1. O documento discute erros numéricos em representação de ponto flutuante em computadores, como números reais são armazenados de forma aproximada devido à limitação de bits.
2. Exemplos mostram como erros de representação numérica podem ter consequências graves, como um erro de 0,34 segundos que levou à morte de 28 pessoas no sistema Patriot.
3. São definidos conceitos como erro absoluto, erro relativo, arredondamento e truncamento na representação numérica aproximada de números.
Caro Ledores.....
Segue um artigo, sem cunho científico, sobre ponto flutuante. O mesmo foi produzido como resultado da matéria de mestrado "Análise Matemática " do professor Erivelton Nepomuceno.
Intuitivamente “errar é humano” e quando isso acontece podemos ter consequências às vezes impensáveis sobre isso. O erro também está associado a máquinas (computadores, calculadoras entre outros). Com este trabalho busca-se fazer uma leitura do erro e suas ocorrências. Faz-se uma leitura de representação numérica do erro e trazemos alguns exemplos como parte prática do trabalho.
Leitura bastante técnica... mas como eu digo Vale a leitura!!!
Este trabalho tem como objetivo principal apresentar a atividade de diagnostico online dos cabos de distribuição energia em média tensão (4,16 KV), que alimentam a Aciaria da Gerdau – unidade Ouro Branco através do método online de descargas parciais. O parecer técnico foi a base necessária para o conhecimento do estado atual dos circuitos e elaboração de um plano para manutenção baseada na condição. O método online de descargas parciais foi adotado, pois permite detectar a presença de falhas devida tanto ao envelhecimento quanto a imperfeições na fabricação do sistema isolante.
Constitui objetivo deste plano as atividades de manutenção necessárias para a preservação dos transformadores de potência. Estas foram pesquisadas e escolhidas de acordo com as normas vigentes, manuais de fabricantes, data sheet FM Global e no guia de manutenção centrada na confiabilidade para transformadores imersos em líquidos isolantes do Cigré Brasil ( Comitê Nacional Brasileiro de Produção e Transmissão de Energia Elétrica).
Senhores, bom dia...
Este documento tem por objetivo a descrição de painéis de Média Tensão sob invólucro metálico, blindado, isolados a ar, destinados a equipar as subestações de uso abrigado AT/MT, MT/MT ou MT/BT de alta potência. Serve como modelo para especificação e aquisição de painéis.
Verifique que o mesmo é somente uma referência. Para um complemento do mesmo, gestores, mantenedores e fornecedores devem ser envolvidos para que todos cheguem a uma melhor utilização dos mesmos.
Boa leitura!!!!
Relatorio inspeçao e testes disjuntores mdvp4 siemensAlexandre Grossi
Inspeção e testes junto ao fornecedor “Siemens” dos cubículos elétricos / Painel MVDP4, referente à Laminação de Planos (Steckel).
Realizados Ensaio Funcional de todos os cubículos ( testes de comando em modo local e remoto, simulação de atuação dos relés de proteção ( desligando cabos de comando nos mesmos, etc). Foram feitos manobras de inserção e extração de todos os cubículos, inclusive aterramento dos mesmos.
Apresentamos ainda a Sequência de testes.
Execução atividades de manutenção preventiva em disjuntores MT / Merlin Gerin na campanha do convertedor 1 em 2010.
Responsável Técnico-Alexandre Grossi; Facilitador de execução - Jackson José.
As descrição das atividades estão de forma resumida nos slides
Constitui objetivo deste plano a apresentação das atividades de manutenção necessárias para a preservação dos transformadores de potência. As atividades de manutenção foram pesquisadas e escolhidas de acordo com as normas vigentes, manuais de fabricantes, data sheet FM Global. e no guia de manutenção centrada na confiabilidade para transformadores imersos em líquidos isolantes do Cigré Brasil ( Comitê Nacional Brasileiro de Produção e Transmissão de Energia Elétrica).
Diagnóstico de Falhas em Cabos MT - Parecer TécnicoAlexandre Grossi
Este parecer visa apresentar o trabalho de diagnostico e posterior plano de manutenção preventiva dos cabos de energia em média tensão (4,16 KV) na Aciaria, através do método de descargasparciais.
O diagnóstico realizado foi o subsídio necessário para o conhecimento do estado atual dos circuitos e elaboração de planos de manutenção.
Com a aplicação da técnica foi possível predizer ações futuras para os cabos e assim elaborarmos os planos de manutenção baseados em sua condição (planos CBM). Com isso o maior ganho foi a possibilidade de mitigar o risco de falhas no cabo.
Utilização do SAP/R3 no planejamento de Planos de ManutençãoAlexandre Grossi
SAP/R3 é um sistema integrado de gestão empresarial (ERP) transacional, produto principal da SAP AG, O sistema procura contemplar a empresa como um todo, dividido em módulos, onde cada módulo corresponde a uma área especifica. Um dos possíveis está associado à manutenção.
Neste slideshare queremos mostrar como usávamos o SAP/R3 para planejarmos nossos planos de manutenção via transição IP42 para sua criação e IP 10 para sua programação.
Vale a leitura!!!!
Técnicas de Inspeção e Procedimentos para Testes - Cabos ElétricosAlexandre Grossi
Os condutores elétricos apresentam diferentes formas e tipos de fabricação, cada um deles utilizado de acordo com suas características específicas, como formação, componentes e fabricação. Suas características elétricas estão associadas a seleção da tensão de isolamento, gradiente de tensão, perdas dielétricas e capacidade de corrente
Este material tem por objetivo descrever operações proteção, inspeção, manutenção e testes para vários modelos de cabos. Suas definições estão ligadas a NBR 5471:1986.
Material sobre Cálculo Numérico, Mudança de Base, Ponto Fixo, Ponto Flutuante, Análise de Erros, Erro Relativo, Erro Absoluto, Método da Bissecção, Método da Falsa Posição, Método Interativo Linear, Método de Newton-Raphson, Interpolação, Polinômio Interpolador, Forma de Lagrange para o polinômio interpolador, Forma de Newton para o polinômio interpolador,Integração Numérica, Fórmula de Newton-Cotes, Regra dos Trapézios, Regra de Simpson, Estudo dos erros na integração numérica
Caro Ledores.....
Segue um artigo, sem cunho científico, sobre ponto flutuante. O mesmo foi produzido como resultado da matéria de mestrado "Análise Matemática " do professor Erivelton Nepomuceno.
Intuitivamente “errar é humano” e quando isso acontece podemos ter consequências às vezes impensáveis sobre isso. O erro também está associado a máquinas (computadores, calculadoras entre outros). Com este trabalho busca-se fazer uma leitura do erro e suas ocorrências. Faz-se uma leitura de representação numérica do erro e trazemos alguns exemplos como parte prática do trabalho.
Leitura bastante técnica... mas como eu digo Vale a leitura!!!
Este trabalho tem como objetivo principal apresentar a atividade de diagnostico online dos cabos de distribuição energia em média tensão (4,16 KV), que alimentam a Aciaria da Gerdau – unidade Ouro Branco através do método online de descargas parciais. O parecer técnico foi a base necessária para o conhecimento do estado atual dos circuitos e elaboração de um plano para manutenção baseada na condição. O método online de descargas parciais foi adotado, pois permite detectar a presença de falhas devida tanto ao envelhecimento quanto a imperfeições na fabricação do sistema isolante.
Constitui objetivo deste plano as atividades de manutenção necessárias para a preservação dos transformadores de potência. Estas foram pesquisadas e escolhidas de acordo com as normas vigentes, manuais de fabricantes, data sheet FM Global e no guia de manutenção centrada na confiabilidade para transformadores imersos em líquidos isolantes do Cigré Brasil ( Comitê Nacional Brasileiro de Produção e Transmissão de Energia Elétrica).
Senhores, bom dia...
Este documento tem por objetivo a descrição de painéis de Média Tensão sob invólucro metálico, blindado, isolados a ar, destinados a equipar as subestações de uso abrigado AT/MT, MT/MT ou MT/BT de alta potência. Serve como modelo para especificação e aquisição de painéis.
Verifique que o mesmo é somente uma referência. Para um complemento do mesmo, gestores, mantenedores e fornecedores devem ser envolvidos para que todos cheguem a uma melhor utilização dos mesmos.
Boa leitura!!!!
Relatorio inspeçao e testes disjuntores mdvp4 siemensAlexandre Grossi
Inspeção e testes junto ao fornecedor “Siemens” dos cubículos elétricos / Painel MVDP4, referente à Laminação de Planos (Steckel).
Realizados Ensaio Funcional de todos os cubículos ( testes de comando em modo local e remoto, simulação de atuação dos relés de proteção ( desligando cabos de comando nos mesmos, etc). Foram feitos manobras de inserção e extração de todos os cubículos, inclusive aterramento dos mesmos.
Apresentamos ainda a Sequência de testes.
Execução atividades de manutenção preventiva em disjuntores MT / Merlin Gerin na campanha do convertedor 1 em 2010.
Responsável Técnico-Alexandre Grossi; Facilitador de execução - Jackson José.
As descrição das atividades estão de forma resumida nos slides
Constitui objetivo deste plano a apresentação das atividades de manutenção necessárias para a preservação dos transformadores de potência. As atividades de manutenção foram pesquisadas e escolhidas de acordo com as normas vigentes, manuais de fabricantes, data sheet FM Global. e no guia de manutenção centrada na confiabilidade para transformadores imersos em líquidos isolantes do Cigré Brasil ( Comitê Nacional Brasileiro de Produção e Transmissão de Energia Elétrica).
Diagnóstico de Falhas em Cabos MT - Parecer TécnicoAlexandre Grossi
Este parecer visa apresentar o trabalho de diagnostico e posterior plano de manutenção preventiva dos cabos de energia em média tensão (4,16 KV) na Aciaria, através do método de descargasparciais.
O diagnóstico realizado foi o subsídio necessário para o conhecimento do estado atual dos circuitos e elaboração de planos de manutenção.
Com a aplicação da técnica foi possível predizer ações futuras para os cabos e assim elaborarmos os planos de manutenção baseados em sua condição (planos CBM). Com isso o maior ganho foi a possibilidade de mitigar o risco de falhas no cabo.
Utilização do SAP/R3 no planejamento de Planos de ManutençãoAlexandre Grossi
SAP/R3 é um sistema integrado de gestão empresarial (ERP) transacional, produto principal da SAP AG, O sistema procura contemplar a empresa como um todo, dividido em módulos, onde cada módulo corresponde a uma área especifica. Um dos possíveis está associado à manutenção.
Neste slideshare queremos mostrar como usávamos o SAP/R3 para planejarmos nossos planos de manutenção via transição IP42 para sua criação e IP 10 para sua programação.
Vale a leitura!!!!
Técnicas de Inspeção e Procedimentos para Testes - Cabos ElétricosAlexandre Grossi
Os condutores elétricos apresentam diferentes formas e tipos de fabricação, cada um deles utilizado de acordo com suas características específicas, como formação, componentes e fabricação. Suas características elétricas estão associadas a seleção da tensão de isolamento, gradiente de tensão, perdas dielétricas e capacidade de corrente
Este material tem por objetivo descrever operações proteção, inspeção, manutenção e testes para vários modelos de cabos. Suas definições estão ligadas a NBR 5471:1986.
Material sobre Cálculo Numérico, Mudança de Base, Ponto Fixo, Ponto Flutuante, Análise de Erros, Erro Relativo, Erro Absoluto, Método da Bissecção, Método da Falsa Posição, Método Interativo Linear, Método de Newton-Raphson, Interpolação, Polinômio Interpolador, Forma de Lagrange para o polinômio interpolador, Forma de Newton para o polinômio interpolador,Integração Numérica, Fórmula de Newton-Cotes, Regra dos Trapézios, Regra de Simpson, Estudo dos erros na integração numérica
Slides de Aula do Ano de 2021 do Curso de Engenharia Civil da Faculdade Anhanguera de Rio Grande no Rio Grande do Sul. Professor Eng. Eletricista Cristiano Borges.
PageRank é o nome dado ao algoritmo do Google que classifica todos os sites, a relação entre eles através de links e, de uma maneira geral, a relevância de uma página em relação a toda a web. O PageRank funciona basicamente calculando a relação através de links de uma página com outra e é a principal maneira do algoritmo do Google de avaliar matematicamente a relevância de uma página.
(https://www.conversion.com.br/otimizacao-de-sites-seo/pagerank/).
Material disponibilizado em : (www.icmc.usp.br/~frasson/AL/2015-2sem/frasson-google.pdf)
Procedimentos de rotina para recuperação, verificação e substituição de ater...Alexandre Grossi
Os Sistemas Elétricos são aterrados a haste de terra para prevenir ao usuário e ao próprio sistema de sofrer com sobretensões indesejadas ou choques elétricos.
Parecer técnico - Retrofit (Quadro de Distribuição de Força de 460 VCA)Alexandre Grossi
Esta especificação estabelece os critérios mínimos para apresentação de proposta , de um Quadro de Distribuição de Força de 460 VCA, Trifásico, 60 Hz a ser instalado no seu parque industrial siderúrgico – área da Aciaria, no município de Ouro Branco/MG.
Os mecanismos de avaria em cabos estão intimamente ligados ao material isolante utilizado.
Durante a operação podem acontecer avarias no isolamento, conseqüência de contaminantes (arborescências) e temperatura aliado a sobretensões. Esses fatores podem causar redução da vida útil dos cabos e ocorrência de falhas durante o serviço.
Testes de rotina podem detectar estas degradações, permitindo ação preventiva e evitando paradas intempestivas do processo produtivo.
DTMC - Equipamentos Elétricos / SE - Células Funcionais e de SuporteAlexandre Grossi
Apresentação das atividades pertinentes às responsabilidades técnicas da equipe do DTMC / GA. Equipamentos MT (13,8Kv: SE's ( Disjuntores, Painéis e Cabos ). Responsável técnico: Alexandre Grossi - Procedimentos: Metodologia, Cronograma, Execuções ( Parada AF2/ 6-2010) e etapas finais (5W1H)
Substituição de 1 disjuntor e retrofit no painel de Baixa tensão (0,46KV), disjuntor SACE S6H – fabricante ABB, para garantir a segurança dos colaboradores ao executar a inserção e extração dos disjuntores com porta fechada adequando assim a norma regulamentadora NR10, Segurança Operacional e redução de tempo de parada não programada TMNP.
Material apresentado em 2014 justificando a utilização de pintura Intumescentes em cabos MT. Referencias bibliográficas: FM Global, NBR 13231, NBR 13859 e NBR 5410.
Programação para engenharia - aspectos teóricos e computacionaisAlexandre Grossi
Material voltado para linguagem computacional e suas aplicações à engenharia. Exemplos como análises de circuitos e modelagem de um brainstorming são demonstrados. segue também alguns exemplos de uso de um software. O vídeo é encontrado em: https://www.youtube.com/channel/UCU_50P2uC0K4bXCVw4R2NFg
Produtividade: uma relação da capacidade produtiva e previsão de demandaAlexandre Grossi
A produtividade é essencial para o crescimento de pessoas, empresas e países. No caso do individuo, a sua experiência e a sua cultura trarão maior eficácia no seu comportamento, induzindo-o a fazer melhor as coisas certas no momento exato.
É a produtividade que determina o aumento de salários sem gerar inflação e a riqueza das nações que conseguem produzir mais com mais inteligência e menor gasto. Trabalhar muito – horas trabalhadas e PEA-população economicamente ativa – são dois indicadores importantes, mas trabalhar bem é mais importante ainda.
Joslyn Hi-Voltage® melhoram a eficiência e a confiabilidade dos sistemas de energia elétrica e incluem interruptores de capacitores, religadores e interruptores que reduzem a freqüência e a duração das interrupções.
Para - Jose Claudemir Schmitt/UNIMEP - “As falhas representam não conformidades nas atividades produtivas, que comprometem a disponibilidade dos ativos, reduzindo a competitividade, de tal modo que pesquisas para seu controle e prevenção são, no mínimo, desejáveis.”
Criamos uma série sobre falha composto por quatro partes em que buscamos definições, evento e métodos relacionados a sua avaliação. Nesta primeira parte busco elucidar primeiros conceitos relacionados a situações que vemos em nosso dia -a -dia.
A Ledor – Instrução Técnica é um empresa criada para suporte e desenvolvimento técnico em segurança do trabalho, gestão de ativos e manutenção. Treinamentos, palestras e consultorias é nosso foco. Equipe formada por engenheiros com 13 anos de experiência no ramo industrial em manutenção e segurança.
Seja bem vindo a nos conhecer:
FanPage - https://www.facebook.com/InstrucaoLedor/
Twitter - https://twitter.com/ledor_consultan
LinkedIn - https://br.linkedin.com/in/alexandregrossi
A Análise de Árvore de Falhas (FTA) pode ser uma análise do tipo qualitativa, através de generalistas que determinem as causas básicas de um evento; quantitativa, determinando a probabilidade de ocorrência do evento. Sua explicitação pode ser desenvolvida com apoio dos Diagramas de Blocos de Confiabilidade (RDB).
Dimensionamento Ótimo de Reserva Técnica de Transformadores de SubestaçõesAlexandre Grossi
Dimensionamento ótimo de reserva técnica de transformadores de subestações. X simpósio de especialistas em planejamento da operação e expansão elétrica.
Apresentação à matéria – CSP (Confiabilidade Sistema Elétricos), Prof. – Luiz Manso, Aluno : Alexandre Grossi.
2º/2011
Caro Ledores...
Em problemas de engenharia, ao se obter um modelo matemático destes problemas, pode-se aplicar técnicas de otimização em que se consiga maximizar/minimizar uma função, objetivando encontrar uma solução em que resulte no melhor resultado possível de um dado Sistema.
Para nosso estudo iremos avaliar a função proposta dentro do algoritmo Simulated Annealing. A escolha deste algoritmo foi para simples fins didáticos sem maiores pretenções técnicas.
Leitura muito técnica., voltada para os conceitos da matéria de Otimização de Sistemas do curso de Msc. PPGEL/UFSJ
Nr10/SEP - Segurança em instalações e serviços com eletricidadeAlexandre Grossi
Caro Ledores....
Ao dizer condições mínimas entende-se que a norma NR10 vigente visa atender ao mínimo passível de segurança com eletricidade, caso contrário, estamos sujeito a punições dentro das medidas e sistemas de controle à ação humana, quando aplicadas.
As medidas de controle simulam a coletividade de atos estratégicos de prevenção para minimizar, buscando controlar as incertezas e eventos indesejáveis que podem causar lesões ou danos à saúde dos trabalhadores. A análise de risco que é um método de análise das etapas e elementos operacionais que o trabalhador realiza, bem como sua sequência de execução, passa a ser um procedimento obrigatório e devem existir evidências objetivas de sua elaboração.
Vale a leitura!!!!
Relatório técnico Iluminação Oficina Central
Adequação da iluminação da oficina central no setor de caldeiraria e elétrica, por meio de instalação de luminária de melhor eficiência, conforme NR 17 e NBR 5413
Caro Ledores...
O procedimento a seguir norteia a atividade, em campo, de medição de isolação de motores. Estas devem ser realizadas periodicamente para um funcionamento adequado do equipamento, predizendo, monitorando e prevenindo falhas e defeitos e corrigindo-os quando ocorrerem.
É através de procedimentos que os sistemas e equipamentos possuirão vida útil ampla e funcionamento eficiente.
Para manutenções corretivas proceder, sempre que necessário, ou quando recomendado, aos reparos ou consertos que se fizerem necessários. A manutenção preditiva deverá ser realizada especificadamente para cada equipamento/sistemas/máquinas, detectando as condições que eventualmente levem a falhas e a estimativa do tempo disponível, até que ocorra uma falha.
Vale a leitura!!!!
Proteco Q60A
Placa de controlo Proteco Q60A para motor de Braços / Batente
A Proteco Q60A é uma avançada placa de controlo projetada para portões com 1 ou 2 folhas de batente. Com uma programação intuitiva via display, esta central oferece uma gama abrangente de funcionalidades para garantir o desempenho ideal do seu portão.
Compatível com vários motores
AE02 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL COMUNICAÇÃO ASSERTIVA E INTERPESSOA...Consultoria Acadêmica
A interação face a face acontece em um contexto de copresença: os participantes estão imediatamente
presentes e partilham um mesmo espaço e tempo. As interações face a face têm um caráter dialógico, no
sentido de que implicam ida e volta no fluxo de informação e comunicação. Além disso, os participantes
podem empregar uma multiplicidade de deixas simbólicas para transmitir mensagens, como sorrisos,
franzimento de sobrancelhas e mudanças na entonação da voz. Esse tipo de interação permite que os
participantes comparem a mensagem que foi passada com as várias deixas simbólicas para melhorar a
compreensão da mensagem.
Fonte: Krieser, Deise Stolf. Estudo Contemporâneo e Transversal - Comunicação Assertiva e Interpessoal.
Indaial, SC: Arqué, 2023.
Considerando as características da interação face a face descritas no texto, analise as seguintes afirmações:
I. A interação face a face ocorre em um contexto de copresença, no qual os participantes compartilham o
mesmo espaço e tempo, o que facilita a comunicação direta e imediata.
II. As interações face a face são predominantemente unidirecionais, com uma única pessoa transmitindo
informações e a outra apenas recebendo, sem um fluxo de comunicação bidirecional.
III. Durante as interações face a face, os participantes podem utilizar uma variedade de sinais simbólicos,
como expressões faciais e mudanças na entonação da voz, para transmitir mensagens e melhorar a
compreensão mútua.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I, apenas.
III, apenas.
I e III, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Experiência da EDP na monitorização de vibrações de grupos hídricosCarlosAroeira1
Apresentaçao sobre a experiencia da EDP na
monitorização de grupos geradores hídricos apresentada pelo Eng. Ludovico Morais durante a Reunião do Vibration Institute realizada em Lisboa no dia 24 de maio de 2024
Esta apresentação oferece uma compreensão detalhada e prática sobre como calcular e interpretar as taxas de frequência e gravidade de acidentes, conforme estipulado pela Norma Brasileira Regulamentadora 14280 (NBR 14280). Iniciamos com uma introdução destacando a importância da segurança no ambiente de trabalho e como a redução de acidentes impacta positivamente as organizações.
Exploramos a definição da taxa de frequência de acidentes, apresentando sua fórmula e exemplificando seu cálculo. Enfatizamos sua interpretação como um indicador de risco e sua utilidade na avaliação da eficácia das medidas de segurança adotadas.
Em seguida, abordamos a taxa de gravidade de acidentes, explicando sua fórmula e demonstrando sua aplicação com um exemplo prático. Destacamos a importância dessa taxa na avaliação do impacto dos acidentes na produtividade e na saúde dos trabalhadores.
Oferecemos orientações sobre como aplicar esses cálculos na prática, desde a coleta de dados até a análise dos resultados e a implementação de ações corretivas. Concluímos ressaltando a importância de promover um ambiente de trabalho seguro e incentivando a implementação das medidas necessárias para alcançar esse objetivo.
Ao longo da apresentação, enfatizamos a relevância da NBR 14280 como referência técnica para o cálculo das taxas de acidentes. Encorajamos o debate e a participação da audiência, abrindo espaço para perguntas e fornecendo informações de contato para mais esclarecimentos.
Esta apresentação visa capacitar os participantes a compreender e aplicar os conceitos essenciais para o cálculo das taxas de acidentes, contribuindo assim para a promoção de um ambiente de trabalho mais seguro e saudável para todos.
1. 1
ERRO NA ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
ALEXANDRE GROSSI1
Resumo – Intuitivamente “errar é humano” e
quando isso acontece podemos ter
consequências às vezes impensáveis sobre
isso. O erro também está associado a
máquinas (computadores, calculadoras entre
outros). Com este trabalho busca-se fazer
uma leitura do erro e suas ocorrências. Faz-
se uma leitura de representação numérica do
erro e trazemos alguns exemplos como parte
prática do trabalho
Introdução
Quando pensamos no nosso trabalho do
dia-a-dia o reconhecimento de problemas não é
uma tarefa fácil. Os problemas estão ligados a
áreas de exatas, humanas, biológicas,
econômicas, sociais, entre outras. Também
estão associados à qualidade de vida,
linguísticas, qualidade total, práticas educativas,
leitura e escrita, avaliação em saúde e até
problema de bioética.
Em (Hilbert, 2003) coloca-se a ideia que as
questões relacionadas à matemática também
precisam soluções a seus problemas. Em
(Ruggiero, 1996) pondera que se em todas as
fases de solução de problema sua iterações
tenham sidas realizadas corretamente, não é raro
acontecer que os resultados finais estejam
distantes do que se espera acontecer. Ainda em
(Filho, 2001) o autor alega que os resultados
obtidos podem surgir por várias fontes de erros.
Avaliar estes resultados e a existência do
erro é verificar as operações numéricas
efetuadas, suas representações e precisões
obtidas. Para ambos os autores (Filho, 2001) e
(Ruggiero, 1996) é de importância fundamental
conhecer as causas do erro encontrado com o
intuito de minimizar suas consequências.
Na representação dos números, existe um
modo de armazená-los em uma forma
padronizada, onde as operações são realizadas
de forma organizada, dentro de uma estrutura de
máquina. Nos anos de 1970 a 1980, foi
levantada a necessidade de termos uma
padronização no intuito de tornar invariáveis os
resultados obtidos por um mesmo programa
1
alexandregrossi15@gmail.com Aluno do PPGEL –
Programa de Pós Graduação de Engenharia Elétrica
da UFSJ – Universidade Federal de São João del Rei
computacional executado por diferentes
máquinas.
Criou-se então um grupo, conhecido por
IEEEp754, cujas as metas passavam também
por padronizar o arredondamento nas operações
numéricas realizadas por esses programas em
uma base, que para estes caso tornou-se uma
base binária
Entende-se que se há uma distância do que
se espera acontecer, o seu resultado tem um
erro. Propõe-se então tratar da análise dos erros
em processo numéricos com o estudo destes e
suas noções que surgem de suas representações
além de apresentar os tipos de erros que possam
surgir junto às operações efetuadas.
Representação numérica
Em determinadas situações reais algumas
soluções são impraticáveis, onde problemas são
medidas físicas.
Peguemos o exemplo na guerra do Golfo
em que uma falha no sistema de rastreamento e
intercepção de mísseis do sistema de defesa
Patriot, levou a 28 americanos mortos. A falha
ocorreu devido a uma limitação numérica,
levando a um erro de 0,34s no cálculo do tempo
de lançamento.
O sistema do míssil Patriot usava um
conjunto de 24 bits para sua representação.
Devido ao truncamento na unidade de tempo de
incremento do relógio, ao final de 100 h de
funcionamento gerou-se um acúmulo no seu
incremento um erro físico de 687 metros.
Baseado em (Ruggiero, 1996) a
representação de um número depende, portanto
da base escolhida ou disponibilidade na
máquina em uso e do número máximo de
dígitos usados em sua representação. O número
π é um exemplo que não é possível sua
representação por um número finito de dígitos.
Como dito anteriormente, outra observação
na representação de números é a sua conversão
computacional. A entrada de dados é feita por
um usuário no sistema decimal. As operações
são realizadas pelo computador no sistema
binário e resultados entregues ao operador na
tela convertidos ao sistema decimal. É
ressaltado que em uma base um número pode
ter uma representação finita e em outra
representação infinita.
Um computador que opera no sistema
binário irá armazenar sempre uma aproximação
de um número, uma vez que possui quantidade
fixas de posições e é esta aproximação que será
usada para realizar os cálculos.
Ao se tentar representar um número real
normalmente ele é arredondado, de modo a
poder ser escrito no número finito de bits onde
2. 2
precisa ser armazenado. Dessa forma, é,
automaticamente, introduzido um erro e ele não
mais representa o número desejado.
Para uma melhor compreensão do efeito
destes erros, faz-se necessário entender como os
números são armazenados dentro do
computador. Atualmente estes representam
número na base binária, realizando suas
operações aritméticas nessa base.
Um número inteiro é facilmente
armazenado em computadores digitais.
Tipicamente é armazenado em um computador
como uma sequencia de dígitos binários de
comprimento fixo. Assim um número inteiro
(𝑛 / 𝑘) possui sua representação, sendo:
𝑛 = ±(𝑛−𝑘 𝑛−𝑘+1 … 𝑛−1 𝑛0)
= ±(𝑛0 𝛽0
+ 𝑛−1 𝛽1
+ ⋯ + 𝑛−𝑘 𝛽 𝑘
)
onde β é uma base fixa ≥ 2
Já um número real pode ser representado
por um ponto fixo ou por pontos flutuantes.
Para pontos fixos podemos representar o
mesmo por:
𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝛽−1𝑛
𝑖=𝑘 , para 𝑥 inteiro
O sistema de ponto flutuante normalizado
(aqui chamamos de 𝑓) é definido como um
conjunto de número, incluindo o zero, número
qualquer de base β, na análise do ponto
flutuante que possui t dígitos de precisão e
expoente 𝑒 de intervalo [m,M], pode ser
representado por:
𝑋 = ± (0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
;
Onde ainda podemos representar por
(Diniz, 2006):
#𝑓(𝛽, 𝑡, 𝑚, 𝑀)
E sua cardinalidade dada por (Cardona,
2010):
#𝑓(𝛽, 𝑡, 𝑚, 𝑀) = 2(𝛽 − 1)𝛽 𝑡−1(𝑀 − 𝑚 + 1) + 1
Como já comentado, durante as etapas de
solução de problemas, surgem várias fontes de
erros que podem alterar profundamente os
resultados obtidos. Uma fonte clara de erro
neste momento é a limitação devido ao número
de bits da máquina. É de importância principal
avaliar sua origem para tornar mínimos seus
resultados.
Estudo de erros
Erro absoluto e erro relativo
Imaginem que queremos estudar uma
situação real, tarefas de nosso dia-a-dia. Como
dito no início deste estudo, imagine que
queremos entender uma ocorrência na área de
exatas, uma análise do SEP (Sistema Elétrico de
Potência).
Vista a complexidade do SEP não é
possível simplesmente reproduzirmos o mesmo
com seus equipamentos e puramente
simularmos situações físicas buscando seu
entendimento. Isso é inviável fisicamente. A fim
de prever o comportamento destes grandes
sistemas faz-se necessário simularmos os
mesmos. Pode-se então simular sistemas através
de seus modelos.
A modelagem matemática consiste na
tentativa de se descrever matematicamente um
fenômeno (Wikipédia). Estes modelos se
utilizam de leis e/ou fenômenos (físicas,
biológicas entre outros), bem como dados
experimentais que venham a representar, de
forma aproximada, problemas físicos. Como
raramente se tem uma representação exata
destes fenômenos (Diniz, 2006) ou
experimentos, possíveis simplificações podem
levar a um modelo falso à realidade. Neste
momento, ao confrontar os dados reais aos
resultados obtidos na validação do modelo, pode
estar sendo gerado um erro.
Buscar uma solução de um problema passa
por algumas fases de interpretação do mesmo.
Estabelecer um modelo matemático,
metodologia destinada a resolver o modelo e sua
validação são itens que trazem esta solução.
Erros e incertezas adentrados em cada etapa
contaminam o resultado esperado.
Na análise de erro numérico, podemos
inicialmente entender duas medidas
relacionadas entre si: erro absoluto e erro
relativo.
Seja 𝑋, o valor exato, mas não conhecido,
de um número e 𝑉𝐴(𝑋) o seu valor aproximado,
conhecido por sua representação de ponto
flutuante (Gaelzer, 2011). Podemos definir:
𝐸𝐴(𝑋) = |𝑋 − 𝑉𝐴(𝑋)|,
sendo 𝐸𝐴(𝑋) o erro absoluto (estimável).
Conhecendo 𝑉𝐴(𝑋) e 𝐸𝐴(𝑋) podemos afirmar
que:
𝑋 = 𝑉𝐴(𝑋) ± 𝐸𝐴(𝑋)
Assim o erro relativo 𝐸𝑅(𝑋) fica definido
como:
3. 3
𝐸𝑅(𝑋) = |
𝑋 − 𝑉𝐴(𝑋)
𝑉𝐴(𝑋)
|
Arredondamento e truncamento
Pode-se conceituar arredondamento de uma
forma simples e direta. Diz-se que
arredondamento é o processo mediante o qual se
eliminam algarismos de menor significância a
um número.
Pode-se ainda explicar que o
arredondamento de casas decimais é a alteração
matemática de um número por outro que seja
aproximadamente equivalente em que se busca
um número adequado de algarismos
significativos.
Em (Crespo, 2009) o autor nos diz que
muitas vezes é apropriado eliminar unidades
inferiores as de determinadas ordem e ainda cita
a resolução número 886/66 da fundação IBGE
como referência de um método para
arredondamento de um número. Assim temos:
1. Quando número < 5 – conserva-se
o algarismo a ser arredondado
2. Quando número > 5 – aumentou
uma unidade no algarismo a ser
arredondado
3. Igual a 5:
Seguido de outros algarismos onde
pelo menos 1 é diferente de zero,
aumentamos uma unidade no algarismo
a ser arredondado;
Seguido de zeros conservamos o
algarismo a ser arredondado se ele for
par ou aumentamos se ele for ímpar.
Da mesma forma simples que definimos o
arredondamento de um número, o truncamento
em seu conceito seria a ação de omitir um
determinado valor em suas casas decimais. Dá-
se principalmente quando se quer ignorar
valores de um determinado cálculo.
Um método bastante interessante de
arredondamento foi apresentado em (Vilela,
2011) e iremos aqui utiliza-lo como método
dentro de nossa proposta.
Dado X seja X−
sua representação em
#f(β, t, m, M). Se 𝑋 ≠ 0, então escolhemos 𝑠 e
𝑒 tais que:
|𝑋| = 𝑠 ∗ 𝛽 𝑒
;
𝛽−1
(1 − 1
2⁄ 𝛽−𝑡
) ≤ 𝑠 ≤ (1 − 1
2⁄ 𝛽−𝑡
)
Onde analisamos quais os valores
permitidos para 𝑠.
Se 𝑒 ∈ [−𝑚, 𝑀] então calcula-se
|𝑋| = 𝑠 + 1
2⁄ 𝛽−𝑡
;
E truncamos em 𝑡 dígitos.
Erro de máquina
Vamos então definir alguns erros
envolvidos na representação de ponto flutuante
e suas operações algébricas.
Como já definido, ao tentarmos representar
números em um computador, estes provocam
erros, não só em sua representação, mas também
em seus métodos algébricos. Ainda em
(Gaelzer, 2011) é dado uma definição da regra
de arredondamento e truncamento diante da
representação de suas aproximações.
Dado 𝑋, representado em sua forma:
#𝑓(𝛽, 𝑡, 𝑚, 𝑀)
E um intervalo
𝑋− ≤ 𝑋 ≤ 𝑋−
Pode-se escrever 𝑋 como sendo:
𝑋 = (0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
+ 𝑔 𝑥 ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
;
Onde 0 ≤ 𝑔 𝑥 < 1 é a parcela de 𝑋que não
pode ser incluída na sua representação.
No truncamento a ideia é simplesmente
ignorar 𝑔 𝑥. Assim:
𝐸𝐴(𝑋) = |𝑋 − 𝑉𝐴(𝑋)|,
𝐸𝐴(𝑋) = 𝑔 𝑥 ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
,
e
𝐸𝑅(𝑋) = |
𝑋 − 𝑉𝐴(𝑋)
𝑉𝐴(𝑋)
|
𝐸𝑅(𝑋) = |
𝑔 𝑥 ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
,
(0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
| <
𝛽−𝑡
(0,1) 𝛽
𝐸𝑅(𝑋) = 𝛽−𝑡+1
No arredondamento, executam-se as
seguintes operações:
𝑉𝐴(𝑋)
= {
(0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
→ |𝑔 𝑥| < 1
2⁄
(0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡 + 1) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
→ |𝑔 𝑥| ≥ 1
2⁄
4. 4
𝐸𝐴(𝑋) =
{
|𝑔 𝑥| ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
→ |𝑔 𝑥| < 1
2⁄
|𝑔 𝑥 − 1| ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
→ |𝑔 𝑥| ≥ 1
2⁄
(< 1
2⁄ ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
)
𝐸𝑅(𝑋)
=
{
1
2⁄ ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
(0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
, → |𝑔 𝑥| < 1
2⁄
1
2⁄ ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
(0, 𝑑1 𝑑2 𝑑3 … . 𝑑 𝑡 + 1) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
, → |𝑔 𝑥| ≥ 1
2⁄
(≤
1
2⁄ ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
(0,1) 𝛽 ∗ 𝛽 𝑒
= 1
2⁄ ∗ 𝛽−𝑡+1
Definir precisão acena ao quão próximo um
número representado no computador refere-se
ao número que realmente encontra-se nos
números reais. Relaciona-se a este a quantidade
de dígitos empregados em sua álgebra. Exemplo
disso é o número em 8 bytes diferentemente
representado em 4 bytes. Em geral, adota-se o
uso do erro relativo 𝐸𝑅(𝑋) para estimar a
precisão de uma aproximação, levando em
consideração a ordem de grandeza do valor de
𝑋.
Podemos ainda buscar uma verificação de
quão próximo estamos do valor correto que se
deseja representar. Este conceito de
proximidade ou acurácia (Gaelzer, 2011) está
ligados aos erros de truncamento e
arredondamento empregados no método
utilizado.
A necessidade de se verificar a acurácia de
um número se dá devido a um número não ter
representação finita em um sistema de análise
do ponto flutuante, ou não termos o número de
bits suficiente para sua concepção.
Há outra verificação importante que aqui
iremos somente citar, pois não é o objetivo
central do trabalho. A propagação de erros é um
fator a se considerar, pois é através deste estudo
que se determina a sensibilidade de um
determinado problema. Entramos aqui com o
conceito de condicionamento do problema.
Pensando em uma pequena variação nos
dados de entrada de um problema levar a uma
grande diferença no resultado final, temos então
o conceito de mal condicionamento, levando
assim a uma grande propagação de erros.
O contrário também é verdade quando
pensamos que uma pequena variação nos dados
de entrada leva a uma pequena diferença no
resultado, sendo assim essa operação numérica
bem condicionada.
Desenvolvimento do trabalho
O trabalho foi desenvolvido utilizando um
polinômio teste retirado de (Júnior, 2001). O
artigo referência propõe determinar estratégias
ótimas de irrigação para cultura de melancia,
considerando a água o fator limitante da
produção.
A função da produção utilizada tem a
seguinte configuração do segundo grau:
𝑦(𝑥) = 𝑐 + 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥2
𝑦(𝑥) = 3,137 + 228,614𝑥 − 0,32089𝑥2
Onde 𝑦(𝑥) é a produção de frutos (Kg/ha) e
𝑥é a lamina de irrigação (mm).
Para determinados valores do preço do
produto, foram apresentados 3 valores de lâmina
entre máxima, ótima e equivalentes. Decidiu-se
por analisar duas condições de preço:
P/ 0,05 (US$/Kg) – x=[356,2;260,2;190,2]
P/ 0,35 (US$/Kg) – x=[356,2;36,0;3,6]
Para que fosse feito o estudo proposto,
optou-se pelo arredondamento da função
produção. A representação do ponto flutuante
#𝑓(10, 3, −1,4) foi escolhido aleatório para que
fossem permitidos os cálculos propostos.
1. Verificar valores permitidos para
s;
2. Verificar se o valor de 𝑒 ∈
[−𝑚, 𝑀];
Em ambos os itens foi utilizado às equações
propostas no estudo de arredondamento e
truncamento. Iremos aqui arredondar o índice 𝑎
como modelo e sua forma foi replicado aos
demais índices.
𝑎 = 0,32089 → 0,32089𝑥100
𝑒 = 0; 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1,4]
|𝑎| = 0,32089 + 1
2⁄ ∗ 10−3
= 0,32139
|𝑎| = 0,321𝑥100
3. Avaliar o erro da máquina
E ainda propõe definir:
4. Estimar novos valores para os
coeficientes da função teste após o
arredondamento e truncamento;
5. 5
5. Definir resultados para EA(x) e
ER(x)
Resultados
Inicialmente verificou os valores permitidos
para 𝑠, obteve:
0,09995 ≤ 𝑠 ≤ 0,9995
Para os valores a, b e c da função teste, foi
testado se e ∈ [−m, M] e verificado que todos
estavam dentro do intervalo proposto. Os
cálculos foram efetuados e assim obteve uma
nova função teste, sendo:
𝑧(𝑥) = 3,14 + 229𝑥 − 0,321𝑥2
𝑧(𝑥) = 0,314 ∗ 101
+ 0,229 ∗ 103
𝑥 − 0,321
∗ 100
𝑥2
No polinômio acima, com valores de
coeficientes normalizados, verificou que os
valores de s estavam dentro do esperado e os
valores de 𝑒 estavam dentro do intervalo do
ponto flutuante proposto [-1,4]
Para que facilitasse a obtenção dos
resultados elaborou uma rotina em MATLAB
R10, em anexo, e executou o programa. Os
dados de entrada foram apresentados acima.
Buscou-se então verificar os valores de
produção, onde dentro dos resultados
encontrados, efetuou-se o truncamento em t=3.
Valores p/Y Valores p/Z EA ER
40721.421
7769.109
1876.990
40844.960
37862.135
31946.431
123.539
3.0256
69.440
0.302
0.245
0.217
Tab.1 – Resultados para 0,05 (US$/kg) e
x=[356,2;260,2;190,2]
Valores p/Y Valores p/Z EA ER
40721.421
7817.367
821.988
40844.960
7831.124
823.379
123.539
13.7561
1.391
0.302
0.175
0.168
Tab.2 – Resultados para 0,35 (US$/kg) e x=[356,2;36,0;3,6]
Nas tabelas 1 e 2, os valores para Y são os
valores exatos da expressão, e os valores de Z
são valores encontrados após os coeficientes
normalizados.
Em um segundo momento, buscou-se
avaliar o erro de máquina. Neste caso definiu-se
considerar somente o coeficiente 𝑎 da função.
Não analisamos os outros coeficientes, pois os
mesmos encontravam dentro da proposição de
t=3.
𝑎 = 0,320 ∗ 100
+ 0,89 ∗ 100−3
;
𝑔 𝑥 = 0,89 ∗ 10−3
Por truncamento, ignora-se 𝑔 𝑥 e obtém:
𝐸𝐴(𝑥) = |𝑔 𝑥| ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
= 0,89 ∗ 10−3
𝐸𝑅(𝑥) = 𝛽−𝑡+1
= 0,01
No estudo de arredondamento do erro de
máquina, observou inicialmente que 𝑔 𝑥 < 1
2⁄ ,
assim:
𝐸𝐴(𝑥) = |𝑔 𝑥| ∗ 𝛽 𝑒−𝑡
= 0,89 ∗ 10−3
𝐸𝑅(𝑥) = 1
2⁄ ∗ 𝛽−𝑡+1
= 0,005
Conclusões
O grande objetivo deste trabalho era
verificar a existência de erros dentro do conceito
de ponto flutuante e avaliar seu
equacionamento. Estas foram avaliadas na base
𝛽 = 10 e verificado sua validade.
Dentro dos resultados obtidos esta seria
nossa menor preocupação, uma vez que foi
verificada a manipulação das equações.
Este sim foi o verdadeiro ganho deste
trabalho, onde podemos comprovar que uma vez
que os números da função foram readequados
dentro dos conceitos de arredondamento e
truncamento, erros puderam ser observados.
Bibliografia
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Fonte:
http://www.pucrs.br/famat/augusto/logica_mate
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Ruggiero, M. A. (1996). Cálculo Numérico
- Aspectos Teóricos e Computacionais. São
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Vilela, P. Apostila de Métodos Numéricos
Para Engenharia I. Piracicaba: Engenharia de
Controle e Automação - Anhaguera.
Wikipédia. (s.d.). Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Modelagem_matem
%C3%A1tica
Anexo
clc, clear all
% rotina para verificação dos valores de erro
relativo
% e erro absoluto a partir de uma função teste
% y(i) - função teste
% z(i) - função modificada a partir do
arredondamento de y(i)
% EA(i) - Erro Absoluto
% ER(i) - Erro Relativo
% x - Dados de entrada relacionado a lâmina de
irrigação
format long g;
x=[356.2 36.0 3.6];
%x=[356.2 260.3 190.2];
for i=1:length(x)
y(i)=3.137+(228.614*x(i))-(0.32089*x(i)^2);
z(i)=3.14+(229*x(i))-(0.321*x(i)^2);
EA(i)=z(i)-y(i);
ER(i)=(EA(i)/z(i))*100;
end
resultado=[y;z;EA;ER]';