O documento apresenta dois métodos avançados de monitoramento estatístico de processos: o gráfico de controle CUSUM e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada (MMEP). O CUSUM acumula desvios da média ao longo do tempo para detectar pequenas mudanças no processo de forma mais eficiente do que gráficos de Shewhart. O MMEP usa uma média ponderada das observações passadas para o mesmo fim. O documento descreve os algoritmos e parâmetros desses métodos para o plane

1. Gráfico de Controle
CUSUM e MMEP

2. Introdução
Gráficos de Controle CUSUM
Algoritmo CUSUM
Gráfico de Controle de MMEP

3. Introdução
 Até aqui, vimos métodos básicos do controle estatístico do
processo e analise de capacidade. Muitas dessas técnicas,
como o gráfico de controle de Shewhart, têm sido usadas
por bem mais de 50 anos. No entanto, a ênfase crescente
na redução da variabilidade, o realce na produção e a
melhoria do processo, juntamente com o sucesso dos
métodos básicos, têm levado ao desenvolvimento de
muitas técnicas novas de monitoramento e CEP.
 Por isso, hoje apresento CUSUM e MMEP.

4. Introdução
 Além da simplicidade, os gráficos de Shewhart são
imbatíveis para detecção de grandes desvios da média do
processo, ou de aumentos significativos da variância;
 Entretanto, perdem eficiência em processos mais robustos
(interferência menos profunda de causas especiais);
 Em processos sujeitos a pequenas perturbações, são
indicados gráficos em que a decisão é baseada em
diversas amostras e não apenas na última delas. São eles:
gráfico de controle de somas acumuladas (CUSUM)
gráfico de controle de média móvel exponencialmente
ponderada (MMEP)

5. Gráficos de Controle de CUSUM
Usa informações acumuladas dos desvios de 푋 , através de:
푖 ( 푋푗 − 휇0) = 퐶푖−1+ (푋푖 - 휇0)
퐶푖 = 푗=1
• onde 푋푗 : média da j-ésima amostra. Comportamento:
enquanto a μ permanecer ajustada, 푪풊 oscilará
aleatoriamente em torno de 0;
Se μ deslocar, a estatística 푪풊 crescerá (ou decrescerá)
indefinidamente.

6. Gráficos de Controle de CUSUM
• O gráfico de CUSUM, além de sinalizar o
desajuste, ainda informa quando este ocorreu
(basta observar o EXEMPLO, quando os valores de
푪풊 começam a crescer).
• Pelo fato de os gráficos de CUSUM basear-se no
histórico do processo, e não apenas na última
observação, ele, naturalmente, não sinaliza os
desajustes de imediato, independentemente da
magnitude deste; portanto, para grandes desvios
da média, o gráfico de 푋 é sempre mais ágil.

7. Algoritmo CUSUM
Mostramos, agora, como o CUSUM tabular pode ser
construído para o monitorar a media de um processo. Os
CUSUMs podem ser construídos tanto para observações
individuais, quanto para as médias de subgrupos racionais.
O caso de observações individuais ocorre muito
frequentemente na prática.
O CUSUM tabular trabalha acumulando desvios de 휇0 que
estão acima do alvo, com uma estatística 퐶+ , e acumulando
desvios de 휇0 que estão abaixo do alvo, com outra
estatística 퐶− . As estatísticas 퐶+ e 퐶− são chamadas
CUSUMs unilaterais superior e inferior respectivamente.

8. Algoritmo CUSUM
O Algoritmo CUSUM trabalha com as seguintes quantidades:
em que os valores iniciais para Ci
+ = Ci
- = 0. O valor de referência k é a metade
entre o valor da média μ0 e o valor da média fora de controle, que se tem
interesse em detectar rapidamente. Ou seja, o valor de referência k é
determinado entre o valor pretendido μ0 e o valor da média fora de controle
estatístico μ1. O valor de referência k deve ser escolhido de forma que o valor da
soma μ0 + ks ou (μ0 - kσ) esteja situado entre a média do processo μ0 e a média
deslocada (fora de controle estatístico) que se deseja avaliar. Se a mudança é
expressa em unidades de erros padrão quando μ1 = μ0, então k representa a
metade da magnitude desta mudança

9. Algoritmo CUSUM
Recomendações para o Planejamento do CUSUM
A escolha dos parâmetros k e h, que compõem o gráfico de
controle CUSUM Tabular, deve ser realizada de modo que
sua seleção forneça bom desempenho para o NMA até o
alarme.
De acordo com Montgomery (2009), um valor razoável
para H é cinco vezes o valor do erro padrão (σ), ou seja, H =
5σ. Definindo H = hσ e K = kσ, e utilizando h = 4 ou h = 5
e k = 0,5, resultará em um CUSUM com boas propriedades
do NMA contra uma mudança na média do processo de
1,5σ (erros padrão).

10. Gráfico de Controle de MMEP
• O gráfico de controle de media móvel exponencialmente
ponderada (MMEP) é também uma boa alternativa ao
gráfico de controle de Shewhart, quando estamos
interessados em detectar pequenas mudanças. O
desempenho do gráfico de controle MMEP é
aproximadamente equivalente ao do gráfico de somas
acumulativas, e é, de certa forma, mais fácil de
estabelecer e operar. Assim como no caso do CUSUM, o
MMEP é tipicamente usada com observações individuais .

11. Gráfico de Controle de MMEP
O procedimento de controle baseado na estatística EWMA (푧푖) para
monitorar o valor médio de um processo é dado por:
푧푖 = 휆푥푖 + (1 − 휆)푧푖−1
Onde 0 < 휆 ≤ 1, 푥푖 são observações de uma característica de
qualidade utilizadas no monitoramento de processos, e é a constante
de ponderação ou fator de alisamento. Esta constante expressa quão
remota é a memória do gráfico e o valor inicial desta estatística (exigido
com a primeira amostra em 푖 = 1) é o alvo do processo, de modo que,
푍0 = 휇0. O valor de λ é determinado através de tabelas ou a partir de
gráficos baseados no desempenho de ARL desejado. Quando 휆= 1, o
gráfico EWMA reduz-se ao gráfico de Shewhart, assim como 휆 = 0,
푍0 = 휇0.

12. Gráfico de Controle de MMEP
A escolha dos parâmetros λ e L para o procedimento de planejamento
ótimo de um gráfico EWMA consistem na seleção adequada desta
combinação (λ, L) capaz de fornecer o melhor desempenho de ARL.
Quando L = 3 (os limites 3 usuais) funciona razoavelmente bem,
particularmente com valores maiores de 3. No entanto, quando é
pequeno, por exemplo, λ = 0,1 existe uma vantagem de reduzir a
amplitude do limite de controle pela utilização de um L entre 2,6 e 2,8. O
analista de processos deve ter em mente qual o menor valor de λ
escolher para detectar pequenos deslocamentos. Assim, se um valor λ
pequeno for utilizado, como λ = 0,01, então L deve ser reduzido, por
exemplo, para L = 2. Outro aspecto importante é o comportamento dos
limites de controle. Como |1 − λ| < 1 a sequência 1 − 휆 2푖 tende para
zero e 푖 tende para o infinito. Já o termo 1 − 1 − 휆 2푖 aproxima-se
da unidade 푖 tornando-se grande. Isto significa que, após o gráfico de
controle EWMA ter percorrido diversos períodos de tempo, os limites de
controle têm a forma assintótica e aproximam-se dos valores de posição
fixa, dados por:

13. Gráfico de Controle de MMEP
Para monitorar o processo, as observações 푧푖 são demarcadas no gráfico
EWMA cujos limites de controle são obtidos por :
퐿푆퐶 = 휇0 + 퐿
휎
푛
휆
2−휆
1 − 1 − 휆 2푖 (1)
퐿퐶 = 휇0 (2)
퐿퐼퐶 = 휇0 − 퐿
휎
푛
휆
2−휆
1 − 1 − 휆 2푖 (3)
onde o fator L é a extensão dos limites de controle, ou seja, o número
de múltiplos de desvio padrão em que os limites de controle estarão
distante da linha central (LC).

14. Gráfico de Controle de MMEP
퐿푆퐶 = 휇0 + 퐿
휎
푛
휆
2−휆
퐿퐶 = 휇0
퐿퐼퐶 = 휇0 − 퐿
휎
푛
휆
2−휆
As equações acima são mais simples para efetuar o cálculo.
No entanto, utilização das equações (1), (2) e (3) são
altamente recomendável para pequenos valores de 푖. Os
limites de controle no gráfico EWMA podem ser utilizados
para sinalizar quando um 휇푖+1 ajuste é necessário, e a
diferença entre o alvo e a previsão da média 휇푖+1 pode ser
usada para determinar quanto de ajuste é necessário.

15. Obrigado!!!