O documento descreve os conceitos fundamentais da resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo. A saída de um sistema é senoidal com a mesma frequência da entrada, mas com amplitude e fase modificadas, representadas por um número complexo. O módulo e a fase desse número fornecem a caracterização completa da resposta do sistema em cada frequência.
Apreçando Opções Utilizando a Função CaracterísticaWilson Freitas
Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface).
Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)
O documento apresenta diagramas de temporização para portas lógicas AND. São mostrados os valores de entrada A e B ao longo do tempo, resultando no sinal de saída S. Exemplos demonstram como o sinal S só é ativado quando ambos os sinais de entrada são 1. Exercícios pedem para desenhar diagramas semelhantes para outras portas lógicas e tabelas verdades.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
O documento fornece informações sobre um professor de matemática, incluindo sua formação acadêmica e links para suas redes sociais e blog. Em seguida, apresenta conceitos básicos de geometria analítica como retas, plano cartesiano, coordenadas, equações de retas e inclinação. Há exemplos ilustrativos para cada tópico.
1) O exercício calcula várias integrais de linha e de superfície usando o Teorema de Stokes.
2) É analisada a interseção de superfícies geométricas como esferas, cilindros e planos.
3) São calculadas circulações em curvas obtidas a partir dessa interseção e trabalhos realizados por campos de força.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Apreçando Opções Utilizando a Função CaracterísticaWilson Freitas
Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface).
Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)
O documento apresenta diagramas de temporização para portas lógicas AND. São mostrados os valores de entrada A e B ao longo do tempo, resultando no sinal de saída S. Exemplos demonstram como o sinal S só é ativado quando ambos os sinais de entrada são 1. Exercícios pedem para desenhar diagramas semelhantes para outras portas lógicas e tabelas verdades.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
O documento fornece informações sobre um professor de matemática, incluindo sua formação acadêmica e links para suas redes sociais e blog. Em seguida, apresenta conceitos básicos de geometria analítica como retas, plano cartesiano, coordenadas, equações de retas e inclinação. Há exemplos ilustrativos para cada tópico.
1) O exercício calcula várias integrais de linha e de superfície usando o Teorema de Stokes.
2) É analisada a interseção de superfícies geométricas como esferas, cilindros e planos.
3) São calculadas circulações em curvas obtidas a partir dessa interseção e trabalhos realizados por campos de força.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
O documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definições de números reais, intervalos e funções;
2) Propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais;
3) Conceitos de desigualdades estritas e não estritas;
4) Tipos de funções como polinomiais, trigonométricas e exponenciais.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1) O documento descreve vários métodos de suavização exponencial para previsão de séries temporais, incluindo Holt simples (1 parâmetro), Holt com tendência, e Holt-Winters com sazonalidade.
2) É apresentado um exemplo utilizando dados do índice de volume de vendas no varejo de Mato Grosso do Sul entre 2000-2017 para comparar os modelos SES, Holt simples e Holt-Winters multiplicativo.
3) O documento discute como escolher entre os métodos usando métricas de avaliação como RMSE, MAE
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
1) O documento apresenta informações sobre um curso de Econometria, incluindo horários, professor, referências bibliográficas e tópicos a serem abordados.
2) Os tópicos incluem introdução à séries temporais, previsão, decomposição de séries, modelos Box-Jenkins e cointegração.
3) O curso utilizará o software R para análises estatísticas de séries temporais.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
1. Este documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria plana e esférica, essenciais para a compreensão de navegação astronômica, navegação ortodrômica e alguns sistemas de navegação eletrônica.
2. As seções cobrem os conceitos básicos de trigonometria plana, incluindo sinais das funções trigonométricas nos diferentes quadrantes, identidades trigonométricas e resolução de triângulos retângulos e oblíquos.
Este documento fornece um resumo de um curso de pós-graduação em Econometria de Séries Temporais. O curso será ministrado pelo professor Adriano Figueiredo e abordará tópicos como modelos ARMA, identificação de modelos usando FAC e FACP, simulação de séries temporais e teste de Ljung-Box. O curso também utilizará softwares estatísticos como R para análises práticas.
1) A superfície é parametrizada por φ(u,v)=(vcosu,vsinu,1-v2), com 0≤u≤2π e v≥0, o que identifica a superfície como um paraboloide circular.
2) Encontra as equações da reta normal e do plano tangente em φ(0,1)=(1,0,0), sendo a reta dada por x=1-2λ e o plano por 2x+z-2=0.
3) Resolve exercícios de cálculo vetorial envolvendo parametriza
O documento descreve um curso de Econometria de Séries Temporais ministrado pelo professor Adriano Figueiredo. O curso abordará testes de raiz unitária como Dickey-Fuller, Augmented Dickey-Fuller e Phillips-Perron para analisar a estacionariedade de séries temporais. Além disso, o curso utilizará softwares estatísticos como R para aplicar esses testes e modelar séries temporais.
I. As proposições I, III e IV são corretas.
II. O documento fornece exercícios sobre funções trigonométricas com respostas de múltipla escolha.
III. As questões abordam conceitos como período, domínio, gráficos e equações envolvendo funções seno, cosseno e tangente.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções que inclui problemas sobre conversão de escalas de temperatura, determinação de valores, domínios e conjuntos imagem de funções, análise de gráficos de funções e suas propriedades.
1) O documento apresenta fórmulas e conceitos fundamentais de física como velocidade, aceleração, força, pressão, energia cinética e potencial. 2) Inclui também questões sobre movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado com gráficos de posição versus tempo. 3) Uma questão trata sobre o brinquedo Rotor e as forças envolvidas no movimento circular uniforme de pessoas dentro dele.
1. O documento apresenta os principais conceitos da Mecânica dos Sólidos II, incluindo análise de tensões e deformações em estados tri-axiais, bi-axiais, uni-axiais e planos. 2. É descrito o método analítico para análise de tensões em estados planos, incluindo cálculo de tensões principais, máximas e nos planos principais. 3. Também é apresentado o método gráfico do Círculo de Mohr para análise de estados planos de tensão.
O documento introduz o conceito de derivada através de problemas como a tangente e a velocidade. A derivada de uma função f em um ponto a é definida como o limite da taxa de variação de f quando h tende a zero. A derivada representa a inclinação da reta tangente e pode ser usada para calcular taxas de variação instantâneas.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento descreve superfícies quádricas e superfícies de revolução. Define superfícies quádricas como gráficos de equações do segundo grau e classifica-as em duas categorias. Superfícies de revolução são geradas pela rotação de curvas em torno de eixos, como hipérboles e elipses. Hiperboloides e elipsoides são exemplos de superfícies de revolução.
O documento apresenta um mini-curso sobre dinâmica atmosférica. Introduz o modelo de água rasa para descrever os movimentos de grande escala na atmosfera, considerando a aproximação hidrostática e a rotação da Terra. Deriva as equações do modelo a partir das equações de Navier-Stokes para um fluido homogêneo sobre um planeta em rotação. Discute a inclusão de termos convectivos e dissipativos nas equações.
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
1) O documento descreve o diagrama de Bode, um método desenvolvido por H. W. Bode para representar a resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo.
2) O diagrama de Bode usa escalas logarítmicas para frequência e decibéis para amplitude, permitindo analisar uma ampla faixa de frequências.
3) É representado em duas curvas, mostrando a magnitude em dB versus o logaritmo da frequência e a fase em graus versus o logaritmo da frequência.
O documento lista as regras de derivação de funções, divididas em quatro grupos. Apresenta a definição formal de derivada e notações usadas. Explica que a derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como taxa de variação, tendo implicações em todas as ciências.
O documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definições de números reais, intervalos e funções;
2) Propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais;
3) Conceitos de desigualdades estritas e não estritas;
4) Tipos de funções como polinomiais, trigonométricas e exponenciais.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1) O documento descreve vários métodos de suavização exponencial para previsão de séries temporais, incluindo Holt simples (1 parâmetro), Holt com tendência, e Holt-Winters com sazonalidade.
2) É apresentado um exemplo utilizando dados do índice de volume de vendas no varejo de Mato Grosso do Sul entre 2000-2017 para comparar os modelos SES, Holt simples e Holt-Winters multiplicativo.
3) O documento discute como escolher entre os métodos usando métricas de avaliação como RMSE, MAE
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
1) O documento apresenta informações sobre um curso de Econometria, incluindo horários, professor, referências bibliográficas e tópicos a serem abordados.
2) Os tópicos incluem introdução à séries temporais, previsão, decomposição de séries, modelos Box-Jenkins e cointegração.
3) O curso utilizará o software R para análises estatísticas de séries temporais.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
1. Este documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria plana e esférica, essenciais para a compreensão de navegação astronômica, navegação ortodrômica e alguns sistemas de navegação eletrônica.
2. As seções cobrem os conceitos básicos de trigonometria plana, incluindo sinais das funções trigonométricas nos diferentes quadrantes, identidades trigonométricas e resolução de triângulos retângulos e oblíquos.
Este documento fornece um resumo de um curso de pós-graduação em Econometria de Séries Temporais. O curso será ministrado pelo professor Adriano Figueiredo e abordará tópicos como modelos ARMA, identificação de modelos usando FAC e FACP, simulação de séries temporais e teste de Ljung-Box. O curso também utilizará softwares estatísticos como R para análises práticas.
1) A superfície é parametrizada por φ(u,v)=(vcosu,vsinu,1-v2), com 0≤u≤2π e v≥0, o que identifica a superfície como um paraboloide circular.
2) Encontra as equações da reta normal e do plano tangente em φ(0,1)=(1,0,0), sendo a reta dada por x=1-2λ e o plano por 2x+z-2=0.
3) Resolve exercícios de cálculo vetorial envolvendo parametriza
O documento descreve um curso de Econometria de Séries Temporais ministrado pelo professor Adriano Figueiredo. O curso abordará testes de raiz unitária como Dickey-Fuller, Augmented Dickey-Fuller e Phillips-Perron para analisar a estacionariedade de séries temporais. Além disso, o curso utilizará softwares estatísticos como R para aplicar esses testes e modelar séries temporais.
I. As proposições I, III e IV são corretas.
II. O documento fornece exercícios sobre funções trigonométricas com respostas de múltipla escolha.
III. As questões abordam conceitos como período, domínio, gráficos e equações envolvendo funções seno, cosseno e tangente.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções que inclui problemas sobre conversão de escalas de temperatura, determinação de valores, domínios e conjuntos imagem de funções, análise de gráficos de funções e suas propriedades.
1) O documento apresenta fórmulas e conceitos fundamentais de física como velocidade, aceleração, força, pressão, energia cinética e potencial. 2) Inclui também questões sobre movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado com gráficos de posição versus tempo. 3) Uma questão trata sobre o brinquedo Rotor e as forças envolvidas no movimento circular uniforme de pessoas dentro dele.
1. O documento apresenta os principais conceitos da Mecânica dos Sólidos II, incluindo análise de tensões e deformações em estados tri-axiais, bi-axiais, uni-axiais e planos. 2. É descrito o método analítico para análise de tensões em estados planos, incluindo cálculo de tensões principais, máximas e nos planos principais. 3. Também é apresentado o método gráfico do Círculo de Mohr para análise de estados planos de tensão.
O documento introduz o conceito de derivada através de problemas como a tangente e a velocidade. A derivada de uma função f em um ponto a é definida como o limite da taxa de variação de f quando h tende a zero. A derivada representa a inclinação da reta tangente e pode ser usada para calcular taxas de variação instantâneas.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento descreve superfícies quádricas e superfícies de revolução. Define superfícies quádricas como gráficos de equações do segundo grau e classifica-as em duas categorias. Superfícies de revolução são geradas pela rotação de curvas em torno de eixos, como hipérboles e elipses. Hiperboloides e elipsoides são exemplos de superfícies de revolução.
O documento apresenta um mini-curso sobre dinâmica atmosférica. Introduz o modelo de água rasa para descrever os movimentos de grande escala na atmosfera, considerando a aproximação hidrostática e a rotação da Terra. Deriva as equações do modelo a partir das equações de Navier-Stokes para um fluido homogêneo sobre um planeta em rotação. Discute a inclusão de termos convectivos e dissipativos nas equações.
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
1) O documento descreve o diagrama de Bode, um método desenvolvido por H. W. Bode para representar a resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo.
2) O diagrama de Bode usa escalas logarítmicas para frequência e decibéis para amplitude, permitindo analisar uma ampla faixa de frequências.
3) É representado em duas curvas, mostrando a magnitude em dB versus o logaritmo da frequência e a fase em graus versus o logaritmo da frequência.
O documento lista as regras de derivação de funções, divididas em quatro grupos. Apresenta a definição formal de derivada e notações usadas. Explica que a derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como taxa de variação, tendo implicações em todas as ciências.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da Transformada de Laplace, incluindo sua definição, propriedades, região de convergência, transformada unilateral e métodos para o cálculo da transformada inversa. Exemplos ilustram o cálculo da transformada direta e inversa de diferentes sinais.
Este documento apresenta fórmulas e conceitos de álgebra, probabilidades, funções, cálculo, trigonometria e números complexos. Inclui definições de derivadas, integrais, limites, combinatória, distribuições de probabilidade e operações com números complexos na forma trigonométrica.
1) O documento apresenta três questões sobre cálculo de áreas e volumes de regiões planas e sólidos de revolução.
2) Na primeira questão, o aluno calcula áreas sob curvas definidas por funções explícitas e implícitas.
3) Na segunda questão, o aluno calcula volumes de sólidos de revolução gerados pelo giro de regiões planas em torno dos eixos.
O documento descreve as propriedades fundamentais da transformada Z, incluindo sua definição, relação com a transformada de Laplace e propriedades como linearidade, deslocamento, atraso de transporte e diferenciação complexa. Exemplos ilustram como aplicar a transformada Z a diferentes funções discretas.
O documento apresenta uma breve introdução ao Matlab, descrevendo comandos básicos como funções trigonométricas e exponenciais, operações com matrizes e vetores, geração de números aleatórios, convolução discreta, representação de polinômios e resolução de equações diferenciais.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
1) O documento discute processos estocásticos e séries temporais econômicas, definindo processos estocásticos e abordando processos estacionários e não estacionários.
2) Apresenta definições de autocorrelação e discute simulações de processos ruído branco e passeio aleatório no Stata.
3) Discutem testes de raiz unitária de Dickey-Fuller para verificar estacionariedade.
Este documento apresenta três problemas envolvendo funções e geometria plana. No primeiro problema, são calculados os valores de uma função em pontos específicos e esboçado seu gráfico. No segundo, são esboçados os gráficos das funções modulo e valor absoluto de outra função. No terceiro, são calculadas probabilidades envolvendo lançamento de dados poliédricos.
Este documento contém notas de aula sobre cálculo vetorial. Abrange os tópicos de integrais de linha, campos conservativos, teorema de Green, integrais de superfície, divergente, rotacional, e teoremas de Gauss e Stokes.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
1) O documento deriva a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas, resultando na equação (10).
2) A equação é simplificada para problemas com simetria axial, resultando na equação (11).
3) O documento usa este resultado para resolver o problema do potencial elétrico entre dois hemisférios carregados.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
O documento apresenta um problema sobre um sistema composto por duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento L posicionada dentro de uma casca hemisférica. O equilíbrio estático do sistema requer que a razão entre as massas m/M seja igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde r é o raio da casca hemisférica.
O documento apresenta um problema sobre o equilíbrio de duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra posicionada dentro de uma casca hemisférica. A razão entre as massas m/M é igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde L é o comprimento da barra e r é o raio da casca hemisférica.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
Modelagem matematica aplicada a engenharia quimicaVinicius Chacon
O documento apresenta três partes: (1) generalização de modelos macroscópicos; (2) métodos numéricos para resolver modelos macroscópicos; (3) métodos numéricos para resolver modelos microscópicos.
1) O exercício calcula a integral dupla de uma função sobre uma região limitada no primeiro quadrante. A mudança de variáveis transforma a região em um retângulo no novo sistema de coordenadas.
2) A solução usa mudança de variáveis para transformar a integral dupla em uma integral simples em coordenadas polares.
3) A região é descrita em coordenadas polares e a integral é calculada nesse sistema.
Proteco Q60A
Placa de controlo Proteco Q60A para motor de Braços / Batente
A Proteco Q60A é uma avançada placa de controlo projetada para portões com 1 ou 2 folhas de batente. Com uma programação intuitiva via display, esta central oferece uma gama abrangente de funcionalidades para garantir o desempenho ideal do seu portão.
Compatível com vários motores
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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1. Resposta em frequência
Se a entrada é senoidal, a saída também é senoidal (após um transitório)
de mesma frequência mas com fase e amplitude diferentes. A relação entre o
sinal de entrada e o de saída é dada por
H (jω) = aH (ω)ejφH(ω)
(1)
aH (ω) = |H (jω)| (2)
φH (ω) = arg(H (jω)) (3)
O número complexo H (jω) pode ser representado por um vetor com
comprimento aH(ω) que forma um ângulo φH (ω) com o eixo-real.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 1
3. Resposta em freqüência ...
u(t) = U0ejωt
(4)
U0 cosωt = Re{u(t)},U0 sinωt = Im{u(t)} (5)
y(t) = U0 |H (jω)|ej(ωt+φ(ω))
(6)
Re{y(t)} = U0 |H (jω)|cos(ωt +φ(ω)) (7)
Im{y(t)} = U0 |H (jω)|sin(ωt +φ(ω)) (8)
• Modificação de amplitude e fase.
• Variando ω em [0,∞) tem-se a caracterização do sistema |H (jω)|ejφ(ω)
.
• Diagrama de amplitude e fase ou resposta em freqüência.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 3
6. Aproximação de Padé
A função transcendental e−sT
pode ser aproximada por
e−sT
≈
1− Ts
2 + (Ts)2
8 − (Ts)3
48 +···
1+ Ts
2 + (Ts)2
8 + (Ts)3
48 +···
(16)
e−sT
=
2−sT
2+sT
(17)
H(s) =
5e−sT
10s+1
≈
5(2−sT)
(2+sT)(10s+1)
. (18)
O sistema acima tem dois pólos estáveis mas apresenta um zero no semi-plano
direito. Esse tipo de sistema é denominado sistema de fase não-mínima.
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7. Traçado assintótico
Se a função de transferência é dada por
H(s) = K
(s+z1)(s+z2)···(s+zm)
(s+ p1)(s+ p2)···(s+ pn)
(19)
H(s) = K
z1z2...zm
p1p2...pn
·
1+s 1
z1
1+s 1
z2
... 1+s 1
zm
1+s 1
p1
1+s 1
p2
... 1+s 1
pn
(20)
Considerando K z1z2...zm
p1p2...pn
= K0, então
H(s) = K0
1+s 1
z1
1+s 1
z2
... 1+s 1
zm
1+s 1
p1
1+s 1
p2
··· 1+s 1
pn
(21)
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8. Forma de Bode: H(s) = K0
(1+sτ1)(1+sτ2)···(1+sτm)
(1+sT1)(1+sT2)···(1+sTn)
(22)
Resposta em frequência:
H(jω) = K0
(1+ jωτ1)(1+ jωτ2)···(1+ jωτm)
(1+ jωT1)(1+ jωT2)···(1+ jωTn)
(23)
Possíveis termos:
• K0(jω)L
• (1+ jωτ)±1
• jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1
±1
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9. 1. Pólos na origem: K0( jω)L
Magnitude: 20log K0(jω)L
= 20logK0 +20log (jω)L
= 20logK0 +20Llog|ω|
Em ω = 1, a assíntota passa por 20logK0
ω0 −→ 10ω0, mudança de +20L dB
{20logK0 +20Llog|10ω0|}−{20logK0 +20Llog|ω0|} = 20Llog|10|+20Llog|ω0|−
20Llog|ω0| = 20L
A assíntota é uma reta com variação de 20L dB por década
Fase: ∡(K0(jω)L
) = ∡K0 +∡(jω)L
= 0◦
+L·90◦
= L·90◦
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13. Ex.: jω10+1, a frequência de corte ω = 1
τ = 0.1
Para ω10 ≪ 1, jω10+1 ∼= 1, ∡1 = 0◦
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14. Para ω10 ∼= 1, ∡(jω10+1) ∼= 45◦
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15. Para ω10 ≫ 1, jω10+1 ∼= jω10, ∡ jωτ ∼= 90◦
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16. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 16
17. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 17
18. 3. Termo de segunda ordem: jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1
±1
k
s2 +2ζωns+ωn
2
=
k
ωn
2
·
1
1+s2ζ
ωn
+ s2
ωn
2
k
ωn
2
·
1
1+( jω
ωn
)2 + jω2ζ
ωn
=
k
ωn
2
·
1
1−( ω
ωn
)2 + j2ζω
ωn
• Frequência de corte ω = ωn
• Assíntota em baixas frequências ω ≪ ωn, jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1 ∼= 1
• Assíntota em altas frequências ω ≫ ωn, jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1 ∼= − ω
ωn
2
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 18
19. • Para frequências maiores que a frequência de corte, o módulo muda
+40dB/dec se o termo está no numerador, e −40dB/dec se o termo está
no denominador.
20logω2
ω0 → 10ω0
20log(102
ω0
2
)−20logω0
2
= 20log102
= 40
• A fase muda ±180◦
• A transição na frequência de corte depende do fator de amortecimento ζ
• Se o termo está no numerador, então |G(jωn)| = 2ζ
• Se o termo está no denominador, então |G(jωn)| = 1
2ζ
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33. Sistemas com atraso
L [f (t −a)] = e−as
F (s) (28)
Considere um sistema com função de transferência H(s) = e−as
. Então
H(jω) = e− jωa
e
|H(jω)| = e− jωa
= 1 (29)
Um atraso no tempo meramente desloca o sinal no tempo e não modifica a
magnitude do sinal
∡H(jω) = ∡e− jωa
= −ωa (rad) (30)
T =
1
f
=
1
ω
2π
(31)
−
a
T
2π = −
ωa
2π
2π = −ωa (32)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 33
35. Exemplo: H(s) = 5 e−2s
10s+1
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 35
36. Sistemas de Fase Mínima
• Sistemas de Fase mínima: não apresentam zeros no semi-plano direito
• Sistemas de Fase não-mínima: apresentam zeros no semi-plano direito
– A fase é maior do que se todos os polos e zeros estivessem no semi-plano
esquerdo
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38. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 38
39. Correlação Freqüência x Tempo
H(s) =
ω2
n
s2 +2ζωns+ω2
n
(35)
y(t) = L−1
H(s)
1
s
= 1−e−σt
cosωdt +
σ
ωd
sinωdt (36)
σ = ζωn,ωd = ωn 1−ζ2
,0 ≤ ζ ≤ 1 (37)
tp =
π
ωd
(38)
Mp = exp
−
πζ
1−ζ2
(39)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 39
40. Ressonância
Por outro lado a resposta em freqüência desse mesmo sistema é calculada
por
H(jω) =
1
1− ω2
ω2
n
+2jζ ω
ωn
. (40)
O pico da resposta em freqüência ocorre na freqüência de ressonância
d
dω
|H (jω)| = 0 ⇒ ωr = ωn 1−2ζ2
(41)
para valores de 0 < ζ ≤
√
2
2 .
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 40
41. Ressonância ...
Na freqüência ω = ωr a expressão
1−
ω2
ω2
n
2
+ 2ζ
ω
ωn
2
(42)
é mínima e valor do ganho do sistema vale
Mr = |H(jω)|ω=ωr
=
1
2ζ 1−ζ2
. (43)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 41
44. Margem de fase
1+KG(s)H(s) = 0 ⇒ KG(s)H(s) = −1 ⇒
|KG(s)H(s)| = 1
∡(KG(s)H(s)) = ±180◦
(2l +1)
(45)
|KG(s)H(s)| = 1 ⇒ 20log10 |KG(s)H(s)| = 0
|KG(s)H(s)| = 1
∡(KG(s)H(s)) = ±180◦
(2l +1)
(46)
Fazendo s = jω:
|KG(jω)H(jω)| = 1
∡(KG(jω)H(jω)) = ±180◦
(2l +1)
(47)
Essas equações são satisfeitas pelos pontos no eixo imaginário que
pertencem ao lugar das raízes.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 44
45. Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
K<2
K=2 K>2
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 45
46. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 46
47. Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
Nesse caso, se o ganho K > 2, o sistema é instável. Para o sistema
estudado, em que o aumento do ganho causa instabilidade e |KL(s)| cruza
0dB apenas uma vez, a condição de estabilidade é
∠KL(jωc) > −180◦
para ωc em que 20log10 |KL(jωc)| = 0 (48)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 47
48. Margem de fase
Considere um sistema com função de tranferência de malha aberta L(s)
Nos diagramas de Bode, determinar a frequência de cruzamento do ganho
ωc
1) Se ∠L(jωc) < −180◦
, então o sistema é instável
2) Se ∠L(jωc) = −180◦
, então o sistema é marginalmente estável
3) Se ∠L(jωc) > −180◦
, então o sistema é estável
Seja ∠L(jωc) = φc, e φc > −180◦
. Então γ = φc − (−180◦
) = φc + 180◦
é a
margem da fase
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 48
49. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 49
50. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 50
51. Para o sistema
H(s) =
ω2
n
s(s+2ζωn)
. (49)
|H (jωc)| = 1 (50)
para
ωc = ωn 1+4ζ4
−2ζ2
(51)
e
φ(ωc) = −(∡ jωc +∡(jωc +2ζωn)) (52)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 51
56. Considere um sistema com função de transferência de malha aberta L(s)
ω180◦ é a frequência tal que ∠L(jω180◦) = −180◦
Para que ele seja estável, é necessário respeitar ωc < ω180◦ para ter
∠L(jωc) > −180◦
Considere que o ganho de malha aberta será multiplicado por um fator Kg,
resultando na FTMA KgL(s)
Qual o valor de Kg em que o sistema se torna marginalmente estável?
Note que 20log|L(jω180◦)| < 0
20log|KgL(jω180◦)| = 0 ⇒ |KgL(jω180◦)| = 1 ⇒ Kg |L(jω180◦)| = 1 ⇒
⇒ Kg =
1
|L(jω180◦)|
é a margem de ganho
Margem de ganho em dB:
20logKg = 20log
1
|L(jω180)|
= −20log|L(jω180)| (63)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 56
57. Desse modo, para o sistema de segunda ordem H(s) = ω2
n
s(s+2ζωn), a margem
de ganho é ∞ já que a fase tende assintoticamente para −180◦
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 57
59. Constantes de Erro - Cp, Cv e Ca
10
−1
10
0
10
1
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
log(ω) (rad/s)
20log(|H(jω)|)(dB)
Cv
ω=1
Os valores das constantes de erro de regime permanente (Cp, Cv e Ca)
podem ser determinadas diretamente dos Diagramas de Bode, a partir da
interseção da assíntota de baixa freqüência com a linha vertical traçada em
ω = 1.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 59
61. H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de posiçao Cp = lims→0 H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) = k
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 61
62. H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
s(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de velocidade Cv = lims→0 sH(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) =
k
jω
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20log
k
j1
= 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 62
63. H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
s2(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de aceleração Ca = lims→0 s2
H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) =
k
(jω)2
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20log
k
(j1)2
= 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 63
64. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 64
65. Tipo 0 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = 0 Cv = 0 Ca = 0
Erro 1/(1+Cp) ∞ ∞
Tipo 1 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = ∞ Cv = 0 Ca = 0
Erro 0 1/Cv ∞
Tipo 2 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = ∞ Cv = ∞ Ca = 0
Erro 0 0 2/Ca
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 65
66. Critério de Nyquist
F(s) é uma função s ∈ C. Para s0 ∈ C, F(s0) ∈ C, cujo módulo, |F(s0)|, e a
fase, ∠F(s0), dependem de s0. Se s0 ∈ Γs (percurso fechado) então F(s0) ∈ ΓF(s)
(percurso fechado).
A forma da curva descrita por ΓF(s) muda quando muda a forma de Γs e a
expressão de F(s). Se s0 ∈ Γs e
F(s) = k
s+a
(s+b)(s+c)(s+d)
,k > 0,a > 0,b > 0,c > 0,d > 0 (64)
então F(s0) ∈ ΓF(s).
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 66
67. -4 -2 0 2 4 6-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
s0
sΓ
F(s)Γ
C
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 67
68. Teoria ...
Considerando este fato pode-se demonstrar que o número de voltas que
ΓF(s) dá em torno da origem é vinculado ao número de singularidades (pólos e
zeros) situadas no interior da curva fechada Γs. De fato, sendo mais explícito
pode-se afirmar que quando o ponto de teste s0 percorre a curva Γs no sentido
horário, a variação angular total da fase de F(s) considerada positiva no sentido
trigonométrico é igual a
∆ = 2π(P−Z), (65)
com P e Z sendo o número de pólos e o número de zeros (contada suas
multiplicidades) da função F(s) situados no interior de Γs. Dito de outra
maneira, o número de voltas T que o lugar geométrico ΓF(s) efetua, no sentido
trigonométrico, em torno da origem do plano complexo é dada por
T = P−Z (66)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 68
69. Convenções básicas
Antes de prosseguir convém destacar as três convenções básicas
empregadas na seqüência deste desenvolvimento. A primeira delas é que a
curva fechada Γs será sempre percorrida no sentido horário. A segunda é que
os ângulos são medidos no sentido trigonométrico (anti-horário). A terceira é
que a função F(s) é do tipo racional expressa como
F(s) = k
∏m
i=1(s+zi)µi
Πn
i=1(s+ pi)νi
= k
(s+z1)µ1(s+z2)µ2 ···(s+zm)µm
(s+ p1)ν1(s+ p2)ν2 ···(s+ pn)νn
(67)
onde k é um ganho, µi e νi são as multiplicidades dos zeros e pólos
respectivamente. Os pólos e zeros podem eventualmente ser reais ou
complexos. Os pólos complexos aparecerão sempre juntamente com seus
conjugados. Sem perda de generalidade consideraremos que
µ1 = ··· = µm = ν1 = ··· = νn = 1 (68)
n ≥ m (69)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 69
70. Pólos e zeros
Dado um ponto de teste, s0, a fase de sua imagem, F(s0), pode ser calculada
por
Φ = Φz −Φp (70)
onde
Φz = ∠(s0 +z1)+∠(s0 +z2)+···+∠(s0 +zm) (71)
Φp = ∠(s0 + p1)+∠(s0 + p2)+···+∠(s0 + pn) (72)
No caso de existirem zeros ou pólos múltiplos, a multiplicidade deve ser
levada em consideração. Por exemplo, se zi é um zero de multiplicidade µi, sua
contribuição angular em Φz é
µi∠(s0 +zi) (73)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 70
71. Pólos e Zeros ...
Cada termo de Φz (Φp) é calculado computando-se o ângulo entre a reta
real (segmento 0x) e o vetor −→zis0 (−→pis0). Este ângulo é representado por (0x,−→zis0)
e, deste modo
Φz = (0x,−→z1s0)+(0x,−→z2s0)+···+(0x,−−→zms0) (74)
Φp = (0x,−−→p1s0)+(0x,−−→p2s0)+···+(0x,−−→pns0) (75)
O valor da variação de fase ∆Φ de F(s) é igual à soma das variações de
cada termo de Φz e Φp quando s0 percorre uma curva fechada Γs no sentido
horário. Antes de chegar a uma conclusão genérica analisa-se a contribuição
de cada termo.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 71
72. Contribuição dos zeros de F(s)
x0z1
s0
Γs
Veja animação em $ https://sites.google.com/a/ee.ufcg.edu.br/controle-analogico/home/2014-2/animacoesnyquist $
• Zero fora do percurso fechadoΓs:
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 72
74. Contribuição dos zeros de F(s)
x0
z1
s0
Γs
• Zero dentro do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−→z1s0) = −2π.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 74
75. Contribuição dos zeros de F(s)
• Considerando que Z representa o número de zeros no interior de Γs (z1, z2,
··· ,zk), então a soma das variações dos termos relativos aos zeros vale
∆(0x,−→z1s0)+∆(0x,−→z2s0)+···+∆(0x,−→zks0) = −2πZ (76)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 75
76. Contribuição dos polos de F(s)
x0p
1
s0
Γs
• Pólo fora do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 0.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 76
77. Contribuição dos polos de F(s)
x0
s0
Γsp
1
• Pólo dentro do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 2π.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 77
78. Contribuição dos polos de F(s)
• Considerando que P representa o número de pólos no interior de Γs (p1, p2,
··· ,pk), então a soma das variações dos termos relativos aos pólos vale
∆(0x,−−→p1s0)+∆(0x,−−→p2s0)+···+∆(0x,−−→pks0) = 2πP (77)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 78
79. Pólos e Zeros ...
• Se Z e P são respectivamente os números de zeros e pólos de F(s)
circundados por Γs então
∆Φ = 2π(P−Z) (78)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 79
80. Aplicação
A utilização prática dos resultados anteriores requer, inicialmente, que
a função F(s) dos desenvolvimentos anteriores seja igual ao polinômio
característico do sistema de controle. Desta forma, os resultados acima podem
ser aplicados na análise de sistemas de controle em malha fechada.
Neste caso tem-se que
F(s) = 1+G(s)H(s) (79)
onde
G(s)H(s) = k
∏m
i=1(s+zi)µi
Πn
i=1(s+ pi)νi
(80)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 80
81. representa a função de transferência de malha aberta de um sistema de
controle com realimentação unitária.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 81
82. Aplicação ...
O segundo passo é a definição do percurso Γs que será utilizado para avaliar
F(s). O percurso Γs que é empregado para fins práticos foi proposto em 1945
por H. Nyquist e é especificado como segue:
• Uma reta paralela, do lado direito do plano complexo, ao eixo imaginário. A
distância entre esta reta e o eixo imaginário é infinitesimal.
• Uma semi-circunferência de raio infinito no lado direito do plano complexo.
O centro desta semi-circunferência fica sobre o eixo real a uma distância
infinitesimal da origem.
O percurso assim definido é denominado percurso de Nyquist (Γn) e envolve
qualquer zero ou pólo que tenha parte real positiva.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 82
84. Percurso de Nyquist
Quando s0 percorre Γn é necessário distinguir duas situações:
• Quando s0 percorre a reta paralela no sentido horário, s0 ∈ (j0, j∞), a
imagem descreve o lugar geométrico de 1 + G(jω)H(jω) que é completado
pelo seu lugar simétrico em relação ao eixo real 1 + G(−jω)H(−jω) com
s0 ∈ (−j∞, j0).
• Quando s0 percorre a semi-circunferência no sentido horário s0 = Rejθ
(R → ∞
e θ ∈ [π/2,0]), para o caso das funções consideradas (racionais, próprias ou
estritamente próprias) não há variação de fase da imagem. Se G(s)H(s) é
própria então
lim
s→∞
F(s) = 1+ lim
s→∞
G(s)H(s) = 1+k (81)
por outro lado, se G(s)H(s) é estritamente própria então
lim
s→∞
F(s) = 1+ lim
s→∞
G(s)H(s) = 1 (82)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 84
85. Percurso de Nyquist ...
Se o diagrama de Nyquist de 1 + G(s)H(s) circunda a origem, então o
diagrama de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 85
86. Percurso de Nyquist ...
1+G(s)H(s) = 1+
b(s)
a(s)
=
a(s)+b(s)
a(s)
(83)
As raízes de a(s)+b(s) = 0 são os polos de malha fechada
As raízes de a(s) = 0 são os polos de 1+G(s)H(s) e de malha aberta
Os polos de 1+G(s)H(s) são também os polos de G(s)H(s)
Os polos de malha aberta em G(s)H(s) são conhecidos
Se não há polos de G(s)H(s) no semi-plano direito (P = 0), e o diagrama
de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real, verifica-se a partir de ∆Φ =
2π(P − Z) que há Z zeros de 1 + G(s)H(s) no semi-plano direito, ou seja, polos
do sistema em malha fechada no semi-plano direito
Reformulando a conclusão anterior pode-se dizer que se
Z = número de zeros de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (84)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 86
87. P = número de pólos de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (85)
ou equivalentemente
P = número de pólos de G(s)H(s) com parte real positiva (86)
contadas as respectivas multiplicidades, então a variação de fase de 1 +
G(jω)H(jω) quando ω cresce de −∞ a +∞ vale
2π(P−Z) no sentido anti-horário (87)
Considere N voltas no sentido horário
N = Z −P ⇒ Z = N +P (88)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 87
88. Percurso de Nyquist ...
As funções G(s)H(s) e 1+G(s)H(s) tem os mesmos pólos.
O envolvimento da origem para 1 + G(jω)H(jω) é equivalente ao
envolvimento do ponto de −1+ j0 para G(jω)H(jω).
A estabilidade de um sistema de controle em malha fechada poder ser
determinada a partir do exame dos envolvimentos do ponto −1 + j0 do lugar
geométrico de G(jω)H(jω).
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 88
89. Critério
Definida a função do ramo direto G(s)H(s) de um sistema realimentado a
relação
Z = N +P (89)
determina o número Z de zeros instáveis de 1+G(s)H(s) em função do
1. número de pólos instáveis P de G(s)H(s)
2. número de envolvimentos N que G(jω)H(jω) faz em torno do ponto −1+ j0
no sentido horário
Um sistema de controle é dito estável se Z = 0
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 89
90. Exemplo 5
(s+1)2
Polos : -1 e -1. Não há pólo no semi - plano direito. Então P = 0
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) =
5
(s+1)2
Trecho I: s = jω
E(jω) =
5
(jω+1)2
=
5(1− jω)2
(1+ jω)2(1− jω)2
=
5(1−2jω−ω2
)
(1+ω2)2
=
=
5(1−ω2
)
(1+ω2)2
− j
10ω
(1+ω2)2
ω = 0, E(jω) = 5− j0
ω → ∞, E(jω) = −δ− jδ , (δ → 0)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 90
91. Trecho II: s = Rejφ
E(Rejφ
) =
5
(Rejφ +1)2
limR→∞ E(Rejφ
) = 0
O trecho II é mapeado na origem.
Trecho III : E(−jω) =
5
(1− jω)2
=
5(1+ jω)2
(1− jω)2(1+ jω)2
=
5(1−ω2
+2jω)
(1+ω2)2
=
5(1−ω2
)
(1+ω2)2
+ j
10ω
(1+ω2)2
E(jω) é simétrico a E(−jω) em relação ao eixo das abscissas.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 91
92. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 0 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malha
aberta no semi-plano direito, há Z = N +P = 0 polos de malha fechada no semi-
plano direito. Então o sistema em malha fechada é estável.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 92
93. Exemplo 7
s(s+1)(s+2)
Polos: 0, -1, -2
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) = 7
s(s+1)(s+2)
Trecho I: s = εejφ
E(εejφ
) =
7
εejφ(εejφ +1)(εejφ +2)
=
7
2ε
e− jφ
, pois ε → 0
φ de −
π
2
a
π
2
. Então E(εejφ
) de
π
2
a −
π
2
Trecho II : s = jω
E(jω) =
7
jω(jω+1)(jω+2)
=
−j7(1− jω)(2− jω)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−j7(2−ω2
− j3ω)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−21ω+ j7(ω2
−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−21ω
ω(1+ω2)(4+ω2)
+
j7(ω2
−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 93
94. ω = 0 : E(jω) →
−21
4
− j∞
ω → ∞ : E(jω) → −δ+ jδ
ω2
− 2 = 0 ⇒ ω =
√
2, que é a frequência para a qual a parte imaginária é
igual a 0
E(j
√
2) =
−21
(1+2)(4+2)
=
−21
18
Trecho III: s = Rejφ
E(Rejφ
) =
7
Rejφ(Rejφ +1)(Rejφ +2)
limR→∞ E(Rejφ
) = 0
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 94
95. -10 -8 -6 -4 -2 0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-1 -0.5 0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-10 -5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
N = 2 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malha
aberta no semi-plano direito, há Z = N +P = 2 polos de malha fechada no semi-
plano direito. Então o sistema em malha fechada é instável.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 95
96. Segundo Método de Ziegler & Nichols
O método em freqüência de Ziegler-Nichols para a sintonia de controladores
PID usa o ponto na curva de resposta em frequência no qual a fase é igual a
−180◦
. Este ponto é chamado de ponto crítico e a frequência de cruzamento é
denominada freqüência crítica.
O método de Ziegler-Nichols original baseia-se na observação de
que muitos sistemas podem se tornar instáveis quando sujeitos a uma
realimentação proporcional. Aumentando o ganho proporcional, o sistema
pode atingir o limite da estabilidade (ganho limite).
KcH (jωc) = −1,H (jωc) = −
1
Kc
(90)
a(ωc) =
1
Kc
,ϕ(ωc) = 180◦
(91)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 96
97. Determinação do ganho crítico
H(s)+
-
R(s) Y(s)E(s) U(s)
K
O experimento é difícil de ser implementado, pois deve-se ir aumentando o
ganho até que o sistema oscile.
A amplitude de oscilação depende do sistema e pode não ser controlada,
podendo ser inaceitável.
Além disso, manter um processo próximo à instabilidade pode ser perigoso.
A observação que muitos processos oscilam com um ciclo limite quando
é acrescentado um relé em sua malha de realimentação é um método mais
confiável para obter a informação desejada.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 97
98. Usando o relé em malha fechada
H(s)+
-
R(s) Y(s)E(s) U(s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 98
99. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
A vantagem da introdução do relé é que a amplitude de oscilação na saída
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 99
100. do processo pode ser controlada variando-se a amplitude da saída do relé (Vr),
ou seja:
u(t) =
+Vr,e(t) > 0
−Vr,e(t) < 0
ou u(t) =
+Vr,e(t) > h
−Vr,e(t) < −h
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 100
101. Método da função descritiva ...
Considerando o comportamento do sistema realimentado para o primeiro
harmônico, pode-se considerar que o elemento não linear pode ser modelado
como um número complexo (modulo e fase).
Desse modo, se r(t) = 0,t > t0 então o sinal de erro que aciona o relé é o
próprio sinal de saída do processo.
e(t) = −y(t) = −Y1 sin(ωct)
então o ganho do relé é, consequentemente,
Kr =
4Vr
πY1
Entretanto, a amplitude do sinal de saída é dado por
Y1 =
4Vr
π
|H (jωc)|
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 101
102. Método da função descritiva ...
A condição para que haja oscilação é
KrH (jωc) = −1,H (jωc) = −
1
Kr
(92)
então
H (jωc) = −
πY1
4Vr
Isso significa que o experimento do relé permite levar o sistema a uma
operação oscilatória controlada pois a amplitude de oscilação é proporcional
à magnitude do sinal de saída do relé.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 102
103. Parâmetros do controlador
Considerando que o controlador é modelado por
G(s) = Kp 1+
1
sTi
+Tds
seus parâmetros podem ser determinados realizando o experimento do relé.
Os parâmetros do controlador podem ser calculados a partir do ganho limite Kr
e do período de oscilação Tc = 2π/ωc utilizando-se a tabela de Ziegler & Nichols.
Controlador Kp Ti Td
P 0.5Kr ∞ 0
PI 0.45Kr 0.83Tc 0
PID 0.6Kr 0.5Tc 0.125Tc
(93)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 103
104. Parâmetros do controlador ...
O método de sintonia baseado na Tabela de Ziegler & Nichols pode ser
visto como um técnica de projeto que determina os parâmetros do controlador
de tal forma que o ponto crítico seja movido para −0.6+0.28j. A resposta em
frequência do controlador é dada por
GPID (jωc) = Kp 1+
1
j0.5Tcωc
+ j0.125Tcωc (94)
GPID (jωc) = 0.6Kr 1+ j
2π
8
−
1
π
(95)
GPID (jωc) = Kr (0.6+0.28j) (96)
|GPID (jωc)| = 0.66212Kr e arg(GPID (jωc)) = 25.017◦
(97)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 104
105. Compensação - fórmulas
Considere um compensador cuja função de transferência é dada por
G(s) =
a1s+a0
b1s+1
(98)
na qual a0 é o ganho de regime permanenente, −a0/a1 é o zero do
compensador e −1/b1 é o pólo do compensador.
Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM
tenha-se
a1 (jωPM)+a0
b1 (jωPM)+1
H (jωPM) = ej(−180
◦
+PM) (99)
na qual PM > 0 é a margem de fase.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 105
106. Compensação - fórmulas ...
A partir dessa expressão pode-se mostrar que
a1 =
1−a0 |H (jωPM)|cosθ
ωPM |H (jωPM)|sinθ
(100)
b1 =
cosθ−a0 |H (jωPM)|
ωPM sinθ
(101)
θ = −180
◦
+PM −∠H (jωPM) (102)
θ = ∠G(jωPM) (103)
Ao final do projeto, verificar se a1 e b1 são positivos.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 106
107. Compensação - fórmulas ...
Dado o valor do ganho de regime permanente a0 e a resposta em freqüência
do sistema a controlar (i.e.|H (jω)|, ∠H (jω) ω ∈ [0,∞)) pode-se projetar o
compensador que garantirá a margem de fase desejada (PM) na freqüência
especificada (ωPM).
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 107
108. Compensação - fórmulas ...
De modo geral o ganho de regime permanente do compensador é
determinado para satisfazer uma especificação de erro estacionário. Por outro
lado a escolha da margem de fase na freqüência de projeto é feita a partir do
tempo de estabelecimento desejado (ts), isto é
tan(PM) =
8
tsωPM
(104)
A representação usual de um compensador em avanço é
G(s) = K
Ts+1
αTs+1
(105)
com α < 1.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 108
109. Compensação - fórmulas ...
A contribuição de fase desse compensador é
φ = arctan(Tω)−arctan(αTω) (106)
cujo valor máximo ocorre em
ωmax =
1
T
√
α
(107)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 109
110. Exemplo: H(s) = 10
s(s+1) e compensador avanço de fase G(s)
FT da planta com o ganho compensado: G1(s) = 20
s(s+1)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 110
111. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 111
112. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 112
113. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 113
114. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 114
115. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 115
116. Exemplo: H(s) = 1
s(s+1)(0.5s+1) e compensador atraso de fase G(s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 116
117. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 117
118. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 118
119. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 119
120. Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 120
121. Compensador PID
A função de transferência do compensador PID é
G(s) = kp +
ki
s
+kds =
kps+ki +kds2
s
=
ki
s
(
kd
ki
s2
+
kp
ki
s+1) (108)
G(jω) = kp +
ki
jω
+kd jω =
ki
jω
jω
ki
kd
2
+ jω
kp
ki
+1
(109)
• A ação integral tem um efeito em baixas frequências
• A ação derivativa tem um efeito em altas frequências
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 121
123. Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM
tenha-se
G(jωPM)H (jωPM) = ej(−180◦+PM)
(110)
na qual PM > 0 é a margem de fase.
|G(jωPM)|ej∠G(jωPM)
·|H(jωpn)|ej∠H(jωPM)
=
= |G(jωPM)|·|H(jωPM)|ej(∠G(jωPM)+∠H(jωPM))
= 1ej(−180◦+PM)
|G(jωPM)|·|H(jωPM)| = 1 ⇒ |G(jωPM)| = 1
|H( jωPM)|
∠G(jωPM)
θ
+∠H(jωPM) = −180◦
+PM ⇒
⇒ θ = ∡G(jωPM) = −180◦
+PM −∡H (jωPM)
Kp + j kdωPM −
ki
ωPM
= |G(jωPM)|(cosθ+ jsinθ) =
cosθ+ jsinθ
|H (jωPM)|
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 123
124. Igualando as partes reais e imaginárias:
Kp =
cosθ
|H (jωPM)|
(111)
ki pode ser determinado por uma especificação de regime permanente
kdωPM −
ki
ωPM
=
sinθ
|H (jωPM)|
⇒ kd =
sinθ
ωPM |H (jωPM)|
+
ki
ω2
PM
(112)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 124
125. Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4
e compensador PID G(s)
Especificação:
• PM = 80◦
• ωPM = 50rad/s
• Se a entrada de referência for uma rampa, o erro em regime permanente
deve ser menor ou igual a 0.01
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 125
128. Da especificação de regime permanente, ess = 1
C′
v
⇒ C′
v = 1
ess
, onde C′
v é a
constante de erro de velocidade da planta com o compensador
C′
v = lim
s→0
s
kds2
+kps+ki
s
·H(s) = ki lim
s→0
H(s) = kiCp (114)
kiCp =
1
ess
⇒ ki =
1
essCp
= 133.0067 (115)
kd =
sinθ
ωPM |H (jωPM)|
+
ki
ω2
PM
= 16.4173 (116)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 128
129. 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 80 deg
Freq: 50 rad/s
Frequency (rad/s)
-20
0
20
40
60
80
G.M.: inf
Freq: NaN
Stable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 129
130. 0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
yMA
(t)
yMF
(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 130
131. 9.99 9.992 9.994 9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006 10.008
9.98
9.985
9.99
9.995
10
10.005
System: y(t)
Time (seconds): 10
Amplitude: 9.99
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
y(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 131
132. Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4
e compensador PID G(s)
G(s) = kp +
ki
s
+kd pd
s
s+ pd
(117)
Foram utilizados kp, ki e kd do exemplo anterior
Foi escolhido pd = 1000 para afetar minimamente a margem de fase PM =
80◦
em ωPM = 50rad/s
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 132
134. 10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 77.3 deg
Freq: 50.4 rad/s
Frequency (rad/s)
-100
-50
0
50
100
G.M.: inf
Freq: Inf
Stable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-1000 -800 -600 -400 -200 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 134
135. 0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
y
MA
(t)
y
MF com pd
(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 135
136. 9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006
9.986
9.988
9.99
9.992
9.994
9.996
9.998
10
10.002
10.004
10.006
System: y_{MF com pd}(t)
Time (seconds): 10
Amplitude: 9.99
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
yMF com pd
(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 136