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TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO
Prof.: Dayane Carolina

Demonstração direta: assume-se que a antecedente é
verdadeira e conclui-se que a consequente também é. Em outras
palavras, a conclusão é uma consequência imediata da
condição.
Ex.: se um número é par então seu quadrado também é par.
TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO

Demonstração por contraposição: consiste em provar que p →q
(p condicional a q) é verdadeira demonstrando que sua
contrapositiva ~ q → ~ p.
Ex.: “Nenhum professor é rico”.
“Alguns professores não são ricos”.

Demonstração por indução: consiste em demonstrar que se uma
dada afirmação vale para um elemento do conjunto então ela vale
para o sucessor desse elemento.
Ex.: 2+2=4, próximo: 4+2=6.....
Demonstração por absurdo: para provar que p →q é verdadeira,
vamos supor que essa proposição seja falsa, ou seja que sua
negação seja verdadeira. Dessa forma chegaremos numa conclusão
contraditória, ou seja, absurda.
Ex.: Eu sou mulher
Eu não sou mulher --- absurdo, logo: Eu sou mulher é verdade.

Temos ainda:
Axioma: é uma proposição assumida como verdadeira. É o ponto de
partida do raciocínio.
Definições: é a descrição do significado de um termo.
Teorema: é toda proposição que será sempre verdadeira e cuja
validade pode ser verificada tomando-se como base definições,
axiomas e outras proposições já verificadas. O processo de
validação de uma proposição é chamado de demonstração. Após
demonstrada, a proposição passa a ser denominada Teorema.
Ex.: Famoso Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

Conjectura: é uma proposição que se supõe verdadeira e que, se for
comprovada por meio de demonstração, pode ser considerada como
teorema.
Demonstração ou prova: é o método que vai verificar se uma
conjectura é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, ela pode ser
considerada como teorema.
FINALIZANDO

FUNÇÕES
Prof.: Msc. Vanessa da Luz

Dada uma função 𝒇 que relaciona os
elementos do conjunto 𝑨 com os
elementos do conjunto 𝑩.
Temos:
• O conjunto 𝑨 é o domínio da função.
• O conjunto 𝑩 é o contradomínio da
função.
• Os elementos do contradomínio que
estão relacionados, por setas, com os
elementos de A, formam o conjunto
imagem da função.
GENERALIDADE DE FUNÇÕES
A função 𝒇 de 𝑨 em 𝑩 pode
ser indicada por 𝒇: 𝑨 → 𝑩

Uma forma bastante comum de representar uma função é utilizando
regras, leis ou fórmulas matemática.
Relação entre litros de gasolina em um abastecimento e o preço a
pagar.
Nesta situação, dizemos que: Preço a pagar = R$ 4,80 x nº de litros
FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓMULA

Podemos representar a relação preço a pagar (y) com quantidade de
litros (x) pela fórmula matemática a seguir:
y = 4,8x ou f(x) = 4,8x

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEIS
REAIS
1° Caso: A variável independente no denominador.
2° Caso: A variável independente dentro da raiz quadrada no numerador.
3° Caso: A variável independente dentro da raiz quadrada no denominador.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
Para que o gráfico seja construído podemos seguir alguns procedimentos que nos auxiliam
nesta tarefa, a saber:
• I. Montar uma tabela com duas colunas onde na 1ª coluna serão colocados valores de “x”
(a sua escolha) pertencentes ao domínio da função e na 2ª coluna preencher com as
imagens de cada valor escolhido na 1ª coluna.
• II. Uma vez formado o par ordenado (x, f(x)) devemos associá-lo a um ponto do plano
cartesiano.
• III. Neste último passo, devemos marcar no plano cartesiano uma quantidade suficiente
de pontos até que seja possível esboçar o gráfico da função em questão.

OBTENÇÃO DO DOMÍNIO E DA IMAGEM
POR MEIO DO GRÁFICO
Para que seja possível essa análise, basta projetar o gráfico
nos eixos coordenados. Veja:

FUNÇÕES SOBREJETIVAS, INJETIVAS E
BIJETIVAS
• Função sobrejetora: Quando uma função apresenta o conjunto imagem
é igual ao contradomínio.

• Função injetora: Quando para quaisquer dois valores diferentes do
domínio, obtemos dois valores distintos na imagem.

• Função bijetora: Quando uma função é, ao mesmo tempo,
sobrejetora e injetora.

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE
FUNÇÕES
O estudo do comportamento crescente ou decrescente de uma função
nada mais é do que verificar o que acontece com os valores da
imagem quando variamos os valores do domínio.
• Função crescente: quando aumentamos os valores da variável
independente e por consequência, os valores da variável dependente
também aumentam.

• Função decrescente: quando aumentamos os valores da variável independente e
por consequência, os valores da variável dependente também diminuem.

• Função constante: quando aumentamos os valores da variável
independente e por consequência, os valores da variável dependente
permanecem constantes.

FUNÇÃO COMPOSTA
De forma geral, ao tomarmos as funções genéricas 𝒇: 𝑨 → 𝑩 definida por 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 e 𝒈: 𝑩 →
𝑪 definida por 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙, podemos notar que o contradomínio da função f(x) é o domínio da
função g(x).
Dessa forma, surge uma outra função h(x) que relaciona o domínio da função f(x) com o
contradomínio de g(x), veja:

FIXANDO O CONTEÚDO
3- Observe a função abaixo e marque a alternativa correta:
4- Observe a função abaixo e marque a alternativa correta:

6- Dados f(x) = x² – 2x+1 e g(x) = 2x + 1, podemos afirmar que
f(g(1)) é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
8- A função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝒙 − 𝟑 é dada por:

REFERÊNCIAS
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999.
v.1.
JUNIOR, C. H. E.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de
Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3.ed. São Paulo: Habra, 1994. v.1.
STEWART, J. Cálculo. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v.1.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; GIODARNO, HASS, J. et al. Cálculo. 2.ed. São Paulo:
Addison Wesley, 2009. v.1. Disponível em: <https://plataforma.bvirtual.
com.br/Leitor/Publicacao/258/pdf>. Acesso em: 31 jan. 2020

LIMITES

• Intuição
NOÇÕES INTUITIVAS DE LIMITE

Se continuarmos esse procedimento indefinidamente e de forma
sucessiva, iremos preencher, em quase sua totalidade, o quadrado inicial
e, dessa forma, iremos perceber que a área que calculamos de forma
contínua irá se aproximar cada vez mais de 1 (um).
Observe:
0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; 0,96875; 0,984375; ...
Dessa forma, dizemos que o limite dessa soma será 1 (um) ou que a área
desse quadrado tente a 1 (um).

Considere a função polinomial do 1º grau (f: ℝ → ℝ) definida por f(x) = x + 3.

Após a análise dos limites laterais acima podemos concluir que o limite da
função f(x) quando x tente a 4 é 7 e representamos por:

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE
Dada uma determinada função f(x), se aproximarmos os valores de x
indefinidamente de um número “a”, seja pelo lado esquerdo ou pelo lado
direito de x (o que denominamos de limites laterais), e o valores de f(x) se
aproximar de uma determinado valor “L”, podemos afirmar que o limite de
f(x) quando x tente a “a” é igual a “L” e representamos por:

Exemplo:
Considere uma função f: ℝ → ℝ definida por:
Analisando o gráfico da função podemos
observar que à medida que x se aproxima de
2 pela esquerda, a função se aproxima do
valor 0 (zero).

Analogamente, à medida que x se aproxima de 2 pela direita, a função
também se aproxima do valor 0 (zero).
Então, podemos dizer que
Observação:

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Para termos um compreendimento efetivo acerca de continuidade de
uma função, devemos recorrer à análise do seu gráfico. Se no gráfico
for encontrado alguma interrupção ou salto em um determinado ponto,
dizemos que houve uma descontinuidade neste ponto.
Uma função f(x) é considerada contínua em um dado ponto “a” se as
condições abaixo forem satisfeitas:

Exemplo:
Seja a função:
Observe, por meio do gráfico, que f(2) = 2 e
desta forma a primeira condição foi contemplada. Mas,

FIXANDO O CONTEÚDO
1- Analise o comportamento do gráfico de uma determinada
função f(x) matemática e marque a alternativa correta.

5- Analise as afirmativas acerca da função

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
DOS LIMITES

Vamos considerar duas f(x) e g(x) tais que:
PROPRIEDADES
1- LIMITE DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
O limite de uma função constante é a própria constante:

2- LIMITE DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES
O limite da soma de duas funções é a soma dos seus limites:

3 - LIMITE DA DIFERENÇA DE DUAS FUNÇÕES
O limite da diferença de duas funções é a diferença dos seus limites:
4 – LIMITE DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES
O limite do produto de duas funções é o produto dos seus limites:

5 – LIMITE DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos seus limites:

6 – LIMITE DA POTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
O limite da potência de uma função é a potência do seu limite:
7 – LIMITE DA RAIZ DE UMA FUNÇÃO

8 – LIMITE DO LOGARITMO DE UMA FUNÇÃO
O limite do logaritmo de uma função é o logaritmo do seu limite:

9 - LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL
O limite de uma função polinomial no ponto a, é igual a função no
ponto a.

10 – LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO.
Nesta seção iremos explorar o conceito de limites infinitos de funções
quando x tende para infinito positivo ou negativo (±∞) ou quando x tende a 0
(zero).
a) Limite de 𝒇 𝒙 quando 𝒙 → ±∞
Vamos tentar entender este caso por meio da função
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝑿
cujo gráfico está representado ao lado.

Analisando o gráfico, podemos observar que, quando 𝒙 tende 𝒂 + ∞, o valor
de 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos:
Por outro lado, analisando o gráfico, podemos observar que, quando 𝒙 tende
𝒂 − ∞, o valor de 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma
temos:

b) Limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 → 𝟎.
Vamos tentar entender este caso por meio da função 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
cujo gráfico está representado abaixo.

Analisando o gráfico, podemos observar que, quando 𝒙 tende a 𝟎+ (tende a 0
pela direita), o valor de 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez mais de +∞. Dessa forma
temos:
Quando x tende a 𝟎− (tende a 0 pela esquerda), o valor de 𝒇(𝒙) se aproxima
cada vez mais de −∞ .Dessa forma temos:

11 – LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS QUANDO
𝒙 → ±∞.
Seja dada uma função polinomial definida por
Assim teremos que:

INDETERMINAÇÕES
• ∞ − ∞
• 𝟎 × ∞
•
𝟎
𝟎
•
∞
∞
• 𝟎𝟎
• ∞𝟎
• 𝟏∞

FIXANDO O CONTEÚDO
1- Analise o limite abaixo:
O resultado desse limite é
5- Analise o limite ao lado
Então o resultado é

7- Analise o limite abaixo:
O resultado desse limite é

REFERÊNCIAS
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999. v.1.
JUNIOR, C. H. E.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo Alves
de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; GIODARNO, HASS, J. et al. Cálculo. 2.ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2009. v.1. Disponível em: <https://plataforma.bvirtual.

DERIVADAS

1 – INTRODUÇÃO
Por volta dos séculos XVII e XVIII apareceu, por meio de problemas de Física
acerca dos estudos dos movimentos, o conceito do que conhecemos hoje
por derivada de uma função. Dentre os estudiosos que mais se destacaram
neste assunto foram Newton (1642 – 1727), Leibniz (1646 – 1716) e Lagrange
(1736 – 1813).

2 – TAXA DE VARIAÇÃO
Tomemos uma função 𝑓(𝑥) e 𝒙𝟎 e 𝒙𝟏 dois valores pertencentes ao seu
domínio.

A taxa de variaçâo média mede a velocidade ou o ritmo em que os valores da
imagem variam em relação aos valores do domínio.
Exemplo:
Vamos considerar o espaço percorrido (S em metros) de uma partícula em um
determinado tempo (t em segundos).

3 – VISÃO GRÁFICA DA DERIVADA

Uma reta, ao tangenciar a curva de uma função em um determinado ponto
𝒙𝟎 possui uma dada inclinação cujo valor é o valor da derivada da função no
ponto 𝒙𝟎 e representamos essa derivada por 𝒇′
(𝒙𝟎).
Tal derivada 𝒇′(𝒙𝟎) pode ser obtida por

Esse limite foi aplicado para podermos transformar uma reta secante à
curva da função em uma reta tangente à mesma.
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎

Para encontrarmos a derivada em um ponto 𝒙𝟎 basta calcular
Exemplos:
1) Determinar a derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 no ponto de abscissa 𝒙𝟎 = 𝟐.

2) Determinar a derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 no ponto de abscissa
𝒙𝟎 = 𝟔.

FIXANDO O CONTEÚDO
1- Ao calcularmos a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝟓𝒙𝟐 (pela definição) para 𝒙 = 𝟏,
encontramos como resultado:.
6- O resultado de

REFERÊNCIAS
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999. v.1.
JUNIOR, C. H. E.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo
Alves de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; GIODARNO, HASS, J. et al. Cálculo. 2.ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2009. v.1. Disponível em: <https://plataforma.bvirtual.

TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Nesta seção iremos aprender como calcular as derivadas por
meio de técnicas que tornam esses cálculos mais simples.

Dada uma constante 𝒌 (número real) de tal forma que uma função é definida
por 𝒇(𝒙) = 𝒌 diremos que 𝒇´(𝒙) = 𝟎.
2 – DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA
Dada uma função definida por 𝑓(𝑥) = 𝒙𝒏 diremos que 𝑓´ 𝑥 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏.
1 – DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE

• 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟗
• 𝒇 𝒙 = 𝒙
𝟑
𝟒
Exemplos:

3 – DERIVADA DO PRODUTO ENTRE UMA CONSTANTE E FUNÇÃO
Dada uma constante 𝒌 (número real) de tal forma que uma função é definida
por 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒈(𝒙) diremos que 𝒇´(𝒙) = 𝒌. 𝒈´(𝒙).
Exemplos:
• 𝟔𝒙𝟐
•
𝟒
𝟑
𝒙𝟗

4 – DERIVADA DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DUAS FUNÇÕES
Dadas duas funções 𝑔(𝑥) e 𝑓(𝑥) de tal forma que uma função é definida por
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ± 𝒉(𝒙) diremos que 𝒇´(𝒙) = 𝒈´(𝒙) ± 𝒉´(𝒙).
Exemplo:
• 𝟒𝒙𝟑
+ 𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟓

5 – DERIVADA DO PRODUTO ENTRE DUAS FUNÇÕES
Dadas duas funções 𝒈(𝒙) 𝒆 𝒇(𝒙) de tal forma que uma função é definida por
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙). 𝒉(𝒙) diremos que 𝒇´(𝒙) = 𝒈´(𝒙)𝒉(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒉´(𝒙).
Exemplo:
• 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟑
− 𝟑𝒙)(𝟓 + 𝟐𝒙)

6 – DERIVADA DO QUOCIENTE ENTRE DUAS FUNÇÕES
Dadas duas funções 𝒈(𝒙) 𝒆 𝒇(𝒙) de tal forma que uma função é definida por
𝒇 𝒙 =
𝒈(𝒙)
𝒉 𝒙
diremos que 𝒇′ 𝒙 =
𝒈′ 𝒙 .𝒉 𝒙 −𝒈 𝒙 .𝒉′(𝒙)
𝒉(𝒙) 𝟐 .
𝑺𝒆 𝒇 𝒙 =
𝒈(𝒙)
𝒉(𝒙)
𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′ 𝒙 =
𝒈′ 𝒙 . 𝒉 𝒙 − 𝒈 𝒙 . 𝒉′(𝒙)
𝒉(𝒙) 𝟐
Exemplo:
• 𝒇 𝒙 =
(𝒙𝟐+𝟏)
𝒙−𝟑

7 – DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dadas a 𝒇(𝒙) por 𝑓 𝑥 = 𝒂𝒙 com 𝒂 ≠ 𝟏 e 𝒙 ∈ ℝ então diremos sua derivada
será que 𝒇´ 𝒙 = 𝒂𝒙
𝒍𝒏𝒂 .
Exemplo:
• 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙
Observação: Se 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′
𝒙 = 𝒆𝒙

8 – DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Dadas a 𝒇(𝒙) por 𝒇 𝒙 = log𝒂 𝒙 com 𝒂 > 𝟎 e 𝒙 ∈ ℝ+
∗
então diremos sua
derivada será que 𝒇´ 𝒙 =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
.
Exemplo:
• 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
Observação: 𝑆𝑒 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝒙

9 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS DERIVADAS
As funções trigonométricas são funções denominadas angulares
de muita importância no estudo dos triângulos e de fenômenos
que apresentam periodicidade.
Principais razões trigonométricas:
Seja o triângulo retângulo ABC. Temos:
• a = hipotenusa
• b = cateto adjacente ao ângulo 𝛼
• c = cateto oposto ao ângulo 𝛼

Definimos:
• Seno do ângulo 𝛼
• Cosseno do ângulo 𝛼
• Tangente do ângulo 𝛼
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝒃
𝒂

• Secante do ângulo 𝛼: É definido como o valor inverso do cosseno.
• Cossecante do ângulo 𝛼: É definido como o valor inverso do seno.
• Cotangente do ângulo 𝛼: É definido como o valor inverso da tangente.

Derivada das funções trigonométricas
Função Seno 𝑺𝒆 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′ 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Função Cosseno 𝑺𝒆 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′ 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏 𝒙

Função tangente:
Demonstração:
Função secante:
Demonstração:

Função cossecante:
Demonstração:
Função cotangente:
Demonstração:

10 – DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)
Se temos uma função f(x) derivável em um dado ponto x e uma outra função
g(x) derivável em f(x), então podemos dizer que a função composta g ∘ 𝑓 ou
g[f(x)] é derivável no ponto x dado.

• Exemplo:
Dadas as funções: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏 e 𝒈 𝒙 = 𝒚𝟐
Vamos calcular (𝒈 ∘ 𝒇)´(𝒙) e depois 𝒈´[𝒇(𝒙)]. 𝒇´(𝒙) e confirmar
que são iguais.

FIXANDO O CONTEÚDO
1- Ao calcularmos a derivada da função 𝑓(𝑥) =
cos(𝒙𝟐
) encontramos como resultado:
7- Ao calcularmos a derivada da função 𝑓(𝑥) =
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
encontramos como resultado:

ESTUDO DO COMPORTAMENTO
DAS FUNÇÕES

Nesta seção iremos detalhar os conceitos de crescimento e
decrescimento das funções, assim como seus pontos críticos
(máximo, mínimo e inflexão).

1 – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
1º TEOREMA:
Suponha que 𝒇(𝒙) seja uma função contínua no intervalo fechado [𝒂, 𝒃] e
derivável no intervalo aberto ]𝒂, 𝒃[. Então, existe um ponto “𝒄” do intervalo
[𝒂, 𝒃] tal que
Na figura podemos perceber que a reta r possui coeficiente angular igual a

Dentro do intervalo ]𝒂, 𝒃[ há um valor 𝒄, de forma que a reta 𝒔 tangencia o
gráfico de 𝒇(𝒙) nesse ponto de abscissa 𝒄.
Dessa forma, como as retas 𝒓 𝒆 𝒔 (que são paralelas), apresentarão os
mesmos coeficientes angulares e como o coeficiente angular da reta 𝒔 é
dado por 𝑓´(𝑐), temos que 𝑓´(𝑐)

Exemplo:
Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 definida no intervalo [𝟏, 𝟑]. Determine o ponto 𝒄
tal que 𝑓´ 𝑐 =
𝒇 𝟑 −𝒇(𝟏)
𝟑 −𝟏

2º TEOREMA:
Se para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tivermos 𝒇´(𝒙) > 𝟎, então 𝑓(𝑥) é crescente em todo
intervalo ]𝑎, 𝑏[
3º TEOREMA:
Se para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tivermos 𝒇´(𝒙) < 𝟎, então 𝑓(𝑥) é decrescente em todo
intervalo ]𝑎, 𝑏[

Exemplos:
1) Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 temos 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 − 8
 𝑨 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒇(𝒙) 𝒔𝒆𝒓á 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 < 𝟐
 𝑨 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒇(𝒙) 𝒔𝒆𝒓á 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 𝟐

2 – PONTOS CRÍTICOS
O ponto crítico de uma função em um dado ponto surge a partir do momento
que encontramos o valor da derivada igual a 0(zero) neste ponto, ou seja,
𝑓´(𝑥) = 𝟎.
A partir daí, podemos utilizar alguns critérios para classificar esse ponto crítico
em ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de inflexão.
1) Critério da 1ª derivada da função
Consideremos uma função 𝑓(𝑥), definida e derivável em [𝑎, 𝑏], e "𝑐“ pertencente
a este intervalo tal que 𝑓´(𝑐) = 0.

Nas demais situações, ou seja, quando para valores próximos de c, o sinal da
derivada não altera, teremos outro tipo de ponto crítico que denominaremos
de ponto de inflexão.

PASSO A PASSO PARA OBTER PONTOS CRÍTICOS
1º passo:
Dada a função 𝑓(𝑥), calcula-se sua derivada, ou seja, 𝑓´(𝑥).
2º passo:
Resolva a equação 𝑓´(𝑥) = 0 e obtenha sua solução c.
3º passo:
Uma vez calculada a solução de 𝑓´(𝑥) = 0, estudo o sinal de 𝑓´(𝑥) em c.

Se o final de 𝑓´(𝑥)
• Passar de positiva para negativa, temos ponto de máximo.
• Passar de negativa para positiva, temos ponto de mínimo.
• Nos demais casos, temos um ponto de inflexão.

2) Critério da 2ª derivada da função
Consideremos uma função 𝑓(𝑥), definida e derivável em [𝑎, 𝑏], e cuja derivada
𝑓´(𝑥) também é derivável em [𝑎, 𝑏], e ambas contínuas neste intervalo.

Exemplos:
Dada a função 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖, estude o seu comportamento
apontando e classificando seus pontos críticos.
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒄𝒓𝒊𝒕é𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝟏ª 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂:
𝑓´(𝑥) = 𝟐𝑥 − 𝟔
𝑓´ 𝑥 = 𝟎 ⇒ 𝟐𝑥 − 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 𝟑
𝒚 = 𝒇(𝟑) = (𝟑)
− 𝟔 . 𝟑 + 𝟖 ⟹ 𝒚 = −𝟏
𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒐 𝒅𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒇´(𝒙):

𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒄𝒓𝒊𝒕é𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝟐ª 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂:
𝑓´(𝑥) = 𝟐𝑥 − 𝟔
𝑓´(𝑥) = 𝟎 ⇒ 𝟐𝑥 − 𝟔 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 𝟑
𝑓´´(𝑥) = 𝟐 > 𝟎
𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒 𝑦 = 𝑓 𝟑 = 𝟑𝟐 − 𝟔. 𝟑 + 𝟖 = −𝟏
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝟑, −𝟏).

3 – CONCAVIDADE DA CURVA
Vimos que a primeira derivada mede a taxa de variação de uma função.
Analogamente, podemos dizer que a segunda derivada mede a taxa de
variação da primeira derivada.
Dessa forma, se 𝑓´(𝑥) é crescente então 𝑓´´(𝑥) é positiva e se 𝑓´(𝑥) é
decrescente então 𝑓´´(𝑥) é negativa.

𝑆𝑒 𝑓´´(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑚 ]𝑎, 𝑏[, 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥), 𝑒𝑚 ]𝑎, 𝑏[, é 𝒄ô𝒏𝒄𝒂𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝒄𝒊𝒎𝒂.
𝑆𝑒 𝑓´´(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑚 ]𝑎, 𝑏[, 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥), 𝑒𝑚 ]𝑎, 𝑏[, é 𝒄ô𝒏𝒄𝒂𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐.

FIXANDO O CONTEÚDO
3- Na função 𝑓(𝑥) = −
𝒙𝟑
𝟑
+ 𝒙𝟐 − 𝒙 o ponto (𝟏, −
𝟏
𝟑
)

4- A função 𝑓 𝒙 = −𝟐𝒙𝟑
− 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔 é decrescente no
intervalo:

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