Módulo de Precipitação, pertencente à disciplina de Hidrologia do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará (UFC). Disciplina ministrada pelo professor Francisco de Assis de Sousa Filho.

1. Francisco de Assis de Souza Filho

2.  Introdução;
 Aquisição de dados pluviométricos;
 Homogeneidade e Preenchimento de falhas;
 Precipitação Média na Bacia;
 Estatística das Precipitações: comportamento médio, padrões de variação
sazonal, interanual e plurianual;.

3.  Análise de frequência de chuvas;
 Curvas de Intensidade-Duração-Frequência (IDF) e Desagregação da chuva
diária em horária;
 Hietograma e Relação Precipitação-Área.

6. • Estimativa de Precipitação média e máxima em bacia hidrográfica.
• Risco de Falha do Sistema
- Avaliação de séries temporais de precipitação;
- Chuva de projeto;
.

7. • Hidrometeorológico
- Precipitação Máxima Provável (PMP)
• Análise Estatística de Séries de Precipitação
- Análise de Frequência
- Curvas Intensidade-Duração-Frequência

10. • As variáveis hidrológicas são aleatórias pois não seguem uma
lei de certeza;
• Assim sendo, uma variável hidrológica qualquer tem uma
certa freqüência ou probabilidade de ocorrência que está
associada a um tempo médio;

11. • Risco;
• Incerteza.

13. • Funceme
• ANA - hidroweb

20. • Detecção de erros grosseiros e pontos atípicos
- Dias inexistentes
- Valores anormais de precipitação
• Preenchimento de Falha
- Problemas com os aparelhos de registro ou com o operador do
posto
- Utilizar para totais mensais e anuais, não é recomendável o
preenchimento de chuvas diárias
• Hogeneidade dos dados.

21. Xs=exp(Xmed+Kn,a Sx)
Xl=exp(Xmed-Kn,a Sx)
KN,a=0,10=-3,62201+6,28446N1/4- 2,49835N1/2 +0,491436 N3/4 – 0,037911N
Naghettine e Pinto (2007-pag 270)
Chow et all (1988-pag 403)

22. Xs=exp(Xmed+Kn,a Sx)
Xl=exp(Xmed-Kn,a Sx)
KN,a=0,10=-3,62201+6,28446N1/4- 2,49835N1/2 +0,491436 N3/4 – 0,037911N
Naghettine e Pinto (2007-pag 270)
Chow et all (1988-pag)

23. • Método da Ponderação Regional;
• Regressão linear;
• Regressão linear com peso R;
• Vetor regional

24. • Método da Ponderação Regional;
• Regressão linear;
• Regressão linear com peso R;
• Vetor regional

25. • Dentre um grupo de postos, são selecionados pelo menos três que possuam
no mínimo dez anos de dados. Os postos escolhidos devem estar numa região
climatológica semelhante ao posto a ser preenchido.
• Levar em conta os registros pluviométricos de três estações vizinhas
onde:
Px – precipitação ausente que necessita ser preenchida
PA, PB, PC – precipitação postos vizinhos








 C
C
x
B
B
x
A
A
x
x P.
P
P
P.
P
P
P.
P
P
3
1
P

26. • Na regressão linear simples, as precipitações do posto com falhas e de um ou
mais postos vizinhos são correlacionadas.
• As estimativas dos dois parâmetros da regressão podem ser obtidos com
auxílio de planilha do Excel: ao plotar os dados de precipitação dos dois postos
no tempo e adicionar uma linha de tendência, a equação da regressão linear é
automaticamente gerada
Onde
y : precipitação estimada do posto Y;
a,b : constantes da regressão linear;
x : precipitação do posto a ser correlacionado.
A regressão linear pode ser múltipla.
y = 0,896x + 20,267
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0,000 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000
Pici x Aeroporto
Exemplo Planilha

27. • Este método consiste em estabelecer regressões lineares entre o posto a ser
preenchido e cada um dos postos vizinhos. De cada uma das regressões
efetuadas, obtém-se o coeficiente de correlação “r”, e estabelecem-se fatores
de peso para cada posto.
: fator de peso entre os postos ;
: o coeficiente de correlação entre os postos citados;
N : número total de postos considerados.
Após calculados todos os fatores de peso, cuja soma deve ser sempre 1, o
valor a ser preenchido no posto Y é dado por:

28. • Mudança do aparelho;
• Mudança do método de observação;
• Mudança na inclinação da reta.

29. Precipitaçãoanualacumulada
1935
1940
1945
1950 Mo
1955
1960
1965
1970
1975
Ma
Precipitação média das estações da região (acumulada)
Pa – Ajustadas atuais
Po – Dados a serem corrigidos
Ma – Declividade atual
Mo – Declividade anterior

30. Dados de chuva sem problemas de consistência
Discutem-se, a seguir, alguns
casos típicos relativos à aplicação
da análise de dupla massa em que
são identificados, por diferentes
razões, problemas de consistência
dos dados.

31. Dados de chuva sem problemas de consistência
Discutem-se, a seguir, alguns
casos típicos relativos à aplicação
da análise de dupla massa em que
são identificados, por diferentes
razões, problemas de consistência
dos dados.

32. b) mudança na declividade,
determinando duas ou mais retas.
Constitui o exemplo típico
derivado da presença de erros
sistemáticos, mudança nas
condições de observação ou a
existência de uma causa física real,
como alterações climáticas no
local provocadas pela presença de
reservatórios artificiais.

33. Para se considerar a existência de
mudança na declividade, é prática
comum exigir a ocorrência de pelo
menos cinco pontos sucessivos
alinhados segundo a nova
tendência. Para corrigir os valores
correspondentes ao posto sob
análise, existem duas
possibilidades: corrigir os valores
mais antigos para a situação atual
ou corrigir os valores mais
recentes para a condição antiga.

34. A escolha da alternativa de correção
depende das causas que provocaram a
mudança da declividade. Por exemplo,
se foram detectados erros no período
mais recente, a correção deverá ser
realizada no sentido de preservar a
tendência antiga. Os valores deverão
ser acumulados a partir do período
para o qual se deseja manter a
tendência da reta. Os valores
inconsistentes podem ser corrigidos de
acordo com a seguinte expressão:
c
c i o i
o
M
P = P + (P - P)
M
Onde:
Po = a precipitação acumulada ajustada à tendência desejada.
Pi = valor da ordenada correspondente a interseção das duas tendências
Mc = coeficiente angular da tendência desejada.
Mo = coeficiente angular da tendência a corrigir.

35. c) Alinhamento dos pontos em retas
paralelas:
O alinhamento dos pontos segundo
retas paralelas caracteriza a existência
de erros de transcrição de um ou mais
dados. Pode, ainda, decorrer da
presença de anos extremos em uma
das séries plotadas. Como exemplo, a
figura ao lado é construída a título de
visualização deste caso. A ocorrência
de alinhamentos segundo duas ou mais
retas aproximadamente horizontais (ou
verticais) pode ser a evidência da
comparação de postos com diferentes
regimes pluviométricos.

36. d) Distribuição errática dos pontos:
A distribuição errática dos pontos é
geralmente resultado da comparação
de postos com diferentes regimes
pluviométricos, sendo incorreta toda
associação que se deseje fazer entre os
dados dos postos plotados. Uma vez
finalizada a análise de consistência,
pode ser necessária a revisão dos
valores previamente preenchidos. O
preenchimento das séries é uma tarefa
que deve ser efetuada antes da análise
de consistência, para evitar distorções
no gráfico de dupla massa. Quando
neste gráfico forem observadas
modificações de tendências, o
preenchimento deverá ser revisado.

38. • Chuva não é uniforme
• Altura média precipitada
• Metodologias
- Aritmético
- Isoietas
- Thiessen

39. • Maior simplicidade
• Restrições:
- Postos uniformemente distribuídos
- Relevo plano
- Valores próximos da média
100
90
92 88
85 80 80
78 77
70
69
70
60

40. • Procedimento
1. Traçar Isoietas
2. Para cada par sucessivo, calcular a altura média precipitada
3. Planimetrar área entre isoietas
4.
onde:
hi = valor da isoieta da origem i
Ai = área entre isoietas sucessivas
A = área total
 
A
2
A.hh
h
i1ii 

100
90
92 88
85 80 80
78 77
70
69
70
60

41. • Visão Geral
- Os aparelhos não precisam estar uniformemente distribuídos;
- Cada posto – ponderado por sua área de influência.
• Metodologia
- Unir os postos por retas;
- Traçar as mediatrizes dessas retas – formando polígonos;
- Lados do polígono – limites da área de influência de cada posto
.


i
ii
A
A.P
P

42. 65,0
48,8
71,6
57,1
60,0
39,1 117,3
75,7
127,0

43. 65,0
48,8
71,6
57,1
60,0
39,1 117,3
75,7
127,0

44. 65,0
48,8
71,6
57,1
60,0
39,1 117,3
75,7
127,0

46. • Estatística
• Variável aleatória: não possui um explicação determinista da sua ocorrência
• População: é o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável
aleatória.
• Amostra: é a quantidade de resultados que me permite estimar as estatísticas
da população.
• Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser
representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é
importante, mas não significa tudo.
• Valores independentes: os valores da amostra não devem apresentar
correlação entre si.

47. • População - Sinônimo de espaço amostral,
descreve o conjunto completo de todos os
valores representativos de um determinado
processo aleatório.
• Amostra - Qualquer subconjunto da
população.
• Parâmetros - Quantidades que são descritivas da população em um
modelo estatístico. Normalmente, as letras gregas são usadas para denotar
parâmetros estatísticos.
• Estatística amostral (ou simplesmente estatística): quantidades
calculadas com base em observações da amostra.

48. • Amostra, Universo e População
• Pergunta: Será que a amostra é representativa do universo?
Para responder, deve-se verificar as características amostrais e compará-las com as
características universais.
Exemplo: 0 X

49. • Frequência
• Probabilidade : A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável.
• Variável Estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas
não variam com o tempo e Não- Estacionária no caso contrário.
• Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de
probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

50. • Frequência
• Probabilidade : A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável.
• Variável Estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas
não variam com o tempo e Não- Estacionária no caso contrário.
• Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de
probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

51. A estatística é baseada na análise da série de dados observados ao longo do
tempo;
Os estudos estatísticos dessas séries tem aplicações das mais diversas, tais
como:
• O comportamento climático e hidrológico regionais (série de valores médios);
• Projetos agrícolas (séries de valores mínimos);
• Projetos de obras hidráulicas (série de vazões máximas).

53. • Agrupamento em classes de frequência
• Definir o nº de classes (N)
nN 
• Definir a amplitude de cada classe (ac)
N
A
classesden
globalamplitude
a G
c 



54. • Agrupamento em classes de frequência
• Definir o nº de classes (N)
nN 
• Definir a amplitude de cada classe (ac)
N
A
classesden
globalamplitude
a G
c 



55. Calcular o histograma da precipitação total anual do posto de Fortaleza.

57. • Valor Central
• Dispersão
• Assimetria
• Achatamento

58. • Média Aritmética
• Média Geométrica
• Média Harmônica
• Mediana
• Moda

60. Dispersão Assimetria

61. xxmo xmd
(a) Positively Skewed, x>0
fx(x)
x
xmd xmo
x
(c) Negatively skewed, x<0
fx(x)
x
xxmo=xmd
(b) Symmetric, x=0
fx(x)
x

62. x
(a) Uni-modal distribution
fx(x)
x
(b) Bi-modal distribution
fx(x)

64. Comparar a estatística descritiva do total anual de precipitação do posto
pluviométrico de Fortaleza e de Quixeramobim utilizando a planilha Excel.

66. • Os processos hidrológicos são aleatórios, logo, podem serem inferidos por
uma lei de probabilidade.
• As leis de probabilidade são funções contínuas usadas para a estimativa de
um dado evento hidrológico e precisam ser previamente ajustadas.
• O ajustamento consiste na verificação da representatividade da lei da
probabilidade em relação as frequências de ocorrência do processo hidrológico.

67. • Calcular o ponto médio de cada classe;
• Frequência absoluta;
• Frequência relativa;
• Frequência relativa acumulada.
.

68. Função densidade de probabilidade Função distribuição acumulada

69. P
Tr
1
1P1

Tr
1
P 
PMAX PREC.
O período de Tempo de médio
(medido em anos) em que
determinado evento deve ser
igualado ou superado pelo menos
uma vez
F
Tr
1


70. • A frequência é o número de vezes que um evento pode se repetir;
• Em hidrologia a frequência de um evento está associada a magnitude do
evento.

71. • O tempo médio em que um certo valor da variável pode voltar a ocorrer é
denominado tempo de retorno.
• O período de retorno, ou tempo de recorrência, é o inverso da probabilidade
excedente:
)(
1
xXP
T



72. Distribuição de Frequência acumulada
Onde:
m = ordem do evento;
n = n° de dados.

73. ordem P(mm) ordem P(mm)
1910 P(1910) 1 Pmáx 1/(n+1) 1 Pmín. 1/(n+1)
1911 P(1911) 2 . 2/(n+1) 2 . 2/(n+1)
1912 P(1912) 3 . 3/(n+1) 3 . 3/(n+1)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
n P(n) n Pmín. n/(n+1) n Pmáx n/(n+1)
Rol crescente
Ano P (mm) F(X >= x)
Rol decrescente
F(X <= x)
Ver Exemplo

74. Calcular a função distribuição acumulada da precipitação total anual do posto
de Fortaleza.

75. O risco de uma obra falhar uma ou mais vezes ao longo de sua vida útil é igual a:
n
T
R 






1
11
Onde:
T = Período de Retorno (em anos);
n = É a vida útil da obra (em anos);
R = É o risco.

77. 1. Calcular o risco de falha durante a vida útil de um bueiro que foi calculado
para um período de retorno de 5 anos, sabendo que a vida útil do mesmo é
de 30 anos.
2. Calcule o risco de falha de uma barragem nos próximos 50 anos sabendo o
vertedouro foi dimensionado para um período de retorno de 1000 anos.

78. Ajuste gráfico aos pontos das equações de posição de locação ou plotagem
1n
m
)Qq(P m


12,0n
44,0m
)Qq(P



Normal
Gumbel
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra
N é o tamanho da amostra.

79. MODIFICAR PARA
PRECIPITAÇÃO EM FORTALEZA
A vazão média tem chance de 10% de ser maior que 27 m3/s em um ano
qualquer ou com risco de 10 anos

80. Gama 3- Log Pearson
Normal, Log-Normal
Todas as distribuições C=0,4
Todas as distribuições
Gumbel e GEV a=0,44
Ver Naghettini e Pinto(2007-302)

86.  Precipitações e Vazões Medias
▪ Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)
▪ Gama
 Máximas
▪ Extremos
✓ Gumbel (Extremo tipo I)
▪ Pearson
✓ Pearson Tipo III
✓ Log Pearson Tipo III (Padrao nos EUA)
▪ Log-Normal

87. Função Densidade de Probabilidade
Gauss
Gamma
Gumbel







 

2
2
2
)(
2
1
),;(




x
exf





 


 



x
exxf 1
)(
1
),;(
 )(
)(
),;(






x
ex
exf

89. 1. Máxima Verossemelhança
2. Método dos Momentos
3. Método dos L-Momentos (LM)
4. Generalized Maximum Likelihood (GML)

90. • rth-ordem do produto-momento de X sobre qualquer ponto de referência X =
x0 é definido, para o caso contínuo, como
ao passo que para o caso discreto,
onde E [X] é um operador esperança matematica.
Na prática, os primeiros três momentos (r = 1, 2, 3) são utilizados para descrever
a tendência central, variabilidade e assimetria.
         
r r r
o o x o x
- -
E X x = x x f x dx= x x dF x
 
 
   
   
     
1
K
r r
o k o x k
k=
E X x = x x p x  
  

91. Dois tipos de produto-momento são comumente utilizados:
- Momentos-bruto: μr'= E [Xr] rth-ordem momento sobre a origem;
- Momentos centrais: μr = E [(X - μx)r] = rth-ordem momento central.
Relações entre os dois tipos de produto-momentos são:
 
0
1
r
i i '
r,i x r ir
i=
= μμ C   0
r
' i
r,ir x r i
i=
μ = μC  
onde Cn,x = coeficiente binomial = n! / (x! (n-x)!)
As principais desvantagens do produto-momentos são:
(1)Estimativa da observação da amostra é sensível à presença de outliers;
(2)A precisão das amostras do produto-momentos se deteriora rapidamente
com o aumento da ordem dos momentos.

93. • Qui- Quadrado (c2)
• Kolmogorov-Smirnov (KS)
Naghettini e Pinto (2007-pag270-Cap7.4)
Chow et all (1988-pag 367)

94. • Forma Geral para as funções de frequência (Chow)
• Tipos de Distribuição
– Valores Médios
• Distribuição de Gauss
• Distribuição Gamma
– Valores Extremos
• Gumbel
xkxx 

95. Fórmula Geral da Função de
Frequencia (Chow)
xTKxx 
Distribuição de Extremos Tipo I: Gumbel







 )]
1
([5772.0
6
Tr
Tr
LNLNKT

)]}
6
5572,0(exp[exp{1
1
TK
Tr




96. Fórmula Geral da Função de Frequencia (Chow)
Distibuição de Extremos tipo III: Log-Pearson
Probabilidade
de
excedência
xTKxx 
Tr
1
p  )5.00()
1
(
2/1
2






 p
p
LNw
32
2
001308.0189269.0432788.11
10328.0802853.0515517.2
www
ww
wz



      5
3
1
16
3
1
1 432232
kT zkkzkzzkzzK 
 
  snn
xxn
C
n
i
i
s
21
1
3



Coeficiente de assimetriaOnde k = Cs/6

98. • Altura
• Duração
• Intensidade
• Frequência
- Método California
- Método de Kimbal
n
m
F 
1

n
m
F

99. Para um dado Tr  Pmax = 100mm
Mas dado 2 chuvas de 100mm qual é a mais perigosa?
(Inundações, romper barragens, etc.)
100mm em 4 horas – 25mm/h
ou
100mm em 1 hora – 100mm/h
Então não é só a altura que interessa mas também a intensidade.
)duração(
)altura(
d
h
i 

102. 0
50
100
150
200
250
0 10 20 30 40 50 60 70
Duração (minutos)
Intensidade(mm/hora)
i (TR=10)
i (TR=20)
1
10
100
1000
1 10 100
Duração (minutos)
Intensidade(mm/hora)
i (TR=10)
i (TR=100)
IDF Fortaleza
Análise das Precipitações no Pluviográfo
5, 10, 15, 30 e 60 minutos e
1,2,4,6,12,18,24 horas
IDF máxima precipitação em Chicago

103. • Uma curva IDF não é uma evolução temporal da chuva dentro de uma
tempestade.
• Curvas IDF são frequentemente formuladas com a equação de Horner
c
m
T
bD
aT
Di
)(
)(



104. Em geral, é usual, em Hidrologia, empregar-se equações do tipo:
A equação de Chuva para Fortaleza é
n
m
Bt
KT
i
)( 

61,0
18,0
)8(
99,506


t
Tr
i
Onde:
i = intensidade da chuva;
K, m, B e n são parâmetros a
determinar;
t = duração da chuva;
T = período de retorno em anos.

105. São Paulo Curitiba Fortaleza
Onde: t = min; Tr = anos, i = mm/h
Para cidades que não tenham suas equações de chuva intensa:
• Outros Métodos: Otto Pfafstetter
Taborga Torrigo
)22(
T7,3462
1,025
0,172
r


t
i )20(
T1239
0,74
0,15
r


t
i
)8(
T99,506
0,61
0,18
r


t
i

106. Otto Pfafstetter apresenta gráficos em escala bilogarítmica, associando a
altura da precipitação (P) com seu período de retorno (T) e duração ( t ) que
utiliza a seguinte fórmula.
  t.c1log.bt.a. 





 

T
B
TP
onde a, b, e c são valores característicos de cada posto e  e  são função da
duração ( t ).

107. Chuvas Intensas – Pluviógrafos
• Número limitado de pluviógrafos.
• Notadamente em bacias pequenas.
• Este método prescinde de registros e pluviógrafos, sendo suficiente os
dados obtidos pluviômetros.

108. Chuvas máximas diárias anuais
observadas em Várzea Alegre
no período de 1913/1972.
Para cada posto do
THIESSEN.
Passo 1. PMAX
para cada ano

109. Passo 2. Ajustar uma distribuição de probabilidade

110. Passo 3. PMAX associada a cada Tr (PMAX de 1 dia)
TR = 100 anos, P = 154,4mm
TR = 200 anos, P = 164,7mm
TR = 500 anos, P = 178,2mm
TR = 1000 anos, P = 186,2mm
Passo 4. Precipitação máxima diária na bacia.
Pondera precipitação máxima de cada posto por seu peso no THIESSEN.

111. Passo 5. Conversão de Pmax(1dia)  Pmax(24h)
P24h = 1,1 P1dia
Passo 6. Conversão de P24h  P1h
a) Isozonas
b) Tabela – Valores de R
P1h = R x P24h

112. Passo 7. (Caso tenha usado só 1 posto)
Onde:
Pa = precipitação média sobre a bacia;
Po = precipitação no centro de gravidade da bacia, tomada igual a
precipitação em Várzea Alegre;
w = constante que depende do local (0,22 para região NE do Brasil);
A = área da bacia hidrográfica (71,8 km2);
Ao = área base na qual Pa = P0 (Linsley  25km2).
    
Pa
ESPACIAL
oP
PONTUAL MAXMAX PP 









Oo
a
A
A
logW1
P
P
9,0
P
P
o
a


113. Passo 7. (Continuação)
Passo 8.
Determinação das precipitações intensas para durações entre 1 e 24 horas para
os Tr citados.

118. Hietogramas de tipos de tempestades típicas

120. 1 quantil 3 quantil2 quantil 4 quantil
Distribuições temporais para as tormentas quartil, associadas à probabilidade de ocorrência.

121. Onde P é o total de chuva, td é a duração, r é um parâmetro que indica o
tempo em que ocorre a precipitação máxima (0,4-0,5) e im é a intensidade de
chuva máxima.

122. i) Divide-se a duração da chuva (td) em N intervalos com duração
ii) Para cada intervalo de tempo calcula-se a intensidade média da chuva no
intervalo utilizando-se a IDF
com j variando de 1 até N
iii) Calcula-se o total de chuva em cada intervalo
N
t
t d

 n
m
Btj
KTr
tji

 )(
))1(()()( tjPtjPtjP 

123. iv) Este é uma sequência em ordem decrescente por construção. Posiciona-se
estes valores no hietograma cabendo ao maior valor a posição central o
segundo maior a sua esquerda, o terceiro maior a sua direita e assim
sucessivamente como mostra a figura ao lado.

124. The alternating block hyetograph model

125. Curva de fator de redução de área estabelecida pelo Weather Bureau
Com:
P = chuva média sobre a área A, em mm/h
P0 = chuva no epicentro da tempestade , em mm/h
A = área da bacia em km2
K e m = parâmetros que variam com a duração, para um
certo tipo de tormenta.
m
-kA
oP = P e

126.     
Pa
ESPACIAL
oP
PONTUAL MAXMAX PP 









Oo
a
A
A
logW1
P
P
Onde:
Pa = precipitação média sobre a bacia;
Po = precipitação no centro de gravidade da bacia, tomada igual a
precipitação em Várzea Alegre;
w = constante que depende do local (0,22 para região NE do Brasil);
A = área da bacia hidrográfica (71,8 km2);
Ao = área base na qual Pa = P0 (Linsley  25km2).
9,0
P
P
o
a


127. Figura. Comparação entre relações
altura-área para alguns países:
Estados Unidos da América (USA)
para 30 minutos e 1 hora, Inglaterra
(UK) para 30 minutos e 1 hora,
França para 30 minutos, Noruega
(Oslo) para 30 minutos, Iugoslávia
(Zagreb) para 1 hora e Suécia (Lund)
para 30 minutos e 1 hora