1) O documento descreve o diagrama de Bode, um método desenvolvido por H. W. Bode para representar a resposta em frequência de sistemas lineares e invariantes no tempo.
2) O diagrama de Bode usa escalas logarítmicas para frequência e decibéis para amplitude, permitindo analisar uma ampla faixa de frequências.
3) É representado em duas curvas, mostrando a magnitude em dB versus o logaritmo da frequência e a fase em graus versus o logaritmo da frequência.
O documento descreve os conceitos fundamentais da resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo. A saída de um sistema é senoidal com a mesma frequência da entrada, mas com amplitude e fase modificadas, representadas por um número complexo. O módulo e a fase desse número fornecem a caracterização completa da resposta do sistema em cada frequência.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
Este documento apresenta fórmulas e conceitos de álgebra, probabilidades, funções, cálculo, trigonometria e números complexos. Inclui definições de derivadas, integrais, limites, combinatória, distribuições de probabilidade e operações com números complexos na forma trigonométrica.
Apreçando Opções Utilizando a Função CaracterísticaWilson Freitas
Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface).
Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
Este documento contém notas de aula sobre cálculo vetorial. Abrange os tópicos de integrais de linha, campos conservativos, teorema de Green, integrais de superfície, divergente, rotacional, e teoremas de Gauss e Stokes.
O documento descreve os conceitos fundamentais da resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo. A saída de um sistema é senoidal com a mesma frequência da entrada, mas com amplitude e fase modificadas, representadas por um número complexo. O módulo e a fase desse número fornecem a caracterização completa da resposta do sistema em cada frequência.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
Este documento apresenta fórmulas e conceitos de álgebra, probabilidades, funções, cálculo, trigonometria e números complexos. Inclui definições de derivadas, integrais, limites, combinatória, distribuições de probabilidade e operações com números complexos na forma trigonométrica.
Apreçando Opções Utilizando a Função CaracterísticaWilson Freitas
Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface).
Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
Este documento contém notas de aula sobre cálculo vetorial. Abrange os tópicos de integrais de linha, campos conservativos, teorema de Green, integrais de superfície, divergente, rotacional, e teoremas de Gauss e Stokes.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
1) O documento apresenta a resolução de 9 questões de um teste de matemática do 10o ano sobre expoentes.
2) As questões abordam tópicos como raízes, polinômios, geometria analítica e elipses.
3) As respostas são detalhadamente explicadas com cálculos e raciocínios matemáticos.
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
1. O documento apresenta uma proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A, incluindo vários problemas resolvidos.
2. São apresentados dois grupos de questões, a primeira com cálculos algébricos e trigonométricos e a segunda com probabilidades e estatística.
3. Inclui também resoluções de problemas de cálculo que envolvem derivadas, integrais, máximos e mínimos.
Equação de Laplace em Coordenadas Polares.pdfmikaelg3
1) O documento apresenta a expressão do laplaciano em coordenadas polares.
2) É mostrado que o laplaciano em coordenadas polares é dado por ∆u = urr + 1r ur + 1r2 uθθ.
3) Dois exemplos são resolvidos usando esta expressão para problemas de Dirichlet em regiões polares.
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
Este documento fornece instruções passo-a-passo para resolver integrais trigonométricas por substituição, incluindo exemplos resolvidos. Explica como identificar a substituição correta, resolver a integral em termos da variável substituta, e retornar ao resultado em termos da variável original.
O documento apresenta fórmulas e conceitos sobre aumentos e descontos de preços, funções quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes, geometria analítica e trigonometria.
1) A equação para o oscilador críticamente amortecido é x(t) = (A + Bt)e-γt.
2) Quando t = 0, x = x0 e v = 0, tem-se que A = x0 e B = γx0.
3) O amortecimento crítico representa a menor magnitude de amortecimento para a qual nenhuma oscilação ocorre.
O documento descreve a definição de integrais curvilíneas de campos vetoriais. Ele define integrais curvilíneas como o limite de uma soma que aproxima o trabalho de uma partícula sujeita a um campo de forças ao se mover ao longo de uma curva. O documento também fornece as fórmulas para calcular integrais curvilíneas em R2 e R3.
O documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, exemplos de relações binárias que são ou não funções, elementos de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem. Também apresenta exemplos de gráficos de funções do primeiro grau e conceitos sobre vértice de funções quadráticas.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo:
1) Definição de função como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo conjunto;
2) Exemplos de relações que são e não são funções;
3) Elementos que compõem uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
O documento apresenta 7 exercícios resolvidos sobre cálculo de derivadas de funções de várias variáveis. No primeiro exercício, calcula-se as derivadas parciais de uma função no ponto (1,0). No segundo, deriva-se uma função quadrática em pontos específicos. Nos demais exercícios, calculam-se derivadas direcionais e tangentes de funções.
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
Este documento apresenta 3 problemas de raciocínio quantitativo resolvidos. O primeiro problema envolve uma regra de três composta para calcular quantos dias seriam necessários para montar 500 veículos trabalhando 10 horas por dia. O segundo problema trata de áreas de triângulos eqüiláteros. O terceiro problema calcula uma porcentagem sobre o preço de custo.
O documento apresenta 4 exercícios sobre distância entre pontos no plano cartesiano. O primeiro cálcula a distância entre dois pontos. O segundo determina a abscissa de um ponto equidistante de dois outros pontos. O terceiro encontra os possíveis valores de y para que a distância entre dois pontos seja 10. E o quarto calcula a distância percorrida por um ponto móvel entre dois instantes de tempo.
O documento descreve as propriedades e operações de primitivação de funções. A primitivação é o inverso da derivação e permite encontrar a função original a partir de sua derivada. São apresentadas regras para primitivar funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e frações racionais.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Proteco Q60A
Placa de controlo Proteco Q60A para motor de Braços / Batente
A Proteco Q60A é uma avançada placa de controlo projetada para portões com 1 ou 2 folhas de batente. Com uma programação intuitiva via display, esta central oferece uma gama abrangente de funcionalidades para garantir o desempenho ideal do seu portão.
Compatível com vários motores
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
1) O documento apresenta a resolução de 9 questões de um teste de matemática do 10o ano sobre expoentes.
2) As questões abordam tópicos como raízes, polinômios, geometria analítica e elipses.
3) As respostas são detalhadamente explicadas com cálculos e raciocínios matemáticos.
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
O documento descreve as etapas do vestibular da FGV-SP para o curso de Economia, que consiste em duas fases. A primeira fase contém oito provas de múltipla escolha, e a segunda fase contém três provas discursivas. Os candidatos são classificados de acordo com as médias obtidas em cada fase.
1. O documento apresenta uma proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A, incluindo vários problemas resolvidos.
2. São apresentados dois grupos de questões, a primeira com cálculos algébricos e trigonométricos e a segunda com probabilidades e estatística.
3. Inclui também resoluções de problemas de cálculo que envolvem derivadas, integrais, máximos e mínimos.
Equação de Laplace em Coordenadas Polares.pdfmikaelg3
1) O documento apresenta a expressão do laplaciano em coordenadas polares.
2) É mostrado que o laplaciano em coordenadas polares é dado por ∆u = urr + 1r ur + 1r2 uθθ.
3) Dois exemplos são resolvidos usando esta expressão para problemas de Dirichlet em regiões polares.
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
Este documento fornece instruções passo-a-passo para resolver integrais trigonométricas por substituição, incluindo exemplos resolvidos. Explica como identificar a substituição correta, resolver a integral em termos da variável substituta, e retornar ao resultado em termos da variável original.
O documento apresenta fórmulas e conceitos sobre aumentos e descontos de preços, funções quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes, geometria analítica e trigonometria.
1) A equação para o oscilador críticamente amortecido é x(t) = (A + Bt)e-γt.
2) Quando t = 0, x = x0 e v = 0, tem-se que A = x0 e B = γx0.
3) O amortecimento crítico representa a menor magnitude de amortecimento para a qual nenhuma oscilação ocorre.
O documento descreve a definição de integrais curvilíneas de campos vetoriais. Ele define integrais curvilíneas como o limite de uma soma que aproxima o trabalho de uma partícula sujeita a um campo de forças ao se mover ao longo de uma curva. O documento também fornece as fórmulas para calcular integrais curvilíneas em R2 e R3.
O documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, exemplos de relações binárias que são ou não funções, elementos de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem. Também apresenta exemplos de gráficos de funções do primeiro grau e conceitos sobre vértice de funções quadráticas.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo:
1) Definição de função como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo conjunto;
2) Exemplos de relações que são e não são funções;
3) Elementos que compõem uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
O documento apresenta 7 exercícios resolvidos sobre cálculo de derivadas de funções de várias variáveis. No primeiro exercício, calcula-se as derivadas parciais de uma função no ponto (1,0). No segundo, deriva-se uma função quadrática em pontos específicos. Nos demais exercícios, calculam-se derivadas direcionais e tangentes de funções.
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
Este documento apresenta 3 problemas de raciocínio quantitativo resolvidos. O primeiro problema envolve uma regra de três composta para calcular quantos dias seriam necessários para montar 500 veículos trabalhando 10 horas por dia. O segundo problema trata de áreas de triângulos eqüiláteros. O terceiro problema calcula uma porcentagem sobre o preço de custo.
O documento apresenta 4 exercícios sobre distância entre pontos no plano cartesiano. O primeiro cálcula a distância entre dois pontos. O segundo determina a abscissa de um ponto equidistante de dois outros pontos. O terceiro encontra os possíveis valores de y para que a distância entre dois pontos seja 10. E o quarto calcula a distância percorrida por um ponto móvel entre dois instantes de tempo.
O documento descreve as propriedades e operações de primitivação de funções. A primitivação é o inverso da derivação e permite encontrar a função original a partir de sua derivada. São apresentadas regras para primitivar funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e frações racionais.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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Proteco Q60A
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Compatível com vários motores
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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54 99956-3050
Workshop Gerdau 2023 - Soluções em Aço - Resumo.pptx
Notas_SDL_cap6.pdf
1. Capı́tulo 6 - Diagrama de Bode
Prof. Fernando de Oliveira Souza
(baseado nas notas de aula de SDL do Prof. Bruno Otávio)
fosouza@cpdee.ufmg.br (http://www.cpdee.ufmg.br/∼fosouza/)
Departamento de Engenharia Eletrônica
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil
– p. 1/123
5. Resposta em Frequência
H(ejω
) =
∞
k=−∞
h[k]e−jωk
H(ejω
) é chamado de Resposta em
Frequência do sistema discreto.
H(jω) =
∞
−∞
h(τ)e−jωτ
dτ
H(jω) é chamado de Resposta em
Frequência do sistema contı́nuo.
– p. 5/123
6. Resposta Senoidal (Diagramas de Blocos)
Em termos de diagrama de blocos,
Tempo contı́nuo
h(t)
ejωt H(jω)ejωt
Tempo discreto
h[n]
ejωn H(ejω
)ejωn
– p. 6/123
7. Resposta em frequência
A Resposta em frequência pode ser
obtida pela posição dos polos e zeros do
sistema representado por uma função de
transferência.
– p. 7/123
8. Resposta em frequência
Obtenha a saı́da do sistema com função de
transferência
Y (s)
X(s)
= H(s)
quando a entrada x(t) é uma senoide de
amplitude A
x(t) = Asen(ωt)u(t).
– p. 8/123
9. Resposta em frequência
A transformada de Laplace da entrada é
X(s) =
Aω
s2 + ω2
Logo, transformada de Laplace da saı́da é
Y (s) = H(s)
Aω
s2 + ω2
Assumindo que H(s) tenha polos reais
distintos e usando frações parciais
Y (s) =
α1
s − p1
+
α2
s − p2
+ · · · +
αn
s − pn
+
β0
s + jω
+
β∗
0
s − jω
– p. 9/123
10. Resposta em frequência
Y (s) =
α1
s − p1
+
α2
s − p2
+ · · · +
αn
s − pn
+
β0
s + jω
+
β∗
0
s − jω
Logo, a saı́da é
y(t) = α1ep1t
+ α2ep2t
+ · · · + αnepnt
yn
+ β0e−jωt
+ β∗
0ejωt
yf
Se H(s) for assintoticamente estável
(p1,p2, . . . ,pn 0), então a solução em
regime permanente será: yf (t)
– p. 10/123
11. Resposta em frequência
yf (t) = β0e−jωt
+ β0
∗
ejωt
Calculando os coeficientes:
β0 = (s + jω)H(s)
Aω
(s + jω)(s − jω)
s=−jω
= H(−jω)
Aω
−2jω
=
H(−jω)A
−2j
⇒ β0
∗
=
H(jω)A
2j
– p. 11/123
13. Resposta em frequência
yf (t) = A|H(jω)|sen(ωt + H(jω))
A resposta em regime permanente de um
sistema LIT estável excitado por uma
senóide de freq. ω também será uma
senóde de freq ω, mas com sua
amplitude e fase possivelmente alteradas.
As mudanças de amplitude e de fase não
são fixas, pois dependem da frequência
do sinal de entrada ω.
– p. 13/123
14. Resposta em frequência
yf (t) = A|H(jω)|sen(ωt + H(jω))
Objetivos:
1. Analisar como o sistema responde a
entradas senoidais diferentes
2. Avaliar |H(s)| para s assumindo valores no
eixo imaginário (s = jω) é muito útil para
determinar a estabilidade de sistemas em
malha-fechada
(Nesta análise consideramos que H(s) tem polos reais e distintos, mas o
mesmo resultado é obtido caso H(s) tenha polos complexos
conjugados ou repetidos)
– p. 14/123
15. Exemplo: Resposta em frequência
Saı́da do sistema
H(s) =
1
s + 1
devido a entrada
x(t) = sen(10t)u(t)
A resposta completa é
y(t) =
10
101
e−t
yn
+
1
√
101
sen(10t − 84,2◦
)
yf
– p. 15/123
16. Exemplo: Resposta em frequência
y(t) =
10
101
e−t
yn
+
1
√
101
sen(10t − 84,2◦
)
yf
1 2 3 4 5 6
y
yn
yf
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
−0,05
−0,1
– p. 16/123
17. H. W. Bode
Hendrix Wade Bode (Estados Unidos, 24/12/1905 - 21/06/1982)
Representar a resposta em
frequência é um problema
antigo;
Antes dos computadores
esta representação
precisava ser feita a mão;
A técnica mais usual para
representar resposta em
frequência foi desenvolvida
por H. W. Bode no Labo-
ratório Bell (fundado por
Alexander Graham Bell)
entre 1932 e 1942.
– p. 17/123
18. Diagrama de Bode
Escala Logaritmica: permite analisar uma faixa
ampla de frequências
Considere:
G(jω) =
(jω + n1)(jω + n2)
(jω + d1)(jω + d2)(jω + d3)
=
r1r2
r3r4r5
ej(θ1+θ2−θ3−θ4−θ5)
O ângulo total é a contribuição linear, adição, de
todos os ângulos individuais
Entretanto, o módulo é: |G(jω)| =
r1r2
r3r4r5
– p. 18/123
19. Diagrama de Bode
Escala Logaritmica: permite analisar uma faixa
ampla de frequências
O módulo é: |G(jω)| =
r1r2
r3r4r5
Por outro lado:
log10|G(jω)| = log10
r1r2
r3r4r5
= log10r1+log10r2−log10r3−log10r4−log10r5
O logaritmo de |G(jω)| total é a contribuição
linear dos logaritmos dos termos ri.
– p. 19/123
20. Diagrama de Bode
O diagrama de Bode é representado em
duas curvas
i) Magnitude em Decibels × Log de ω
ii) Fase em graus × Log de ω
Decibel corresponde a 20 vezes o
logaritmo da quantidade:
20 log10 |H(jω)| é a magnitude logaritmica
Decibel: db, dB (1/10 de bel)
– p. 20/123
22. Diagrama de Bode
Considere a função de transferência:
H(s) = K
(s + a1)(s − a2)
s(s + b1)(s − b2)(s2 + 2ζωns + ω2
n)
em que: k, a1, a2, b1, b2, ζ, ωn 0
Note que H(s) pode ser rescrita como
H(s) = K
a1a2
b1b2ω2
n
( s
a1
+ 1)( s
a2
− 1)
s( s
b1
+ 1)( s
b2
− 1)( s2
ω2
n
+ 2ζ
ωn
s + 1)
– p. 22/123
23. Diagrama de Bode
Considere a função de transferência:
H(s) = K
a1a2
b1b2ω2
n
( s
a1
+ 1)( s
a2
− 1)
s( s
b1
+ 1)( s
b2
− 1)( s2
ω2
n
+ 2ζ
ωn
s + 1)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−2
−1
0
1
2
Re{s}
Im{s}
× ×
×
×
×
◦ ◦
a1 a2
b1 b2
– p. 23/123
24. Diagrama de Bode
Considere a função de transferência:
H(s) = K
a1a2
b1b2ω2
n
( s
a1
+ 1)( s
a2
− 1)
s( s
b1
+ 1)( s
b2
− 1)( s2
ω2
n
+ 2ζ
ωn
s + 1)
Fazendo s = jω, obtém-se a resposta em
frequência
H(jω) = K̄
(jω
a1
+ 1)(jω
a2
− 1)
jω(jω
b1
+ 1)(jω
b2
− 1)(j 2ζ
ωn
ω + 1 + (jω)2
ω2
n
)
na qual: K̄ = K
a1a2
b1b2ω2
n
.
– p. 24/123
29. Diagrama de Bode
Considerar separadamente de cada
componente de H(jω),
Constante
Polo ou zero na origem
Polo ou zero simples
Polos ou zeros complexos conjugados
Zero de fase não-mı́nima
Polo instável
O diagrama de bode será esboçado e
analisado considerando-se a composição
destes termos.
– p. 29/123
91. Sistemas de Fase Não-Mı́nima
Zeros no semi-plano direito.
Zeros no semi-plano direito são classificados como
zeros de fase não mı́nima
FT com zeros no semi-plano direito são
classificadas como FT de fase não-mı́nima.
Os sistemas com FT de fase não mı́nima são
classificados como sistemas de fase não mı́nima.
– p. 91/123
92. Sistemas de Fase Não-Mı́nima
Uma FT é dita de fase mı́nima
se todos os seus zeros estão
no semi-plano esquerdo do plano-s.
Ela é chamada de FT de fase não-mı́nima se algum
zero estiver no semi-plano direito
Nota: Segundo alguns autores, sistema de fase não-mı́nima não
é caracterizado apenas por zeros no semi-plano direito, mas
também por polos instáveis...
– p. 92/123
93. Sistemas de Fase Não-Mı́nima
Se os zeros de H1(s) estão todos no semi-plano
esquerdo e os zeros de H2(s) são os zeros de H1(s)
refletidos para o semi-plano direito, então
|H1(s)| = |H2(s)| e ∠H1(s) = ∠H2(s)
Quando se compara a variação de fase dos
sistemas H1(s) e H2(s), observa-se que a variação de
fase de H1(s) (todos os zeros no semi-plano esquerdo)
é sempre menor que a variação de fase de H2(s)
(todos os zeros no semi-plano direito).
– p. 93/123
94. Exercı́cio: Sistemas de Fase Não-Mı́nima
Considere dois sistemas com funções de
transferência
H1(s) =
2s +1
0,1s + 1
, e H2(s) =
2s−1
0,1s + 1
As duas FT têm a mesma magnitude,
porém caracterı́sticas de fase diferentes
Trace o diagrama de Bode dos sistemas
acima.
– p. 94/123
96. Retardo no tempo
τ: Retardo no tempo, atraso de tempo ou atraso
de transporte.
f(t − τ): f(t) atrasada de τ unidades
L{f(t)} = F(s) e L{f(t − τ)} = e−τs
F(s)
e−τs
: função transcendental
– p. 96/123
97. H. E. Padé
Henri Eugène Padé (França, 17/12/1863 - 09/07/1953)
Aproximar e−sτ
como
uma função racional ;
Padé propôs a
aproximação
e−τs
≈ Pn(s) =
Qn(−τs)
Qn(τs)
sendo
Qn(τs)=
n
j=0
(n + j)!
j!(n − j)!
(τs)n−j
Aproximação melhor que a série de Taylor truncada e pode
ser aplicada quando a série de Taylor não converge.
– p. 97/123
98. Exemplo: Aproximação de Padé
e−τs
≈ Pn(s) =
Qn(−τs)
Qn(τs)
sendo Qn(τs) =
n
j=0
(n + j)!
j!(n − j)!
(τs)n−j
Para τ = 1, temos a aproximação de Padé
P1(s) =
−s + 2
s + 2
P2(s) =
s2
− 6s + 12
s2 + 6s + 12
P3(s) =
−s3
+ 12s2
− 60s + 120
s3 + 12s2 + 60s + 120
– p. 98/123
99. Exemplo: Aproximação de Padé
Considere
H(s) =
1
s + 1
e−s
⇒ Y (s) =
1
s + 1
R(s)e−s
≈
1
s + 1
R(s)
−s + 2
s + 2
≈
1
s + 1
R(s)
s2
− 6s + 12
s2 + 6s + 12
≈
1
s + 1
R(s)
−s3
+ 12s2
− 60s + 120
s3 + 12s2 + 60s + 120
– p. 99/123
100. Exemplo: Aproximação de Padé
Para R(s) = 1/s, usando aproximações para e−s
, temos y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Resposta ao degrau
Amplitude
Tempo
– p. 100/123
101. Retardo no Tempo/Fase Não-Mı́nima
O retardo no tempo - ou atraso de transporte -
caracterizado por e−sτ
, é um exemplo de sistema de
fase não-mı́nima. Veja que uma simples expansão de
ordem ‘n’ usando Padé gera ‘n’ zeros no semi
plano-direito...
Note que
|e−jωτ
| = | cos ωτ − jsen ωτ| = 1
e
∠e−jωτ
= −ωτ
– p. 101/123
102. Diagrama de Bode: Retardo no tempo
Seja Hτ (jω) = e−jτω
:
⇒ 20 log10 |Hτ (jω)| = −20 log10 |ejτω
| = −20 log10 |1| = 0
⇒ Hτ (jω) = e−jτω
= −τω
(Taxa de variação de fase constante)
Seja H(s)e−τs
, logo observe que:
limω→∞
d
dω
∠H(jω)e−jτω
= limω→∞
d
dω
[∠H(jω) + ∠e−jτω
]
= limω→∞
d
dω
[∠H(jω)−τω]
= 0 − τ = −τ
– p. 102/123
103. Diagrama de Bode: Retardo no tempo
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−20
−10
0
10
20
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
20 log10 |e−jτω
|
e−jτω
ω
ω
– p. 103/123
104. Exemplo: Retardo no tempo
Obter o diagrama de Bode de
H(jω) =
e−jωτ
1 + jωτ
A magnitude é
20 log |H(jω)| = 20 log
e−jωτ
0
+20 log
1
1 + jωτ
O ângulo de fase é
∠H(jω) = ∠e−jωτ
−ωτ
−atan(ωτ)
Portanto basta combinar o efeito do retardo, ie, um
decréscimo na fase...
– p. 104/123
105. Diagrama de Bode: Retardo no tempo
Pode-se usar o MATLAB c
para avaliar a resposta em frequência de
um sistema de 1a. ordem com retardo no tempo.
h=tf(1,[2 1]) % h = 1/(2s + 1) - sem retardo
g=tf(1,[2 1],’iodelay’,2) % g = exp(-2s) * h - h com retardo
bode(h), hold on, bode(g)
Note que para frequências especı́ficas, considerando τ = 2s, obtém-se o
atraso em fase de −τω:
frequência (rad/s) Atraso na Fase (−τω ∗ 180o
/π)
1 −114◦
2 −229◦
10 −1145◦
– p. 105/123
106. Diagrama de Bode: Retardo no tempo
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Magnitude
(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
−90
−60
−30
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
– p. 106/123
107. Obtendo a FT do Diagrama de Bode
1. Traçar assı́ntotas as curvas de módulo. As assı́nto-
tas devem ter inclinações múltiplas de ±20 db/dec.
2. Se a inclinação da curva de módulo mudar de
um fator de 20 db/dec em ω = a1, então a FT possui
um termo da forma:
jω
a1
+ 1
3. Se a inclinação da curva de módulo mudar de
um fator de −20 db/dec em ω = b1, então a FT possui
um termo da forma:
1
jω
b1
+ 1
– p. 107/123
108. Diag. de Bode: Polo/instável e Zero/Fase não mı́nima
4. Se a inclinação da curva de módulo mudar de
um fator de 40 db/dec em ω = a2, então a FT possui
um termo da forma:
1 + 2ζ j
ω
a2
+ j
ω
a2
2
5. Se a inclinação da curva de módulo mudar de
um fator de −40 db/dec em ω = b2, então a FT possui
um termo da forma:
1
1 + 2ζ
j ω
b2
+
j ω
b2
2
– p. 108/123
109. Diag. de Bode: Polos (ou Zeros) complexos
6. Para baixas frequências temos a relação
|H(jω)| ≈
K̄
1
(jω)q
A qual nos possibilita descobrir o ganho
da FT e o número de polos na origem.
Para os próximos passos: Assuma que a
FT seja de fase mı́nima e trace a curva
de fase.
– p. 109/123
110. Diagrama de Bode: Polo e Zero na origem
7. Se a curva de fase obtida diferir da curva
de fase obtida experimentalmente,
então, algum dos zeros/polos estão no
spd ou o sistema tem ganho negativo.
8. Se a curva de fase obtida diferir da curva
de fase obtida experimentalmente por
um fator com taxa de variação
constante, então, haverá um fator de
retardo de transporte.
– p. 110/123
111. Exemplo 1
Determine a função de transferência do sistema
conhecendo:
−150
−100
−50
0
50
100
Magnitude
(dB)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−180
−135
−90
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
– p. 111/123
113. Exemplo 1: Solução
Sistema com um polo na origem, usando
20 log10(H(j1)) = 20 log
K̄
= 0 → K̄ = 1
Em ω = 0,1 mudança de −20 db/dec, então temos
1
j ω
0,1
+ 1
Em ω = 1 mudança de +20 db/dec, então temos
j
ω
1
+ 1
Em ω = 10 mudança de −20 db/dec, então temos
1
j ω
10
+ 1
– p. 113/123
114. Exemplo 1: Solução
Assim, temos
H(jω) = 1
jω
j ω
1
+ 1
j ω
0,1
+ 1
j ω
10
+ 1
logo, substituindo jω = s,
H(s) =
(s + 1)
s (s + 0,1) (s + 10)
Finalmente, é necessário encontrar a curva de
fase para a FT encontrada e verificar se é igual a
curva de fase obtida experimentalmente. Neste
caso são idênticas.
– p. 114/123
115. Exemplo 2
Determine a função de transferência do sistema
conhecendo:
−150
−100
−50
0
50
100
Magnitude
(dB)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−180
−135
−90
−45
0
45
90
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
– p. 115/123
117. Exemplo 2: Solução
Como no Exercı́cio 1, temos:
H(s) =
(s+1)
s (s + 0,1) (s + 10)
Finalmente, é necessário encontrar a curva de
fase para a FT encontrada e verificar se é igual a
curva de fase obtida experimentalmente. Neste
caso são diferentes.
Presença de um termo de fase não mı́nima,
neste caso, um zero
Logo a solução é
H(s) =
(s−1)
s (s + 0,1) (s + 10)
– p. 117/123
118. Exercı́cio
Determine a função de transferência do sistema
conhecendo:
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Magnitude
(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
−90
−60
−30
0
Phase
(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
– p. 118/123
119. Exercı́cio: Solução
Sistema sem polo na origem, para ω 1 temos
20 log10(G(jω)) = 20 log
K̄
= 0 → K̄ = 1
Em ω = 0,5 há uma mudança de −20 db/dec
Gc(jω) = 1
1
j ω
0,5
+ 1
=
1
2
1
jω + 0,5
então (Gc(s): FT calculada)
Gc(s) =
1
2
1
s + 0,5
Nota-se que a curva de fase medida difere por
uma taxa variante constante da curva calculada,
o que indica a presença de retardo, τ.
– p. 119/123
120. Exercı́cio: Solução
Assumindo a presença do retardo temos
Gm(s) = Gc(s)e−sτ
=
1
2
1
s + 0,5
e−sτ
portanto (Gm(s): FT real obtida
experimentamente)
∠Gc(jω)e−jωτ
Gm(jω)
= ∠
1
2
1
jω + 0,5
Gc(jω)
−ωτ
Determinar τ.
– p. 120/123
121. Exercı́cio: Solução
Gc: resposta calculada e Gm: resposta medida
−8
−6
−4
−2
0
Magnitude
(dB) Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
−2
10
−1
10
0
−90
−60
−30
0
System: Gc
Frequency (rad/sec): 0.1
Phase (deg): −11.4
System: Gm
Frequency (rad/sec): 0.1
Phase (deg): −22.8
System: Gc
Frequency (rad/sec): 0.2
Phase (deg): −21.8
System: Gm
Frequency (rad/sec): 0.2
Phase (deg): −44.7
Phase
(deg)
– p. 121/123
122. Exercı́cio: Solução
Temos que
∠Gm(jω) = ∠Gc(jω) − ωτ
Cálculo 1: Para ω = 0,1, temos:
∠Gc(jω) = −11,4◦
= −0,1990 rad
∠Gm(jω) = −22,8◦
= −0,3979 rad Portanto
−0,3979 = −0,1990 − ωτ
τ =
0,3979 − 0,1990
0,1
= 1,989 ≈ 2
– p. 122/123