Livro matemática empresarial 1362573850037

Matemática
Empresarial
Márcia Castiglio da Silveira

Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil.
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida
por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da
Editora da ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Márcia Castiglio da Silveira é natural de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, nasceu em 25 de março de 1977.
Formou-se professora das Séries Iniciais no Curso de Magistério em 1995. Ingressou na Universidade Federal
do Rio Grande do Sul (UFRGS) em 1996, recebendo o diploma de Licenciada em Matemática em 30 de janeiro
de 2000. Realizou o curso de Mestrado em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (PPGEDU/UFRGS), no período 2000-2002. Sua dissertação tem o
título “Produção de significados sobre Matemática nos cartuns”. Em 2008, concluiu o curso de Especialização em
Educação a Distância pelo Senac/RS. Iniciou sua carreira na docência como professora substituta na Faculdade
de Educação da UFRGS, entre 2002 e 2004. Ainda em 2002, foi nomeada professora do Estado do Rio Grande
do Sul, onde ainda trabalha como professora de Matemática no Ensino Médio. Desde 2004, é professora na
Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) em diversos cursos tecnológicos, de graduação e de extensão.
Conselho Editorial EAD
Dóris Cristina Gedrat (coordenadora)
Mara Lúcia Machado
José Édil de Lima Alves
Astomiro Romais
Andrea Eick
ISBN 978-85-7528-257-1
Dados técnicos do livro
Fontes: Antique Olive, Book Antiqua
Papel: offset 90g (miolo) e supremo 240g (capa)
Medidas: 15x22cm
Impressão: Gráfica da ULBRA
Março/2010
Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero - ULBRA/Canoas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
S587m Silveira, Márcia Castiglio da.
Matemática empresarial. / Márcia Castiglio da Silveira. – Canoas: Ed.
ULBRA, 2010.
160p.
1. Matemática empresarial. 2. Regra de arrendodamento. 3. Estatística.
4. Medida de variabilidade. 5. Juros. 6. Séries de pagamento. I.Título.
CDU: 658.15

Sumário
Apresentação......................................................................................7
1 Razão e proporção...........................................................................11
2 Grandezas proporcionais e regra de três.....................................25
3 Regras de arredondamento e porcentagem................................37
4 Estatística: conceitos básicos..........................................................51
5 Medidas de tendência central........................................................71
6 Medidas de variabilidade..............................................................85
7 Juros...................................................................................................99
8 Descontos........................................................................................117
9 Estudo das taxas............................................................................129
10 Séries de pagamento.....................................................................141
Referências ....................................................................................157

9
Apresentação
Apresentamos neste livro o conteúdo da disciplina de Matemática
Empresarial. Ela contempla dois assuntos importantes: matemática
financeira e estatística.
Nos primeiros capítulos, revisamos conceitos básicos de razão,
proporção, grandezas proporcionais e regra de três, pois esses são
essenciais para o entendimento das relações entre as variáveis, tanto na
matemática financeira quanto na estatística.
Vamos ver diferentes modos de cálculos envolvendo porcentagens e
os conceitos básicos de estatística, as tabelas, os gráficos e as medidas de
tendência central e de variabilidade.
Com relação à matemática financeira, vamos estudar os juros,
os descontos, as taxas, as equivalências de capitais e as séries de
pagamento.
No estudo de matemática financeira, além das operações simples
como multiplicações e divisões, são também realizadas operações como
potenciação e radiciação. Assim, uma calculadora quatro operações
é insuficiente para realizar as atividades propostas. Para operar com
as fórmulas da matemática financeira precisamos no mínimo de
uma calculadora científica. Além dela, podemos utilizar calculadoras
financeiras (por exemplo, a HP-12C) e também a planilha de cálculo Excel.
Por isso, ao longo do livro você vai encontrar dicas de como utilizar essas
ferramentas de cálculo.
Para complementar seus estudos, sugerimos alguns livros que
apresentam os conteúdos de matemática financeira com o uso de
calculadoras financeiras:
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada:
método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2002.
DAL ZOT, Willi. Matemática Financeira. 4. ed. rev. ampl. Porto
Alegre: Ed. da Universidade da UFRGS, 2006.

10
Apresentação
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12c
e Excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com
uso da HP-12C. 2. ed. Novo Hamburgo : Ed. FEEVALE, 2005
Concluindo, cada aluno deve fazer uso da calculadora que melhor se
adequar as suas necessidades.
Bons estudos!
Profª. Márcia Castiglio da Silveira

Razãoeproporção
13
Existem conceitos bastante simples em matemática e que são
fundamentais em problemas do dia-a-dia, além de servirem de base para
outros conceitos matemáticos. Vejamos, neste capítulo, os conceitos de
razão, proporção e divisão proporcional.
1.1 Razão
De modo muito simples, em Matemática, razão significa divisão. Isto é:
Razão é o quociente entre dois números.
Vamos ver alguns exemplos nos quais podemos perceber a razão como
um instrumento útil para comparar dois números.
a) Em determinado período, enquanto a Revista ABC tem vendagem de
20.000 exemplares, a Revista XYZ tem vendagem de 5.000 exemplares.
Calculando a razão entre a vendagem das revistas, temos:
20000
4
5000
Revista ABC
Revista XYZ
= =
Isso quer dizer que a Revista ABC vende 4 vezes mais que a Revista
XYZ.
b) Uma empresa realiza seleção de funcionários para preenchimento
de 15 vagas. São inscritos para essa seleção 74 candidatos. Qual é a relação
de candidatos por vaga?
Calculando a razão entre o número de candidatos e o número de
vagas, temos:
74
4,93333333...
15
nº de candidatos
nº de vagas
= =

Razãoeproporção
14
Isso significa que existem 4,93333... candidatos por vaga. Nesse caso,
como a razão é um número decimal, podemos fazer uma aproximação
e dizer que temos mais de 4 candidatos por vaga, ou ainda, que temos
aproximadamente 5 candidatos por vaga.
Conceito de Razão[1]
Razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a por b.
Representação:
a
ou a : b
b
Lê-se: a está para b ou, simplesmente, a para b.
Os termos a e b são chamados de antecedente e consequente,
respectivamente.
Assim, na razão
2
3
, por exemplo, lê-se 2 está para 3 ou 2 para 3, em
que 2 é o antecedente e 3 é o consequente.
1.2 Razão inversa ou recíproca
Duas razões são chamadas razões inversas ou recíprocas quanto o
antecendente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.
Por exemplo:
As razões
2 3
e
3 2
são inversas.
As razões
1
e 4
4
são inversas.
4
Lembre-se que 4 é o mesmo que .
1
 
 
 
As razões
5 4
e
4 5
− − são inversas. (Não há nenhum problema se
as duas razões forem negativas.)

Razãoeproporção
15
É importante ressaltar que o número zero não possui razão inversa,
pois zero pode ser antecedente, mas não pode ser consequente.
Outra observação é que o produto de duas razões inversas é sempre
1 (um). Veja os exemplos:
2 3 6
1
3 2 6
× = =
1 4
4 1
4 4
× = =
5 4 20
1
4 5 20
− × − = = (Lembre-se que menos vezes menos é mais.)
Os conceitos de razão e de razão inversa são bastante simples e muito
importante para fundamentar o conceito de proporção.
1.3 Proporção
Uma proporção é a igualdade de duas razões. Desse modo, para que
se tenha a igualdade, as duas razões devem representar a mesma
quantidade. Por exemplo,
1
2
e
4
8
formam uma proporção, pois
1 4
2 8
= .
Para que fique claro, veja a ilustração abaixo:

Razãoeproporção
16
Como se pode notar, a parte destacada mais escura que representa
1
2
é igual à parte destacada que representa
4
8
.
Nesse caso, a fração
1
2
é considerada coeficiente de proporcionalidade ou
constante de proporcionalidade. Usa-se a fração na sua forma irredutível, isto
é, que não é mais simplificável, mas também está correto utilizar a forma
decimal que, neste exemplo, é 0,5.
Outros exemplos:
2 6
6 18
= o coeficiente de proporcionalidade é
1
3
, pois as razões são
equivalentes a
1
3
.
20 2
100 10
= o coeficiente de proporcionalidade é
1
5
, pois as razões são
equivalentes a
1
5
.
Conceito de Proporção[2]
Proporção é a igualdade de duas razões
a c
e
b d
(com a, b, c e d ≠ 0).
Representação:
a c
ou a:b c:d
b d
= =
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
Os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são
chamados meios.

Razãoeproporção
17
Assim, na proporção
2 4
3 6
= , por exemplo, lê-se 2 está para 3, assim como
4 está para 6, em que 2 e 6 são extremos e 3 e 4 são meios.
1.4 Propriedade Fundamental das
Proporções
Para toda a proporção, vale a seguinte propriedade:
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.
Por exemplo, na proporção
2 4
3 6
= , o produto dos meios (3 × 4) é igual
ao produto dos extremos (2 × 6) que é igual a 12. Veja na ilustração
abaixo:
2
3
4
6
meios
extremos
=
3 × 4 = 2 × 6
12 = 12
Esta propriedade é muito importante para se calcular um termo
desconhecido em uma proporção. Por exemplo, qual o valor de x na
proporção
x 9
4 2
= ?
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, faz-se o
produto dos meios (4 × 9) igual ao produto dos extremos (x × 2), isto é:

Razãoeproporção
18
4 . 9 = x . 2 (Preferimos utilizar o ponto como sinal de multiplicação.)
36 = 2x
2x = 36 (Preferimos trabalhar com a incógnita no 1º membro da
equação, por isso trocamos o 1º com o 2º membro.)
2x 36
2 2
= (Simplificamos os dois membros por 2.)
x = 18
Assim, 18 é o termo desconhecido.
Esta propriedade será utilizada na resolução dos problemas em que
temos uma divisão proporcional e também nos problemas de regra de três.
1.5 Números proporcionais[3]
Podemos comparar duas sucessões numéricas de números reais não-
nulos (a, b, c, d, ...) e (a’, b’, c’, d’, ...) para saber se elas são sucessões de
números direta ou inversamente proporcionais.
Para ser diretamente proporcional, precisamos que:
a b c d
... k
a' b' c' d'
= = = = = , em que k é a constante de proporcionalidade.
Para ser inversamente proporcional, precisamos que os números reais
não-nulos a, b, c, d, ... sejam diretamente proporcionais ao inverso dos
números a’, b’, c’, d’, ..., ou seja, diretamente proporcionais a
1
a'
,
1
b'
,
1
c'
,
1
d'
, ..., isto é:
a b c d
... k
1 1 1 1
a' b' c' d'
= = = = = , em que k é a constante de proporcionalidade.

Razãoeproporção
19
Isto equivale a: a.a' b.b' c.c' d.d' ... k= = = = = .
Vejamos dois exemplos:
a) As sucessões (30, 45 e 60) e (2, 3 e 4) são diretamente proporcionais,
pois:
30 45 60
15
2 3 4
= = =
15 é a constante de proporcionalidade.
b) As sucessões (15, 10 e 6) e (2, 3 e 5) são inversamente proporcionais,
pois:
15.2 10.3 6.5 30= = =
30 é a constante de proporcionalidade.
1.6 Divisão proporcional[4]
Em algumas situações é necessário dividir um número em partes
proporcionais ao invés de dividir em partes iguais. Por exemplo, quando
duas ou mais pessoas se juntam em uma sociedade com atividade de
fins lucrativos é justo que os lucros e os prejuízos sejam divididos entre
elas proporcionalmente ao que cada uma investiu no negócio, ao invés
de dividir igualmente.
Por exemplo, imagine duas pessoas entrando em uma sociedade com
os valores de R$ 20.000,00 e R$ 30.000,00. Transcorrido certo tempo, elas
obtiveram R$ 100.000,00 de lucro. É justo dividir proporcionalmente. Como
cada pessoa investiu um valor diferente, cada uma delas irá receber um
valor também diferente. Digamos que a pessoa que investiu R$ 20.000,00
vai receber x e a que investiu R$ 30.000,00 vai receber y.
Ao total terão que receber R$ 100.000,00, de onde, x + y = 100.000.

Razãoeproporção
20
Para ser diretamente proporcional,
x y
20000 30000
= .
x y x
20000 30000 20000
+
=
+
(Em uma proporção, podemos somar
os antecedentes entre si e também somar os consequentes entre si que a
constante de proporcionalidade se mantém.)
100000 x
50000 20000
= (Trocamos x + y por 100000)
50000x = 100000 . 20000 (Propriedade Fundamental das Proporções)
50000x = 2000000000
50000x 2000000000
50000 50000
= (Simplificamos os dois membros por
50000.)
x = 40000
Como x + y = 100000, então:
40000 + y = 100000
y = 100000 – 40000
y = 60000
Logo, a pessoa que investiu R$ 20.000,00 terá direito a R$ 40.000,00 e
a pessoa que investiu R$ 30.000,00 terá direito a R$ 60.000,00.
Atividades1
1) Quais os valores de a e b na proporção
a b
2 3
= , sabendo que
a + b = 75?
a) a = 30 e b = 45
b) a = 45 e b = 30
1
As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996.

Razãoeproporção
21
c) a = 40 e b = 35
d) a = 35 e b = 40
e) a = 25 e b = 50
2) Sabendoquex+y+z=29,descubraosvaloresdex,yeznaproporção
x y z
6 20 32
= = .
a) x = 10, y = 16 e z = 3
b) x = 16, y = 10 e z = 3
c) x = 3, y = 10 e z = 16
d) x = 6, y = 13 e z = 10
e) x = 13, y = 6 e z = 10
3) NoDistritoFederal,arelaçãoentreonúmerodefuncionáriospúblicos
e o número de habitantes, em 1989, era, aproximadamente de 2 : 45.
Se, nessa época, a população do DF era de 1.567.609 habitantes, o
número de funcionários públicos pertence ao intervalo:
a) entre 50 e 55 mil
b) entre 55 e 60 mil
c) entre 60 e 65 mil
d) entre 65 e 70 mil
e) entre 70 e 75 mil
4) Encontre os valores de x, y e z, sabendo que as sucessões (x, 3,
z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de
proporcionalidade k = 36.
a) x = 4, y = 12 e z = 3
b) x = 4, y = 12 e z = 1
c) x = 12, y = 4 e z = 3
d) x = 3, y = 12 e z = 4
e) x = 1, y = 4 e z = 12
5) Duas pessoas formaram uma sociedade comercial e combinaram que
o lucro da firma seria dividido em partes diretamente proporcionais

Razãoeproporção
22
às quantias investidas por cada uma na formação da sociedade.
A primeira pessoa investiu R$ 20.000,00 e a segunda R$ 30.000,00.
Sabendo que a sociedade rendeu R$ 15.000,00, no final de um
ano, calcule a parte desse lucro que caberá ao sócio que investiu
R$ 20.000,00.
a) R$ 1.000,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 9.000,00
e) R$ 12.000,00
6) O dono de uma indústria resolveu distribuir entre seus três gerentes
uma gratificação de R$ 133.700,00. Quanto coube a cada um, se a
distribuição foi feita em partes de proporcionalidade composta,
diretamente ao tempo de serviço de cada um e inversa aos seus
salários?
Gerente Tempo (anos) Salário (R$)
A 15 12.000
B 13 9.100
C 12 10.800
a) A = R$ 39.200,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 50.400,00
b) A = R$ 44.100,00, B = R$ 39.200,00 e C = R$ 50.400,00
c) A = R$ 39.200,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 44.100,00
d) A = R$ 50.400,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 39.200,00
e) A = R$ 44.100,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 39.200,00
7) (Banco do Brasil) A e B fundaram uma sociedade. Três meses
depois admitiram outro sócio, C. Sete meses depois da entrada do
terceiro sócio C, aceitaram também o sócio D. Sabendo-se que todos
entraram com capitais iguais, calcular a parte do sócio D no lucro de
R$ 227.835,00, verificado dois anos após a fundação da sociedade.
a) R$ 21.352,00
b) R$ 38.430,00
c) R$ 43.560,00

Razãoeproporção
23
d) R$ 57.645,00
e) R$ 58.000,00
Gabarito
1. (a); 2. (c); 3. (d); 4. (b); 5. (c); 6. (e); 7. (b)
Referências
[1] CRESPO, 1999, p. 11.
[2] CRESPO, 1999, p. 13.
[3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 25-26.
[4] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 28.

Grandezas
proporcionais e regra
de três
2

Grandezasproporcionaiseregradetrês
27
Neste capítulo, vamos ver mais conceitos fundamentais para lidar
com problemas matemáticos do cotidiano. Para melhor compreender
a regra de três simples e também a regra de três composta, precisamos
inicialmente saber identificar quando duas grandezas são direta ou
inversamente proporcionais.
2.1 Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais[1]
Para iniciar, vamos entender o que vem a ser grandeza:
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido.
Por exemplo: comprimento, tempo, força, massa, velocidade, área,
volume, intensidade de som, entre outros.
Além de ser medida, a grandeza é suscetível a variações, isto é, ela
pode aumentar ou diminuir.
Ao comparar duas grandezas, podemos classificá-las como diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais entre si.
• Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, ao ocorrer
o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre o aumento do
valor da outra seguindo a mesma proporção.
• Para que duas grandezas sejam inversamente proporcionais, ao ocorrer
o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre a diminuição
do valor da outra seguindo a mesma proporção.
Vamos ver um exemplo de cada situação:
a) Grandezas tempo e distância são diretamente proporcionais.
Um automóvel com velocidade constante de 80 km/h percorre:

28
Tempo (h) Distância (km)
1 80
2 160
3 240
Quandoocorreoaumentodotempodeviagemocorreproporcionalmente
o aumento da distância percorrida. As sucessões numéricas são diretamente
proporcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da
distância é constante, isto é:
1 2 3
..
80 160 240
= = = .
b) Grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
Um automóvel com velocidade constante de 50 km/h percorre certa
distância em 7 horas e com velocidade constante de 70 km/h percorre a
mesma distância em 5 horas.
Velocidade (km/h) Tempo (h)
50 7
70 5
Quando ocorre o aumento da velocidade do automóvel ocorre
proporcionalmente a diminuição do tempo de viagem. As sucessões
numéricas são inversamente proporcionais, então a razão entre os valores
do tempo e os valores da distância é constante, isto é:
50 70
1 1
7 5
=
⇒ 50 . 7 = 70 . 5 ⇒ 350 = 350
2.2 Regra de três simples[2]
A regra de três é um conceito básico da Matemática que permite
comparar duas grandezas direta ou inversamente proporcionais,

29
relacionando os seus valores em uma proporção, na qual três termos são
conhecidos e um termo é desconhecido.
Exemplo 1: Em uma fábrica, 300 operários produzem 9000 peças ao dia.
Com a admissão de mais 100 operários, quantas peças serão produzidas
ao dia?
Em primeiro lugar, vamos considerar que a capacidade de cada
funcionário é a mesma, ou seja, eles têm o mesmo rendimento, produzindo
a mesma quantidade de peças por dia.
As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de
operários e número de peças produzidas ao dia. Então, para facilitar,
anotamos os dados em uma tabela:
Nº de operários Nº de peças
300 9000
400 x
Precisamos decidir se a relação entre as grandezas é direta ou
inversamente proporcional. Veja que quanto mais aumenta o número de
funcionários, mais peças serão produzidas ao dia. Então, como quando
uma grandeza aumenta a outra grandeza também aumenta, a relação é
diretamente proporcional.
Basta montar a proporção, fazendo a razão entre o número de operários
igual a razão entre o número de peças produzidas ao dia:
300 9000
400 x
=
300x = 400 . 9000
300x = 3 600 000
300x 3600000
300 300
=
x = 12 000
Logo, com 400 funcionários a fábrica produz 12000 peças ao dia.

30
Exemplo 2: Para realizar a construção de uma casa, 24 pedreiros
levaram 180 dias. Se, ao invés de 24 fossem 15 pedreiros, quantos dias
eles levariam para construir a mesma casa?
Novamente, vamos considerar que a capacidade de cada pedreiro seja
a mesma, isto é, que eles têm o mesmo rendimento de trabalho.
As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de
pedreiros e quantidade de dias para execução da obra. Então, para facilitar,
Nº de pedreiros Nº de dias
24 180
15 x
Veja que quanto mais diminui o número de funcionários, mais dias
serão necessários para a conclusão da obra. Então, como quando uma
grandeza diminui a outra grandeza aumenta, a relação é inversamente
proporcional.
Quando a relação é inversa, para montar a proporção, fazemos a razão
entre o número de pedreiros igual à razão inversa entre o número de dias:
24 x
15 180
=
15x = 24 . 180
15x = 4320
15x 4320
15 15
=
x = 288
Logo, com 15 pedreiros a obra vai levar 288 dias para estar
concluída.
2.3 Regra de três composta[3]
A regra de três composta nada mais é do que relacionar três ou mais
grandezas, sendo que uma delas varia na dependência proporcional das
outras.

31
Exemplo 1: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem
400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo 14 operários produzirão,
trabalhando 18 dias?
As três grandezas relacionadas neste problema são: número de
operários, número de peças produzidas e número de dias. Então, para
facilitar, anotamos os dados em uma tabela:
Nº de operários Nº de peças Nº de dias
3 400 6
14 x 18
Na regra de três composta, relacionamos a grandeza que contém a
variável com as demais grandezas.
Comparando o número de operários com número de peças, note que
quantomaisaumentaonúmerodeoperários,maispeçasserãoproduzidas.
Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta,
a relação é diretamente proporcional.
Comparando o número de peças com o número de dias, perceba que
para produzir mais peças são necessários mais dias. Logo, como quando
uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente
proporcional.
Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de
peças (grandeza em que temos a variável x) igual a razão entre o número
de operários vezes a razão entre o número de dias:
400 3 6
x 14 18
= ⋅
400 18
x 252
=
18x = 400 . 252
18x = 100800
18x 100800
18 18
=
x = 5600
Logo, com 14 operários, trabalhando 18 dias, serão produzidas 5600
peças.

32
Exemplo 2: Se 20 operários levam 10 dias para levantar um muro de
2 metros de altura e 25 metros de comprimento, quantos dias levarão 15
operários para construir um outro (de mesma largura), mas com 3 metros
de altura e 40 metros de comprimento?
As quatro grandezas relacionadas neste problema são: número de
operários, número de dias, altura e comprimento. Então, para facilitar,
Nº de operários Nº de dias Altura (m) Comprimento (m)
20 10 2 25
15 x 3 40
Temos que relacionar a grandeza que contém a variável (nº de dias)
com as demais grandezas.
Comparando o número de operários com o número de dias, note que
quantomaisaumentaonúmerodeoperários,menosdiasserãonecessários
para a construção do muro. Então, como quando uma grandeza aumenta
a outra grandeza diminui, a relação é inversamente proporcional.
Comparando a altura com o número de dias, perceba que quanto mais
alto for o muro mais dias serão necessários para a construção. Logo, como
quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é
diretamente proporcional.
Comparando o comprimento com o número de dias, veja que quanto
mais comprido for o muro mais dias serão necessários para a construção.
Assim, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta,
a relação é diretamente proporcional.
Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número
de dias (grandeza em que temos a variável x) igual à razão inversa entre
o número de operários vezes a razão entre as alturas vezes a razão entre
os comprimentos:

33
10 15 2 25
x 20 3 40
= ⋅ ⋅
10 750
x 2400
=
750x = 10 . 2400
750x = 24000
750x 24000
750 750
=
x = 32
Logo, 15 operários, para construir um muro de 3 metros de altura por
40 metros de largura levarão 32 dias.
Atividades2
1) Uma viagem seria feita em 12 dias percorrendo-se 150 km por
dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem
percorrendo-se 200 km por dia?
a) 6 dias
b) 9 dias
c) 12 dias
d) 16 dias
e) 18 dias
2) Um litro de água do mar contém 25 g de sal. Quantos litros de água
devem ser evaporados para obtermos 8 kg de sal?
a) 0,32 litros
b) 3,2 litros
c) 32 litros
d) 320 litros
e) 3200 litros
2
As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996, e CRESPO,
1999.

34
3) Um certo rei mandou 30 homens plantar árvores em seu pomar. Se
em 9 dias eles plantaram 1000 árvores, em quantos dias 36 homens
plantariam 4400 árvores?
(Proposto no Líber Abaci, do ano de 1202.)
a) 17 dias
b) 24 dias
c) 33 dias
d) 47 dias
e) 53 dias
4) Se 6 datilógrafos, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de
30 linhas, com 40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas, 8
datilógrafos comporão 800 páginas, de 28 linhas por página e 45 letras
por linha?
a) 10 dias
b) 12 dias
c) 14 dias
d) 16 dias
e) 18 dias
5) A produção de uma tecelagem era de 8000 m de tecido/dia. Com a
admissão de mais 300 operários, a indústria passou a produzir 14000
m de tecido/dia. Qual era então o número de operários antes da
admissão dos 300?
a) 200 operários
b) 300 operários
c) 400 operários
d) 500 operários
e) 600 operários
6) (Banco do Brasil) Vinte e sete operários, trabalhando 8 horas diárias,
durante 15 dias, fizeram um muro de 20 metros de comprimento,
1 metro e 80 centímetros de altura e 30 centímetros de espessura.
Quantosoperáriosseriamnecessáriosparaaconstruçãodeoutromuro

35
de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 centímetros de
espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia, durante 18 dias?
a) 27 operários
b) 28 operários
c) 29 operários
d) 30 operários
e) 31 operários
7) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um
operário, que faz 20 metros do primeiro trabalho, quantos metros
fará do segundo, no mesmo tempo?
a) 15 metros
b) 16 metros
c) 17 metros
d) 18 metros
e) 19 metros
Gabarito
1. (b); 2. (d); 3. (c); 4. (e); 5. (c); 6. (d); 7. (a)
Referências
[1] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 44-45.

Regras de
arredondamento e
porcentagem
3

Regrasdearredondamentoeporcentagem
39
Este capítulo aborda as regras de arredondamento e o conceito de
porcentagem. Os arredondamentos são necessários, pois os valores
obtidos tanto nos cálculos de matemática financeira como nos cálculos
estatísticos frequentemente são não-exatos, de modo que precisamos
utilizar um valor aproximado. Já o conceito de porcentagem é fundamental
nos cálculos estatísticos e as taxas de juros costumam ser dadas como
uma taxa percentual.
3.1 Regras de arredondamento
Para realizar contagens e numerações, utilizam-se, de modo exato,
os números naturais (0, 1, 2, 3, 4, ...) que são valores discretos ou
descontínuos.
Para realizar algumas outras medidas, utilizam-se escalas contínuas
de tal forma que os valores, sendo não-exatos, precisam ser arredondados.
A precisão da medida está relacionada ao número de casas decimais
consideradas. Por exemplo, quando trabalhamos com moeda interessa
uma aproximação em duas casas decimais. No caso do Real, uma
aproximação em centavos.
Desse modo, quando for necessário realizar um arredondamento de
dados, utiliza-se a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE[1]
:
Tabela 1: De acordo com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE, o
arredondamento é efetuado da seguinte maneira:
Condições Procedimentos Exemplos
< 5 O último algarismo a permanecer fica
inalterado.
53,24 passa a 53,2
> 5 Aumenta-se de uma unidade o
algarismo a permanecer.
42,87 passa a 42,9
25,08 passa a 25,1
53,99 passa a 54,0

40
Condições Procedimentos Exemplos
= 5 Se ao 5 seguir em qualquer casa um
algarismo diferente de zero, aumenta-
se uma unidade no algarismo a
permanecer.
2,352 passa a 2,4
25,6501 passa a 25,7
76,250002 passa a 76,3
Se o 5 for o último algarismo ou se
ao 5 só seguirem zeros, o último
algarismo a ser conservado só será
aumentado de uma unidade se for
ímpar.
24,75 passa a 24,8
24,65 passa a 24,6
24,7500 passa a 24,8
24,6500 passa a 24,6
Fonte: Adaptado de CRESPO, 1998, p.174.
De modo mais prático:
• Quando a condição for menor que 5, o último algarismo fica
inalterado.
• Quando a condição for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade
no último algarismo a permanecer.
Observações:
Em todos os capítulos deste livro serão utilizadas as regras acima.
Para evitar distorções, não devem ser feitos arredondamentos
sucessivos, o melhor é fazer o arredondamento no final dos cálculos.
Usando uma calculadora
As calculadoras científicas operam no modo algébrico, as calculadoras
financeiras, como, por exemplo, a HP-12C operam no modo RPN.
Ambas apresentam no visor valores arredondados, mas elas operam,
internamente, com o máximo de precisão.
Em uma calculadora financeira, podemos definir o número de casas
decimais no visor, por exemplo, usando as teclas f (2) determinamos que
serão usadas duas casas decimais.

41
Desse modo, ao fazer (2÷3×100) digitamos:
2 Enter 3 ÷ 100 ×
no visor mostrará 66,67.
Usando o Excel
O Excel (planilha de cálculo do pacote Microsoft Office) possui uma
função =ARRED(núm;núm_digitos) para arredondamentos. O exemplo
acima poderia ser feito assim:

42
3.2 Porcentagem[2]
A expressão p%, que se lê “p por cento”, é chamada taxa percentual3
e
representa a razão
P
100
.
p% =
P
100
Assim,
5% =
5
100
(cinco por cento)
12% =
12
100
(doze por cento)
30% =
30
100
(trinta por cento)
A taxa percentual pode ser transformada em taxa unitária, fazendo a
razão
P
100
ser expressa na forma decimal. Isto é:
5% =
5
100
= 0,05
12% =
12
100
= 0,12
30% =
30
100
= 0,3
3.2.1 Cálculo direto de porcentagem
Calcular p% de um valor x é multiplicar x por
P
100
.
Exemplo: Calcule 15% de 800.
É multiplicar 800 por 15%.
Como 15% =
15
100
= 0,15, na prática, basta multiplicar por 0,15:
3
Também é correta a expressão taxa porcentual.

43
800 × 0,15 = 120
Logo: 15% de 800 é 120.
3.2.2 Cálculo direto de acréscimo
Acrescentar p% a um valor x é multiplicar x por um fator de correção
f (maior que 1), dado por f = 1 +
P
100
.
Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reajustado
em 18%. Calcule o seu novo preço.
Valor inicial: 150
Acréscimo: 18%, então f = 1 +
P
100
= 1 +
18
100
= 1 + 0,18 = 1,18
Valor final: 150 × 1,18 = 177
Logo: O seu novo preço será de R$ 177,00.
3.2.3 Cálculo direto de desconto
Reduzir um valor x de p% é multiplicar x por um fator de correção f
(menor que 1), dado por f = 1 −
P
100
.
Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reduzido
em 18%. Calcule o seu novo valor.
Valor inicial: 150
Redução: 18%, então f = 1 −
P
100
= 1 −
18
100
= 1 − 0,18 = 0,82
Valor final: 150 × 0,82 = 123
Logo: O seu novo valor é R$ 123,00.

44
3.2.4 Cálculo direto de “quanto por cento”
Para saber quanto por cento um valor x é de um valor y, calcula-se a
razão entre x e y, ou seja,
x
y
.
Exemplo: 182 corresponde a quanto por cento de 650?
Calcula-se a razão
182
650
= 0,28 =
28
100
= 28%
Então, 182 corresponde a 28% de 650.
3.2.5 Cálculo do fator de correção
f (correção) =
valor final
valor inicial
Podem ocorrer três casos:
f (correção) > 1, neste caso houve um acréscimo.
f (correção) = 1, neste caso valor final é igual ao valor inicial.
f (correção) < 1, neste caso houve uma redução.
Exemplo 1: Um equipamento teve seu valor reajustado de R$ 100,00
para R$ 125,00. Qual foi o percentual de acréscimo?
f (correção) =
125
100
= 1,25 = 125% = 100% + 25%
Então, o percentual de acréscimo foi de 25%.
Exemplo 2: Um produto com preço R$ 500,00 foi vendido por R$ 450,00.
Qual o percentual de redução no preço deste produto?
f (correção) =
450
500
= 0,9 = 90% = 100% − 10%
Então, o percentual de redução é de 10%.

45
3.2.6 Cálculo do fator acumulado
f (% acumulado) = produto dos fatores
Exemplo: Os índices semestrais de inflação em certo ano foram de 4,2%
e 5,5%, respectivamente. Qual o índice de inflação nesse ano?
f (% acumulado) = 1,042 × 1,055 = 1,09931 = 1 + 0,09931 = 100% + 9,931%
Então, p% = 9,931%
3.2.7 Cálculo do ganho real
f (ganho real) =
f (ganho nominal)
f (inflação)
Para f (ganho nominal) diferente de f (inflação) podem ocorrer dois
casos:
f (ganho real) > 1, neste caso, houve um ganho real.
f (ganho real) < 1, neste caso, houve uma perda real.
Exemplo 1: Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de
30%. Se nesse período a inflação foi de 25%, qual o ganho real desse
investimento?
f (ganho real) =
1,30
1,25
= 1,04
Então, ganho real é de 4%.
Exemplo 2: Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o
salário foi corrigido em 8%, qual a variação real do poder de compra de
um assalariado?
f (ganho real) =
1,08
1,12
= 0,9643

46
Como 0,9643 é menor que 1, houve uma perda é de 1 − 0,9643 = 0,0357
= 3,57%
Então, a perda real é de 3,57%.
3.3 Imposto de Renda[3]
Vamos ver o exemplo de contribuição ao Imposto de Renda (IR)
como uma aplicação dos cálculos de porcentagem. Como o cálculo da
contribuição ao IR é feito sobre o salário bruto menos a contribuição ao
Instituto Nacional do Seguro Social (INSS), vamos conhecer primeiro
como é calculada a contribuição ao INSS.
Mensalmente, os trabalhadores segurados pelo INSS pagam uma
alíquota proporcional ao seu salário bruto, seguindo normas estabelecidas.
Este valor vem descontado em sua folha de pagamento.
Veja abaixo as alíquotas válidas a partir de 1º de março de 2008.
Tabela 2: Tabela de contribuição dos segurados empregados,
empregado doméstico e trabalhador avulso, para remuneração
a partir de 1º de março de 2008.
Salário-de-Contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS
até 911,70 8,00%
de 911,71 até 1.519,50 9,00%
de 1.519,51 até 3.038,99 11,00%
Fonte: Portaria nº 77, de 12 de março de 2008
Existe um valor máximo de contribuição, também denominado teto
de contribuição. Para esse período a partir de 1º de março de 2008 o teto
foi fixado em R$ 334,28.
Vamos ver alguns exemplos:

47
Exemplo 1: Um trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 está na
primeira faixa de contribuição, sendo a alíquota de 8%. Calculando:
750 . 8% = 60
Este trabalhador contribui com R$ 60,00.
Exemplo 2: Outro trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 está na
segunda faixa de contribuição, sendo a alíquota de 11%. Calculando:
2500 . 11% = 275
Este trabalhador contribui com R$ 275,00.
Depois de descontada a contribuição ao INSS, é descontado o Imposto
de Renda. O desconto desse imposto segue uma tabela anualmente
atualizada pelo governo federal e publicada no Diário Oficial. Vamos
citar abaixo a tabela válida para 2008.
Tabela 3: Tabela Progressiva Mensal – 2008
Base de Cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a Deduzir do IR (R$)
Até 1.372,81 - -
De 1.372,82 até 2.743,25 15 205,92
Acima de 2.743,25 27,5 548,82
Fonte: Receita Federal. Disponível em: http://www.receita.fazenda.gov.br/Legislacao/
Leis/2007/lei11482.htm. Acesso em 12/12/08.
Exemplo 1: O trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 e contribuição
ao INSS de R$ 60,00, terá como salário líquido parcial 750 – 60 = 690.
Então, R$ 690,00 é menos que R$ 1.372,81, por isso este trabalhador
é isento.
Exemplo 2: O trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 e
contribuição ao INSS de R$ 275,00, terá como salário líquido parcial
2500 – 275 = 2225.
R$ 2.225,00 está na segunda faixa, na qual a alíquota do imposto é
de 15%.
Então, 2225 . 15% = 244,75.

48
Do valor R$ 244,75 deduzir a parcela R$ 205,92:
244,75 – 205,92 = 38,83
Salário líquido: 2225 – 38,83 = 2186,17.
Exemplo 3: O trabalhador com salário bruto de R$ 5.000,00 terá como
contribuição ao INSS o teto de R$ 334,28 e seu salário líquido parcial
5000 – 334,28 = 4665,72.
R$ 4.665,72 está na terceira faixa, na qual a alíquota do imposto é de
27,5%. Então,
4665,72 . 27,5% = 1283,073, arredondando R$ 1.283,07.
Do valor R$ 1.283,07 deduzir a parcela R$ 548,82:
1283,07 – 548,82 = 735,25
Salário líquido: 4665,72 – 735,25 = 3930,47.
Atividades4
1) Qual a porcentagem de desconto que a loja está dando na venda de
uma jaqueta de couro de R$ 260,00 por R$ 221,00?
a) 8%
b) 10%
c) 12%
d) 15%
e) 17%
2) Sobre o trabalho noturno feminino, consta na Consolidação das Leis
do Trabalho (CLT): “Cada hora do período noturno de trabalho das
mulheres terá 52 minutos e 30 segundos”. Levando-se em conta que
uma funcionária trabalha das 22h às 5h do dia seguinte, qual será,
aproximadamente, o percentual de acréscimo do seu salário nesse
período?
4
As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da
Interbits.

49
a) 10,2%
b) 12,1%
c) 14,3%
d) 16,3%
e) 18,4,%
3) O salário de um trabalhador passou de R$ 840,00 para R$ 966,00. Qual
foi a porcentagem de aumento?
a) 14%
b) 15%
c) 16%
d) 18%
e) 19%
4) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria
e o preço de custo é igual a R$2,00. Se essa mercadoria for vendida
com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um
lucro de 20% ao comerciante. Determinar seu preço de custo.
a) R$ 6,00
b) R$ 6,60
c) R$ 6,90
d) R$ 7,20
e) R$ 7,50
5) A população de uma certa cidade crescerá 10% a cada ano por 4 anos.
A porcentagem de crescimento da população após esse período é de,
aproximadamente,
a) 10%
b) 20%
c) 24%
d) 40%
e) 46%
6) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de
seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo.

50
Porém ele prepara a tabela de preços de venda, acrescentando 80% ao
preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no
momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder
ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10 %
b) 15 %
c) 20 %
d) 25 %
e) 36 %
7) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A
fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas
água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza
a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será
igual a:
a) 5/9 kg
b) 9/5 kg
c) 5 kg
d) 9 kg
e) 9,5 kg
Gabarito
1. (d); 2. (c); 3. (b); 4. (a); 5. (e); 6. (c); 7. (c)
Referências
[1] CRESPO, 1998, p. 174.
[2] MORGADO, CESAR, 2005.
[3] ARAÚJO, 2006, p. 27.

Estatística:
conceitos básicos
4

Estatística:conceitosbásicos
53
Veja como Cordani[1]
explica o que é Estatística:
O verbete Estatística foi introduzido no século XVIII, com origem na
palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à
organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de
poder vigente, provavelmente para cobrança de impostos e registros de
nascimento e morte.
Hoje em dia a metodologia estatística é utilizada em diferentes contextos,
como testes ligados ao desempenho escolar, pesquisas eleitorais, estudos
financeiros, controle de qualidade, análises de crescimento de doenças,
taxas populacionais, data mining, índices de desenvolvimento, índices de
desemprego, modelagem de fenômenos da natureza etc.
Assim, de maneira geral, pode-se dizer que a Estatística surgiu da
necessidade de organizar dados e informações para o Estado. No Brasil,
os dados são coletados, organizados e divulgados pelo IBGE – Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística[2]
, órgão federal subordinado ao
Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão.
Os jornais e revistas apresentam dados estatísticos apresentados em
tabelas ou em gráficos. Para compreensão destas informações, as pessoas
devem ser capazes de ler e interpretar tabelas e gráficos. Assim, neste
capítulo, vamos conhecer as características das tabelas e dos diferentes
tipos de gráficos.
4.1 Tabelas
As tabelas são quadros que resumem um conjunto de dados
observados.
Em uma tabela, temos:
a. corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre
a variável em estudo;
b. cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das
colunas;

54
c. coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das
linhas;
d. linhas–retasimagináriasquefacilitamaleitura,nosentidohorizontal,
de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;
e. casa ou célula – espaço destinado a um só número;
f. título – conjunto de informações, as mais completas possíveis,
respondendo às perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizado
no topo da tabela.
Há ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que
são a fonte, as notas e as chamadas, colocados, de preferência, no seu
rodapé.
Fonte: CRESPO, 1998, p. 25.
Exemplo:
Fonte: CRESPO, 1998, p. 26
Para nosso estudo, interessa conhecer as tabelas de distribuição de
frequências. Vamos ver tabelas de distribuição de frequências para dados não-
agrupados e tabelas de distribuição de frequências para dados agrupados.
Vamos supor que a Empresa ABC deseje contratar um plano de
saúde para seus funcionários e que para isso precise conhecer se seus
funcionários são mais jovens ou mais velhos. Para isso, foi anotada a idade

55
de cada funcionário e organizada em ordem crescente, como mostrado
abaixo:
Tabela 1: Idade dos funcionários da Empresa ABC
26 36 41 45 54
28 38 41 51 58
34 39 42 51 60
36 40 42 53 60
36 41 42 54 65
Fonte: Hipotética
A partir destes dados, pode ser organizada uma tabela de distribuição
de frequências, anotando em uma coluna a variável idade e na outra a
frequência com que esta idade ocorre entre os funcionários:
Tabela 2: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC
Idade (anos) Frequência
26 1
28 1
34 1
36 3
38 1
39 1
40 1
41 3
42 3
45 1
51 2
53 1
54 2
58 1

56
Idade (anos) Frequência
60 2
65 1
A tabela acima apresenta os dados não-agrupados, no entanto, ele não
é prático, na medida em que apresenta cada uma das idades que ocorre
na população (funcionários da Empresa ABC).
Assim, podemos apresentar a tabela de outro modo, criando intervalos
de idades. Em estatística, os intervalos são denominados classes. Para
definir quantas classes teremos, podemos calcular k n= , em que n é
o número de elementos da amostra e 5 k 20≤ ≤ , isso porque com menos
de 5 classes pode-se perder muita informação ou com mais de 20 classes
pode-se ter detalhamento desnecessário. Na verdade, este é um cálculo
feito apenas para dar alguma referência a quem está organizando a tabela,
mas não é um valor determinante5
.
No exemplo acima, k 25 5= = . Então fazemos 5 classes.
Depois disso, precisamos calcular a amplitude total (H) que é a
variação total dos dados da amostra.
H = Ls
− Li
Em que:
Ls
é o limite superior da distribuição de frequências.
Li
é o limite inferior da distribuição de frequências.
No exemplo, H = Ls
− Li
= 65 – 26 = 39
A partir daí, vamos calcular a amplitude da classe (h) que é a variação
dentro de cada uma das classes:
5
Existem outras regras, como a regra de Sturges, que calcula k = 1 + 3,3 . log n, mas
também não é uma determinação, vai depender de um julgamento pessoal.

57
H
h
k
=
39
h
5
=
h = 7,8
Então, para usar números inteiros, vamos fazer classes com variação
de 8 anos e colocar na primeira coluna (Idade em anos).
Idade
(anos)
Ponto
médio da
classe
Frequência
absoluta
(fi
)
Frequência
absoluta
acumulada
(Fi
)
Frequência
relativa (fri
)
Frequência
relativa
acumulada (Fri
)
26 |– 34 30 2 2 2
0,08 8%
25
= =
2
0,08 8%
25
= =
34 |– 42 38 10 12 10
0,40 40%
25
= =
12
0,48 48%
25
= =
42 |– 50 46 4 16 4
0,16 16%
25
= =
16
0,64 64%
25
= =
50 |– 58 54 5 21 5
0,20 20%
25
= =
21
0,84 84%
25
= =
58 |– 66 62 4 25 4
0,16 16%
25
= =
25
1 100%
25
= =
Na segunda coluna (Ponto médio da classe), calcularmos o valor que
representa a classe. Ele é a média entre o limite inferior e o limite superior
de cada classe. Por exemplo, na primeira classe (26 |– 34) a média é
calculada por
26 34
30
2
+
= e assim por diante.

58
Importante, o símbolo |– significa que o intervalo é fechado a esquerda
e aberto a direita, ou seja, na primeira classe (26 |– 34) o 26 está e o 34
não está na primeira classe.
Na terceira coluna (Frequência absoluta - fi), calculamos a frequência
de ocorrência em cada classe.
Na quarta coluna (Frequência absoluta acumulada - Fi), calculamos
o somatório das frequências ocorridas até a classe em que estamos.
Na quinta coluna (Frequência relativa - fri), calculamos a razão entre
a frequência absoluta e o total de elementos.
Na sexta coluna (Frequência relativa acumulada - Fri), calculamos
o somatório das frequências relativas ocorridas até a classe em que
estamos.
4.2 Gráficos[3]
Os gráficos apresentam os dados estatísticos de modo rápido para
uma leitura visual. Eles podem ser de diferentes tipos: linhas, colunas,
barras, setores e outros.
4.2.1. Gráfico de linhas
Os gráficos de linhas também são conhecidos como gráficos de
segmentos, ou gráficos em curva. Esse tipo é utilizado, principalmente,
quando a intenção é verificar a variação de um valor em tempos distintos
ou para estimar valores entre dois pontos quaisquer.
Para construir o gráfico, utilizamos os eixos cartesianos e marcamos
pontos representados pelo par ordenado (x, y).
Exemplo: Suponhamos que uma livraria fez o levantamento dos livros
vendidos durante os seis primeiros meses de 2008, obtendo os seguintes
resultados:

59
Tabela 4: Número de livros vendidos
Mês Número de livros vendidos
Janeiro/08 460
Fevereiro/08 420
Março/08 540
Abril/08 540
Maio/08 575
Junho/08 620
Fonte: Hipotética
Gráfico 1: Número de livros vendidos
Fonte: Hipotética
A inclinação de cada segmento indica se houve crescimento,
decréscimo ou estabilidade entre um mês e outro. Por exemplo:
• De janeiro para fevereiro houve um decréscimo nas vendas.
• De março para abril houve uma estabilidade nas vendas.
• De fevereiro a março houve um acréscimo nas vendas.

60
4.2.2. Gráfico de colunas ou de barras
Estetipodegráficorepresentaosvaloresusandoretângulosquepodem
ser dispostos verticalmente (colunas) ou horizontalmente (barras).
Exemplo: Imagine que uma empresa avaliou o desempenho de seus
funcionários e chegou ao seguinte resultado:
Tabela 5: Desempenho dos funcionários
Desempenho Número de funcionários
Ótimo 15%
Bom 65%
Regular 15%
Insuficiente 5%
Fonte: Hipotética
Gráfico 2 (em colunas): Desempenho dos funcionários
Note que quando o gráfico é de colunas, a altura de cada retângulo
varia de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria.
Usando o mesmo exemplo, veja como ficaria o gráfico de barras:

61
Gráfico 3 (em barras): Desempenho dos funcionários
Observe que quando o gráfico é de barras, o comprimento de cada
retângulo varia de acordo com a frequência que ele representa em cada
categoria.
Tanto no gráfico de colunas como o gráfico de barras, mantêm os
retângulos espaçados uns dos outros.
4.2.3 Gráfico de setores
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico “pizza”, mostra
a contribuição de um valor para um total.
Usa-se um círculo para representar o total e cada categoria é
representada por um setor do círculo, isto é, por uma “fatia da pizza”.
É comum usar esse tipo de gráfico quando se tem poucas categorias
e quando os valores são dados em porcentagem.
Para calcular o tamanho de cada setor, usa-se uma regra de três simples
e direta, lembrando que 360º corresponde a 100%.
Exemplo: Vamos considerar uma empresa divida em três setores
distintos, cada um deles contribuindo com os lucros.

62
Tabela 6: Lucros da empresa por setor
Setor Contribuição nos lucros
A 55%
B 25%
C 20%
Fonte: Hipotética
Contribuição nos lucros por setor
55%
25%
20%
A B C
Gráfico 4: Contribuição nos lucros por setor
Observe que como o setor do círculo azul é maior, podemos
visualmente concluir que o setor A contribui mais que os setores B e C
para os lucros da empresa. Além disso, é possível perceber que o setor
A contribui com mais da metade dos lucros, pois sua região é maior que
a metade do círculo.
4.2.5 Histograma
O histograma é usado quando os dados são agrupados em classes
(intervalos).
A representação é feita por retângulos justapostos, cujas bases se
localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios
coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

63
Exemplo: Vamos usar a tabela apresentada anteriormente que
apresenta a frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC:
Idade (anos) Ponto médio da
classe
Frequência
absoluta (fi
)
26 |– 34 30 2
34 |– 42 38 10
42 |– 50 46 4
50 |– 58 54 5
58 |– 66 62 4
Histograma 1: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC

64
4.2.5 Pictograma
Os pictogramas têm uma fácil compreensão. São gráficos cuja
representação gráfica utiliza figuras e imagens relacionadas ao assunto
do gráfico.
Exemplos:
Pictograma 1: Pictograma da venda anual de lâmpadas em um
supermercado
Fonte: Imagem disponível em http://www.codelco.com/educa/divisiones/norte/
estudio/matematica2.html.
Atividades6
1) (ENEM 2003) O tempo que um ônibus gasta para ir do
ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o
dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos
6
Interbits.

65
horários de maior movimento. A empresa que opera essa
linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração
da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no
período da manhã.
Deacordocomasinformaçõesdográfico,umpassageiroquenecessita
chegaratéas10h30minaopontofinaldessalinha,devetomaroônibus
no ponto inicial, no máximo, até as:
a) 9h20min
b) 9h30min
c) 9h00min
d) 8h30min
e) 8h50min
2) (ENEM 2004) O excesso de veículos e os congestionamentos em
grandes cidades são temas de frequentes reportagens. Os meios
de transportes utilizados e a forma como são ocupados têm
reflexos nesses congestionamentos, além de problemas ambientais
e econômicos. No gráfico a seguir, podem-se observar valores
médios do consumo de energia por passageiro e por quilômetro
rodado, em diferentes meios de transporte, para veículos em duas

66
condições de ocupação (número de passageiros): ocupação típica
e ocupação máxima.
Esses dados indicam que políticas de transporte urbano devem
também levar em conta que a maior eficiência no uso de energia
ocorre para os:
a) ônibus, com ocupação típica.
b) automóveis, com poucos passageiros.
c) transportes coletivos, com ocupação máxima.
d) automóveis, com ocupação máxima.
e) trens, com poucos passageiros.
3) (FGV 2006) O gráfico a seguir representa os lucros anuais, em reais,
de uma empresa ao longo do tempo.
Podemos afirmar que:
a) O lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro de
2001.

67
b) O lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro de
2001.
c) O lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.
d) O lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa no ano
anterior.
e) O lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano anterior.
4) (UFMG 2006) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa
realizada com 1000 famílias com filhos em idade escolar:
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:
I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas
famílias.
II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais
de 500 dessas famílias.

Então, é CORRETO afirmar que:
a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
b) apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) ambas as afirmativas são verdadeiras.
5) (UFRN 2003) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na
grande São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese:

68
Carta Capital, 05 de jun. de 2002. Ano VIII, nº 192.
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa
de desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de
a) abril de 1985 a abril de 1986.
b) abril de 1995 a abril de 1996.
c) abril de 1997 a abril de 1998.
d) abril de 2001 a abril de 2002.
6) (UFRN 2004) Numa pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de
aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que
responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma – e
apenas uma – dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim
e indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa.

69
De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas
que consideram a administração ótima, boa ou regular é de:
a) 28%.
b) 65%.
c) 71%.
d) 84%.
7) (UFRGS 2004) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram
divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o
representado na figura abaixo.
Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270 respostas
e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse número é:
a) 45.
b) 90.
c) 180.
d) 450.
e) 900.
8) (UFSCAR 2001) Num curso de iniciação à informática, a distribuição
das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico
seguinte.

70
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o
número de meninos nesse mesmo intervalo de idades.
b) o número total de alunos é 19.
c) a média de idade das meninas é 15 anos.
d) o número de meninos é igual ao número de meninas.
e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior
que o número de meninas nesse mesmo intervalo de idades.
Gabarito
1. (e); 2. (c); 3. (d); 4. (c); 5. (c); 6. (d); 7. (d); 8. (d)
Referências
[1] CORDANI, 2006, p. 3.
[2] http://www.ibge.gov.br/
[3] CRESPO, 1998, p. 38-53.

Medidas de
tendência central
5

Medidasdetendênciacentral
73
As medidas de tendência central são bastante importantes, pois os
valores de uma distribuição de frequência tendem a se agrupar em torno
dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, as mais
utilizadas são: média aritmética, mediana e moda.
Neste capítulo, vamos ver como são calculadas essas medidas
de tendência central com dados não-agrupados e com dados
agrupados.
5.1 Medidas de tendência central para
dados não-agrupados[1]
Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados
não-agrupados.
5.1.1 Média aritmética para dados
não-agrupados (x)
A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais
utilizada no cotidiano. É calculada pela soma dos elementos, dividido
pela quantidade de elementos.
Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20
anos, observamos que a média de idade é:
22 20 21 24 20 107
x 21,4
5 5
+ + + +
= = =
Dizemos então que a média de idade do grupo é de 21,4 anos.

74
Generalizando, com n valores x1
, x2
, x3
, ..., xn
de uma variável, a média
aritmética ( x ) é obtida por:
n
i
1 2 3 n i 1
x
x x x ... x
x
n n
=+ + + +
= =
∑
Nota: o símbolo
n
i
i 1
x
=
∑ significa o somatório dos números x sabendo
que o índice i varia de 1 a n.
A média aritmética pode ser ponderada, isto é, quando a importância dos
elementos é diferente e para cada um deles é dado um “peso”.
Para calcular a média aritmética ponderada (podemos dizer apenas
média ponderada), multiplicamos o valor de cada elemento pelo seu “peso”,
somamos os resultados e dividimos pela soma dos “pesos”.
Exemplo[2]
: O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela
Fundação Getúlio Vargas (FGV) por meio de uma média ponderada
entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de
Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e São Paulo, com peso 3; e
o Índice de Custo da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine que,
em um determinado mês, o valor do IGP-M tenha sido de alta de 0,992%,
do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será a
alta registrada para o IPC?
Escrevendo a expressão para a média ponderada temos:

75
6 IPA 3 IPC 1 INCC
IGP M
6 3 1
6 1,2% 3 IPC 1 0,32%
0,992%
10
7,2% 3 IPC 0,32%
0,992%
10
7,52% 3 IPC
0,992%
10
10 0,992% 7,52% 3 IPC
9,92% 7,52% 3 IPC
9,92%-7,52% 3 IPC
2,4% 3 IPC
2,4%
IPC
3
0,8% IPC
× + × + ×
− =
+ +
× + × + ×
=
+ × +
=
+ ×
=
× = + ×
= + ×
= ×
= ×
=
=
Generalizando, com n valores x1
, x2
, x3
, ..., xn
de uma variável e pesos
f1
, f2
, f3
, ..., fn
, respectivamente, a média aritmética ponderada (MP) é
obtida por:
MP =
n
i i
1 1 2 2 3 3 n i 1
n
1 2 3
i
i 1
x f
x f x f x f ... x f
f f f ... f
f
n
n
=
=
+ + + +
=
+ + + +
∑
∑
Nota: o símbolo
n
i i
i 1
x f
=
∑ significa o somatório dos produtos dos
valores de x pelos valores dos pesos p, sabendo que o índice i varia de
1 a n. O símbolo
n
i
i 1
f
=
∑ significa o somatório dos pesos p, sabendo que
o índice i varia de 1 a n.

76
5.1.2 Mediana para dados não-agrupados (Md)
A mediana é a medida de tendência central que divide os dados
ordenados em duas partes de mesma frequência.
Deste modo, com n elementos colocados em ordem crescente ou
decrescente, a mediana é:
• o número que ocupa a posição central, se n for um número ímpar;
• a média aritmética dos dois números centrais, se n for um número
par.
Exemplo: Vamos supor que estas sejam as notas de 15 alunos:
3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3;
Ordenando as notas:
2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10
7 elementos
antes
7 elementos
depois
Este é o elemento que ocupa
a 8ª posição.
Para esse exemplo,
a mediana, então, é igual a 7,0
5.1.3 Moda para dados não-agrupados (Mo)
A moda nada mais é do que o valor mais frequente de um grupo de
valores observados.
No exemplo anterior, a moda é a média 7,0, pois ela é a que mais
aparece, num total de quatro vezes.
Em um evento em que temos dois valores que aparecem em uma
mesma quantidade, e são os que mais aparecem, dizemos que ele é
bimodal.

77
5.2 Medidas de tendência central para
dados agrupados[3]
Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados
agrupados.
5.2.1 A média aritmética para dados
agrupados ( x )
Paracalcularmosamédiaaritméticaparadadosagrupados,convencionamos
que todos os elementos de uma classe sejam iguais ao seu ponto médio e
calculamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
n
i i
i 1
n
i
i 1
x f
x
f
=
=
=
∑
∑
Onde xi
é o ponto médio da classe e fi
é a frequência da classe.
Exemplo[4]
: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40
pessoas.
Tabela 1: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi
xi
fi
xi
1 150 |– 154 4 152 608
2 154 |– 158 9 156 1404
3 158 |– 162 11 160 1760
4 162 |– 166 8 164 1312
5 166 |– 170 5 168 840
6 170 |– 174 3 172 516
40=∑ 6440=∑

78
O modo mais fácil é criando na tabela colunas para fi (frequência
da classe), xi (ponto médio da classe), e xi fi (produto das duas colunas
anteriores). Assim,
n
i i
i 1
n
i
i 1
x f
6440
x 161
40
f
=
=
= = =
∑
∑
Portanto, a média de altura das 40 pessoas é 161 cm.
5.2.2 Mediana para dados agrupados (Md)
O cálculo da mediana para dados agrupados é bastante semelhante ao
cálculo da mediana para dados não-agrupados. Um cálculo importante
a se fazer é a frequência acumulada em cada classe.
Encontrada a classe mediana, ou seja, aquela classe que corresponde
à frequência acumulada imediatamente superior a
if
2
∑ .
Usando o exemplo das alturas de 40 pessoas, vemos que a classe
mediana é a terceira, pois
if 40
20
2 2
= =
∑ .
i Alturas (cm) fi
Fi
1 150 |– 154 4 4
2 154 |– 158 9 13
3 158 |– 162 11 24
4 162 |– 166 8 32
5 166 |– 170 5 37
6 170 |– 174 3 40
40=∑

79
Para o cálculo da mediana, devemos supor que dentro da classe os
valores estejam uniformemente distribuídos. Então, como há 11 elementos
na classe mediana e o intervalo de classe é igual a 4, fazemos:
20 13 7 28
Md 158 4 158 4 158 158 2,54 160,54
11 11 11
−
= + × = + × = + = + =
Logo, Md = 160,54 cm.
Generalizando:
1º) Determinamos as frequências acumuladas
2º) Calculamos
if
2
∑
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada
imediatamente superior a
if
2
∑ – classe mediana – e, em seguida,
empregamos a fórmula:
if
F(ant) h*
2
Md *
f*
l
 
− 
 = +
∑
Na qual:
l* é o limite inferior da classe mediana
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana
f* é a frequência simples da classe mediana
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
5.2.3 Moda para dados agrupados (Mo)
No caso de dados agrupados, a moda está na classe de maior
frequência, sendo, portanto denominada classe modal.
No entanto, é possível calcular uma moda bruta, fazendo o ponto médio
da classe modal.
* *
Mo
2
l L+
=

80
Onde:
l* é o limite inferior da classe modal
L* é o limite superior da casse modal
Usando o exemplo das alturas de 40 pessoas, vemos que a classe
modal é a terceira.
i Alturas (cm) fi
Fi
1 150 |– 154 4 4
2 154 |– 158 9 13
3 158 |– 162 11 24
4 162 |– 166 8 32
5 166 |– 170 5 37
6 170 |– 174 3 40
40=∑
Fazendo:
* * 158 162 320
Mo 160
2 2 2
l L+ +
= = = =
Logo, a moda é 160 cm.
Atividades7
1) (FGV 2007) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de
suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m,
respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais
baixo, em metros, é igual a:
7
Interbits.

81
a) 1,70.
b) 1,71.
c) 1,72.
d) 1,73.
e) 1,74.
2) (FGV 2008) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma
lista de nove números inteiros. O maior valor possível para a mediana
dos nove números da lista é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram:
8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são
respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
4) (FUVEST/G.V. 92) Num determinado país a população feminina
representa 51% da população total. Sabendo-se que a idade média
(média aritmética das idades) da população feminina é de 38 anos e
a da masculina é de 36 anos. Qual a idade média da população?
a) 37,02 anos
b) 37,00 anos
c) 37,20 anos
d) 36,60 anos
e) 37,05 anos

82
5) (UFU 99) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central
possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em
reais:
Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser
demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de
R$ 2.800,00?
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
e) 7
6) (PUCCAMP 2005) Nas principais concentrações urbanas do país,
trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé.
Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a
menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa
salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir
ao trabalho.

83
O salário médio desses trabalhadores é:
a) R$ 400,00
b) R$ 425,00
c) R$ 480,00
d) R$ 521,00
e) R$ 565,00
Gabarito
1. (e); 2. (d); 3. (a); 4. (a); 5. (d); 6. (e)
Referências
[1] ARAÚJO, 2006, p. 37-48.
[2] ARAÚJO, 2006, p. 56.
[3] ARAÚJO, 2006, p. 49-60.
[4] CRESPO, 1998, p. 85.

Medidasdevariabilidade
87
As medidas de tendência central – média aritmética, moda e mediana
– são importantes para caracterizar um conjunto de valores, mas não o
bastante, pois não conseguem expressar o grau de homogeneidade ou
heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto.
Então, neste capítulo, para ver o quanto um conjunto de valores é
homogêneo ou heterogêneo, estudaremos as medidas de variabilidade:
amplitude (A), a variância (σ2
) e o desvio padrão (σ).
6.1 Amplitude[1]
A amplitude é medida de variabilidade que nos diz em quanto os
valores variaram, logo, é dada pela diferença entre o maior e o menor
dos valores.
Com dados não agrupados, fazemos:
A = xmáx
− xmín
em que:
xmáx
é o maior valor observado
xmín
é o menor valor observado
Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20
anos a amplitude é dada por:
A = xmáx
− xmín
A = 24 − 20
A = 2
Com dados agrupados, fazemos a diferença entre o limite superior da
última classe e o limite inferior da primeira classe.
A = Lmáx
− Lmín
em que:
Lmáx
é o limite máximo
Lmín
é o limite mínimo

88
Exemplo: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40
pessoas.
i Alturas (cm) fi
xi
fi
xi
1 150 |– 154 4 152 608
2 154 |– 158 9 156 1404
3 158 |– 162 11 160 1760
4 162 |– 166 8 164 1312
5 166 |– 170 5 168 840
6 170 |– 174 3 172 516
40=∑ 6440=∑
A amplitude é calculada por:
A = Lmáx
− Lmín
A = 174 − 150
A = 24
A amplitude dá uma noção da variabilidade, mas é pouco precisa,
na medida em que só considera dois valores extremos, desconsiderando
a variabilidade entre os valores intermediários. Em situações como
determinar a variação da temperatura em um dia, calcular a amplitude
pode ser suficiente, mas em outras situações, melhor utilizar outras
medidas de variabilidade, como a variância e o desvio padrão.
6.2 Variância e Desvio Padrão[2]
A variância (σ2
) é uma medida de variabilidade que considera os
valores de um conjunto em sua totalidade e por isso é mais geralmente
empregada que a amplitude que só considera os extremos.

89
A variância utiliza os desvios em torno da média aritmética, calculando
a média dos quadrados dos desvios, ou seja:
Em que:
ix são os valores da variável
x é a média aritmética
n é o número de elementos do conjunto
∑ é o somatório
Quando temos uma população, utilizamos a fórmula acima, mas
quando temos apenas uma amostra (isto é, parte da população), devemos
multiplicar o resultado da variância por
n
n 1−
.
Então, para o cálculo da variância:
De uma população, usamos .
De uma amostra, usamos .
Porém, esta não é uma medida de variabilidade muito utilizada, pois
não expressa o resultado na mesma unidade dos valores observados
(conjunto de dados). Em geral, a medida usada é o desvio padrão (σ) que
significa o quanto, em média, os valores estão afastados do valor médio
e, como se pode perceber, o desvio padrão (σ), por não ter o termo ao
quadrado (σ2
), é dado pela raiz quadrada da variância, ou seja:

90
O desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores observados
(conjunto de dados).
O cálculo da variância para dados agrupados é feito pela fórmula:
para a população
para a amostra.
O desvio padrão é calculado da mesma forma, ou seja, é a raiz
quadrada da variância.
Exemplo com dados não agrupados: Considerando um grupo de
pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos.
Precisamos da média aritmética:
22 20 21 24 20 107
x 21,4
5 5
+ + + +
= = =
Fazemos uma tabela:
Tabela 2: Frequência de idade
xi
xi
- x (xi
- x )2
20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2
= 1,96
20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2
= 1,96
21 21 – 21,4 = – 0,4 (– 0,4)2
= 0,16
22 22 – 21,4 = 0,6 0,62
= 0,36
24 24 – 21,4 = 2,6 2,62
= 6,76
107=∑ 11,2=∑

91
Calculando a variância:
Calculando o desvio padrão:
Exemplo com dados agrupados: Considere a tabela abaixo com dados
das alturas de 40 pessoas.
i Alturas (cm) fi
xi
fi
xi
1 150 |– 154 4 152 608
2 154 |– 158 9 156 1404
3 158 |– 162 11 160 1760
4 162 |– 166 8 164 1312
5 166 |– 170 5 168 840
6 170 |– 174 3 172 516
40=∑ 6440=∑
Calculamos a média aritmética:
n
i i
i 1
n
i
i 1
x f
6440
x 161
40
f
=
=
= = =
∑
∑
Calculamos a variância de uma população, para isso, vamos fazer
uma tabela que nos auxiliará nos somatórios:

92
i Alturas (cm) fi
xi
fi
xi
fi
(xi
)2
1 150 |– 154 4 152 608 92416
2 154 |– 158 9 156 1404 219024
3 158 |– 162 11 160 1760 281600
4 162 |– 166 8 164 1312 215168
5 166 |– 170 5 168 840 141120
6 170 |– 174 3 172 516 88752
40=∑ 6440=∑ 1038080=∑
Calculando a variância para dados agrupados:
Calculando o desvio padrão:
Observações:
• Quando todos os valores de um conjunto de dados são iguais, a
variância e o desvio padrão são iguais a zero.
• Quanto mais próximo de zero o desvio padrão, mais homogênea é a
distribuição de valores no conjunto de dados.

93
6.3 Aplicando o conceito de
variabilidade
Vamos utilizar o conceito de variabilidade em uma situação concreta,
para perceber a vantagem do uso da variância e do desvio padrão.
Suponha que você seja responsável pelo departamento de recursos
humanos e há uma vaga de gerente de produção. Após realizar testes
com diferentes candidatos, você separou os dois melhores candidatos
cujos desempenhos estão na tabela abaixo:
Tabela 5: Desempenho dos candidatos Ana e Felipe
Candidato
Assunto
Ana Felipe
Conhecimento de informática 8,5 9,5
Língua Portuguesa 9,5 9,0
Língua Inglesa 8,0 8,5
Matemática 7,0 8,0
Conhecimentos de economia 7,0 5,0
Média = 8,0 Média = 8,0
Como podemos notar, a média aritmética dos candidatos é a mesma,
portanto, não há como diferenciá-los.
Então vamos calcular a variância e o desvio padrão de Ana e de Felipe,
de modo a ver qual deles tem um desempenho mais homogêneo, ou seja,
que suas notas sejam menos dispersas da média.

94
Tabela 6: Desempenho de Ana
Ana xi
- x (xi
- x)2
8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52
= 0,25
9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52
= 2,25
8,0 8,0 – 8 = 0 02
= 0
7,0 7,0 – 8 = −1 (−1)2
= 1
7,0 7,0 – 8 = −1 (−1)2
= 1
4,5∑=
Variância:
Desvio padrão:
Tabela 7: Desempenho de Felipe
Felipe xi
- x (xi
- x )2
9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52
= 2,25
9,0 9,0 – 8 = 1 12
= 1
8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52
= 0,25
8,0 8,0 – 8 = 0 02
= 0
5,0 5,0 – 8 = −3 (−3)2
= 9
12,5∑=
Variância:
Desvio padrão:
Comparando, vemos que a variância do desempenho de Ana é menor
que a variância do desempenho de Felipe (0,9 < 2,5). Comparando o
desvio padrão deles temos 0,95 < 1,58, isso quer dizer que Ana teve um
desempenho mais regular que Felipe.

95
Atividades8
1) Podemos dizer que a média, associada ao desvio padrão, é uma boa
medida de variabilidade quando:
a) todos os valores da população ou da amostra estão em seu
entorno, o que implica em um grande desvio padrão.
b) todos os valores da população ou da amostra estão em seu
entorno, o que implica em um pequeno desvio padrão.
c) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos
e implicam em um grande desvio padrão.
d) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos
e implicam em um pequeno desvio padrão.
2) Um pequeno desvio padrão significa que:
a) todos os valores da amostra ou da população estão bem
afastados da média.
b) alguns dos valores da amostra ou da população estão bem
próximos da média, mas a maioria deles bastante afastados
dela.
c) a grande maioria dos valores da população ou da amostra estão
bem próximos da média.
d) a variância é um valor bem grande.
3) Umconjuntodedadosnuméricostemvariânciaigualazero.Podemos
concluir que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
8
Interbits e de DANTE, 2008.

96
4) A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças
defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha
de produção de autopeças, durante um período de 30 dias úteis.
Considerando S a série numérica de distribuição de frequências de
peças defeituosas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo,
atribuindo-lhes a letra V, quando verdadeiras, e a letra F, quando
falsas.
(1) A moda da série S é 5.
(2) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual
de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%.
(3) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento
geram uma série numérica de distribuição de frequências com
a mesma mediana da série S.
a) V V V
b) F F F
c) V F V
d) F V F
e) F V V
5) As vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma equipe de
basquetebol deve optar pela escalação de um dentre dois jogadores
A e B. As duas tabelas seguintes mostram o desempenho de cada
jogador nos últimos cinco jogos dos quais participou:

97
Jogador A Jogador B
Jogo Número de pontos Jogo Número de pontos
1 20 1 30
2 22 2 14
3 18 3 20
4 20 4 12
5 20 5 24
Para tomar sua decisão o técnico calculou o desvio padrão de cada
um dos jogadores nesses cinco jogos. Ele obteve como desvio padrão
do jogador A e como desvio padrão do jogador B, respectivamente:
a) 1,26 e 6,57
b) 6,57 e 1,26
c) 0,63 e 3,28
d) 3,28 e 0,63
e) 0,54 e 2,28
6) A tabela abaixo mostra o peso (em quilogramas) de um grupo de 20
pessoas.
Peso (kg) Frequência
40 |– 44 1
44 |– 48 3
48 |– 52 7
52 |– 56 6
56 |– 60 3
total 20
A média, a mediana e a moda são, respectivamente:
a) 51,4 kg; 50 kg e 50 kg
b) 50 kg; 51,4 kg e 50 kg
c) 50 kg; 50 kg e 51,4 kg
d) 51,4 kg; 51,4 kg e 50 kg
e) 50 kg; 51,4 kg e 51,4 kg

98
Gabarito
1. (b); 2. (c); 3. (d); 4. (e); 5. (a); 6. (a)
Referências
[1] CRESPO, 1998, p. 109-111.
[2] CRESPO, 1998, p. 111-113.

Juros
101
O conceito de juros é fundamental em Matemática Financeira. Este
capítulo vai abordar juros simples e também juros compostos.
Em primeiro lugar, é preciso ficar claro o que é juro. Nas palavras de
Garrity (2000)[1]
:
Sempre que se pega dinheiro emprestado, é cobrada uma taxa pelo
uso destes fundos. Da mesma forma, quando você investe ou deposita
dinheiro em uma caderneta de poupança, você é pago pelo uso de seus
recursos. O juro (J) refere-se à quantidade de dinheiro que se ganha ou se
cobra pelo uso do dinheiro. Às vezes, você ganha, como quando deposita
em uma caderneta de poupança, às vezes você paga, quando financia um
carro ou faz uma hipoteca. O valor dos juros é determinado pela taxa que
o banco emprega para calculá-los. E com a matemática, seremos capazes
de determinar o valor dos juros.
São dois os fatores que influenciam o cálculo dos juros: tempo e taxa.
Quanto mais tempo, mais juros serão gerados.
Quanto maior a taxa, maiores os juros.
Tempo e taxa implicam nos juros e consequentemente no valor futuro
(montante).
7.1 Juros Simples
No regime de juros simples, não há capitalização dos juros no final de
cada período, só no final do prazo. Isso quer dizer que os juros simples são
calculados unicamente sobre o valor presente (PV)9
, também denominado
valor inicial, capital ou principal.
O valor futuro (FV) também é denominado valor final ou montante.
A taxa de juros refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia
(a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.), ao semestre (a.s.), ao ano (a.a.), etc.
e pode ser apresentada de duas formas:
• Percentual, por exemplo, 14% a.m.
• Unitária, por exemplo, 0,14 a.m.
9
Vamos utilizar preferencialmente as mesmas siglas utilizadas na calculadora HP-
12C.

Juros
102
O número de períodos é o tempo que decorre desde o início até o final
da operação financeira. É o prazo durante o qual os juros estão sendo
acumulados.
Existem duas convenções[2]
para contagem dos períodos de tempo:
• Prazo exato: é aquele que leva em conta o ano civil de 365 dias e 366
dias (anos bissextos).
• Prazo comercial (ou bancário): é aproximado considerando o mês
com 30 dias e o ano com 360 dias.
Observação: O prazo comercial (ou bancário) é o mais frequentemente
usado, por isso, neste livro, usar-se-á o prazo comercial (ou bancário)
quando não estiver especificado o uso do prazo exato.
Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de R$ 10.000,00, aplicados
por 5 meses, à taxa de 5% a.m.
Tabela 1: Juros Simples
Meses
(n)
Capital
(PV)
Juros
(J)
Montante
(FV)
1 10.000,00 500,00 10.500,00
2 10.000,00 500,00 11.000,00
3 10.000,00 500,00 11.500,00
4 10.000,00 500,00 12.000,00
5 10.000,00 500,00 12.500,00
7.1.1 Fórmula para cálculo do montante no
regime de Juros Simples
FV = PV + PV. i . n
FV = PV (1 + i . n)
FV: valor futuro, valor final, montante.
PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.

Juros
103
i: taxa de juros.
n: número de períodos.
No exemplo:
FV = 10000 (1 + 0,05 . 5)
FV = 12500,00
Usando a calculadora científica
Digitar: 10000 × (1 + 0.05 × 5 ) =
Usando a calculadora HP-12C
f(2)
f REG
5 Enter 0.05 X
1 +
10000 X
Define o número de casas decimais no visor
Limpa memória
Multiplica 5 por 0,05
Adiciona 1
Multiplica por 10000
Usando o Excel
O montante é uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão (PV. i).
No exemplo: (10500, 11000, 11500, 12000, 12500).

Juros
104
7.2 Taxas de juros[3]
Devemos sempre ter o cuidado de utilizar a taxa de juros e o período
em uma mesma unidade de tempo. Tratando-se de juros simples, basta
multiplicarmos ou dividirmos diretamente valores que obteremos esta
relação, veja dois exemplos:
Taxa de 15% a.m. é o mesmo que:
• Se o período estiver em dias:
15 ÷ 30 = 0,5 % a.d.
• Se o período estiver em anos:
15 x 12 = 180% a.a.
3 meses é o mesmo que:
• Se a taxa estiver em dias:
3 x 30 = 90 dias
• Se a taxa estiver em anos:
3 ÷ 12 = 0,25 anos
Desta forma, quando temos juros com taxas mensais, nosso período
tem de ser em meses, se a taxa for diária, o período tem de ser em dias
e assim por diante.
7.3 Juros Compostos
No regime de juros compostos, há capitalização dos juros no final
de cada período. Isso quer dizer que os juros simples são calculados, em
cada período, sobre o montante do período anterior.
Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de R$ 10.000,00, aplicados
por 5 meses, à taxa de 5% a.m.

Juros
105
Tabela 2: Juros Compostos
Meses
(n)
Capital
(PV)
Juros
(J)
Montante
(FV)
1 10.000,00 500,00 10.500,00
2 10.500,00 525,00 11.025,00
3 11.025,00 551,25 11.576,25
4 11.576,25 578,81 12.155,06
5 12.155,06 607,75 12.762,82
7.3.1 Fórmula para cálculo do montante no
regime de Juros Compostos
FV = PV . (1 + i)n
FV: valor futuro, valor final, montante.
PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.
i: taxa de juros.
n: número de períodos.
No exemplo:
FV = 10000 (1 + 0,05)5
FV = 12762,82
Digitar: 10000 × (1 + 0.05) ^ 5 =
Obs.: A tecla de potência pode ser ^ ou ainda xy
dependendo do
modelo da calculadora.

Juros
106
Usando a calculadora HP-12C
f (2)
f REG
STO EEX
10000 CHS PV
5 n
5 i
FV
Define o número de casas decimais no visor
Limpa memória
Convenção exponencial
Memoriza 10000 como valor presente
Memoriza o prazo de 5 meses
Memoriza a taxa mensal de 5%
Calcula valor futuro
Obs.: Para usar a convenção exponencial temos que ter no visor a letra
“C”. Para isso, teclamos STO EEX. Ao teclar novamente, apagamos a letra
“C”, desabilitando a convenção exponencial.
Outra forma de usar a calculadora financeira é fazendo o cálculo
algébrico e usando a tecla que calcula potência .
No exemplo: 1 Enter 0,05 + 5 10000 ×
Usando o Excel

Juros
107
O montante é uma P.G. (progressão geométrica) de razão (1+ i).
No exemplo: (10500; 11025; 11576,25; 12155,06; 12762,82).
7.4 Comparando graficamente Juros
Simples e Juros Compostos
montante
capital inicial
montante composto
montante simples
período
A função que descreve o montante no regime de juros simples é uma
função polinomial do primeiro grau, enquanto a função que descreve o
montante no regime de juros compostos é uma função exponencial.
Quando o período varia entre 0 e 1, o montante a juros simples é maior
que o montante a juros compostos.
Quando o período é igual a 1, os montantes são iguais (veja que os
gráficos se cruzam).
Quando o período é maior que 1, o montante a juros simples é menor
que o montante a juros compostos.
Logo, juros compostos crescem mais rapidamente que juros
simples.

Juros
108
7.5 Exercícios resolvidos
a) Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 3.000,00
aplicado durante 1 ano a uma taxa de 1,8% a.m. de juros simples.
Resolução:
PV = 3000
n = 1 ano = 12 meses
i = 1,8% a.m. = 0,018 a.m.
J = PV . i . n
J = 3000 . 0,018 . 12
J = 648
b) Um capital de R$ 500,00 produziu em 1 semestre um montante de
R$ 590,00. Qual a taxa de juros simples mensal aplicada?
Resolução:
PV = 500
FV = 580
n = 1 semestre = 6 meses
FV = PV (1 + i . n)
590 = 500 (1 + i . 6)
590 = 500 + 3000i
590 – 500 = 3000i
90 = 3000i
90
i
3000
= = 0,03 = 3% a.m.
c) O preço à vista de um produto é R$ 480,00. O mesmo pode ser pago
com uma entrada de 25% mais um cheque pré-datado de R$ 381,60.
Determine o prazo do cheque, sabendo que a taxa mensal de juros
simples é de 4% a.m.
Resolução:
PV = 480
Condição: Entrada 25% + 381,60
(pré)
i = 4% a.m. = 0,04 a.m.
25% de 480 = 120
480 – 120 = 360
FV = PV (1 + i . n)
381,60 = 360 (1 + 0,04 . n)
381,60 = 360 + 14,4n
381,60 – 360 = 14,4n
21,60 = 14,4n
21,60
n
14,4
= = 1,5 meses ou 45 dias

Juros
109
d) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser
quitado emumúnico pagamentode R$ 22.125,00 sabendo que a taxa é
de 15% a.s., capitalizado semestralmente, em regime de capitalização
composta.
Resolução:
PV = 11000
FV = 22125
i = 15% a.s. = 0,15 a.m.
n = ?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
FV PV 1 i
22125 11000 1 0,15
22125
1,15
11000
22125
ln ln 1,15
11000
22125
ln n.ln 1,15
11000
22125
ln
11000
n
ln 1,15
n 5 semestres
= +
= +
=
 
= 
 
 
= 
 
 
 
 =
=
Usando logaritmos
Quando a variável aparece no expoente, precisamos utilizar
logaritmos. Optamos aqui por utilizar logaritmo neperiano (ou logaritmo
natural, representado por ln), pois é a função que temos disponível na
calculadora HP-12C. No entanto, com uma calculadora científica ou com
o Excel, também é possível utilizar logaritmo de base 10.
No exemplo acima, usamos a “propriedade do tombo”:
ln M = N . ln MN
O N que é expoente do logaritmando “cai” multiplicando o ln M.

Juros
110
No exemplo:
( )
( )
( )
n22125
ln ln 1,15
11000
22125
ln n.ln 1,15
11000
22125
ln
11000
n
ln 1,15
 
= 
 
 
= 
 
 
 
 =
Para calcular
( )
22125
ln
11000
n
ln 1,15
 
 
 = , usando a HP-12C, digitamos:
f REG
f (2)
22125 Enter 11000 ÷
g LN
1,15 g LN
÷
Zera as memórias
Duas casas decimais
Divide 22125 por 11000
Calcula o logaritmo natural de 2,01
Calcula o logaritmo natural de 1,15
Calcula a divisão entre os logaritmos
No Excel,
( )
22125
ln
11000
n
ln 1,15
 
 
 = pode ser assim calculado:

Juros
111
e) O valor de R$ 550.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de
12% a.m. com capitalização mensal durante 5 meses. Qual o valor
acumulado no final da operação?
Resolução:
PV = 550000
i = 12% a.m. = 0,12 a.m.
n = 5 meses
n
5
5
FV PV(1 i)
FV 550000(1 0,12)
FV 550000(1,12)
FV 969287,93
= +
= +
=
=
f) Ao aplicar R$ 654.000,00 durante 7 meses resgatou-se o montante
de R$ 2.145.883,80. Qual a taxa mensal de juros da operação a juros
compostos?
Resolução:
PV = 654000
FV = 2145883,80
n = 7 meses
i = ?
n
7
7
7
7
FV PV(1 i)
2145883,80 654000(1 i)
2145883,80
(1 i)
654000
3,28116789 (1 i)
3,28116789 1 i
1,185 1 i
i 0,185 18,5% a.m.
= +
= +
= +
= +
= +
= +
= =
Usando raízes de índice maior que 2
No exemplo acima, precisamos em 7
3,28116789 (1 i)= + tirar o expoente
7. Para isso, extraímos a raiz sétima dos dois membros da equação:
7
3,28116789 1 i= +
Então, como calcular raiz sétima?

Juros
112
Na calculadora científica, costuma aparecer a tecla x y , neste caso,
digitamos:
7 x y 3.28116789 =
Na calculadora HP-12C só é possível calcular raiz quadrada, então uma
opção é transformar uma raiz em uma potência de expoente fracionário.
Vale a propriedade:
ab a b
n n=
O expoente a “está por dentro”, quem “está por dentro fica por cima”.
O índice b “está por fora”, quem “está por fora está por baixo”.
Daí, podemos calcular 7
3,28116789 fazendo
1
7
3,28116789 .
Na calculadora HP-12C, digitamos:
3.28116789 Enter 1 Enter 7 ÷ yx
No visor, 1,185000000
No Excel para fazer
1
7
3,28116789 :
g) Qual o juro pago no empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juro
composto de 2% a.m. capitalizado mensalmente e pelo prazo de 10
meses?

Juros
113
Resolução:
PV = 1000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 10 meses n
10
10
FV PV(1 i)
FV 1000(1 0,02)
FV 1000(1,02)
FV 1218,99
= +
= +
=
=
J = VF – VP = 1218,99 – 1000 =
218,99
Atividades10
1) Determine os juros simples de um capital de R$ 800,00 aplicado a
uma taxa de 12% a.a., durante 7 meses.
a) R$ 56,00
b) R$ 58,00
c) R$ 60,00
d) R$ 63,00
e) R$ 65,00
2) O capital de R$ 200,00 foi investido a juros simples, à taxa de 7,5%
a.m., após certo prazo a taxa foi majorada para 10% a.m. O montante
4 meses após a majoração foi de R$ 370,00. Qual o prazo total da
aplicação?
a) 2 meses
b) 4 meses
c) 6 meses
d) 8 meses
e) 10 meses
10
As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas Referências
Gerais.

Juros
114
3) O capital de R$ 400,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m.
Após 1 semestre a taxa foi majorada, ficando durante 3 meses com
este valor. Se o montante no final de 9 meses foi R$ 568,00, qual a taxa
no segundo período?
a) 4% a.m.
b) 5% a.m.
c) 6% a.m.
d) 7% a.m.
e) 8% a.m.
4) CalculeomontanteproduzidoporumcapitaldeR$20.000,00aplicado
em regime de juro composto a uma taxa de 5% a.m. capitalizado
mensalmente, durante 2 meses.
a) R$ 20.050,00
b) R$ 21.500,00
c) R$ 22.050,00
d) R$ 23.500,00
e) R$ 24.050,00
5) Calcule o capital que produziu um montante de R$ 3.200,00, aplicado
em regime de juro composto a 2% a.m., capitalizado mensalmente,
durante 4 meses.
a) R$ 2.870,29
b) R$ 2.956,31
c) R$ 3.950,45
d) R$ 3.157,09
e) R$ 3.450,11
6) Uma loja financia um bem no valor de R$ 320.000,00, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$ 404.000,00 no final
de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada, a juros compostos, pela loja
se a capitalização é mensal?
a) 0,18% a.m.
b) 1,49% a.m.
c) 2,66% a.m.

Juros
115
d) 3,96% a.m.
e) 4,12% a.m.
7) Ao aplicar R$ 654.000,00 durante 7 meses resgatou-se o montante
de R$ 2.145.883,80. Qual a taxa mensal de juros compostos da
operação?
a) 18,5% a.m.
b) 18,9% a.m.
c) 19,3% a.m.
d) 19,9% a.m.
e) 20,7% a.m.
Gabarito
1. (a); 2. (e); 3. (c); 4. (c); 5. (b); 6. (d); 7. (a)
Referências
[1] GARRITY, 2000, p. 5.
[3] ARAÚJO, 2006, p. 88.

Desconto
119
Desconto é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz
jus por trocá-lo em data anterior ao seu vencimento. Vamos, neste capítulo,
conhecer o desconto simples comercial, o desconto simples racional e o
desconto composto racional.
No desconto de um título são elementos importantes:
• Valor nominal (valor futuro do título, valor de face ou valor de resgate)
é o valor do título na data do seu vencimento.
• Valor atual (valor presente do título) é o valor do título na data
(antecipada) em que ele é resgatado.
Veja o esquema abaixo:
Data do vencimento
(valor nominal - VN)
Desconto
(valor atual - VA)
D = valor nominal - valor atual
D = VN - VA
Segundo Kruse[1]
:
São inúmeras as situações onde contraímos dívidas a serem pagas no
futuro. Para que os credores possam provar que são os beneficiados,
emite-se um título com vencimento determinado, onde constam
também o nome do devedor, do credor e o valor a ser pago. Os títulos
mais conhecidos são: nota promissória (NP) (muito usada entre pessoas
físicas ou entre pessoa física e uma instituição financeira), duplicata
(emitida por uma pessoa jurídica), e a letra de câmbio (LC) (que já era
muito usada antigamente).

Desconto
120
Os descontos simples podem ser de dois tipos: comercial (bancário ou
“por fora”) ou racional (matemático ou “por dentro”).
No Brasil, usa-se predominantemente o desconto simples comercial,
quando as operações são de curto prazo. O desconto simples racional é
muito pouco usado.
O desconto composto racional costuma ser utilizado em operações
de longo prazo.
8.1 Desconto simples comercial
O desconto comercial (bancário ou “por fora”) equivale ao juro simples
produzido pelo valor nominal (valor de face) do título no período de
tempo correspondente e à taxa de desconto (id
) fixada.
Dc
= VN . d . n
Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual,
substituindo na fórmula acima, temos:
VN – VA = VN . id . n
VN − VN . id . n = VA
VN (1 – id.n) = VA
ou
d
VA
VN
(1 i .n)
=
−
Exemplo: Qual o valor líquido de uma duplicata de valor nominal
equivalente a R$ 120,75, à taxa de desconto de 6% a.a., 4 meses antes do
vencimento?
d
VA
VN
(1 i .n)
=
−

Desconto
121
VA
120,75
4
1 0,06.
12
=
 
− 
 
VA
120,75
0,98
=
VA 120,75.0,98=
VA = 118,335, arredondando, VA = 118, 34.
O valor líquido (atual) será de R$ 118,34.
8.2 Desconto simples racional
O desconto racional (matemático ou “por dentro”) equivale aos juros
simples produzidos pelo valor atual (presente) do título numa taxa (i)
fixada e durante o tempo (n) correspondente.
Dr
= VA . i . n
Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual,
substituindo na fórmula acima, temos:
VN – VA = VA . i . n
VN = VA + VA . i . n
VN = VA . (1 + i . n)
Exemplo: Determine o desconto de um título de valor nominal
equivalente a R$ 135,00, pago 2 meses antes do vencimento, à taxa de
juros de 1% a.m.
VN = VA . (1 + i . n)
135 = VA . (1 + 0,01 . 2)
135 = VA . 1,02

Desconto
122
VA =
135
1,02
= 132,3529412, arredondando, VA = 132,35.
D = VN - VA
D = 135,00 - 132,35
D = 2,65
O desconto será R$ 2,65.
8.3 Taxa de desconto e taxa de juros[2]
A taxa de desconto e a taxa de juros não são iguais. É fácil perceber isso,
na medida em que a taxa de desconto (id
) incide sobre o valor nominal e a
taxa de juros (i) incide sobre o valor atual, sendo o valor nominal maior que
o valor atual, a taxa de desconto (id
) será menor que a taxa de juros (i).
As taxas de desconto e as taxas de juros se relacionam diretamente:
( )d
i
i
1 i.n
=
+
e
( )
d
d
i
i
1 i .n
=
−
Exemplo: Em uma nota promissória de valor nominal R$ 452,40, foi
abatidaataxadedescontode21%a.m.,faltando18diasparaseuvencimento.
Calcule o valor do desconto e a taxa de juros, respectivamente.
d
VA
VN
(1 i .n)
=
−
VA
452,40
(1 0,21.0,6)
=
−

Desconto
123
VA
452,40
0,874
=
VA = 452,40.0,874
VA = 395,3976, arredondando, VA = 395,40.
D = VN − VA
D = 452,4 − 395,40 = 57,00
O desconto é de R$ 56,00.
( )
d
d
i
i
1 i .n
=
−
( )
0,21
i
1 0,21.0,6
=
−
0,21
i
0,874
=
i 0,2402745= = 24%
Taxa de juros 24% a.m.
Em resumo:
• No desconto simples comercial devemos utilizar taxa de desconto (id
).
• No desconto simples racional devemos utilizar taxa de juros (i).
• id
< i (taxa de desconto é sempre menor que taxa de juros, pois incide
sobre um capital maior).
8.4 Desconto composto racional[3]
Vamos estudar apenas o desconto composto racional, pois o desconto
composto comercial não é utilizado.
No regime de juro composto, o desconto é calculado por:

Desconto
124
VA (1 + i)n
= VN
( )
n
VN
VA
1 i
=
+
ou
( )
-n
VA VN 1 i= +
O termo ( )
n
1 i+ é o fator de descapitalização.
Exemplo: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de
R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 18% ao
semestre, capitalizados semestralmente (desconto composto racional).
VN = 1120
i = 18% a.s. = 0,18 a.s.
n = 2 anos e 6 meses = (4 + 1) semestres = 5 semestres
( )
( )
( )
-n
-5
-5
VA VN 1 i
VA 1120 1 0,18
VA 1120 1,18
VA 489,56
= +
= +
=
=
Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o
sinal ao expoente.
No exemplo acima, digitamos: 1.18 ^ 5 − × 1120
Resultado: 489,56
ATENÇÃO:
O – “negativo” não é a tecla de “menos” que faz a operação de
subtração, mas sim a tecla que muda o sinal do número que está no
visor. Dependendo do modelo da calculadora científica essa tecla pode
ter diferentes apresentações.

Desconto
125
Usando a HP-12C
Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o
sinal ao expoente, utilizando a tecla CHS.
No exemplo acima: 1.18 Enter 5 CHS yx
1120 ×
Resultado: 489,56
Usando o Excel
Atividades11
1) Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, 4 meses
antes de seu vencimento, 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de
60% a.a.? (Considere o desconto racional simples.)
a) R$ 5.250,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.250,00
d) R$ 6.450,00
e) R$ 6.700,00
11
As atividades deste capítulo foram adaptadas de CESAR, 2000, e PARENTE e CARIBÉ,
1996.

Desconto
126
2) Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$
19.250,00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título,
se a operação deu-se à taxa comercial de 30% a.a.?
a) 15 dias
b) 30 dias
c) 35 dias
d) 45 dias
e) 60 dias
3) (Petrobrás) Resgatei um título em um banco que me pagou o líquido
de CR$ 20.350,00. O resgate deu-se a 10 dias do vencimento, à taxa de
24% a.m., pelo critério do desconto racional. O valor nominal desse
título é:
a) CR$ 22.780,00
b) CR$ 22.030,00
c) CR$ 21.978,00
d) CR$ 21.359,00
4) (Banco do Brasil) Descontei duas notas promissórias de valores
diferentes, cuja soma é de CR$ 400.000,00, usando a taxa de 7% a.m.,
de desconto comercial simples. Uma era vencível em 36 dias e a outra,
vencível em 48 dias. O total dos descontos foi de CR$ 36.400,00. O
maior valor nominal dentre os referidos títulos é:
a) CR$ 250.000,00
b) CR$ 300.000,00
c) CR$ 320.000,00
d) CR$ 350.000,00
5) (TTN) O valor atual racional de um título cujo valor de vencimento é
de: R$ 256.000,00, daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples,
utilizada para o cálculo, de 4% ao mês é:
a) R$ 200.000,00
b) R$ 220.000,00
c) R$ 180.000,00
d) R$ 190.000,00

Desconto
127
6) (AFTN) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor
nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao
mês, considerando um desconto racional composto e desprezando
os centavos.
a) R$ 9.140,00
b) R$ 9.126,00
c) R$ 9.151,00
d) R$ 9.100,00
e) R$ 9.174,00
7) Um título no valor de R$ 20.000,00 foi saldado três meses antes do
vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de
10% ao mês. Qual o valor recebido?
a) R$ 12.640,00
b) R$ 13.160,00
c) R$ 13.570,00
d) R$ 14.290,00
e) R$ 14.580,00
Gabarito
1. (c); 2. (d); 3. (c); 4. (b); 5. (a); 6. (c); 7. (e)
Referências
[1] KRUSE, 2005, p.91.
[2] KRUSE, 2005, p.96-97.
[3] CRESPO, 1998, p. 127.

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