O documento aborda a análise de algoritmos, focando nas classes de complexidade P e NP e nos problemas de decisão e otimização. Explora como problemas, como o caixeiro viajante e a satisfatibilidade, se enquadram nessas classes, além de discutir a questão fundamental se P é igual a NP. Inclui definições de redução entre problemas e características de problemas NP-completos.

1. Análise de Algoritmos
As classes P e NP
An´alise de Algoritmos – p. 1/21

2. Problemas de decisão e otimização
Problema de decis˜ao: Existe uma solução que
satisfaz uma certa propriedade?
Resposta: “sim” ou “não”.
An´alise de Algoritmos – p. 2/21

3. Problemas de decisão e otimização
Problema de decis˜ao: Existe uma solução que
satisfaz uma certa propriedade?
Resposta: “sim” ou “não”.
Problema de otimizac¸ ˜ao: Dentre as soluções que
satisfazem uma certa propriedade, qual é a melhor
em relação à uma dada função.
An´alise de Algoritmos – p. 2/21

4. Problemas de decisão e otimização
Exemplo: Problema do caixeiro viajante.
Otimização: determine um circuito hamiltoniano
de custo mínimo?
An´alise de Algoritmos – p. 3/21

5. Problemas de decisão e otimização
Exemplo: Problema do caixeiro viajante.
Otimização: determine um circuito hamiltoniano
de custo mínimo?
Decisão: dado um valor L, existe um circuito
hamiltoniano de custo ≤ L?
An´alise de Algoritmos – p. 3/21

6. Problemas de decisão e otimização
Exemplo: Problema do caixeiro viajante.
Otimização: determine um circuito hamiltoniano
de custo mínimo?
Decisão: dado um valor L, existe um circuito
hamiltoniano de custo ≤ L?
Outros exemplos: mochila, clique, etc.
An´alise de Algoritmos – p. 3/21

7. As classes P e NP
O estudo da teoria da complexidade de algoritmos
concentra-se nos problemas de decisão.
An´alise de Algoritmos – p. 4/21

8. As classes P e NP
O estudo da teoria da complexidade de algoritmos
concentra-se nos problemas de decisão.
Definic¸ ˜ao: A classe P representa o conjunto dos
problemas de decisão que podem ser resolvidos
por um algoritmo polinomial.
An´alise de Algoritmos – p. 4/21

9. As classes P e NP
Definic¸ ˜ao: A classe NP representa o conjunto dos
problemas de decisão em que dado qualquer
instância do problema para a qual a resposta é
“sim”, existe um certificado validando este fato e
que pode ser verificado em tempo polinomial.
An´alise de Algoritmos – p. 5/21

10. As classes P e NP
Definic¸ ˜ao: A classe NP representa o conjunto dos
problemas de decisão em que dado qualquer
instância do problema para a qual a resposta é
“sim”, existe um certificado validando este fato e
que pode ser verificado em tempo polinomial.
A partir destas definições, temos que
P ⊆ NP
An´alise de Algoritmos – p. 5/21

11. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

12. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
tem aresta de corte?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

13. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
tem aresta de corte?
é hamiltoniano?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

14. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
tem aresta de corte?
é hamiltoniano?
é conexo?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

15. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
tem aresta de corte?
é hamiltoniano?
é conexo?
tem uma clique de tamanho ≥ k?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

16. As classes P e NP
Por exemplo:
Um dado grafo G
é bipartido?
tem aresta de corte?
é hamiltoniano?
é conexo?
tem uma clique de tamanho ≥ k?
existe caminho de custo ≤ k entre os
vértices u e v?
An´alise de Algoritmos – p. 6/21

17. As classes P e NP
Por exemplo:
Dois grafos G e H são isomorfos?
An´alise de Algoritmos – p. 7/21

18. As classes P e NP
Por exemplo:
Dois grafos G e H são isomorfos?
Uma fórmula boleana é satisfatível?
An´alise de Algoritmos – p. 7/21

19. As classes P e NP
Por exemplo:
Dois grafos G e H são isomorfos?
Uma fórmula boleana é satisfatível?
Questão fundamental da teoria da computação:
P = NP?
An´alise de Algoritmos – p. 7/21

20. As classes P e NP
Por exemplo:
Dois grafos G e H são isomorfos?
Uma fórmula boleana é satisfatível?
Questão fundamental da teoria da computação:
P = NP?
Em geral, acredita-se que a questão é falsa.
An´alise de Algoritmos – p. 7/21

21. As classes P e NP
Como mostrar que a questão é falsa?
An´alise de Algoritmos – p. 8/21

22. As classes P e NP
Como mostrar que a questão é falsa?
Encontrar um problema em NP e mostrar que
nenhum algoritmo polinomial pode resolvê-lo.
An´alise de Algoritmos – p. 8/21

23. As classes P e NP
Como mostrar que a questão é falsa?
Encontrar um problema em NP e mostrar que
nenhum algoritmo polinomial pode resolvê-lo.
Como mostrar que a questão é verdadeira?
An´alise de Algoritmos – p. 8/21

24. As classes P e NP
Como mostrar que a questão é falsa?
Encontrar um problema em NP e mostrar que
nenhum algoritmo polinomial pode resolvê-lo.
Como mostrar que a questão é verdadeira?
Mostra que para todo problema em NP existe
algoritmo polinomial que o resolve.
An´alise de Algoritmos – p. 8/21

25. Exercícios
Indique quais dos problemas abaixo estão em NP.
1. (MST) Dado um grafo G com custos inteiros nas
arestas, e um inteiro k, existe uma árvore geradora de
G com custo máximo k?
2. (3-EXACT COVER) Dada uma família
F = {S1, S2, . . . , Sn} de n subconjuntos de
S = {u1, u2, . . . , u3m}, com |Si| = 3, para todo 1 ≤ i ≤ n,
existe uma subfamília de m subconjuntos que cobre S?
3. (MOCHILA 0 − 1) Dado inteiros cj, 1 ≤ j ≤ n, e k, existe
um subconjunto S de {1, 2, . . . , n} tal que j∈S cj = k?
4. (PARTIÇÃO) Dado inteiros c1, c2, . . . , cn, existe um
subconjunto S ⊆ {1, 2, . . . , n} tal que
j∈S cj = j /∈S cj?
An´alise de Algoritmos – p. 9/21

26. Redução entre problemas
Uma forma comum de resolver um dado problema
A é transformá-lo em um outro problema B cuja
solução é conhecida e converter a solução de B
para uma solução de A. Este procedimento é
chamado de redução.
An´alise de Algoritmos – p. 10/21

27. Redução entre problemas
Definic¸ ˜ao de reduc¸ ˜ao: Dados dois problemas A e B.
Uma redução polinomial de A para B (notação
A B) é um algoritmo polinomial que resolve A
utilizando B, onde cada chamada de B é contado
como um passo de computação.
An´alise de Algoritmos – p. 11/21

28. Redução entre problemas
Definic¸ ˜ao de reduc¸ ˜ao: Dados dois problemas A e B.
Uma redução polinomial de A para B (notação
A B) é um algoritmo polinomial que resolve A
utilizando B, onde cada chamada de B é contado
como um passo de computação.
Exemplo: A seleção do k-ésimo mínimo pode ser
reduzido ao problema da ordenação.
An´alise de Algoritmos – p. 11/21

29. Exemplo de redução
Problema 1: Sejam A = a1a2 . . . an e B = b1b2 . . . bn
duas cadeias de caracteres. Determinar de B é um
deslocamento cíclico de A.
An´alise de Algoritmos – p. 12/21

30. Exemplo de redução
Problema 1: Sejam A = a1a2 . . . an e B = b1b2 . . . bn
duas cadeias de caracteres. Determinar de B é um
deslocamento cíclico de A.
OBS: B é deslocamento cíclico de A ⇔ B é
subcadeia de AA.
An´alise de Algoritmos – p. 12/21

31. Exemplo de redução
Problema 1: Sejam A = a1a2 . . . an e B = b1b2 . . . bn
duas cadeias de caracteres. Determinar de B é um
deslocamento cíclico de A.
OBS: B é deslocamento cíclico de A ⇔ B é
subcadeia de AA. Portanto, este problema pode
ser reduzido ao KMP.
An´alise de Algoritmos – p. 12/21

32. Exemplo de redução
Problema 1: Sejam A = a1a2 . . . an e B = b1b2 . . . bn
duas cadeias de caracteres. Determinar de B é um
deslocamento cíclico de A.
OBS: B é deslocamento cíclico de A ⇔ B é
subcadeia de AA. Portanto, este problema pode
ser reduzido ao KMP.
Problema 1 KMP
An´alise de Algoritmos – p. 12/21

33. Redução
Observações: Suponha que A B.
Se B ∈ P então A ∈ P.
An´alise de Algoritmos – p. 13/21

34. Redução
Observações: Suponha que A B.
Se B ∈ P então A ∈ P.
Se B C então A C.
An´alise de Algoritmos – p. 13/21

35. Redução
Observações: Suponha que A B.
Se B ∈ P então A ∈ P.
Se B C então A C.
A B significa que B é pelo menos tão difícil
quanto A.
An´alise de Algoritmos – p. 13/21

36. Problemas NP-completos
Definic¸ ˜ao: Um problema de decisão A é
NP-completo se
A ∈ NP e
B A, para todo B ∈ NP.
An´alise de Algoritmos – p. 14/21

37. Problemas NP-completos
Definic¸ ˜ao: Um problema de decisão A é
NP-completo se
A ∈ NP e
B A, para todo B ∈ NP.
Propriedade: Seja A um problema NP-completo e
B ∈ NP. Se A B então B é NP-completo.
An´alise de Algoritmos – p. 14/21

38. Problema da satisfatibilidade (SAT)
Dada uma expressão lógica (boleana) na forma
normal conjuntiva, existe uma atribuição de valores
(V ou F) para suas variáveis tal que o resultado da
expressão seja verdadeiro?
S = (x + y + z).(x + y + z).(x + y + z)
An´alise de Algoritmos – p. 15/21

39. Problema da satisfatibilidade (SAT)
S. A. Cook (1971) e L. A. Levin (1973) provaram,
independentemente, que SAT é um problema
NP-completo.
Teorema [Cook – Levin]: SAT é NP-completo.
An´alise de Algoritmos – p. 16/21

40. Problema 3-SAT
Dada uma expressão lógica na forma normal
conjuntiva onde cada cláusula contém 3 variáveis,
existe uma atribuição de valores (V ou F) para as
variáveis tal que o resultado da expressão seja
verdadeiro?
S = (x + y + z).(x + y + z).(x + y + z)
An´alise de Algoritmos – p. 17/21

41. Problema 3-SAT
Teorema: 3-SAT é NP-completo.
An´alise de Algoritmos – p. 18/21

42. Problema 3-SAT
Teorema: 3-SAT é NP-completo.
Prova:
3-SAT ∈ NP (
√
)
An´alise de Algoritmos – p. 18/21

43. Problema 3-SAT
Teorema: 3-SAT é NP-completo.
Prova:
3-SAT ∈ NP (
√
)
SAT 3-SAT
An´alise de Algoritmos – p. 18/21

44. Problema 3-SAT
Teorema: 3-SAT é NP-completo.
Prova:
3-SAT ∈ NP (
√
)
SAT 3-SAT
Considere uma instância S do SAT. Vamos
construir uma instância para 3-SAT da seguinte
forma:
An´alise de Algoritmos – p. 18/21

45. Problema 3-SAT
Seja C = (x1 + x2 + · · · + xk) uma cláusula do SAT.
An´alise de Algoritmos – p. 19/21

46. Problema 3-SAT
Seja C = (x1 + x2 + · · · + xk) uma cláusula do SAT.
se k = 1 (C = (x1)), fazemos
C = (x1 +y+z).(x1 +y+z).(x1 +y+z).(x1 +y+z)
An´alise de Algoritmos – p. 19/21

47. Problema 3-SAT
Seja C = (x1 + x2 + · · · + xk) uma cláusula do SAT.
se k = 1 (C = (x1)), fazemos
C = (x1 +y+z).(x1 +y+z).(x1 +y+z).(x1 +y+z)
se k = 2 (C = (x1 + x2)), fazemos
C = (x1 + x2 + z).(x1 + x2 + z)
An´alise de Algoritmos – p. 19/21

48. Problema 3-SAT
Seja C = (x1 + x2 + · · · + xk) uma cláusula do SAT.
se k ≥ 4, construímos
C = (x1 + x2 + y1).(x3 + y1 + y2).(x4 + y2 + y3)...
(xk−2 + yk−4 + yk−3).(yk−3 + xk−1 + xk)
An´alise de Algoritmos – p. 20/21

49. Problema 3-SAT
Seja C = (x1 + x2 + · · · + xk) uma cláusula do SAT.
se k ≥ 4, construímos
C = (x1 + x2 + y1).(x3 + y1 + y2).(x4 + y2 + y3)...
(xk−2 + yk−4 + yk−3).(yk−3 + xk−1 + xk)
Em cada caso, C é satisfatível ⇔ C é satisfatível.
An´alise de Algoritmos – p. 20/21

50. Exercícios
1. Problema MAX-SAT: Dada uma expressão
lógica na forma normal conjuntiva, e um inteiro
K, existe uma atribuição de valores para as
variáveis que satisfaz pelo menos K cláusulas?
Mostre que MAX-SAT é NP-completo.
2. O que voce acha do problema 2-SAT? (Ele é
NP-completo?)
An´alise de Algoritmos – p. 21/21