizada na figura, um homem de massa                 a) a intensidade da força com que o homem deve empurrar a caixa
70 kg está deitado sobre uma mesa horizontal para submeter-se a uma           para colocá-la na iminência de movimento;
terapia por tração:                                                        b) a intensidade da força de atrito que se exerce sobre a caixa quando
                                                                              o homem a empurra com 50 N.

                                                                           Resolução:
                                                                           a) F = Fat = μe Fn
                                                                                     d
                                                          M                   F = μe m g ⇒ F = 0,10 · 2,0 · 102 · 10 (N)
                                                                                                           F = 2,0 · 102 N
148 PARTE II – DINÂMICA


b) Como F < Fat (50 N < 200 N), a caixa permanece em repouso e               7 Considere a situação esquematizada na figura, em que um tijolo
                   d
   Fat = F = 50 N.                                                        está apoiado sobre uma plataforma de madeira plana e horizontal. O
                                                                          conjunto parte do repouso no instante t0 = 0 e passa a descrever uma
 Respostas: a) 2,0 · 102 N ; b) 50 N
                                                                          trajetória retilínea com velocidade de intensidade V, variável com o
                                                                          tempo, conforme o gráfico apresentado. No local, a influência do ar é
 6 E.R. Na figura abaixo, um homem está empurrando um fogão               desprezível.
 de massa 40 kg, aplicando sobre ele uma força F , paralela ao solo                                           Movimento
 plano e horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o fogão e o
 solo é igual a 0,75 e, no local, adota-se g = 10 m/s2.




                                                                                                V
 Supondo que o fogão está na iminência de escorregar, calcule:
 a) a intensidade de F ;
 b) a intensidade da força C de contato que o fogão recebe do solo.
                                                                                                 0            t1   t2       t3       t
 Resolução:
 No esquema abaixo, representamos as forças que agem no fogão:
                                                                          Admitindo que não haja escorregamento do tijolo em relação à plata-
 F : força aplicada pelo homem;                                           forma e adotando um referencial fixo no solo, aponte a alternativa que
 Fat : força de atrito de destaque                                        melhor representa as forças que agem no tijolo nos intervalos de 0 a t1,
   d
                                                                          de t1 a t2 e de t2 a t3:
 (movimento iminente);
                                                                                 de 0 a t1       de t1 a t2         de t2 a t3
 P : força da gravidade (peso);
 Fn: força normal.
                                                                          a)
                                            Fn


                               F

                                                         Fat              b)
                                                           d

                                            P


 a) Equilíbrio na vertical: Fn = P
                                                                          c)
                             Fn = m g ⇒ Fn = 40 · 10 (N)
                                       Fn = 400 N
       Equilíbrio na horizontal: F = Fat
                                                d

                            F = μe Fn ⇒ F = 0,75 · 400 (N)                d)

                                         F = 300 N

 b) A força C é a resultante da soma vetorial de Fat com Fn.
                                                    d
    Aplicando o Teorema de Pitágoras, vem:                                e)
                                   C

                                                                          Resolução:
                                                    Fn
                                                                          (I) De 0 a t1: Movimento retilíneo e uniformemente acelerado para a
                                                                          direita.
                                          Fat
                                            d                                                            C1
                                                                                      Fn
       C2 = F2 + F2at
             n          d
                                                                                                                        C 1 = Fat + Fn
       C2 = (400)2 + (300)2                                                                     Fat
                                                                                                     1
                                                                                                                                 1




         C = 500 N                                                                    P
Tópico 2 – Atrito entre sólidos    149


(II) De t1 a t2: Movimento retilíneo e uniforme para a direita.                O triângulo retângulo é isósceles, logo:
                      Fn
                                                                               F=P ⇒ F=mg
                                                                               F = n m g ( n = número de blocos)
                                                                               F = n · 15 · 10 (N) ⇒ F = n · 150 (N)
                                                     Fat2 = 0
                                                                               Para mover o contêiner:
                                                                               F > Fat
                                                                                       dest
                      P
                                                                               n · 150 > 500
(III) De t2 a t3: Movimento retílineo e uniformemente retardado para           n > 3,33 ... blocos
a direita.                                                                      nmín = 4 blocos
           C3
                               Fn
                                                                                Resposta: d
                                                          C 3 = Fat + Fn
                                                                   3
            Fat
                3
                                                                                 9 Na situação da figura, o bloco B e o prato P pesam, respectiva-
                                                                               mente, 80 N e 1,0 N. O coeficiente de atrito estático entre B e o plano
                               P
                                                                               horizontal de apoio vale 0,10 e desprezam-se os pesos dos fios e o atri-
                                                                               to no eixo da polia. No local, |g | = 10 m/s2.
 Resposta: d
                                                                                                               B
  8 (Fuvest-SP – mod.) Para vencer o atrito e deslocar um grande
contêiner C, no sentido indicado, é necessária uma força horizontal
que supere 500 N. Na tentativa de movê-lo, blocos de massa m = 15 kg
são pendurados em um fio, que é esticado entre o contêiner e o ponto                                                                             g
P na parede, como na figura.
    Sentido do                                                             P
    deslocamento                                                                                                                   P
                                    C
    pretendido                                                  45°



                                                           M                   Dispõe-se de 20 blocos iguais, de 100 g de massa cada um, que podem
                                                                               ser colocados sobre o prato P.
                                                                               a) Colocando-se dois blocos sobre P, qual a intensidade da força de
                                                                                   atrito exercida em B?
Para movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo:             b) Qual o número de blocos que deve ser colocado sobre P, para que
(Adote g = 10 m/s2.)                                                               B fique na iminência de se movimentar?
a) 1 bloco.          c) 3 blocos.           e) 5 blocos.
b) 2 blocos.         d) 4 blocos.                                              Resolução:
                                                                               a) Fat = µe Fn = µe PB ⇒ Fat = 0,10 · 80 (N)
Resolução:                                                                          d                         d

Esquema de forças no ponto do fio em que são pendurados os blocos:                  Fat = 8,0 N
                                                                                        d


                                                                                  F = Pprato + 2 p ⇒ F = 1,0 + 2 · 0,10 · 10 (N)
                                                     45º       T
                                                                                    F = 3,0 N
                           F
                                                                                  Como F Ͻ Fat , o sistema permanece em repouso e a força de atrito
                                                                                               d
                                                                                  estático exercida em B vale 3,0 N.

                                                                               b) Pprato + n · p = Fat ⇒ 1,0 + n 0,10 · 10 = 8,0
                                                                                                   d
                                                P
                                                                                    n = 7 bloquinhos
Na situação de equilíbrio, a linha poligonal de F , T e P deve ser fe-
chada.                                                                          Respostas: a) 3,0 N; b) 7 bloquinhos

                                                                                10 (Unirio-RJ) Uma caixa vazia, pesando 20 N, é colocada sobre
                                                    45º
                                        T                  P                   uma superfície horizontal. Ao atuar sobre ela uma força também
                                                                               horizontal, ela começa a se movimentar quando a intensidade da
                                                                               força supera 5,0 N; cheia de água, isso acontece quando a intensi-
                                                                               dade da força supera 30 N. Qual a massa de água contida na caixa?
                                            F                                  (Admita g = 10 m/s2.)
150 PARTE II – DINÂMICA


Resolução:                                                                 É importante notar que a força de atrito tem sentido oposto ao da
(I) Caixa vazia:                                                           tendência de escorregamento do bloco, porém o mesmo sentido
    F1 = Fat ⇒ F1 = µe P1                                                  do movimento do caminhão.
            d1
                                                                           A força que acelera o bloco em relação à pista é Fat ; logo, aplicando
    5,0 = µe 20 ⇒            µe = 0,25                                     a 2a Lei de Newton:
(II) Caixa com água:                                                                                           Fat = M a      (I)
     F2 = Fat ⇒ F2 = µe (P1 + mg)                                          O bloco está em equilíbrio na vertical; logo:
                                                                                                        Fn = P ⇒ Fn = M g (II)
            d2

    30 = 0,25 (20 + m 10)
                                                                           Como o bloco não deve escorregar, o atrito entre ele e a carroceria
      m = 10 kg                                                            é estático. Assim:
                                                                                                    Fat р Fat ⇒ Fat р μ Fn (III)
                                                                                                              d
 Resposta: 10 kg                                                           Substituindo (I) e (II) em (III), segue que:
                                                                                                    MaрμMg ⇒ aрμg
 11 Sobre um plano inclinado, de ângulo θ variável, apoia-se                                                      amáx = μ g
uma caixa de pequenas dimensões, conforme sugere o esquema
                                                                           Nota:
a seguir.
                                                                           • Observe que a aceleração calculada independe da massa do bloco.


                                                                            13 Na situação da figura, os blocos A e B têm massas m = 4,0 kg e
                                                                                                                                    A
                                                                          mB = 6,0 kg. A aceleração da gravidade no local tem módulo 10 m/s2,
                                                                          o atrito entre A e o plano horizontal de apoio é desprezível e o coe-
                                                                          ficiente de atrito estático entre B e A vale μe = 0,50.
                                                                                                      B
                                               θ

                                                                                                  A
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o plano                                                  F
de apoio vale 1,0, qual o máximo valor de θ para que a caixa ainda
permaneça em repouso?
                                                                          Desprezando-se o efeito do ar, qual a máxima intensidade da força F,
Resolução:                                                                paralela ao plano, de modo que B não se movimente em relação a A?
Pt = Fat ⇒ P sen θ = µe P cos θ
      d


tg θ = µe = 1 ⇒           θ = 45°                                         Resolução:
                                                                          (I) 2a Lei de Newton para o bloco B:
 Resposta: 45°                                                                                                                 amáx
                                                                                                      Fat          B
                                                                                                          d



 12 E.R. Na figura, representa-se um caminhão inicialmente em             Fat = mB amáx
                                                                            d

 repouso sobre uma pista plana e horizontal. Na sua carroceria, apoia-    µe mB g = mB amáx ⇒ amáx = µe g
 -se um bloco de massa M.
                                                                          amáx = 0,50 · 10 (m/s2) ⇒           amáx = 5,0 m/s2
                                    M
                                                                          (II) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B:
                                                                          Fmáx = (ma + mb) amáx ⇒ Fmáx = (4,0 + 6,0) (5,0) (N)
                                                                           Fmáx = 50 N
 Sendo μ o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria
 e g o valor da aceleração da gravidade local, determine a máxima               Resposta: 144 s
 intensidade da aceleração que o caminhão pode adquirir sem que o
 bloco escorregue.                                                          14 Considere duas caixas, A e B, de massas respectivamente iguais
                                                                          a 10 kg e 40 kg, apoiadas sobre a carroceria de um caminhão que trafe-
 Resolução:                                                               ga em uma estrada reta, plana e horizontal. No local, a influência do ar
 Na figura ao lado, estão repre-                                          é desprezível. Os coeficientes de atrito estático entre A e B e a carroce-
 sentadas as forças que agem no                        Fn
                                                                          ria valem μA = 0,35 e μB = 0,30 e, no local, g = 10 m/s2.
 bloco:
 P : força da gravidade (peso);                                  a
                                                   M
                                         Fat                                                          B
 Fn : reação normal;
                                                                                                                  A
 Fat : força de atrito.                                P
Tópico 2 – Atrito entre sólidos   151


Para que nenhuma das caixas escorregue, a maior aceleração (ou desa-      16 Na figura, uma caixa de peso igual a 30 kgf é mantida em equilí-
celeração) permitida ao caminhão tem intensidade igual a:                brio, na iminência de deslizar, comprimida contra uma parede vertical
a) 3,5 m/s2;           c) 2,5 m/s2;         e) 1,5 m/s2.                 por uma força horizontal F .
           2                     2
b) 3,0 m/s ;           d) 2,0 m/s ;

Resolução:
A máxima aceleração (ou desaceleração) permitida para que não haja
escorregamento de qualquer caixa é dada por:
                                                                                                          F
 amáx = μ g     (vide ER 12)
Caixa A: aA = μA g = 0,35 · 10 ⇒ aA = 3,5 m/s2
Caixa B: aB = μB g = 0,30 · 10 ⇒ aB = 3,0 m/s2
Optamos pelo menor valor, 3,0 m/s2, uma vez que, quando a caixa B
estiver na iminência de escorregar, a caixa A ainda não estará nessa
situação.                                                                Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a parede é
                                                                         igual a 0,75, determine, em kgf:
 Resposta: b
                                                                         a) a intensidade de F ;
                                                                         b) a intensidade da força de contato que a parede aplica na caixa.
 15 E.R. Um homem comprime uma caixa contra uma parede ver-
 tical, aplicando-lhe com o dedo uma força de intensidade F perpen-      Resolução:
 dicular à parede, conforme representa a figura.                         a)

                                                                                                                       Fat
                                                                                                                         d




                                                                                                     F                       Fn




 Sendo m a massa da caixa e g a intensidade da aceleração da gravi-
 dade e desprezando o atrito entre o dedo e a caixa, responda: qual                                                P
 é o menor coeficiente de atrito estático entre a caixa e a parede que
                                                                         Equilíbrio na vertical:
 impede o seu escorregamento?
                                                                         Fat = P ⇒ Fat = 30 kgf
                                                                              d            d

 Resolução:                                                              Equilíbrio na horizontal:
 Na figura abaixo, representamos as forças que agem na caixa:                          Fat
                                                                         F = Fn ⇒ F = d
                                                                                        μe
                                    Fat
                                                                         F=    30 (kgf) ⇒ F = 40 kgf
                            Fn                   F
                                                                              0,75

                                          P                              b)

 F : força aplicada pelo homem;
 P : força da gravidade (peso);
 Fn : reação normal da parede;
                                                                                                                 C
 Fat : força de atrito.                                                                                                           Fat
                                                                                                                                    d

 Se não há escorregamento da caixa em relação à parede, o atrito é
 estático. Logo:
                                Fat р μe Fn (I)
                                                                                                              Fn
 Equilíbrio na horizontal: Fn = F                   (II)
 Equilíbrio na vertical: Fat = P ⇒ Fat = m g (III)                       Teorema de Pitágoras:
 Substituindo (II) e (III) em (I), vem: m g р μe F.                      C2 = F2at + F2n
                                                                                  d
                                    μe у m g                             C2 = (30)2 + (40)2
                                          F
                                                                              C = 50 kgf
                             Donde:           μe = m g
                                                mín
                                                    F                         Respostas: a) 40 kgf ; b) 50 kgf
152 PARTE II – DINÂMICA


 17 (Unifesp-SP) Uma bonequinha está presa, por um ímã a ela cola-          18 Na situação esquematizada na figura abaixo, um trator arrasta
do, à porta vertical de uma geladeira.                                    uma tora cilíndrica de 4,0 · 103 N de peso sobre o solo plano e horizon-
a) Desenhe esquematicamente essa bonequinha, representando e              tal. Se a velocidade vetorial do trator é constante e a força de tração
   nomeando as forças que atuam sobre ela.                                exercida sobre a tora vale 2,0 · 103 N, qual é o coeficiente de atrito ciné-
b) Sendo m = 20 g a massa total da bonequinha com o ímã e μ = 0,50        tico entre a tora e o solo?
   o coeficiente de atrito estático entre o ímã e a porta da geladeira,
                                                                                         Movimento
   qual deve ser o menor valor da força magnética entre o ímã e a
   geladeira para que a bonequinha não caia?
   Dado: g = 10 m/s2.

Resolução:
a)
                                                   Fat
                                                                          Resolução:
                                                                          MRU: Fat = T ⇒ μc Fn = T
                                                                                   c
                                                                                          T                –3
                                                                          μc P = T ⇒ μc =     = 20 · 10 3
                             Fm
                                                                                          P        4,0 · 10
                                                                            μc = 0,50
   em que:
   P = força peso                         Fn
                                                                           Resposta: 0,50
   Fat = força de atrito
   Fm = força magnética                                                     19 Na situação esquematizada abaixo, um bloco de peso igual a
   Fn = força normal da parede                           P                40 N está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. Os coe-
                                                                          ficientes de atrito estático e dinâmico entre a base do bloco e a su-
b) Equilíbrio na horizontal:
                                                                          perfície da mesa valem, respectivamente, 0,30 e 0,25. Admita que seja
   Fn = Fm                          (I)
                                                                          aplicada no bloco uma força horizontal F .
   Equilíbrio na vertical:
   Fat = P                         (II)                                                                 F

   Para que a bonequinha não caia, o atrito entre o ímã e a porta da
   geladeira deve ser do tipo estático:
   Fat р Fat ⇒ Fat р µ Fn         (III)                                   Adotando g = 10 m/s2, indique os va-
                                                                                                                       F (N)      Fat (N)   a (m/s2)
           d                                                              lores que preenchem as lacunas da
   Substituindo (I) e (II) em (III), vem:                                 tabela ao lado com as intensidades             10
   P р µ Fm ⇒ m g р µ Fm                                                  da força de atrito e da aceleração do          12
                                                                          bloco correspondentes às magnitu-
         m·g                 20 · 10–3 · 10                               des definidas para a força F .                 30
   Fm у        ⇒ Fm у              0,50     (N)
           µ
                                                                          Resolução:
   Fm у 0,40 N ⇒           Fm = 0,40 N                                    Fat = μc Fn = μc P
                              mín                                            d
                                                                          Fat = 0,30 · 40 (N) ⇒ Fat = 12 N
                                                                             d                     d
 Respostas: a)                                                            Fat = μc Fn = μc P
                                         Fat                                 c
                                                                          Fat = 0,25 · 40 (N) ⇒ Fat = 10 N
                                                                            c                       c

                                                                          O bloco entrará em movimento se a intensidade de F superar 12 N.
                                                                          No caso de iniciar-se o escorregamento, a força de atrito será do tipo
                     Fm                                                   dinâmico, com intensidade igual a 10 N.
                                                                            F = 10 N: Repouso
                                    Fn
                                                                           Fat = F = 10 N e a = 0
                                                                            F = 12 N: Repouso
                                                                           Fat = F = 12 N e a = 0
                                               P                           F = 30 N: MUV = 0
                                                                            F – Fat = m a
                                                                                   c
                   P = força da gravidade (peso)                                     40
                                                                          30 – 10 =     a ⇒ a = 5,0 m/s2
                   Fat = força de atrito                                             10
                   Fm = força magnética                                              Respostas:
                   Fn = reação normal da parede                                 F (N) Fat (N) a (m/s2)
                   C = Fat + Fn é a força total de contato entre a               10      10          0
                        bonequinha e a porta da geladeira.                       12      12          0
               b) 0,40 N                                                         30      10         5,0
Tópico 2 – Atrito entre sólidos   153


 20 E.R. Uma caixa de fósforos é lançada sobre uma mesa ho-                b) MUV:
 rizontal com velocidade de 2,0 m/s, parando depois de percorrer              Equação de Torricelli:
 2,0 m. No local do experimento, a influência do ar é desprezível. Ado-        V2 = V2 + 2α BC
                                                                               C    B

 tando para o campo gravitacional módulo igual a 10 m/s2, determine           0 = (20)2 + 2 (–2,0) BC
 o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a mesa.                     Donde:             BC = 100 m
 Resolução:                                                                   VC = VB + α t ⇒ 0 = 20 – 2,0 t
 A figura seguinte ilustra o evento descrito no enunciado:                                        t = 10 s
                                                                              Donde:
                                      2,0 m
                                                                             Respostas: a) 2,0 m/s2; b) 100 m; 10 s

                        Fat                                                 22 Os blocos A e B da figura seguinte têm massas respectivamente
                            c

                                                                           iguais a 2,0 kg e 3,0 kg e estão sendo acelerados horizontalmente sob
                                                                           a ação de uma força F de intensidade de 50 N, paralela ao plano do
                                                                           movimento.
 Inicialmente, devemos calcular o módulo da aceleração de retarda-         Sabendo que o coeficiente de atrito de escorregamento entre os blo-
 mento da caixa de fósforos. Para isso, aplicamos a Equação de Tor-        cos e o plano de apoio vale μ = 0,60, que g = 10 m/s2 e que o efeito do
 ricelli:                                                                  ar é desprezível, calcule:
                               v2 = v2 + 2α d
                                       0                                                                              a
 Como v = 0, v0 = 2,0 m/s e d = 2,0 m, vem:
                  0 = (2,0)2 + 2 α 2,0 ⇒ α = –1,0 m/s2                                                  F                  B
                                                                                                                  A
                             a = | α | = 1,0 m/s2
 A força resultante responsável pela freada da caixa é a força de atrito   a) o módulo da aceleração do sistema;
 cinético. Pela 2a Lei de Newton, podemos escrever:                        b) a intensidade da força de interação trocada entre os blocos na re-
                                  Fat = m a       (I)                         gião de contato.
                                     c
 Entretanto:
                         Fat = μc Fn = μc m g (II)                         Resolução:
                              c
                                                                           a) Fat = μ Fn = μ mA g
 Comparando (I) e (II), calculamos, finalmente, o coeficiente de atrito          A      A
 cinético μc:                                                                 Fat = 0,60 · 2,0 · 10 (N)
                                                                                    A
                                                    2
                μc m g = m a ⇒ μc = a = 1,0 m/s2                                        FatA = 12 N
                                         g 10 m/s
                                                                              Fat = μ Fn = μ mB g
                                                                                 B      B
                                       μc = 0,10                              Fat = 0,60 · 3,0 · 10 (N)
                                                                                    B

                                                                                        FatB = 18 N
 21 Na figura, o esquiador parte do repouso do ponto A, passa por               a
                                                                              2 Lei de Newton para o conjunto A + B:
B com velocidade de 20 m/s e para no ponto C:                                 F – Fat – Fat = (mA + mB) a
                                                                                     A     B
                                                                              50 – 12 – 18 = (2,0 + 3,0) a
                                                                              Donde :            a = 4,0 m/s2
            A                                                              b) 2a Lei de Newton para o bloco B:
                                                                              FAB – Fat = mB a
                                                                                       B
                                                                              FAB – 18 = 3,0 · 4,0
                                  B                   C                             FAB = 30 N

O trecho BC é plano, reto e horizontal e oferece aos esquis um coe-         Respostas: a) 4,0 m/s2; b) 30 N
ficiente de atrito cinético de valor 0,20. Admitindo desprezível a in-
fluência do ar e adotando g = 10 m/s2, determine:
                                                                            23 (Unesp-SP) A figura ilusta um bloco A, de massa m = 2,0 kg,
a) a intensidade da aceleração de retardamento do esquiador no tre-                                                                     A
    cho BC;                                                                atado a um bloco B, de massa mB = 1,0 kg, por um fio inextensível de
b) a distância percorrida por ele de B até C e o intervalo de tempo        massa desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre cada bloco e a
    gasto nesse percurso.                                                  mesa é μc. Uma força de intensidade F = 18,0 N é aplicada ao bloco B, fa-
                                                                           zendo com que os dois blocos se desloquem com velocidade constante.
Resolução:                                                                                                   A                 B
                                                                                                                                     F
a) 2a Lei de Newton:                                                                                         mA                mB
   Fat = m a ⇒ μc Fn = m a
      c
   μc m g = m a ⇒ a = μc g                                                 Considerando-se g = 10,0 m/s2, calcule:
                                  a = 2,0 m/s2                             a) o coeficiente de atrito μc;
   a = 0,20 · 10 (m/s2) ⇒                                                  b) a intensidade da tração T no fio.
154 PARTE II – DINÂMICA


Resolução:                                                                 O diagrama que representa corretamente as orientações das forças
a) MRU do conjunto A + B:                                                  de atrito estático que o solo exerce sobre as rodas é:
   Fat + Fat = F
      A      B
   μc mA g + μc mB g = F                                                  a)                                         c)
   μc (2,0 · 10,0 + 10,0 · 10,0) = 18,0
   Donde : μc = 0,60                                                      b)                                         d)
b) MRU do bloco A:
   T = Fat ⇒ T = μc mA g
          A                                                                Resolução:
   T = 0,60 · 2,0 · 10,0 (N)
                                                                           A roda motriz (com tração) empurra o chão para trás e recebe des-
      T = 12,0 N                                                           te, pelo atrito, uma força dirigida para frente (Fat ).
                                                                           A roda parasita (sem tração) é arrastada para frente juntamente com
 Respostas: a) 0,60 ; b) 12,0 N                                            o veículo e raspa o chão também para a frente, recebendo deste, pelo
                                                                           atrito, uma força dirigida para trás (fat ).
                                                                                     Roda parasita                        Roda motriz
 24 O corpo A, de 5,0 kg de massa, está apoiado em um plano hori-
zontal, preso a uma corda que passa por uma roldana de massa e atrito
desprezíveis e que sustenta em sua extremidade o corpo B, de 3,0 kg de
massa. Nessas condições, o sistema apresenta movimento uniforme. Ado-
tando g = 10 m/s2 e desprezando a influência do ar, determine:

                                   A
                                                                               fat                                                      Fat

                                                                           É importante destacar que, no caso de um movimento acelerado:
                                                                                                        Fat >> fat

                                                   B                       26 (ESPCEX-SP – mod.) A figura abaixo representa um automóvel
                                                                          em movimento retilíneo e acelerado da esquerda para a direita. Os ve-
                                                                          tores desenhados junto às rodas representam os sentidos das forças de
a) o coeficiente de atrito cinético entre o corpo A e o plano de apoio;
                                                                          atrito exercidas pelo chão sobre as rodas.
b) a intensidade da aceleração do sistema se colocarmos sobre o cor-
   po B uma massa de 2,0 kg.

Resolução:
a) MRU de B: T = PB = mB g
   T = 3,0 · 10 (N) ⇒ T = 30 N
   MRU de A: Fat = T                                                      Sendo assim, pode-se afirmar que o automóvel:
                   c
   μc mA g = T ⇒ μc 5,0 · 10 = 30                                         a) tem tração apenas nas rodas traseiras.
                                                                          b) tem tração nas quatro rodas.
     μc = 0,60                                                            c) tem tração apenas nas rodas dianteiras.
b) 2a Lei de Newton para o sistema A + B:                                 d) move-se em ponto morto, isto é, sem que nenhuma das rodas seja
   PB + p – Fat = (mA + mB +m) a                                             tracionada.
               c
                                                                          e) está em alta velocidade.
   3,0 · 10 + 2,0 · 10 – 0,60 · 5,0 · 10 = 10 a
   Donde :       a = 2,0 m/s2                                              Resposta: a

 Respostas: a) 0,60; b) 2,0 m/s2
                                                                           27 Na figura, está representado o limpador de parabrisa de um car-
                                                                          ro. O aparelho está funcionando e tanto sua borracha quanto o vidro
 25 E.R. (Uerj) Considere um carro de tração dianteira que acelera
                                                                          sobre o qual ela desliza podem ser considerados homogêneos.
 no sentido indicado na figura abaixo. O motor é capaz de impor às        Admitindo que a compressão do limpador sobre o parabrisa seja uni-
 rodas de tração, por meio de um torque, um determinado sentido de        forme em toda a extensão AB, podemos afirmar que:
 rotação. Só há movimento quando há atrito, pois, na sua ausência, as
 rodas de tração patinam sobre o solo, como acontece em um terreno                                                   B
 enlameado.

                                                                                                                 A


                                                                                                     Posição 1       Posição 2
Tópico 2 – Atrito entre sólidos   155


a) da posição 1 à posição 2, a velocidade angular média da extremida-                                     Fat = μc Fn = μc m g
                                                                                                              c
   de B é maior que a da extremidade A;
b) da posição 1 à posição 2, a aceleração angular média da extremida-                           Fat = 0,40 · 2,0 · 10 (N) ⇒      Fat = 8,0 N
                                                                                                  c                                c
   de B é menor que a da extremidade A;
                                                                                                                     a
c) da posição 1 à posição 2, a velocidade linear média da extremidade
   B é igual à da extremidade A;
d) a força de atrito na região próxima da extremidade A é mais intensa                                                            F
   que a força de atrito na região próxima da extremidade B;                                          Fatc
e) a borracha próxima da extremidade B desgasta-se mais rapidamen-
   te que a borracha próxima da extremidade A.                                   A 2a Lei de Newton, aplicada ao bloco, permite escrever que:
                                                                                                F – Fat = m a ⇒ 16 – 8,0 = 2,0 · a
                                                                                                          c
Resolução:
a) ωm = Δ ᐉ e ωm = ωm                                                                                         a = 4,0 m/s2
          Δt           B     A


b) γ m =  Δω eγ =γ =0
          Δt        mB     mA                                                29 Um homem empurra horizontalmente um cofre de massa
c) vm = Δ s e vm > vm                                                       m = 100 kg sobre um plano horizontal, conforme indica a figura.
          Δt         B     A

d) Fat = μc Fn e Fat = Fat
     c            cB           cA

e) Na região da extremidade B, a borracha desgasta-se mais rapida-
   mente devido à maior distância percorrida durante um determina-
   do tempo de utilização do limpador.

 Resposta: e

                                                                            O cofre encontra-se inicialmente em repouso e sabe-se que os coefi-
 28 E.R. Um bloco de 2,0 kg de massa repousa sobre um plano
                                                                            cientes de atrito estático e cinético entre ele e o plano de apoio
 horizontal quando lhe é aplicada uma força F , paralela ao plano, con-     valem, respectivamente, 0,820 e 0,450. Considerando g = 10 m/s2,
 forme representa a figura abaixo:                                          calcule:
                                                                            a) a intensidade da força de atrito recebida pelo cofre se a força apli-
                                                  F                            cada pelo homem valer 8,00 · 102 N;
                                                                            b) o módulo da aceleração do cofre se a força aplicada pelo homem
                                                                               valer 8,50 · 102 N.

 Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano de   Resolução:
 apoio valem, respectivamente, 0,50 e 0,40 e, no local, a aceleração da     a) Fat = µe Fn = µe m g
                                                                                 d

 gravidade tem módulo 10 m/s2. Calcule:                                        Fatd = 0,820 · 100 · 10 (N) ⇒       Fat = 8,20 · 102 N
                                                                                                                      d
 a) a intensidade da força de atrito recebida pelo bloco quando
    | F | = 9,0 N;                                                             Com F = 8,00 · 102 N, o homem não consegue vencer o atrito de
 b) o módulo da aceleração do bloco quando | F | = 16 N.                       destaque e, por isso, o cofre permanece em repouso. Logo:
    Despreze o efeito do ar.                                                     Fat = F = 8,00 · 102 N
 Resolução:
 Devemos, inicialmente, calcular a intensidade da força de atrito de        b) Fat = µc Fn = µc m g
                                                                                 c

 destaque entre o bloco e o plano de apoio:                                    Fat = 0,450 · 100 · 10 (N) ⇒         Fat = 4,50 · 102 N
                                                                                 c                                    c

                   Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P = μe m g                           2a Lei de Newton:
                           d               d

 Sendo μe = 0,50, m = 2,0 kg e g = 10 m/s2, vem:                               F’ – Fat = m · a ⇒ 8,50 · 102 – 4,50 · 102 = 100 · a ⇒
                                                                                       c

                                                                               ⇒ 4,00 · 102 = 100 · a
                 Fat = 0,50 · 2,0 · 10 (N) ⇒          Fat = 10 N
                       d                                d                       a = 4,00 m/s2

 a) A força F , apresentando intensidade 9,0 N, é insuficiente para          Respostas: a) 8,00 · 102 N; b) 4,00 m/s2
    vencer a força de atrito de destaque (10 N). Por isso, o bloco per-
    manece em repouso e, nesse caso, a força de atrito que ele recebe
                                                                             30 E.R. No esquema seguinte, representa-se um livro inicial-
    equilibra a força F , tendo intensidade 9,0 N:
                                                                             mente em repouso sobre uma mesa horizontal, sendo empurrado
                                    Fat = 9,0 N                              horizontalmente por um homem; F é a força que o homem aplica
                                                                             no livro e Fat é a força de atrito exercida pela mesa sobre o livro. Re-
 b) Com | F | = 16 N, o bloco adquire movimento, sendo acelerado             presenta-se, também, como varia a intensidade de Fat em função da
    para a direita. Nesse caso, o atrito é cinético e sua intensidade é      intensidade de F . No local, a influência do ar é desprezível e adota-se
    dada por:                                                                |g | = 10 m/s2.
156 PARTE II – DINÂMICA


                                          F                                 Admitindo que o fio e a polia sejam ideais e desprezando a influência
                                                    5,0 kg         Fat      do ar:
                                                                            a) esboce o gráfico da intensidade da força de atrito recebida pela caixa
           Fat (N)                                                             em função da intensidade da força exercida pelo homem na corda;
                10                                                          b) calcule a massa da caixa e o coeficiente de atrito entre ela e o plano
               8,0
                                                                               de apoio (g = 10 m/s2).

                                                                            Resolução:
                                                                            a) A força de atrito estático cresce linearmente de 0 a 100 N, quando a
                 0                 10                     20 F (N)             caixa inicia seu escorregamento. A partir daí o atrito se torna cinéti-
 Com base no gráfico e nos demais dados, determine:                            co, com valor constante de 100 N.
 a) os coeficientes de atrito estático e cinético entre o livro e a mesa;
 b) o módulo da aceleração do livro quando F = 18 N.                                   Fat (N)
                                                                                          100
 Resolução:
 a) • Determinação do coeficiente de atrito estático (μe):
      Observando o gráfico, percebemos que a força de atrito máxi-
      ma (de destaque) que o livro recebe da mesa vale Fat = 10 N. A
                                                          d
      partir disso, podemos escrever que:
               Fat = μe Fn = μe m g ⇒ 10 = μe · 5,0 · 10                                      0                          100             150 F (N)
                 d

                                 μe = 0,20
                                                                            b) 2a Lei de Newton para a caixa no caso em que F = 150 N, Fat = 100 N
    • Determinação do coeficiente de atrito cinético (μc):                     e a = 1,0 m/s2:
      Observando o gráfico, notamos que a força de atrito cinéti-              F – Fat = m a ⇒ 150 – 100 = m 1,0
      co que age no livro depois de iniciado seu movimento vale
      Fat = 8,0 N.                                                               m = 50 kg
         c
      Dessa conclusão, segue que:
                                                                               Fat = µ Fn ⇒ Fat = µ m g
                Fat = μc Fn = μc m g ⇒ 8,0 = μc · 5,0 · 10
                 c

                                 μc = 0,16                                     100 = µ 50 · 10 ⇒               µ = 0,20

 b) Calculamos o módulo da aceleração do livro aplicando a ele a 2a          Respostas: a)
    Lei de Newton:
                                                                                           Fat (N)
                      F                                     a                                100
                               5,0 kg         Fat
                                                c




                      F – Fat = m a ⇒ 18 – 8,0 = 5,0 a
                           c                                                                      0                100     150   F (N)
                               a = 2,0 m/s2
                                                                                         b) 50 kg e 0,20

 31 No arranjo experimental da figura, o homem puxa a corda para             32 E.R. Nas duas situações esquematizadas abaixo, uma mesma
a esquerda e, com isso, consegue acelerar horizontalmente a caixa            caixa de peso 20 N deverá ser arrastada sobre o solo plano e hori-
para a direita:                                                              zontal em movimento retilíneo e uniforme. O coeficiente de atrito
                                Os dois ramos do                             cinético entre a caixa e a superfície de apoio vale 0,50.
                                fio são horizontais
                                                                                                      F1                                 F2
                                                                                                           θ                         θ



O módulo de aceleração da caixa varia com a intensidade da força que
o homem aplica na corda, conforme o gráfico.                                 Dados: sen θ = 0,80 e cos θ = 0,60.
             a (m/s ) 2                                                      Desprezando a influência do ar, calcule as intensidades das forças F 1
                                                                             e F 2 que satisfazem à condição citada.
                     1,0
                                                                             Resolução:
                                                                             Decompondo F 1 nas direções horizontal e vertical, obtemos, respec-
                      0                 100         150    F (N)             tivamente, as componentes F1 e F1 , de intensidades dadas por:
                                                                                                                    x      y
Tópico 2 – Atrito entre sólidos     157


    F1x = F1 cos θ e F1y = F1 sen θ                           Fn
                                                                                                     (II) Cálculo de Fn: Fn + Fv = P
                                                                          F1           F1
                                                                  1           y
                                                                                                          Fn + F sen θ = P ⇒ Fn + 10 · 0,60 = 1,0 · 10
                                                                                            θ
                                            Fat                                                                Fn = 4,0 N
                                              c1                                        F1
                                                                                            x

                                                                                                     (III) Cálculo da aceleração:
                                                                  P                                        Fx – Fat = m a ⇒ F cos θ – µcFn = m a
                                                                                                                   c

                                                                                                            10 · 0,80 – 0,25 · 4,0 = 1,0 a
 Equilíbrio na vertical:              Fn + F1 sen θ = P
                                        1
                                                                                                               a = 7,0 m/s2
                                      Fn + 0,80F1 = 20
                                        1
                                      Fn = 20 – 0,80F1                                                Resposta: a
                                        1
 Equilíbrio na horizontal:            F1 cos θ = μc Fn
                                                       1
                                      0,60 F1 = 0,50 (20 – 0,80 F1)                                    34 (Efomm-RJ) Os blocos A e B representados na figura possuem
                                       F1 = 10 N                                                     massas de 3,0 kg e 2,0 kg respectivamente. A superfície horizontal
                                                                                                     onde eles se deslocam apresenta um coeficiente de atrito cinético
                                                                                                     igual a 0,30. F 1 e F 2 são forças horizontais que atuam nos blocos.
 Decompondo, agora, F2 nas direções horizontal e vertical, obtemos, res-
 pectivamente, as componentes F2 e F2 , de intensidades dadas por:                                                          F1
                                        x     y                                                                                        A                          F2
      F2x= F2 cos θ e F2y = F2 sen θ                                                                                   (30 N)                     B
                                                                                                                                                                (10 N)
                                                                              Fn
                                                                                   2
                                                                  F2
                                                         F2           y
                                                                                                     Adotando g = 10 m/s2 e desprezando o efeito do ar, determine:
                                                    θ                                                a) o módulo da aceleração do sistema;
                                                                                        Fat
                                                   F2
                                                     x
                                                                                                c2
                                                                                                     b) a intensidade da força de contato entre A e B.
                                                                               P                     Resolução:
                                                                                                     Cálculo das forças de atrito nos blocos A e B:
 Equilíbrio na vertical:              Fn = P + F2 sen θ                                              Fat = µ mA g ⇒ Fat = 0,30 · 3,0 · 10 = 9,0 N
                                        2

                                                                                                     Fat = µ mB g ⇒ Fat = 0,30 · 2,0 · 10 = 6,0 N
                                                                                                        A                        A
                                      Fn = 20 + 0,80F2
                                        2                                                               B                        B
 Equilíbrio na horizontal:            F2 cos θ = μc Fn                                               a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B:
                                                              2
                                      0,60 F2 = 0,50 (20 + 0,80F2)                                        F1 – F2 – (Fat + Fat ) = (mA + mB) a
                                                                                                                        A     B

                                                                                                          30 – 10 – (9,0 + 6,0) = (3,0 + 2,0) a
                                       F2 = 50 N
                                                                                                               a = 1,0 m/s2

 33 Considere o esquema seguinte, em que se representa um bloco                                      b) 2a Lei de Newton para o bloco B:
                                                                                                        FAB – F2 – Fat = mB a ⇒ FAB – 10 – 6,0 = 2,0 · 1,0
de 1,0 kg de massa apoiado sobre um plano horizontal. O coeficiente                                                         B

de atrito de arrastamento entre a base do bloco e a superfície de apoio                                        FAB = 18 N
vale 0,25 e a aceleração da gravidade, no local, tem módulo 10 m/s2.
                                                             F                                         Respostas: a) 1,0 m/s2; b) 18 N

                                                         θ                                             35 Sobre o plano horizontal da figura, apoiam-se os blocos A e B, in-
                                                                                                     terligados por um fio inextensível e de massa desprezível. O coeficiente
                                                                                                     de atrito estático entre os blocos e o plano vale 0,60 e o cinético, 0,50. No
A força F , cuja intensidade é de 10 N, forma com a direção horizontal                               local, a influência do ar é desprezível e adota-se |g | = 10 m/s2.
um ângulo θ constante, tal que sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80. Desprezan-                                                      3,0 kg
do a influência do ar, aponte a alternativa que traz o valor correto da                                                                         2,0 kg
aceleração do bloco:                                                                                                             B                          F
                                                                                                                                                  A
a) 7,0 m/s2;             c) 4,0 m/s2;          e) 1,5 m/s2.
            2                      2
b) 5,5 m/s ;             d) 2,5 m/s ;
                                                                                                     Sabendo que a força F é horizontal e que sua intensidade vale 50 N,
Resolução:                                                                                           calcule:
(I) Esquema das forças:                                                                              a) o módulo da aceleração do sistema;
                                                                                                     b) a intensidade da força de tração no fio.
                              Fn              Fy                          F
                                                                                                     Resolução:
                                                                                                     Fat = µd mA g = 0,60 · 2,0 · 10 = 12 N
            Fat                                                               Fx                        d
                                                                                                        A
               c                                                                                     Fat = µd mB g = 0,60 · 3,0 · 10 = 18 N
                                                                                                        d
                                                                                                        B

                              P                                                                      Fat = 12 + 18 = 30 N
                                                                                                       dA, B
158 PARTE II – DINÂMICA


Como F Ͼ Fat (50 N Ͼ 30 N), os blocos são arrastados sobre o plano de        37 (Vunesp-SP) Dois blocos, A e B, ambos de massa m, estão li-
              d
apoio e o atrito é do tipo cinético.                                       gados por um fio leve e flexível, que passa por uma polia de massa
Fat = µc mA g = 0,50 · 2,0 · 10 = 10 N                                     desprezível, que gira sem atrito. O bloco A está apoiado sobre um
   c
   A

Fat = µc mB g = 0,50 · 3,0 · 10 = 15 N                                     carrinho de massa 4 m, que pode se deslocar sobre a superfície ho-
   c
   B

Fat = 10 + 15 = 25 N                                                       rizontal sem encontrar qualquer resistência. A figura mostra a situa-
  cA, B                                                                    ção descrita.
a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B:
                                                                                                A
   F – Fat = (mA + mB) a
               cA, B
                                                                                                m
       50 – 25 = (2,0 + 3,0) a
                                                                                                4m
          a = 5,0 m/s2

b) 2a Lei de Newton para o bloco B:
   T – Fat = mB a
               cB                                                                                                              m      B
       T – 15 = 3,0 · 5,0
          T = 30 N
                                                                           Quando o conjunto é liberado, B desce e A se desloca com atrito cons-
 Respostas: a) 5,0 m/s2; b) 30 N                                           tante sobre o carrinho, acelerando-o. Sabendo que o coeficiente de
                                                                           atrito dinâmico entre A e o carrinho vale 0,20 e fazendo g = 10 m/s2,
  36 (Fuvest-SP) Um vagão de carga, transportando sobre seu piso           determine:
                                                                           a) o módulo da aceleração do carrinho;
plano uma caixa de massa m, desloca-se com velocidade constante v0
                                                                           b) o módulo da aceleração do sistema constituído por A e B.
sobre trilhos retilíneos e horizontais. Em dado instante, o vagão choca-
-se com uma pedra sobre os trilhos e para instantaneamente. A caixa
                                                                           Resolução:
começa, então, a deslizar sobre o piso, parando antes de atingir a ex-
                                                                           a) 2a Lei de Newton para o carrinho:
tremidade do vagão. Sabe-se que o coeficiente de atrito entre a caixa
                                                                              Fat = 4 m ac
e o piso do vagão vale μ e a aceleração da gravidade tem intensidade
                                                                              µ m g = 4 m ac
igual a g.
                                                                              0,20 · 10 = 4 ac
                       m
                                                 v0                            ac = 0,50 m/s2

                                                                                                       Fat
                                                                                                                        ac
a) Durante quanto tempo a caixa desliza?                                                               4m

b) Qual a distância percorrida pela caixa sobre o vagão?

Resolução:                                                                 b) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B:
a) (I) Cálculo da aceleração de retardamento da caixa:                        PB – Fat = (mA + mB) a ⇒ m g – µ m g = 2 m a
   F = Fat ⇒ m a = µ m g
                                                                              10 – 0,20 · 10 = 2 a ⇒     a = 4,0 m/s2
          a=µ g
                                      a
                                                                            Respostas: a) 0,50 m/s2; b) 4,0 m/s2

                                                  v                         38 E.R. (Cesesp-PE) Uma fina corrente metálica encontra-se
                                          Fat
                                                                            parcialmente dependurada de uma mesa, como ilustra a figura.

       (II) Cálculo do intervalo de tempo de deslizamento:
       MUV: v = v0 + α t ⇒ 0 = v0 – µ g t
                v0
          t=
               µ g

b) v2 = v2 + 2α Δs ⇒ 0 = v2 + 2 (–µ g) d                                    Se o coeficiente de atrito estático entre a corrente e a mesa for μ,
         0                0
                                                                            qual é a fração mínima do comprimento da corrente que deve ser
                 v2
                  0                                                         mantida sobre a mesa para que a corrente não escorregue?
          d=
               2 µ g
                                                                            Resolução:
                        v0        2
                                  v                                         Admitamos a corrente na iminência de escorregar. Nesse caso, a
                                  0
 Respostas: a)             ; b)                                             força de atrito recebida pelo trecho apoiado na mesa é igual à força
                       µ g      2 µ g
                                                                            de atrito de destaque.
Tópico 2 – Atrito entre sólidos     159


                           Fat                     x                           40 Na figura seguinte, a superfície S é horizontal, a intensidade de
                                                                              F é 40 N, o coeficiente de atrito de arrastamento entre o bloco A e a
                                                                              superfície S vale 0,50 e g = 10 m/s2.
                                                                                                                    B       a
                                                                                                g          2,0 kg
                                                            p
                                                                                                                        A
                                                                                                           3,0 kg           F
                                   Fat = Fat                                                    S
                                               d

                               Fat = μ Fn       (I)
                                                                              Sob a ação da força F , o sistema é acelerado horizontalmente e, nessas
 Sejam L o comprimento da corrente, M a sua massa total e m a massa           condições, o bloco B apresenta-se na iminência de escorregar em rela-
 do comprimento (L – x) pendente na vertical.                                 ção ao bloco A. Desprezando a influência do ar:
 Analisando o equilíbrio da corrente, temos:                                  a) determine o módulo da aceleração do sistema;
                         Fat = p ⇒ Fat = m g    (II)                          b) calcule o coeficiente do atrito estático entre os blocos A e B.
                   Fn = Ptotal – p ⇒ Fn = (M – m) g (III)
                                                                              Resolução:
 Substituindo (II) e (III) em (I), vem:                                       a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B:
                 m g = μ (M – m) g ⇒      m = μ (IV)                             F – Fat = (mA +mB) a
                                                                                        AB
                                        M–m                                      F – μAS (mA + mB) g = (mA + mB) a
 Como a corrente é suposta homogênea, sua densidade linear ρ é
 constante, isto é, a relação entre a massa considerada e o respectivo           40 – 0,50 5,0 10 = 5,0 a ⇒ a = 4,0 cm
 comprimento é sempre a mesma.
     m =ρe M–m =ρ                                                             b) 2a Lei de Newton para o bloco B:
    L–x           x                                                                                                 a

     Donde:
      m = M–m ⇒ m =L–x                                     (V)                                                              B       Fa
     L–x    x  M–m  x                                                                                                                 AB


     Comparando (IV) e (V), segue que:                                           Fat = mB a
                                                                                    AB
     L–x=μ ⇒ L–x=μx                                                              μAB mB g = mB a μAB 10 = 3,0
       x
                              x= 1                                                 μAB = 0,30
     L = (μ + 1) x ⇒
                              L μ+1
                                                                               Respostas: a) 3,0 m/s2 ; b) 0,30
 Observe que a fração x é a menor possível (mínima), já que a corren-
                       L
 te está na iminência de escorregar.                                           41 Um pequeno bloco é lançado para baixo ao longo de um pla-
                                                                              no com inclinação de um ângulo θ com a horizontal, passando a
 39 (UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm de comprimento            descer com velocidade constante.
e constituição homogênea, está em repouso sobre uma mesa, parte sobre
sua superfície, horizontal e fina, e parte pendente, como mostra a figura.
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a superfície da mesa
e o pano é igual a 0,50 e que o pano está na iminência de deslizar, pode-se                                                     g
afirmar que o comprimento ᐉ da parte sobre a mesa é:                                                            θ
a) 40 cm. b) 45 cm. c) 50 cm. d) 55 cm. e) 58 cm.
                                                                              Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e desprezando a in-
                                                       ᐉ                      fluência do ar, analise as proposições seguintes:
                                                                                I. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio
                                                                                   depende da área de contato entre as superfícies atritantes.
                                                                               II. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio é
                                                                                   proporcional a g.
                                                                              III. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio
Resolução:                                                                         vale tg θ.
Pano de prato em escorregamento iminente:                                     IV. A força de reação do plano de apoio sobre o bloco é vertical e diri-
Ppendente = Fat ⇒ mpendente g = µe (mtotal – mpendente) g                          gida para cima.
               d                                                              Responda mediante o código:
k (L – ᐉ) = µe k [L – (L – ᐉ)] ⇒ L – ᐉ = µe ᐉ                                 a) Somente I e III são corretas.
60 – ᐉ = 0,50ᐉ ⇒      ᐉ = 40 cm                                               b) Somente II e IV são corretas.
                                                                              c) Somente III e IV são corretas.
                                                                              d) Somente III é correta.
 Resposta: a
                                                                              e) Todas são incorretas.
160 PARTE II – DINÂMICA


Resolução:                                                                   Resolução:
(III) Correta.                                                               2a Lei de Newton para o bloco:
      Fat = PI ⇒ μc m g cos ␪ = m g sen ␪                                    F – Pt – Fat = m a
       c                                                                                 c

                                                                             F – m g sen θ – µc m g cos θ = m a
       μc = tg ␪
                                                                                            6,0               8,0
                                                                             50 – 5,0 10        – 0,40 5,0 10     = 5,0 a
(IV) Correta.                                                                                10               10
                                       C                                      a = 0,80 m/s2
                          U
                       MR                                                     Resposta: 0,80 m/s2
                              θ        P

     Se o bloco desce o plano inclinado com velocidade constante              44 Na situação esquematizada na figura, o fio e a polia são ideais;
     (MRU), a resultante das forças sobre ele deve ser nula. Por isso, a     despreza-se o efeito do ar e adota-se g = 10 m/s2.
     força de contato aplicada pelo plano inclinado ( C ) deve equili-       sen θ = 0,60
     brar a força peso ( P ).                                                cos θ = 0,80
      C +P =0 ⇒C =–P
     É importante notar que C = Fn + Fat                                                                                          g

                                       C                                                                   B
                                                                                                                              A
                                  Fn
                                               F at                                                    θ

                                                                             Sabendo que os blocos A e B têm massas iguais a 5,0 kg e que os coefi-
                                   θ                                         cientes de atrito estático e cinético entre B e o plano de apoio valem,
                                                                             respectivamente, 0,45 e 0,40, determine:
 Resposta: c                                                                 a) o módulo da aceleração dos blocos;
                                                                             b) a intensidade da força de tração no fio.
 42 A situação representada na figura refere-se a um bloco que,              Resolução:
abandonado em repouso no ponto A, desce o plano inclinado com                a) (I) Cálculo da intensidade da componente tangencial do peso em B:
aceleração de 2,0 m/s2, indo atingir o ponto B.                                     Pt = mB g sen θ
                                                                                      B

Sabendo-se que, no local, |g | = 10 m/s2 e a influência do ar é desprezí-            Pt = 5,0 · 10 · 0,60 (N)
                                                                                         B
vel, pede-se calcular o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o
plano de apoio.                                                                          Pt = 30 N
                                         A              a                                    B


                                                                    g           (II) Cálculo da intensidade da força de atrito de destaque entre B e
                                  3,0 m                                              o plano inclinado:
Resolução:                                                                           Fat = µe mB g cos θ
2a Lei de Newton:                                               B
                                                                                        d


Pt – Fat = m a                                                                       Fat = 0,45 · 5,0 · 10 · 0,80 (N)
                                                                                         d
        c
                                                      4,0 m
m g sen θ – µc m g cos θ = m a                                                       Fat = 18 N
                                                                                             d
     3,0           4,0
10 ·      – µ 10 ·     = 2,0
     5,0 c         5,0                                                                Como PA = 50 N supera a soma Pt + Fat = 48 N, os blocos entram
                                                                                                                       e   d

 µc = 0,50                                                                            em movimento, com B subindo ao longo do plano inclinado.
                                                                                (III) Cálculo da intensidade da força de atrito cinético entre B e o
                                                                                      plano inclinado:
 Resposta: 0,50                                                                       Fat = µc mB g cos θ
                                                                                         c

                                                                                      Fat = 0,40 · 5,0 · 10 · 0,80 (N)
 43 (Puccamp-SP – mod.) Um bloco de massa 5,0 kg é arrastado para                        c


cima, ao longo de um plano inclinado, por uma força F , constante, parale-           Fat = 16 N
                                                                                             c

la ao plano e de intensidade 50 N, como representa a figura abaixo.                  a
                                                                                (IV) 2 Lei de Newton para o conjunto A + B:
                                           F                                         PA – Pt – Fat = (mA + mB) a
                                                                                            B     c

                                                                                     50 – 30 – 16 = 10 a
                                                       6,0 m
                                                                                     a = 0,40 m/s2
                              θ                                              b) 2a Lei de Newton para o bloco A:
                                  8,0 m
                                                                                PA – T = mA a ⇒ 50 – T = 5,0 0,40
                                                                                  T = 48 N
Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano
vale 0,40 e que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2,
                                                                              Respostas: a) 0,40 m/s2; b) 48 N
calcule a intensidade da aceleração do bloco.
Tópico 2 – Atrito entre sólidos     161


 45 Um cubo 1, de aço e de aresta a, acha-se apoiado sobre um piso           Resolução:
de madeira plano, horizontal e que lhe oferece atrito. Nessas condi-         As componentes de F1 e F2 perpendiculares à direção do movimento
ções, a força horizontal que o deixa na iminência de se movimentar           equilibram-se; logo:
tem intensidade F1. Substitui-se, então, o cubo 1 por um cubo 2, de          Fat = 2 F sen 30°
                                                                                c

mesmo material, porém de aresta 2a. A força que coloca o cubo 2 na           µc m g = 2 F 0,50
iminência de se movimentar tem intensidade F2. Analise as proposi-                                 6,0
                                                                             µc = F ⇒ µc =
ções seguintes:                                                                   m g            1,2 · 10
  I. O coeficiente de atrito estático é o mesmo para os dois cubos.           µc = 0,50
 II. F2 = F1, pois a força de atrito máxima independe da área de contato
     entre as superfícies atritantes.
III. F2 = 8F1, pois o cubo 2 é oito vezes mais pesado que o cubo 1.           Resposta: c
Aponte a alternativa correta:
a) Somente I é verdadeira.             d) Somente I e II são verdadeiras.      47 Um carro especial projetado para arrancadas de alta perfor-
b) Somente II é verdadeira.            e) Somente I e III são verdadeiras.   mance (drag racing) tem tração nas rodas traseiras de modo que elas
c) Somente III é verdadeira.                                                 comprimem a pista de provas – plana, reta e horizontal – com uma
                                                                             força equivalente a 2 do peso total do veículo. No local, a aceleração
Resolução:                                                                                          3
(1) Verdadeira.                                                              da gravidade tem intensidade g e a resistência do ar pode ser ignorada.
    Mesmos materiais.                                                        Supondo que os coeficientes de atrito estático e cinético entre as rodas
                                                                             traseiras e a pista valham μe e μc, respectivamente, e admitindo despre-
(2) Falsa.                                                                   zíveis os atritos nas rodas não-motrizes, determine:
    F = Fat ⇒ F = µe m g (I)                                                 a) o módulo da máxima aceleração possível para o carro;
           d

    Sendo d a densidade do aço, tem-se:                                      b) o mínimo intervalo de tempo para o veículo percorrer, a partir do re-
                                                                                 pouso, uma distância d com aceleração de intensidade constante.
    d = m = m ⇒ m = d a3 (II)
         V a3
    Substituindo (II) em (I), temos:                                         Resolução:
                                                                             a) A aceleração terá módulo máximo quando as rodas motrizes fica-
      F = µe d g a3                                                             rem na iminência de deslizar. Nesse caso, a força motriz será a for-
    F1 = µe d g a3                                                              ça de atrito de destaque:
    F2 = µe d g (2 · a)3 ⇒ F2 = 8 µe d · g a3
                                                                                                                           amáx
      F2 = 8 · F1                                                                                 Fn


(3) Verdadeira.
    P1 = m1 g = d a3 g                                                                                   Fat
                                                                                                           d

    P2 = m2 g = d (2 · a)3 g
    P2 = 8 d a3 g                                                               2a Lei de Newton:
    Logo:                                                                       Fat = m amáx
                                                                                   d

                                                                                µe Fn = m amáx ⇒ µe 2 m g = m amáx
      P2 = 8 P1                                                                                     3

                                                                                  amáx = 2 µe g
 Resposta: e                                                                             3

                                                                                            amáx 2                 2 d
 46 (Unesp-SP) A figura mostra um tijolo de 1,2 kg sendo arrasta-            b) MUV: d =         t ⇒ tmín =
                                                                                             2 mín                 amáx
do com velocidade constante por duas forças constantes de módulos
iguais a 6,0 N cada, paralelas ao plano horizontal.                             tmín =     2 d  ⇒         tmín =   3 d
Dados: g = 10 m/s2; sen 30° = cos 60° = 0,50; sen 60° = cos 30° = 0,87.                   2 µ g                    µe g
                                                                                          3 e

                                                                               Respostas: a) 2 µe g; b)        3 d
                                                                                             3                 µe g
                             30°
                                                                              48 (Fuvest-SP) Você empurra um livro sobre uma mesa horizontal,
                       F1              30°                                   comunicando-lhe certa velocidade inicial. Você observa que, depois de
                                                                             abandonado, o livro desliza aproximadamente 1 metro sobre a mesa,
                                       F2                                    até parar. Se a massa do livro fosse o dobro e se você o empurrasse,
                                                                             comunicando-lhe a mesma velocidade inicial, ele deslizaria, até parar,
O valor do coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o piso sobre o     aproximadamente:
qual ele é arrastado é:                                                      a) 0,25 m.             c) 1 m.                e) 2 m.
a) 0,05.       b) 0,08.      c) 0,50.       d) 0,80.      e) 0,96.           b) 0,5 m.              d) 1,4 m.
Parte ii – dinâmica tópico 2
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Parte ii – dinâmica tópico 2

  • 1. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 147 O fio e a polia são ideais e o coeficiente de atrito estático entre o corpo Tópico 2 do homem e a mesa vale 0,40. Se o homem está na iminência de desli- zar sobre a mesa, qual o valor da massa M? 1 Resolução: (FGV-SP) O sistema indicado está em repouso devido à força de T = Fat ⇒ M g = μe m g atrito entre o bloco de massa de 10 kg e o plano horizontal de apoio. d M = μe m ⇒ M = 0,40 · 70 (kg) Os fios e as polias são ideais e adota-se g = 10 m/s2. 10 kg M = 28 kg Resposta: 28 kg 4 E.R. Uma caixa de peso 10 kgf acha-se em repouso sobre uma 4,0 kg mesa horizontal. Calcule a intensidade da força de atrito exercida sobre 6,0 kg a caixa quando ela é empurrada por uma força horizontal de 2,0 kgf. O a) Qual o sentido da força de atrito no bloco de massa de 10 kg, para a coeficiente de atrito estático entre a caixa e a mesa vale 0,30. esquerda ou para a direita? b) Qual a intensidade dessa força? Resolução: A situação descrita está esquematizada abaixo: Resolução: Inicialmente, vamos calcular a intensidade da força de atrito de des- a) O sistema tende a se movimentar em sentido horário. A força de taque entre a caixa e a mesa: atrito no bloco de massa 10 kg será dirigida para a esquerda, de F modo a impedir que ele escorregue. Fat b) 10 kg T2 T1 Fat Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P d d (I) T1 = P1 = m1g Sendo μe = 0,30 e P = 10 kgf, vem: T1 = 6,0 · 10 (N) ⇒ T1 = 60 N Fat = 030 · 10 (kgf) d (II) T2 = P2 = m2g T2 = 4,0 · 10 (N) ⇒ T2 = 40 N Donde: Fat = 3,0 kgf d (III) Fat + T2 = T1 ⇒ Fat + 40 = 60 Como a força com que a caixa é empurrada (2,0 kgf) é menos intensa Fat = 20 N que a força de atrito de destaque (3,0 kgf), temos uma situação de equilíbrio. A caixa permanece em repouso e a força de atrito estático exercida sobre ela tem intensidade 2,0 kgf: Respostas: a) Para a esquerda; b) 20 N Fat = 2,0 kgf 2 Para colocar um bloco de peso 100 N na iminência de movimen- to sobre uma mesa horizontal, é necessário aplicar sobre ele uma força, 5 Sobre um piso horizontal, repousa uma caixa de massa paralela à mesa, de intensidade 20 N. Qual o coeficiente de atrito está- tico entre o bloco e a mesa? 2,0 · 102 kg. Um homem a empurra, aplicando-lhe uma força paralela ao piso, conforme sugere o esquema abaixo: Resolução: Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P d d 20 = μe 100 ⇒ μe = 0,20 Resposta: 0,20 O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o piso é 0,10 e, no local, g = 10 m/s2. Determine: 3 Na situação esquematizada na figura, um homem de massa a) a intensidade da força com que o homem deve empurrar a caixa 70 kg está deitado sobre uma mesa horizontal para submeter-se a uma para colocá-la na iminência de movimento; terapia por tração: b) a intensidade da força de atrito que se exerce sobre a caixa quando o homem a empurra com 50 N. Resolução: a) F = Fat = μe Fn d M F = μe m g ⇒ F = 0,10 · 2,0 · 102 · 10 (N) F = 2,0 · 102 N
  • 2. 148 PARTE II – DINÂMICA b) Como F < Fat (50 N < 200 N), a caixa permanece em repouso e 7 Considere a situação esquematizada na figura, em que um tijolo d Fat = F = 50 N. está apoiado sobre uma plataforma de madeira plana e horizontal. O conjunto parte do repouso no instante t0 = 0 e passa a descrever uma Respostas: a) 2,0 · 102 N ; b) 50 N trajetória retilínea com velocidade de intensidade V, variável com o tempo, conforme o gráfico apresentado. No local, a influência do ar é 6 E.R. Na figura abaixo, um homem está empurrando um fogão desprezível. de massa 40 kg, aplicando sobre ele uma força F , paralela ao solo Movimento plano e horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o fogão e o solo é igual a 0,75 e, no local, adota-se g = 10 m/s2. V Supondo que o fogão está na iminência de escorregar, calcule: a) a intensidade de F ; b) a intensidade da força C de contato que o fogão recebe do solo. 0 t1 t2 t3 t Resolução: No esquema abaixo, representamos as forças que agem no fogão: Admitindo que não haja escorregamento do tijolo em relação à plata- F : força aplicada pelo homem; forma e adotando um referencial fixo no solo, aponte a alternativa que Fat : força de atrito de destaque melhor representa as forças que agem no tijolo nos intervalos de 0 a t1, d de t1 a t2 e de t2 a t3: (movimento iminente); de 0 a t1 de t1 a t2 de t2 a t3 P : força da gravidade (peso); Fn: força normal. a) Fn F Fat b) d P a) Equilíbrio na vertical: Fn = P c) Fn = m g ⇒ Fn = 40 · 10 (N) Fn = 400 N Equilíbrio na horizontal: F = Fat d F = μe Fn ⇒ F = 0,75 · 400 (N) d) F = 300 N b) A força C é a resultante da soma vetorial de Fat com Fn. d Aplicando o Teorema de Pitágoras, vem: e) C Resolução: Fn (I) De 0 a t1: Movimento retilíneo e uniformemente acelerado para a direita. Fat d C1 Fn C2 = F2 + F2at n d C 1 = Fat + Fn C2 = (400)2 + (300)2 Fat 1 1 C = 500 N P
  • 3. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 149 (II) De t1 a t2: Movimento retilíneo e uniforme para a direita. O triângulo retângulo é isósceles, logo: Fn F=P ⇒ F=mg F = n m g ( n = número de blocos) F = n · 15 · 10 (N) ⇒ F = n · 150 (N) Fat2 = 0 Para mover o contêiner: F > Fat dest P n · 150 > 500 (III) De t2 a t3: Movimento retílineo e uniformemente retardado para n > 3,33 ... blocos a direita. nmín = 4 blocos C3 Fn Resposta: d C 3 = Fat + Fn 3 Fat 3 9 Na situação da figura, o bloco B e o prato P pesam, respectiva- mente, 80 N e 1,0 N. O coeficiente de atrito estático entre B e o plano P horizontal de apoio vale 0,10 e desprezam-se os pesos dos fios e o atri- to no eixo da polia. No local, |g | = 10 m/s2. Resposta: d B 8 (Fuvest-SP – mod.) Para vencer o atrito e deslocar um grande contêiner C, no sentido indicado, é necessária uma força horizontal que supere 500 N. Na tentativa de movê-lo, blocos de massa m = 15 kg são pendurados em um fio, que é esticado entre o contêiner e o ponto g P na parede, como na figura. Sentido do P deslocamento P C pretendido 45° M Dispõe-se de 20 blocos iguais, de 100 g de massa cada um, que podem ser colocados sobre o prato P. a) Colocando-se dois blocos sobre P, qual a intensidade da força de atrito exercida em B? Para movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo: b) Qual o número de blocos que deve ser colocado sobre P, para que (Adote g = 10 m/s2.) B fique na iminência de se movimentar? a) 1 bloco. c) 3 blocos. e) 5 blocos. b) 2 blocos. d) 4 blocos. Resolução: a) Fat = µe Fn = µe PB ⇒ Fat = 0,10 · 80 (N) Resolução: d d Esquema de forças no ponto do fio em que são pendurados os blocos: Fat = 8,0 N d F = Pprato + 2 p ⇒ F = 1,0 + 2 · 0,10 · 10 (N) 45º T F = 3,0 N F Como F Ͻ Fat , o sistema permanece em repouso e a força de atrito d estático exercida em B vale 3,0 N. b) Pprato + n · p = Fat ⇒ 1,0 + n 0,10 · 10 = 8,0 d P n = 7 bloquinhos Na situação de equilíbrio, a linha poligonal de F , T e P deve ser fe- chada. Respostas: a) 3,0 N; b) 7 bloquinhos 10 (Unirio-RJ) Uma caixa vazia, pesando 20 N, é colocada sobre 45º T P uma superfície horizontal. Ao atuar sobre ela uma força também horizontal, ela começa a se movimentar quando a intensidade da força supera 5,0 N; cheia de água, isso acontece quando a intensi- dade da força supera 30 N. Qual a massa de água contida na caixa? F (Admita g = 10 m/s2.)
  • 4. 150 PARTE II – DINÂMICA Resolução: É importante notar que a força de atrito tem sentido oposto ao da (I) Caixa vazia: tendência de escorregamento do bloco, porém o mesmo sentido F1 = Fat ⇒ F1 = µe P1 do movimento do caminhão. d1 A força que acelera o bloco em relação à pista é Fat ; logo, aplicando 5,0 = µe 20 ⇒ µe = 0,25 a 2a Lei de Newton: (II) Caixa com água: Fat = M a (I) F2 = Fat ⇒ F2 = µe (P1 + mg) O bloco está em equilíbrio na vertical; logo: Fn = P ⇒ Fn = M g (II) d2 30 = 0,25 (20 + m 10) Como o bloco não deve escorregar, o atrito entre ele e a carroceria m = 10 kg é estático. Assim: Fat р Fat ⇒ Fat р μ Fn (III) d Resposta: 10 kg Substituindo (I) e (II) em (III), segue que: MaрμMg ⇒ aрμg 11 Sobre um plano inclinado, de ângulo θ variável, apoia-se amáx = μ g uma caixa de pequenas dimensões, conforme sugere o esquema Nota: a seguir. • Observe que a aceleração calculada independe da massa do bloco. 13 Na situação da figura, os blocos A e B têm massas m = 4,0 kg e A mB = 6,0 kg. A aceleração da gravidade no local tem módulo 10 m/s2, o atrito entre A e o plano horizontal de apoio é desprezível e o coe- ficiente de atrito estático entre B e A vale μe = 0,50. B θ A Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o plano F de apoio vale 1,0, qual o máximo valor de θ para que a caixa ainda permaneça em repouso? Desprezando-se o efeito do ar, qual a máxima intensidade da força F, Resolução: paralela ao plano, de modo que B não se movimente em relação a A? Pt = Fat ⇒ P sen θ = µe P cos θ d tg θ = µe = 1 ⇒ θ = 45° Resolução: (I) 2a Lei de Newton para o bloco B: Resposta: 45° amáx Fat B d 12 E.R. Na figura, representa-se um caminhão inicialmente em Fat = mB amáx d repouso sobre uma pista plana e horizontal. Na sua carroceria, apoia- µe mB g = mB amáx ⇒ amáx = µe g -se um bloco de massa M. amáx = 0,50 · 10 (m/s2) ⇒ amáx = 5,0 m/s2 M (II) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B: Fmáx = (ma + mb) amáx ⇒ Fmáx = (4,0 + 6,0) (5,0) (N) Fmáx = 50 N Sendo μ o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria e g o valor da aceleração da gravidade local, determine a máxima Resposta: 144 s intensidade da aceleração que o caminhão pode adquirir sem que o bloco escorregue. 14 Considere duas caixas, A e B, de massas respectivamente iguais a 10 kg e 40 kg, apoiadas sobre a carroceria de um caminhão que trafe- Resolução: ga em uma estrada reta, plana e horizontal. No local, a influência do ar Na figura ao lado, estão repre- é desprezível. Os coeficientes de atrito estático entre A e B e a carroce- sentadas as forças que agem no Fn ria valem μA = 0,35 e μB = 0,30 e, no local, g = 10 m/s2. bloco: P : força da gravidade (peso); a M Fat B Fn : reação normal; A Fat : força de atrito. P
  • 5. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 151 Para que nenhuma das caixas escorregue, a maior aceleração (ou desa- 16 Na figura, uma caixa de peso igual a 30 kgf é mantida em equilí- celeração) permitida ao caminhão tem intensidade igual a: brio, na iminência de deslizar, comprimida contra uma parede vertical a) 3,5 m/s2; c) 2,5 m/s2; e) 1,5 m/s2. por uma força horizontal F . 2 2 b) 3,0 m/s ; d) 2,0 m/s ; Resolução: A máxima aceleração (ou desaceleração) permitida para que não haja escorregamento de qualquer caixa é dada por: F amáx = μ g (vide ER 12) Caixa A: aA = μA g = 0,35 · 10 ⇒ aA = 3,5 m/s2 Caixa B: aB = μB g = 0,30 · 10 ⇒ aB = 3,0 m/s2 Optamos pelo menor valor, 3,0 m/s2, uma vez que, quando a caixa B estiver na iminência de escorregar, a caixa A ainda não estará nessa situação. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a parede é igual a 0,75, determine, em kgf: Resposta: b a) a intensidade de F ; b) a intensidade da força de contato que a parede aplica na caixa. 15 E.R. Um homem comprime uma caixa contra uma parede ver- tical, aplicando-lhe com o dedo uma força de intensidade F perpen- Resolução: dicular à parede, conforme representa a figura. a) Fat d F Fn Sendo m a massa da caixa e g a intensidade da aceleração da gravi- dade e desprezando o atrito entre o dedo e a caixa, responda: qual P é o menor coeficiente de atrito estático entre a caixa e a parede que Equilíbrio na vertical: impede o seu escorregamento? Fat = P ⇒ Fat = 30 kgf d d Resolução: Equilíbrio na horizontal: Na figura abaixo, representamos as forças que agem na caixa: Fat F = Fn ⇒ F = d μe Fat F= 30 (kgf) ⇒ F = 40 kgf Fn F 0,75 P b) F : força aplicada pelo homem; P : força da gravidade (peso); Fn : reação normal da parede; C Fat : força de atrito. Fat d Se não há escorregamento da caixa em relação à parede, o atrito é estático. Logo: Fat р μe Fn (I) Fn Equilíbrio na horizontal: Fn = F (II) Equilíbrio na vertical: Fat = P ⇒ Fat = m g (III) Teorema de Pitágoras: Substituindo (II) e (III) em (I), vem: m g р μe F. C2 = F2at + F2n d μe у m g C2 = (30)2 + (40)2 F C = 50 kgf Donde: μe = m g mín F Respostas: a) 40 kgf ; b) 50 kgf
  • 6. 152 PARTE II – DINÂMICA 17 (Unifesp-SP) Uma bonequinha está presa, por um ímã a ela cola- 18 Na situação esquematizada na figura abaixo, um trator arrasta do, à porta vertical de uma geladeira. uma tora cilíndrica de 4,0 · 103 N de peso sobre o solo plano e horizon- a) Desenhe esquematicamente essa bonequinha, representando e tal. Se a velocidade vetorial do trator é constante e a força de tração nomeando as forças que atuam sobre ela. exercida sobre a tora vale 2,0 · 103 N, qual é o coeficiente de atrito ciné- b) Sendo m = 20 g a massa total da bonequinha com o ímã e μ = 0,50 tico entre a tora e o solo? o coeficiente de atrito estático entre o ímã e a porta da geladeira, Movimento qual deve ser o menor valor da força magnética entre o ímã e a geladeira para que a bonequinha não caia? Dado: g = 10 m/s2. Resolução: a) Fat Resolução: MRU: Fat = T ⇒ μc Fn = T c T –3 μc P = T ⇒ μc = = 20 · 10 3 Fm P 4,0 · 10 μc = 0,50 em que: P = força peso Fn Resposta: 0,50 Fat = força de atrito Fm = força magnética 19 Na situação esquematizada abaixo, um bloco de peso igual a Fn = força normal da parede P 40 N está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. Os coe- ficientes de atrito estático e dinâmico entre a base do bloco e a su- b) Equilíbrio na horizontal: perfície da mesa valem, respectivamente, 0,30 e 0,25. Admita que seja Fn = Fm (I) aplicada no bloco uma força horizontal F . Equilíbrio na vertical: Fat = P (II) F Para que a bonequinha não caia, o atrito entre o ímã e a porta da geladeira deve ser do tipo estático: Fat р Fat ⇒ Fat р µ Fn (III) Adotando g = 10 m/s2, indique os va- F (N) Fat (N) a (m/s2) d lores que preenchem as lacunas da Substituindo (I) e (II) em (III), vem: tabela ao lado com as intensidades 10 P р µ Fm ⇒ m g р µ Fm da força de atrito e da aceleração do 12 bloco correspondentes às magnitu- m·g 20 · 10–3 · 10 des definidas para a força F . 30 Fm у ⇒ Fm у 0,50 (N) µ Resolução: Fm у 0,40 N ⇒ Fm = 0,40 N Fat = μc Fn = μc P mín d Fat = 0,30 · 40 (N) ⇒ Fat = 12 N d d Respostas: a) Fat = μc Fn = μc P Fat c Fat = 0,25 · 40 (N) ⇒ Fat = 10 N c c O bloco entrará em movimento se a intensidade de F superar 12 N. No caso de iniciar-se o escorregamento, a força de atrito será do tipo Fm dinâmico, com intensidade igual a 10 N. F = 10 N: Repouso Fn Fat = F = 10 N e a = 0 F = 12 N: Repouso Fat = F = 12 N e a = 0 P F = 30 N: MUV = 0 F – Fat = m a c P = força da gravidade (peso) 40 30 – 10 = a ⇒ a = 5,0 m/s2 Fat = força de atrito 10 Fm = força magnética Respostas: Fn = reação normal da parede F (N) Fat (N) a (m/s2) C = Fat + Fn é a força total de contato entre a 10 10 0 bonequinha e a porta da geladeira. 12 12 0 b) 0,40 N 30 10 5,0
  • 7. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 153 20 E.R. Uma caixa de fósforos é lançada sobre uma mesa ho- b) MUV: rizontal com velocidade de 2,0 m/s, parando depois de percorrer Equação de Torricelli: 2,0 m. No local do experimento, a influência do ar é desprezível. Ado- V2 = V2 + 2α BC C B tando para o campo gravitacional módulo igual a 10 m/s2, determine 0 = (20)2 + 2 (–2,0) BC o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a mesa. Donde: BC = 100 m Resolução: VC = VB + α t ⇒ 0 = 20 – 2,0 t A figura seguinte ilustra o evento descrito no enunciado: t = 10 s Donde: 2,0 m Respostas: a) 2,0 m/s2; b) 100 m; 10 s Fat 22 Os blocos A e B da figura seguinte têm massas respectivamente c iguais a 2,0 kg e 3,0 kg e estão sendo acelerados horizontalmente sob a ação de uma força F de intensidade de 50 N, paralela ao plano do movimento. Inicialmente, devemos calcular o módulo da aceleração de retarda- Sabendo que o coeficiente de atrito de escorregamento entre os blo- mento da caixa de fósforos. Para isso, aplicamos a Equação de Tor- cos e o plano de apoio vale μ = 0,60, que g = 10 m/s2 e que o efeito do ricelli: ar é desprezível, calcule: v2 = v2 + 2α d 0 a Como v = 0, v0 = 2,0 m/s e d = 2,0 m, vem: 0 = (2,0)2 + 2 α 2,0 ⇒ α = –1,0 m/s2 F B A a = | α | = 1,0 m/s2 A força resultante responsável pela freada da caixa é a força de atrito a) o módulo da aceleração do sistema; cinético. Pela 2a Lei de Newton, podemos escrever: b) a intensidade da força de interação trocada entre os blocos na re- Fat = m a (I) gião de contato. c Entretanto: Fat = μc Fn = μc m g (II) Resolução: c a) Fat = μ Fn = μ mA g Comparando (I) e (II), calculamos, finalmente, o coeficiente de atrito A A cinético μc: Fat = 0,60 · 2,0 · 10 (N) A 2 μc m g = m a ⇒ μc = a = 1,0 m/s2 FatA = 12 N g 10 m/s Fat = μ Fn = μ mB g B B μc = 0,10 Fat = 0,60 · 3,0 · 10 (N) B FatB = 18 N 21 Na figura, o esquiador parte do repouso do ponto A, passa por a 2 Lei de Newton para o conjunto A + B: B com velocidade de 20 m/s e para no ponto C: F – Fat – Fat = (mA + mB) a A B 50 – 12 – 18 = (2,0 + 3,0) a Donde : a = 4,0 m/s2 A b) 2a Lei de Newton para o bloco B: FAB – Fat = mB a B FAB – 18 = 3,0 · 4,0 B C FAB = 30 N O trecho BC é plano, reto e horizontal e oferece aos esquis um coe- Respostas: a) 4,0 m/s2; b) 30 N ficiente de atrito cinético de valor 0,20. Admitindo desprezível a in- fluência do ar e adotando g = 10 m/s2, determine: 23 (Unesp-SP) A figura ilusta um bloco A, de massa m = 2,0 kg, a) a intensidade da aceleração de retardamento do esquiador no tre- A cho BC; atado a um bloco B, de massa mB = 1,0 kg, por um fio inextensível de b) a distância percorrida por ele de B até C e o intervalo de tempo massa desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre cada bloco e a gasto nesse percurso. mesa é μc. Uma força de intensidade F = 18,0 N é aplicada ao bloco B, fa- zendo com que os dois blocos se desloquem com velocidade constante. Resolução: A B F a) 2a Lei de Newton: mA mB Fat = m a ⇒ μc Fn = m a c μc m g = m a ⇒ a = μc g Considerando-se g = 10,0 m/s2, calcule: a = 2,0 m/s2 a) o coeficiente de atrito μc; a = 0,20 · 10 (m/s2) ⇒ b) a intensidade da tração T no fio.
  • 8. 154 PARTE II – DINÂMICA Resolução: O diagrama que representa corretamente as orientações das forças a) MRU do conjunto A + B: de atrito estático que o solo exerce sobre as rodas é: Fat + Fat = F A B μc mA g + μc mB g = F a) c) μc (2,0 · 10,0 + 10,0 · 10,0) = 18,0 Donde : μc = 0,60 b) d) b) MRU do bloco A: T = Fat ⇒ T = μc mA g A Resolução: T = 0,60 · 2,0 · 10,0 (N) A roda motriz (com tração) empurra o chão para trás e recebe des- T = 12,0 N te, pelo atrito, uma força dirigida para frente (Fat ). A roda parasita (sem tração) é arrastada para frente juntamente com Respostas: a) 0,60 ; b) 12,0 N o veículo e raspa o chão também para a frente, recebendo deste, pelo atrito, uma força dirigida para trás (fat ). Roda parasita Roda motriz 24 O corpo A, de 5,0 kg de massa, está apoiado em um plano hori- zontal, preso a uma corda que passa por uma roldana de massa e atrito desprezíveis e que sustenta em sua extremidade o corpo B, de 3,0 kg de massa. Nessas condições, o sistema apresenta movimento uniforme. Ado- tando g = 10 m/s2 e desprezando a influência do ar, determine: A fat Fat É importante destacar que, no caso de um movimento acelerado: Fat >> fat B 26 (ESPCEX-SP – mod.) A figura abaixo representa um automóvel em movimento retilíneo e acelerado da esquerda para a direita. Os ve- tores desenhados junto às rodas representam os sentidos das forças de a) o coeficiente de atrito cinético entre o corpo A e o plano de apoio; atrito exercidas pelo chão sobre as rodas. b) a intensidade da aceleração do sistema se colocarmos sobre o cor- po B uma massa de 2,0 kg. Resolução: a) MRU de B: T = PB = mB g T = 3,0 · 10 (N) ⇒ T = 30 N MRU de A: Fat = T Sendo assim, pode-se afirmar que o automóvel: c μc mA g = T ⇒ μc 5,0 · 10 = 30 a) tem tração apenas nas rodas traseiras. b) tem tração nas quatro rodas. μc = 0,60 c) tem tração apenas nas rodas dianteiras. b) 2a Lei de Newton para o sistema A + B: d) move-se em ponto morto, isto é, sem que nenhuma das rodas seja PB + p – Fat = (mA + mB +m) a tracionada. c e) está em alta velocidade. 3,0 · 10 + 2,0 · 10 – 0,60 · 5,0 · 10 = 10 a Donde : a = 2,0 m/s2 Resposta: a Respostas: a) 0,60; b) 2,0 m/s2 27 Na figura, está representado o limpador de parabrisa de um car- ro. O aparelho está funcionando e tanto sua borracha quanto o vidro 25 E.R. (Uerj) Considere um carro de tração dianteira que acelera sobre o qual ela desliza podem ser considerados homogêneos. no sentido indicado na figura abaixo. O motor é capaz de impor às Admitindo que a compressão do limpador sobre o parabrisa seja uni- rodas de tração, por meio de um torque, um determinado sentido de forme em toda a extensão AB, podemos afirmar que: rotação. Só há movimento quando há atrito, pois, na sua ausência, as rodas de tração patinam sobre o solo, como acontece em um terreno B enlameado. A Posição 1 Posição 2
  • 9. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 155 a) da posição 1 à posição 2, a velocidade angular média da extremida- Fat = μc Fn = μc m g c de B é maior que a da extremidade A; b) da posição 1 à posição 2, a aceleração angular média da extremida- Fat = 0,40 · 2,0 · 10 (N) ⇒ Fat = 8,0 N c c de B é menor que a da extremidade A; a c) da posição 1 à posição 2, a velocidade linear média da extremidade B é igual à da extremidade A; d) a força de atrito na região próxima da extremidade A é mais intensa F que a força de atrito na região próxima da extremidade B; Fatc e) a borracha próxima da extremidade B desgasta-se mais rapidamen- te que a borracha próxima da extremidade A. A 2a Lei de Newton, aplicada ao bloco, permite escrever que: F – Fat = m a ⇒ 16 – 8,0 = 2,0 · a c Resolução: a) ωm = Δ ᐉ e ωm = ωm a = 4,0 m/s2 Δt B A b) γ m = Δω eγ =γ =0 Δt mB mA 29 Um homem empurra horizontalmente um cofre de massa c) vm = Δ s e vm > vm m = 100 kg sobre um plano horizontal, conforme indica a figura. Δt B A d) Fat = μc Fn e Fat = Fat c cB cA e) Na região da extremidade B, a borracha desgasta-se mais rapida- mente devido à maior distância percorrida durante um determina- do tempo de utilização do limpador. Resposta: e O cofre encontra-se inicialmente em repouso e sabe-se que os coefi- 28 E.R. Um bloco de 2,0 kg de massa repousa sobre um plano cientes de atrito estático e cinético entre ele e o plano de apoio horizontal quando lhe é aplicada uma força F , paralela ao plano, con- valem, respectivamente, 0,820 e 0,450. Considerando g = 10 m/s2, forme representa a figura abaixo: calcule: a) a intensidade da força de atrito recebida pelo cofre se a força apli- F cada pelo homem valer 8,00 · 102 N; b) o módulo da aceleração do cofre se a força aplicada pelo homem valer 8,50 · 102 N. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano de Resolução: apoio valem, respectivamente, 0,50 e 0,40 e, no local, a aceleração da a) Fat = µe Fn = µe m g d gravidade tem módulo 10 m/s2. Calcule: Fatd = 0,820 · 100 · 10 (N) ⇒ Fat = 8,20 · 102 N d a) a intensidade da força de atrito recebida pelo bloco quando | F | = 9,0 N; Com F = 8,00 · 102 N, o homem não consegue vencer o atrito de b) o módulo da aceleração do bloco quando | F | = 16 N. destaque e, por isso, o cofre permanece em repouso. Logo: Despreze o efeito do ar. Fat = F = 8,00 · 102 N Resolução: Devemos, inicialmente, calcular a intensidade da força de atrito de b) Fat = µc Fn = µc m g c destaque entre o bloco e o plano de apoio: Fat = 0,450 · 100 · 10 (N) ⇒ Fat = 4,50 · 102 N c c Fat = μe Fn ⇒ Fat = μe P = μe m g 2a Lei de Newton: d d Sendo μe = 0,50, m = 2,0 kg e g = 10 m/s2, vem: F’ – Fat = m · a ⇒ 8,50 · 102 – 4,50 · 102 = 100 · a ⇒ c ⇒ 4,00 · 102 = 100 · a Fat = 0,50 · 2,0 · 10 (N) ⇒ Fat = 10 N d d a = 4,00 m/s2 a) A força F , apresentando intensidade 9,0 N, é insuficiente para Respostas: a) 8,00 · 102 N; b) 4,00 m/s2 vencer a força de atrito de destaque (10 N). Por isso, o bloco per- manece em repouso e, nesse caso, a força de atrito que ele recebe 30 E.R. No esquema seguinte, representa-se um livro inicial- equilibra a força F , tendo intensidade 9,0 N: mente em repouso sobre uma mesa horizontal, sendo empurrado Fat = 9,0 N horizontalmente por um homem; F é a força que o homem aplica no livro e Fat é a força de atrito exercida pela mesa sobre o livro. Re- b) Com | F | = 16 N, o bloco adquire movimento, sendo acelerado presenta-se, também, como varia a intensidade de Fat em função da para a direita. Nesse caso, o atrito é cinético e sua intensidade é intensidade de F . No local, a influência do ar é desprezível e adota-se dada por: |g | = 10 m/s2.
  • 10. 156 PARTE II – DINÂMICA F Admitindo que o fio e a polia sejam ideais e desprezando a influência 5,0 kg Fat do ar: a) esboce o gráfico da intensidade da força de atrito recebida pela caixa Fat (N) em função da intensidade da força exercida pelo homem na corda; 10 b) calcule a massa da caixa e o coeficiente de atrito entre ela e o plano 8,0 de apoio (g = 10 m/s2). Resolução: a) A força de atrito estático cresce linearmente de 0 a 100 N, quando a 0 10 20 F (N) caixa inicia seu escorregamento. A partir daí o atrito se torna cinéti- Com base no gráfico e nos demais dados, determine: co, com valor constante de 100 N. a) os coeficientes de atrito estático e cinético entre o livro e a mesa; b) o módulo da aceleração do livro quando F = 18 N. Fat (N) 100 Resolução: a) • Determinação do coeficiente de atrito estático (μe): Observando o gráfico, percebemos que a força de atrito máxi- ma (de destaque) que o livro recebe da mesa vale Fat = 10 N. A d partir disso, podemos escrever que: Fat = μe Fn = μe m g ⇒ 10 = μe · 5,0 · 10 0 100 150 F (N) d μe = 0,20 b) 2a Lei de Newton para a caixa no caso em que F = 150 N, Fat = 100 N • Determinação do coeficiente de atrito cinético (μc): e a = 1,0 m/s2: Observando o gráfico, notamos que a força de atrito cinéti- F – Fat = m a ⇒ 150 – 100 = m 1,0 co que age no livro depois de iniciado seu movimento vale Fat = 8,0 N. m = 50 kg c Dessa conclusão, segue que: Fat = µ Fn ⇒ Fat = µ m g Fat = μc Fn = μc m g ⇒ 8,0 = μc · 5,0 · 10 c μc = 0,16 100 = µ 50 · 10 ⇒ µ = 0,20 b) Calculamos o módulo da aceleração do livro aplicando a ele a 2a Respostas: a) Lei de Newton: Fat (N) F a 100 5,0 kg Fat c F – Fat = m a ⇒ 18 – 8,0 = 5,0 a c 0 100 150 F (N) a = 2,0 m/s2 b) 50 kg e 0,20 31 No arranjo experimental da figura, o homem puxa a corda para 32 E.R. Nas duas situações esquematizadas abaixo, uma mesma a esquerda e, com isso, consegue acelerar horizontalmente a caixa caixa de peso 20 N deverá ser arrastada sobre o solo plano e hori- para a direita: zontal em movimento retilíneo e uniforme. O coeficiente de atrito Os dois ramos do cinético entre a caixa e a superfície de apoio vale 0,50. fio são horizontais F1 F2 θ θ O módulo de aceleração da caixa varia com a intensidade da força que o homem aplica na corda, conforme o gráfico. Dados: sen θ = 0,80 e cos θ = 0,60. a (m/s ) 2 Desprezando a influência do ar, calcule as intensidades das forças F 1 e F 2 que satisfazem à condição citada. 1,0 Resolução: Decompondo F 1 nas direções horizontal e vertical, obtemos, respec- 0 100 150 F (N) tivamente, as componentes F1 e F1 , de intensidades dadas por: x y
  • 11. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 157 F1x = F1 cos θ e F1y = F1 sen θ Fn (II) Cálculo de Fn: Fn + Fv = P F1 F1 1 y Fn + F sen θ = P ⇒ Fn + 10 · 0,60 = 1,0 · 10 θ Fat Fn = 4,0 N c1 F1 x (III) Cálculo da aceleração: P Fx – Fat = m a ⇒ F cos θ – µcFn = m a c 10 · 0,80 – 0,25 · 4,0 = 1,0 a Equilíbrio na vertical: Fn + F1 sen θ = P 1 a = 7,0 m/s2 Fn + 0,80F1 = 20 1 Fn = 20 – 0,80F1 Resposta: a 1 Equilíbrio na horizontal: F1 cos θ = μc Fn 1 0,60 F1 = 0,50 (20 – 0,80 F1) 34 (Efomm-RJ) Os blocos A e B representados na figura possuem F1 = 10 N massas de 3,0 kg e 2,0 kg respectivamente. A superfície horizontal onde eles se deslocam apresenta um coeficiente de atrito cinético igual a 0,30. F 1 e F 2 são forças horizontais que atuam nos blocos. Decompondo, agora, F2 nas direções horizontal e vertical, obtemos, res- pectivamente, as componentes F2 e F2 , de intensidades dadas por: F1 x y A F2 F2x= F2 cos θ e F2y = F2 sen θ (30 N) B (10 N) Fn 2 F2 F2 y Adotando g = 10 m/s2 e desprezando o efeito do ar, determine: θ a) o módulo da aceleração do sistema; Fat F2 x c2 b) a intensidade da força de contato entre A e B. P Resolução: Cálculo das forças de atrito nos blocos A e B: Equilíbrio na vertical: Fn = P + F2 sen θ Fat = µ mA g ⇒ Fat = 0,30 · 3,0 · 10 = 9,0 N 2 Fat = µ mB g ⇒ Fat = 0,30 · 2,0 · 10 = 6,0 N A A Fn = 20 + 0,80F2 2 B B Equilíbrio na horizontal: F2 cos θ = μc Fn a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B: 2 0,60 F2 = 0,50 (20 + 0,80F2) F1 – F2 – (Fat + Fat ) = (mA + mB) a A B 30 – 10 – (9,0 + 6,0) = (3,0 + 2,0) a F2 = 50 N a = 1,0 m/s2 33 Considere o esquema seguinte, em que se representa um bloco b) 2a Lei de Newton para o bloco B: FAB – F2 – Fat = mB a ⇒ FAB – 10 – 6,0 = 2,0 · 1,0 de 1,0 kg de massa apoiado sobre um plano horizontal. O coeficiente B de atrito de arrastamento entre a base do bloco e a superfície de apoio FAB = 18 N vale 0,25 e a aceleração da gravidade, no local, tem módulo 10 m/s2. F Respostas: a) 1,0 m/s2; b) 18 N θ 35 Sobre o plano horizontal da figura, apoiam-se os blocos A e B, in- terligados por um fio inextensível e de massa desprezível. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e o plano vale 0,60 e o cinético, 0,50. No A força F , cuja intensidade é de 10 N, forma com a direção horizontal local, a influência do ar é desprezível e adota-se |g | = 10 m/s2. um ângulo θ constante, tal que sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80. Desprezan- 3,0 kg do a influência do ar, aponte a alternativa que traz o valor correto da 2,0 kg aceleração do bloco: B F A a) 7,0 m/s2; c) 4,0 m/s2; e) 1,5 m/s2. 2 2 b) 5,5 m/s ; d) 2,5 m/s ; Sabendo que a força F é horizontal e que sua intensidade vale 50 N, Resolução: calcule: (I) Esquema das forças: a) o módulo da aceleração do sistema; b) a intensidade da força de tração no fio. Fn Fy F Resolução: Fat = µd mA g = 0,60 · 2,0 · 10 = 12 N Fat Fx d A c Fat = µd mB g = 0,60 · 3,0 · 10 = 18 N d B P Fat = 12 + 18 = 30 N dA, B
  • 12. 158 PARTE II – DINÂMICA Como F Ͼ Fat (50 N Ͼ 30 N), os blocos são arrastados sobre o plano de 37 (Vunesp-SP) Dois blocos, A e B, ambos de massa m, estão li- d apoio e o atrito é do tipo cinético. gados por um fio leve e flexível, que passa por uma polia de massa Fat = µc mA g = 0,50 · 2,0 · 10 = 10 N desprezível, que gira sem atrito. O bloco A está apoiado sobre um c A Fat = µc mB g = 0,50 · 3,0 · 10 = 15 N carrinho de massa 4 m, que pode se deslocar sobre a superfície ho- c B Fat = 10 + 15 = 25 N rizontal sem encontrar qualquer resistência. A figura mostra a situa- cA, B ção descrita. a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B: A F – Fat = (mA + mB) a cA, B m 50 – 25 = (2,0 + 3,0) a 4m a = 5,0 m/s2 b) 2a Lei de Newton para o bloco B: T – Fat = mB a cB m B T – 15 = 3,0 · 5,0 T = 30 N Quando o conjunto é liberado, B desce e A se desloca com atrito cons- Respostas: a) 5,0 m/s2; b) 30 N tante sobre o carrinho, acelerando-o. Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico entre A e o carrinho vale 0,20 e fazendo g = 10 m/s2, 36 (Fuvest-SP) Um vagão de carga, transportando sobre seu piso determine: a) o módulo da aceleração do carrinho; plano uma caixa de massa m, desloca-se com velocidade constante v0 b) o módulo da aceleração do sistema constituído por A e B. sobre trilhos retilíneos e horizontais. Em dado instante, o vagão choca- -se com uma pedra sobre os trilhos e para instantaneamente. A caixa Resolução: começa, então, a deslizar sobre o piso, parando antes de atingir a ex- a) 2a Lei de Newton para o carrinho: tremidade do vagão. Sabe-se que o coeficiente de atrito entre a caixa Fat = 4 m ac e o piso do vagão vale μ e a aceleração da gravidade tem intensidade µ m g = 4 m ac igual a g. 0,20 · 10 = 4 ac m v0 ac = 0,50 m/s2 Fat ac a) Durante quanto tempo a caixa desliza? 4m b) Qual a distância percorrida pela caixa sobre o vagão? Resolução: b) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B: a) (I) Cálculo da aceleração de retardamento da caixa: PB – Fat = (mA + mB) a ⇒ m g – µ m g = 2 m a F = Fat ⇒ m a = µ m g 10 – 0,20 · 10 = 2 a ⇒ a = 4,0 m/s2 a=µ g a Respostas: a) 0,50 m/s2; b) 4,0 m/s2 v 38 E.R. (Cesesp-PE) Uma fina corrente metálica encontra-se Fat parcialmente dependurada de uma mesa, como ilustra a figura. (II) Cálculo do intervalo de tempo de deslizamento: MUV: v = v0 + α t ⇒ 0 = v0 – µ g t v0 t= µ g b) v2 = v2 + 2α Δs ⇒ 0 = v2 + 2 (–µ g) d Se o coeficiente de atrito estático entre a corrente e a mesa for μ, 0 0 qual é a fração mínima do comprimento da corrente que deve ser v2 0 mantida sobre a mesa para que a corrente não escorregue? d= 2 µ g Resolução: v0 2 v Admitamos a corrente na iminência de escorregar. Nesse caso, a 0 Respostas: a) ; b) força de atrito recebida pelo trecho apoiado na mesa é igual à força µ g 2 µ g de atrito de destaque.
  • 13. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 159 Fat x 40 Na figura seguinte, a superfície S é horizontal, a intensidade de F é 40 N, o coeficiente de atrito de arrastamento entre o bloco A e a superfície S vale 0,50 e g = 10 m/s2. B a g 2,0 kg p A 3,0 kg F Fat = Fat S d Fat = μ Fn (I) Sob a ação da força F , o sistema é acelerado horizontalmente e, nessas Sejam L o comprimento da corrente, M a sua massa total e m a massa condições, o bloco B apresenta-se na iminência de escorregar em rela- do comprimento (L – x) pendente na vertical. ção ao bloco A. Desprezando a influência do ar: Analisando o equilíbrio da corrente, temos: a) determine o módulo da aceleração do sistema; Fat = p ⇒ Fat = m g (II) b) calcule o coeficiente do atrito estático entre os blocos A e B. Fn = Ptotal – p ⇒ Fn = (M – m) g (III) Resolução: Substituindo (II) e (III) em (I), vem: a) 2a Lei de Newton para o conjunto A + B: m g = μ (M – m) g ⇒ m = μ (IV) F – Fat = (mA +mB) a AB M–m F – μAS (mA + mB) g = (mA + mB) a Como a corrente é suposta homogênea, sua densidade linear ρ é constante, isto é, a relação entre a massa considerada e o respectivo 40 – 0,50 5,0 10 = 5,0 a ⇒ a = 4,0 cm comprimento é sempre a mesma. m =ρe M–m =ρ b) 2a Lei de Newton para o bloco B: L–x x a Donde: m = M–m ⇒ m =L–x (V) B Fa L–x x M–m x AB Comparando (IV) e (V), segue que: Fat = mB a AB L–x=μ ⇒ L–x=μx μAB mB g = mB a μAB 10 = 3,0 x x= 1 μAB = 0,30 L = (μ + 1) x ⇒ L μ+1 Respostas: a) 3,0 m/s2 ; b) 0,30 Observe que a fração x é a menor possível (mínima), já que a corren- L te está na iminência de escorregar. 41 Um pequeno bloco é lançado para baixo ao longo de um pla- no com inclinação de um ângulo θ com a horizontal, passando a 39 (UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm de comprimento descer com velocidade constante. e constituição homogênea, está em repouso sobre uma mesa, parte sobre sua superfície, horizontal e fina, e parte pendente, como mostra a figura. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a superfície da mesa e o pano é igual a 0,50 e que o pano está na iminência de deslizar, pode-se g afirmar que o comprimento ᐉ da parte sobre a mesa é: θ a) 40 cm. b) 45 cm. c) 50 cm. d) 55 cm. e) 58 cm. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e desprezando a in- ᐉ fluência do ar, analise as proposições seguintes: I. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio depende da área de contato entre as superfícies atritantes. II. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio é proporcional a g. III. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio Resolução: vale tg θ. Pano de prato em escorregamento iminente: IV. A força de reação do plano de apoio sobre o bloco é vertical e diri- Ppendente = Fat ⇒ mpendente g = µe (mtotal – mpendente) g gida para cima. d Responda mediante o código: k (L – ᐉ) = µe k [L – (L – ᐉ)] ⇒ L – ᐉ = µe ᐉ a) Somente I e III são corretas. 60 – ᐉ = 0,50ᐉ ⇒ ᐉ = 40 cm b) Somente II e IV são corretas. c) Somente III e IV são corretas. d) Somente III é correta. Resposta: a e) Todas são incorretas.
  • 14. 160 PARTE II – DINÂMICA Resolução: Resolução: (III) Correta. 2a Lei de Newton para o bloco: Fat = PI ⇒ μc m g cos ␪ = m g sen ␪ F – Pt – Fat = m a c c F – m g sen θ – µc m g cos θ = m a μc = tg ␪ 6,0 8,0 50 – 5,0 10 – 0,40 5,0 10 = 5,0 a (IV) Correta. 10 10 C a = 0,80 m/s2 U MR Resposta: 0,80 m/s2 θ P Se o bloco desce o plano inclinado com velocidade constante 44 Na situação esquematizada na figura, o fio e a polia são ideais; (MRU), a resultante das forças sobre ele deve ser nula. Por isso, a despreza-se o efeito do ar e adota-se g = 10 m/s2. força de contato aplicada pelo plano inclinado ( C ) deve equili- sen θ = 0,60 brar a força peso ( P ). cos θ = 0,80 C +P =0 ⇒C =–P É importante notar que C = Fn + Fat g C B A Fn F at θ Sabendo que os blocos A e B têm massas iguais a 5,0 kg e que os coefi- θ cientes de atrito estático e cinético entre B e o plano de apoio valem, respectivamente, 0,45 e 0,40, determine: Resposta: c a) o módulo da aceleração dos blocos; b) a intensidade da força de tração no fio. 42 A situação representada na figura refere-se a um bloco que, Resolução: abandonado em repouso no ponto A, desce o plano inclinado com a) (I) Cálculo da intensidade da componente tangencial do peso em B: aceleração de 2,0 m/s2, indo atingir o ponto B. Pt = mB g sen θ B Sabendo-se que, no local, |g | = 10 m/s2 e a influência do ar é desprezí- Pt = 5,0 · 10 · 0,60 (N) B vel, pede-se calcular o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano de apoio. Pt = 30 N A a B g (II) Cálculo da intensidade da força de atrito de destaque entre B e 3,0 m o plano inclinado: Resolução: Fat = µe mB g cos θ 2a Lei de Newton: B d Pt – Fat = m a Fat = 0,45 · 5,0 · 10 · 0,80 (N) d c 4,0 m m g sen θ – µc m g cos θ = m a Fat = 18 N d 3,0 4,0 10 · – µ 10 · = 2,0 5,0 c 5,0 Como PA = 50 N supera a soma Pt + Fat = 48 N, os blocos entram e d µc = 0,50 em movimento, com B subindo ao longo do plano inclinado. (III) Cálculo da intensidade da força de atrito cinético entre B e o plano inclinado: Resposta: 0,50 Fat = µc mB g cos θ c Fat = 0,40 · 5,0 · 10 · 0,80 (N) 43 (Puccamp-SP – mod.) Um bloco de massa 5,0 kg é arrastado para c cima, ao longo de um plano inclinado, por uma força F , constante, parale- Fat = 16 N c la ao plano e de intensidade 50 N, como representa a figura abaixo. a (IV) 2 Lei de Newton para o conjunto A + B: F PA – Pt – Fat = (mA + mB) a B c 50 – 30 – 16 = 10 a 6,0 m a = 0,40 m/s2 θ b) 2a Lei de Newton para o bloco A: 8,0 m PA – T = mA a ⇒ 50 – T = 5,0 0,40 T = 48 N Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano vale 0,40 e que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2, Respostas: a) 0,40 m/s2; b) 48 N calcule a intensidade da aceleração do bloco.
  • 15. Tópico 2 – Atrito entre sólidos 161 45 Um cubo 1, de aço e de aresta a, acha-se apoiado sobre um piso Resolução: de madeira plano, horizontal e que lhe oferece atrito. Nessas condi- As componentes de F1 e F2 perpendiculares à direção do movimento ções, a força horizontal que o deixa na iminência de se movimentar equilibram-se; logo: tem intensidade F1. Substitui-se, então, o cubo 1 por um cubo 2, de Fat = 2 F sen 30° c mesmo material, porém de aresta 2a. A força que coloca o cubo 2 na µc m g = 2 F 0,50 iminência de se movimentar tem intensidade F2. Analise as proposi- 6,0 µc = F ⇒ µc = ções seguintes: m g 1,2 · 10 I. O coeficiente de atrito estático é o mesmo para os dois cubos. µc = 0,50 II. F2 = F1, pois a força de atrito máxima independe da área de contato entre as superfícies atritantes. III. F2 = 8F1, pois o cubo 2 é oito vezes mais pesado que o cubo 1. Resposta: c Aponte a alternativa correta: a) Somente I é verdadeira. d) Somente I e II são verdadeiras. 47 Um carro especial projetado para arrancadas de alta perfor- b) Somente II é verdadeira. e) Somente I e III são verdadeiras. mance (drag racing) tem tração nas rodas traseiras de modo que elas c) Somente III é verdadeira. comprimem a pista de provas – plana, reta e horizontal – com uma força equivalente a 2 do peso total do veículo. No local, a aceleração Resolução: 3 (1) Verdadeira. da gravidade tem intensidade g e a resistência do ar pode ser ignorada. Mesmos materiais. Supondo que os coeficientes de atrito estático e cinético entre as rodas traseiras e a pista valham μe e μc, respectivamente, e admitindo despre- (2) Falsa. zíveis os atritos nas rodas não-motrizes, determine: F = Fat ⇒ F = µe m g (I) a) o módulo da máxima aceleração possível para o carro; d Sendo d a densidade do aço, tem-se: b) o mínimo intervalo de tempo para o veículo percorrer, a partir do re- pouso, uma distância d com aceleração de intensidade constante. d = m = m ⇒ m = d a3 (II) V a3 Substituindo (II) em (I), temos: Resolução: a) A aceleração terá módulo máximo quando as rodas motrizes fica- F = µe d g a3 rem na iminência de deslizar. Nesse caso, a força motriz será a for- F1 = µe d g a3 ça de atrito de destaque: F2 = µe d g (2 · a)3 ⇒ F2 = 8 µe d · g a3 amáx F2 = 8 · F1 Fn (3) Verdadeira. P1 = m1 g = d a3 g Fat d P2 = m2 g = d (2 · a)3 g P2 = 8 d a3 g 2a Lei de Newton: Logo: Fat = m amáx d µe Fn = m amáx ⇒ µe 2 m g = m amáx P2 = 8 P1 3 amáx = 2 µe g Resposta: e 3 amáx 2 2 d 46 (Unesp-SP) A figura mostra um tijolo de 1,2 kg sendo arrasta- b) MUV: d = t ⇒ tmín = 2 mín amáx do com velocidade constante por duas forças constantes de módulos iguais a 6,0 N cada, paralelas ao plano horizontal. tmín = 2 d ⇒ tmín = 3 d Dados: g = 10 m/s2; sen 30° = cos 60° = 0,50; sen 60° = cos 30° = 0,87. 2 µ g µe g 3 e Respostas: a) 2 µe g; b) 3 d 3 µe g 30° 48 (Fuvest-SP) Você empurra um livro sobre uma mesa horizontal, F1 30° comunicando-lhe certa velocidade inicial. Você observa que, depois de abandonado, o livro desliza aproximadamente 1 metro sobre a mesa, F2 até parar. Se a massa do livro fosse o dobro e se você o empurrasse, comunicando-lhe a mesma velocidade inicial, ele deslizaria, até parar, O valor do coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o piso sobre o aproximadamente: qual ele é arrastado é: a) 0,25 m. c) 1 m. e) 2 m. a) 0,05. b) 0,08. c) 0,50. d) 0,80. e) 0,96. b) 0,5 m. d) 1,4 m.