exercícios de cálculo

1. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
curso: Engenharia de Produção bimestre: 2o
bimestre data: / /2017
P10-2polo:
aplicador
responsável:
Turma /
período:
nome: RA:
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A.
Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova!
disciplina Cálculo I NOTA (0-10):
• Use o resumo da matéria que foi disponibilizado no Ambiente Virtual de Aprendizagem, na semana
7. Não é permitido o uso de calculadora ou qualquer outro equipamento eletrônico.
Questão 1 (2,5 pontos)
Sabendo-se que 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 e que 𝑓𝑓(0) = 4 e 𝑓𝑓′(0) = 3 , determine a lei de formação de 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Questão 2 (2,5 pontos)
Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O raio da base r=r(t) e a altura
h=h(t) variam com o tempo. No instante em que a altura vale 5 cm, ela está aumentando a uma taxa de
3cm/s e, nesse mesmo instante, o raio da base vale 8cm e está aumentando a uma taxa de 2cm/s. Calcule
a taxa de variação do volume do cone neste instante. Adote 𝜋𝜋 = 3.
Questão 3 (2,5 pontos)
Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
7−𝑥𝑥
𝑥𝑥2 . Determine seu domínio e determine o(s) intervalo(s) em que a função é
crescente e o(s) intervalo(s) em que ela é decrescente.
Questão 4 (2,5 pontos)
Calcule a área da região limitada do plano determinada por 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4
, e 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

2. GABARITO
curso: Engenharia de Produção bimestre: 2o
bimestre
P10-2
disciplina Cálculo I NOTA (0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
• Descontar 0,25 pontos por erros ou omissões de unidades.
• As respostas podem ser expressas em termos de raiz quadrada, cossenos e senos de ângulos. Não
há necessidade de utilizar calculadoras.
• Se perceber que o aluno errou a conta, dar a ele o crédito de metade da questão. Vale muito o
raciocínio.
Questão 1
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⇒𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑎𝑎 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − cos 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑓𝑓(0) = 4 ⇒−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0 + 𝑎𝑎 ∙ 0+b=4 ⇒ −1 + 𝑏𝑏 = 4 ⇒ 𝑏𝑏 = 5
𝑓𝑓′(0) = 3 ⇒ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 + 𝑎𝑎 = 3 ⇒ 𝑎𝑎 = 3
Logo, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 3𝑥𝑥 + 5
Questão 2
O volume é dado por 𝑉𝑉(𝑡𝑡) =
1
3
𝜋𝜋𝑟𝑟2(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟2
(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡). (Usamos 𝜋𝜋 = 3)
A taxa de variação é a derivada: 𝑉𝑉′(𝑡𝑡) = 2𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑟𝑟′(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡) + 𝑟𝑟2(𝑡𝑡)ℎ′(𝑡𝑡). Usando os dados do enunciado:
𝑉𝑉′(𝑡𝑡) = 2 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 5 + 82
∙ 3 = 160 + 192 = 352𝑐𝑐𝑐𝑐3
/𝑠𝑠.
Questão 3
𝐷𝐷𝑜𝑜𝑜𝑜(𝑓𝑓) = ℝ − {0} 𝑜𝑜𝑜𝑜 {𝑥𝑥 ∈ ℝ|𝑥𝑥 ≠ 0} = ℝ∗
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
−1∙𝑥𝑥2−(7−𝑥𝑥)2𝑥𝑥
𝑥𝑥4 =
𝑥𝑥2−14𝑥𝑥
𝑥𝑥4 Como o denominador é positivo, o sinal de 𝑓𝑓′
é determinado pelo numerador,
que é um polinômio do segundo grau com concavidade para cima e raízes iguais a 0 e 14.
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 0 < 𝑥𝑥 < 14 e 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 0 ou 𝑥𝑥 > 14. Assim,
𝑓𝑓 é decrescente no intervalo ]0, 14[ e é crescente em ]−∞, 0[ e em ]14, +∞[
Questão 4
Resolvendo 𝑥𝑥4
= 𝑥𝑥 , encontramos as abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos. São 0 e 1. Como
𝑥𝑥4
≤ 𝑥𝑥 para 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 , então a área é dada por
A = ∫ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥4
)𝑑𝑑𝑑𝑑
1
0
= �
𝑥𝑥2
2
−
𝑥𝑥5
5
� |
1
0
=
1
2
−
1
5
=
3
10