O documento discute fundamentos de derivação de expressões booleanas através de soma de produtos e produto de somas. Explica como derivar funções booleanas a partir de suas tabelas-verdade e representá-las em forma canônica e padrão. Também mostra como simplificar expressões booleanas eliminando literais redundantes para obter uma equação mínima.

1. Aula 007
Fundamentos da
Informática
PRONATEC
Programa Nacional de Acesso ao
Ensino Técnico e Emprego

2. PRONATEC
Programa Nacional de Acesso
ao Ensino Técnico e Emprego

3. 1. Derivação de Expressões Booleanas
• Dada uma função Booleana, descrita por sua
tabela verdade, derivar uma expressão Booleana
para esta função é encontrar uma equação que a
descreva. Logo, a derivação de expressões
Booleanas é o problema inverso da avaliação de
uma expressão Booleana
• Duas formas de derivação: Soma de Produtos
(SdP) ou Produto de Somas (PdS)
• Soma de Produtos (SdP): descrever todas as
situações das variáveis de entrada para as quais a
função vale 1
• Produto de Somas (PdS): descrever todas as
situações das variáveis de entrada para as quais a
função vale 0

4. 2. Derivação por Soma de Produtos
• Uma função Booleana de n variáveis (n
entradas), tem 2n combinações possíveis de valores
de entrada
• Para cada conjunto de valores de entrada a função
gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os
valores de entrada e todos os resultados possíveis
chama-se “espaço” da função
• Para cada combinação de entrada deve-se associar
um “mintermo” da seguinte forma: se a variável
vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve
aparecer normal

5. 3. Tabela de Mintermo no SdP
• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as
combinações e resultados de uma função
booleana com 2 entradas
• O mintermo é 1 somente para os valores de
entrada a que está relacionado, para outros
valores será sempre 0
• Para derivarmos a função fazemos um OU entre
os mintermos que resultam 1 na função.
A B Mintermo
0 0 A B
0 1 A B
1 0 A B
1 1 A B

6. 4. Exemplo de Derivação SdP
• Encontre a função booleana representada pela
seguinte tabela verdade:
• Observando a tabela de mintermos para duas
entradas verificamos que a função resulta 1
para: (A.B) e (A.B) sendo assim fazemos um OU
(soma lógica) entre eles
• A função é: F = (A.B) + (A.B)
A B Resultado
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

7. 5. Exercícios para aula
• Derive as funções das seguintes tabelas verdade
usando a Soma de Produtos (SdP)
A B F1
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
A B F2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C F3
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C F4
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

8. 6. Derivação por Produto de Somas
• Uma função Booleana de n variáveis (n entradas),
tem 2n combinações possíveis de valores de
entrada
• Para cada conjunto de valores de entrada a função
gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os
valores de entrada e todos os resultados possíveis
chama-se “espaço” da função
• Para cada combinação de entrada deve-se associar
um “maxtermo” da seguinte forma: se a variável
vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve
aparecer normal

9. 7. Tabela de Maxtermo no PdS
• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as
combinações e resultados de uma função
booleana com 2 entradas
• O maxtermo é 0 somente para os valores de
entrada a que está relacionado, para outros
valores será sempre 1
• Para derivarmos a função fazemos um E entre
os maxtermos que resultam 0 na função.
A B Maxtermo
0 0 A + B
0 1 A + B
1 0 A + B
1 1 A + B

10. 8. Exemplo de Derivação PdS
• Encontre a função booleana representada pela
seguinte tabela verdade:
• Observando a tabela de maxtermos para duas
entradas verificamos que a função resulta 0
para: (A+B) e (A+B) sendo assim fazemos um E
(produto lógico) entre eles
• A função é: F = (A+B) . (A+B)
A B Resultado
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

11. 9. Exercícios para aula
• Derive as funções das seguintes tabelas verdade
usando a Produto de Somas (PdS)
A B F1
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
A B F2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C F3
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C F4
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

12. 10. Formas: Canônica e Padrão
• A representação de uma função booleana em
soma de produtos ou produto de somas é
denominada “Forma Padrão”
• Uma particularidade da forma padrão é quando
em todos os termos soma (SdP) ou produtos
(PdS) aparecem todas as variáveis de entrada e
nesse caso temos a “Forma Canônica” e podem
ser apresentadas de modo simplificado para
melhorar no entendimento matemático.

13. 11. Representação Canônica
• Associando cada termo soma (SdP) ou produto
(PdS) da expressão por seu respectivo
decimal, chamando os “mintermos” de “m” e os
maxtermos de “M”, com 3 variáveis teríamos:
• A função: A.B.C + A.B.C pode
• ser representada com a soma dos
• mintermos: m7 + m6 = Σ(7,6)
• A função: (A+B+C)(A+B+C) pode
• ser representada com produto dos
• maxitermos: M0 . M1 = П(0,1)
A B C m M
0 0 0 m0 M0
0 0 1 m1 M1
0 1 0 m2 M2
0 1 1 m3 M3
1 0 0 m4 M4
1 0 1 m5 M5
1 1 0 m6 M6
1 1 1 m7 M7

14. 12. Simplificação de Expressões
• A forma canônica é melhor entendida por
humanos mas para criação de circuitos precisamos
de saber mais detalhes
• A forma padrão é melhor entendida para fabricar
circuitos porém ela apresenta muita redundância
de operações e muitas das vezes isso implica em
desperdício de recursos como transistores,
capacitores e resistores
• A simplificação elimina as redundâncias de uma
expressão diminuindo os recursos eletrônicos
necessários para compor o circuito
• A simplificação funciona eliminando os “literais”
que são somas lógicas entre a variável e sua
negação: A + A, resultado sempre 1 (ligado)

15. 13. Exemplo de Simplificação
• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC
• A simplificação requer o uso das propriedades
das expressões algébricas já vistas antes
• O primeiro passo é identificar os mintermos
que se diferenciam por apenas um literal. No
exemplo: ABC e ABC possuem os mesmos
literais exceto pelo termo C e C. Usando a
propriedade distributiva (14) podemos então
representar: ABC+ABC = AB(C+C), mas pela
propriedade (4) C+C=1, logo ABC+ABC=AB
• Substituindo: F = AB + ABC + ABC

16. 14. Melhor Simplificação = Equação Mínima
• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC
• Pela propriedade 3: A + A = A, podemos dizer
que: ABC = ABC + ABC , substituindo temos:
• F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
• Os termos envolvidos de vermelho possuem
literais comuns e poderão ser simplificados
usando a propriedade 14 (distributiva), assim:
• ABC+ABC=AB como já vimos antes e
• ABC+ABC=BC pelo mesmo princípio, então
• Então: F = AB + ABC + BC é a equação mínima

17. 15. Forma Mínima e Fatorada
• A forma mínima é quando a expressão não
pode mais ser simplificada com redução no
número de operações lógicas
• Sendo a equação mínima anterior:
• F = AB + ABC + BC podemos ainda colocar em
evidência o termo B e a equação seria:
• F = B.(A+C) + ABC que não é uma forma de
mintermos nem maxtermos, logo ela é
chamada de forma “fatorada” mesmo assim
não resultou em redução de operações