Este documento apresenta conceitos fundamentais de equilíbrio de corpos rígidos, incluindo: (1) definição de ponto material e corpo extenso, (2) tipos de movimento como translação e rotação, (3) condições de equilíbrio mecânico, (4) conceito de torque, (5) centro de massa e centro de gravidade. O documento também aborda elasticidade, tensão, deformação e ensaios mecânicos.

1. Equilíbrio de Corpos Rígidos
Física Fundamental II
Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Eng. Mecânico - UFPE
MSc. em Geofísica - UFPA
Dr. Eng. Mecânica - UNICAMP

2. Ponto material e Corpo extenso
Corpo extenso: todo objeto onde suas dimensões não podem ser
desprezadas quando comparadas com o movimento estudado.
Ponto material (ou Partícula): Todo objeto onde dimensões (tamanho)
são desprezíveis quando comparadas com o movimento estudado.
Ponto material : forças atuam
em um único ponto
Corpo extenso: forças atuam em
diferentes pontos do objeto
Na cinemática todo objeto tem massa, independentemente de ser um ponto material ou
corpo extenso, porém só os corpos extensos podem ter rotação.

3. Tipos de movimento
Translação = movimentos em linha reta ou aproximadamente
reta (curvas suaves). Ex: carro em movimento, tiro (projétil
em movimento), Terra em torno do Sol...
Rotação = movimentos em torno de um eixo que está
localizado no objeto. Ex: carrossel, rotação da Terra, disco de
vinil e CD, roda da bicicleta...

4. Tipos de movimento – Representação Matemática
Translação ⇒ momento linear
p=m.v
Rotação ⇒ momento angular
L=rxp
Equilíbrio
mecânico
P = constante
L = constante

5. Condições de equilíbrio mecânico
P = constante
Equilíbrio
mecânico
Velocidade = zero
L = constante
Velocidade = constante

6. Condições de equilíbrio mecânico
Equilíbrio
mecânico
Velocidade = zero
P = constante
Força resultante
nula ⇒ FRES=0
L = constante
Torque resultante
nulo ⇒ τRES=0
Velocidade = constante

7. Relembrando: equilíbrio de ponto material
• Determine as trações nas cordas inextensíveis
do sistema abaixo:
Massa do vaso=6kg
g=9,8m/s2

8. Conceito de Torque
O torque é representado pela letra grega τ (táu). Matematicamente é
definido por: τ = r x F
É uma grandeza física que pode imprimir uma rotação de um objeto (ou
sistema) em torno de determinado eixo.
τ = Iα

9. Calculando o Torque
• Calcule o torque nas situações abaixo:

10. Calculando o Torque Resultante
• Dois atletas estão sentados em lados opostos de
uma gangorra, como mostra a figura. Determine o
torque (ou momento) resultante em relação ao
eixo de rotação. Determine ainda o sentido do giro
da gangorra.

11. Centro de Massa de um Corpo (CM):
é o ponto que
se move como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele e
todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Num corpo
homogêneo e simétrico o centro de massa coincide com o centro
geométrico.

12. Torre de Pisa
A torre foi erguida entre 1173 e o final do
século XIII, sobre um solo instável chamado
Campo dos Milagres.

13. Foram injetadas quase
cem toneladas de argamassa
no solo e o que se viu foi uma
inclinação ainda maior.
A solução encontrada
foi acrescentar massa extra na
base da torre para deslocar o
centro de massa e o centro de
gravidade.

14. Experimentos

15. Para que um objeto tenha equilíbrio é
necessário que a projeção de seu centro de
massa intercepte a sua base de apoio.
Um exemplo
Projeção do
centro de
massa
Projeção da base
Por isso abrimos
mais as pernas
quando
andamos de
ônibus ou
metrô!!!

16. Centro de Gravidade de um corpo (CG): é o ponto
onde pode ser considerada a aplicação da força de
gravidade de todo o corpo formado por um conjunto de
partículas.
Obs.: se a aceleração da gravidade é constante para toda
extensão do corpo, então o CM coincide com o CG.
CG cotidiano

17. Retomando o cálculo do torque resultante
• Uma tábua uniforme de 3m de comprimento é usada
como gangorra por duas crianças com massas 25 kg e
54 kg. Elas sentam sobre as extremidades da tábua de
modo que o sistema fica em equilíbrio quando
apoiado em uma pedra distante de 1,0 m da criança
mais pesada. Qual o peso da tábua?

18. Retomando o calculo do Torque Resultante
• Um fio, cujo limite de resistência é de 25 N, é utilizado
para manter em equilíbrio, na posição horizontal, uma
haste de metal, homogênea, de comprimento AB = 80
cm e peso de 15 N. A barra é fixa em A, numa parede,
através de uma articulação, conforme indica a figura a
seguir. Calcule a menor distância X, para a qual o fio
manterá a haste em equilíbrio?

19. Retomando o calculo do Torque Resultante
• A barra a seguir é homogênea e está apoiada nos
pontos A e B. Sabendo-se que a reação no apoio A
é NA=200N e que F1=100N e F2=500N, calcule o
peso da barra.

20. Retomando o calculo do Torque Resultante
• Um cachorro de 4 kg está sentado no meio de uma
barra com 6m de comprimento. Considere o peso
da barra desprezível. Calcule a reação nos apoios A
e B.
Repita o exercício, agora com o cachorro sentado a 1,5m do apoio B.

21. Retomando o calculo do Torque Resultante
• Para se estabelecer o equilíbrio da barra homogênea
de 0,5 kg, apoiada em C, deve-se suspender em:
a) A, um corpo de 1,5 kg.
b) A, um corpo de 1,0 kg.
c) A, um corpo de 0,5 kg.
d) B, um corpo de 1,0 kg.
e) B, um corpo de 1,5 kg.

22. Elasticidade
Física Fundamental II
Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Eng. Mecânico - UFPE
MSc. em Geofísica - UFPA
Dr. Eng. Mecânica - UNICAMP
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23. Elasticidade
Por que estudar?
ESTRUTURAS INDETERMINADAS:
Nº DE INCÓGNITAS > Nº DE EQUAÇÕES
Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
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24. Tensão e deformação de engenharia
Unidades: MPa (SI) = 106 N/m2
σ = F/A0
Kgf/cm2 ou Kgf/mm2 ou N/mm2
Área inicial da seção reta transversal
Força ou carga aplicada
Como efeito da aplicação de uma tensão tem-se a
deformação do material (variação dimensional).
• A deformação não possui unidades
• Entretanto, “metros por metro”,
“polegadas por polegada” são usadas
com frequência
• Também pode ser expressa como
uma porcentagem
Deformação:
ε = (lf-lo)/lo= ∆l/lo
lo= comprimento inicial
lf= comprimento final
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25. Tipos de Tensão
1) Tração ou compressão →
E → Módulo de Young;
2) Cisalhamento →
F
∆L
= E.
A
L
∆L → Alongamento
∆x
F
= G.
A
L
G → Módulo de Cisalhamento
∆V
F
= B.
A
V
G → Módulo de Elasticidade Volumétrico
3) Volumétrica →
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26. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Exemplo
Uma haste de aço cilindrica possui um raio de 9,5mm e
comprimento 81cm. Uma força de 62KN a estica ao longo de seu
comprimento. Calcule os valores da tensão de tração, da
deformação e do alongamento. Dado: Eaço=2.1011N/m2 (tabela p.14
Halliday)
F
62000
8 N
= tensão =
A
F
∆L
= E.
A
Lo
2
π .0,0095
= 2,187.10
m2
F
 .Lo
8
 A  = 2,187.10 .0,81 = 0,89mm
alongamento = ∆L =
E
2.1011
∆L 8,9.10−4 m
deformação =
=
= 0,0011 = 0,11%
Lo
0,81m
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27. Como determinar as tensões?
A determinação das tensões aplicadas num material
bem como as suas propriedades mecânicas é feita
através de ensaios mecânicos.
Utilizam-se normalmente corpos de prova (amostras
representativas do material) para o ensaio mecânico,
já que por razões técnicas e econômicas não é viável
realizar o ensaio na própria peça, que seria o ideal.
Os corpos de prova são confeccionados de acordo
com normas técnicas para garantir que os resultados
sejam comparáveis.
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28. Normas Técnicas
As normas técnicas mais comuns:
ASTM (American Society for Testing and
Materials)
ABNT (Associação Brasileira de Normas
Técnicas)
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29. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Ensaio de tração
É realizado submetendo-se o material a uma carga
ou força de tração crescente.
NBR-6152 para materiais metálicos à temperatura
ambiente.
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30. Esquema de uma máquina de tração
Partes básicas:
sistema de aplicação de carga
dispositivo para prender o
corpo de prova
sensores que permitam medir a
tensão aplicada e a deformação
promovida (extensômetro).
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31. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Comportamento dos metais quando
submetidos à tensão de tração
Limite de resistência à tração
Dentro de certos limites,
a deformação é proporcional
à tensão (a lei de Hooke é
obedecida)
Lei de Hooke:
σ=Eε
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32. Deformação elástica
Linear
Não-linear
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33. Deformação plástica
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34. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Módulo de Young
E= σ/ ε [MPa]
• É o quociente entre a tensão
aplicada
e
a
deformação
elástica resultante.
• Expressa a rigidez do material
ou
a
sua
resistência
à
deformação elástica.
• Está diretamente
relacionado com as forças de
ligação interatômicas
P
A lei de Hooke só é
válida até este ponto
tg α= E
α
Lei de Hooke:
σ = E ε34

35. Módulo de Young
para alguns metais
Quanto maior o módulo de elasticidade mais rígido é o
material ou menor é a sua deformação elástica quando
aplicada uma dada tensão
MÓDULO DE YOUNG [E]
GPa
106 psi
Magnésio
45
6.5
AlumÍnio
69
10
Latão
97
14
Titânio
107
15.5
Cobre
110
16
Níquel
207
30
Aço
207
30
Tungstênio
407
59
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36. Módulo de Young
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Considerações Gerais
Está relacionado com as forças interatômicas
Materiais cerâmicos: módulo de elasticidade
alto
Materiais poliméricos: módulo de elasticidade
baixo
Diminui com o aumento de temperatura
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37. Escoamento
O fenômeno do escoamento ocorre quando
a tensão aplicada é suficiente para iniciar
uma deformação plástica.
plástica.
Tensão de escoamento:
corresponde à tensão máxima
relacionada com o fenômeno de
escoamento.
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38. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Limite de resistência à tração
Resistência à Tração
[MPa ou psi]
Corresponde
à
tensão
máxima
aplicada
ao
material antes da ruptura.
É calculada dividindo-se a
carga máxima suportada
pelo material pela área de
seção reta inicial
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39. Prof. Antonio Adelmo Freire Beserra
Tensão de ruptura
Unidades: [MPa ou psi]
Corresponde à tensão que
promove a ruptura do
material.
O limite de ruptura é
geralmente inferior ao limite
de resistência em virtude de
que a área da seção reta para
um material dúctil reduz-se
antes da ruptura.
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