Apostilha preparação profmat2015

Guia de Estudo para
a preparação para
exame de ingresso
ao mestrado
profissionalizante

Características do exame
 Tipo de pergunta
Múltipla escolha(40 perguntas ) só precisa marcar sua
resposta
 Gabarito
Exame sobre 80 pontos distribuídos
1. Cada pergunta de múltipla escolha avaliada com 0(escolha
errada) ou 2(escolha certa) pontos .
2. Aprovado 30 ponto ( 15 perguntas corretas)

Conteúdos das questões
a) Proporcionalidade e Porcentagem
b) Equações do Primeiro Grau
c) Equações do Segundo Grau
d) Teorema de Pitágoras
e) Áreas
f) Razões Trigonométricas
g) Métodos de Contagem
h) Probabilidade
i) Noções de Estatística
j) Triângulos: Congruências e Semelhanças

Fundamentos dos conteúdos das
questões
 Geometria euclidiana plana: figuras geométricas
planas: retas, semi-retas, segmentos; ângulos;
elementos, propriedades de polígonos e do círculo;
relações de congruência e semelhança,
paralelismo e perpendicularismo; áreas e
perímetros: polígonos; círculos e partes do círculo;
relações métricas nos triângulos,
polígonos,polígonos regulares e círculos; inscrição
e circunscrição de polígonos e círculos.
 Geometria do espaço , Sólidos( Pirâmide, cone,
cubo, prismas, cilindro, esfera) áreas e volumes.
 Noção de seqüência. Progressões aritméticas e
geométricas.

 Conceito de função .Funções linear, quadrática e modular.
Gráficos em cartesianas.
 Equações linear e quadrática .Sistemas de equações
lineares. Métodos de solução.
 Métodos de contagem, com o sem repetição , com o sem
ordem . Soma Gaussiana. Permutações. Produto de
combinações.
 Relações trigonométricas no triangulo. Funções
trigonométricas.
 Conceito de probabilidade clássica. Construção do espaço
amostral .Probabilidade condicional. Relações com as
combinações e permutações.

 Media aritmética , desvio padrão. Valor esperado.
 Números naturais, inteiros , racionais e irracionais.
M.d.c. e m.m.c. Divisão de números inteiros.
Congruências. Ordem dos números racionais.
Potenciação. Racionalização de expressões irracionais.

Construção das questões
As questões do exame serão formuladas
preferencialmente como situações
problema,buscando questões que envolvam
o exercício do conteúdo matemático do
programa em contextos novos. As questões
podem envolver estudos de caso,simulações
e interpretação de textos, imagens, gráficos e
tabelas.

Sugestões para a preparação individual
 Estudo e resumo dos conteúdos a ser avaliados apoiado
na bibliografia orientada.
 Estudo de exercícios de aplicações resolvidos na
bibliografia.
 Estudo dos exercícios dos exames anteriores.
 Tentar resolver exercícios propostos.
 Em caso de não conseguir tentar:
 Ver se existe algum parecido e tentar resolver por
analogia.
 Se no consegue revisar de novo a teoria e volver a tentar.

 Se não conseguir precisara de ajuda externa.
 Se não encontra parecido revisar de todas formas a
teoria e volver a tentar.
 Se não conseguir precisara de ajuda externa.

Solução passo a passo de
questões com sua
argumentação matemática

Teoría dos números
Exemplo 1
 Orden dos números racionáis  Qual dos números abaixo é o
mais próximo de 0,7?
 A) 1/2
 B) 2/3
 C) 3/4
 D) 4/5
 E) 5/7

Conhecimentos
necessários
Solução passo a passo
 Representação de números
racionais como frações
decimais.
 Distancia entre números
 Calculemos sua distancia a
cada um dos 5, a menor
distancia indicara o número
mais perto.
10
7
7.0 
0.7 1/ 2 0.7 0.5 0.2,
0.7 2/3 0.7 0.66 0.04,
0.7 3/ 4 0.7 0.75 0.05,
0.7 4/5 0.7 0.80 0.10,
0.7 5/ 7 0.7 0.714 0.014
   
   
   
   
   

Finalmente
então fica mais perto de 5/7.
 Resposta alternativa E

Exemplo 2
Sejam a=27000,b=53000,c=132000
, e . Assinale a alternativa correta:
A) c<a<b
B) c<b<a
C) a<b<c
D) b<c<a
E) a<c<b

Solução
 Trabalho com
potenciação de números
naturais
 Propriedades da
potenciação
 Fundamentalmente
 Observe as bases são
diferentes. Utilizemos a
propriedade da
potencia(I) de direita a
esquerda.
200070003000
1325 
)(.
Iaa cbbc


 
 
  1000100022000
1000100077000
1000100033000
1691313
12822
12555



Ordenando com o mesmo expoente

veja
 Três com o mesmo expoente diferente base, podemos
ordenar-las ficaria alternativa A

Aplicando propriedades da potenciação
 Exemplo3
O número é igual a:
a)1/18 b)1/81 c)1/9 d)-18 e)9
3/2
27

Solução
 Propriedades da
potenciação
 Denominador no
expoente é raiz
 Sinal negativo no
expoente o termo passa
ao denominador
  9
1
3
1
27
1
27
1
27 22
3
3/2
3/2


Representação decimal de números racionais
Conceitos teóricos necessários.
 Os números racionais são representados na parte
decimal por uma seqüência cíclica de algarismos.
 Importante determinar a quantidade de algarismos de
o ciclo e os algarismos que o formam.
 Determinação de resíduo da divisão inteira.

Exemplo 4
 Dividendo 6 por 7 o
100º algarismo da
expansão decimal que
aparece apos a virgula
é:
 a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
 Dividamos 6 entre 7 e
determinemos todos os
algarismos diferentes de
seu ciclo.
 Observe que o ciclo é
formado por 857142 são
6 algarismos, por tanto
para saber qual é o 100º
temos que dividir 100/6 e
obter o resíduo.
0.8571428
7
6


100/6=16*6+4
Como o resíduo é igual 4, contando a partir
de 8, temos que 1 será o quarto algarismo
resposta alternativa a

simplificação de expressões numéricas e
algébricas. Números irracionais.
 Neste tipo de exercício precisamos de trabalho
algébrico , fatoração,conhecer os casos tipos de
expressões algébricas (diferença de quadrados,
binômio de Newton, trinômio quadrado perfeito,
diferença cúbica).
 Trabalho com expressões irracionais e sua
racionalização.

Exemplo 5
Considere os números reais
A opção verdadeira é:
A) a e b são ambos irracionais e c é racional.
B) a e b são ambos inteiros e c é racional.
C) a e c são ambos racionais e b é irracional.
D) a é inteiro, b é racional e c é irracional.
E) a é racional e b e c são ambos irracionais.
   
24
721
,31,8
21
2
3
2 


 cba

Solução
 Temos expressões
algébricas com
números irracionais.
 Devemos simplificá-las
 Simplifiquemos a
,multiplicando pela
conjugada do
denominador, ao
numerador e
denominador

22222222
1
)21(2
8
)21)(21(
)21(2
8
21
2









a

 b não tem mais
simplificação.
 C pode ser simplificado.
 Simplifiquemos c
aplicando a formula do
binômio de Newton
sobre o termo cúbico.

     
4
5
24
25
24
7226231
24
7223231
24
721
323






c

Conclusão a e c são racionais e b irracional,
resposta alternativa C

Trabalho com frações, razões, proporções,
porcentagem.
 Neste tipo de exercícios precisamos de combinar
conhecimentos de outras áreas da matemática por
exemplo de geometria, unidades de grandezas,
variáveis e sua variação porcentual o proporcional,
solução de equações.

Proporções com geometria da circunferência
 Movimento e proporções
na circunferência
 Exemplo6
Meninas formaram uma
roda. Maria é a quinta
garota à esquerda de
Denise e é a sexta garota à
direita de María. Quantas
meninas estão na roda?
 A) 10
 B) 11
 C) 12
 D) 13
 E) 17

Solução
 Desenhar um circulo
colocar a Denise a sua
esquerda marcar 5 a 5ta
será Maria, então marcar
a direita 6 de forma que a
6ta coincida com Maria.
Então contar a
quantidade colocada na
circunferência.
D
M

São 11 resposta alternativa c)

Exemplo7
 Em um show de música, os organizadores notaram que a razão
entre o número de homens e o número de mulheres presentes no
início do evento era de 7/10 .Durante o show nenhum homem e
nenhuma mulher saiu ou entrou. Ao final do show, os organizadores
observaram um aumento de mais 255 homens e que 150 mulheres
deixaram o local, de modo que a razão entre o número de homens e
o número de mulheres presentes depois disto passou a ser 9/10
.Qual o número total de pessoas que estiveram presentes em algum
momento no show?
 (A) 1365
 (D) 3570
 (B) 1950
 (E) 3954
 (C) 3315

Solução
 Observe que a variável
principal é o número de
pessoas que estiveram no
show.
 Temos que determinar
número de mulheres e
homens presentes.
 Dos dados obter relações
entre as variáveis
anteriores.
 M0-número de homens
no inicio.
 Ho-número de mulheres
no inicio.
 Mo/Ho=7/10
 Ao final (Mo+255)/(Ho-
150)=
9/10
10(Mo+255)=9(Ho-150)(I)
10Mo=7Ho(II)

 Isolando Mo em (II) e substituindo em (I) obtemos
uma equação linear com relação a Ho.
 10(7/10Ho+255)=9(Ho-150)
 7Ho+2550=9Ho-1350,2Ho=3900,, Ho=1950.
 Mo=7(1950)/10=1365
 Total=Mo+255+Ho=1365+255+1950=3570
 Reposta alternativa D

Solução
 Devemos interpretar e
construir a figura
geométrica.
 Semelhança de
triângulos para obter as
relações entre o lado
AM=x e o comprimento
BN.

Solução
 Tempo equivalente entre
as dúas academias.
Formar com os dados
uma equação linear.
 70t+130=80t+90
 10t=40
 t=4 meses
Resposta alternativa A

Solução
 Neste exemplo
precisamos trabalho com
medias aritméticas.
Devemos combinar as
duas entre os dois
períodos e formar uma
equação linear.
 m-media do2009-2012
 m=325.
 X-quantidade de 2013
 m+.2m=(4*m+x)/5
 x=1.2m*5-4m=2m=650

Solução
 O conhecimento do
porcentagem é muito
importante.
 Ir diminuindo até passar a
metade do valor original.
 Sim diminui 20% conserva
um 80% do valor que é
equivalente a multiplicar
cada valor anual por 4/5
 Considerando 1 o total
 1*4/5=4/5
 4/5*4/5=16/25
 16/25*4/5=64/125
 64/125*4/5=256/625<1/2
 Demoramos 4 anos
mínimo.
 Resposta alternativa B

Solução
 Os conhecimento da
semelhança de triângulos é
fundamental neste exemplo.
 Lembremos as propriedades de
dois triângulos semelhantes.
Seus ângulos correspondentes são
iguais e seus lados opostos
proporcionais.
O perímetro de um trapézio é soma
de seus lados.
Determinar os lados com
comprimento dados e
desconhecidos.
Usando semelhança obter as
relações para calcular os
desconhecidos.
 AB=9cm,BC e CD
desconhecidos, DA=6cm.
 Pelo semelhança dos triângulos
ABD e BDC obtemos as
igualdades por lados
correspondentes proporcionais.
 BD/AB=CD/BD=BC/DA
 12/9=CD/12=BC/6 de aqui
teremos
 CD=144/9=16cm
 BC=72/9=8cm
 Perímetro=16+8+9+6=39cm
 Resposta Alternativa C

Solução
 Exemplo típico do
trabalho com
proporções.
 Determinar a variável do
problema quantidade de
estudantes da turma .
 Formar as diferentes
relações que a envolvem
e formar uma equação
para determina-la.
 X- número total de
estudantes da turma.
 Custo fixo é aqui a chave
 Temos dois custos
quando participa toda a
turma (X) e quando não
participam 8.Igualando
estes dois produtos
 30*X=37.5(X-8)
 Obtemos uma equação
linear para calcular X.

 30X=37.5(X-8)
 7.5X=37.5*8=300
 X=300/7.5=40 alunos.
 Resposta Alternativa D

Exemplo 14
 Um pacote de biscoitos tem 10 biscoitos e pesa 85
gramas. É dada a informação de que 15 gramas de
biscoito correspondem a 90 kcalorias. Quantas
quilocalorias têm cada biscoito?
 a)38 kcal b)43 kcal c)46 kcal d) 51 kcal e)56 kcal

Solução
 Determinar quantidade
de gramas de cada
biscoito.
 Determinar a quantidade
de kcal por grama de
biscoito
 Então já podemos
calcular quantidade de
kcal de cada biscoito.
 Se 10 biscoitos pesam 85
gramas então cada
biscoito pesa 8.5 gramas.
 Se 15 gramas contem 90
kcal então 90/15=6
 Multiplicando a
quantidade de kcal por
grama (6) por
quantidade de gramas de
cada biscoito(8.5)
 6*8.5=51 kcal

Exemplo 15 Proporções na balança
Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois
pratos. Ele possui 5 pesos distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e
81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos,
descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no
mesmo prato que a pera?
 A) 1, 9 e 27
 B) 3 e 27
 C) 9 e 27
 D) 1 e 9
 E) 3 e 9

Solução
 Obter uma igualdade
entre as pesas e a pera
em ambos pratos da
balança.
 Obter o total e dividir em
dois.
 Determinar quais
somadas como peso da
pera é igual a metade.
 Total=(1+3+9+27+81)+61=
182.
 Total/2=91
 61+27+3=91

Exemplo 16
Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade.
Isto significa que em 100 gramas da amostra teremos 18
gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor
aproximação do percentual de água da amostra a ser
evaporado se quisermos obter 30% de salinidade?
 A) 30 %
 B) 36 %
 C) 42 %
 D) 49%
 E) 58%

Solução
 Necessitamos do trabalho com
proporções , porcentagem e
regra de três.
De 100 g como temos 18 % de sal
então podemos supor que 18 g
de sal e 82 g de agua.
Na nova proporção
teremos 30 % do peso de sal.
O peso p=60 g de peso como
teremos igual 18g de sal então de
agua ficarão 42g de agua
Por tanto se evaporara 82-42=40g
Que representa
40/82*100=48.7..%
Resposta alternativa D
18 30
100p


Exemplo17
 Segundo informações do último censo do IBGE, a população brasileira
cresceu cerca de 12% , entre os anos de 2000 a 2010 . Nesse período, a
população urbana passou de cerca de 81% para cerca de 84% da
população total. A partir dessas informações, podemos concluir que a
população não urbana no período:
 a) decresceu aproximadamente 8%
 b) decresceu aproximadamente 6%
 c) permaneceu aproximadamente a mesma
 d) cresceu aproximadamente 9%
 e) cresceu aproximadamente 12%

Solução
 O centro de partida é a
população brasileira no
ano 2000.
 Interpretar os dados
relacionados com a
variável principal e suas
variações.
 Agora calculemos o
porcentagem.
 Chamemos de
x-população de 2000
2000 2010
Total x 1.12x
Urbana 0.81x 0.84(1.12x)
Rural 0.19x 0.16(1.12x)

68.5100
19.0
0108.0
100
19.0
1792.019.0
100
19.0
)12.1(16.019.0





x
xx
x
xx
p

Geometria Euclidiana
 Necessitamos uma base de conhecimentos da geometria
plana atendendo aos conteúdos colocados no edital do
exame.
 Alguns questões não tem a figura intente faze-la bem
grande e com certa precisão, determine ângulos, simetrias,
faca conjeturas de acordo ao elemento a determinar.
 Alguns questões tem a figura, então passamos de acordo ao
que temos que determinar , ver os elementos que
conhecemos, a vezes precisamos de construir elementos
auxiliares, prolongar semirreta, segmentos, etc.
 Na questões discursivas necessitamos justificar nossas
conclusões.

Solução
 Necessitamos os
conhecimentos das
relações geométricas da
pirâmide quadrada. Um
desenho da pirâmide
ajuda a entender o
problema.
d

 A altura da pirâmide é um cateto do triangulo
retângulo outro cateto é a metade da diagonal do
quadrado da base.
 Teríamos então d- diagonal .
2 2 2 2
8 8 8 2, 8 ( / 2) 4 2d h d     
 Reposta alternativa A

Solução
 Necessitamos conhecer
as características do
triângulo
isósceles(mediatriz,
mediana e altura
coincidem).
 h- cateto do triangulo
retângulo
 h2=b2-(a/2)2=100-64=36,
h=6
 O apoio de medida c
esta no ponto médio do
cateto do triangulo
retângulo, logo o outro
extremo esta ponto
médio da hipotenusa
 c=h/2=3.

 Notemos agora que v é o lado lateral do triangulo
isósceles , assim
 v=b/2=10/2=5
 Resposta alternativa A

Solução
 Maximizar área da figura com
perímetro constante.
 Precisamos conhecimento das
características geométricas
( área , perímetro ) do circulo e o
retângulo.
Obter uma função área da figura
com perímetro constante .
Conhecimento da função
quadrática (parabólica) e
obtenção de seu
vértice(máximo)
Completa mento do trinômio
quadrado perfeito.
 Área da figura cinza se obtém
a subtrair a área do retângulo
(XY) a área do circulo πr2
(r=X/2)
 A(X,Y)=XY- πX2/4,
 Ágora a restrição colocada de
perímetro=10.
 P- perímetro
 P=2Y+2 πX/2=2Y+πX =10
 Insolando Y=(10-πX)/2 e
substituido na função A
obtemos
 A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4

 A(X)=X (10-πX)/2 - πX2/4=-3 π/4X2+5X função quadrática.
 Determinemos o vértice onde a função alcança seu valor
máximo, completando o trinômio quadrado perfeito.
 A(X)= -3 π/4 (X2-2 (10/3 π) X+ (10/3 π) 2)+25/3 π
 A(X)= -3 π/4 (X- 10/3 π)2+ 25/3 π parábola que alcança seu
máximo em X= 10/3
 A(10/3)=25/3/3.14=2.6539…
 Resposta
 Alternativa E

Solução
 Exemplo de aferimento
de um tanque cilíndrico.
 Necessitamos calcular a
área sombreada ,
apoiados na geometria
do circulo ( área de
região circular central) e
área de triangulo
retângulo.
 cos(pâb)=R/2/R=1/2,
pâb=π/3
 Então a área do setor
circular acoba=π/3R2
 Agora determinemos
área do triangulo acpba
 A cateto
 Area Triangulo acpba=
2 2 3
( / 2)
2
pb R R R  
23
4
R

 Área sombreada=
 Multiplicando por o comprimento do cilindro
obtemos o volume
23
( )
3 4
R


23
10( )
3 4
V R

 

Solução
 Necessitamos os
conhecimentos de áreas
de círculos, quadrados,
relação entre lados de
um quadrado inscrito a
uma circunferência e o
raio de esta.
 Um desenho ajudaria
muito
2l r

 Área do circulo interior =1= πr2,r2=1/ π.
 O então o raio do circulo exterior é R= l, área
Cexterior= πR2=2
 Resposta alternativa C.

Solução
 Construir o hexágono
regular e os triângulos
equiláteros que tem
dentro.
 Com a quantidade de
triângulos equiláteros
que contem 3 hexágonos
construir triângulos
equiláteros.
 Desenho gráfico

Veja 6 triângulos por 3 da 18 triângulos de
lado 10 centímetros.

 Resumindo da para construir 2 triângulos equiláteros
de 30 cm lado
 Resposta alternativa C

Solução
 AC diagonal do quadrado
 f(x)- função que representará
a área sombreada.
 Observe que f(0)=0,f(1)=1,
f(2)=2
 De aqui excluímos os casos
C;D e E.
 Então estamos entre A y B
 Veja como varia f(x) para
xE[0,1]
 f(x)=Soma de área de um
triângulos retângulos
isósceles de altura x.
 f(x)=x2, xE[0,1]
 Evidentemente será
alternativa A sem avaliar
xE(1,2].
 Mais para que não fiquem
duvidas calculemos f(x) será
diferença da área do
quadrado ABCDA- área do
um triangulo retângulo
isósceles de altura x-2

Solução
 Formular área de
retângulo em função de
sua altura e base.
 A=b.h
 Expressa-la como função
das novas variações de b
e h.
 A=(b+b*/10)(h-h/10)
 Simplificando
 A=b*1.1*h.9=.99b/h
 Então diminui em 1%.

Solução
 Necessitamos conhecer as
formulações das áreas do
retângulo, triângulos
retângulos.
 Área do retângulo=2*3
 Área triangulo ABC=Área do
retângulo –Área triangulo
retângulo -área do trapézio.
 Área do trapézio= área
triangulo retângulo maior –
área triangulo retângulo
menor, ambos são
semelhantes
 2/x=4/1, x=1/2
 Área trapézio=1/2*4*1-
1/2*2*1/2=3/2
 =6-1/2*2*2-3/2=5/2

Solução
 Aqui necessitamos nossos conhecimentos sobre
ângulos interiores num polígono regular.
 Num polígono convexo regular de n lados a soma de
seus ângulos interiores e igual a (n-2)180.
 No caso temos x ângulo interior de um pentágono a
soma será 3*180=540, agora dividendo por 5 temos
 540/5=108

Solução
 Entender o problema e
determinar o elemento
geométrico a calcular.
 Introduzir as variáveis
necessárias para calcular a
principal.
 Procurar dados por
semelhança de triângulos,
paralelismo.
 Equacionar.
 Resolver.
 Nos pedem calcular o
comprimento do segmento
BP, chamaremos de y.
 y=BP.
 Temos dois triângulos
retângulos relacionando
este segmento
 ∆APB e ∆BPX
 Conhecemos a longitude
do segmento
AX=5,AB=1,distancia entre
paralelas=2.

 Chamemos AP=z, outra variável . O ∆AXB tem altura
2( distancia entre paralelas) e base 1.
 Por outro lado a área A∆AXB= A∆APB+A ∆BPX de
onde obtemos a equação
1 2 . (5 ) 5 2
2 2 2 2 5
x z y z y y
y

    

Solução
 Precisamos dos
conhecimentos sobre o
trapézio , seu perímetro.
Elemento a calcular
perímetro trapézio menor.
 Trapézio isósceles lados
no paralelos de igual
comprimento.
 Tirar conclusões do
encaixamento dos
trapézios menor no maior.
 Observe que três lados do
trapézio menor são iguais
chamaremos de x , e tem
um lado maior
chamaremos de y.
 Os ângulos interiores dos
trapézios pelo
encaixamento são de 60º os
agudos e 120º os obtusos.
Por trigonometria implica
y=2x.
 Então o perímetro do
trapézios sombreado é
y+3x=2x+3x=5x.

 Por inspeção o perímetro do trapézio maior
 4y+2x=4(2x)+2x=10x=36
 De onde x=3.6 cm
 Perímetro do trapézio sombreado é 5*3.6=18cm

Solução
 Identificamos o
elemento a calcular.
 Interpretamos os dados
da construção
geométrica.
 Estabelecemos as
relacoes para calcular o
valor.
 Os triângulos são
semelhantes, por ter
seus três ângulos
interiores iguais por
alternos internos entre
paralelas.
 Por tanto seus lados são
proporcionais.
 Essa proporção a
conhecemos de as bases
 AB/DE=8/5.

 Sabemos que a proporção linear k=8/5 por tanto área
do triangulo maior=k2 área do triangulo menor.
 Então a razão é 2.56

Solução
 Entender a construção
da figura a partir de um
circulo.
 Necessitamos conhecer
área do circulo e
perímetro da
circunferência.
 Estabelecer relacoes
entre as duas figuras.
 Área do circulo inicial de
raio=10 é 100∏.
 A figura construída de
um retângulo central e
dois semicírculos de raio
5.
 O perímetro de ambas
coincide
 p=20 ∏=10 ∏+2*x
 x-comprimento lado
desconhecido.

 Isolando obtemos x= 5∏.
 Então a área da figura é =25 ∏ +50 ∏=75 ∏
 A razão fica 75∏/100 ∏=3/4

Solução
 Conhecimento de
paralelismo e
perpendicularidade de
segmentos.
 Construir o segmento
paralelo a AC e utilizar a
semelhança de
triângulos.
 Estabelecer relacoes de
proporção necessárias
para obter a equação.
 x=AC incógnita
 Da semelhança dos
triângulos BDG e BFH.

Solução
 Temos que utilizar os
conhecimentos sobre
triângulos equiláteros e
retangulares,
semelhança de
triângulos.
 Construir as alturas AR e
BS
 Construir as relacoes
necessárias para
equacionar.

 Chamemos de x –
comprimento do lado
 Os triângulos BNM e BRA
são semelhantes, por tanto
como BM é a metade de
BA então BN é a metade
de BR e BN=x/4 e
NC=3x/4.
 Os triângulos CPN e CSB
são semelhantes então
CP=3/4CS, por outro lado
AP=12 CP=x-12
 Equações obtemos
3
12
8
x
CP x  

 De onde x=19.2

Solução
 Conhecimento de área
de triângulos retângulos
e retângulos.
 Proporcionalidade entre
triângulos semelhantes.
 Obter relacoes entre as
áreas das 3 figuras.

Relação entre lados de triângulos
semelhantes
 lb/la=20/40=1/2
 Área A= 4 área= área C
 ∆A=40x, C=40x resposta
 Alternativa D

Solução
 Conhecimento da
circunferência.
 Observe as simetrias.
 4 áreas iguais, cada área
pode ser oleada como a
soma de dois iguais
 Teremos 8
 Calculemos uma delas
como diferencia da área de
um setor circular de
amplitude Pi/4 –área de
triangulo retângulo de
base 1 y altura =1*1/2
 8(Pi/4-1/2)=2Pi-4

Solução
 Os hexágonos regulares
podem olear-se como
soma de áreas de
cujos lados tem relação
com o raio da
circunferência.
 Área de triangulo
equilátero = 3/4l2
 O hexágono inscrito
temos l=r,e tem 6
 Temos sua área
 =6 3/4r2=3 3/2r2
 O hexágono circunscrito
Os triângulos tem uma
como altura o raio.
Então aplicando Pitágoras

 r= l2-l2/4= 3/2l l=2/ 3r
 Então como temos 6 triângulos 6 3/4(2/ 3r)2
 =4/3(3 3/2r2)
 Resposta alternativa B.

Solução
 Conhecimentos de áreas de
semicircunferências.
 Como as áreas da
semicircunferência menor
esta uma sombreada e
outra sem sombrear se
compensam.
 Por tanto área sombreada é
a soma das áreas da
semicircunferência media
e maior.
 Area=π6^2/2+
π3^2/2=22.5π

Solução
 Precisamos das
propriedades dos
triângulos isósceles,
circunferência
circunscrita a um
triangulo.
 Seja y a metade da base
do triangulo isósceles .
Então área do triangulo
isósceles é igual a x*y.
 Determinemos o y em
função do x.
 r=3cm por dado.

 Isolando
2 2
9 ( 3) 9 6 9 (6 )y x x x x x        
(6 )A x x x 

Solução
 Precisamos das
propriedades dos
triângulos retângulos.
 Triângulos retângulos com
a mesma área o produto de
sus catetos é igual.
 BP*BC=AP*AQ=QD*DC
 (I e
II)AP/BP=BC/AQ=BC/(BC-
QD)= 1/(1-QD/BC)
 (I e
III)QD/BC=BP/DC=BP/(BP+
AP)=1/(1+AP/BP)
 Agora combinando
 X=AP/BP
 X =1/(1-1/(1+X))
 Obtemos uma equação com
relação a X

Resposta alternativa B
2
1 1
1
1
1
1 0
x
x
x
x
x x

 


  
1 5
2
x



Solução
 Trabalho com triângulos
retângulo e semelhança de
triângulos.
 x= FE,
 No triangulo FEC
retângulo aplicamos
Pitágoras
 x2=(1-x)2+1/4
 Cuja solução é x=5/8
 Os triângulos retângulos
GDF e FEC são
semelhantes , pois os
ângulos DFG e EFC são
complementares
 Então FE/CE=GF/FD,5/8
3/8 1/ 2
5/ 6
FG
FG



Modelagem com equações lineares
 Precisamos entender bem a situação real, o problema a
resolver(geralmente necessitamos conhecimentos de
áreas especificas).
 Determinar a variável incógnita do problema.
 Encontrar as relações da incógnita com os dados e
representá-lo em formulações.
 Reduzir a uma equação linear.
 Resolver a equação obtida.

Exemplo 41
 Considere três números, a, b e c. A média aritmética
entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b e c é 15. O
valor de c é:
 A) 9
 B) 10
 C) 11
 D) 12
 E) 15

Solução
 Necessitamos conhecer o
conceito de media
aritmética de um conjunto
de números.
Dados x1,x2,…xn
Media A=(x1+x2+…+xn)/n
 As incógnitas estão em
forma explicita no
problema.
 Construir as relações a
traves das medias
aritméticas.
 Incógnitas os números a,b
e c, relacionam-se por suas
medias aritméticas.
 Incógnita principal a
calcular c.
 (a+b)/2=17 (i)
 (a+b+c)/3=15(ii)
 Isolando (a+b)=34 e
substituindo em (ii)
obtemos a equação com
relação a c.
 (34+c)/3=15

 c=45-34=11  Resposta alternativa C

Exemplo 42
 No dia do aniversário de João em , uma pessoa
perguntou a idade dele. João respondeu: “se eu
não contasse os sábados e os domingos da
minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João
nasceu no ano de:
a) 1946
b) 1954
c) 1962
d) 1964
e) 1968

Solução
 Conhecimentos
necessários sobre
calendários( dias de um
ano, dias da semana).
 A variável principal esta
explicita.
 Determinemos relações
pelos dados
 Ano normal tem 365
dias, a semana tem 7
dias.
 Ano de nascimento de
João é x.
 Dias vividos ate 2010
365(2010-x).
 Agora calculemos os dias
vividos, tomando em
conta que teria 40 anos
sim sábados e domingos

 Obter duas expressões dos anos vividos tomando em
conta anos normais e por outro lado que teria 40 anos
não contando os sábados e domingos.
365(2010 ) 365(2010 )
40*365
7 7
x x 
 
Igualando as expressões
obtemos a equação para
calcular x
365(2010 ) 365(2010 )
365(2010 ) 40*365
7 7
1954
x x
x
de onde x
 
   


Solução
 Tipo problema cuja solução
são equações lineares .
 Determinar as variáveis.
 x-número de acertos
 y-número de erros
 Soma de pontos por acertos
e erros do cara são 50
 Soma de acertos e erros em
qualquer prova é 35
 3x-2y=50
 x+y=35
 Isolando y=35-x e
substituindo 3x-2(35-x)=50
 5x=50+70=120
 x=24
 Resposta alternativa D

Solução
 Necessitamos
representar números no
sistema base 10.
 Por os dados do
problema plantear a
equação que da o
número x.
 A direita 10x+1
 A esquerda 10^5+x
 Então 10x+1=3(100000+x)
 De onde obtemos
 7x=300000-1=299999
 x=299999/7=42857
 Soma dos
dígitos=4+2+8+5+7=26

Solução
 Temos três números
inteiros, as somas de eles
dois a dois é conhecida,
formaremos 3 equações
lineares com 3 incógnitas
a,b,c.
 Resolvendo o sistema
obtemos os 3 números e os
multiplicamos.
 a+b=37(I)
 b+c=41(II)
 a+c=44(III)
 De (I) -(II)
 a-c=-4
 a+c=44
 Somando 2*a=40, a=20
 b=17,c=24
 O produto
abc=24*20*17=8160

Solução
Com os dados formemos
uma equação linear para
calcular o número de
integrantes da torcida A .
 x- Números de
integrantes torcida A
 32*x+34(84-x)=2752
 34*84-2752=2x
 x=104/2=52

Solução
 Combinar contagem com
equação linear
 n-rapazes , 2n mocas
 Total de jogadores 3n.
 Total de partidas
combinatória sim repetição
e sim ordem.
 3n!/(3n-2)!/2!=3n(3n-1)/2
 O 10% das partidas foi
entre rapazes n.
 n!/(n-2)!/2!=n(n-1)/2
 1/10=n(n-1)/2/3n(3n-1)/2
 Simplificando obtemos
 9n-3=10n-10,n=7

Modelagem com equações quadráticas

Exemplo 48
 Um grupo de jovens aluga por 342 reais
uma van para um passeio, findo o qual três
deles saíram sem pagar. Os outros tiveram
que completar o total pagando, cada um
deles, 19 reais a mais. O número de jovens
era de
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 19

Solução
 Necessitamos interpretar
bem o problema.
 A variável principal é
clara.
 Procurar relações com a
variável principal para
construir a equação.
 O número de jovens
chamaremos de x.
 Deveria pagar cada um
deles 342/x.
 Como 3 deles farão
embora fico para o resto
pagar o anterior mais
19.
342/(x-3)=342/x+19

010265719
342*3)3(19
342
19
)3(
3
2





xx
xx
xx
xx

 Cujas soluções são x=-6 e x=9, então
 Resposta alternativa b

Solução
 Temos uma função
quadrática também
modular.
 As propriedades de estas
funções devemos utiliza-
las.
 Podemos procurar uma
solução gráfica.
 a função tem duas
ramas
 Grafiquemos f(x).
2
2
2 ( 2), 0
( )
2 ( 2), 0
x x x x x
f x
x x x x x
    
 
   

 Observe do gráfico que a reta paralela ao eixo x, só
corta em 4 pontos a curva no intervalo(0,-1). Resposta
alternativa D.
3 2 1 1 2 3
1.0
0.5
0.5
1.0

Solução
 Temos uma equação de
2do grau e um expressão
que utiliza uma raiz dela
.
 x2+x-1=0,r-raiz dela
então
 r2=1-r
 Substituindo na
expressão 1-r por
r2obtemos:
5 6
3 2 2
2 4
2
2
2
2
2 ( 2)
1
(1 )( 2) 2
1 ( 1) 1 0 1
r r
r r r r
r r
agora substituindo r por r
r r r r
transformando obtemos
r r
     

     
     

Exemplo 51
Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de
terra. Admita que todos possuem a mesma velocidade de trabalho
(medida em área cortada por unidade de tempo) e que uma das glebas
tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos trabalham
juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos
trabalhadores passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra
metade continua cortando grama na gleba maior. No final deste dia, os
trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da gleba maior, mas
um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a
cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12

Solução
 Conhecimentos necessários
para entender o problema,
(geometria elementar
combinada com proporções).
 Determinação da variável
principal.
 Determinação de relações
entre a variável principal e
outras variáveis do problema
e os dados.
 Variável principal
quantidade de trabalhadores-x
Tomaremos como unidade de
tempo o dia.
p- área cortada/unidade de
tempo de cada trabalhador
 Para obter uma equação para
calcular x, podemos apoiar
nos na quantidade de
trabalhadores utilizados em
cada área alem de conhecer
que uma gleba tem o duplo da
área da outra.

 Para cortar a cana da gleba A
Utilizarão todos os trabalhadores médio dia + a metade
deles na outra metade do dia e dizer. Obtemos a
expressão da área da gleba A em função de x e p.
)
42
(
2
1
**
22
1
**
xx
p
p
x
px



 Para cortar a cana da gleba B utilizarão a metade dos
trabalhadores médio dia, mais um trabalhador um dia
a mais completo e dizer.
 Obtemos a expressão da área da gleba B em função de
x e p.
)1
4
(
1**1
2
1
**
2


x
p
pp
x

 Igualando as áreas cortadas proporcionalmente
 área(A)/2= área(B) obtemos a igualdade:
81
8
1
484
)1
4
(
2
42




x
x
xxx
x
p
xx
p

Solução
 Combinar relações para
obter o valor de x pode ser
uma alternativa.
 Vamos construir as
relações
 x*z*y=108y=72x=6s*y=x*w
*s=54*w.
 Obtemos rapidamente
72x=108y
 y=2/3x, s=72x/6y=18
 54w=108*2/3x, w=4/3x
 x*4/3x*18=72x
 x=3
 x+y=3+2=5

Exemplo 53
Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: “Dividam
igual-mente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do
dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro,
pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5
reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe deixou?
a) 25 reais
b) 35 reais
c)45 reais
d)48 reais
e)55 reais

Solução
 Interpretar o problema e
identificar a variável
incógnita .
 Procurar relações dela
com os dados
 Equacionar
 Variável principal
quantidade de dinheiro
que deixo a mãe deles-x
 Encontremos relações
com x
 O primeiro filho pego
x/3
 O segundo pego um
terço do que fico (2x/3)/3
 O ultimo pego o que fico
5*4=20 reais

Então a soma deles = x(total)
454/180
20*94,20
9
59
20
9
23
20
9
2
3
20
3
1
3
2
3








x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
Resposta alternativa c

Solução
 Formar a equação passo
a passo.
 N- quantidade de
figurinhas
 6/7*4/5*2*3*N=96
 Equação linear respeito a
N
 N=210.

 Exemplo 55
A figura ao lado é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se
um número inteiro.
O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão
escondidos nos quadrados pintados.
Modelagem com sistema de equações lineares
O número do quadrinho central é:
a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 13

Solução
 Necessitamos entender
bem a problema.
 Introduzir variáveis em
cada quadrinho.
 Formar o sistema de
equações lineares
 Resolve-lo

A variável principal e c
 Formemos a sistema de equações
)(24
)(23
)(22
)(29
)(26
Vedba
IVedca
IIIedcb
IIecba
Idcba






Subtraendo da equação (V) outras obtemos expressões
para substituir em (I). Resposta alternativa c
7284,2624
26512
5,5)()(
2,2)()(
1,1)()(





ccc
cccc
cdcdIIV
cacaIIIV
cbcbIVV

Exemplo 56
Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1 . Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e
sua média caiu 0,2. Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?
a) 10
b)5
c) 6
d) 8
e) 9

Solução
 Conhecimentos de media
aritmética.
 Determinar a variável
principal.
 Relações da variável
principal as secundarias e
os dados.
 Formar sistema de
equações.
 Variável principal quantidade
de notas –n.
 Variáveis secundarias
mediafinal-m
 Somafinal-s
 Temos as seguinte variações
da nota media.
 m=s/n
 m+0.2=(s-7)/(n-1),
 (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)
 Temos um sistema com três
incógnitas m,s e n.

 m=s/n(I)
 m+0.2=(s-7)/(n-1)(II)
 (m+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)(III)
Resolvendo o sistema
 Substituindo(I) em (II) e (III)obtemos
 s/n+0.2 =(s-7)/(n-1)
 (s/n+0.2)-0.1 =(s-9.8-7)/ (n-2)
 Isolando s em ambas e igualando obtemos uma equação
com relação a n.

 s=7n+0.2n(n-1) e s=0.1n(n-2)/2+16.8n/2
 7n+0.2n(n-1)=0.1n(n-2)/2+16.8n/2
 Simplificando obtemos uma equação com relação a n.
 15n^2-150n=0, onde n=10, n=0
 Resposta alternativa a

Exemplo 57(resolvendo a prova de erro)
Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um
deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum
deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana foi
a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos
peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Solução
 Precisamos interpretar
corretamente o
problema.
principal.
 Obter as relações
importantes a partir dos
dados.
 A variável a determinar
quantidade de peixes
pescados por os meninos
Chamaremos de x.
Ana a que mais pesco
chamamos de A
Beatriz a que menos pesco
chamamos de B
x1, x2- o que pescarão os
meninos x1+x2=x

 A>x2>x1>B>=1
 soma=A+B+x1+x2=11
 Provando combinações
 B=1, x1=2,x2=3,A=4, soma=1+2+3+4=10 diferente
de 11
 Observe que só podemos incrementar uma delas o
lógico seria a ultima e satisfizemos todas as
condições por tanto x1+x2=x=5

Modelagem com inequações
 Difere das equações só que obtemos uma desigualdade
no lugar de uma igualdade.

Exemplo 58
Na loja , um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de manutenção mensal
de 20 reais. Na loja, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de
manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a
compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B?
a) 30
b) 72
c) 39
d) 63
e ) 44

Solução
 Necessitamos conhecimentos
elementares de economia(
juros mensais).
principal.
 Determinar relações dos
dados com a variável
principal.
 Variável principal depois de
quantos meses e mais
rentável a compra na loja A -
x .
 O custo de A
 3800 +20x
 C ucto de B
 2500+50x
 O inequação
 3800+20x<2500+50x
 De onde isolando x obtemos
 1300/30<x x>43.3
 Resposta alternativa e

Exemplo 59.Resolvendo equações não
lineares
A soma das raízes da equação é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
223  xx

Solução
 Identificar o tipo de
equação não linear.
 Aplicando operações
validas isolar a variável e
determinar o conjunto
solução da equação.
 Elevando ao quadrado e
transformando
convenientemente:
   
 
1,9
0)1)(9(
0910,496
43,23
4)3(2,462
4423
223
22
2
22







xx
xx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxx
xx

 Verifiquemos qual das soluções da ultima equação é
solução da original
 Observe que x=1 não é solução
 Mais x=9 é solução
 Resposta alternativa d
211 
55
2925



Modelagem com contagem
 Necessitamos conhecer as diferentes situações de
contagem.
 Contagem aritmética com soma gaussiana
 Contagem com repetição de m em n é nm
 Contagem sem repetição de m em n é
.
2
)1(
1




mm
i
mi
i
)!(
!
mn
n


 Contagem sem repetição e sem ordem de m em n
 Lei do produto é a combinação de contagem anteriores em
produto deles
 Podem existir contagem que combinem vários dos anteriores
 Outras situações de contagem resultam quando temos que
contar caminhos para ir de um ponto a outro em uma matriz.
 Contagem pode ser combinado com resolução de equações .
!
( )! !
m
n
n
C
n m m



Exemplo
 Contagem com repetição e com ordem
Quantos números de dois algarismos podemos formar com os
dígitos 1,2,3?
Veja m=2,n=3 debe ser 32
{11,12,13,21,22,23,31,32,33} observe são 9 pares é dizer 3^2=9.
 Agora sem repetir dígitos( excluímos 11,22,e 33)
{12,13,21,23,31,32} só 6 é dizer 3!/(3-2)!=6
 Agora sem repetir dígitos e sem ordem( significa que é o
mesmo 23 que 32 ,12 e 21 e 13 e 31) excluímos 3 mais fica
então.
 {12,13,23} só 3 é dizer 3!/((3-2)!2!)=3

Exemplo 60
Um campeonato com 25 clubes é disputado num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos (cada
clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana há sempre o mesmo número de jogos e não há
jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que devem ser disputados em cada semana é:
a) 5
b) 4
c) 8
d) 6
e) 10

Resolução
 Identificar o problema
como de contagem
 Tipo de contagem.Como
identificá-lo.
 Analisemos os equipes não
joga com sigo mesmo,
então sem repetição, alem
de isso, a ordem também
não importa é o mesmo a
com b que b com a. Então a
contagem é combinatória
de m em n.
 Quantidade de jogos entre
25 equipes, cada um jogo
com os outros uma vez.
 300 jogos
 Queremos saber quantos
jogos semanais ,
eliminando duas
semanas,calculemos
quantidade de semanas
num ano.
300
2
24*25
!2)!225(
!2525
2 

C

 365/7=52
 52-2=50
 Por tanto a quantidade de jogos por semana 300/50=6
 Resposta alternativa 6

Exemplo 61
Um número natural é chamado de estranho se seus
algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 e é
chamado de belo se todos os seus algarismos são pares.
Quantos são os números de quatro algarismos que são
estranhos ou belos?
A) 24
B) 500
C) 3024
D) 3500
E) 3548

Resolução
 Identificar como problema
de contagem
 Tipo de contagem
É combinado pelas
definições de números
estranhos que são sim
repetição e os números
belos tem repetição, alem
tem que tirar os números
que são as duas cosas, uma
vez.
 Combinando os dígitos de 1
…9 sem repetição de 4
teríamos todos os
estranhos
9!/(9-4)!=6*7*8*9=3024
Agora vamos tirar os que são
também belos,temos os
estranhos com pares
distintos.
4 pares 2,4,6,8
4!=24
Então teremos 3024-24=3000
Estranhos só.

Números belos
 Todos seus algarismos são pares podem repetir se
 {0,2,4,6,8} o zero entra qualquer posição exceto inicio ,
mais pode ter repetição.
4*5*5*5=500
Então teremos 3000+500=3500
Resposta alternativa D

Solução
 Contagem sem repetição
e com ordem
 Só três dígitos
interessam
 Podemos utilizar para o
primer número todos
menos o zero. Temos 9
para o segundo temos 9
também pois entra o
zero e ficam só 8 para o
ultimo.
 9*9*8=648

Exemplo 63
O número2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e
3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números
naturais entre1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem
crescente?
a) 126
b) 144
c) 186
d) 210
e) 252

Solução
 Identificar um problema
de contagem.
 Tipo de contagem (
contar os números que
seus dígitos estão
estritamente em ordem
crescente de 4dígitos
 Por exemplo fixando o
número como primeiro
1_ _ _ quantos podemos
formar
 Utilizando 2…9 é dizer 8
sem repetição de
números e em ordem
crescente ( ordem
unidirecional)
 Teremos 8!/((8-3)!3!)=56
possibilidades

 Fixando o número 2 como primeiro dígito temos 7 possibilidades para escolhermos os
outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos números
que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999
 Fixando o número 3 como primeiro dígito temos 6 possibilidades para escolhermos os
outros 3 dígitos que irão compor nosso número , ou seja, temos
números que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 .
 Fixando o número4 como primeiro dígito temos 5 possibilidades para escolhermos os
outros3 dígitos que irão compor nosso número, ou seja, temos números
que possuem dígitos em ordem crescente entre 1000 e 9999 .
7!
35
(7 3)!3!


6!
20
(6 3)!3!


5!
10
(5 3)!3!



 Fixando o 6 número como primeiro dígito temos
possibilidades para escolhermos os outros 3 dígitos
que irão compor nosso número, ou seja, temos
números que possuem dígitos em ordem crescente
entre 1000 e 9999.
 Logo, somando todas as possibilidades, o número n de
números naturais entre e que possuem seus dígitos em
ordem crescente é:
 56+35+20+10+4+1=126
 Resposta alternativa a
3!
1
0!3!


Exemplo 64
Em uma festa há 13 casais. Cada homem cumprimenta com um aperto de mão os
outros convidados, exceto sua própria esposa. As mulheres recebem apertos de
mão, mas não procuram ninguém para cumprimentar. Quantos apertos de mão
são dados pelos 26 participantes?
a) 234
b) 235
c)236
d) 237
e)238

Solução
 Identificar o problema de
contagem
 Tipos de contagem (
aperto de mãos entre
homens e de homens
com as mulheres
excetuando a dele)
 Que diferença tem entre
ambos contagens?
 O aperto de mão entre
homens é sem repetição
sem ordem.
 Então temos
 Entre homens e
mulheres temos
 Cada homem a cada
mulher 13*12=156
13!
78
(13 2)!2!



Resposta 78+156=234
 Alternativa a

Caminhos
 AOB
 ACOB
 ACEB
 ADFB
 ADOB
 AOEB
 AOFB
 ACOEB
 ADOFB
 ADOEB
 ACOFB

Exemplo 66
 De quantas maneiras é possível escolher três números
inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja
par?
 A) 1620
 B) 810
 C) 570
 D) 720
 E)120

Solução
 Identificar como
contagem
 Tipo soma de numero
temos que conhecer que
a operação é comutativa
e associativa , que é com
números distintos sem
repetição, também deve
ser par, devemos saber
sobre o resultados pares.
 Temos que escolher 3
entre 20 ,mais para ter
soma par, temos os
casos:
 Os 3 números são pares
 2 impar e 1 par.
A soma dos casos será a
resposta.
Temos 10 números pares
entre 1 e 20.

 Por tanto as combinações são 3 entre 10.
 10!/(10-3)!/3!=120
 Para o segundo caso teremos que aplicar a regra do
produto de combinações, de dois impar e 1 par.
 A soma é 120+450=570
10 10
1 2
10! 10!
. . 10.45 450
9! 8!.2!
C C   

Exemplo 67
Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos
diferentes?
A) 448
B) 504
C) 546
D) 952
E) 1008

Solução
 Identificar como problema de
contagem
 Tipo de
problema(conhecimento de
múltiplo de um número
inteiro , características de os
números múltiplos de 5)
 Tipo de contagem no caso
sem repetição e ordem.
 Isolar casos e somar todos.
 Os múltiplos de 5 são
números terminados em 5 ou
0.
 Por tanto teremos dois casos
 _ _ _5
 _ _ _0
 Os outros 3 números o
primeiro não pode ser 0 nem
5 só números entre
{1,2,3,4,6,7,8,9}, os outros dois
podem ser sem repetição os
que ficam excluindo o 0u 5
em dependência do caso mais
outro.

Calculemos
 O caso terminam em 5 teremos para o primeiro
elemento 8 possibilidades {1,2,3,4,6,7,8,9}, para os dois
seguintes ficariam 7 e o 0.entao
 8.8!/6!=448
 O caso terminam em 0 teremos então para o primeiro
elemento 9 possibilidades {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e ficariam
para os dois seguintes 8 possibilidades dois 9
anteriores, então.
 9.8!/6!=504
 Total =504+448=952

Exemplo 68
Considere todos os números inteiros positivos escritos
com exatamente cinco algarismos ímpares distintos.
Qual é o valor da soma desses números?
A) 6666600
B) 6666000
C) 6660000
D) 6600000
E) 6000000

Solução
 Identificar a
necessidade da
contagem para resolver
o problema.
 Tipo de contagem
 Sem repetição com
ordem.
 Conhecimento de
números impares.
 Quantidade de impares
 5{1,3,5,7,9}
 Contagem são as
permutações deles
 5!=120
 Observemos que
teremos a soma de 120
números de 5 dígitos,
onde teremos 24
terminados em cada um
deles.

Calculemos a soma deles cada coluna é
igual a seu valor, por tanto.
 24*5+24*3+24*7+24*9+24=24(1+3+5+7+9)=600
 Teríamos
 Dois zeros 00 e na terceira coluna empezaria o primer
6

Solução
 O problema pode olear-se
como contagem.
 Contagem de rodadas de
distribuição de balas.
 Contagem
 Soma Gaussiana
 1+2+3…+n=n(n+1)/2=300
 Obtemos a equação de 2do
grau para contar as rodadas
 n2+n-600=0
 (n+25)(n-24)=0
 Então da para 24 vezes
entre 4 são 6 rodadas de
repartição cada um.

 Daniela é a terceira na distribuição por tanto começo
com 3 balas e 4 a mais cada vez em 6 rodadas.
 x-balas recebidas por Daniela
 x=(3+7+11+15+19+23)=78

Contagem de divisores de um número
 Expressando o número pelo o teorema fundamental
da aritmética é dizer:
 Dado n
 Onde pi são os primos divisores de n.
 Então a quantidade de divisores q é igual
 q=(a1+1)(a2+1)...(am+1)
1 2
1 . 2 ...a a am
n p p pm

Exemplo 70
O número total de divisores positivos de 10!=10987654321
é igual a:
A) 15
B) 270
C) 320
D) 1024
E) 10!

Solução
 Contagem de divisores
 Descompor por teorema
fundamental da
aritmética.
 10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
 Os primos ficam os
outros descompomos em
primos
 (2.5)(3.3)(2..2.2)7(2.3)5(2.
2)3.2.1=
 Agrupando por primos
 Aplicando a formula
2 4 8
7.5 .3 .2

 q=(1+1)(2+1)(4+1)(8+1)=2.3.5.9=270

Solução
 Podemos movermos só
de três formas, isto
implica que a cada
quadricula podemos
chegar só de 3
quadriculas vizinhas.
 A quantidade de formas
para chegar a D será a
soma das que utilize para
chegar a seus vizinhas.
 Quando a quadricula é
na coluna o linha
fronteira só teremos
uma forma de chegar.

Veja nas fronteiras da matriz.

Solução
 Lançamento de dados.
 Chamemos aos pares de
números opostos
respetivamente (a,b),(c,d),(e,f).
 Nos mostram 2 lançamentos e
podemos equacionar pra
determinar número oposto ao 6.
 Supondo a+b+c+d=15(I)
 Sabemos que a soma de todos é
21
 a+b+c+d+e+f=21(II)
 No segundo lançamento como o
resultado é diferente mudo um
par então supondo que seja a,b
 c+d+e+f=12(III)
 Razoemos a+b=9
 e+f=6, e,f não será o par que
contem ao 6,pois o zero não
entra .
 Então c c+d=6 também
e,f e c,d podem ser só 4,2 e 5,1

 6 esta no par a,b como a soma é 9 seu oposto só pode
ser 3

Solução
 Entender bem como ocorre
a mudança das placas.
 Primero os números desde
o 0000-9999 tem 10000
números no sistema
decimal.
 As letras mudam desde
AAA-ZZZ no sistema de 26
letras do alfabeto e 10000
tem as mesmas letras , por
tanto as letras estão numa
dupla sistema decimal e
base 26 das letras.
 20290754=a+b*10+c+102+d*
103+
e*104+f*10426+g*104262.
Então a chapa será tomando
em conta que adiantamos
uma unidade que devemos
tirar do premier resíduo.
gfedcb(a-1)
20290754/10=2029075+4/10
a=4
2029075/10=202907+5/10
b=5

 Temos vias de solução básicas
solução exaustiva contagem
recorrendo os casos todos.
 O expressando o número da
chapa que nos pedem no
dupla sistema decimal e 26
letras e com os resíduos da
divisão formar a chapa.
 Utilizaremos a segunda via.
 202907/10=20290+7/10
 c=7
 20290/10=2029
 d=0
 Agora dividimos entre 26 e o
resultado numérico é em
letras 0->A, 1->B, 2->C,3-
>D,...
 25->Z
 2029/26=78+1/26
 e=B
 78/26=3
 f=A,g=D

 A chapa será então DAB0753

Solução
 Combinar dois
algarismos sim
repetição pero com
ordem entre 8 pois o 3 e
o 5 já não contam.
 Temos combinações de
m em n
 n!/(n-m)!
 8!/(8-2)!=7*8=56
 Como é cada dois
minutos e considerando
que o primeiro intento
no espera teríamos
55*2=110 minutos
máximo.
 1h e 50 minutos

Solução
 mmc estamos falhando
de divisão . O maior
múltiplo de 42 menor
que 10000, podemos
dividir 10000 entre 42 e
tirando o resíduo de 1000
teríamos o maior
número menor que
10000 divisível por 42.
 10000/42=238+4/42
 Resíduo 4 então o maior
múltiplo e 10000-4=9996

Solução
 Visitar 5 lugares mais
não pode começar nem
terminar por um deles
ficaria no meio sempre.
 Um forma de olear a
solução é somando
todas as permutações
dos 4 assumindo outro
fixo em 3 posições
interiores.
 3*4!=72

Solução
 6 letras se podem
escrever com
permutações de 6.
 Mais as letras a,b e c
devem estar sempre
nesse ordem. Então elas
3 teriam permutações de
3, no conjunto anterior
de 6. e so uma
permutação seria valida .
 6!/6=5!=120 formas

Solução
 Temos que resolver
exaustivo
 No centro A um cor, B e C
de cores diferentes, D e E
da mesma cor, mostramos
uma combinação, como
temos 4 cores diferentes
para A , ficariam 3 para B. 2
para C e uma para D e E
teríamos 4 combinações.


2 para cada C com B e A fixo veja

número de combinações neste
caso 4*3*2*1=24
 Segundo caso B e C serão coloridos da mesma cor.
Neste caso A terá 4 cores diferentes como no caso
anterior. B e C terão 3 diferentes cores, 2 ficarão para
D e E também terá 2 cores. Veja

D com duas cores com A,B e C com cor fixo

E com duas cores com A,B, C e D
fixo.

 Teríamos 4*3*2*2=48
 Então o total 24+48=72 formas
 Resposta alternativa D.

Solução
 Exemplo gráfico  Contagem exaustivo casos
 Todos os vértices com 1
então todas as faces
somam 2 teríamos
 Soma =9*2=18
 Caso todos cero todos as
faces com zero.
 Soma =0
 Quando um 1 e o resto 0,
independentemente onde
fique o resultado é o
mesmo

Os três faces ligadas ao vértice tomariam valor 1 o resto 0
então soma =3

Quando temos dois vértices com valor 1,
independentemente onde estejam a soma será igual
,veja dois exemplos

A soma =6
 Quando temos 3 vértices com 1, teremos soma=9
 Por tanto teremos 7 .

Modelagem com funções
 Traçado de gráficas funções no plano cartesiano.
 Domínio e imagem de funções elementares.
 Conhecimento da função linear, suas equações.
 Conhecimento da função quadrática, suas equações.
 Conhecimento da funções polinomiais.
 Conhecimento das funções exponencial e logarítmica.
 Variação de funções.
 Extremos de funções.

Exemplo 80
No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos
A=(4,3) e B=(6,4) corta os eixos nos pontos P e Q. O
comprimento do segmento PQ é:
A)1
B)
C)
D)
E) 2
2
3
5

Solução
 Devemos traçar a
gráfica da função linear
pelos pontos dados.
 Necessitamos a
equação da reta que
passa por dois pontos.
 Traçado da gráfica
6 4
4 ( 3)
4 3
2 2
y x
y x

  

 

Grafica

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
4
3
2
1
1
2

 Calculemos as coordenadas dos interceptos com os
eixos.
 x=0,y=-2 ponto P(0,-2)
 y=0,x=1 ponto Q(1,0)
 Distancia
2
2 1 5PQ   

Exemplo 81
 A figura abaixo apresenta o gráfico da função no
intervalo [1, 4]. 23418163)(xxxxf
 Quantas soluções reais distintas possui a equação no
intervalo [1, 4]? 1018163234xxx

Solução
Resolver equações como
pontos de intercepção de
duas funções.
 Podemos ver como
encontrar os interceptos
da função cuja gráfica
conhecemos com a reta
y=-10
 Temos então 2 soluções

Solução
 Trabalho com a transformação de expressões
algébricas, solução de inequações. Completamento de
trinômio quadrado perfeito.

2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 (2 )( )
1, 2 ( ) 0, 5, 2 ( ) 0
5 ( 5)( )
1( ) 0, 6( ) 0
0, 1, 0,0 1
2 ( ) 0, 0, 0.
A
x y y x y y I
para x y I x y I
B
x x x x II
para x II x II
C
x x x x x x
D
x xy y x xy y x y x y
    
     
  
   
      
         

Solução
 Equações de 2do grau ,
encontrar seus zeros.
 Graficar as parábolas.
 Os sinais do termo
quadrático indicam
côncava o convexa
2
2
2
2 3 0
( 3)( 1) 0
3, 1
3 4 0
( 3 4) 0
( 4)( 1) 0
4, 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
  
  
  
   
   
  
  

2 1 1 2 3 4
6
4
2
2
4
6
g x
f x

 A verdadeira
 B verdadeira
 C Falsa Resposta correta

Progressões
 Progressões aritmética geométrica , indução
matemática.

Solução
 Temos uma sequencia de
números naturais, a lei de
formação do seguinte
elemento ,pelo anterior e
conhecemos o primeiro
elemento.
 Devemos encontrar o
termo para n=9.
 Intentemos obter dois ao
frente substituindo
recursivamente.
 a1=2ao-3=2.5-3=7
 a2=2a1-3=14-3=11
 a3=2a2-3=22-3=19
 a4=2a3-3=38-3=35
 Observe que
 a1=5+2,a2=a1+22,a3=a2+23
 a4=a3+24,ak=5+2+22+…+2k.

 a9=5+2+…+29=1027

Solução
 Progressão aritmética
 an=ao+n.p
 Não conhecemos p
 Temos 3 termos
determinar o seguinte
 Determinemos p
 an-an-1=p
 ao=5,a1=356?
 a1-a0=351
 Mais 356+351 590
 Vamos supor que entre
5e 356 existe um
 X-5=356-X
 X=(356+5)/2 não inteiro
nao serve

 Experimentemos do outro lado
 X-356=590-X
 X=(590+356)/2=473
 Então p=473-356=117,
 Verifiquemos
 5+117=122
 122+117=239
 239+117=356 tudo bem
 Por tanto o seguinte elemento é 590+117=707

Modelagem com equações modulares
 Divisão euclidiana a/b é a=n*b+r
 r- resíduo da divisão inteira

Resolução
 Identificar como problema
de resíduos.
 Determinar as variáveis do
problema
 Formular as equações.
 Resolver o sistema de
equações.
 c- cadeiras
 k- crianças
 Colocando duas crianças
por cadeira sobra 1, então
 k=2c+1(I)
 Agora se cada cadeira tem 3
crianças sobra uma cadeira
 c=k/3+1(II)
 Obtivemos um sistema de
duas equações residuais.

 Substituindo (I) em (II) obtemos:
 c=(2c+1)/3+1,3c=2c+1+3,c=4 , então temos 9criancas.

Solução
 Evidentemente é um exemplo de
equações residuais
 No caso divisão por 7.
 O resíduo de divisão por 7 é
 {0,1,2,3,4,5,6}
 Uma solução é construir a tabela
de resíduos para cada expressão
tomando como base os dados da
equação dada.
 Mais podemos transformar
aplicando propriedades dos
resíduos.
 10x+y=n.7
 (10x+y)/7=n inteiro. Implica o
resíduo da divisão por 7 é 0
 7x+7y é divisível por 7.
 A diferença o soma de dois
múltiplos de 7 da outro múltiplo
de 7
 Por tanto 10x+y-(7x+7y)=3x-6y
que será também múltiplo de 7,
al dividi-lo por um número
(3)continua sendo múltiplo de 7
 (3x-6y)/3=x-2y e teremos que x-
2y é divisível por 7

Conhecimentos necessários
 Media aritmética de o conjunto (x1,x2,...xn)
 Desvio padrão de o conjunto (x1,x2,...xn)
 Probabilidade clássica.
 P(A)= nA/n a probabilidade do evento aleatório A
 nA - número de acertos do evento A, n número total
de possibilidades.
_
1
n
i
i
x
x
n



_
2
1
( )
n
i
i
x x
n
 




Valor esperado de uma variável
aleatória
 Suponhamos que a variável aleatória toma um
conjunto discreto finito e a cada valor da variável x
corresponde uma probabilidade p(x), então o valor
esperado da variável x é
 E(x)=Σx*p(x)

Solução
 Necessitamos a media
aritmética e desvio
padrão.
 Devemos calcula-lo em
dois momentos antes e
depois da entrada do
novo funcionário e
compara-los.
1
n
i
i
x
m
n



2
1
( )
n
i
i
x m
d
n





m e d media e desvio padrão antes da entrada do
novo funcionário.
 Veja como ficaria depois da entrada a nova media
aritmética
 Veja como ficaria o novo desvio padrão
1 * ( 1)
1
1 1 1
n
i
i
x m
n m m n m
m m
n n n


 
   
  

2
2 2 1
1
( )
( ) ( )
1
1 1 1
n
n i
i
i
i
x m
x m m m n
nnd d
n n n



  
  
  



Conclusão a media é igual e o desvio
padrão diminui.

Solução
 Podemos olear o problema
como um evento A
Lançamento de uma bola e
um dado simultaneamente
que saia o mesmo número
nos dois.
 Temos que encontrar o
espaço de todas as
possibilidades, calculando
a número de elementos
 Dentro do espaço
determinar o número de
elementos do evento A.
dado
bola
1 2 3 4 5 6
1 x
2 x
3 x

 Temos 18 resultados possíveis dos quais só 3 são o
evento A.
Por tanto P(A)=3/18=1/6
Resposta alternativa C

Solução
 Precisamos do valor esperado
E(x)=Σx.p(x).
 Valor esperado da media aritmética ao
retirar simultaneamente duas moedas.
 Aqui necessitamos determinar a media
aritmética de todos os possíveis
resultados ao retirar duas moedas , como
temos mais moedas de 50 centavos que
de 1 real, a intuição nos leva a pensar que
estará mais perto de 50 é dizer entre
0.50 e 0.75.
 x-media aritmética de duas moedas
retiradas do cofre.
 Por tanto x= 0.50,0.75,1
 A intuição nos leva a pensar que o valor
esperado deve estar mais perto de 0.50
que de um por ter mais moedas de este
valor, por tanto estará entre 0.67 e 0.75.
 Temos que a tirar duas onde temos 2 de 1
real e 4 de 0.50 e dizer 6 moedas todos
os casos possíveis são
 n=6!/(6-2)! =30 combinação sem
repetição e com ordem.
 A variável aleatória toma três valores
possíveis 0.50 sim retiramos duas de
0.50 , 0.75 sem retiramos uma de cada
tipo, e 1 sim retiramos as duas de 1 real.
 x=0.50,0.75,1
 Para cada valor da variável x temos que
determinar sua probabilidade que será
 P(x)=nx/n
 Temos que determinar das 30
combinações ao retirar duas quantas
ocorre x.

 Para x=0.50 temos um produto de combinações
 Tirar 1 de 4 com a primeira moeda ficam então 3 para a
segunda tirada.
 4*3=12
 p(0.50)=12/30
 Tirar uma de cada tipo temos duas fontes
 A primeira de 1 de 2 a segunda de 0.50 de 4 possíveis.
 2*4=8
 A segunda ao contrario primeiro a de 0.50 temos 1 de 4 e a
segunda de 1 tiramos 1 de 2
 4*2=8

 Total de possibilidades 8+8=16
 p(0.75)=16/30
 Finalmente os casos de tirar as duas de 1 real
 A primeira 1de2 a segunda é a única 1 de 1
 2*1=2
 p(1)=2/30
 Por tanto a media esperada
E(x)=0.50*p(0.50)+0.75*p(0.75)+1*p(1)=0.50*12/30+0.75*16/
30+1*2/30=20/30 esta mais próximo de 0.67 por tanto

Solução
 Exemplo típico da
probabilidade clássica
 O espaço de sortear 3
dentro de 10 é o total n,
mais em quantos
elementos do espaço estará
Joao um deles é sua
frequência nj, a
probabilidade será p=nj/n
 Temos n é a combinação
sim repetição e sem ordem
de 3 em 10
 n=10!/(10-
3)!/3!=8*9*10/6=120
 Agora em quantas estará
um deles fixo. Sim um esta
fixo, para os outros temos a
combinação de 2 entre 9
 9!/(9-2)!/2!=8*9/2=36
 p=36/120=6/20=3/10

Solução
 Um exemplo de
probabilidade combinado
com divisibilidade por 4
 O espaço é todos as
permutações de 5
algoritmos.
 Quantos deles serão
divisíveis por 4,será a
frequência e por tanto a
probabilidade
 p=n4/n
 n=5!=120

 Precisamos saber
quando um número é
divisível por 4.
 Quando seus dois
últimos algarismos
formão um número
divisíveis por 4.
 Então entre 1-5
 Teremos os casos 12,24,32
e52 divisíveis por 4.
 Sim fixamos 12 ao final
 xxx12
 n12=3! O mesmo ocorre
para os outros 3 casos
 n4=4*3!=4!
 n4=24
 p=24/120=4/20

Solução
 Conhecer o conceito de
media aritmética
necessitamos para
resolver o problema,
 Combinar com a lei de
formação da sequencia .
 (a1+a2+...a9)+a10=10(110)
 Transformando a
expressão entre
parêntesis obtemos
 9(109)+a10=10(110)
 De onde obtemos
 a10=1100-981=119

Solução
 Temos que 100000 de jovens
de 21 anos, segundo as
estatísticas quantos tem
probabilidades de chegar a 23.
Temos que calcular dois
probabilidades consecutivas,
primeiro quantos chegarão a
22, e de aqui quantos
chegarão a 23.
A- de 21 chegam a 22
P(A)=1-.001=0.999
Então multiplicando a
probabilidade por a quantidade
obtemos
1000000*0.999=999000 a 22
anos
Agora a estes aplicamos a
segunda probabilidade
B-de 22 chegam a 23
P(B)=1-.001=0.999
999000*0.999=998001

Solução
 Temos um exemplo
clássico de probabilidade,
determinar o espaço n e
as ocorrências do nosso
caso( quantos elementos a
soma de seus valores e
igual a 5)nx
 P(x)=nx/n
 Temos 12 bolas retiramos 3
 Então o total de elementos
do espaço é a combinação
sem repetição e com
ordem 3 em 12.
 n=12!/(12-3)!=10*11*12=1320
 Quantos casos somam os
três números 5.
 Temos 3 com número 1

 5 com 2 e 4com o número 3.
 Somam 5
 1+2+2=5
 1+1+3=5
 Cada caso tem uma quantidade de vezes calculemo-las
 Temos 1 de 3 para tirar um 1, 1 de 5 para na segunda a tirar um 2 e 1 de 4
para tirar um 2 na terceira
 Então teremos 3*5*4=60 ,mais pode ocorrer de 3
formas{(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)} total deste casso=3*60=180
 No outro caso temo
 3*2*4=24, mais pode ocorrer de 3 formas{(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)} então
teríamos
 total deste caso =3*24=72 ,casos n5=180+72=252 .Probabilidade
p(x)=252/1320=21/110

Problema 1
Qual dos números abaixo é o mais longe de 0,7?
A) 2/3
B) 4/3
C) 5/4
D) 1/5
E) 5/7

Problema 2
Sejam a=26000 ,b=34000 ,c=72000
, e . Assinale a alternativa correta:
A) c<a<b
B) c<b<a
C) a<b<c
D) b<c<a
E) a<c<b

Problema 3
 Na seguinte matriz de 4x4 de quantas formas podemos
movermos desde a esquina inferior esquerda ate a
esquina superior direitas com deslizamentos
horizontais e verticais.

Problema 4
Considere os números reais
A opção verdadeira é:
A) a e b são ambos irracionais e c é racional.
B) b é racional a e c são ambos irracionais.
C) a e c são ambos racionais e b é irracional.
D) a e b são racional e c é irracional.
E) a é racional e b e c são ambos irracionais.
2 2
3 (1 5) 6 (1 3 2)
27, ,
1 3 3 5 2
a b c
  
   


Problema 5
 O número é igual a:
A) 1/64
B) 1/16
C) ¼
D) ½
E) 1
 
3
264


Problema 6
O radio de um cilindro circular reto aumenta em um
20%,por outro lado o comprimento diminui em um
12%.Quanto varia se volume?
A)-26,72%
B)26,72%
C)-12%
D)20%
E)8%

Problema 7
 Qual é o valor de 77+ 77+ 77+ 77 +77+77+77?
 A) 497 B)749 C) 78 D)77

Exemplo 8
 Joao tem um ticket para comprar numa loja com
desconto do 20%, ele quer comprar um brinquedo
que tem um desconto de um 30%. Qual é o desconto
total que Joao receberá por a compra do brinquedo?
 A)44% B) 50% C)60% D) 66%

Exemplo 9
 Quantos seguintes 60 números são múltiplos de 60?
 84,2.84,3.84,...,58.84,59.84,60.84
 A)18 B)15 C)12 D)30

Exemplo 10
 Na figura ABCD é um quadrado , onde BF=FE=EA
 A razão área (FEDC)/área (ABCD vale:
 A)2/5 B) ½ C)2/3 D)3/4

Exemplo 11
 Tem um número que possui 2005 algarismos e segue
o padrão:
 Os últimos três algarismos são:
 A) 1,7 e 1 B)7 , 1 e 8 C)1,8 e 2 D) 2,6 e 3

Exemplo 12
 Quantas soluções inteiras tem a equação 2.
22x=4x+64?
A)0 B)1 c) 2 D)3

Exemplo 13
 Pelo o padrão das três primeiras figuras, qual será o
número de triângulos na nona figura.
 A)216 B)486 C) 540 D)600

Exemplo 32
 Qual dos seguintes números divide a raiz quadrada de
20042004?
 A)1671670 B)31003 C)22002 D)41003

Exemplo 14
 Numa caixa temos muitas bolas de 20 cores distintos.
São escolhidas ao acaso bolas. Qual é o número
mínimo de bolas a tirar para garantir 100 bolas da
mesma cor?
 A)20000 B) 100 C) 1981 D)19001

Exemplo 15
 Quantos elementos tem o conjunto formado pelos
números naturais da forma abc (a>0) tais que
a2+b2+c2 divide a 26 ?
 A)3 B) 4 C)6 D)7

Exemplo 16
 Sim a cada número 60, 100 e 150 somamos uma
constante k, formamos uma progressão geométrica. A
razão da progressão geométrica comum é:
 A)100 B) 1.25 C) 0.80 D) 160

Exemplo 17
 Uma caixa forte tem uma combinação para abri-la de 4
algarismos diferentes de números de 1 ao 9. Para abrir
a caixa necessitamos também uma chave que tem o
número 16794081 que é a soma de todas as
combinações que não abrem a caixa. A combinação
que abre a caixa é:
 A)3024 B)4239 C)1563 D)1679

Exemplo 18
Todos os alunos de uma turma alugarão um ônibus
para um passeio, o custo do ônibus é fixo independente
do número de passageiros, incialmente iam viajar só os
alunos e cada um tinha que pagar 25 reais, mais
finalmente seis alunos levarão suas enamoradas e o
custo por pessoa caio para 20.Quantos alunos tem a
turma ?
A) 24 B) 120 C) 25 D) 30

Exemplo 19
 Considere a equação (x é a incógnita e
k€R).Assinale alternativa que indica todos os valores
de k para os quais a equação tem exatamente 3
soluções em R.
 A) k€[0,1] B) k €]0,1[ C) k €[0,1[ D)k €]0,1]
2x x x k 

Exemplo20
 Quantas vezes num dia (24 horas) os ponteiros de um
relógio apontam em direções opostas?
 (A) 48
 (B) 44
 (C) 24
 (D) 22
 (E) 23

Exemplo 21
Seja f uma função definida para todo x real, que satisfaz
as condições
 f (5) =1/2 e f (x + 5) = f (x)f (5) :
 Então f ( -5) vale:
 (A) 1/2
 (B) 0
 (C)- ½
 (D) 2
 (E) 1

Exemplo 22
 Dada a função f : Z -> Z definida por
 onde Z é o conjunto dos números inteiros, o número
de soluções da equação f (𝑥2
) = f (x) e:
 (A) 0
 (B) 1
 (C) 2
 (D) 3
 (E) 4






paréxsex
imparéxsex
xf
,3
,2
)(

Exemplo 23
 Uma urna fechada contem bolas pretas e vermelhas. Uma
certa pontuação é dada para cada bola preta retirada e outra
para cada bola vermelha retirada. Ana retirou 3 bolas; duas
pretas e uma vermelha, e obteve 13 pontos. Luíza retirou
também 3 bolas e obteve 14 pontos. Se a pontuação dada a
cada bola retirada é um número inteiro, quantos pontos são
atribuídos para cada bola preta retirada?
 (A) 2
 (B) 3
 (C) 4
 (D) 5
 (E) 6

Exemplo 24
 Qual dos números a seguir é o maior?
 (A) 245
 (B) 420
 (C) 814
 (D) 32 9
 (E) 16 12

Exemplo 25
 Na sequência de inteiros positivos
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 16 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑖 é o i-esimo
ímpar positivo e para i > 16, o termo 𝑎𝑖 é a média
aritmética dos termos anteriores. O termo a100
 É igual a:
 (A) 256
 (B) 16
 (C) 32
 (D) 0
 (E) 4

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