1) O documento discute os fundamentos matemáticos da informática, incluindo bases numéricas como binária, hexadecimal e outras; operações lógicas e álgebra de Boole; e representação de expressões lógicas em tabelas verdade e circuitos lógicos. 2) É explicado que computadores usam a linguagem de máquina binária e as operações lógicas formam a base de todos os circuitos integrados e computadores. 3) A álgebra de Boole estabelece operações lógicas fundamentais como AND, OR

1. Aula 006
Fundamentos da
Informática
PRONATEC
Programa Nacional de Acesso ao
Ensino Técnico e Emprego

2. PRONATEC
Programa Nacional de Acesso
ao Ensino Técnico e Emprego

3. 1. A Matemática da Informática
• Base decimal = baseado em 10 – CDU (Centena, Dezena, Unidade)
• Base hexadecimal (hexa) = baseado em 16
• Já que são 16 e no sistema decimal temos dígitos representativos de
0..9 (10), no hexadecimal faltam 6 dígitos que são completados com
as letras A,B,C,D,E e F
• O A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
• Então os dígitos hexa são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
• Em informática é comum usar o símbolo $ na frente do número para
indicar que está na base hexadecimal
• Exemplos hexadecimais: $AF, $BCD, $ABCD, $10, $AF20
• Conversão de hexadecimal para decimal: sendo o hexa H=Pn Pn-1...P1
P0 o seu decimal correspondente será então D=P0*160+P1*161+...+Pn-
1*16n-1+ Pn*16n
• Exemplo: H=$100 => P0=0, P1=0, P2=1 =>
• Então: D=0*160+0*161+1*162 = 0+0+256 = 256
• Conclusão: O hexadecimal $100 é igual ao Decimal 256
• Os endereços de memória são representados em hexadecimal

4. 2. Base Binária
• Os computadores só “falam” a linguagem de
máquina: ligado, desligado – dois estados – dois
dígitos: 0,1 = base binária
• Exemplo de números binários: 1,101,1011
• Conversão de binário para decimal: segue a
fórmula: B=Pn Pn-1 P1 P0 O seu correspondente
decimal será D=P0*20+P1*21+...+Pn-1*2n-1+ Pn*2n
• Exemplo: B=100 => P0=0, P1=0, P2=1
• Então: D=0*160+0*161+1*162 = 0+0+256 = 256
• Conclusão: O hexadecimal $100 é igual ao
Decimal 256

5. 3. Binário <-> Hexadecimal
• Contagem binária e hexa de 0 a 15:
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1
100,1101,1110,1111=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,
F
• Conversão Binário para Hexa:
• 1001101011001011=(1001)(1010)(1100)(1011)
• (1001)=9, (1010)=A, (1100)=C, (1011)=B
• 1001101011001011 = $9ACB
• Conversão Hexa para Binário:
• $CD12 = (1100)(1101)(0001)(0010) =
• 1100110100010010

6. 4. Outras Bases e Octais
• Além de Hexadecimal e Binário serem bases muito importantes para a
Computação existem outras: octal (8), 32, 64, etc. geralmente
múltiplas de 2.
• Sempre que um número se torna a base dizemos que estamos em
uma nova “base numérica”
• Octal, a base é 8, assim os números octais são formados pelos dígitos
de 0 a 7, O 8 passa a valer 10
• Exemplo de octal: 123 octal = 83 decimal
• Conversão Octal para decimal:
• 123oc = 1x82 + 2x81 + 3x80 = 64+16+3 = 83 dc
• Fórmula de conversão octal para decimal:
• Sendo o octal O = Pn Pn-1 ... P1 P0
• Seu decimal D é: D=P0*80+P1*81+...+Pn-1*8n-1+ Pn*8n
• Sendo uma base B qualquer e o número M nessa base dado por:
• M = Pn Pn-1 ... P1 P0 o equivalente decimal D sempre será dado por:
• D = P0*B0+P1*B1+...+Pn-1*Bn-1+ Pn*Bn

7. 5. Regras da Aritmética Binária
• Soma binária:
• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0 (e vai um para próxima casa)
• 1 + 1 + 1 = 1 (e vai um para próxima casa)
• Subtração binária:
• 0 - 0 = 0
• 0 - 1 = 1 (vem um da casa a esquerda)
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 - 1 = 0 (vem um da casa a esquerda)

8. 6. Complementar: 1 e 2
• Complementar-1 de um número binário é obtido
trocando-se todos os seus 0´s por 1´s e vice-
versa, o resultado chama-se complementar-1
• Exemplo: 1010 seu complementar-1 = 0101
• Complementar-2 de um binário é obtido
somando-se 1 ao seu Complementar-1
• Exemplo: 1010 seu complementar-2 = 0110 que é
seu Complementar-1: 0101 + 1
• A subtração binária: B1 – B2 pode também ser
calculada como a soma binária: B1 +
(complementar-2 (B2)) ou por representação
matemática: B1 – B2 = B1 + B2

9. 7. Exemplos Aritmética Binária
• Soma binária: 1+1 = 10
• Subtração binária: (A-B) ou (A+B)
01011
+10011
11110
11010 11010
- 10011 +01101
00111 100111 (o 1 a mais é o vai um)
• Soma binária: 1+1 = 10
• Subtração binária: (A-B) ou (A+B)
• Desconsidere o “vai um” se fixar em 5 casas

10. 8. Álgebra de Boole
• Inventada pelo Inglês George Boole
• Operação lógica sempre recebe e resulta os valores
Verdadeiro(1) ou Falso(0)
• A álgebra de boole estabelece operações lógicas em
aritmética binária que são:
• 1) AND(E)
• 2) OR(OU)
• 3) NOT(NÃO)
• 4) NOT AND (NAND) (NÃO E)
• 5) NOT OR (NOR) (NÃO OU)
• 6) EXCLUSIVE OR (XOR) (OU EXCLUSIVO)
• Todos os circuitos integrados se baseiam nessas 6
operações lógicas, ou seja, todo computador resume
suas operações à essas seis lógicas.

11. 9. Operações (Portas) Lógicas
AND OR NOT
NAND NOR XOR

12. 10. Expressões Algébricas Booleanas
• Expressão algébrica booleana é formada por
variáveis lógicas (binárias), por símbolos
representativos de uma operação lógica (+ . ⊕
etc.), por parênteses, às vezes, e por sinal de igual.
• Ex: X = A + B · C ⊕ D
• Prioridade: 1º)() 2º) NOT 3º) AND 4º) OR
• Se: A=1001 B=0010 C=1010
• Então resolva: X = (A + B) · C
• X=((1001) OU (0010)) E (1010) = (1011)E(1010) =
• X = 1010  X = 10 (decimal)

13. 11. Tabela Verdade
• O comportamento de uma expressão booleana é descrito
pela sua tabela verdade e este problema é conhecido como
avaliação da função ou da expressão
• Uma tabela verdade consiste basicamente de um conjunto de
colunas, nas quais são listadas todas as combinações
possíveis entre as variáveis de entrada (à esquerda) e o
resultado da função à sua direita
• Também, pode-se criar colunas intermediárias, onde são
listados os resultados de subexpressões contidas na
expressão principal. Isto normalmente facilita na
avaliação, principalmente no caso de equações muito
complexas e/ou contendo muitas variáveis.
• O número de combinações que as variáveis podem assumir é
uma potência de 2 visto que são binárias, ou seja, assumem
somente um de dois valores possíveis (0-falso, 1-verdade)
• Para desenhar uma tabela verdade primeiro fazemos uma
coluna para cada variável da expressão e por fim, mais a
direita, criamos a coluna resultado da expressão

14. 12. Tabela Verdade (cont.)
• Exemplo, vamos fazer a tabela verdade da
expressão: W= X + Y . Z
X Y Z NOT Z Y . Z W
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1

15. 13. Cicuito Lógico
• É a representação gráfica de uma expressão
booleana usando as respectivas “Portas Lógicas”
para representar as operações
• Para desenhar uma expressão lógica como um
circuito lógico procedemos semelhante ao da
tabela verdade.
• Exemplo, vamos desenhar o circuito lógico da
expressão: W= X + Y . Z
• 1º) Determinar as variáveis independentes, no caso
X, Y e Z
• 2º) Para cada uma traçar uma linha seguindo dela
para a esquerda
• 3º) Desenhar as portas lógicas obedecendo as
regras de precedência

16. 14. Desenhando o Cicuito Lógico
• W= X + Y . Z

17. 15. Propriedades da Algébra de Boole
Teoremas de De MorganTeoremas de De Morgan
1º)
2º)