O documento apresenta um problema proposto aos alunos sobre um sistema constituído de dois planetas de mesma densidade e raios diferentes, onde um dos planetas possui uma cavidade. Para determinar o raio do planeta sem cavidade, o problema considera que um objeto entre os dois planetas permanece em equilíbrio. A solução define as forças exercidas sobre o objeto pelos dois planetas e pela cavidade, e iguala essas forças para deduzir uma expressão para o raio do planeta sem cavidade em termos dos outros parâmetros.

1. PROFESSOR HELANDERSON SOUSA
Questão Propostas como desafio aos alunos da turma
AV4 (1ª Ano avançado) do Antares Papicú
Considere um sistema constituído de dois planetas de mesma
densidade de raios diferentes onde seus centros estão separados
a uma distância d. Um dos planetas possui uma cavidade de
diâmetro R igual ao raio do planeta que a contém como mostra a
figura abaixo. Sabe-se que um objeto colocado a uma distância a
do centro do planeta que possui a cavidade e entre os dois
planetas, permanece em equilíbrio. Nessas condições determine
o raio do planeta que não possui cavidade.
Solução:
A Cavidade no planeta de raio R, para efeito de calculo, funciona como um
corpo de massa m’ e raio R/2 que ao invés de atrair age com uma força
repulsiva sobre o objeto considerado.
Considere a figura abaixo

2. Seja:
F1 = A força que o planeta de raio R exerceria sobre o objeto se
não houvesse a cavidade
Onde M é a massa do planeta e m a massa do objeto.
Assim M = d.V Onde V é o volume da esfera
Logo
M=d e F1 = assim F1=
A Força (repulsiva) imaginaria que a cavidade exerce sobre o objeto é
dada por analogia a F1 por:
F2 =
E a força que o outro planeta de raio r ( que queremos descobrir) é dada
em termos de densidade por
F3 =
(Lembre-se que a densidade dos dois planetas é a mesma)
Considerando a condição de equilíbrio devemos ter:

3. F1= F2 + F3
(Como as três forças estão na mesma direção, dispensamos o rigor
vetorial)
Substituindo as relações teremos
= +
Cancelando o que deve ser cancelado teremos
Ou
= =
Onde
E
r=
Finalmente
r=
Dúvidas
helandersomslavyero@hotmail.com