Este documento apresenta os conceitos fundamentais de estatística aplicados à física experimental, incluindo medidas de tendência central e dispersão, cálculo de incertezas de Tipo A e B, e determinação de algarismos significativos. É dada ênfase à importância da estatística para estabelecer resultados experimentais confiáveis dada a variação inerente aos processos de medição.

1. Notas de Aula de Física Experimental 1
Paulo Quintairos
2013

2. 2
1. Medidas de Tendência Central e Medidas de
Dispersão
1.1.Introdução: Por que usar Estatística?
Medidas experimentais, mesmo quando efetuadas
com esmero e cuidado, implicam erros e variação.
Segundo Oguri (2006),
“Todo experimento em Física envolve a
medição duma ou várias grandezas. Mesmo
que as medições tenham sido realizadas com
todo esmero, os valores encontrados (medidas)
estão sujeitos, inevitavelmente, a incertezas. A
análise de erros é o estudo que nos permite
estimar essas incertezas e, em muitos casos,
pode nos ajudar a reduzi-las ou controlá-las”.
Para elucidar a relevância do processo de Análise
de Dados, tomemos como exemplo, um experimento
feito para comprovar um resultado bastante
conhecido da Geometria plana. Sabe-se que a soma
dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a
1800
. Entretanto, ao medirmos os ângulos internos de
alguns triângulos e somarmos os valores obtidos para
cada um deles, não obteremos 1800
para todos. É
bastante provável que o valor correto, conhecido a
priori, não seja encontrado para nenhum dos objetos
medidos. Isso quer dizer que as medidas estão
erradas ou que o valor teórico de 1800
está errado?
Considerando que as medidas foram feitas
corretamente e que os triângulos são bem feitos, a
resposta é que tal variação é inerente ao processo de
medição. Assim sendo, o uso da Estatística é
imprescindível para estabelecermos resultados
experimentais. Podemos resumidamente concluir que
é impossível eliminar o erro nos processos de
medida, porém é possível controlar tais erros usando
Estatística e a Teoria dos Erros, que será objeto de
estudo da disciplina Física Experimental 1.
1.2.Medidas de Tendência Central
Consideremos a seguinte situação problema:
temos a tarefa de medir o comprimento de uma barra
metálica usando uma trena milimetrada. Para reduzir
o erro envolvido no processo, o comprimento da barra
foi aferido cinco vezes por uma mesma pessoa. Os
resultados obtidos foram:
ℓ(mm)
125,4
124,4
125,3
124,8
124,6
Como os cinco valores encontrados foram obtidos
pela mesma pessoa, com a mesma trena e a
intervalos de tempo próximos, não é possível admitir
que uma das medidas seja melhor que as demais.
Cabe então a pergunta: qual o comprimento da
barra? Usualmente considera-se que a média
aritmética simples (doravante média) dos valores
obtidos é o melhor resultado, ainda que não
corresponda a nenhum dos valores do conjunto. Para

3. 3
obter a média de um conjunto de dados temos de
somar todos os valores obtidos e dividir pelo número
de valores. Para a tabela acima teremos:
MÉDIA ARITMÉTICA:
N
N
i
i
 1


̅ = (125,4 + 124,4 + 125,3 + 124,8 + 124,6)÷ 5
̅ = 124,9 mm
Devido a variação encontrada para os valores da
mesma medida (o comprimento da barra), foi
solicitado a uma outra pessoa que efetuasse também
cinco medidas do comprimento da mesma barra,
utilizando a mesma trena. A tabela a seguir apresenta
os resultados obtidos pelos dois medidores, com as
respectivas médias.
ℓ(mm) ℓ´(mm)
125,4 126
124,4 124,8
125,3 125,3
124,8 124,1
124,6 123,8
Média = 124,9 124,8
Os dois conjuntos de medidas apresentam médias
diferentes, apesar de terem sido obtidos com o
mesmo cuidado e utilizando o mesmo instrumento de
medida. Qual das duas médias pode ser considerada
como o resultado mais confiável?
1.3.Medidas de Dispersão
Para estabelecermos qual das duas médias é a
mais confiável, é preciso introduzir algumas
definições de medidas que mostrem a dispersão dos
dados. Partiremos do princípio que quanto menos
dispersos forem os dados, mais confiáveis são as
medidas. Podemos calcular quanto que cada um dos
valores obtidos difere da média e depois calcular a
média dos desvios. Os valores obtidos para os dois
conjuntos de dados são apresentados na tabela
abaixo.
ℓ(mm) ℓ -̅ (mm) ℓ´(mm) ℓ´ - ̅ ´ (mm)
125,4 0,5 126 1,2
124,4 -0,5 124,8 0,0
125,3 0,4 125,3 0,5
124,8 -0,1 124,1 -0,7
124,6 -0,3 123,8 -1,0
Média = 124,9 0,0 124,8 0,0
Na tabela é possível notar que a soma dos desvios
para ambos os conjuntos de medidas é zero. Isso não
é uma coincidência, mas sim uma conseqüência da
definição de média aritmética simples. Para
estabelecer uma medida de dispersão, utiliza-se
então os quadrados dos desvios dos valores com
relação à média. A medida de dispersão que

4. 4
adotaremos é o desvio padrão (símbolo σ), que pode
ser calculado da seguinte forma:
ℓ(mm) ℓ - ̅ (mm) (ℓ - ̅)
2
(mm
2
)
125,4 0,5 0,3
124,4 -0,5 0,3
125,3 0,4 0,2
124,8 -0,1 0,0
124,6 -0,3 0,1
Média = 124,9 0,0 0,9
ℓ´(mm) ℓ´ - ̅ ´ (mm) (ℓ´ - ̅ ´)
2
(mm
2
)
126,0 1,2 1,4
124,8 0,0 0,0
125,3 0,5 0,3
124,1 -0,7 0,5
123,8 -1,0 1,0
Média = 124,8 0,0 3,2
O desvio padrão é calculado pela raiz quadrada da
soma dos valores quadráticos dividida pelo número de
medidas menos um, ou seja,
DESVIO PADRÃO:
 
1
1
2




N
N
i
i 

mm4,0
15
9,0


 e mm9,0
15
2,3
´ 


A partir dos resultados obtidos para o desvio padrão,
podemos finalmente dizer que o primeiro conjunto de
medidas é o mais confiável, pois apresenta dispersão
mais baixa.
1.4.Exercício
A área de uma superfície retangular é calculada como
sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela
abaixo são apresentadas seis medidas (todas confiáveis)
obtidas a partir de um tampo de uma mesa retangular.
(a) Calcule o valor da largura e do comprimento do
tampo e o desvio padrão para as medidas de largura e
comprimento. (b) Qual das duas medidas (comprimento e
largura) é a mais confiável?
Comprimento (cm) Largura (cm)
180,55 130,10
179,58 129,55
180,70 130,43
189,80 130,00
180,10 129,95
Resposta:
Comprimento (cm) Largura (cm)
Média 182.15 130.01
Desvio Padrão 4.30 0.32

5. 5
2. Incertezas do Tipo A e do Tipo B
2.1.Tipos de Incerteza
Conforme vimos anteriormente, para obter o valor de
uma grandeza temos de repetir o processo de medição
algumas vezes para, posteriormente, adotar o valor
médio do conjunto de medidas como sendo o valor
medido. Vimos também que o cálculo do desvio padrão
nos dá uma estimativa do erro atrelado à medida obtida.
Neste capítulo, veremos que o desvio padrão é somente
uma das incertezas associadas a uma medida
experimental.
As incertezas associadas a uma medida são de dois
tipos:
 Tipo A: é a incerteza de natureza Estatística;
mede a dispersão dos valores encontrados nas
repetições das medições feitas. Estima, portanto,
o erro devido a fatores aleatórios e espúrios como,
por exemplo, a habilidade de quem coleta os
dados. Adotaremos, como usual, o desvio padrão
como sendo a incerteza do tipo A.
 Tipo B: é a incerteza devido a fatores
sistemáticos, não-estatísticos, como as incertezas
inerentes ao instrumento de medição e ao arranjo
experimental utilizado. Adotaremos apenas a
incerteza instrumental como sendo a incerteza do
tipo B. A definição operacional de σB depende se o
instrumento usado na medição for analógico ou
digital.
2.2.Incerteza Tipo B: instrumentos analógicos
Adotaremos, ao longo de nosso curso, que a
incerteza σB para instrumentos analógicos é igual a
metade da menor graduação da escala do
instrumento (com exceção do paquímetro). Por
exemplo, para uma régua milimetrada, cuja menor
escala é 1 mm, teremos que σB = 0,5 mm. Já para um
paquímetro analógico, como o que será usado em
nosso laboratório, a menor escala é 0,05mm e, neste
caso, está já será a sua incerteza.
2.3.Incerteza Tipo B: instrumentos digitais
A incerteza do tipo B para instrumentos digitais é
um pouco mais complexa de ser calculada. O valor de
σB é obtido a partir da variação do último dígito do
instrumento e de um valor informado pelo fabricante.
Como, em laboratórios didáticos, a incerteza do tipo A
costuma ser maior que a do tipo B, quando são
usados instrumentos digitais de boa qualidade e,
ainda, devido a complexidade de calcular o valor do
erro para estes casos, não utilizaremos a incerteza do
tipo B nos experimentos em que o instrumento de
medida seja digital.
2.4.Combinação das incertezas A e B
Conforme foi dito anteriormente, a incerteza
associada a uma medida experimental é composta da
incerteza de natureza estatística (σA) e a incerteza
sistemática, ou não estatística, (σB). O valor da
incerteza de uma medição é calculado a partir dos

6. 6
valores de σA e de σB a partir da seguinte definição,
que é a soma de módulo de dois vetores:
√
2.5.Exemplo: medida do comprimento de uma
barra
Vamos agora retomar o exemplo usado no capítulo
anterior para a medida do comprimento de uma barra,
utilizando uma régua milimetrada. Vimos que duas
pessoas efetuaram cinco medidas da barra, cada
uma. Os resultados obtidos a partir dos dois
conjuntos de dados foram:
a) ̅ = 124,9 mm σA = 0,4 mm
b) ̅ ´ = 124,8 mm σA
´
= 0,9 mm
Lembrando que os dois conjuntos de medidas
foram obtidos a partir de uma mesma régua
milimetrada, temos que a incerteza do tipo B será
igual a 0,5mm para ambos os conjuntos de medidas.
Assim, σB = 0,5mm.
Portanto, podemos agora calcular a incerteza
contida em cada uma das medidas, l e l´, combinando
os dois tipos de incertezas. Para o primeiro conjunto
de medidas temos:
a) σA = 0,4mm e σB = 0,5mm
√
b) σA = 0,9mm e σB = 0,5mm
√
Podemos finalmente apresentar as medidas
obtidas para a barra de forma tecnicamente correta:
a) ℓ = (124,9  0,6) mm
b) ℓ´= (125  1) mm
2.6.Exercício
A área de uma superfície retangular é calculada como
sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela
abaixo são apresentadas cinco medidas (todas
confiáveis) obtidas a partir de uma barra metálica
retangular. (a) Calcule o valor da largura e do
comprimento da barra, o desvio padrão e a incerteza final
para as medidas de largura e comprimento. (b) Qual das
duas medidas (comprimento e largura) é a mais
confiável?
Comprimento (mm) Largura (mm)
180,5 130,1
179,5 129,5
180,7 130,3
189,8 130,0
180,1 129,5
Resposta:
Comprimento (mm) Largura (mm)
Média 182,1 129,9
Desvio Padrão 4,3 0,4
Incerteza 4,3 0,6

7. 7
2.7.Algarismos Significativos e arredondamento
Uma dúvida bastante comum dentre os iniciantes
da Física Experimental se a refere ao número de
algarismos (casas decimais) que devem ser
considerados em uma medida. A resposta é que se
deve sempre considerar o número de “algarismos
significativos”. Segundo Oguri (2006),
“Algarismos significativos de uma medida ou
estimativa indicam a sua precisão e, portanto,
são determinados pelo erro a ela associado.
Desse modo, somente após o cálculo do erro é
possível estimar o número de algarismos com
que um resultado deve ser expresso”.
A partir da definição de algarismos significativos,
podemos distinguir duas formas diferentes para obtê-
los, cada uma delas aplicável a uma situação
diferente.
2.8.Algarismo significativos em medições diretas
Ao realizarmos uma medição direta, como por
exemplo uma medição do comprimento de uma barra,
a única incerteza envolvida é o erro sistemático do
próprio instrumento de medida usado, ou seja, a
incerteza do tipo B. Voltemos novamente ao exemplo
das medições do comprimento de uma barra. Em
cada uma das dez medidas apresentadas (cinco de
cada operador) a incerteza do instrumento de medida
— a régua milimetrada — é igual a 0,5mm. Portanto,
observe que todos os valores apresentados
continham algarismos até os décimos de milímetro,
isto é, uma casa decimal em milímetros.
2.9.Algarismos significativos
Quando o valor de uma grandeza é determinado
pela média de diversas repetições de uma mesma
medida, o número de algarismos significativos será
determinado pelo erro experimental, sendo que o erro
experimental (incerteza) deve ser apresentado com
apenas um dígito diferente de zero. Novamente
voltando ao exemplo das medidas do comprimento da
barra, temos que a primeira medida é
ℓ = (124,9  0,6) mm ;
note que a medida contém até décimos de milímetros,
pois a incerteza da medida é igual a quatro décimos
de milímetros. O valor obtido a partir do segundo
conjunto de medidas foi apresentado como
ℓ´= (125  1) mm ;
note que agora a medida contém apenas até as
unidades de milímetros, pois a incerteza da medida
calculada foi 1,0 mm e, como a incerteza deve ser
expressa com apenas um dígito diferente de zero,
tem-se σ´ = 1 mm.
2.10. Exercício:
Joãozinho mediu a altura do “pé direito” da casa onde
mora; fez seis medidas em pontos diferentes de uma
mesma sala, usando uma trena cuja menor marcação
era um milímetro. Os valores obtidos por Joãozinho

8. 8
são expressos na tabela abaixo, a partir deles calcule
o valor do pé direito da casa e apresente-o da forma
tecnicamente mais correta.
Neste caso, apesar da precisão da trena ser de
5,0i mm devemos também considerar o “arranjo”
experimental, ou seja, as condições em que a medida
é feita. Quem já usou uma trena (milimetrada) para
obter medidas em uma construção sabe que seria
absurdo afirmar que o erro sistemático (erro tipo B) é
de apenas 0,5 mm (existem também outros erros
como paralelismo, etc que serão discutidos mais
adiante no curso). Considere, portanto, um erro tipo B
dez vezes maior  5,0B cm.
295,0 298,5 294,7
296,2 297,0 295,5
Tab. 2.10: Medidas para o “pé direito” da casa de Joãozinho. Valores em cm.
Resposta: cmh )2296( 

9. 9
3. Medições de Tempo
Neste capítulo todas as técnicas anteriormente
apresentadas serão utilizadas para obtermos o valor do
período de oscilação de um pêndulo simples. Iniciaremos
o capítulo com as definições básicas do que é um
pêndulo simples e posteriormente será apresentado um
exemplo de todo o processo de tomada das medidas e
do tratamento dos dados experimentais.
3.1.O pêndulo simples
Podemos definir um pêndulo simples como um
pequeno corpo, cujas dimensões são desprezíveis,
suspenso por um fio inextensível e de massa
desprezível. Uma das extremidades do fio é fixa e a outra
está presa à partícula. Desprezando os efeitos da
resistência do ar e possíveis efeitos do atrito na
extremidade fixa do fio, a partícula oscila, para frente e
para trás, em um plano vertical, quando a partícula for
deslocada da posição de equilíbrio e abandonada.
3.2.O pêndulo real
Uma simples análise de um pêndulo real evidencia
que ele é bastante diferente de um pêndulo simples
(ideal). Entretanto, na prática científica, é muito comum
introduzir aproximações dos objetos reais com relação
aos objetos e situações ideais. Analisando um pêndulo, é
fácil notar que há muitas discrepâncias entre o modelo e
o real: a massa presa na extremidade do fio não tem
dimensão desprezível, o fio tem massa e não é
totalmente rígido, existe atrito entre o fio e o sistema de
fixação do mesmo e, ainda, existe atrito entre o pêndulo
e o ar durante o movimento de oscilação. Uma prova
cabal da existência de todos esses atritos é que a
amplitude de oscilação do pêndulo vai sendo reduzida
com o passar do tempo, até que o pêndulo finalmente
pare de oscilar. Como sabemos que a energia é sempre
conservada, tem-se que a energia mecânica de oscilação
foi convertida em energia térmica (note o aumento da
temperatura das partes atritadas).
Apesar de tantas discrepâncias entre o pêndulo ideal
e o real, podemos observar que:
 o tamanho da massa presa na extremidade do fio é
pequena em relação ao comprimento total do
pêndulo;
 a massa do fio é pequena em relação a massa da
esfera;
 para a massa presa na extremidade do fio, a
deformação sofrida pelo mesmo é imperceptível;

10. 10
 quando o ângulo de deslocamento inicial do pêndulo
for de até 100
, a redução da amplitude do pêndulo ao
longo de dez oscilações será quase imperceptível.
Podemos então dizer que o pêndulo real que será
utilizado em nossa atividade prática é uma boa
aproximação de um pêndulo simples ideal.
3.3.Período
O período de um movimento periódico qualquer é
definido como o tempo necessário para completar uma
oscilação completa. A partir dessa definição, podemos
então dizer que o período do pêndulo simples é o tempo
gasto pelo pêndulo para realizar um movimento de ida e
vinda do objeto.
3.4.Como medir o período de um pêndulo
simples?
A primeira idéia que um estudante pode ter de como
medir o período de um pêndulo simples é simplesmente
cronometrar o tempo que pêndulo demora para executar
um oscilação (ida e volta). Entretanto tal procedimento
conduz a uma medida pouco confiável. É bem sabido
que todos os seres humanos têm um tempo de reação
entre ver um fenômeno e acionar o cronômetro, seja para
iniciar ou para terminar a contagem do tempo. Isso quer
dizer que ao cronometrar diretamente um período esse
erro será cometido duas vezes, e obviamente fará parte
da medida. Usando a cronometragem manual não
podemos, obviamente, eliminar o tempo de reação das
nossas medidas. Entretanto, podemos adotar uma
sistemática de tomada de tempos capaz de reduzir o erro
contido nas medidas. Se ao invés de cronometrar um
período de oscilação, cronometrarmos dez períodos de
oscilações e, depois, dividirmos o resultado por dez, o
erro de reação contido na medida será dez vezes menor.
Como foi visto nos capítulos anteriores, uma medida
deve ser repetida diversas vezes para, a partir do cálculo
da média e do desvio padrão, estabelecer o valor da
medida e a confiabilidade da mesma. Por esse motivo,
para medirmos o período do pêndulo simples,
adotaremos o procedimento de repetir a medida (de dez
oscilações) cinqüenta vezes. A partir dos cinqüenta
valores medidos será possível obter um valor para o
período e estabelecer a precisão do mesmo; através do
cálculo da incerteza da medida.

11. 11
3.5.Procedimento Experimental
O procedimento experimental para uma boa tomada
de dados pode ser feito seguindo os seguintes passos:
 Desloque o pêndulo em relação a posição de
equilíbrio de um ângulo de até 100
;
 Cronometre o tempo que o pêndulo gasta para
completar dez oscilações (dez idas e vindas);
 Anote o resultado, com as duas casas decimais (em
segundos), obtido com o cronômetro.
 Repita os procedimentos acima 50 vezes;
 Ordene todas as medidas obtidas em ordem
crescente;
 Divida cada uma das cinqüenta medidas por 10 e
mantenha duas casas decimais;
 Calcule a média e o desvio padrão para o conjunto
das cinqüenta medidas.
3.6.Exemplo
Seguindo o procedimento experimental descrito na
secção anterior, cada bancada irá obter uma tabela
como a apresentada a seguir:
TEMPO PARA 10 OSCILAÇÕES(s)
18.54 18.71 18.76 18.83 18.89
18.55 18.74 18.77 18.85 18.90
18.56 18.74 18.77 18.85 18.91
18.57 18.75 18.78 18.87 18.93
18.65 18.75 18.78 18.87 18.93
18.65 18.75 18.79 18.88 18.95
18.67 18.75 18.81 18.88 18.97
18.69 18.76 18.82 18.89 19.03
18.69 18.76 18.83 18.89 19.06
18.69 18.76 18.83 18.89 19.09
Período(s)
1.85 1.87 1.88 1.88 1.89
1.86 1.87 1.88 1.89 1.89
1.86 1.87 1.88 1.89 1.89
1.86 1.88 1.88 1.89 1.89
1.87 1.88 1.88 1.89 1.89
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90
1.87 1.88 1.88 1.89 1.91
1.87 1.88 1.88 1.89 1.91

12. 12
Para estabelecer o valor do período (T) de oscilação
do pêndulo, temos de calcular o valor médio das
cinqüenta medidas e o respectivo desvio padrão.
Fazendo os cálculos, para a tabela exemplo os
valores encontrados foram:
sT 88,1 e s01,0
ou, ainda,
  sT 01,088,1 
3.7.Comparação dos dados com o padrão da
gaussiana
Para um conjunto de medidas estar de acordo com os
padrões da distribuição de Gauss (curva de Gauss), é
necessário que as medidas estejam concentradas em
torno da média da seguinte forma:
Intervalo (s) Freqüência (%)
1   TTT 68.3%
2  22  TTT 95.5%
3  33  TTT 99.7%
A coluna intitulada freqüência indica o percentual
mínimo de medidas que tem de estar no intervalo
especificado. Especificamente para o exemplo do qual
estamos tratando, vejamos como fica a análise:
Intervalo (s) Medido Mínimo
1.87 a 1.89 82% 68.30%
1.86 a 1.90 94% 95.50%
1.85 a 1.91 100% 99.70%
Como todos os percentuais medidos ficaram acima
dos percentuais mínimos, podemos concluir que as
medidas estão boas.

13. 13
4. Leitura de uma escala milimetrada
4.1.Objetivo da Experiência
O objetivo desta prática é analisar a precisão de
medidas de comprimentos feitas com uma régua
milimetrada. Para atingirmos esse objetivo, vamos
comparar as medidas de comprimentos obtidas com uma
régua milimetrada de boa qualidade e as medidas de
referência, para os mesmos comprimentos, apresentadas
em uma tabela em anexo.
4.2.Medindo comprimentos com uma régua
Ao usarmos uma régua milimetrada para medir um
comprimento, a melhor leitura é feita computando todos
os algarismos de leitura direta mais o primeiro algarismo
avaliado.
A figura abaixo exemplifica uma típica leitura feita
com uma régua milimetrada.
A melhor leitura do comprimento da barra é:
 mm5,06,128 , onde a incerteza é somente a tipo B,
isto é, proveniente somente do erro sistemático. Como
somente uma leitura foi realizada, a incerteza do Tipo A
(estatística) é igual a zero e a incerteza da medida é
igual a σB.
Observe que a presença dos décimos de milímetros é
obrigatória na leitura do comprimento. No exemplo da
figura abaixo a baixo, a melhor leitura é
 mm5,00,125 , onde o zero na casa dos décimos de
milímetros indica que o final da barra coincide com o
traço 125 da régua.

14. 14
4.3.Procedimento Experimental
Com o intuito de comparar a leitura feita com uma
régua de boa qualidade com a leitura feita por um
instrumento mais preciso, cada aluno deverá medir a
distância entre as marcas (traços) de todas as barras
da caixa de barras.
Além de anotar o valor medido, o aluno deve
também anotar o número impresso na barra, pois é
com este código que será possível saber a medida de
referência da barra. Sendo assim, é aconselhável
preencher a seguinte tabela:
Número
da Barra
Distância entre as marcas Diferença
Medida (mm) Referência (mm) (Med - Ref)(mm)
4.4.Análise dos dados
Após preencher a tabela, podemos iniciar a
análise dos dados. Note que como o objetivo da
prática é avaliar a precisão da leitura feita com a
régua milimetrada, a variável que iremos analisar é a
diferença entre as medidas, ou seja, os valores
contidos na última coluna à direita da tabela acima.
Os valores lá contidos expressam as diferenças,
positivas e negativas, entre as leitura feitas com a
régua e os chamados valores de referência. Assim
sendo, os  ´s expressam os erros cometidos na
leitura direta feita com a régua.
O primeiro passo é calcular a média dos deltas, 
, e o desvio padrão σ. Teremos então que o erro
médio cometido ao medir comprimentos com uma
régua será:   . O passo seguinte na análise da
precisão de leitura é verificar se as medidas obtidas
satisfazem as condições estabelecidas a partir da
gaussiana. Isto quer dizer que devemos fazer verificar
se as medidas estão de acordo com o seguinte
padrão:

15. 15
Intervalo (mm) Freqüência (%)
1   68.3%
2  22  95.5%
3  33  99.7%
4.5.Interpretação dos dados
Se os dados obtidos para os  ´s estiverem de acordo
com a tabela acima, isso significa que o erro cometido ao
medir comprimentos usando uma régua é
aproximadamente “constante”. Contrariamente, se os  s
não satisfizerem os três sigmas, isso mostra que o erro
cometido ao medir comprimentos com a régua é aleatório
e, portanto, que o aluno deve ser mais atento ao fazer
tais leituras.

16. 16
4.6.Tabelas
CONJUNTO A
Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm)
1 125,750 10 125,460 19 144,955 28 144,790
2 125,630 11 125,210 20 144,915 29 144,565
3 125,600 12 125,130 21 144,890 30 145,160
4 125,325 13 125,425 22 144,800 31 144,780
5 125,420 14 125,420 23 145,150 32 144,835
6 125,445 15 125,500 24 145,000 33 144,955
7 125,485 16 125,065 25 145,140 34 145,190
8 125,310 17 125,380 26 144,770 35 144,980
9 125,285 18 125,250 27 144,650 36 144,820
CONJUNTO B
Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm)
1 117,240 10 113,810 19 126,535 28
2 114,685 11 113,870 20 128,865 29
3 117,250 12 117,780 21 118,910 30
4 122,980 13 122,000 22 119,270 31 144,780
5 115,475 14 114,500 23 116,690 32 144,835
6 121,110 15 116,660 24 33 144,955
7 125,250 16 123,375 25 34 145,190
8 120,580 17 120,790 26 35 144,980
9 119,360 18 121,215 27 36 144,480

17. 17
5. Medidas com paquímetro
Nesta aula iniciaremos o uso do paquímetro como
instrumento de medida. Paquímetros são instrumentos
de precisão de grande utilidade; podem ser usados para
medir diâmetros externos e internos de objetos,
comprimento e também profundidade. A precisão das
medidas realizadas com paquímetros é
consideravelmente maior do que a conseguida com
réguas.
5.1.Por que o paquímetro é mais preciso que a
régua?
Réguas contem apenas uma escala milimetrada
fixa, ao passo que um paquímetro possui duas
escalas: uma fixa e uma móvel (nônio). A escala
móvel funciona como uma ampliação do
espaçamento entre dois traços (milímetros)
consecutivos da escala fixa.
5.2.Incerteza do Tipo B
O paquímetro que será utilizado em nosso
laboratório é do tipo analógico. Sua incerteza,
incerteza do instrumento (erro sistemático), será dada
pela menor escala de medida do instrumento. Em
particular, a menor escala do nônio (ou vernier) do
paquímetro que utilizaremos é 0,05mm, pois o nônio
possui 20 divisões, dividindo a escala principal
(milimetrada) em 20 partes iguais:
mm
mm
B 05,0
20
1

5.3.Incerteza
A incerteza de uma medida experimental, feita
repetidas vezes, é uma combinação da incerteza do
Tipo A (estatística) e a incerteza do Tipo B (não
estatística). A composição dos dois tipos de
incertezas é feita da seguinte forma:
22
BA   .
Para a incerteza do tipo A será usada em nosso curso
o próprio desvio padrão.

18. 18
5.4.Parte prática
O objetivo da prática deste capítulo é, usando um
paquímetro, medir o diâmetro de um prego e avaliar
se esse diâmetro é constante ao longo do objeto.
Para realizarmos o experimento, cada um dos grupos
deve seguir o seguinte procedimento:
 Use o paquímetro e meça o diâmetro do
prego em 20 pontos diferentes;
 Calcule a média d e o desvio padrão σA do
conjunto de valores;
 Escreva o diâmetro do prego da seguinte
forma: mmdd BA )(   ;
 Calcule a incerteza σ da medida a partir das
incertezas σA e σB usando a equação
22
BA   ;
 A partir dos valores obtidos, avalie o
número de algarismos significativos que a
medida deve conter;
 Escreva corretamente o valor final da
medida, ou seja, mmdd )( 
 Usando os valores de d e σ, avalie o
conjunto de medidas de acordo com os
níveis de segurança da gaussiana (três
sigmas).
5.5.Conclusões
Caso as medidas não satisfaçam os níveis de
segurança, será possível concluir que o diâmetro do
prego não é constante. Ao contrário, caso as medidas
satisfaçam os níveis de segurança, será possível
concluir que o diâmetro do prego é constante.

19. 19
6. Incerteza em medidas indiretas (Propagação de
Incertezas)
Todas as medidas obtidas até este ponto de nosso
curso foram relacionadas à medidas diretas. O
comprimento das distâncias entre as marcas das barras
e o diâmetro dos pregos são grandezas medidas
diretamente, com um instrumento apropriado. Vimos
também que a incerteza nessas medidas diretas é
composta da incerteza estatística (σA), adotada neste
curso como o desvio padrão, e da incerteza não
estatística (σB).
A partir desta aula, iniciaremos o estudo das medidas
obtidas de forma indireta, i.e., de uma composição de
medidas diretas. Especificamente analisaremos o
problema de como medir a área de uma placa, a partir
das medidas diretas dos lados da placa.
6.1.Como medir a área de uma placa
Da geometria plana sabemos que a área de uma
placa, como a da figura ao lado, é calculada a partir do
produto dos lados da placa.
Observemos, entretanto, que para medir a área da placa
usando um paquímetro, temos de medir o comprimento
dos lados L e C para, de forma indireta (através de
cálculos), obter o valor de S.
Vimos nas aulas anteriores, que para medir
comprimentos, temos de fazer uma série de medidas e,
posteriormente, calcular o valor médio e a incerteza
relacionados às medidas. Assim sendo, os valores de L e
de C deverão ser expressos como:
mmLL L )( 
e
mmCC C )(  .
Seguindo este mesmo tipo de tratamento, devemos
esperar que a área da placa seja expressa como:
Como σS pode ser obtido? É intuitivo que o valor de
σS depende dos valores de σL, σC, L e <C>. A tabela em
apêndice mostra detalhadamente como as incertezas de
medidas indiretas podem ser obtidas. Especificamente
para a área de uma placa, a incerteza da área é dada da
seguinte forma:
6.2.Parte prática
Para medir a área da placa, siga o seguinte roteiro:
CLS 
  2
mmSS S
22













CL
CL CL
S



20. 20
a. Usando um paquímetro, meça L em dez pontos
diferentes da placa;
b. Usando um paquímetro, meça C em dez pontos
diferentes da placa;
c. Calcule o valore médio L e o desvio padrão (σA)L;
d. Calcule o valore médio C e o desvio padrão (σA)C;
e. Calcule as incertezas das medidas de L e de C da
seguinte forma:
   22
PaquímetroBLAL  
   22
PaquímetroBCAC  
f. Calcule o valor de <S> da seguinte forma:
CLS 
g. Calcule a incerteza de S da seguinte forma:
22













CL
CL CL
S


h. Expresse a área da placa, utilizando o número correto
de algarismos significativos:
2
)( mmSS S

21. 21
7. Incerteza em medidas indiretas: Volume
Nesta aula faremos mais um exercício de aplicação
relativo às medidas obtidas de forma indireta. Conforme
foi mostrado na aula anterior, o cálculo da incerteza de
uma medida indireta envolve as médias e as incertezas
das medições diretas. O objeto de estudo desta vez será
o volume de um cilindro.
7.1.Volume do Cilindro
O volume de um cilindro, como o da figura abaixo, é
dado pelo produto da área da base pela altura do
cilindro. Por sua vez, a área da base é calculada a partir
da medida do raio da base como: 2
RSBASE  . É fácil de
ver que, usando um paquímetro, o que podemos medir
diretamente não é o raio do cilindro, mas sim o diâmetro.
Assim, 2
2
42
DS
D
S BASEBASE

 





 . O volume do cilindro
é então:
HDHSV BASE
2
4


7.2.Incerteza do Volume do Cilindro
Para medir o volume de um cilindro, as grandezas
que são diretamente medidas são o diâmetro e a
altura do cilindro. Assim o volume é dado por:
HDV  2
4

e a incerteza da medida do volume é dada por:



















 

22
2
HD
V HD
V


7.3.Prática 1
Para medir o volume do cilindro, siga o seguinte
roteiro:
a. Usando um paquímetro, meça D em dez pontos
diferentes do cilindro;
b. Usando um paquímetro, meça H em dez pontos
diferentes do cilindro;
c. Calcule o valore médio D e o desvio padrão (σA)D;
d. Calcule o valore médio H e o desvio padrão (σA)H;

22. 22
e. Calcule as incertezas das medidas de H e de D da
seguinte forma:
Calcule o
valor de <V>
da seguinte
forma:
HDV  2
4

f. Calcule a incerteza de V da seguinte forma:



















 

22
2
HD
V HD
V


g. Expresse o volume do cilindro, utilizando o número
correto de algarismos significativos:
3
)( cmVV V
   22
PaquímetroBDAD  
   22
PaquímetroBHAH  

23. 23
8. Escalas Lineares
Uma das ferramentas mais importantes nos processos
de análises de dados é a análise de gráficos, os quais
são obtidos a partir dos experimentais. A análise gráfica
é poderosa pois permite avaliar o comportamento de
uma variável em relação a outra. Por exemplo, é possível
saber se o movimento de uma partícula é acelerado (ou
não) pela forma do gráfico da posição da partícula em
relação ao tempo de movimento.
Usualmente, na Física Experimental, bem como na
Ciência em geral, busca-se a relação entre grandezas
que influenciam fenômenos, com o intuito de determinar
as causas desses fenômenos; também é comum o uso
de gráficos quando o objetivo é, simplesmente, descrever
um determinado fenômeno ou movimento. Gráficos
permitem uma análise visual e global dos dados obtidos
Nesta aula iniciaremos o estudo da análise de dados
via gráficos, pelo estudo das escalas lineares. Ao longo
do curso de Física Experimental 1 serão estudadas,
ainda, as escalares logarítmicas (mono-log e di-log).
Antes de iniciarmos o estudo dos gráficos propriamente
dito, faremos uma breve revisão das funções lineares.
8.1.Funções Lineares
De forma geral, podemos definir uma função linear
como sendo uma função do tipo:
  abxxf  ;
onde os coeficientes b e a são denominados,
respectivamente, coeficiente angular e coeficiente linear.
O gráfico de uma função linear tem a forma de uma reta,
por isso a equação acima é também conhecida como
equação da reta.
Vejamos o seguinte exemplo: seja a função
23)(  xxf ; o gráfico desta função é obtido conforme a
figura a seguir.
x Y
-3 -7
-2 -4
-1 -1
0 2
1 5
2 8
3 11

24. 24
8.1.1. Significado dos Coeficientes
O coeficiente angular de uma reta fornece a
inclinação da reta, na verdade ele é a tangente do ângulo
de inclinação da reta. A figura a seguir mostra o gráfico
de duas funções lineares cujos coeficientes lineares são
iguais, 521  aa , mas os angulares são diferentes,
21 bb  .
O coeficiente linear, por outro lado, indica o ponto em
que a reta corta o eixo-y. A figura ao lado mostra o
gráfico de duas funções lineares cujos coeficientes
lineares são diferentes, 21 aa  , mas os angulares são
iguais, 2
2
4
21  bb .
8.2.Construção de Gráficos de escala lineares
8.2.1. Módulos de Escala
Para representar a dependência funcional entre duas
variáveis físicas é necessário, primeiramente, obter os
valores dos pares (x,y) a serem estudados; é necessário
também criar uma escala para desenhar o gráfico. A
escala fornece a relação entre a grandeza a ser
representada e o comprimento que a irá representar no
papel. O módulo de escala pode ser obtido da seguinte
forma:
Maior
X
X
oXCompriment
M  e
Maior
Y
Y
oYCompriment
M  .

25. 25
8.2.2. Representação das Incertezas
É bem sabido que toda medida experimental tem uma
incerteza (erro) a ela associado; tal erro deve também
fazer parte de uma representação gráfica da medida. Tal
representação gráfica é feita com uma linha (em escala)
em torno do ponto demarcado no desenho.
8.3.Prática: Exercício sobre escalas lineares
I. Faça o gráfico ( ) ( )y m x s para a função
( ) 2 3y x x  para os valores de x da tabela; coloque
na tabela, explicitamente, os fatores de escala
adotados. Utilizando o gráfico calcule os
coeficientes a e b.
X(s) Y(m) X(s) Y(m)
0 3 4 15
1 5 5 17
2 8 6 20
3 11 7 23
II. A tabela abaixo apresenta dados experimentais
para um movimento retilíneo uniforme, medido no
CGS. Os dados obedecem a função tvsts  0)( .
Trace melhor a reta ( ) ( )s cm t s e escreva na tabela,
explicitamente, os fatores de escala adotados. A
partir do gráfico, calcule os valores de s0 e de v.
( )t s ( )( )s cm
1,0 1,3
2,5 3,7
3,6 5,4
5,0 7,3
6,4 9,5
8,0 11,8
10,0 14,5
12,0 17,7
14,5 21,3
17,0 25,2
y
σx
σy
x

26. 26
9. Lei de Hooke
Na aula de hoje será analisado o comportamento de
uma mola, fixa em uma extremidade, sujeita à ação de
uma força (peso). Será visto que, nesse sistema, a
aplicação da força (causa) implica um efeito, que é a
deformação da mola. Parte das ferramentas de análise
experimental que foram vistas até aqui serão utilizadas
para descobrir as regularidades que existem na resposta
da mola (efeito) à força (causa) sobre ela aplicada.
Os conhecimentos necessários para a atividade
prática desta aula são: medidas de comprimento usando
escala milimetrada e confecção de um gráfico linear, em
papel milimetrado.
9.1.A lei de Hooke
O cientista inglês Robert Hooke (1635 - 1703)
estudou assuntos como Instrumentos Científicos,
Arquitetura, Navegação, Cartografia e Aparelhos
Mecânicos. Em 1676 ele sintetizou partes dos
conhecimentos que adquiriu sobre o comportamento de
corpos sujeitos a tensões da seguinte forma: "a tensão
resultante da aplicação de uma força em um material é
diretamente proporcional à sua deformação". Esta
expressão ficou conhecida como Lei de Hooke.
Para um sistema massa-mola, como o da figura ao
lado, a lei de Hooke implica que a deformação do
comprimento da mola é diretamente proporcional à foca
aplicada. Matematicamente, temos que:
xkF

 ;
onde k é a constante elástica da mola. Cada mola tem
uma constante k que a caracteriza.

27. 27
9.2.Aplicações da lei de Hooke
A lei de Hooke tem diversas aplicações na vida
cotidiana. Uma das mais comuns é a balança de molas,
cujo princípio de funcionamento é basicamente a lei de
Hooke.
Para construir uma balança de molas é preciso de
uma mola e um conjunto de massas conhecidas.
Medindo o comprimento que a mola assume em resposta
a aplicação dos pesos conhecidos é possível obter a
constante k da mola. A partir daí, quando uma massa
desconhecida é pendurada na extremidade da mola, é
possível medir o novo comprimento (deformado) da mola
e obter o valor do peso a partir da lei de Hooke, ou seja,
P = kx. É basicamente isso que a escala (linear) de uma
balança de molas faz.
9.3.Roteiro da Experiência
a. Usando uma escala milimetrada, obtenha o
comprimento da mola quando sujeita às forças
0,0N, 1,0N, 1,5N, 2,0N, 2,5N e 3,0N.
b. Repita o procedimento acima cinco vezes.
c. Calcule a média das medidas obtidas para cada
um dos pesos aplicados.
d. Calcule o desvio padrão das medidas obtidas para
cada um dos pesos aplicados.
e. Sabendo que a incerteza tipo B de uma escala
milimetrada é 0,5mm, calcule a incerteza
combinada das medidas obtidas para cada um
dos pesos aplicados.
f. Usando os valores obtidos e uma folha de papel
milimetrado, construa um gráfico comprimento X
peso.
g. Obtenha a inclinação da reta experimental.
9.4.Exemplo
Comprimento da Mola (mm)
Peso (N)M1 M2 M3 M4 M5 X D.P. σ
83.0 83.8 83.4 83.6 83.5 83.5 0.3 0.6 0.0
88.0 85.0 87.0 86.0 86.3 86.5 1.1 1.2 1.0
90.0 87.0 86.0 89.5 90.0 88.5 1.9 1.9 1.5
91.0 89.0 89.5 89.0 90.0 89.7 0.8 1.0 2.0
90.0 92.0 90.0 90.5 91.0 90.7 0.8 1.0 2.5
93.0 92.5 92.0 92.0 92.0 92.3 0.4 0.7 3.0

28. 28
82 84 86 88 90 92 94
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Peso(N)
X (mm)
ΔX
ΔY
mmN
M
X
M
Y
k
X
Y
/
















29. 29
Correlação e Regressão Linear
Como é possível saber se a relação entre duas
variáveis, x e y, é linear? A partir de um conjunto de
dados experimentais para as variáveis, é possível obter
um diagrama de dispersão e, a partir deste, observar se
os pontos do diagrama indicam que a relação é linear, ou
seja, se o gráfico x X y é uma reta. Esse método gráfico
foi utilizado no capítulo anterior. A partir do método
gráfico é também possível obter os coeficientes angular e
linear da reta, conforme feito na análise de dados da
experiência sobre a lei de Hooke.
Um outro método usado para identificar o tipo de
relação existente entre duas variáveis é o estudo da
correlação. Se a análise da correlação entre as variáveis
x e y indicar que há uma relação linear entre elas, é
então possível determinar a melhor reta que se ajusta
aos valores experimentais usando o Método dos Mínimos
Quadrados. Neste capítulo serão apresentados estes
métodos numéricos de análise de dados.
9.5.Coeficiente de Correlação
A partir de um conjunto (tábua) de valores
experimentais de duas variáveis (x e y), é possível
calcular o nível de correlação entre os valores. O
coeficiente r, que é definido como:
A definição de r implica que seu valor varia entre -
1 e +1. Tal coeficiente indica que quanto mais próximo de
+1 mais perfeita será a correlação positiva. Quanto mais
próxima de -1, mais perfeita será a correlação negativa.
Um coeficiente r próximo de 0 indica que não há
correlação entre as variáveis, ou seja, os valores de y
não são influenciados pelos de x, indicando que não há
uma relação causal entre as variáveis.
9.6.Cálculo de r: exemplo numérico
Utilizando os dados obtidos para o experimento da lei
de Hooke, vamos mostrar como é possível obter o valor
de r. Os dados são:
Peso (N)X(mm) XxPeso X^2 Peso^2
83.5 0.0 0.0 6965.6 0.0
86.5 1.0 86.5 7475.3 1.0
88.5 1.5 132.8 7832.3 2.3
89.7 2.0 179.4 8046.1 4.0
90.7 2.5 226.8 8226.5 6.3
92.3 3.0 276.9 8519.3 9.0
TOTAL 531.1 10.0 902.3 47065.0 22.5
As últimas três colunas da tabela acima, bem
como a última linha, serão usadas para o cálculo de r. O
valor de r para os dados acima será, então:
 ))610(5,22())61,531(0,47065(
)6101,5313,902(
22


r
1~996,0 rr 
   


























 
n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
r
2
2
2
2

30. 30
Note que o cálculo de r nos leva à mesma
conclusão que a análise gráfica, ou seja, há uma forte
correlação positiva entre as variáveis comprimento da
mola e peso a ela aplicado.
9.7.Cálculo dos coeficientes angular e linear
Quando o valor do coeficiente r for próximo dos seus
extremos, -1 ou +1, há uma clara indicação de que a
relação entre as variáveis x e y é linear. Isso implica a
existência de dois coeficientes a e b tais que
abxxy )( .
O método dos mínimos quadrados (MMQ) permite
calcular os valores de a e b, a partir da imposição da
minimização da função S(a,b), a qual é definida como:
    

N
i
ii
N
i
ii abxyxyybaS
1
2
1
2
)(),(
A imposição da condição de mínimo à função
S(a,b) leva aos seguintes resultados:
Os valores de a e b para o exemplo numérico que
estamos usando serão:
Na
mmNb
9,246)1,5313,010(
/03,0
))61,531(0,47065(
)6101,5313,902(
2





Note que o coeficiente angular b, é a própria
constante elástica da mola, ou seja, o k.
O coeficiente linear negativo indica que a mola,
quando submetida a pesos pequenos não responde
linearmente com sua deformação. Esse fato foi também
visto com a análise gráfica ao encontrarmos que o
primeiro dos pontos do gráfico não fazia parte da reta
que melhor alinhava os demais pontos experimentais.
9.8.Parte Prática
Usando os dados obtidos experimentalmente, na aula
anterior, calcule:
1. O coeficiente de correlação entre as variáveis X(mm)
e P(N);
2. Calcule os valores dos coeficientes angular e linear
entre os mesmos valores.
 



 



n
x
x
n
yx
xy
b 2
2
n
x
b
n
y
a
 

31. 31
10.Princípio de Arquimedes
Arquimedes foi um sábio que viveu entre os anos 287
a.C. e 212 a.C., em Siracusa, na Grécia. Ele estudou o
comportamento de corpos submersos em líquidos. Em
particular, ele analisou a relação entre a diferença de
peso de um objeto dentro e fora do meio líquido e a
densidade do material. As conclusões de Arquimedes
destes estudos são de grande importância e
aplicabilidade até os dias de hoje.
10.1. O Princípio de Arquimedes
Por que um navio não afunda na água, mas um
pequeno prego sim? Por que é mais fácil levantar alguém
quando estamos dentro de uma piscina do que quando
estamos fora? Perguntas como essas podem ser
facilmente respondidas a partir do estudo do Princípio de
Arquimedes:
Todo corpo completa ou parcialmente
mergulhado em um fluido experimenta uma
força de flutuação (empuxo) para cima, cujo
valor é igual ao peso do fluido deslocado pelo
corpo.
Para compreender o
princípio acima enunciado,
imagine que seja possível
observar isoladamente uma
porção de água de um copo
contendo água (ver figura). Se a
porção de água observada
permanece em repouso é
porque uma força atua sobre ela
de forma a equilibrar a ação da força peso; tal força é
denominada Empuxo. Se o cubo de água fosse
substituído por outro de mesmo tamanho e forma, mas
constituído por outra substância que não a água, a força
E continuaria a mesma a ser exercida sobre o cubo.
Entretanto, a força peso P seria alterada. Se P for maior
do que E, o cubo deverá afundar mais; se P for menor do
que E, o cubo deverá subir mais em direção à superfície
da água. A partir dessas observações, é fácil intuir que o
módulo da força E é igual ao peso do volume de água
deslocado, ou seja,
Na equação acima, ρ é a densidade do líquido, V o
volume do objeto e g o módulo da aceleração local da
gravidade. Logo, se o material for mais denso que o
líquido fundará, se for menos denso flutuará.
P
E
gVE  

32. 32
10.2. Parte Prática
O objetivo da presente experiência é verificar a
veracidade do princípio de Arquimedes, através da
medição do valor do empuxo da água sobre um cilindro
via dois procedimentos diferentes.
10.2.1. Medir o volume do cilindro
 Medir o diâmetro do cilindro em 10 pontos diferentes.
 Medir a altura do cilindro em 10 pontos diferentes.
 Calcular a média, o desvio padrão e a incerteza para
D e H .
 Calcular o volume do cilindro e a incerteza de tal
medida.
HDV  2
4




















 

22
2
HD
V HD 

10.2.2. Cálculo do empuxo de Arquimedes
 O empuxo, de acordo com a teoria de Arquimedes
será dado por:
 Considere
10.2.3. Cálculo empírico do empuxo
 Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro
não mergulhado em água;
 Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro
mergulhado em água;
 A diferença entre os dois valores obtidos é o empuxo,
ou seja,
gVE cilindroáguaArquimedes  
33
33
3
/10110 cmkg
cm
g
m
kg
água


SubmersoSecoEmpírico PPE 

33. 33
10.2.4. Comparação dos resultados
%100
2








 


ArquimedesEmpírico
ArquimedesEmpírico
EE
EE
e

34. 34
11.Primeira Lei de Newton
11.1. Primeira Lei de Newton
A primeira lei de Newton, também chamada de Lei da
Inércia, estabelece as condições de equilíbrio (estático
ou dinâmico) para uma partícula. Ela pode ser enunciada
da seguinte forma:
Todo corpo mantém seu estado de equilíbrio
(repouso ou MRU) a menos que alguma força seja
aplicada sobre ele.
Observe que o enunciado acima prescinde da existência
de um referencial onde a lei é válida, o qual é
usualmente denominado referencial inercial. De acordo
com a Lei de Inércia, a resultante de todas as forças que
atuam sobre uma partícula em repouso tem de ser zero;
o objetivo da presente prática é verificar essa afirmação.
11.2. Decomposição de forças
Forças são grandezas vetoriais e sendo assim podem
ser decompostas nas chamadas componentes
cartesianas Fx e Fy.
11.3. Um Sistema em equilíbrio
O sistema da figura abaixo está em equilíbrio.
Consideremos, em particular, o ponto P. Sobre
esse ponto atuam três forças e como P está em
equilíbrio, elas devem ter resultante nula.
F1 + F2 + F3 = 0
Para verificar se a soma das três forças é
realmente nula, temos de obter as intensidades de cada
uma delas e as respectivas direções.

35. 35
11.4. Parte Prática
1. Obtenha as intensidades de F1, F2 e F3, a partir da
leitura dos dinamômetros.
2. Usando um transferidor, obtenha os valores de α e β.
3. Obtenha os valores de F1x, F1y, F2x, F2y, F3 :
4. F1x = F1 cos(α)
5. F1y = F1 sen(α)
6. F2x = F2 cos(β)
7. F2y = F2 sen(β)
8. Comparação de valores para eixo-x:
9. Comparação de valores para eixo-y
Eixo-x: Eixo-y:
F1.cosα = F2.cosβ F1.senα + F2.senβ = F3
%100
2
21
21




xx
xx
x
FF
FF
e
%100
2
)(
)(
321
321




FFF
FFF
ey
yy
yy

36. 36
12.Movimento Unidimensional: Tubo de Óleo
O movimento unidimensional de uma partícula é
caracterizado pela existência de somente um grau de
liberdade. Assim sendo, para descrever tal tipo de
movimento basta utilizar uma única coordenada (eixo-x).
Um movimento unidimensional pode ser do tipo uniforme,
cuja característica é velocidade ser constante,
uniformemente acelerado e acelerado. No movimento
uniforme (MRU) a partícula se desloca sob a ação de
uma força resultante nula. No movimento retilíneo
uniformemente acelerado (MRUV), a partícula se desloca
sob a ação de uma força resultante constante; um dos
principais exemplos deste tipo de movimento é a queda
livre. Já no movimento acelerado, a partícula se desloca
sob a ação de uma força variável.
12.1. Movimento no tubo de óleo
O objetivo da presente prática é analisar o movimento
de uma pequena esfera que se desloca ao longo de um
tubo de óleo. Para estudar o movimento de uma partícula
é necessário conhecer a posição dela em determinados
instantes de tempo. Assim, para classificar o movimento
da esfera no tubo é necessário cronometrar o tempo que
a esfera gasta para alcançar cada uma das posições
previamente marcadas no tubo, bem como a distância de
cada uma das marcas em relação à posição inicial, a
qual será adotada como marco zero da trajetória.
O tubo contém dez braçadeiras; como a primeira será o
ponto s0 = 0cm, há nove posições demarcadas ao longo
de toda a trajetória.
12.2. Parte Prática
 Usando a trena, meça (em centímetros) a distância
de cada uma das nove braçadeiras em relação à
braçadeira adotada como zero da trajetória.
 Usando o ímã desloque a esfera até a posição inicial.
 Solte a esfera e cronometre o tempo que ela gasta
para alcançar a primeira posição (s1). Repita essa
medida seis vezes.

37. 37
 Repita todo o procedimento acima para cada um dos
pontos demarcados, ou seja, de s2 até s9.
 Verifique se as posições das braçadeiras não foram
alteradas ao longo da tomada de dados.
 Após ter feito todas as medidas, os resultados devem
ser expressos em uma tabela como a abaixo:
N t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t (s) σ(s) S(cm)
S1 2.07 2.23 2.38 2.19 2.09 2.02 2.16 0.13 7.40
S2 3.94 4.05 4.23 3.86 4.03 3.75 3.98 0.17 14.70
S3 5.53 5.23 5.83 5.92 5.77 5.77 5.68 0.25 20.75
S4 7.50 7.58 7.83 7.48 7.65 7.28 7.55 0.18 28.50
S5 9.31 9.27 9.54 9.42 9.30 9.23 9.35 0.11 35.60
S6 10.91 10.96 11.17 10.76 11.06 10.75 10.94 0.17 41.50
S7 12.50 12.64 12.86 12.45 12.33 14.43 12.87 0.79 47.90
S8 13.03 14.23 14.35 14.01 14.27 13.85 13.96 0.49 54.00
S9 15.85 15.73 15.95 15.73 15.49 15.55 15.72 0.17 60.30
 Note que na tabela já foram calculadas as médias dos
tempos obtidos para cada uma das posições, bem
como as respectivas incertezas.

38. 38
 Para analisar o movimento é necessário construir o
gráfico de x = x(t), conforme o exemplo a seguir:
t (s) σ(s) S (cm)
2.16 0.13 7.40
3.98 0.17 14.70
5.68 0.25 20.75
7.55 0.18 28.50
9.35 0.11 35.60
10.94 0.17 41.50
12.87 0.79 47.90
13.96 0.49 54.00
15.72 0.17 60.30
2.16 3.98 5.68 7.55 9.35 10.94 12.87 13.96 15.72
0
10
20
30
40
50
60
S(cm)
t (s)
 O gráfico mostra que a relação entre S = S (t) é do
tipo linear; portanto trata-se de um MRU.
 Note que a inclinação da melhor reta obtida
graficamente fornece o módulo da velocidade da
esfera, pois,
v
t
S
Mx
X
M
Y
y






.
 Utilizando os valores da tabela ao lado, calcule o
coeficiente de correlação entre as variáveis t (s) e S
(cm). Para os dados tomados como exemplo, o
resultado encontrado foi r = 0,996, indicando uma
forte correlação positiva entre as variáveis. Este
resultado confirma àquele encontrado pelo gráfico:
relação linear.
 O cálculo do coeficiente angular da reta (inclinação)
feio via regressão linear levou a velocidade de
3,89cm/s.
 O módulo da velocidade calculado via regressão
linear deve ser confrontado com àquele obtido pelo
método gráfico.
 Responda ainda a seguinte pergunta: como o
movimento da esfera é do tipo MRU se ela se
movimenta sob a ação da força gravitacional?

39. 39
13.Escalas Logarítmicas
Antes de prosseguir com a abordagem da Física
Experimental para o estudo do movimento
uniformemente acelerado, será apresentada uma revisão
sobre logaritmos e uma breve introdução às escalas
logarítmicas.
Escalas logarítmicas são muito mais comuns, na
natureza, do que as escalas lineares; sendo assim, o
estudo deste tópico é de grande relevância para o curso
de Física Experimental.
13.1. Por que estudar logaritmos?
Há uma longa lista de excelentes argumentos para
mostrar o quão importante é o estudo dos logaritmos.
Alguns dos motivos diretamente ligados à Física
Experimental são:
 Logaritmos existem para facilitar a execução de
alguns cálculos;
 Usando logaritmos é possível “transformar” uma
potenciação em produto, um produto em uma
subtração e uma divisão em subtração.
 Usando logaritmos é possível linearizar alguns
gráficos, o que facilita muito a análise gráfica de
dados experimentais.
13.2. Definição
É possível intuir a definição de logaritmos a partir de
alguns exemplos com:
225log255
38log82
5
2
2
3


A definição de logaritmo é dada por:
aYYX X
a
 log
Na equação acima, X é chamado de base do
logaritmo, Y é o logaritmando e a é o logaritmo
propriamente dito.
13.3. Bases de Logaritmos
As bases mais usadas (padrão) para os logaritmos
são o número de Neper (e ~ 2,718...) e o número 10.
Quando a base adotada é o e, utiliza-se a terminologia
de “logaritmo neperiano” ou “logaritmo natural”, cujo
símbolo é ln. Já quando a base adotada é o número 10,
a nomenclatura usada é “logaritmo decimal” e o símbolo
é simplesmente log.
Em resumo:
10loglog
logln

 e

40. 40
13.4. Propriedades Básicas
A partir da definição dos logaritmos, é possível
obter uma série de propriedades interessantes, as
quais os tornam uma poderosa ferramenta de cálculo
e de análise de dados. A seguir algumas dessas
propriedades serão apresentadas:
a. bbbb  1
1log
b. 0;101log 0
 bbb
c. ana b
n
b loglog 
Prova:
n
bb
n
b
xnnx
b aanaxnbaabax loglogloglog  
d. xxx
b bbxb log
e.      caca bbb logloglog 
Prova:
cbcy
abax
y
b
x
b


log
log
 
       cacayxcabbbca bbbb
yxyx
loglogloglog  

f.    ca
c
a
bbb logloglog 





Prova:
         cacaca
c
a
bbbbbb loglogloglogloglog 11





 
13.5. A Escala Logarítmica
Para compreender a escala logarítmica é
necessário analisar o comportamento da função y =
log (x). O figura a seguir mostra como o valor de y
varia em função de x.

41. 41
No quadro abaixo são apresentados valores
numéricos para a função y = log(x).
X y = log(x) X y = log(x)
1 0 10 1
2 0.30103 20 1.30103
3 0.477121 30 1.477121
4 0.60206 40 1.60206
5 0.69897 50 1.69897
6 0.778151 60 1.778151
7 0.845098 70 1.845098
8 0.90309 80 1.90309
9 0.954243 90 1.954243
10 1 100 2
Observe como o crescimento de y é cada vez
mais lento, à medida que aumenta x.
X y = log(x) X y = log(x)
100 2 1000 3
200 2.30103 2000 3.30103
300 2.477121 3000 3.477121
400 2.60206 4000 3.60206
500 2.69897 5000 3.69897
600 2.778151 6000 3.778151
700 2.845098 7000 3.845098
800 2.90309 8000 3.90309
900 2.954243 9000 3.954243
1000 3 10000 4
13.6. Exercício
Usando os dados da tabela abaixo, referentes a um
movimento de queda livre, construa o gráfico da
posição em função do tempo, usando papel di-log.
t(s) y(cm)
1 4.9
4 78.5
6 176.6
8 313.9
10 490.5
20 1962.0
30 4414.5
40 7848.0
50 12262.5
60 17658.0

42. 42
14.Aplicação ao Movimento de Queda Livre
Consideremos o exemplo de uma partícula em
queda livre, próxima a superfície da Terra.
Considerando um movimento como o mostrado na
figura, a equação cinemática que descreve tal
movimento é:
2
2
1
)( tgty  .
Observe que o
gráfico da função y =
y(t) é uma parábola;
portanto um gráfico
bastante difícil de
construir, e de analisar,
a partir de dados
experimentais de t e y.
Entretanto, a partir da equação anterior, aplicando
logaritmo aos dois lados da igualdade, obtém-se que:
)log(2)
2
log()log( t
g
y  .
Fazendo log(y) = Y, log(t) = T e log(g/2) = A, a
equação acima será escrita como:
TATY 2)(  ,
que é a equação de uma reta, cujo coeficiente linear é A
e o angular é 2.
14.1. Aplicação ao Movimento de Queda Livre
 Obtenha a medida da distância entre a parte
inferior da esfera e os sensores;
 Dispare o sensor desligando o campo magnético
que mantém a esfera presa ao sistema;
0m
g

43. 43
 Anote o tempo de queda medido pelo cronômetro
acoplado ao sistema;
 Repita o procedimento 10 vezes;
 Altere a distância entre a parte inferior da esfera e
o sensor;
 Repita o procedimento de dez medidas de tempo
de queda;
 Faça as medidas para 5 distâncias diferentes;
 Utilizando uma folha de papel di-log, construa um
gráfico da distância percorrida na queda-livre em
função do tempo de queda;
 Calcule a inclinação da reta obtida.

44. 44
15.Conservação da Energia: Lançamento Horizontal
No âmbito da Mecânica são definidos basicamente
dois tipos de energia: a de repouso, chamada de
potencial, e a de movimento, que é usualmente
denominada cinética. Quando consideramos um sistema
isolado e no qual seja possível desprezar as forças de
atrito, a energia mecânica é conservada ao longo de um
movimento.
A prática proposta neste capítulo tem por objetivo
verificar conservação da energia mecânica de um
sistema aproximadamente isolado.
15.1. Energia Mecânica
A energia mecânica é usada para descrever o
comportamento de sistemas mecânicos em movimento.
Ela é obtida pela soma das energias potencial e cinética
de um mesmo sistema, ou corpo.
A energia potencial é àquela que pode vir a ser
transformada em cinética. Por exemplo, um objeto
suspenso a uma altura h em relação ao solo tem uma
energia potencial associada à possibilidade dele entrar
em movimento de queda livre, quando for solto.
Um corpo qualquer (não pontual) pode ter seu
movimento decomposto em translação e rotação. Como
conseqüência, a energia cinética de um corpo pode
também ser dividida em energia cinética de rotação e
energia cinética de rotação.
Para melhor introduzir as definições de energia,
vamos analisar o movimento de uma esfera em uma
rampa de lançamento como a da figura a seguir.
Inicialmente a esfera é colocada, em repouso, no ponto
A. A energia em A
é somente
potencial, pois a
esfera entrará em
movimento assim
que for solta. É
intuitivo que
quanto maior for a
altura h, maior
será a velocidade que a esfera atingirá ao chegar em B;
portanto a energia potencial depende da altura do objeto.
Também é intuitivo que a energia do movimento em B
será tanto maior quanto maior for a massa da esfera.
Basta lembrar que quanto mais massivo for um corpo,
mais difícil será parar seu movimento. Assim sendo, a
energia potencial pode ser definida como:
hgmEP  ,
onde h é o módulo da aceleração gravitacional.
À medida que a esfera se deslocar entre os pontos
A e B, ela perderá energia potencial, haja vista que sua
altura em relação ao solo (zero potencial) decrescerá à
medida que o objeto se aproxima de B. Por outro lado,
quanto mais próxima estiver a esfera da posição B, maior
será sua velocidade. Isso mostra que a energia potencial
vai sendo transforma em energia de movimento. A
energia cinética de uma partícula pontual pode ser
definida como:
2
2
1
mvEC  ;
A
Bh

45. 45
o primeiro termo do lado direito da igualdade é a energia
cinética de translação, onde m é a massa da esfera e v
sua velocidade de translação.
A energia mecânica da esfera ao longo da trajetória
AB será obtida pela soma das energias potencial e
mecânica. Assim, para o exemplo em questão:
mghmvE  2
2
1
.
15.2. Conservação da Energia
Um dos resultados mais importantes da Mecânica, e
da Física como um todo, é o chamado teorema da
conservação da energia. Segundo ele, a energia de um
sistema sempre é conservada. Em particular, quando a
energia mecânica de um sistema não é conservada, isso
é conseqüência da ação de forças dissipativas, cujo
efeito é transformar parte da energia mecânica (ou toda
ela) em outra(s) forma(s) de energia. Voltando ao
exemplo da esfera descendo a rampa de lançamento, se
ao longo da trajetória AB ocorrer deslizamento da esfera.
Isso terá como conseqüência que parte da energia
mecânica da esfera será transformada em energia
térmica, devido à ação das forças de atrito (entre a
superfície da esfera e da rampa)
Para o movimento da esfera na rampa, sendo
possível desconsiderar a ação de forças dissipativas, a
conservação da energia implica a energia (mecânica)
nos pontos A e B serem iguais, ou seja,
BA EE  .
As energias em A e B são dadas por:
2
2
1
mvE
mghE
B
A


.
Impondo a conservação da energia, obtém-se:
ghvmvmgh B 2
2
1 22
 .
O resultado anterior mostra que a velocidade de
lançamento da esfera pode ser obtida em função,
simplesmente, da altura de onde a esfera foi solta, em
relação ao nível de lançamento.
15.3. Como verificar a conservação da
energia?
De acordo com o resultado obtido na seção
anterior, é possível verificar se a energia mecânica é
conservada no movimento de lançamento de uma
esfera medindo a altura de lançamento (h) e a
velocidade (linear) da esfera no ponto de lançamento
(vB). Entretanto, há muitas dificuldades em fazer a
medição da velocidade instantânea em B.
Uma alternativa para o problema de verificar a
conservação da energia é utilizar a relação entre a

46. 46
velocidade de lançamento de um projétil e seu
alcance (horizontal). Dos estudos de cinemática,
sabe-se que a distância D pode ser obtida a partir da
altura H e da velocidade de lançamento (vB) da
seguinte forma:
22 2
Bv
g
H
D  .
Substituindo o valor de vB
2
, obtido via conservação
da energia, na equação acima, obtém-se:
HhD 42
 .
A equação acima mostra que a conservação da
energia mecânica implica uma relação linear entre o
alcance horizontal da esfera e a altura h de
lançamento. Portanto, uma alternativa interessante
para comprovar a conservação da energia no
lançamento de uma esfera é obter o gráfico da
relação h X D2
e verificar se ele é do tipo linear.
A
B
C
H
h
D

47. 47
15.4. Experiência: Lançamento Horizontal

 Usando uma folha de papel em branco, uma folha
de “papel carbono” e uma trena, obtenha dez
medidas de D para cada uma das alturas h,
conforme a tabela abaixo.
Alcance (cm)
h(cm) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 ̅ σA. σ
 Calcule os valores médios de D e os respectivos
valores de desvio padrão.
 Calcule as incertezas das medidas de ̅,
lembrando que:  22
05,0.  
 Utilizando uma folha di-log, a partir da tabela,
construa o seguinte gráfico:
D(cm)
h(cm)

48. 48
F
Pθ
θ
16.Movimento Periódico: Pêndulo Simples
16.1. Movimento Periódico
Um movimento é dito periódico quando se repete em
intervalos de tempo iguais. A partir de dessa definição
geral é possível encontrar vário exemplos aproximados
desse tipo de movimento. Em particular, neste capítulo,
estudaremos o movimento de um pêndulo simples,
semelhante àquele usado no terceiro capítulo destas
notas.
16.2. Período de um Pêndulo Simples
Um período T
corresponde ao tempo
que o pêndulo leva para
realizar um movimento
completo (ida e volta).
Considerando o
movimento do pêndulo
tal que sen(θ) ~ θ, o que
é uma boa aproximação
para ângulos até 100
, é
possível mostrar que o
período (T) depende do
comprimento do fio (L) e da aceleração local da
gravidade (g) da seguinte forma:
A relação entre o período e comprimento do
pêndulo, T = T(L), não é, portanto, do tipo linear.
Tomando o logaritmo (decimal) de ambos os lados da
igualdade, obtém-se:
)
2
log()log( 2/1
2/1
L
g
T 

.
Usando propriedades de logaritmos, é fácil
mostrar que:
)log(5,0)
2
log()log( 2/1
L
g
T 

.
A equação acima mostra que usando uma escala
di-log é possível construir um gráfico como o da figura
abaixo.
T(s)
L(cm)L1 L2 L3 L4 L5
T1
T2
T3
T4
T5
g
L
T 2

49. 49
16.3. Procedimento experimental
o Usando a trena, meça o comprimento L5 (em cm e
com duas casas decimais!)
o Obtenha (10 vezes) o tempo gasto para o pêndulo, de
comprimento L5, completar 10 oscilações. Divida cada
um dos valores medidos por 10, para assim obter o
valor do período.
o Repita os procedimentos anteriores para L4, L3, L2 e
L1 .
o Calcule a média e o desvio padrão para cada um dos
valores de T.
o Construa uma tabela como a que aparece abaixo:
L (cm) T(s)
L1 ± σL <T1> ± σT
L2 ± σL <T2> ± σT
L3 ± σL <T3> ± σT
L4 ± σL <T4> ± σT
L5 ± σL <T5> ± σT
o Usando uma folha de papel di-log, construa o gráfico
L x T e calcule o valor da inclinação da reta.
)log(5,0)
2
log()log( 2/1
L
g
T 

T(s)
L(cm)L1 L2 L3 L4 L5
T1
T2
T3
T4
T5

50. 50
17.Lei de Newton do Resfriamento
Uma xícara contendo café quente, quando é deixada
sobre uma mesa, irá se resfriar lentamente até que atinja
a mesma temperatura dos demais objetos a sua volta, ou
seja, a temperatura ambiente. É fácil observar que o
mesmo comportamento se repete para uma porção de
água quente e de qualquer outro líquido, sólido ou gás.
É interessante observar que o resfriamento dos
objetos não ocorre de forma linear com o passar do
tempo. Observa-se que a queda de temperatura torna-se
cada vez mais lenta à medida que o tempo passa. Em
outras palavras, quanto mais próxima a temperatura do
objeto estiver, mais lenta será a queda de temperatura.
O comportamento acima descrito é matematicamente
descrito (e quantificado) pela chama Lei de Newton do
Resfriamento, a qual será objeto de estudo deste
capítulo. Entretanto, antes de iniciar o estudo da lei, será
necessário discutir brevemente alguns conceitos básicos.
17.1. Conceitos Básicos
A noção de quente e frio dos seres humanos é tão
intuitiva quanto relativa. O que é quente e o que é frio?
Um habitante da região tropical de nosso planeta
considera que uma temperatura de 300
C seja típica de
um dia bastante agradável, ao passo que um habitante
da distante Sibéria certamente consideraria um dia
excessivamente quente. Assim sendo, é necessário
quantificar a noção intuitiva de quente e frio; é preciso
estabelecer padrões para medir àquilo que se
convencionou chamar de temperatura de um corpo, para
que assim seja possível medir, e comparar, as
temperaturas dos corpos.
17.2. Temperatura
A escala de temperatura mais usada em nosso
país é a escala Celsius, também denominada centígrado.
Para obter um termômetro graduado em tal escala basta
atribuir o valor zero à temperatura da mistura de água e
gelo, deixada ao nível do mar e a pressão atmosférica.
Em seguida deve-se atribuir o valor 100 à temperatura da
água fervendo, estando ela nas mesmas condições que
a mistura de água e gelo. Deve-se, então, dividir o
espaço (no termômetro) contido entre a marca 00
C e
1000
C em 100 intervalos iguais. Obtém se, assim, um
termômetro (instrumento de medir temperaturas)
graduado na escala Celsius.
17.3. Calor
Quando dois objetos, cujas temperaturas sejam
diferentes, são colocados em contato térmico, estando
ambos isolados termicamente, nota-se que a
temperatura do mais quente começa a cair, ao passo que
a temperatura do mais frio começa a aumentar. Esse
processo ocorre até que os dois objetos atinjam uma
temperatura única, a qual é denominada temperatura de
equilíbrio. A temperatura de equilíbrio de equilíbrio é
atingida quando deixa de haver troca de energia entre os
dois corpos. A energia trocada entre corpos em
decorrência da diferença de temperatura entre eles é o
que se convencionou chamar de calor.
No caso em que um corpo aquecido é abando
nado à temperatura ambiente, haverá troca de energia

51. 51
(calor) entre o corpo e o ambiente, mas a temperatura de
equilíbrio será a temperatura ambiente devido a enorme
diferença de massa entre um objeto e o meio ambiente.
Imagine por exemplo uma porção de 300ml de água
numa sala! É fácil perceber que a temperatura da sala
será praticamente inalterada pelo calor recebido devido
ao resfriamento da porção de água.
17.4. Transferência de Calor
Existem alguns mecanismos de transferência de
calor. Essencialmente essa forma de troca de energia se
dá pelos seguintes processos: condução, convecção e
radiação. Neste capítulo é de particular interesse o
processo de transmissão.
O fluxo de calor Φ de um corpo, no processo de
transmissão, é definido da seguinte forma:
dtdQ
dt
dQ
 ;
onde Q é o calor e t o tempo. É fácil intuir que o fluxo
entre dois corpos dependerá do material que constitui os
corpos, da área de contato entre eles e da diferença de
temperatura. Matematicamente isso significa que
 Ah ;
onde h é uma constante que caracteriza o matéria do
qual é constituído o corpo, A é a área de contato e Δθ a
diferença de temperatura.
17.5. Dedução da Lei de Resfriamento
O calor recebido ou absorvido por um corpo pode
alterar a temperatura do mesmo. Entretanto a variação
de temperatura (quando ocorre) não é a mesma para
todos os corpos; isso significa que dCdQ  , onde C é
a capacidade térmica de um corpo, a qual serve para
caracterizar como será a variação de temperatura de um
corpo, d , em decorrência de uma transferência de
energia dQ .
Ao considerar um objeto aquecido deixado à
temperatura ambiente. Por exemplo, uma porção de
água quente deixada em repouso sobre a pia de uma
cozinha, a transferência de calor será basicamente
devida ao fluxo  . Assim, pode-se escrever que:
 
 
dt
C
Ahd
dCdtAh
dCdt
A
A











 é a temperatura do corpo em qualquer instante de
tempo posterior ao momento em que o objeto é deixado
à temperatura ambiente, A . Integrando os dois lados da
equação acima entre os instantes de tempo inicial (t0 = 0)
e um t qualquer, obtém-se:
 
   
 
 
t
C
Ah
t
C
Ah
dt
C
Ahd
AI
A
AIA
A












 





ln
lnln
Utilizando as propriedades dos logaritmos, é fácil
ver que a equação acima equivale a:

52. 52
   
t
C
Ah
AIA e



 
Definindo
C
Ah 
 , a equação acima pode ser
reescrita como:
    t
AIA et 
 
 ,
que é usualmente referida como a Lei de Resfriamento
de Newton. A equação acima permite calcular a
temperatura de um corpo que foi aquecido a temperatura
θI e posteriormente foi deixado em um ambiente cuja
temperatura é θA (θI > θA), para um intervalo de tempo t,.
17.6. Atividade Prática
O objetivo da presente prática é verificar a
veracidade da Lei de Resfriamento de Newton e
medir o valor da constante α para uma porção de
água.
Siga os seguintes passos:
 Coloque aproximadamente 300ml de água em um
Becker;
 Aqueça a água, já no Becker, até atingir uma
temperatura próxima do ponto de ebulição;
 Utilizando um termômetro, obtenha a temperatura
do ambiente (θA);

53. 53
 Coloque o termômetro em contato com a água
quente e obtenha o valor da temperatura inicial
(θI);
 Monitore a temperatura da água por trinta minutos,
obtendo o valor a cada cinco minutos;
 Utilizando os valores obtidos complete a tabela
abaixo:
t(min) θ(
0
C) ( θ - θA ) (
0
C)
0
5
10
15
20
25
30
 Utilizando uma folha mono-log, contrua um gráfico
de θ = θ(t);
 Calcule a inclinação da reta obtida.

54. 54
18.Calorímetro
No capítulo anterior foi visto que a temperatura de um
corpo é uma medida do estado de agitação das
moléculas que formam o corpo. Também foi visto que
quando dois corpos entram em contato térmico e há
diferença de temperatura entre eles, haverá um fluxo de
energia (calor) daquele que está a temperatura mais alta
para o que se encontra a temperatura mais baixa. O fluxo
de calor somente será cessado quando os dois corpos
atingirem o equilíbrio térmico, ambos a uma mesma
temperatura.
Neste capítulo será tratada a questão do que
acontece quando um corpo recebe ou cede calor.
Como resultado de um desequilíbrio térmico
ocorre uma transformação, a qual pode ser uma
variação de temperatura ou mesmo uma mudança de
estado físico. No primeiro caso, se diz que o calor é
sensível e, no segundo, calor latente.
18.1. Capacidade Térmica e Calor Específico
A capacidade térmica ou capacidade calorífica C de
um corpo é a quantidade de calor necessária, para variar
a temperatura de um corpo de  . Assim,


Q
C .
Observe que a capacidade térmica C é uma
característica do corpo e não da substância. Assim,
diferentes blocos de chumbo têm diferentes capacidades
térmicas, apesar de serem de mesma substância
(chumbo). Da definição de capacidade térmica é fácil ver
que as unidades da capacidade térmica são J/0
C ou J/K.
Ao considerar a capacidade térmica
da unidade de massa de um corpo, temos o calor
específico c da substância considerada, o qual é dado
por:
massa
C
c  .
Note que o calor específico c é uma característica
da substância e não do corpo. Assim, cada substância
tem o seu calor específico, diferentes blocos de chumbo
têm o mesmo calor específico, pois são de mesma
substância. As unidades mais usadas de calor específico
são
Cg
cal 0

e
Ckg
J 0

. Observe, ainda, que 1 cal
eqüivale a aproximadamente 4,1855 J.
18.2. Equação Fundamental da Calorimetria
A quantidade de calor sensível recebida ou cedida por
um corpo, em função da variação de temperatura, pode
ser expressa da seguinte forma:
 cmQ
Quando vários corpos, no interior de um recipiente
isolado termicamente, trocam calor, os de maior
temperatura cedem calor aos de menor temperatura, até
que se estabeleça o equilíbrio térmico. A soma algébrica
dos calores trocados é igual a zero:
0321
1

N
N
i
i QQQQQ  .

55. 55
Assim, o calor recebido QR é positivo, ao passo que o
calor cedido Qc é negativo.
18.3. Parte Prática
O objetivo da presente prática
é medir a capacidade térmica de
um calorímetro, usando a
equação fundamental da
calorimetria. Para obter tal
medida, os seguintes passos
devem ser seguidos:
 Usando a balança digital,
obtenha a massa do Becker
vazio;
 Adicione aproximadamente
100ml de água ao Becker;
 Usando a balança digital e a
medida da massa do Becker
vazio, obtenha a
medida da massa de
água fria (mAF);
 Adicione a água
fria ao calorímetro e
obtenha a
temperatura do
conjunto (água mais
calorímetro) AF ;
 Adicione 200ml
de água ao Becker e obtenha a massa de água (mAQ);
 Aqueça a água contida no Becker e obtenha o valor
da temperatura da água (no Becker), AQ ;
 Adicione a água quente ao calorímetro e obtenha o
valor da temperatura final do conjunto água fria mais
água quente, no calorímetro. Tal medida será F .
 De acordo com a conservação da energia tem-se
que:
   
  0

AFF
AFFáguaAFAQFáguaAQ
C
cmcm


 Logo a capacidade térmica do calorímetro será dada
por:
   
 FAF
AFFáguaAFAQFáguaAQ cmcm
C





sendo
Cg
cal
cÁgua
0
1

 .

56. 56
COMO FAZER UM RELATÓRIO
1. O que é um relatório de Física Experimental 1?
O relatório da disciplina Física Experimental 1 é um
documento destinado a:
 Descrever como foi realizada uma experiência;
 Informar os resultados coletados na prática,
devidamente tabulados;
 Apresentar o tratamento dos dados da
experiência;
 Apresentar os resultados e conclusões alcançados
com a prática realizada.
Note que como o relatório destina-se a relatar a
realização de um experimento que já foi realizado, tem
necessariamente de ser escrito no passado. Além disso,
por se tratar de um documento profissional, deve ser
escrito de forma impessoal. Por exemplo: “foi realizada a
medição de dez períodos do pêndulo simples”, “o
objetivo da prática foi medir o período do movimento”, “foi
possível concluir que...”
Um relatório deve ser suficiente para informar, de
forma precisa, a alguém que nunca teve contato com o
experimento realizado, como a prática foi feita.
2. Itens obrigatórios dos relatórios
2.1.Capa
2.1.1. Título do Experimento
2.1.2. Professor
2.1.3. Curso e Turma
2.1.4. Nome dos integrantes
2.1.5. Data de entrega
2.2.Título: título da prática realizada, de acordo com
a apostila da disciplina.
2.3.Objetivo: deve explicar de forma sucinta os
objetivos do experimento realizado.
2.4.Lista de Materiais: deve conter a lista de todos
os materiais utilizados para a realização do
experimento relatado.
2.5.Esquema de Montagem: desenho ou fotografia
da montagem necessária à realização do
experimento relatado.
2.6.Procedimento Experimental: deve conter uma
sucinta, porém precisa, descrição de como o
experimento foi realizado. Note que o texto deve
ser suficiente para alguém que nunca fez o
experimento relatado ser capaz de reproduzir a
prática.
2.7.Resultados: apresentação dos dados obtidos no
experimento, devidamente tabulados e dos

57. 57
cálculos e resultados, fruto do tratamento
estatístico dos dados experimentais.
2.8.Conclusão: relato sucinto e claro das conclusões
obtidas a partir da realização do experimento. É
cabível também usar este espaço para relatar
possíveis dificuldades na realização do
experimento, especialmente àquelas que
prejudicaram os resultados.
3. Apresentação
A apresentação do relatório deve ser limpa e
profissional. O material pode ser entregue na forma
impressa ou feito “à mão”. Não será feita distinção
entre as duas formas de apresentação para efeitos da
avaliação do documento.
Entretanto, deve-se observar que a legibilidade do
documento será considerada para efeito de nota. Um
relatório ilegível é um documento inútil e, obviamente,
terá nota zero a ele atribuída.
Com o intuito de auxiliar os novos estudantes a
aprender a confeccionar um relatório, a seguir será
apresentado um exemplo de relatório da experiência
Medições de Tempo.

58. 58
MEDIÇÕES DE TEMPO
CURSO: Engenharia
_________
Prof.Dr. Paulo Quintairos
ENTREGA: 12/03/2009
ALUNOS:
1. Enrico Fermi
2. Ettore Majorana
3. Nicola Cabibbo
TÍTULO: Medições de Tempo
1. OBJETIVO: Medir o período de um pêndulo simples.
2. LISTA DE MATERIAIS
2.1.Tripé universal;
2.2.Transferidor;
2.3.Linha de nylon
2.4.Esfera metálica
2.5.Cronômetro digital
3. ESQUEMA DE MONTAGEM
F
Pθ
θ

59. 59
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
4.1.Visando reduzir a influência das forças de atrito
no experimento, o ângulo máximo de abertura
inicial do pêndulo foi adotado como 100
;
4.2.Foi cronometrado o tempo de dez oscilações
completas do pêndulo, o que corresponde a 10
períodos;
4.3.Foram realizadas 50 tomadas de tempo;
4.4.Os dados obtidos foram divididos por 10 e
arredondados para duas casas decimais, em
segundos;
4.5.Os dados foram tabulados e a qualidade das
medidas foi aferida pela comparação com os
padrões da curva de Gauss
5. RESULTADOS
Período(s)
1,85 1,87 1,88 1,88 1,89
1,86 1,87 1,88 1,89 1,89
1,86 1,87 1,88 1,89 1,89
1,86 1,88 1,88 1,89 1,89
1,87 1,88 1,88 1,89 1,89
1,87 1,88 1,88 1,89 1,9
1,87 1,88 1,88 1,89 1,9
1,87 1,88 1,88 1,89 1,9
1,87 1,88 1,88 1,89 1,91
1,87 1,88 1,88 1,89 1,91
Tabela 1: períodos obtidos experimentalmente.
Resultados obtidos para média e desvio padrão:
  sT 01,088,1 
Intervalo (s) Medido Mínimo
1,87 a 1,89 82% 68,30%
1,86 a 1,90 94% 95,50%
1,85 a 1,91 100% 99,70%
Tabela 2: Intervalos de segurança e comparação com a curva de
Gauss.
6. CONCLUSÕES
A partir dos resultados apresentados na Tabela 1, foi
possível calcular o valor do período do pêndulo simples
utilizado pelo grupo. O período medido foi de
  sT 01,088,1  ; sendo que o desvio padrão do
conjunto de dados coletados foi de σ = 0,01s.
A comparação dos valores obtidos com os intervalos
gaussianos é apresentada na Tabela 2. Nota-se que os
resultados podem ser considerados satisfatórios, haja
vista somente o intervalo 2σ apresentar concentração
ligeiramente menor que o mínimo exigido. Observa-se aí
que o baixo número de medições foi a causa deste
resultado.