Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações diferenciais parciais (EDPs) aplicadas à dinâmica de fluidos computacional. As três principais EDPs discutidas são: 1) As equações de Navier-Stokes, que descrevem a conservação da massa e do momento para um fluido viscoso e compressível. 2) A classificação de EDPs em lineares/não-lineares e elípticas/parabólicas/hiperbólicas, dependendo das propriedades das soluções. 3) Sistemas de EDP

1. Universidade Federal do ABC
Aula 1
Conceituação das equações
diferenciais parciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

2. Porquê?
Equações de Navier-Stokes para um
fluido compressível e viscoso

    v   0
t
Conservação da massa
  v 
Conservação do momento linear
    v  v   p     g
(2ª Lei de Newton)
t
  E 
   E v     kT   q     pv   v      v :   g  v
t
Conservação da energia
(1ª Lei da Termodinâmica)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

3. Navier & Stokes
Claude-Louis Navier
(1785-1836)
• Engenheiro e Matemático.
• Membro da Academia de
Ciências da França.
• Criador da teoria da
elasticidade.
• Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos.
• Seu nome está gravado na
galeria de heróis da Torre
Eiffel.
Sir George Stokes
(1819-1903)
• Físico e
Matemático.
• Professor de matemática em
Cambridge.
• Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos.
• Também publicou trabalhos sobre
a luz, polarização e fenômenos
químicos.
• Há uma cratera na Lua com seu
nome.
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4. Classificação de EDPs
Linear
• A variável dependente e suas derivadas mantém relações
lineares. Não há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes podem ser somadas para gerar uma
outra solução.
Exemplo:
Onda unidimensional
u
u
 a
t
x
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5. Classificação de EDPs
Não-linear
• Há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes não podem ser somadas
para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Equação de Burgers para fluidos invíscidos
u
u
 u
t
x
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6. EDPs de segunda ordem
Dada uma função f(x,y), a forma mais completa de
uma EDP de segunda ordem é
 2f
 2f
 2f
f
f
A 2 B
C 2  D
E
 Ff  G  0
x
xy
y
x
y
Isolando os termos de segunda ordem, temos
 f

 2f
 2f
 2f
f
D
A 2 B
 C 2  
E
 Ff  G 

x
xy
y
x
y


 2f
 2f
 2f
A 2 B
C 2  H
x
xy
y
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7. EDPs de segunda ordem
Assim, abstraimos os termos de ordem 1, e podemos
buscar relações entre A, B, C e as derivadas
segundas.
Primeiramente, definimos
 2f
 2f
df x  2 dx 
dy
x
xy
 2f
 2f
df y 
dx  2 dy
xy
y
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8. EDPs de segunda ordem
A busca de uma solução para cada um dos termos nos
leva a:
H
B
C
A
H
C
A
df x
dy
0
dx df x
0
dx dy df x
0 df y dy
 2f

A B C
xy
dx dy 0
0 dx df y
 2f

2
A B C
y
dx dy 0
 2f df y dx dy

2
A B C
x
dx dy 0
0
dx dy
0
dx dy
0
B
H
dx dy
(regra de Cramer)
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9. EDPs de segunda ordem
A
Para garantir que
dx dy
0
devemos resolver
B
C
0 0
dx dy
Ady 2  Bdxdy  Cdx 2  0
2
Dividindo por dx2
 dy 
 dy 
A   B   C  0
 dx 
 dx 
As soluções desta equação são as “curvas
características” do espaço físico (a,b):
B  B 2  4 AC
 dy 
  
2A
 dx a , b
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10. EDPs de segunda ordem
 2f
 2f
 2f
f
f
A 2 B
C 2  D
E
 Ff  G  0
x
xy
y
x
y
O sistema de EDPs é, portanto, classificado
segundo o valor de (B2 - 4AC):
(B2 - 4AC) < 0
(B2 - 4AC) = 0
(B2 - 4AC) > 0
elíptico
parabólico
hiperbólico
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11. Equações elípticas
• (B2 - 4AC) < 0 em todos os pontos
do espaço.
• Uma EDP elíptica não tem curvas
características reais.
• Uma perturbação se propaga
instantaneamente em todas as
direções.
Exemplos:
 2f  2f
• Equação de Laplace
 2 0
2
x
• Equação de Poisson
y
 2f  2f
 2  f ( x, y )
2
x
y
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Espaço
de
soluções
Condições
de
contorno

12. Equações parabólicas
Condições
de
contorno
• (B2 - 4AC) = 0 em todos os
pontos do espaço.
• O domínio de soluções é um
espaço aberto.
• Apenas uma solução (uma curva
característica).
Exemplos:
• Condução de calor T  a  2T
em uma dimensão
t
x 2
• Difusão viscosa
u
 2u
 2
t
y
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Espaço
de
soluções
Condições
Iniciais

13. Equações hiperbólicas
Condições
de
contorno
• (B2 - 4AC) > 0 em todos os
pontos do espaço.
• Uma EDP hiperbólica tem duas
curvas características reais.
• Tradicionalmente resolvida pelo
método das características.
Exemplo:
• Equação de onda de segunda
ordem
2
2
f
2  f
a
2
t
x 2
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Espaço
de
soluções
Condições
Iniciais

14. Exemplo 1
Potencial de
velocidade em
duas
dimensões
Classificar a EDP
 2f  2f
(1  M 2 ) 2  2  0
x
y
Solução:
 2f
 2f
 2f
f
f
A 2 B
C 2  D
E
 Ff  G  0
x
xy
y
x
y
A  (1  M 2 ) B  0 C  1
B 2  4 AC  4(1  M 2 )
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15. Interpretação física
Um corpo se movendo em um fluido.
M<1
B 2  4 AC  4(1  M 2 )
M=1
M>1
elíptica
parabólica
hiperbólica
subsônico
transsônico
supersônico
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16. EDPs típicas em CFD
Equação de Laplace
Equação de Poisson
Condução de calor
Difusão viscosa
Equação de onda
Equação de Burgers
 2f  2f
 2 0
2
x
y
 2f  2f
 2  f ( x, y )
2
x
y
  2T  2T 
T
 a 2  2 
 x
t
y 


u
 2u
 2
t
y
 2u
 2u
 a2 2
t 2
x
u
u
 u
t
x
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17. SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA
ORDEM
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18. Classificação de um sistema de
EDPs de primeira ordem
u
v
u
v
 u
 t  a1 x  a2 x  a3 y  a4 y  1  0

Considere o sistema 
 v  b u  b v  b u  b v    0
2
 t 1 x 2 x 3 y 4 y

Chamando

u
v
a1 a2 
[ A]  
b1 b2 


a3
[ B]  
b3
Teremos



 [ A]
 [ B]
 0
t
x
y
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a4 
b4 


1
2
É bem mais
simples, mas as
variáveis são
matrizes e vetores

19. Interpretando



 [ A]
 [ B]
 0
t
x
y
• Se [A] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é
hiperbólico em t e x.
• Se [A] tiver autovalores complexos, o sistema é
elíptico em t e x.
• Se [B] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é
hiperbólico em t e y.
• Se [B] tiver autovalores complexos, o sistema é
elíptico em t e y.
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20. Sistema em regime



 [ A]
 [ B]
 0
t
x
y
Chamando
P A
Q B
R
a1 a4
b1
b4

a3
a2
b3
b2
O sinal de H=R2-4PQ determinará a natureza do sistema:
H<0
H=0
H>0



elíptico
parabólico
hiperbólico
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21. Exemplo 2
Classifique o sistema de EDPs
 u v
 x  y  0


 v  u  0
 x y

Solução:
Reescrevemos o sistema na forma A q  B q  0
x
onde
u 
q 
v 
1 0
A
0 1


 0 1
B
 1 0


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y

22. Exemplo 2
Reconhecendo que o sistema está e regime (d/dt=0)
Calcula-se
P 1
Q 1
H=R2-4PQ
R
1 1
0 0

0
1
1 1

O sistema é elíptico.
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0
H=-4

23. Exemplo 2b
Mesmo problema, com outra solução...
Solução:
Definimos
 u v
 x  y  0


 v  u  0
 x y

[T ]  [ A]nx  [ B]ny
1 0
 0 1
[T ]  
 n x    1 0 n y
0 1


n y   nx
 nx 0   0
[T ]  
   n
   n
 0 nx   y 0   y
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ny 
nx 


24. Exemplo 2b
 nx
[T ]  
 n y
ny 
nx 

2
2
O determinante de [T] vale T  nx  n y
Desejamos que [T]=0, então
2
n n 0
2
x
2
y
 ny
O que significa que 
n
 x
 ny 
  1  0
n 
 x

 é imaginário.


O sistema é elíptico.
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25. Exemplo 3
 u v
 x  y  0

 u
u p
u
v 
0

y x
 x
 v
v p
u v 
0

y y
 x
Classifique o sistema de EDPs
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma
q
q
A B
0
x
y
onde
u 
q  v 
 
 p
 
1 0 0
A  u 0 1


 0 u 0


0 1 0
B   v 0 0


0 v 1


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26. Exemplo 3
Calculamos
[T ]  [ A]nx  [ B]ny
 nx
[T ]  unx

 0

0  0
ny

nx   vny 0

0   0 vny
 
ny
0

0
nx 
unx  vny v 

0
0
unx
 nx

[T ]  unx  vny

0

Assim,

T  un


0

0
ny 


T  nx  nx unx  vny   n y n y unx  vny 

2
2
 vny  nx  n y
x

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27. Exemplo 3

Dividindo por

2
2
T  unx  vny  nx  ny  0
Queremos que
3
nx
2
 ny
 n y

  1 v  u   0

 n 2  n

 x
 x
De onde obtemos duas condições:
ny
ny
u

nx
v
nx
O sistema é hiperbólico.
  1
O sistema é elíptico.
O sistema é misto hiperbólico/elíptico.
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28. SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA
ORDEM
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29. Sistemas de segunda ordem
Em muitas ocasiões as equações de Navier-Stokes
podem resultar em EDPs de segunda ordem:
• Termos viscosos da equação do momento
• Termo de condução de calor da equação de energia
O método mais fácil de classificação consiste em
reduzir a ordem das equações e trabalhar como se
fossem EDPs de primeira ordem.
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30. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Um fluido incompressível bidimensional em
regime:
u v

0
x y
u
u
p 1   2u  2u 
 2  2
u
v
 
x
y
x Re  x
y 


v
v
p 1   2 v  2 v 
 2 2
u v   
x
y
y Re  x
y 


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31. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
v
a
x
Chamando
v
b
y
u
c
y
u
v
   b
x
y
Temos que
Temos ainda que
  v   2 v b
 
 y  xy  x
x  
  v   v a

 
y  x  xy y
2
b a

0
x y
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Da mesma maneira:
c b

0
x y

32. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
u
y
u v

x y
b a

x y
c a

x y
O novo sistema de EDPs fica:
Tem mais
equações, mas é de
primeira ordem
c
0
0
0
1  b c  p
   
 x y  x  ub  vc
Re 

1  a b  p
  
 x y  y  ua  vb
Re 

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33. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Este sistema pode ser escrito na forma vetorial como
onde
u 
v 
 
a 
Q 
b 
c 
 
 p
 
0

1
0
A
0
0
0

1

0
0
B
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
Re
1
0
0
Re
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Re
1
Re
0
0

0
0

0
 1
0

0

0
0

0
0
 1

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A
Q
Q
B
C
x
y
c




0


0

C


0
 ub  vc 


 ua  vb 



34. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Com este sistema, teremos
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35. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Agora podemos calcular | T |:

1 2 2
2
T 
n y nx  n y
Re

2
0
2
2
nx  n y  0
2
 ny 
  1  0
n 
 x
ny
nx
  1
O sistema é elíptico.
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36. Exemplo 4
As equações que governam o movimento de um escoamento inviscido e
unidimensional são conhecidas como equações de Euler. Assumindo-se que o
fluido é um gas perfeito, o sistema de EDPs é


u
u

0
t
x
x
u
u 1 p
u

0
t
x  x
p
p
u
 u  a 2
0
t
x
x
Classifique este sistema de EDPs.
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37. Exemplo 4
O sistema pode ser reescrito como
Q
Q
A
0
t
x
onde
 
Q  u 
 
 p
 
u 

A  0 u

0 a 2

0
1


u

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38. Exemplo 4
Os autovalores deste sistema são obtidos de
(veja a aula 1b)
u 

0
u 
0
a 2
0
1

0
u 

1
2 
u   u   u      ( a )  0

 



u   u   2  a 2   0
 1  u

2  u  a
   u 1
 3
O sistema é hiperbólico.
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39. CONDIÇÕES INICIAIS E DE
CONTORNO
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

40. Condições iniciais e de contorno
As condições inidiais e/ou de contorno permitem que as
soluções de EDPs se transformem em soluções únicas,
contrapondo-se a funções genéricas.
Uma condição inicial é aquela na qual a variável dependente tem
um determinado valor em algum estado inicial.
Uma condição de contorno é aquela na qual a variável
dependente ou sua derivada devem satisfazer em algum ponto
do domínio da EDP.
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41. Condições de contorno
Em inglês: boundary
conditions
Seja X(x) uma função no intervalo a  x  b.
As quatro condições de contorno possíveis são:
Dirichlet
 X (a)  0

 X (b)  0
Mista
Neumann
X (a) / x  0

X (b) / x  0
Robin (periódica)
X (a) / x  0  X (a)  0


 X (b)  0
X (b) / x  0
 X (a)  X (b)

X (a) / x  X (b) / x
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42. Exercícios
• Problemas 1.13 do Hoffmann “Computational
Fluid Dynamics Vol.I”
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