Este documento apresenta uma aula sobre o cálculo de áreas planas utilizando a fórmula de Gauss. Explica os métodos analíticos e geométricos para determinar áreas e se concentra no método analítico da fórmula de Gauss. Fornece exemplos passo a passo de cálculo de áreas de polígonos e exercícios para praticar a aplicação da fórmula.

1. AULA 06 – CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
TOPOGRAFIA I
PROF. EWERTON CHAVES MOREIRA TORRES

2. CONTEÚDO
1 Introdução
Método analítico pela fórmula de Gauss2
3
4
Exercícios
Referências bibliográficas
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3. CONTEÚDO
1 Introdução
Método analítico pela fórmula de Gauss2
3
4
Exercícios
Referências bibliográficas
AULA 06 – CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

4. INTRODUÇÃO
AULA 06 – CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
As técnicas geométricas e analíticas para
quantificar áreas (e volumes) são
relativamente simples, porém muito custosas
quando realizadas manualmente. A utilização
de software a partir da rotina pelo método de
Gauss possibilita um cálculo mais preciso e
ágil.
A medição da área plana ou projetada
horizontalmente, de uma localidade é
importante para a maioria dos problemas de
engenharia, principalmente quando envolve
estudos de custos e orçamentos.

5. INTRODUÇÃO
Entre as aplicações para determinar a área, pode-se citar:
• Construção de loteamentos e cadastro urbano;
• Construção de vias urbanas e rurais;
• Construção de barragens, canais e hidrovias;
• Edificações e obras em geral;
• Agricultura, engenharia agrícola e florestal;
• Transportes e logística;
• Construção de túneis e na mineração.
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6. INTRODUÇÃO
Na determinação de uma área, os procedimentos são normalmente aplicados:
• Diretamente, por meio das coordenadas dos pontos obtidas pelas medições,
sendo a área calculada analiticamente.
• Indiretamente, por meio do desenho da região de interesse, com a aplicação da
escala em questão.
Uma vez que se utilizam os dados originais que definem os limites de uma
localidade, o processo direto é o mais preciso. No caso do processo indireto, a
precisão está relacionada à escala de representação, com exceção para desenhos
criados com as coordenadas originais em um software tipo CAD.
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7. INTRODUÇÃO
Há cinco métodos para esses dois processos:
Para fins de cálculo, só estudaremos o método analítico pela formula de Gauss.
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2. Métodos geométricos (ou gráficos)
 Método de Garceau e método e Collignon
 Método de decomposição: decomposição em polígonos
 Método mecânico (ou digital): panimetro polar
 Métodos de comparação: quadrícula
1. Métodos analíticos
 Fórmula de Gauss

8. CONTEÚDO
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Exercícios
Referências bibliográficas
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9. MÉTODO ANALÍTICO PELA FÓRMULA DE GAUSS
É possível fazer o cálculo por processo analítico da área de uma poligonal
conhecendo as coordenadas relativas e absolutas dos vértices, ou apenas as
absolutas.
Para isso, aplicasse a fórmula de Gauss para cálculo de áreas, com base na fórmula
do trapézio. Esse método é considerado o mais preciso para cálculo de áreas de
poligonais topográficas.
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10. EXEMPLOS
A poligonal possui 05 (cinco) vértices, onde são conhecidas as suas coordenadas X
(Longitudes) e Y (Latitudes).
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COORDENADAS
X Y
700,0000 700,0000
965,7426 927,8278
1163,8477 899,9887
1202,4519 755,0124
943,6967 779,7396

11. EXEMPLOS
A área é calculada com base nas projeções dos alinhamentos em X ou Y. Obs.: as projeções
podem ser obtidas a partir das coordenadas. Para facilitar o cálculo, calcula-se as áreas dos
retângulos, que dependendo da orientação podem ser positivas ou negativas. As somas
algébricas das áreas encontradas é dobrada. A área do polígono será metade do valor.
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A=255630,6971 m2 A=-154790,4704 m2
2S=100840,2267 m2
S=50420,1133 m2

12. EXEMPLOS
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13. EXEMPLOS
AULA 06 – CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
A área é calculada com base nas coordenadas X (Longitudes) que são multiplicadas
pela sua subsequente Y (Longitudes) e vice-versa (repete-se a primeira coordenada
no final). Somam-se as parcelas em cada sentido. A diferença em módulo dos dois
sentidos corresponde a área dobrada da poligonal. Ao final basta dividir o
resultado por dois.

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Exercícios
Referências bibliográficas
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15. EXERCÍCIOS
1-Calcule as áreas das poligonais dadas pelas coordenadas abaixo:
a) b)
2- Calcule as áreas das poligonais dadas na aula 05.
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Pontos X Y
0 100 100
1 110,28 82,603
2 120,021 99,983
0 100 100
Estação X Y
0 1356,286 1205,709
1 1673,542 1085,516
2 1645,219 1493,068
3 1117,649 1439,769
4 989,934 1222,051
5 1000,000 1000,000

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Exercícios
Referências bibliográficas
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17. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRANDALIZE, M.C.B., Apostila de Topografia PUC/PR.
BORGES, A C., Exercícios de topografia. 3ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1975. 192p.
BORGES, A C., Topografia. 2ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1999. 1v.
BORGES, A C., Topografia. 2ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1999. 2v.
TULER, M. & SARAIVA, S., Fundamentos de topografia. Porto Alegre: Bookman, 2014.
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18. EWERTON CHAVES MOREIRA TORRES
ewertontorres@pet.coppe.ufrj.br
OBRIGADO!