analise matematica

1. EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 1
Transformada e Anti-Transformada Z
1 Definição de Transformada Z
• dada uma função de variável independente discreta
,...
2
,
1
,
0
),
( =
k
k
f
então a Transformada Z de f(k) assume a forma:
[ ] ( ) ∑
∑
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∆
=
=
=
0
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
z
k
f
z
k
f
z
F
k
f
Z
onde z é uma variável complexa e se considera que a série de potências de 1
−
z é
convergente.
• repare que a transformada Z converte uma seqüência de números no domínio real
em uma expressão algébrica no domínio complexo.
EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 2
Exemplo 1
• k
b
k
f =
)
( , com b constante e positivo
• [ ] ∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
−
∆






=
=
=
0
0
)
(
)
(
k
k
k
k
k
z
b
z
b
z
F
k
f
Z
• para que a série seja convergente, deve-se ter b
z
z
b
>
⇒
<1
• neste caso, tem-se uma progressão geométrica de razão
z
b
r = e 1
0 =
a
• é sabido que a soma dos k primeiros termos produz:
r
r
a
s
k
k
−
−
=
1
1
0
• como tem-se que 1
<
r , então para +∞
→
k resulta:
r
a
sk
k −
=
+∞
→ 1
lim 0
• com isso, a Transformada Z assume a forma:
[ ] [ ] b
z
z
z
b
z
F
b
Z
k
f
Z k
−
=
−
=
=
=
1
1
)
(
)
(

2. EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 3
Exemplo 2
• amostragem com período T de at
e
t
f =
)
( , com a constante
• considerando kT
tk = , com T constante e k=0,1,2,...
• ( ) k
k
aT
akT
k b
e
e
t
f
k
f =
=
=
= )
(
)
( , com aT
e
b =
• com isso, resulta: [ ] [ ] aT
akT
e
z
z
z
F
e
Z
k
f
Z
−
=
=
= )
(
)
(
Exemplo 3
• amostragem com período T de )
(
)
( t
u
t
f = , ou seja, o degrau unitário
• considerando kT
tk = , com T constante e k=0,1,2,...
• 1
)
(
)
( =
= k
t
f
k
f
• com isso, resulta: [ ] [ ] [ ] 1
)
(
1
1
)
(
−
=
=
=
=
z
z
z
F
Z
Z
k
f
Z k
EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 4
Exemplo 4
• função delta de Kronecker:



=
=
=
δ
,...
2
,
1
se
0
0
se
1
)
(
k
k
k
• [ ] 1
)
(
)
(
)
(
0
=
δ
=
=
δ ∑
∞
+
=
−
k
k
z
k
z
F
k
Z
2 Relação entre a Transformada Z e a Transformada de
Laplace
• considere o seguinte amostrador ideal de sinais:
T
f(t) f*(t)
• f(t): função de variável contínua t ∈ ℜ, com f(t) = 0 para t < 0
• f*(t): função amostrada pulsada
• T: período de amostragem (constante)
• matematicamente, definindo o trem de pulsos ∑
∞
+
=
−
δ
=
0
)
(
)
(
k
k
t
t
t
m , com kT
tk = :

3. EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 5
m(t)
t
0 T 2T 3T 4T
a função amostrada pulsada f*(t) pode ser expressa na forma:
∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
−
δ
=
−
δ
=
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
*
k
k
kT
t
kT
f
kT
t
t
f
t
f
• com isso, dada a função de variável independente discreta f(k) tal que
)
(
)
( k
t
f
k
f = , com kT
tk = , k=0,1,2,...
então resulta:
[ ] ∑
∫
∞
+
=
−
∞
+
∞
−
−
=
=
0
)
(
)
(
*
)
(
*
k
kTs
st
e
kT
f
dt
e
t
f
t
f
L
[ ] [ ] )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
*
0
0
z
F
k
f
Z
z
k
f
e
kT
f
t
f
L
k
k
z
e
k
kTs
z
e
Ts
Ts =
=
=
= ∑
∑
∞
+
=
−
=
∞
+
=
−
=
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 6
3 Propriedades da Transformada Z
3.1 Linearidade da transformação funcional
• se [ ] )
(
)
( 1
1 z
F
k
f
Z = e [ ] )
(
)
( 2
2 z
F
k
f
Z = então valem as seguintes igualdades:
[ ] [ ] [ ] )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1 z
F
z
F
k
f
Z
k
f
Z
k
f
k
f
Z +
=
+
=
+
[ ] [ ] )
(
)
(
)
( 1
1
1 z
cF
k
f
cZ
k
cf
Z =
= , onde c ∈ C é uma constante
ou de forma mais geral, com c1, c2 ∈ C sendo constantes:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1 z
F
c
z
F
c
k
f
Z
c
k
f
Z
c
k
f
c
Z
k
f
c
Z
k
f
c
k
f
c
Z +
=
+
=
+
=
+
3.2 Operador deslocamento (E)
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = então [ ] [ ] 





−
=
+
= ∑
−
=
−
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
n
k
k
n
n
z
k
f
z
F
z
n
k
f
Z
k
f
E
Z
• Demonstração:
[ ] 





−
=
+
=
+
=
+ ∑
∑
∑
∑
−
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
+
−
∞
+
=
−
1
0
0
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
k
k
k
k
n
k
n
k
n
k
k
z
k
f
z
k
f
z
z
n
k
f
z
z
n
k
f
n
k
f
Z

4. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 7
Logo, [ ] [ ] 





−
=
+
= ∑
−
=
−
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
n
k
k
n
n
z
k
f
z
F
z
n
k
f
Z
k
f
E
Z .
Exemplo 1: [ ] [ ] [ ]
( )
)
0
(
)
1
(
)
( f
z
F
z
k
f
Z
k
Ef
Z −
=
+
=
Exemplo 2:
[ ] [ ] [ ]
( ) [ ]
( ) )
1
(
)
0
(
)
1
(
)
0
(
)
2
(
)
( 2
1
2
2
zf
f
z
F
z
z
f
f
z
F
z
k
f
Z
k
f
E
Z −
−
=
−
−
=
+
= −
3.3 Atraso de transporte
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = então [ ] [ ] [ ]
z
F
z
n
k
f
Z
n
k
u
n
k
f
Z n
−
=
−
=
−
− )
(
)
(
)
(
• Demonstração:
[ ] ∑
∑
∞
+
=
−
−
−
∞
+
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
n
k
n
k
k
z
n
k
u
n
k
f
z
z
n
k
u
n
k
f
n
k
u
n
k
f
Z
Fazendo n
k
j −
= , resulta:
[ ] [ ]
z
F
z
z
j
u
j
f
z
z
j
u
j
f
z
n
k
u
n
k
f
Z n
j
j
n
n
j
j
n −
∞
+
=
−
−
∞
+
−
=
−
−
=
=
=
−
− ∑
∑
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 8
3.4 Translação complexa
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = então [ ] [ ]
aT
aTk
ze
F
k
f
e
Z =
−
)
(
• Demonstração:
[ ] ( ) [ ]
aT
k
k
aT
k
k
aTk
aTk
ze
F
ze
k
f
z
e
k
f
k
f
e
Z =
=
= ∑
∑
∞
+
=
−
∞
+
=
−
−
−
0
0
)
(
)
(
)
(
3.5 Valor final
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = então )
(
1
lim
)
(
)
1
(
lim
)
(
lim
1
1
1
z
F
z
z
z
F
z
k
f
z
z
k
−
=
−
=
→
−
→
∞
→
• Demonstração:
[ ] [ ] ( )
∑
∞
+
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
0
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
k
k
z
k
f
k
f
k
f
k
f
Z
z
F
z
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) )
(
)
1
(
)
2
(
)
0
(
)
1
(
)
0
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
lim
0
0
1
1
1
+∞
=
+
−
+
−
+
=
=
−
−
=
−
−
=
− ∑
∑
∞
+
=
∞
+
=
−
→
−
→
f
f
f
f
f
f
k
f
k
f
z
k
f
k
f
z
F
z
k
k
k
z
z
L

5. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 9
3.6 Valor inicial
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = e existe )
(
lim z
F
z ∞
→
então )
(
lim
)
(
lim
)
0
(
0
z
F
k
f
f
z
k ∞
→
→
=
=
• Demonstração:
[ ] L
+
+
+
=
= −
−
∞
+
=
−
∑ 2
1
0
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
( z
f
z
f
f
z
k
f
Z
F
k
k
[ ] ( ) )
0
(
)
2
(
)
1
(
lim
)
0
(
)
(
lim
lim 2
1
0
f
z
f
z
f
f
z
k
f
Z
F
z
k
k
z
z
=
+
+
+
=
= −
−
∞
→
∞
+
=
−
∞
→
∞
→
∑ L
3.7 Diferenciação complexa
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = então [ ] [ ]
z
F
dz
d
Tz
k
kTf
Z −
=
)
(
• Demonstração: Seja )
(
)
(
1 k
kTf
k
f = , então tem-se que
[ ] [ ]
z
F
dz
d
Tz
z
k
f
dz
d
Tz
z
dz
d
z
k
f
T
z
k
kTf
z
F
k
k
k
k
k
k
−
=
−
=
−
=
= ∑
∑
∑
∞
+
=
−
∞
+
=
−
∞
+
=
−
0
0
0
1 )
(
)
(
)
(
EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 10
3.8 Convolução real
• se [ ] )
(
)
( z
F
k
f
Z = e [ ] )
(
)
( z
G
k
g
Z = então [ ] )
(
)
(
)
(
*
)
( z
G
z
F
k
g
k
f
Z =
• Demonstração:
∑
=
−
=
=
k
m
m
g
m
k
f
k
g
k
f
k
c
0
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
[ ] ∑ ∑
∞
+
= =
−
−
=
0 0
)
(
)
(
)
(
k
k
m
k
z
m
g
m
k
f
k
c
Z
Como ∑
∑
∞
+
=
−
=
−
−
−
=
−
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
m
k
k
m
k
z
m
g
m
k
u
m
k
f
z
m
g
m
k
f , então resulta:
[ ] ∑ ∑
∑ ∑
∞
+
=
∞
+
=
−
−
−
∞
+
=
∞
+
=
−
−
−
=
−
−
=
0 0
)
(
0 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
m k
m
k
m
m k
k
z
m
k
u
m
k
f
z
m
g
z
m
k
u
m
k
f
m
g
k
c
Z
[ ] )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
z
G
z
F
z
m
g
z
F
z
F
z
m
g
k
c
Z
m
m
m
m
=
=
= ∑
∑
∞
+
=
−
∞
+
=
−

6. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 11
4 Anti-Transformada Z
• de forma equivalente à Transformada de Laplace, é possível expandir F(z) em
frações parciais e então aplicar a Tabela de Transformada Z para obtenção da
Anti-Transformada correspondente.
Exemplo:
( )( )
2
1
)
(
−
−
=
z
z
z
z
F
•
( )( ) 2
1
2
1
1
)
( 2
1
−
+
−
=
−
−
=
z
c
z
c
z
z
z
z
F
• 1
2
1
1
1 −
=
−
=
=
z
z
c
• 1
1
1
2
2 =
−
=
=
z
z
c
•
2
1
)
(
2
1
1
1
)
(
−
+
−
−
=
⇒
−
+
−
−
==
z
z
z
z
z
F
z
z
z
z
F
• [ ] k
k
f
z
F
Z 2
1
)
(
)
(
1
+
−
=
=
−
, k=0,1,2,...
EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 12
5 Preparando as equações a diferenças para solução via
Anti-Transformada Z
• considere a equação a diferenças de 2a. ordem:
)
(
)
(
)
1
(
)
2
( 0
0
1 k
u
b
k
x
a
k
x
a
k
x =
+
+
+
+ , com 0
)
0
( x
x = e 1
)
1
( x
x =
• utilizando o operador deslocamento (E), resulta:
( ) )
(
)
( 0
0
1
2
k
u
b
k
x
a
E
a
E =
+
+
• aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equação, obtém-se:
[ ] [ ] [ ] [ ]
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0
1
2
k
u
Z
b
k
x
Z
a
k
Ex
Z
a
k
x
E
Z =
+
+
• como: [ ] )
(
)
( z
U
k
u
Z =
[ ] )
(
)
( z
X
k
x
Z =
[ ] ( )
)
0
(
)
(
)
( x
z
X
z
k
Ex
Z −
=
[ ] ( ) )
1
(
)
0
(
)
(
)
( 2
2
zx
x
z
X
z
k
x
E
Z −
−
=
a substituição na equação acima produz:

7. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 13
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
1
(
)
0
(
)
( 0
0
1
1
2
2
z
U
b
z
X
a
zx
a
z
zX
a
zx
x
z
z
X
z =
+
−
+
−
−
[ ] ( ) 1
0
1
2
0
0
1
2
)
(
)
( zx
x
z
a
z
z
U
b
z
X
a
z
a
z +
−
+
=
+
+
[ ]
( )
[ ]
1
0
1
2
0
0
1
2
)
(
1
)
( zx
x
z
a
z
z
U
b
a
z
a
z
z
X +
−
+
+
+
=
[ ]
)
(
)
( 1
z
X
Z
k
x −
=
• comentários:
a Transformada Z produz uma equação algébrica a partir de uma equação a
diferenças;
a resposta x(k) é obtida da composição das contribuições de u(k), x(0) e x(1),
que podem ser calculadas individualmente;
tomando )
(
)
( k
k
u δ
= e 0
)
1
(
)
0
( =
= x
x , então
0
1
2
0
)
(
a
z
a
z
b
z
X
+
+
= , que
literalmente representa a Transformada Z da resposta ao impulso sob
condições iniciais nulas, ou seja, é a função de transferência do sistema.
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DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 14
em outras palavras, a função de transferência do sistema é a razão entre as
Transformadas Z da saída e da entrada, sob condições iniciais nulas.
com isso, para um sistema com função de transferência
0
1
2
0
)
(
)
(
)
(
a
z
a
z
b
z
G
z
U
z
X
+
+
=
= a resposta ao impulso )
(
)
( k
k
u δ
= é dada por:
[ ] [ ]
)
(
)
(
)
(
)
( 1
1
z
G
Z
z
U
z
G
Z
k
x −
−
=
=
a solução geral da equação a diferenças para uma entrada u(k) qualquer e
condições iniciais x(0) e x(1) quaisquer é dada por:
∑
=
−
+
=
k
m
k
u
m
k
h
k
x
k
x
0
1 )
(
)
(
)
(
)
(
onde
( ) 0
)
(
1
0
1
2
=
+
+ k
x
a
E
a
E , com )
0
(
)
0
(
1 x
x = e )
1
(
)
1
(
1 x
x =
( ) )
(
)
(
0
1
2
k
k
h
a
E
a
E δ
=
+
+ , com 0
)
0
( =
h e 0
)
1
( =
h

8. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 15
• a função de transferência facilita a representação do sistema em diagrama de
blocos:
)
(
)
(
)
( z
U
z
G
z
X =
G(z)
U(z) X(z)
6 Solução via Anti-Transformada Z: Caso 1
• usando Anti-Transformada Z, obtenha a solução da seguinte equação a diferenças:
)
(
)
(
*
2
.
0
)
1
(
*
5
.
0
)
2
( k
u
k
y
k
y
k
y =
+
+
+
+ , com y(0)=0 e y(1)=0.
Considere 1
)
( =
k
u para k=0, 1, 2, ...
Solução:
tome a Transformada Z de ambos os lados da equação a diferenças:
[ ] [ ] )
(
)
(
*
2
.
0
)
0
(
)
(
*
5
.
0
)
1
(
)
0
(
)
( 2
2
z
U
z
Y
zy
z
zY
zy
y
z
z
Y
z =
+
−
+
−
−
EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 16
substituindo as condições iniciais e também empregando a Transformada Z de
u(k), que é dada por
1
)
(
−
=
z
z
z
U , obtém-se:
)
2
.
0
*
5
.
0
)(
1
(
)
( 2
+
+
−
=
z
z
z
z
z
Y
a expansão em frações parciais de
z
z
Y )
(
produz (expoentes estão em radianos):
37
.
0
25
.
0
036
.
1
37
.
0
25
.
0
036
.
1
1
588
.
0
)
( 283
.
1
283
.
1
j
z
e
j
z
e
z
z
z
Y j
j
−
+
−
+
+
−
−
=
−
tomando a Anti-Transformada Z, obtém-se:
( ) ( )
)
283
.
1
165
.
2
(
)
283
.
1
165
.
2
(
447
.
0
*
036
.
1
588
.
0
)
( −
−
−
+
−
= k
j
k
j
k
e
e
k
y
( ) ( )
283
.
1
165
.
2
cos
447
.
0
*
072
.
2
588
.
0
)
( −
−
= k
k
y k
7 Solução via Anti-Transformada Z: Caso 2
• usando Anti-Transformada Z, obtenha a solução da seguinte equação a diferenças:

9. EA616 − Prof. Von Zuben
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 17
k
k
x
k
x
k
x 2
.
0
)
(
*
06
.
0
)
1
(
*
1
.
0
)
2
( =
−
+
+
+ , com 5
)
0
( =
x e 2
)
1
( =
x .
• ( )( ) k
k
x
E
E )
2
.
0
(
)
(
2
.
0
3
.
0 =
−
+ , 5
)
0
( =
x e 2
)
1
( =
x
• k
k
x
k
x
k
x )
2
.
0
(
)
(
06
.
0
)
1
(
1
.
0
)
2
( =
−
+
+
+
• [ ] [ ]
2
.
0
)
(
06
.
0
)
0
(
)
(
1
.
0
)
1
(
)
0
(
)
( 2
2
−
=
−
−
+
−
−
z
z
z
X
zx
z
zX
zx
x
z
z
X
z
• [ ] [ ]
5
.
0
5
.
1
5
2
.
0
5
.
2
5
2
.
0
)
(
06
.
0
1
.
0 2
2
2
+
+
−
=
+
+
−
=
−
+ z
z
z
z
z
z
z
z
z
X
z
z
• [ ] [ ]
5
.
0
5
.
1
5
2
.
0
)
(
)
2
.
0
)(
3
.
0
( 2
+
+
−
=
−
+ z
z
z
z
z
X
z
z
• [ ] [ ]
5
.
0
5
.
1
5
2
.
0
)
(
)
2
.
0
)(
3
.
0
( 2
+
+
−
=
−
+ z
z
z
z
z
X
z
z
•
( ) )
3
.
0
(
2
.
0
5
.
0
5
.
1
5
)
(
2
2
+
−
+
+
=
z
z
z
z
z
z
X
EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 18
•
( ) ( ) ( ) ( )
3
.
0
2
.
0
2
.
0
)
3
.
0
(
2
.
0
5
.
0
5
.
1
5 3
2
2
1
2
2
+
+
−
+
−
=
+
−
+
+
z
c
z
c
z
c
z
z
z
z
• pelo método dos coeficientes a determinar, resulta:
• 2
)
3
.
0
(
5
.
0
5
.
1
5
2
.
0
2
1 =
+
+
+
=
=
z
z
z
z
c
•
( )
3
3
.
0
05
.
0
3
5
)
3
.
0
(
5
.
0
5
.
1
5
2
.
0
2
2
2
.
0
2
2 =








+
−
+
=














+
+
+
=
=
= z
z
z
z
z
z
z
z
dz
d
c
• 2
)
2
.
0
(
5
.
0
5
.
1
5
3
.
0
2
2
3 =
−
+
+
=
−
=
z
z
z
z
c
•
( ) ( ) ( )
3
.
0
2
2
.
0
3
2
.
0
2
)
(
2
+
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
X
•
( ) ( ) ( )
3
.
0
2
2
.
0
3
2
.
0
2
)
( 2
+
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
z
z
X
• Da Tabela de Anti-Transformada Z:

10. EA616 − Prof. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 19
( )
k
z
z
Z )
2
.
0
(
2
.
0
1
=






−
−
( ) ( )
k
z
z
Z
z
z
Z )
3
.
0
(
)
3
.
0
(
3
.
0
1
1
−
=






−
−
=






+
−
−
( ) ( )
1
2
1
2
1
)
2
.
0
(
2
.
0
)
2
.
0
(
2
.
0
2
.
0 −
−
−
=






−
⇒
=






−
k
k
k
z
z
Z
k
z
z
Z
Solução:
k
k
k
k
k
x )
3
.
0
(
2
)
2
.
0
(
3
)
2
.
0
(
2
)
( 1
−
+
+
= −