Distribuição de Freqüências

CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA

AULA 01
Olá, amigos!
Espero que estejam todos bem! E bem dispostos, a propósito!
Isso porque considero esta nossa primeira aula como a mais importante delas.
Conforme dito no final do encontro anterior, exploraremos hoje tudo o que pode ser
dito acerca de uma Distribuição de Freqüências!
Sem mais delongas, demos início ao nosso estudo.
A Distribuição de Freqüências é nada mais que uma tabela, por meio da qual
conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada.
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de
duzentas pessoas que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma
delas lêem por ano. (Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito
para uma tabela, e apresentado da forma seguinte:

Classes fi
(número de livros (pessoas)
lidos por ano)
0 !--- 5 108
5 !--- 10 72
10 !--- 15 18
15 !--- 20 2
Total 200

Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências!
Trata-se, portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa
realizada. A característica marcante da Distribuição de Freqüências é que a variável
estudada estará subdivida em classes!
As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito
intuitivo. Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro
classes:
1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano;
2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano;
3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano;
4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano;
Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamados
respectivamente de limite inferior (linf) e limite superior (lsup).
Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e
no fim de cada classe. Assim, teremos que:
1ª Classe) linf=0 e lsup=5

www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 3


Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa a
próxima! Não é verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite
inferior da classe seguinte.
Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas
olhando para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano
entrará na contagem da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente:
Classes fi
lidos por ano)
0 !--- 5 108
5 !--- 10 72
10 !--- 15 18
15 !--- 20 2
Total 200

Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e
aí? Quem lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira?
Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de
intervalo de classe! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiver
presente entre os limites da classe.
No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !----
Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos
melhor:

Linf Lsup

A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará
incluído no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda.
A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este
limite estará excluído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita.
Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos:

5 10

Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê
exatamente 10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez
que 10 é limite superior desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita.
Ou seja, o limite superior está excluído desta contagem, embora faça parte da classe
como um de seus limites!
Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o
intervalo é a simbologia que separa os limites das classes.


Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemos
sempre! É, por assim dizer, a simbologia clássica!
Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e
aberto à esquerda.
E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que
em uma Distribuição de Freqüências, trabalha-se sempre com variáveis contínuas!
Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumir
qualquer resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver
qualquer descontinuidade.
E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável,
faz-se necessário que onde termine uma classe, comece a próxima.
Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável
discreta! Sim. Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma
Distribuição de Freqüências. Não fui muito rigoroso com o exemplo. Ok?
Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na
Distribuição de Freqüências, trabalhamos com variáveis contínuas!
Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe.
Como não são de nosso interesse, não trataremos a seu respeito.
O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe. Um conceito
muito simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude da
classe será, portanto, o tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a
letra h (minúscula).
Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe
apresentam a mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos:
Classes
0 !--- 5 h=5
5 !--- 10 h=5
10 !--- 15 h=5
15 !--- 20 h=5

Pergunta: é obrigado que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não!
Não é obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de
Freqüência trazidas em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma
regra. É apenas o usual. Na prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e
apresentou uma Distribuição em que nem todas as classes possuíam a mesma
amplitude.
Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de
estarmos diante de uma Distribuição de Freqüência com classes de amplitudes
diversas. Ok? A rigor, não muda quase nada.
Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora, o nome
é sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da
classe. Cada classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível
determinar o PM de uma classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo.
Vejamos: qual é o valor que está exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro!
Daí, 2,5 é o PM da primeira classe.


Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 24,5. Pode
ser que não seja assim tão imediata a determinação desse PM.
Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse
resultado por dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2.
Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22.
Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Freqüências, e construamos a
coluna dos Pontos Médios. Teremos:

Classes PM
0 !--- 5 2,5
5 !--- 10 7,5
10 !--- 15 12,5
15 !--- 20 17,5

Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim?
Vemos que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma
constante. Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre
igual ao anterior somado a uma constante.
Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5?
Foi este também o valor da amplitude das classes!
Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de
Freqüências tiverem a mesma amplitude (mesmo h), observaremos que o próximo
Ponto Médio será igual ao anterior somado àquela amplitude.
É este o primeiro atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não
deixa de ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios,
a primeira coisa a observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o
caso, você irá apenas descobrir o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira
classe). Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesma
operação, até chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo,
teremos:
Classes PM
0 !--- 5 2,5 1º PM, calculado!
5 !--- 10 (2,5+5) = 7,5
10 !--- 15 (7,5+5) = 12,5
15 !--- 20 (12,5+5)= 17,5

Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de
Freqüências. Agora precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que
vêm a ser essas tais freqüências? É sobre isso que falaremos a seguir.
Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo:



Classes fi
lidos por ano)
0 !--- 5 108
5 !--- 10 72
10 !--- 15 18
15 !--- 20 2
Total 200

Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que
participa da classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna
do fi significa que há 108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por
ano (cinco exclusive).
Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada freqüência absoluta simples,
indica o número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É a
freqüência de mais fácil compreensão! E a mais importante delas também!
Precisaremos conhecer os valores da fi para podermos resolver quase todas as
questões de uma prova.
Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro
passo, saber reconhecer o tipo de freqüência apresentado na tabela da prova! Uma
vez feito esse reconhecimento, se a freqüência fornecida houver sido a fi (freqüência
absoluta simples), então já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a prova
houver fornecido um outro tipo de coluna de freqüência, diferente do fi, então
precisaremos fazer algum trabalho preliminar, no intuito de transformar a coluna de
freqüência da tabela na freqüência absoluta simples fi.
Ou seja, diante de uma Distribuição de Freqüências, convém seguirmos os
seguintes passos:
1º) Reconhecer o tipo de freqüência fornecida na tabela;
2º-A) Se for a freqüência absoluta simples (fi), ótimo: começamos a resolver a
prova;
2º-B) Se for um outro tipo de freqüência, diferente do fi, teremos que fazer
algum trabalho preliminar, no sentido de transformar a freqüência fornecida na
freqüência absoluta simples (fi).
Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste
Curso, se não souber fazer esse tal de trabalho preliminar! Saber fazer isso se
tornou, por assim dizer, a alma da prova! Ok? Vamos a esse estudo.
Existem seis tipos de colunas de freqüências, as quais podem estar presentes
numa Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a fi, freqüência absoluta simples.
Há ainda outros dois tipos de freqüências absolutas: a fac – freqüência absoluta
acumulada crescente, e a fad – freqüência absoluta acumulada decrescente.
Haverá também três tipos de freqüências relativas: a Fi, freqüência relativa
simples; a Fac – freqüência relativa acumulada crescente; e a Fad – freqüência
relativa acumulada decrescente.
Relacionando-as todas, teremos:



Freqüências Absolutas:
- fi : freqüência absoluta simples;
- fac: freqüência absoluta acumulada crescente;
- fad: freqüência absoluta acumulada decrescente.
Freqüências Relativas:
- Fi : freqüência relativa simples;
- Fac: freqüência relativa acumulada crescente;
- Fad: freqüência relativa acumulada decrescente.

A primeira delas (fi) está em destaque para que não nos esqueçamos: é a mais
importante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê-la previamente, antes
de começarmos a resolver a prova!
Vou criar outro exemplo de Distribuição de Freqüências. Ok? Suponhamos que a
tabela abaixo represente os pesos de um grupo de crianças. Certo? Teremos:
Classes fi
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4

Já sabemos o significado da fi. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10
quilos (exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças,
peso variando entre 20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30
e 40 quilos. Assim, se perguntarmos quantos elementos há neste conjunto, ou seja,
quantas crianças há neste grupo? Para responder isso, basta somarmos os valores da
coluna do fi.
Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um n
(minúsculo). Assim, teremos:
Classes fi
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4
n=20

Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será
encontrado somando a coluna do fi. Guarde isso!



Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da fac (freqüência
absoluta acumulada crescente).
Neste caso, devemos saber do seguinte:
1º) A fac é construída diretamente a partir da fi. (São freqüências irmãs!)
2º) A fac será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são
crescentes, partindo da primeira classe;
3º) A fac e a fi apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac
começa a ser construída, ou seja, são iguais na primeira classe.
4º) Os demais valores da fac serão obtidos somando-se o valor da fac anterior
com a fi da diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo).
Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)
Iguais na primeira
0 !--- 10 3 3 classe
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4
n=20

E para construir os demais valores da fac, seguiremos o comando de somar
com a diagonal. Teremos:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 6 9 (=3+6)
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4
N=20

E depois:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 6 9
20 !--- 30 7 16 (=9+7)
30 !--- 40 4
n=20



E finalmente:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 6 9
20 !--- 30 7 16
30 !--- 40 4 20 (=16+4)
n=20

Observação importante: a fac termina sempre com o mesmo valor de n
(número de elementos do conjunto)!
É isso! Aprendemos a construir a coluna da fac, a partir da freqüência absoluta
simples (fi). Todos entenderam? Basta lembrar:
# De fi para fac:
fi e fac são freqüências irmãs!
fi e fac são iguais na primeira classe;
o resto da fac se constrói somando com a diagonal.

E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a fi
partindo da fac? Como se fará isso? Vejamos:
1º) fac e fi são iguais na primeira classe. Teremos:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)
Iguais na primeira
0 !--- 10 3 3 classe
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4
n=20

2º) O restante da coluna da fi será construída subtraindo a próxima fac da fac
anterior. Vejamos como se faz isso:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 (9-3=) 6 9
20 !--- 30 16
30 !--- 40 20



E depois:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 6 9
20 !--- 30 (16-9=) 7 16
30 !--- 40 20
n=20

E finalmente:
Classes fi fac
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 3
10 !--- 20 6 9
20 !--- 30 7 16
30 !--- 40 (20-16=) 4 20
n=20

Daí, concluímos, que:
# De fac para fi:
fi e fac são freqüências irmãs!
fi e fac são iguais na primeira classe;
o resto da fi se constrói subtraindo a próxima fac da
fac anterior.

Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna
da freqüência absoluta simples fi e pretendemos construir a coluna da fad –
freqüência absoluta acumulada decrescente.
A primeira coisa a saber é que fi e fad são freqüências irmãs, ou seja, são
construídas uma por meio da outra.
A fad, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta
última classe, fad e fi terão o mesmo valor!
O restante da coluna da fad seguirá um comando já conhecido nosso. Qual?
Somar com a diagonal. Vejamos:



1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos:
Classes fi fad
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
Iguais na última
30 !--- 40 4 4
classe
n=20

2º) Subindo e somando com a diagonal, teremos:
Classes fi fad
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7 11 (=4+7)
30 !--- 40 4 4
n=20

E depois:
Classes fi fad
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3
10 !--- 20 6 17 (=11+6)
20 !--- 30 7 11
30 !--- 40 4 4
n=20

E, finalmente:
Classes fi fad
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 3 20 (=17+3)
10 !--- 20 6 17
20 !--- 30 7 11
30 !--- 40 4 4
n=20



Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos
construir a coluna da freqüência absoluta simples fi a partir do conhecimento da
freqüência absoluta acumulada decrescente fad, como fazê-lo?
Simples. Basta lembrar que: 1º) fi e fad são iguais na última classe; 2º) O
restante da coluna da fi será construída fazendo próxima acumulada menos
acumulada anterior. Vejamos:
1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos:
Classes fi fad
(pesos, em Kg)

0 !--- 10 20
10 !--- 20 17
20 !--- 30 11
Iguais na última
30 !--- 40 4 4
classe

2º) O restante da coluna da fi será construída subindo e subtraindo a próxima
fad da fad anterior. Vejamos como se faz isso:
Classes fi fad
0 !--- 10 20
10 !--- 20 17
20 !--- 30 (11-4=) 7 11
30 !--- 40 4 4

E depois:
Classes fi fad
0 !--- 10 20
10 !--- 20 (17-11=) 6 17
20 !--- 30 7 11
30 !--- 40 4 4

E finalmente:
Classes fi fad
0 !--- 10 (20-17=) 3 20
10 !--- 20 6 17
20 !--- 30 7 11
30 !--- 40 4 4

É isso!



Se tentarmos esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê-lo da seguinte
forma:
De simples para acumulada: somar com a diagonal
fac (iguais na primeira classe)
fi
fad (iguais na última classe)
De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior

Agora passamos a falar sobre as Freqüências Relativas!
A primeira coisa a saber é que as freqüências relativas dizem respeito a valores
percentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a diferença entre
freqüências absolutas e relativas:
Freqüências Absolutas: dizem respeito a número de elementos;
Freqüências Relativas: dizem respeito a porcentagem de elementos.
Se quisermos construir a coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, partindo do
conhecimento da freqüência absoluta simples fi, faremos apenas o seguinte:
1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (fi e Fi), sabendo que:
a soma da freqüência simples é sempre n (número de elementos do
conjunto); e
a soma da freqüência relativa simples é sempre 100%.
2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois
somatórios. Ou seja, compararemos n com 100%, e descobriremos qual a relação
entre esses dois valores. (Vocês vão já entender isso melhor!)
Voltemos ao nosso exemplo. Teremos:
Classes fi Fi
0 !--- 10 3
10 !--- 20 6
20 !--- 30 7
30 !--- 40 4
n=20 100%

1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do
que 100, então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem:
multiplicaremos por quanto? Por 5, já que 20x5=100.
Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de
freqüências (fi e Fi), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais
valores da freqüência conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida!
Vejamos:



Classes fi Fi
0 !--- 10 3 15% (=3x5)
10 !--- 20 6 30% (=6x5)
20 !--- 30 7 35% (=7x5)
30 !--- 40 4 20% (=4x5)
n=20 100%
(x5)

A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se
construir a coluna da fi partindo do conhecimento da Fi. Teremos:
Classes fi Fi
0 !--- 10 15%
10 !--- 20 30%
20 !--- 30 35%
30 !--- 40 20%
n=? 100%

Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor
do n (número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele
o valor do n, adotaremos que n=100. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)!
Suponhamos aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que n=20
elementos. Teremos:
Classes fi Fi
0 !--- 10 3 (=15÷5) 15%
10 !--- 20 6 (=30÷5) 30%
20 !--- 30 7 (=35÷5) 35%
30 !--- 40 4 (=20÷5) 20%
n=20 100%
(÷5)

Lembrem-se apenas de pôr o sinal de porcentagem % nas freqüências relativas
e de não colocá-lo nas freqüências absolutas!
Resta agora aprendermos como construir as colunas das freqüências relativas
acumuladas (Fac e Fad). Para construí-las, partiremos de um mesmo lugar: da
freqüência relativa simples Fi.
E o faremos seguindo o mesmo esquema utilizado nas transformações entre as
freqüências absolutas. Teremos:



Fac (iguais na primeira classe)
Fi
Fad (iguais na última classe)

Vejamos estas transformações:

# De Fi para Fac:
Classes fi Fi Fac
0 !--- 10 3 15% 15%
10 !--- 20 6 30% 45% (=15%+30%)
20 !--- 30 7 35% 80% (=45%+35%)
30 !--- 40 4 20% 100% (=35%+20%)
n=20 100%

# De Fac para Fi:
Classes fi Fi Fac
0 !--- 10 3 15% 15%
10 !--- 20 6 30% (=45%-15%) 45%
20 !--- 30 7 35% (=80%-45%) 80%
30 !--- 40 4 20% (=100%-80%) 100%
n=20 100%

# De Fi para Fad:
Classes fi Fi Fad
0 !--- 10 3 15% 100%(=85%+15%)
10 !--- 20 6 30% 85% (=55%+30%)
20 !--- 30 7 35% 55% (=20%+35%)
30 !--- 40 4 20% 20%
n=20 100%



# De Fad para Fi:
Classes fi Fi Fad
0 !--- 10 3 15% (=100%-85%) 100%
10 !--- 20 6 30% (=85%-55%) 85%
20 !--- 30 7 35% (=55%-20%) 55%
30 !--- 40 4 20% 20%
n=20 100%

Certamente vocês observaram que a coluna da Freqüência Relativa Acumulada
Crescente Fac termina sempre com 100%. E a da Freqüência Relativa Acumulada
Decrescente começa sempre com 100%.
Será sempre assim! Anote:
Fac: apresenta 100% na última classe!
Fad: apresenta 100% na primeira classe!

Vocês perceberam também que as duas freqüências absolutas acumuladas (fac
e fad) nascem da freqüência absoluta simples (fi). E viram que as duas freqüências
relativas acumuladas (Fac e Fad) nascem da freqüência relativa simples (Fi).
Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e
chegaremos ao seguinte:

fac (iguais na primeira classe)
fi
fad (iguais na última classe)

(comparam-se os dois somatórios)

Fac (iguais na primeira classe)
Fi
Fad (iguais na última classe)

Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de
freqüências em outra, até chegar à freqüência absoluta simples fi, é algo
simplesmente fundamental.



Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu
Distribuições de Freqüências com as quais se precisaria fazer o trabalho preliminar de
descobrir qual a freqüência daquela tabela e, a partir daquela freqüência, construir a
fi. Vejamos abaixo duas destas Distribuições. Vamos a elas.
# (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue.

Classes de Salário Freqüências
Acumuladas
( 3 ; 6] 12
( 6 ; 9] 30
( 9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68

Sol.: O primeiro passo nosso será descobrir que freqüência foi essa trazida na tabela.
A primeira conclusão a tomar é se se trata de uma freqüência absoluta ou de uma
freqüência relativa.
Será Freqüência Relativa em três casos:
1º) Se o enunciado o disser expressamente;
2º) Se houver um sinal de porcentagem (%) no cabeçalho da coluna;
3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna.
Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de freqüência relativa esteve presente, o
que nos leva a concluir que estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas.
Sabendo disso, resta-nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de freqüência
absoluta é essa? Há três tipos: fi (freqüência absoluta simples), fac (freqüência
absoluta acumulada crescente) e fad (freqüência absoluta acumulada decrescente).
Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma
freqüência acumulada. Logo, restam-nos duas possibilidades: fac ou fad. Para decidir
se a freqüência é acumulada crescente ou decrescente, basta observar os seus
valores: começamos com 12; e aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja,
estamos diante de uma freqüência absoluta acumulada crescente (fac).
Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um trabalho
preliminar, no sentido de construir agora a coluna da freqüência absoluta simples fi.
Já sabemos fazer isso. Teremos:
Classes fac fi
( 3 ; 6] 12 12
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12)
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30)
(12 ; 15] 60 10 (=60-50)
(15 ; 18] 65 5 (=65-60)
(18 ; 21] 68 3 (=68-65)

Somente então seria possível começar a resolver a prova!
Vamos ao próximo exemplo.



# (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.

Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

Sol.: Comecemos identificando a coluna de freqüência fornecida. O cabeçalho
apresenta um sinal de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência
relativa, e é muito conveniente que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos
os valores desta coluna. Teremos:
Classes P (%)
70-90 5%
90-110 15%
110-130 40%
130-150 70%
150-170 85%
170-190 95%
190-210 100%

Ora, aprendemos que as duas freqüências relativas acumuladas começarão ou
terminarão com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas
classes: a primeira e a última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe!
Conclusão: trata-se de uma freqüência relativa acumulada.
Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus
valores. Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante.
Conclusão: estamos diante da coluna da freqüência relativa acumulada
crescente, Fac.
No intuito de construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi),
construiremos, como primeiro passo, a coluna da freqüência relativa simples (Fi).
Teremos:
Classes Fac Fi
70-90 5% 5%
90-110 15% 10% (=15%-5%)
110-130 40% 25% (=40%-15%)
130-150 70% 30% (=70%-40%)
150-170 85% 15% (=85%-70%)
170-190 95% 10% (=95%-85%)
190-210 100% 5% (=100%-95%)



Daí, finalmente, faremos a transformação da freqüência relativa simples para a
freqüência absoluta simples. Ou seja, passaremos de simples para simples. Neste
caso, conforme aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas
duas colunas de freqüências.
Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do
conjunto n. A questão disse que foram examinados 200 itens... Traduzindo: n=200.
Daí, teremos:

Classes Fac Fi fi
70-90 5% 5% 10
90-110 15% 10% 20
110-130 40% 25% 50
130-150 70% 30% 60
150-170 85% 15% 30
170-190 95% 10% 20
190-210 100% 5% 10
Total 100% n=200
(x2)

E somente neste momento a tabela estaria pronta para deixar você começar a
resolver a prova!

Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência,
deixarei alguns exercícios, algumas Distribuições de Freqüências, para que vocês
procurem identificar a necessidade de fazer o trabalho preliminar com as colunas de
freqüências, e em caso afirmativo, que vocês encontrem a coluna da freqüência
absoluta simples. Ok? Outra coisa: revisem esta aula com carinho! Valorizem esta
aula: ela é importantíssima!

Eu fico hoje por aqui (dez para quatro da manhã!), e os deixo com o dever de
casa de hoje. Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!

Dever de Casa

Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o
trabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi.

01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma
amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos
das classes.

Classes Freqüências
Acumuladas (%)
2.000 – 4.000 5
4.000 – 6.000 16
6.000 – 8.000 42
8.000 – 10.000 77
10.000 – 12.000 89
12.000 – 14.000 100



02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências
abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqüência Acumulada
129,5-139,5 4
139,5-149,5 12
149,5-159,5 26
159,5-169,5 46
169,5-179,5 72
179,5-189,5 90
189,5-199,5 100

03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10

04. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo,
não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqüência Acumulada
129,5-139,5 4
139,5-149,5 12
149,5-159,5 26
159,5-169,5 46
169,5-179,5 72
179,5-189,5 90
189,5-199,5 100


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