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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidades de Medidas e o Sistema
Internacional
Amintas Paiva Afonso
MedirMedir
 Medir é o procedimento experimentalMedir é o procedimento experimental
através do qual o valor momentâneo deatravés do qual o valor momentâneo de
uma grandeza física (mensurando) éuma grandeza física (mensurando) é
determinado como umdeterminado como um múltiplomúltiplo e/ou umae/ou uma
fraçãofração de umade uma unidadeunidade, estabelecida por, estabelecida por
um padrão, eum padrão, e reconhecidareconhecida
internacionalmenteinternacionalmente..
2.12.1
 Um pouco de história das unidades deUm pouco de história das unidades de
medida...medida...
Um pouco de história...Um pouco de história...
 O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ...
 A necessidade de contar ...A necessidade de contar ...
 Só os números não bastam ...Só os números não bastam ...
 Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ...
O cúbito do FaraóO cúbito do Faraó
O pé médio da idade médiaO pé médio da idade média
Um pouco de história...Um pouco de história...
 O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ...
 A necessidade de contar ...A necessidade de contar ...
 Só os números não bastam ...Só os números não bastam ...
 Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ...
 O papel do Faraó e do Rei ...O papel do Faraó e do Rei ...
 A busca por referências estáveis ...A busca por referências estáveis ...
 Finalmente, em 1960, a unificação ...Finalmente, em 1960, a unificação ...
2.22.2
 Por que um único sistema dePor que um único sistema de
unidades?unidades?
Importância do SIImportância do SI
 Clareza de entendimentos internacionaisClareza de entendimentos internacionais
(técnica, científica) ...(técnica, científica) ...
 Transações comerciais ...Transações comerciais ...
 Garantia de coerência ao longo dos anos ...Garantia de coerência ao longo dos anos ...
 Coerência entre unidades simplificamCoerência entre unidades simplificam
equações da física ...equações da física ...
2.3.12.3.1
 As sete unidades de baseAs sete unidades de base
As sete unidades de baseAs sete unidades de base
GrandezaGrandeza unidade símbolounidade símbolo
 ComprimentoComprimento metrometro mm
 MassaMassa quilogramaquilograma kgkg
 TempoTempo segundosegundo ss
 Corrente elétricaCorrente elétrica ampereampere AA
 TemperaturaTemperatura kelvinkelvin KK
 Intensidade luminosaIntensidade luminosa candelacandela cdcd
 Quantidade de matériaQuantidade de matéria molmol molmol
O metroO metro
 1793: décima milionésima1793: décima milionésima
parte do quadrante doparte do quadrante do
meridiano terrestremeridiano terrestre
 1889: padrão de traços em1889: padrão de traços em
barra de platina iridiadabarra de platina iridiada
depositada no BIPMdepositada no BIPM
 1960: comprimento de onda da1960: comprimento de onda da
raia alaranjada do criptônioraia alaranjada do criptônio
 1983: definição atual1983: definição atual
O metro (m)O metro (m)
 É o comprimento do trajeto percorridoÉ o comprimento do trajeto percorrido
pela luz no vácuo, durante um intervalo depela luz no vácuo, durante um intervalo de
tempo de 1/299 792 458 de segundotempo de 1/299 792 458 de segundo
 Observações:Observações:
 assume valor exato para a velocidade da luzassume valor exato para a velocidade da luz
no vácuono vácuo
 depende da definição do segundodepende da definição do segundo
 incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-11-11
mm
MedidasMedidas
Medidas de ComprimentoMedidas de ComprimentoMedidas de ComprimentoMedidas de Comprimento
Múltiplos e submúltiplos
do metro
mkm hm dam dm cm mm
Quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
COMPRIMENTOCOMPRIMENTO
 Medir faz parte do nosso dia-a-dia.Medir faz parte do nosso dia-a-dia.
 Entre as medidas mais comuns está a medidaEntre as medidas mais comuns está a medida
de comprimento.de comprimento.
 Metro – mMetro – m
 Grandes medidas usamos o quilômetro – kmGrandes medidas usamos o quilômetro – km
 1 km = 1000m1 km = 1000m
 Centímetro – cm Milímetro – mmCentímetro – cm Milímetro – mm
 1 cm = 0,01 m1 cm = 0,01 m
 1mm = 0,001m1mm = 0,001m
Comparações ...Comparações ...
 Se o mundo fosse ampliado de forma queSe o mundo fosse ampliado de forma que
1010-11-11
mm se tornassese tornasse 1 mm1 mm::
 um glóbulo vermelho teria cerca deum glóbulo vermelho teria cerca de 700 m700 m dede
diâmetro.diâmetro.
 o diâmetro de um fio de cabelo seria dao diâmetro de um fio de cabelo seria da
ordem deordem de 5 km5 km..
 A espessura de uma folha de papel seria algoA espessura de uma folha de papel seria algo
entreentre 10 e 14 km10 e 14 km..
 Um fio de barba cresceriaUm fio de barba cresceria 200 mm/s200 mm/s..
Transformação de UnidadesTransformação de Unidades
 Um mesmo comprimento pode ser fornecido emUm mesmo comprimento pode ser fornecido em
unidades diferentes. Por exemplo, uma pessoaunidades diferentes. Por exemplo, uma pessoa
pode dizer que mora a 500 m ou 0,5 km dapode dizer que mora a 500 m ou 0,5 km da
padaria.padaria.
 Vamos ver como se transforma uma medida deVamos ver como se transforma uma medida de
comprimento de uma unidade para outra.comprimento de uma unidade para outra.
 Lista das Unidades de comprimento:Lista das Unidades de comprimento:
Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
TransformandoTransformando
 Nessa lista, da esquerda para direita, cadaNessa lista, da esquerda para direita, cada
unidade contém 10 vezes a seguinte.unidade contém 10 vezes a seguinte.
 Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 x10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 x
 Por exemplo:Por exemplo:
5,31 dam = 53,1 m5,31 dam = 53,1 m
TransformandoTransformando
 Se quisermos passar de uma unidade da listaSe quisermos passar de uma unidade da lista
par outra que está duas posições adiante,par outra que está duas posições adiante,
devemos multiplicar por 10 o número que indicadevemos multiplicar por 10 o número que indica
a medida e, depois novamente por 10. Portantoa medida e, depois novamente por 10. Portanto
devemos multiplicá-lo por 100. Por exemplo:devemos multiplicá-lo por 100. Por exemplo:
0,83 m = 83 cm0,83 m = 83 cm
Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
10x 10 x10x 10 x
TransformandoTransformando
 Para transformar uma certa medida de umaPara transformar uma certa medida de uma
unidade para a anterior devemos dividir por 10 ounidade para a anterior devemos dividir por 10 o
número que indica a medida.número que indica a medida.
 Por exemplo:Por exemplo:
75,2 hm = 7,52 km75,2 hm = 7,52 km
Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
:10:10
TransformandoTransformando
 É claro que , para voltar duas posições na lista,É claro que , para voltar duas posições na lista,
devemos dividir por 100 o número que indica adevemos dividir por 100 o número que indica a
medida. Por exemplo:medida. Por exemplo:
232 cm = 2,32 cm232 cm = 2,32 cm
Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
:10 : 10:10 : 10
: 100: 100
EXEMPLO 1EXEMPLO 1
 Vamos transformar 0,52 km em centímetrosVamos transformar 0,52 km em centímetros
Veja a lista das unidadesVeja a lista das unidades
Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
1 2 3 4 51 2 3 4 5
 A posição desejada está 5 posições à direita daA posição desejada está 5 posições à direita da
posição dada. Então multiplicamos o númeroposição dada. Então multiplicamos o número
dado por 100000, ou seja a vírgula avança 5dado por 100000, ou seja a vírgula avança 5
posições para direita.posições para direita.
0,52 km = 52 000 cm0,52 km = 52 000 cm
EXEMPLO 2EXEMPLO 2
 Vamos transformar 745 mm em metros.Vamos transformar 745 mm em metros.
Veja a lista das unidadesVeja a lista das unidades
Km – hm – dam – m – dm – cm –Km – hm – dam – m – dm – cm –
mmmm
1 21 2
33
 A posição desejada (m) está 3 posições àA posição desejada (m) está 3 posições à
esquerda da posição dada, por issoesquerda da posição dada, por isso
dividimos 745 por 1000.dividimos 745 por 1000.
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
 Múltiplos eMúltiplos e
SubmúltiploSubmúltiplo
ss
SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação
yottametro Ym 1024
= 1 000 000 000 000 000 000 000 000
zettametro Zm 1021
= 1 000 000 000 000 000 000 000
exametro Em 1018
= 1 000 000 000 000 000 000
terametro Tm 1012
= 1 000 000 000 000
petametro Pm 1015
= 1 000 000 000 000 000
gigametro Gm 109
= 1 000 000 000
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
 Múltiplos eMúltiplos e
SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação
megametro Mm 106
= 1 000 000
quilômetro km 103
= 1 000
hectômetro hm 102
= 100
decímetro dm 10-1
= 0,1
decâmetro dam 10 = 10
centímetro cm 10-2
= 0,01
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
 Múltiplos eMúltiplos e
SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação
milímetro mm 10-3
= 0,001
micrometro um 10-6
= 0,000 001
nanometro nm 10-9
= 0,000 000 001
femtometro fm 10-15
= 0,000 000 000 000 001
picometro pm 10-12
= 0,000 000 000 001
attometro am 10-18
= 0,000 000 000 000 000 001
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
Múltiplos eMúltiplos e
SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação
zeptometro zm 10-21
= 0,000 000 000 00 000 000 001
yoctometro ym 10-24
= 0,000 000 000 000 000 000 000 001
CONVERSÃO DE UNIDADESCONVERSÃO DE UNIDADES
mm cm dm m dam hm km
x 10-1
x 10-1
x 10-1
x 101
x 101
x 101
x 102
x 10-2
x 10-3
x 103
x 106
x 10-6
O segundo (s)O segundo (s)
 é a duração de 9 192 631 770 períodosé a duração de 9 192 631 770 períodos
da radiação correspondente à transiçãoda radiação correspondente à transição
entre os dois níveis hiperfinos do estadoentre os dois níveis hiperfinos do estado
fundamental do átomo de Césio 133.fundamental do átomo de Césio 133.
 Observações:Observações:
 Incerteza atual de reprodução: 3 . 10Incerteza atual de reprodução: 3 . 10-14-14
ss
Comparações ...Comparações ...
 Se a velocidade com que o tempo passaSe a velocidade com que o tempo passa
pudesse ser desacelerada de tal formapudesse ser desacelerada de tal forma
queque 3 . 103 . 10-14-14
ss se tornassese tornasse 1 s1 s::
 um avião a jato levaria pouco mais deum avião a jato levaria pouco mais de 2 anos2 anos
para percorrerpara percorrer 1 mm1 mm..
 o tempo em que uma lâmpada de flash ficariao tempo em que uma lâmpada de flash ficaria
acesa seria da ordem deacesa seria da ordem de 10 anos10 anos..
 uma turbina de dentista levaria cerca deuma turbina de dentista levaria cerca de 2020
anosanos para completar apenas uma rotação.para completar apenas uma rotação.
 um ser humano levaria cerca deum ser humano levaria cerca de 200 séculos200 séculos
para piscar o olho.para piscar o olho.
O quilograma (kg)O quilograma (kg)
 é igual à massa doé igual à massa do
protótipoprotótipo
internacional dointernacional do
quilograma.quilograma.
 incerteza atual deincerteza atual de
reprodução: 10reprodução: 10-9-9
gg
 busca-se umabusca-se uma
melhor definição ...melhor definição ...
Comparações ...Comparações ...
 Se as massas das coisas que nos cercamSe as massas das coisas que nos cercam
pudesem ser intensificadas de forma quepudesem ser intensificadas de forma que
1010-9-9
gg se tornassese tornasse 1 g1 g::
 uma molécula d’água teriauma molécula d’água teria 3.103.10-16-16
gg
 um vírusum vírus 1010-11-11
gg
 uma célula humanauma célula humana 1 mg1 mg
 um mosquitoum mosquito 1,5 kg1,5 kg
 uma moeda de R$ 0,01 teriauma moeda de R$ 0,01 teria 8 t8 t
 a quantidade de álcool em um drinque seriaa quantidade de álcool em um drinque seria
dede 24 t24 t
O ampere (A)O ampere (A)
 é a intensidade de uma corrente elétricaé a intensidade de uma corrente elétrica
constante que, mantida em dois condutoresconstante que, mantida em dois condutores
paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, deparalelos, retilíneos, de comprimento infinito, de
seção circular desprezível, e situados àseção circular desprezível, e situados à
distância de 1 metro entre si, no vácuo, produzdistância de 1 metro entre si, no vácuo, produz
entre estes condutores uma força igual a 2 . 10entre estes condutores uma força igual a 2 . 10-7-7
newton por metro de comprimento.newton por metro de comprimento.
 incerteza atual de reprodução: 3 . 10incerteza atual de reprodução: 3 . 10-7-7
AA
O kelvin (K)O kelvin (K)
 O kelvin, unidade de temperaturaO kelvin, unidade de temperatura
termodinâmica, é a fração 1/273,16 datermodinâmica, é a fração 1/273,16 da
temperatura termodinâmica do pontotemperatura termodinâmica do ponto
tríplice da água.tríplice da água.
A candela (cd)A candela (cd)
 é a intensidade luminosa, numa dadaé a intensidade luminosa, numa dada
direção, de uma fonte que emite umadireção, de uma fonte que emite uma
radiação monocromática de freqüênciaradiação monocromática de freqüência
540 . 10540 . 101212
hertz e cuja intensidadehertz e cuja intensidade
energética nesta direção é de 1/683energética nesta direção é de 1/683
watt por esterradiano.watt por esterradiano.
 incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-4-4
cdcd
O mol (mol)O mol (mol)
 é a quantidade de matéria de umé a quantidade de matéria de um
sistema contendo tantas entidadessistema contendo tantas entidades
elementares quantos átomos existemelementares quantos átomos existem
em 0,012 quilograma de carbono 12.em 0,012 quilograma de carbono 12.
 incerteza atual de reprodução: 6 . 10incerteza atual de reprodução: 6 . 10-7-7
molmol
2.3.22.3.2
 As unidades suplementaresAs unidades suplementares
C
O radiano (rad)O radiano (rad)
 É o ângulo central que subtende um arcoÉ o ângulo central que subtende um arco
de círculo de comprimento igual ao dode círculo de comprimento igual ao do
respectivo raio.respectivo raio.
R
1 rad
C = R
Ângulo SólidoÂngulo Sólido
R
A
Ω = A/R2
Ω
O esterradiano (sr)O esterradiano (sr)
 É o ângulo sólido que tendo vértice noÉ o ângulo sólido que tendo vértice no
centro de uma esfera, subtende nacentro de uma esfera, subtende na
superfície uma área igual ao quadrado dosuperfície uma área igual ao quadrado do
raio da esfera.raio da esfera.
 São exemplos de ângulo sólido: o vértice deSão exemplos de ângulo sólido: o vértice de
um cone e o facho de luz de uma lanternaum cone e o facho de luz de uma lanterna
acesa.)acesa.)
2.3.32.3.3
 As unidades derivadasAs unidades derivadas
Unidades derivadasUnidades derivadas
Grandeza derivada Unidade derivada Símbolo
área
volume
velocidade
aceleração
velocidade angular
aceleração angular
massa específica
intensidade de campo magnético
densidade de corrente
concentração de substância
luminância
metro quadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
radiano por segundo
radiano por segundo ao quadrado
quilogramas por metro cúbico
ampère por metro
ampère por metro cúbico
mol por metro cúbico
candela por metro quadrado
m2
m3
m/s
m/s2
rad/s
rad/s2
kg/m3
A/m
A/m3
mol/m3
cd/m2
Grandeza derivada Unidade
derivada
Símbolo Em
unidade
s
do SI
Em termos das
unidades base
freqüência
força
pressão, tensão
energia, trabalho, quantidade de calor
potência e fluxo radiante
carga elétrica, quantidade de eletricidade
diferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força
eletromotiva
capacitância elétrica
resistência elétrica
condutância elétrica
fluxo magnético
indução magnética, densidade de fluxo magnético
indutância
fluxo luminoso
iluminamento ou aclaramento
atividade (de radionuclídeo)
dose absorvida, energia específica
dose equivalente
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
siervet
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
N/m2
N . m
J/s
W/A
C/V
V/A
A/V
V . S
Wb/m2
Wb/A
cd/sr
lm/m2
J/kg
J/kg
s-1
m . kg . s-2
m-1
. kg . s-2
m2
. kg . s-2
m2
. kg . s-3
s . A
m2
. kg . s-3
. A-1
m-2
. kg-1
. s4
. A2
m2
. kg . s-3
. A-2
m-2
. kg-1
. s3
. A2
m2
. kg . s-2
. A-1
kg . s-2
. A-1
m2
. kg . s-2
. A-2
cd
cd . m-2
s-1
m2
. s-2
m2
. s-2
2.3.32.3.3
 Múltiplos e submúltiplosMúltiplos e submúltiplos
Múltiplos e submúltiplosMúltiplos e submúltiplos
Fator Nome do
prefixo
Símbolo Fator Nome do
prefixo
Símbolo
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
2.3.42.3.4
 Unidades em uso eUnidades em uso e
unidades aceitas em áreasunidades aceitas em áreas
específicasespecíficas
Unidades em uso com o SIUnidades em uso com o SI
Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI
tempo
ângulo
volume
massa
pressão
temperatura
minuto
hora
dia
grau
minuto
segundo
litro
tonelada
bar
grau Celsius
min
h
d
°
'
"
l, L
t
bar
°C
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h
1° = (π/180)
1' = (1/60)° = (π/10 800) rad
1" = (1/60)' = (π/648 000) rad
1 L = 1 dm3
= 10-3
m3
1 t = 103
kg
1 bar = 105
Pa
°C = K - 273,16
Unidades temporariamente em usoUnidades temporariamente em uso
Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI
comprimento
velocidade
massa
densidade linear
tensão de sistema
óptico
pressão no corpo
humano
área
área
comprimento
seção transversal
milha náutica
nó
carat
tex
dioptre
milímetros de
mercúrio
are
hectare
ângstrom
barn
tex
mmHg
a
há
Å
b
1 milha náutica = 1852 m
1 nó = 1 milha náutica por hora =
(1852/3600) m/s
1 carat = 2 . 10-4
kg = 200 mg
1 tex = 10-6
kg/m = 1 mg/m
1 dioptre = 1 m-1
1 mm Hg = 133 322 Pa
1 a = 100 m2
1 ha = 104
m2
1 Å = 0,1 nm = 10-10
m
1 b = 10-28
m2
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2.42.4
A grafia corretaA grafia correta
2.42.4
 A grafia corretaA grafia correta
Grafia dos nomes das unidadesGrafia dos nomes das unidades
 Quando escritos por extenso, os nomes deQuando escritos por extenso, os nomes de
unidades começam por letra minúscula,unidades começam por letra minúscula,
mesmo quando têm o nome de um cientistamesmo quando têm o nome de um cientista
(por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.),(por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.),
exceto o grau Celsius.exceto o grau Celsius.
 A respectiva unidade pode ser escrita porA respectiva unidade pode ser escrita por
extenso ou representada pelo seu símbolo,extenso ou representada pelo seu símbolo,
não sendo admitidas combinações de partesnão sendo admitidas combinações de partes
escritas por extenso com partes expressasescritas por extenso com partes expressas
por símbolo.por símbolo.
O pluralO plural
 Quando pronunciado e escrito porQuando pronunciado e escrito por
extenso, o nome da unidade vai para oextenso, o nome da unidade vai para o
plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metrosplural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metros
quadrados; 10 segundos).quadrados; 10 segundos).
 Os símbolos das unidades nunca vãoOs símbolos das unidades nunca vão
para o plural ( 5N; 150 m; 1,2 mpara o plural ( 5N; 150 m; 1,2 m22
; 10 s).; 10 s).
Os símbolos das unidadesOs símbolos das unidades
 Os símbolos são invariáveis, não sendoOs símbolos são invariáveis, não sendo
admitido colocar, após o símbolo, seja ponto deadmitido colocar, após o símbolo, seja ponto de
abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais,abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais,
letras ou índices.letras ou índices.
 Multiplicação: pode ser formada pelaMultiplicação: pode ser formada pela
justaposição dos símbolos se não causarjustaposição dos símbolos se não causar
anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um pontoanbigüidade (VA, kWh) ou colocando um ponto
ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)
 Divisão: são aceitas qualquer das três maneirasDivisão: são aceitas qualquer das três maneiras
exemplificadas a seguir:exemplificadas a seguir:
W/(sr.m2
) W.sr-1
.m-2
W
sr.m2
Grafia dos números e símbolosGrafia dos números e símbolos
 Em português o separador decimal deve serEm português o separador decimal deve ser
a vírgula.a vírgula.
 Os algarismos que compõem as partes inteiraOs algarismos que compõem as partes inteira
ou decimal podem opcionalmente serou decimal podem opcionalmente ser
separados em grupos de três por espaços,separados em grupos de três por espaços,
mas nunca por pontos.mas nunca por pontos.
 O espaço entre o número e o símbolo éO espaço entre o número e o símbolo é
opcional. Deve ser omitido quando háopcional. Deve ser omitido quando há
possibilidade de fraude.possibilidade de fraude.
Alguns enganosAlguns enganos
 ErradoErrado
 Km, KgKm, Kg
 µµ
 a gramaa grama
 2 hs, 15 seg2 hs, 15 seg
 80 KM80 KM
 250°K250°K
 um Newtonum Newton
 CorretoCorreto
 km, kgkm, kg
 µµmm
 o gramao grama
 2 h, 15 s2 h, 15 s
 80 km/h80 km/h
 250 K250 K
 um newtonum newton
Outros enganosOutros enganos
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Doc matematica _1547615560

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    www.posmci.ufsc.br Ensino Superior Matemática Básica Unidadesde Medidas e o Sistema Internacional Amintas Paiva Afonso
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    MedirMedir  Medir éo procedimento experimentalMedir é o procedimento experimental através do qual o valor momentâneo deatravés do qual o valor momentâneo de uma grandeza física (mensurando) éuma grandeza física (mensurando) é determinado como umdeterminado como um múltiplomúltiplo e/ou umae/ou uma fraçãofração de umade uma unidadeunidade, estabelecida por, estabelecida por um padrão, eum padrão, e reconhecidareconhecida internacionalmenteinternacionalmente..
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    2.12.1  Um poucode história das unidades deUm pouco de história das unidades de medida...medida...
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    Um pouco dehistória...Um pouco de história...  O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ...  A necessidade de contar ...A necessidade de contar ...  Só os números não bastam ...Só os números não bastam ...  Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ...
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    O cúbito doFaraóO cúbito do Faraó
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    O pé médioda idade médiaO pé médio da idade média
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    Um pouco dehistória...Um pouco de história...  O desenvolvimento da linguagem ...O desenvolvimento da linguagem ...  A necessidade de contar ...A necessidade de contar ...  Só os números não bastam ...Só os números não bastam ...  Unidades baseadas na anatomia ...Unidades baseadas na anatomia ...  O papel do Faraó e do Rei ...O papel do Faraó e do Rei ...  A busca por referências estáveis ...A busca por referências estáveis ...  Finalmente, em 1960, a unificação ...Finalmente, em 1960, a unificação ...
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    2.22.2  Por queum único sistema dePor que um único sistema de unidades?unidades?
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    Importância do SIImportânciado SI  Clareza de entendimentos internacionaisClareza de entendimentos internacionais (técnica, científica) ...(técnica, científica) ...  Transações comerciais ...Transações comerciais ...  Garantia de coerência ao longo dos anos ...Garantia de coerência ao longo dos anos ...  Coerência entre unidades simplificamCoerência entre unidades simplificam equações da física ...equações da física ...
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    2.3.12.3.1  As seteunidades de baseAs sete unidades de base
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    As sete unidadesde baseAs sete unidades de base GrandezaGrandeza unidade símbolounidade símbolo  ComprimentoComprimento metrometro mm  MassaMassa quilogramaquilograma kgkg  TempoTempo segundosegundo ss  Corrente elétricaCorrente elétrica ampereampere AA  TemperaturaTemperatura kelvinkelvin KK  Intensidade luminosaIntensidade luminosa candelacandela cdcd  Quantidade de matériaQuantidade de matéria molmol molmol
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    O metroO metro 1793: décima milionésima1793: décima milionésima parte do quadrante doparte do quadrante do meridiano terrestremeridiano terrestre  1889: padrão de traços em1889: padrão de traços em barra de platina iridiadabarra de platina iridiada depositada no BIPMdepositada no BIPM  1960: comprimento de onda da1960: comprimento de onda da raia alaranjada do criptônioraia alaranjada do criptônio  1983: definição atual1983: definição atual
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    O metro (m)Ometro (m)  É o comprimento do trajeto percorridoÉ o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo depela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundotempo de 1/299 792 458 de segundo  Observações:Observações:  assume valor exato para a velocidade da luzassume valor exato para a velocidade da luz no vácuono vácuo  depende da definição do segundodepende da definição do segundo  incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-11-11 mm
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    MedidasMedidas Medidas de ComprimentoMedidasde ComprimentoMedidas de ComprimentoMedidas de Comprimento Múltiplos e submúltiplos do metro mkm hm dam dm cm mm Quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
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    COMPRIMENTOCOMPRIMENTO  Medir fazparte do nosso dia-a-dia.Medir faz parte do nosso dia-a-dia.  Entre as medidas mais comuns está a medidaEntre as medidas mais comuns está a medida de comprimento.de comprimento.  Metro – mMetro – m  Grandes medidas usamos o quilômetro – kmGrandes medidas usamos o quilômetro – km  1 km = 1000m1 km = 1000m  Centímetro – cm Milímetro – mmCentímetro – cm Milímetro – mm  1 cm = 0,01 m1 cm = 0,01 m  1mm = 0,001m1mm = 0,001m
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    Comparações ...Comparações ... Se o mundo fosse ampliado de forma queSe o mundo fosse ampliado de forma que 1010-11-11 mm se tornassese tornasse 1 mm1 mm::  um glóbulo vermelho teria cerca deum glóbulo vermelho teria cerca de 700 m700 m dede diâmetro.diâmetro.  o diâmetro de um fio de cabelo seria dao diâmetro de um fio de cabelo seria da ordem deordem de 5 km5 km..  A espessura de uma folha de papel seria algoA espessura de uma folha de papel seria algo entreentre 10 e 14 km10 e 14 km..  Um fio de barba cresceriaUm fio de barba cresceria 200 mm/s200 mm/s..
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    Transformação de UnidadesTransformaçãode Unidades  Um mesmo comprimento pode ser fornecido emUm mesmo comprimento pode ser fornecido em unidades diferentes. Por exemplo, uma pessoaunidades diferentes. Por exemplo, uma pessoa pode dizer que mora a 500 m ou 0,5 km dapode dizer que mora a 500 m ou 0,5 km da padaria.padaria.  Vamos ver como se transforma uma medida deVamos ver como se transforma uma medida de comprimento de uma unidade para outra.comprimento de uma unidade para outra.  Lista das Unidades de comprimento:Lista das Unidades de comprimento: Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm
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    TransformandoTransformando  Nessa lista,da esquerda para direita, cadaNessa lista, da esquerda para direita, cada unidade contém 10 vezes a seguinte.unidade contém 10 vezes a seguinte.  Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm 10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 x10 x 10 x 10 x 10x 10x 10 x  Por exemplo:Por exemplo: 5,31 dam = 53,1 m5,31 dam = 53,1 m
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    TransformandoTransformando  Se quisermospassar de uma unidade da listaSe quisermos passar de uma unidade da lista par outra que está duas posições adiante,par outra que está duas posições adiante, devemos multiplicar por 10 o número que indicadevemos multiplicar por 10 o número que indica a medida e, depois novamente por 10. Portantoa medida e, depois novamente por 10. Portanto devemos multiplicá-lo por 100. Por exemplo:devemos multiplicá-lo por 100. Por exemplo: 0,83 m = 83 cm0,83 m = 83 cm Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm 10x 10 x10x 10 x
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    TransformandoTransformando  Para transformaruma certa medida de umaPara transformar uma certa medida de uma unidade para a anterior devemos dividir por 10 ounidade para a anterior devemos dividir por 10 o número que indica a medida.número que indica a medida.  Por exemplo:Por exemplo: 75,2 hm = 7,52 km75,2 hm = 7,52 km Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm :10:10
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    TransformandoTransformando  É claroque , para voltar duas posições na lista,É claro que , para voltar duas posições na lista, devemos dividir por 100 o número que indica adevemos dividir por 100 o número que indica a medida. Por exemplo:medida. Por exemplo: 232 cm = 2,32 cm232 cm = 2,32 cm Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm :10 : 10:10 : 10 : 100: 100
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    EXEMPLO 1EXEMPLO 1 Vamos transformar 0,52 km em centímetrosVamos transformar 0,52 km em centímetros Veja a lista das unidadesVeja a lista das unidades Km – hm – dam – m – dm – cm - mmKm – hm – dam – m – dm – cm - mm 1 2 3 4 51 2 3 4 5  A posição desejada está 5 posições à direita daA posição desejada está 5 posições à direita da posição dada. Então multiplicamos o númeroposição dada. Então multiplicamos o número dado por 100000, ou seja a vírgula avança 5dado por 100000, ou seja a vírgula avança 5 posições para direita.posições para direita. 0,52 km = 52 000 cm0,52 km = 52 000 cm
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    EXEMPLO 2EXEMPLO 2 Vamos transformar 745 mm em metros.Vamos transformar 745 mm em metros. Veja a lista das unidadesVeja a lista das unidades Km – hm – dam – m – dm – cm –Km – hm – dam – m – dm – cm – mmmm 1 21 2 33  A posição desejada (m) está 3 posições àA posição desejada (m) está 3 posições à esquerda da posição dada, por issoesquerda da posição dada, por isso dividimos 745 por 1000.dividimos 745 por 1000.
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    MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOSE SUBMÚLTIPLOS  Múltiplos eMúltiplos e SubmúltiploSubmúltiplo ss SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação yottametro Ym 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zettametro Zm 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 exametro Em 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 terametro Tm 1012 = 1 000 000 000 000 petametro Pm 1015 = 1 000 000 000 000 000 gigametro Gm 109 = 1 000 000 000
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    MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOSE SUBMÚLTIPLOS  Múltiplos eMúltiplos e SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação megametro Mm 106 = 1 000 000 quilômetro km 103 = 1 000 hectômetro hm 102 = 100 decímetro dm 10-1 = 0,1 decâmetro dam 10 = 10 centímetro cm 10-2 = 0,01
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    MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOSE SUBMÚLTIPLOS  Múltiplos eMúltiplos e SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação milímetro mm 10-3 = 0,001 micrometro um 10-6 = 0,000 001 nanometro nm 10-9 = 0,000 000 001 femtometro fm 10-15 = 0,000 000 000 000 001 picometro pm 10-12 = 0,000 000 000 001 attometro am 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
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    MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOSE SUBMÚLTIPLOS Múltiplos eMúltiplos e SubmúltiplosSubmúltiplos SímboloSímbolo Fator de multiplicaçãoFator de multiplicação zeptometro zm 10-21 = 0,000 000 000 00 000 000 001 yoctometro ym 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001
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    CONVERSÃO DE UNIDADESCONVERSÃODE UNIDADES mm cm dm m dam hm km x 10-1 x 10-1 x 10-1 x 101 x 101 x 101 x 102 x 10-2 x 10-3 x 103 x 106 x 10-6
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    O segundo (s)Osegundo (s)  é a duração de 9 192 631 770 períodosé a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transiçãoda radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estadoentre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133.fundamental do átomo de Césio 133.  Observações:Observações:  Incerteza atual de reprodução: 3 . 10Incerteza atual de reprodução: 3 . 10-14-14 ss
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    Comparações ...Comparações ... Se a velocidade com que o tempo passaSe a velocidade com que o tempo passa pudesse ser desacelerada de tal formapudesse ser desacelerada de tal forma queque 3 . 103 . 10-14-14 ss se tornassese tornasse 1 s1 s::  um avião a jato levaria pouco mais deum avião a jato levaria pouco mais de 2 anos2 anos para percorrerpara percorrer 1 mm1 mm..  o tempo em que uma lâmpada de flash ficariao tempo em que uma lâmpada de flash ficaria acesa seria da ordem deacesa seria da ordem de 10 anos10 anos..  uma turbina de dentista levaria cerca deuma turbina de dentista levaria cerca de 2020 anosanos para completar apenas uma rotação.para completar apenas uma rotação.  um ser humano levaria cerca deum ser humano levaria cerca de 200 séculos200 séculos para piscar o olho.para piscar o olho.
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    O quilograma (kg)Oquilograma (kg)  é igual à massa doé igual à massa do protótipoprotótipo internacional dointernacional do quilograma.quilograma.  incerteza atual deincerteza atual de reprodução: 10reprodução: 10-9-9 gg  busca-se umabusca-se uma melhor definição ...melhor definição ...
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    Comparações ...Comparações ... Se as massas das coisas que nos cercamSe as massas das coisas que nos cercam pudesem ser intensificadas de forma quepudesem ser intensificadas de forma que 1010-9-9 gg se tornassese tornasse 1 g1 g::  uma molécula d’água teriauma molécula d’água teria 3.103.10-16-16 gg  um vírusum vírus 1010-11-11 gg  uma célula humanauma célula humana 1 mg1 mg  um mosquitoum mosquito 1,5 kg1,5 kg  uma moeda de R$ 0,01 teriauma moeda de R$ 0,01 teria 8 t8 t  a quantidade de álcool em um drinque seriaa quantidade de álcool em um drinque seria dede 24 t24 t
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    O ampere (A)Oampere (A)  é a intensidade de uma corrente elétricaé a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois condutoresconstante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, deparalelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados àseção circular desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produzdistância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 . 10entre estes condutores uma força igual a 2 . 10-7-7 newton por metro de comprimento.newton por metro de comprimento.  incerteza atual de reprodução: 3 . 10incerteza atual de reprodução: 3 . 10-7-7 AA
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    O kelvin (K)Okelvin (K)  O kelvin, unidade de temperaturaO kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 datermodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do pontotemperatura termodinâmica do ponto tríplice da água.tríplice da água.
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    A candela (cd)Acandela (cd)  é a intensidade luminosa, numa dadaé a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite umadireção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de freqüênciaradiação monocromática de freqüência 540 . 10540 . 101212 hertz e cuja intensidadehertz e cuja intensidade energética nesta direção é de 1/683energética nesta direção é de 1/683 watt por esterradiano.watt por esterradiano.  incerteza atual de reprodução: 10incerteza atual de reprodução: 10-4-4 cdcd
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    O mol (mol)Omol (mol)  é a quantidade de matéria de umé a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidadessistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existemelementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12.em 0,012 quilograma de carbono 12.  incerteza atual de reprodução: 6 . 10incerteza atual de reprodução: 6 . 10-7-7 molmol
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    2.3.22.3.2  As unidadessuplementaresAs unidades suplementares
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    C O radiano (rad)Oradiano (rad)  É o ângulo central que subtende um arcoÉ o ângulo central que subtende um arco de círculo de comprimento igual ao dode círculo de comprimento igual ao do respectivo raio.respectivo raio. R 1 rad C = R
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    O esterradiano (sr)Oesterradiano (sr)  É o ângulo sólido que tendo vértice noÉ o ângulo sólido que tendo vértice no centro de uma esfera, subtende nacentro de uma esfera, subtende na superfície uma área igual ao quadrado dosuperfície uma área igual ao quadrado do raio da esfera.raio da esfera.  São exemplos de ângulo sólido: o vértice deSão exemplos de ângulo sólido: o vértice de um cone e o facho de luz de uma lanternaum cone e o facho de luz de uma lanterna acesa.)acesa.)
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    2.3.32.3.3  As unidadesderivadasAs unidades derivadas
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    Unidades derivadasUnidades derivadas Grandezaderivada Unidade derivada Símbolo área volume velocidade aceleração velocidade angular aceleração angular massa específica intensidade de campo magnético densidade de corrente concentração de substância luminância metro quadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo ao quadrado radiano por segundo radiano por segundo ao quadrado quilogramas por metro cúbico ampère por metro ampère por metro cúbico mol por metro cúbico candela por metro quadrado m2 m3 m/s m/s2 rad/s rad/s2 kg/m3 A/m A/m3 mol/m3 cd/m2
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    Grandeza derivada Unidade derivada SímboloEm unidade s do SI Em termos das unidades base freqüência força pressão, tensão energia, trabalho, quantidade de calor potência e fluxo radiante carga elétrica, quantidade de eletricidade diferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força eletromotiva capacitância elétrica resistência elétrica condutância elétrica fluxo magnético indução magnética, densidade de fluxo magnético indutância fluxo luminoso iluminamento ou aclaramento atividade (de radionuclídeo) dose absorvida, energia específica dose equivalente hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber tesla henry lumen lux becquerel gray siervet Hz N Pa J W C V F Ω S Wb T H lm lx Bq Gy Sv N/m2 N . m J/s W/A C/V V/A A/V V . S Wb/m2 Wb/A cd/sr lm/m2 J/kg J/kg s-1 m . kg . s-2 m-1 . kg . s-2 m2 . kg . s-2 m2 . kg . s-3 s . A m2 . kg . s-3 . A-1 m-2 . kg-1 . s4 . A2 m2 . kg . s-3 . A-2 m-2 . kg-1 . s3 . A2 m2 . kg . s-2 . A-1 kg . s-2 . A-1 m2 . kg . s-2 . A-2 cd cd . m-2 s-1 m2 . s-2 m2 . s-2
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    2.3.32.3.3  Múltiplos esubmúltiplosMúltiplos e submúltiplos
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    Múltiplos e submúltiplosMúltiplose submúltiplos Fator Nome do prefixo Símbolo Fator Nome do prefixo Símbolo 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca Y Z E P T G M k h da 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto d c m µ n p f a z y
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    2.3.42.3.4  Unidades emuso eUnidades em uso e unidades aceitas em áreasunidades aceitas em áreas específicasespecíficas
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    Unidades em usocom o SIUnidades em uso com o SI Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI tempo ângulo volume massa pressão temperatura minuto hora dia grau minuto segundo litro tonelada bar grau Celsius min h d ° ' " l, L t bar °C 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s 1 d = 24 h 1° = (π/180) 1' = (1/60)° = (π/10 800) rad 1" = (1/60)' = (π/648 000) rad 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 1 t = 103 kg 1 bar = 105 Pa °C = K - 273,16
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    Unidades temporariamente emusoUnidades temporariamente em uso Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI comprimento velocidade massa densidade linear tensão de sistema óptico pressão no corpo humano área área comprimento seção transversal milha náutica nó carat tex dioptre milímetros de mercúrio are hectare ângstrom barn tex mmHg a há Å b 1 milha náutica = 1852 m 1 nó = 1 milha náutica por hora = (1852/3600) m/s 1 carat = 2 . 10-4 kg = 200 mg 1 tex = 10-6 kg/m = 1 mg/m 1 dioptre = 1 m-1 1 mm Hg = 133 322 Pa 1 a = 100 m2 1 ha = 104 m2 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m 1 b = 10-28 m2
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    2.42.4  A grafiacorretaA grafia correta
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    Grafia dos nomesdas unidadesGrafia dos nomes das unidades  Quando escritos por extenso, os nomes deQuando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula,unidades começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um cientistamesmo quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.),(por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.), exceto o grau Celsius.exceto o grau Celsius.  A respectiva unidade pode ser escrita porA respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou representada pelo seu símbolo,extenso ou representada pelo seu símbolo, não sendo admitidas combinações de partesnão sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressasescritas por extenso com partes expressas por símbolo.por símbolo.
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    O pluralO plural Quando pronunciado e escrito porQuando pronunciado e escrito por extenso, o nome da unidade vai para oextenso, o nome da unidade vai para o plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metrosplural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metros quadrados; 10 segundos).quadrados; 10 segundos).  Os símbolos das unidades nunca vãoOs símbolos das unidades nunca vão para o plural ( 5N; 150 m; 1,2 mpara o plural ( 5N; 150 m; 1,2 m22 ; 10 s).; 10 s).
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    Os símbolos dasunidadesOs símbolos das unidades  Os símbolos são invariáveis, não sendoOs símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja ponto deadmitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais,abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices.letras ou índices.  Multiplicação: pode ser formada pelaMultiplicação: pode ser formada pela justaposição dos símbolos se não causarjustaposição dos símbolos se não causar anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um pontoanbigüidade (VA, kWh) ou colocando um ponto ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)  Divisão: são aceitas qualquer das três maneirasDivisão: são aceitas qualquer das três maneiras exemplificadas a seguir:exemplificadas a seguir: W/(sr.m2 ) W.sr-1 .m-2 W sr.m2
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    Grafia dos númerose símbolosGrafia dos números e símbolos  Em português o separador decimal deve serEm português o separador decimal deve ser a vírgula.a vírgula.  Os algarismos que compõem as partes inteiraOs algarismos que compõem as partes inteira ou decimal podem opcionalmente serou decimal podem opcionalmente ser separados em grupos de três por espaços,separados em grupos de três por espaços, mas nunca por pontos.mas nunca por pontos.  O espaço entre o número e o símbolo éO espaço entre o número e o símbolo é opcional. Deve ser omitido quando háopcional. Deve ser omitido quando há possibilidade de fraude.possibilidade de fraude.
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    Alguns enganosAlguns enganos ErradoErrado  Km, KgKm, Kg  µµ  a gramaa grama  2 hs, 15 seg2 hs, 15 seg  80 KM80 KM  250°K250°K  um Newtonum Newton  CorretoCorreto  km, kgkm, kg  µµmm  o gramao grama  2 h, 15 s2 h, 15 s  80 km/h80 km/h  250 K250 K  um newtonum newton
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