Apresentamos como é incluído na Matemática a existência de pedaços de objetos e/ou coisas. Na nossa vida diária convivemos com pedaços de objetos/coisas que cortamos, que se quebram, ou que separamos. Pedaços iguais de um(a) mesmo(a) objeto (coisa) são descritos como "frações de um todo". Mostramos como a Matemática nos permite juntar/somar e tirar/subtrair pedaços iguais/frações de um(a) mesmo(a) objeto (coisa). Quando mencionamos a palavra "coisa", devemos entendê-la como representando objetos concretos ou objetos abstratos, tais como: uma pizza, uma folha de papel, um intervalo de tempo, um valor em dinheiro, etc... Essa palestra é apresentada em duas partes nas quais alguns conceitos da Matemática são revistos. Esses conceitos são apresentados usando exemplos e linguagem que pertencem ao cotidiano das crianças e dos jovens. Parte 2: Usamos as condições matemáticas da soma: " só juntamos/somamos o que é igual ou do mesmo tipo", e da subtração: "só se tira o que se tem", para mostrar como somar e subtrair frações que correspondem a pedaços diferentes (denominadores distintos) de um(a) dado(a) objeto (coisa). Discutimos a multiplicação e a divisão de frações, e também o que são "frações equivalentes". Finalmente mostramos porque se justifica a notação de fração na forma "n/m", que na Matemática corresponde a notação da divisão do número n pelo número m. O valor da fração "n/m" é igual ao resultado da razão do número n pelo número m, que pode ser um número inteiro ou um número não-inteiro.

1. 1

2. Temos um que tem várias almofadas.
Separamos o assento do sofá em vários “pedaços” para sentar.
O tamanho de cada “pedaço” depende
do tamanho do sofá e em quantos
pedaços separamos o assento.
Aluguei uma por 2 horas.
Meus 5 afilhados querem andar
de bicicleta !!!!
O que fazer para não
ter briga entre eles?
Todos devem andar o mesmo tempo de bicicleta.
Menina curiosa que queria ser justa 2

3. O que é “fração” ? Separar/dividir algo em “pedaços” iguais.
Exemplo de frações na nossa vida diária:
1.
o assento do sofá é dividido/separado em
2 almofadas iguais.
Cada almofada =
1
2
2. o tempo que aluguei a bicicleta: 02 horas = 120 min.
O intervalo/pedaço de tempo que cada afilhada(o)
anda de bicicleta: 24 min.
tempo de cada
afilhada(o)
1
5
= de 2 horas
minutos
0 24 48 72 98 120
1 2 3 4 5
Menina curiosa que queria ser justa 3

4. Como juntar/somar pedaços da
tira de papel com tamanhos
diferentes?
1 tira de papel amarelo
1
2
1
2
1 pedaço de tira:
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1 pedaço de tira:
1
4
Juntar:
com Usando o papel
é fácil medir o
tamanho final.
Na Matemática: só
somamos coisas que
são iguais.
O que fazer?
Menina curiosa que queria ser justa 4

5. Aprendemos a usar a
Matemática para somar
frações com denominado-
res diferentes.
Lembrando... 1 tira de papel amarelo
1
2
1
2
=
1
4
1
4
1
4
1
4
1 pedaço de tira:
1
2
1 pedaço de tira:
1
4
1
2
= =
2
4
1
4
=
Juntando pedaços diferentes:
3
4
Somando frações com
denominadores diferentes:
1
2
1
4
+ = 2
4
1
4
+ = =
2 + 1
4
1
4
4
1
2
2
=
Menina curiosa que queria ser justa
5

6. 1 tira de papel amarelo
=
Como somar com
um ?
2
3
1
6
1
3
1
3
1
3
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Juntando:
2 pedaços de :
1
3
2
3
=
1 pedaço de :
1
6
4
6
=
1
6
=
Juntando:
1
6
=
2
3
4
6 Somando:
=
2
3
+ 1
6
=
4
6
+ 1
6
=
4 + 1
6
Menina curiosa que queria ser justa 6

7. Lembrando...
1 tira de papel amarelo
1
2
1
2
=
Tirando pedaços diferentes:
1
3
1
3
1
3
Tenho tira:
1
2
1
3
1
2
, e quero tirar dela tira:
1
3
Na Matemática, a
subtração só tira o
que já tem.
O que fazer?
Que tal dividir a da tira e o
da tira em pedaços iguais?
1
2
1
3
Menina curiosa que queria ser justa 7

8. 1
2
1
2
=
1
3
1
3
1
3
1
2
3
6
= 1
3
= 2
6
3
6
=
Tenho tira:
1
2
1
2
Quero tirar dela tira:
1
3
= 2
6
1
3
Sobra
Subtração de frações com
denominadores diferentes.
=
1
2
-
1
3
1
6
=
-
2
6
3
6
=
-
6
3 2
1
6
1
6
1 tira de papel amarelo
Menina curiosa que queria ser justa 8

9. 1 tira de papel amarelo
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
Tenho da fita:
3
4
1
4
1
4
1
4
3
4
=
= 1
2
= 2
4
A gente só subtrai
o que já tem.
1
4
3
4
=
- 1
2
2
4
=
-
3
4
=
-
3 2
4
=
Quero tirar dela tira: 1
2
1
2
?
Menina curiosa que queria ser justa 9

10. Como escrever a soma de
grupos que têm a mesma
quantidade de coisas iguais?
juntar
juntar
Como escrever a
soma de frações
iguais?
Dividimos uma fita de papel em 5 pedaços iguais:
1 tira de papel amarelo
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
8
5
2
5
4 X =
+ + + =
2
5
2
5
2
5
2
5
=
2
5
4X
Fração da
fita de papel
inicial.
Menina curiosa que queria ser justa
10

11. Cortamos a tira de papel em
8 pedaços iguais. Juntamos
alguns desses pedaços de tira.
1 tira de papel amarelo
1
8
Qual o tamanho do papel original
que conseguimos quando juntamos
3 conjuntos de 2 pedaços de
1
8
da tira de papel?
Então:
3 X 2
8
= 3X
2
8
=
2
8
2
8
2
8
= 6
8
=
6
8
3 X 2
8
=
Menina curiosa que queria ser justa 11

12. Quando multiplicamos um número por uma fração, multiplicamos
esse número pelo numerador da fração e mantemos o seu
denominador. Isso é sempre verdade?
Vejamos alguns exemplos:
1. 6x
2
3
=
12
3
=
6x2
3
=
2
3
+ 2
3
+
+ 2
3
2
3
+ 2
3
+ 2
3
2. 3x 4
7
= 4
7
4
7
+ + 4
7
12
7
=
3x4
7
=
3. 2x 8
5
= 8
5
+ 8
5
16
5
=
2x8
5
=
Menina curiosa que queria ser justa
12

13. O que é DIVIDIR um grupo de coisas iguais ou do mesmo tipo?
Temos 15 bolas de gude para separamos em 3 montinhos.
Em cada montinho colocamos o mesmo número de bolas de gude:
15 bolas de gude 5 bolas de gude
5 bolas de gude 5 bolas de gude
Ficamos com 5 bolas de
gude em cada montinho.
Como escrevemos essa divisão/separação na Matemática:
15 ÷ 3 = 5
=
15
3
Menina curiosa que queria ser justa
13

14. Dividir é separar o que temos
em montinhos iguais.
Como dividir uma fração em
pedaços iguais?
1 tira de papel amarelo
Temos metade da tira de papel:
Como dividir a metade da tira de papel em 4 pedaços iguais?
Esse pedaço é igual a que fração
da fita inicial de papel? 1
8 1
8 Menina curiosa que queria ser justa 14

15. Como mostrar o
resultado anterior usando
a Matemática?
1 tira de papel amarelo
= =
1
8
4
1
2
1
8
Usando a Matemática:
1
8
=
4
1
2
= 1
8
x
1
4
1
2
= 1 x 1
4 x 2
Quando dividimos uma fração por um
número, multiplicamos o denominador
da fração por esse número.
Menina curiosa que queria ser justa 15

16. 1 tira de papel amarelo
de papel em 2 montinhos iguais?
Como separar/dividir da fita
3
4
3
4
=
da fita em 2 pedaços iguais?
Que tal cortar cada 1
4
Assim a gente tem
certeza que os 2
montinhos ficam com
o mesmo pedaço de
fita.
Como escrever como uma fração da tira de papel?
1
8
3
8
=
= =
2
3
4
= 3
8
= 1 x 3
2 x 4
1
2
3
4
x
Menina curiosa que queria ser justa 16

17. Na Matemática temos 10 algarismos que escrevemos fazendo desenhos diferentes:
Como escrever a
quantidade de coisas
iguais maior que 9?
Números inteiros...
Vejamos,
0, 1, 23, 106, 2957, ...
Porque não precisamos criar
um novo desenho para
escrever essas quantidades?
O que significam
os algarismos nos
números?
Um exemplo:
quantidade: vinte e três
escrevemos: 23 Porque???
2 x 10 3 x 1
2 3 = 23
Número
inteiro!!!
Menina curiosa que queria ser justa
17

18. Porque eu preciso de números que não são inteiros?
Quando a gente mede o chão da sala da nossa casa:
0 1 2 3 4 5
m
O comprimento de um lado
do chão da sala é maior de
4m e menor que 5m.
Não dá para
medir?
O que
fazer?
Medir: é comparar um comprimento que
a gente conhece com um comprimento
que a gente quer conhecer.
Menina curiosa que queria ser justa 18

19. Medir o chão da sala da nossa casa:
0 1 2 3 4 5
m
Que tal dividir o tamanho
de 1m em 10 pedaços
iguais?
4,2
4 5
m
4,3
Quase deu para medir
o chão da sala!!! E?
Menina curiosa que queria ser justa
19

20. Que tal dividir o espaço na régua
entre 4,2m e 4,3m na régua em
10 pedaços iguais?
4 5
m
4,28
4,2
O comprimento desse lado do chão é de:
4,28m.
O que as decimais após a vírgula nos dizem sobre a medida do
comprimento do chão?
,
4
4 x 1m
2
2 pedaços
de m.
1
10
8
8 pedaços
de m.
1
100
Porque usamos as
decimais após a
vírgula?
Menina curiosa que queria ser justa 20

21. - 1 0 0
0
Onde colocar o número após a vírgula?
Vejamos:
1. 1
10
1 10
0,
- 0
1 0
1
- 1 0
0
Então,
1
10
= 0, 1
2. 1
100
1 100
0,
- 0
10
0
- 0
10 0
1
= 0, 0 1
Como escrevemos
1
1000
em termos de decimais?
Menina curiosa que queria ser justa 21

22. - 1 0 0 0
- 0
- 0
É simples!!! É só fazer a mesma estratégia
dos dois casos anteriores.
3. 1
1000
1000
1
0,
1 0
0
1 0 0
- 0
0
1 0 0 0
1
0
Então:
3. 1
1000
= 0, 0 0 1
Ficou claro onde colocar
a vírgula em números
com decimais?
Menina curiosa que queria ser justa 22

23. forma e ter o mesmo pedaço de papel?
Será que podemos olhar a fração de outra
2
4
Escrevemos uma fração
como: .
2
4
Mas, fração é uma
divisão? Porque?
2
4
de 1 tira de papel amarelo
1
4
“tamanho” da fração
de .
2
4
1 tira de papel amarelo
1 tira de papel amarelo 1 tira de papel amarelo
de 2 tiras de papel
1
4
Mesmo tamanho
Para a Matemática o
que importa é o
tamanho do pedaço
correspondente a fração.
Dividimos 2 tiras de papel em 4 pedaços iguais.
Menina curiosa que queria ser justa 23

24. Será que essas duas maneiras representam sempre a mesma fração?
Os pedaços dos objetos são sempre iguais?
1 tira de papel amarelo
Caso 1:
2
5
: 2 pedaços de de 1 tira:
1
5
2
5
2
5
: 1 pedaço de de 2 tiras:
1
5
1
5 2 tiras de papel é 2 vezes maior que 1 tira
de papel. O tamanho de de 2 tiras é 2
1
5
vezes o tamanho de de 1 tira.
1
5
O que importa é o
tamanho que a fração
corresponde!!!
Menina curiosa que queria ser justa 24

25. Caso 2:
1 tira de papel amarelo
3
4
: 3 pedaços de de 1 tira:
1
4
3
4
3
4
: 1 pedaço de de 3 tiras:
1
4
1
4
3 tiras é 3 vezes maior que 1 tira. O tamanho
de de 3 tiras é 3 vezes maior que de
1 tira.
1
4
1
4
Menina curiosa que queria ser justa
25

26. Então, eu posso pensar na
fração como sendo várias
tiras divididas em pedaços.
1 tira de papel amarelo
Pensamos a fração como:
2
4
a divisão do número 2 (tiras de papel) dividido por 4 (em quatro pedaços dessas
2 tiras de papel)
Podemos escrever a fração como sendo igual ao número que obtemos dessa divisão.
Assim,
2
4
1. = 0, 5
Ligamos a fração
a um número que
pode ser inteiro
ou não-inteiro.
4
2
0,
- 0
2 0
5
- 2 0
0
Menina curiosa que queria ser justa
26

27. 0
Então,
4
5
2. = 0, 8 4 5
0,
- 0
4 0
8
- 4 0
0
Vejamos a igualdade de
outras frações e números
decimais ...
1 tira de papel amarelo
4
5
= 0,8
8
5
3. = 1, 6 8 5
1,
- 5
3 0
6
- 3 0
3
5
= 0,6
8
5 = =
5 + 3
5
5
5
3
5
+
= 1, 6
1 0,6
5
5
= 1
Menina curiosa que queria ser justa 27

28. Como calcular a multiplicação e
divisão de frações?
1.
6
3 x
1
5
= 6
1
5
1
5
+ +
1
5
= 6
3
5
=
3
5
1
6
x
= 6 x 5
1 x 3
=
3
30
=
3
30
6
3 x
1
5
=
1
5
3
6
x
calculando
direto
= 6 x 5
3 x 1
É fácil fazer a conta
com frações. É só
entender o PORQUE!!!!
Menina curiosa que queria ser justa 28

29. De novo, calcular a multiplicação
e divisão de frações?
2.
7
9 x
2
8
= 7
8
18
= 18
8
1
7
x = 7 x 8
1 x 18
=
18
56
=
18
56
7
9 x
2
8
=
2
8
9
7
x
calculando
direto
= 7 x 8
9 x 2
É fácil fazer a conta
com frações. É só
entender o PORQUE!!!!
Menina curiosa que queria ser justa 29

30. Frações equivalentes correspondem ao mesmo pedaço:
1 tira de papel amarelo
Veja:
=
1
2
1
2
2
4
1
4
= 2
4
1
2 = 2
4
Os dois pedaços de fita são
iguais. Eles correspondem a
mesma fração.
Então:
1
2 =
1 x 2
2 x 2 = 2
4
OU
2
4
=
1
2
=
2
2
4
2
Ao multiplicar/dividir o numerador
e o denominador pelo mesmo
número, o valor da fração é o
mesmo.
Menina curiosa que queria ser justa
30

31. 1 tira de papel amarelo
Veja:
1
3
2
3
=
2
3
4
6
1
6
=
4
6
2
3 = 4
6
Porque?
Vamos entender,
2
3 =
4
6
=
2 x 2
3 x 2
OU
4
6 = =
4
2
6
2
2
3
Duas frações são equivalentes
se elas correspondem ao
mesmo pedaço da fita.
Menina curiosa que queria ser justa 31

32. Temos que praticar as operações
com frações para ver como elas
são simples.
Fração: é um pedaço de um
objeto que foi separado em
tamanhos iguais.
Menina curiosa que queria ser justa 32

33. Minhas e meus colegas Matemáticos:
obrigada pela sua atenção!!!
Até a próxima dúvida da
Menina curiosa que queria ser justa
33

34. Menina curiosa que queria ser justa 34

35. 1
2
1
2
1
6
3
4
1
4
Somando frações com
denominadores diferentes:
1
2
1
4
+ = 2
4
1
4
+ = =
2 + 1
4
4
1
2
2
=
Aprendemos a usar a
Matemática para subtrair
frações com denominadores
diferentes.
1
2
= =
+
+
1
2
1
5
1
5
2
4
0
Menina curiosa que queria ser justa 35