1. Universidade da Beira Interior
Departamento de Matem´tica
a
C´lculo I
a
Folhas de Apoio e Exerc´
ıcios
2007/2008

2. ii

3. ´
Indice
1 Sucess˜es de N´ meros Reais
o u 1
1.0.1 Sucess˜es Limitadas. Sucess˜es Mon´tonas. Subsucess˜es. . .
o o o o 2
1.0.2 Sucess˜es Convergentes. Limites de Sucess˜es. Propriedades
o o
dos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 S´ries
e 15
2.1 S´ries Num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e e
2.1.1 Algumas S´ries Not´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
e a
2.1.2 Propriedades das S´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e
2.1.3 S´ries de Termos N˜o Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e a
2.1.4 S´ries Alternadas. Convergˆncia Absoluta. . . . . . . . . . . . 24
e e
2.1.5 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Preliminares 35
3.1 ınimo, Supremo e ´
Conjuntos Limitados. M´ximo, M´
a Infimo. . . . . . . 35
3.2 No¸oes Topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
c˜ o
3.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Fun¸oes Reais de Vari´vel Real
c˜ a 41
4.0.1 Fun¸˜o Exponencial e Logar´
ca ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.0.2 Fun¸˜es Trigonom´tricas e Trigonom´tricas Inversas . . . . . . 46
co e e
iii

4. iv ´
INDICE
4.0.3 Fun¸˜es Hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
co o
4.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Limites Not´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
a
4.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 C´lculo Diferencial em R
a 65
5.1 Derivada de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real . . . . . . . . . . . . . . 65
co a
5.1.1 Regras de Deriva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ca
5.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . 73
a
5.3 Aplica¸oes dos Teoremas Fundamentais do C´lculo Diferencial . . . . 77
c˜ a
5.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.2 Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.4 Ass´
ımptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 C´lculo Integral em R
a 95
6.1 Primitiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
ca
6.1.1 Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.2 Primitiva¸ao de Fun¸oes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . 97
c˜ c˜
6.1.3 Primitiva¸ao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
c˜
6.1.4 Primitiva¸ao por Substitui¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
c˜ c˜
6.2 Integra¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
ca
6.2.1 Propriedades dos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Integral . . . . . . . . . . 108
a
6.2.3 Aplica¸oes Geom´tricas do C´lculo Integral . . . . . . . . . . 110
c˜ e a
6.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. ´
INDICE v
Bibliografia 126

6. Cap´
ıtulo 1
Sucess˜es de N´ meros Reais
o u
Defini¸˜o 1.1. Chama-se sucess˜o de n´meros reais a toda a aplica¸ao de N em
ca a u c˜
R, ou seja,
f :N → R
n → f (n) ≡ un
`
usualmente representada por (un )n∈N , ou simplesmente (un ). A express˜o que define
a
a sucess˜o, un , chamamos termo geral da sucess˜o e ao conjunto {un : n ∈ N} =
a a
{u1 , u2 , . . . , un , . . .} chamamos conjunto dos termos da sucess˜o.
a
Nota 1.1. Na Defini¸˜o de sucess˜o de n´meros reais consider´mos N, mas todos os
ca a u a
resultados apresentados podem ser adaptados para o caso de termos N0 , ou mesmo
um subconjunto infinito de N0 .
Exemplo 1.1. S˜o exemplo de sucess˜es de n´meros reais as sucess˜es de termo geral
a o u o
n
un = n, un = (−1)n e un = .
n+1
As sucess˜es podem ser definidas pelo seu termo geral, ou definidas por re-
o
corrˆncia. Ou seja, ´ dado a conhecer alguns dos primeiros termos da sucess˜o
e e a
1

7. 2 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
e o termo de ordem n ´ definido usando os anteriores. Por exemplo
e

  u =1
 1
 u =1 

1
un = , vn = u =5
 u  2

n+1 = 3 + 2un 
 u = 3 + 2u
n n−1 − un−2
Defini¸˜o 1.2. Dadas duas sucess˜es de n´meros reais (un ) e (vn ), definimos a soma
ca o u
de sucess˜es (u + v)n , a diferen¸a de sucess˜es (u − v)n e o produto de sucess˜es
o c o o
(u.v)n como sendo as sucess˜es cujo termo geral ´ dado por un + vn , un − vn e un vn ,
o e
respectivamente. No caso em que vn = 0 para todo o n ∈ N, podemos ainda definir
u un
o quociente de sucess˜es
o como sendo a sucess˜o cujo termo geral ´
a e .
v n vn
1.0.1 Sucess˜es Limitadas. Sucess˜es Mon´tonas. Subsu-
o o o
cess˜es.
o
Defini¸˜o 1.3. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) ´ uma
ca a u e
sucess˜o limitada inferiormente se existe a ∈ R tal que a < un , para todo o n ∈ N.
a
Dizemos que (un ) ´ uma sucess˜o limitada superiormente se existe b ∈ R tal que
e a
un < b, para todo o n ∈ N.
Dizemos que (un ) ´ uma sucess˜o limitada se o for inferiormente e superiormente;
e a
o que ´ equivalente a dizer que exite c ∈ R tal que |un | < c, para todo o n ∈ N.
e
Exemplo 1.2. A sucess˜o de termo geral un = n2 − 4n + 3 ´ limitada inferiormente,
a e
mas n˜o superiormente, pois un
a −1, para todo o n ∈ N.
A sucess˜o de termo geral un = 1 − n ´ limitada superiormente, mas n˜o inferi-
a e a
ormente, pois un 0, para todo o n ∈ N.
(−1)n 1
A sucess˜o de termo geral un =
a ´ limitada, pois −1
e un , para todo
n 2
o n ∈ N.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n n˜o ´ limitada, nem inferiormente, nem
a a e
superiormente.

8. 3
Defini¸˜o 1.4. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Quanto ` monotonia,
ca a u a
podemos dizer que (un ) ´ uma:
e
– sucess˜o crescente se un
a un+1 , para todo o n ∈ N.
– sucess˜o estritamente crescente se un < un+1 , para todo o n ∈ N.
a
– sucess˜o decrescente se un
a un+1 , para todo o n ∈ N.
– sucess˜o estritamente decrescente se un > un+1 , para todo o n ∈ N.
a
Exemplo 1.3. A sucess˜o de termo geral un = 2n ´ estritamente crescente, j´ que
a e a
un+1 − un = 2n+1 − 2n = 2n (2 − 1) = 2n > 0.
A sucess˜o de termo geral un = 3 − n ´ estritamente decrescente, j´ que un+1 −
a e a
un = 3 − (n + 1) − (3 − n) = 3 − n − 1 − 3 + n = −1 < 0.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n˜o ´ mon´tona.
a a e o
Defini¸˜o 1.5. Dadas duas sucess˜es de n´meros reais (un ) e (vn ), dizemos que
ca o u
(vn ) ´ uma subsucess˜o de (un ) se existir uma sucess˜o estritamente crescente (wn )
e a a
tal que vn = uwn , para todo o n ∈ N.
Observa¸˜o 1.1. Para que a Defini¸˜o anterior fa¸a sentido, ´ ainda necess´rio que
ca ca c e a
wn ∈ N, para todo o n ∈ N; ou seja, (wn ) tem de ser aquilo a que podemos chamar
de sucess˜o de n´meros naturais.
a u
Exemplo 1.4. Consideremos a sucess˜o de termo geral un = 2n, e temos a sucess˜o
a a
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . .
Se tomarmos a sucess˜o crescente de termo geral wn = 2n e considerarmos vn = uwn
a
obtemos a sucess˜o
a
4, 8, 12, . . . ,
e a ´
que ´ uma subsucess˜o de (un ). E de notar que a sucess˜o
a
2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, . . .

9. 4 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
e a sucess˜o
a
2, 6, 10, 8, 4, 12, . . .
n˜o s˜o subsucess˜es de (un ).
a a o
1.0.2 Sucess˜es Convergentes. Limites de Sucess˜es. Pro-
o o
priedades dos Limites.
Defini¸˜o 1.6. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) converge
ca a u
para a ∈ R, ou que (un ) tende para a ∈ R, e escrevemos lim un = a ou un → a, se
para cada δ > 0 existe uma ordem p ∈ N tal que |un − a| < δ, para todo o n > p.
Simbolicamente, pod´
ıamos escrever
∀δ>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un − a| < δ) .
(un ) ´ uma sucess˜o convergente se existe a ∈ R tal que lim un = a.
e a
Uma ideia intuitiva ´ dizer que a sucess˜o (un ) converge para a ∈ R se escolhido
e a
um n´mero real δ > 0 existe sempre uma ordem a partir da qual todos os termos
u
un s˜o valores aproximados de a.
a
Nota 1.2. Dizer que |un − a| < δ ´ equivalente a ter un ∈]a − δ, a + δ[.
e
Defini¸˜o 1.7. Uma sucess˜o n˜o convergente diz-se uma sucess˜o divergente.
ca a a a
an + 1
Exemplo 1.5. Consideremos a sucess˜o de termo geral un =
a , com a ∈ R,
n
vamos ver que un → a. Tomemos δ > 0, e temos que
an + 1 1 1 1
|un − a| = − a = a + − a = < < δ,
n n n p
1
basta para isso tomar p > . Assim a sucess˜o (un ) converge para a.
a
δ
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n ´ divergente.
a e

10. 5
Proposi¸˜o 1.8. Sejam (un ) e (vn ) duas sucess˜es de n´meros reais convergentes
ca o u
para a e b, respectivamente. Ent˜o:
a
1. a sucess˜o de termo geral un + vn converge para a + b.
a
2. a sucess˜o de termo geral un − vn converge para a − b.
a
3. a sucess˜o de termo geral Kun converge para Ka, onde K ∈ R.
a
4. a sucess˜o de termo geral un vn converge para ab.
a
un a
5. a sucess˜o de termo geral
a converge para , onde vn = 0 para todo o n ∈ N
vn b
e b = 0.
√ √
6. a sucess˜o de termo geral
a k un converge para k
a, onde k ∈ N.
7. a sucess˜o de termo geral |un | converge para |a|.
a
Prova: Vamos ver a primeira afirma¸ao, todas as outras saiem por processos an´logos.
c˜ a
Tomemos δ > 0 qualquer, fixo. Assim, existe p, q ∈ N tais que
δ
|un − a| < , para todo o n > p
2
e
δ
|vn − b| < , para todo o n > q.
2
Tomemos r = max{p, q} e temos
δ δ
|(un + vn ) − (a + b)| |un − a| + |vn − b| < + = δ, para todo o n > r.
2 2
Teorema 1.9. O limite de uma sucess˜o convergente ´ unico.
a e´
Prova: Vide [1].

11. 6 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
Teorema 1.10. O limite de uma sucess˜o constante ´ a pr´pria constante.
a e o
´
Prova: E imediato.
Teorema 1.11. Toda a sucess˜o convergente ´ limitada.
a e
Prova: Seja (un ) uma sucess˜o convergente para a ∈ R. Ent˜o, para δ = 1 existe
a a
p ∈ N tal que
|un − a| < 1, para todo o n > p.
Consideremos o conjunto finito U = {u1 , u2 , . . . , up , a − 1, a + 1} e sejam c e d o
m´
ınimo e m´ximo de U , respectivamente. Ent˜o, todos os termos de (un ) pertencem
a a
ao intervalo [c, d] e portanto, a sucess˜o ´ limitada.
a e
Nota 1.3. A rec´
ıproca do Teorema anterior n˜o ´ verdadeira, ´ exemplo disso a
a e e
sucess˜o de termo geral un = (−1)n , pois ´ limitada, mas n˜o convergente.
a e a
Teorema 1.12. Toda a sucess˜o mon´tona e limitada ´ convergente.
a o e
Prova: Consideremos que a sucess˜o (un ) ´ crescente e limitada. Seja U o conjunto
a e
dos termos da sucess˜o (un ), o qual ´ limitado, pelo que tem supremo, seja a ∈ R
a e
tal que un a.
Tomemos δ > 0, ent˜o existe p ∈ N tal que a − δ < up . Como a sucess˜o ´
a a e
crescente, para todo o n > p temos a − δ < up un .
Conclu´
ımos assim que a − δ < un < a + δ, ou seja a sucess˜o (un ) ´ convergente
a e
para a.

12. 7
Nota 1.4. A rec´ıproca do Teorema anterior n˜o ´ verdadeira, ´ exemplo disso a
a e e
1
sucess˜o de termo geral un = (−1)n , pois ´ convergente, mas n˜o mon´tona.
a e a o
n
Observa¸˜o 1.2. Na realidade, no Teorema anterior n˜o ´ preciso exigir tanto. Se
ca a e
a sucess˜o for crescente e limitada superiormente ent˜o ´ convergente. Se a sucess˜o
a a e a
for decrescente e limitada inferiormente ent˜o ´ convergente.
a e
Defini¸˜o 1.13. Dizemos que a sucess˜o de n´meros reais (un ) ´ um infinit´simo
ca a u e e
se un → 0.
Teorema 1.14. O produto de um infinit´simo por uma sucess˜o limitada ´ um
e a e
infinit´simo.
e
Prova: Consideremos que a sucess˜o (un ) ´ um infinit´simo e que a sucess˜o (vn )
a e e a
´ limitada. Assim, existe c ∈ R tal que |vn | < c, para todo o n ∈ N.
e
δ
Tomemos δ > 0 e temos que existe p ∈ N tal que |un | < . Assim,
c
δ
|un vn | = |un ||vn | < c = δ,
c
ou seja, a sucess˜o (u · v)n ´ um infinit´simo.
a e e
1
Exemplo 1.6. Consideremos as sucess˜es de termos gerais un = (−1)n e vn =
o . A
n
sucess˜o (vn ) ´ um infinit´simo, a sucess˜o (un ) n˜o ´ convergente, no entanto, ´
a e e a a e e
1
limitada. Assim, temos que a sucess˜o de termo geral un vn = (−1)n ´ convergente.
a e
n
Teorema 1.15. Qualquer subsucess˜o de uma sucess˜o convergente ´ ainda con-
a a e
vergente para o mesmo limite.
Prova: Vide [1].

13. 8 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
Exemplo 1.7. Pelo Teorema anterior ´ f´cil concluir que a sucess˜o de termo geral
e a a
un = (−1)n ´ divergente, visto que se fosse convergente todas as suas subsucess˜es
e o
teriam de ter o mesmo limite. De facto, se tomarmos a subsucess˜o dos termos pares
a
temos a subsucess˜o de termo geral vn = 1, enquanto que se tomarmos os termos
a
´
ımpares temos a subsucess˜o de termo geral wn = −1.
a
Teorema 1.16. (Crit´rio da Sucess˜o Enquadrada) Sejam (un ), (vn ) e (wn )
e a
sucess˜es de n´meros reais tais que existe uma ordem p tal que, para todo o n > p
o u
se tem un wn vn . Suponha-se ainda que (un ) e (vn ) convergem para o mesmo
a ∈ R. Ent˜o, (wn ) converge para a.
a
Prova: Tomemos δ > 0, fixo. Assim, existem p, q ∈ N tais que
|un − a| < δ, para todo o n > p
e
|vn − a| < δ, para todo o n > q.
Seja r = max{p, q}, ent˜o
a
a − δ < un wn vn < a + δ, para todo o n > r,
ou seja, a sucess˜o (wn ) ´ convergente.
a e
Exemplo 1.8. Consideremos a sucess˜o de termo geral wn = cn , com 0 < |c| < 1.
a
1
Seja d = > 1, logo d = 1 + h e temos
|c|
1 1 1
0 < |wn | = |cn | = |c|n = n
= ,
d (1 + h)n 1 + nh
onde utiliz´mos a chamadada desigualdade de Bernoulli, (1 + h)n
a 1 + nh para
1
h > 0. Assim, pelo Teorema anterior, com un = 0 e vn = , temos que un → 0
1 + nh

14. 9
e vn → 0 de onde conclu´
ımos que wn converge para 0.
Defini¸˜o 1.17. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) ´ um:
ca a u e
– infinitamente grande positivo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
que un > k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un > k) .
Neste caso escrevemos lim un = +∞ ou un → +∞.
– infinitamente grande negativo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
que un < −k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un < −k) .
Neste caso escrevemos lim un = −∞ ou un → −∞.
– infinitamente grande em m´dulo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
o
que |un | > k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un | > k) .
Neste caso escrevemos lim |un | = +∞ ou |un | → +∞.
Exemplo 1.9. A sucess˜o de termo geral un = n2 + 1 ´ um infinitamente grande
a e
positivo. De facto, dado k > 0 temos un = n2 + 1 > p2 + 1 > k, basta para isso
√
tomar p > k − 1.
A sucess˜o de termo geral un = 1 − n ´ um infinitamente grande negativo. De
a e
facto, dado k > 0 temos un = 1 − n < 1 − p < −k, basta para isso tomar p > k + 1.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n ´ um infinitamente grande em m´dulo.
a e o
De facto, dado k > 0 temos |un | = |(−1)n n| = |n| = n > p > k, basta para isso
tomar p > k.
Nota 1.5. Quando a sucess˜o de n´meros reias (un ) ´ um infinitamente grande
a u e

15. 10 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
(positivo/negativo/em m´dulo) n˜o se diz que (un ) converge para (±)∞, mas sim
o a
que (un ) tem limite (±)∞.
Proposi¸˜o 1.18. Sejam (un ) e (vn ) duas sucess˜es de n´meros reais, tais que
ca o u
lim un = +∞ e lim vn = +∞, ent˜o
a
lim(un + vn ) = lim un + lim vn = +∞.
ou seja, simbolicamente, temos (+∞) + (+∞) = +∞. Da mesma forma, quando
(wn ) ´ uma sucess˜o de n´meros reais tal que lim wn = a ∈ R, tamb´m temos os
e a u e
seguintes resultados:
(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) + a = +∞ , (−∞) + a = −∞
(+∞) × (+∞) = +∞ , (+∞) × (−∞) = −∞ , (−∞) × (−∞) = +∞
 
 +∞, se a > 0  −∞, se a > 0
a × (+∞) = a × (−∞) =
 −∞, se a < 0  +∞, se a < 0
 
a  +∞, se a > 0 a  −∞, se a > 0
= =
0+  −∞, se a < 0 0−  +∞, se a < 0
 
 +∞, se a > 1  0, se a > 1
a+∞ = a−∞ =
 0, se 0 < a < 1  +∞, se 0 < a < 1
 
 +∞, se a > 0 ou a = +∞  0, se a > 0 ou a = +∞
+∞a = 0a =
 0, se a < 0 ou a = −∞  +∞, se a < 0 ou a = −∞
Observa¸˜o 1.3. (Indetermina¸oes) Para al´m das situa¸oes referidas na Pro-
ca c˜ e c˜
posi¸ao anterior, existem ainda outras em que ` partida n˜o podemos determinar
c˜ a a
qual o resultado do limite, a essas situa¸˜es chamamos de indetermina¸˜es e s˜o
co co a

16. 11
elas:
0 ∞
0.∞ ∞−∞ 1∞ ∞0 00 .
0 ∞
Teorema 1.19. (Regra da Exponencial) Sejam a ∈ R e (un ) uma sucess˜o de
a
n´meros reais infinitamente grande positivo, temos que:
u
– se a > 1, a sucess˜o de termo geral aun ´ um infinitamente grande positivo.
a e
– se a = 1, a sucess˜o de termo geral aun = 1 converge para 1.
a
– se −1 < a < 1, a sucess˜o de termo geral aun ´ um infinit´simo.
a e e
– se a −1, a sucess˜o de termo geral aun n˜o tem limite.
a a
Teorema 1.20. (N´mero de Nepper) Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais
u a u
infinitamente grande em m´dulo e K ∈ R, ent˜o
o a
un
K
lim 1 + = eK .
un
Mais, se (vn ) ´ uma sucess˜o de n´meros reais convergente para a ∈ R, ent˜o
e a u a
un
vn
lim 1 + = ea .
un
1.0.3 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 1.1. Considere as sucess˜es de termo geral
o
2n + 1 nπ nπ
un = e vn = cos − sen .
n 4 4
Calcule os 5 primeiros termos de cada uma e represente-os geometricamente.
n + (−1)n
Exerc´
ıcio 1.2. Seja (un ) a sucess˜o de termo geral un =
a .
n+1
1. Determine os 4 primeiros termos de (un ).
2. Indique, justificando, o valor l´gico das seguintes afirma¸oes:
o c˜
24
(a) ∃p∈N : up = .
26

17. 12 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
(b) 0 un 1, ∀n∈N .
ıcio 1.3. Considere a sucess˜o de termo geral un = 4 + (−1)n . Determine os
Exerc´ a
4 primeiros termos e mostre que ´ limitada.
e
Exerc´ıcio 1.4. Estude a monotonia das sucess˜es de termo geral un = 3n + 5 e
o
1
vn = √ .
n2 + n

 u =2
1
Exerc´ıcio 1.5. Considere a sucess˜o (un ) dada por
a .
 u 2
n+1 = un − (un ) , ∀n>1
Estude a monotonia de (un ).
Exerc´
ıcio 1.6. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais, tal que
a u
un+1 < un e un > 1, para todo o n ∈ N
A sucess˜o ´ convergente? Justifique.
a e
2n − 5
Exerc´
ıcio 1.7. Considere as sucess˜es (un ) e (vn ) de termo geral un =
o , com
n
n2
1
n 5 e vn = .
2
1. Mostre que as sucess˜es s˜o decrescentes.
o a
2. As sucess˜es s˜o limitadas? Justifique.
o a
3. Justifique que (un ) ´ convergente.
e
4. Estude a convergˆncia de (vn ).
e
n+1
Exerc´
ıcio 1.8. Considere a sucess˜o un =
a − 3.
n+2
1. Mostre que a sucess˜o ´ mon´tona.
a e o
7
2. Mostre que − un < −2 para todo o n ∈ N.
3
3. A sucess˜o ´ convergente? Justifique.
a e

18. 13
Exerc´
ıcio 1.9. Determine o limite das sucess˜es de termo geral:
o
1−n
1. an = 8. hn = e−n + en
2n + 2
n+2 nπ
2n2 + 3 9. in = sen
2. bn = n 2+1 2
3n + 1
2
sen (n + 1)
3n3 + n2 + 1 10. jn =
3. cn = 2n + 3
2n3 − n − 2
√ 3
n + 1 + cos n
n 11. kn =
4. dn = n2 + 1
4n + 1
√ √ (−1)n + n
3n2 + 1 + n 12. ln =
5. en = √ n+1
3
n+1
n
(−2)n + 3n
1 5 13. αn =
6. fn = + (−2)n+1 + 3n+1
n 4 √ √
√4
√ 14. βn = ln 2n2 + 1 − n2 − 1
n5 + 2 − 3 n2 + 1 √
7. gn = √ √ √
5
n4 + 2 − n3 + 1 15. γn = n n2 + 1 − n− 1
Exerc´
ıcio 1.10. Determine o limite das sucess˜es de termo geral:
o
n n2 +2
2 n2 + 2
1. an = 1+ 5. en =
n 2n2 − 3
n √
2 2
n
2. bn = 1− 2 6. fn = 1+
n n
n+3
n−5 n−1
2n+1
3. cn = 7. gn =
n+2 n+2
n+4
n+5 n2 + 2n − 3
n2 −3n+2
4. dn = 8. hn =
2n + 1 n2 − n + 2
Exerc´
ıcio 1.11. Estude a convegˆncia da sucess˜o de termo geral
e a
1 1 1
un = √ +√ + ... + √ .
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n

19. 14 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS

20. Cap´
ıtulo 2
S´ries
e
2.1 S´ries Num´ricas
e e
Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. O conceito de s´rie pretende extender a
a u e
opera¸ao de soma a uma infinidade de termos, precisamente os termos da sucess˜o.
c˜ a
Defini¸˜o 2.1. Dada uma sucess˜o de n´meros reais (un ) chamamos sucess˜o das
ca a u a
somas parciais de (un ) ` sucess˜o
a a
s1 = u1 , s2 = u1 + u2 , s3 = u1 + u2 + u3 , . . . ,
ou seja, a sucess˜o cujo termo geral ´ dado por
a e
n
sn = uk = u0 + u1 + u2 + . . . + un ,
k=1
a soma dos primeiros n termos da sucess˜o (un ).
a
Defini¸˜o 2.2. Dada uma sucess˜o de n´meros reais, (un ), definimos a s´rie de
ca a u e
termo geral (un ) como sendo
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,
15

21. 16 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
∞
a qual representamos por un ou por un .
k=1
Defini¸˜o 2.3. Dizemos que
ca un ´ uma s´rie convergente se a respectiva sucess˜o
e e a
das somas parciais for convergente. Neste caso, chamamos soma da s´rie ao limite
e
n
da sucess˜o das somas parciais, e escrevemos S = lim sn = lim
a sk .
n→∞ n→∞
k=1
Defini¸˜o 2.4. Dizemos que uma s´rie ´ divergente se a respectiva sucess˜o das
ca e e a
somas parciais for divergente.
Defini¸˜o 2.5. Dizemos que duas s´rie s˜o da mesma natureza se s˜o ambas con-
ca e a a
vergentes ou ambas divergentes. Entendemos por estudo da natureza de uma s´rie
e
o estudo da convergˆncia ou divergˆncia da s´rie.
e e e
∞
Nota 2.1. Em algumas situa¸˜es poder˜o susgir s´ries do tipo
co a e un , ou at´ mesmo
e
n=0
∞
un , onde p ´ um qualquer n´mero inteiro. Basta nas defini¸oes acima considerar
e u c˜
n=p
as mudan¸as de vari´vel k = n + 1 e k = n − p + 1, respectivamente.
c a
∞ ∞
1 1
Exemplo 2.1. A s´rie
e ´ igual ` s´rie
e a e .
n=4
n2 k=1
(k + 3)2
∞ ∞
´ a
Observa¸˜o 2.1. E f´cil concluir que dados p1 , p2 ∈ N, a s´rie
ca e un e un tˆm
e
n=p1 n=p2
a mesma natureza. Ou seja, a natureza de uma s´rie n˜o se altera se alterarmos um
e a
n´mero finito de termos.
u
Exemplo 2.2. Seja (un ) a sucess˜o de n´meros reais tal que un = 0 para todo o n ∈ N,
a u
ent˜o
a un ´ convergente e tem soma nula. Seja (vn ) a sucess˜o de n´meros reais
e a u
tal que vn = 0 para todo o n > p com p ∈ N, ent˜o
a un ´ convergente e tem soma
e
igual a sp = u1 + u2 + . . . + up .
2.1.1 Algumas S´ries Not´veis
e a
Vamos agora estudar algumas s´ries que pela sua simplicidade e por serem bem
e
conhecidas chamaremos de not´veis. Este estudo ter´ grande importˆncia, visto
a a a

22. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 17
que os resultados obtidos ser˜o aplicados no estudo da natureza de s´ries algo mais
a e
complexas.
∞
Exemplo 2.3. (S´rie Geom´trica) Seja R ∈ R e consideremos a s´rie
e e e Rn , a R
n=0
chamamos raz˜o da s´rie.
a e
Supondo que |R| = 1, temos que
n
k 2 3 1 − Rn+1
n
sn = R = 1 + R + R + R + ... + R = .
k =0
1−R
1
– Se |R| < 1, temos que lim Rn+1 = 0 e ent˜o lim sn =
a . Assim, neste caso
1−R
1
a s´rie ´ convergente e tem soma S =
e e .
1−R
– Se |R| > 1, temos que lim |sn | = +∞ e, neste caso a s´rie ´ divergente.
e e
Supondo que |R| = 1, temos tamb´m 2 casos.
e
– Se R = 1, temos sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1 e ent˜o lim sn = +∞. Logo a
a
s´rie ´ divergente.
e e 
 0, se n ´ ´
e ımpar
– Se R = −1, temos sn = e ent˜o lim sn n˜o existe. Logo a
a a
 1, se n ´ par
e
s´rie ´ divergente.
e e
∞
´ a
Nota 2.2. E f´cil ver que para a s´rie
e Rn , com p ∈ N as conclus˜es acerca da
o
n=p
Rp
natureza da s´rie s˜o as mesmas, e que para |R| < 1 a soma da s´rie ´
e a e e .
1−R
∞ n
1 1
A s´rie geom´trica de raz˜o , ou seja,
e e a ´ convergente e tem soma 1.
e
2 n=1
2
Exemplo 2.4. (S´rie de Mengoli ou S´rie Telesc´pica) Seja (un ) uma sucess˜o
e e o a
∞
de n´meros reais e consideremos uma s´rie da forma
u e (un − un+1 ). A sucess˜o
a
n=1
das somas parciais tem termo geral
Sn = (u1 − u2 ) + (u2 − u3 ) + . . . + (un − un+1 ) = u1 − un+1 .
Assim, lim Sn = lim u1 − un+1 = u1 − lim un+1 , pelo que a s´rie considerada converge
e

23. 18 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
se e s´ se a sucess˜o (un ) converge, e nesse caso, a soma da s´rie ´ S = u1 − lim un .
o a e e
Mais geralmente, designamos tamb´m por s´rie de Mengoli uma s´rie da forma
e e e
∞
(un − un+q ) que converge se e s´ se a sucess˜o (un ) converge e nesse caso tem
o a
n=p
soma up + up+1 + . . . + up+q−1 − q lim un .
∞
2n 2n + 4
Por exemplo, a s´rie
e − ´ convergente e tem soma igual a
e
n=3
n+1 n+3
6 8 9
u3 + u4 − 2 lim un = + − 2 × 2 = − .
4 5 10
∞
1
Exemplo 2.5. (A S´rie Harm´nica) Consideremos a s´rie
e o e a qual designamos
n=1
n
por s´rie harm´nica. Consideremos ainda a respectiva sucess˜o das somas parciais
e o a
ındice da forma 2n , ou seja, a
e tomemos a subsucess˜o dessa com termos com ´
a
subsucess˜o (S2n ):
a
1 1
S2 = 1 + >
2 2
1 1 1 1 1 1 1
S4 = 1 + + + = S2 + + > S 2 + 2 × > 2 ×
2 3 4 3 4 4 2
1 1 1 1 1 1
S8 = S4 + + + + > S4 + 4 × > 3 ×
5 6 7 8 8 2
...
k k
Em geral, temos S2n > , como lim = ∞, conclu´
ımos que lim Sn = ∞, ou seja, a
2 2
s´rie harm´nica diverge.
e o
∞
1
Exemplo 2.6. (S´rie de Dirichelet) Seja α ∈ R e consideremos a s´rie
e e .
n=1
nα
Temos que:
– se α > 1, a s´rie ´ convergente.
e e
– se α 1, a s´rie ´ divergente.
e e
∞
1
Quando α = 1, obtemos a s´rie harm´nica,
e o , que como j´ vimos ´ diver-
a e
n=1
n
gente.
∞ ∞
1 1
Por exemplo, a s´rie
e ´ convergente, ao passo que a s´rie
e e √ ´ diver-
e
n=1
n2 n=1
n
gente.

24. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 19
2.1.2 Propriedades das S´ries
e
Proposi¸˜o 2.6. Sejam
ca un e vn duas s´ries convergentes com somas U e
e
V , respectivamente. Ent˜o a s´rie
a e (un + vn ) ´ convergente e tem soma U + V .
e
Mais, se α ∈ R, ent˜o a s´rie
a e αun ´ tamb´m convergente e tem soma αU .
e e
Observa¸˜o 2.2. Se
ca un ´ uma s´rie convergente e
e e vn ´ uma s´rie divergente,
e e
ent˜o
a (un + vn ) ´ uma s´rie divergente.
e e
Observa¸˜o 2.3. Se
ca un e vn s˜o duas s´ries divergentes, ent˜o
a e a (un + vn )
e ´
pode ser uma s´rie divergente ou convergente. E exemplo disso a situa¸˜o seguinte.
ca
∞ ∞
1 −1
Exemplo 2.7. Consideremos as s´ries
e e , que como sabemos s˜o
a
n=1
n n=1
n+1
ambas divergentes.
∞
1 1 1
Mas a s´rie
e − ´ uma s´rie de Mengoli com an = e lim un = 0, pelo
e e
n=1
n n+1 n
que ´ convergente. Mais, at´ conhecemos a sua soma, S = u1 − lim un = 1.
e e
Proposi¸˜o 2.7. Se
ca un ´ uma s´rie convergente, ent˜o lim un = 0.
e e a
Observa¸˜o 2.4. A rec´
ca ıproca da Proposi¸ao anterior ´ falsa, ou seja, lim un = 0
c˜ e
1
un seja convergente. Por exemplo, a s´rie harm´nica, em que lim un = lim = 0
e o
n
e a s´rie ´ divergente.
e e
Observa¸˜o 2.5. Nalgumas situa¸˜es poder´ ser conveniente ter presente a contra-
ca co a
ıproca da Proposi¸˜o anterior, ou seja, se lim un = 0 ent˜o a s´rie
rec´ ca a e un ´
e
divergente.
n n
1 1
Exemplo 2.8. A s´rie
e 1+ ´ divergente, j´ que lim 1 +
e a = e = 0.
n n
2.1.3 S´ries de Termos N˜o Negativos
e a
Muitas vezes n˜o ´ poss´ estudar a natureza da s´rie fazendo um c´lculo directo
a e ıvel e a
no limite da sucess˜o das somas parciais. Mas existem alguns m´todos que permitem
a e
determinar a natureza de uma s´rie. Nesta sec¸ao vamos apresentar alguns desses
e c˜

25. 20 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
m´todos que se aplicam aquilo a que chamamos de s´ries de termos n˜o negativos,
e e a
ou seja,
∞
un , com un 0, para todo o n ∈ N0 .
n=0
´
E claro que estes m´todos tamb´m se aplicam a situa¸oes em que todos os ter-
e e c˜
a c˜ ´
mos s˜o negativos, fazendo uma pequena adapta¸ao. E de notar que os m´todos
e
(crit´rios) apresentados n˜o servem para calcular o valor da soma da s´rie, apenas
e a e
para determinar a natureza da mesma.
Numa s´rie de termos n˜o negativos,
e a un temos que a sucess˜o das somas
a
parciais ´ crescente, visto que sn+1 − sn = un
e 0. Assim, temos que a s´rie ´
e e
convergente se e s´ se (sn ) for uma sucess˜o limitada (j´ que ´ mon´tona).
o a a e o
Proposi¸˜o 2.8. (Crit´rio da Compara¸˜o) Sejam
ca e ca un e vn duas s´ries
e
de termos n˜o negativos tais que, a partir de certa ordem se tenha un
a vn . Ent˜o
a
1. se vn ´ convergente ent˜o
e a un ´ convergente.
e
2. se un ´ divergente ent˜o
e a vn ´ divergente.
e
Prova: Podemos supor que un vn para todo o n ∈ N, pois estamos apenas a
alterar um n´mero finito de termos, e portanto a natureza da s´rie n˜o se altera.
u e a
Sejam (su ) e (sv ) as respectivas sucess˜es das somas parciais, temos que
n n o
s u = u1 + u2 + . . . + un
n v1 + v2 + . . . + vn = sv .
n
Se a s´rie
e vn ´ convergente, (sv ) ´ uma sucess˜o tamb´m convergente e logo
e n e a e
limitada. Ent˜o a sucess˜o (su ) ´ tamb´m limitada e logo convergente (j´ que ´
a a n e e a e
mon´tona). Conclu´
o ımos assim que a s´rie
e un ´ convergente.
e
O outro caso ´ completamente an´logo.
e a

26. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 21
n
1 1
Exemplo 2.9. Consideremos as sucess˜es de termo geral un =
o e vn = .
(n + 1)! 2
1
Como vn ´ a s´rie geom´trica de raz˜o , logo ´ convergente. Al´m disso,
e e e a e e
2
1 1
(n + 1)! 2n ⇒ ⇒ un vn , para todo o n ∈ N, de onde conclu´ımos
(n + 1)! 2n
que un ´ uma s´rie convergente, usando o Crit´rio da Compara¸ao.
e e e c˜
1 1
Exemplo 2.10. Consideremos as sucess˜es de termo geral un =
o e vn = .
n n−1
Como un < vn para todo o n ∈ N e un ´ uma s´rie divergente, conclu´
e e ımos que
vn ´ uma s´rie divergente, pelo Crit´rio da Compara¸ao.
e e e c˜
Da Proposi¸ao anterior, ´ poss´ obter um resultado bastante mais abrangente,
c˜ e ıvel
o seguinte Corol´rio.
a
Corol´rio 2.9. (Crit´rio do Limite) Sejam
a e un e vn duas s´ries de termos
e
un
n˜o negativos, com vn = 0 para todo o n ∈ N. Se existir lim
a = L, temos que
vn
1. Se L for finito e n˜o nulo, as s´ries tˆm a mesma natureza.
a e e
2. Se L = 0 e vn ´ convergente ent˜o
e a un ´ convergente.
e
3. Se L = +∞ e vn ´ divergente ent˜o
e a un ´ divergente.
e
Prova: Consequˆncia quase imediata da Proposi¸˜o anterior. Vide [1].
e ca
2n2 + 1
Exemplo 2.11. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n3
2n2 + 1
5 2 2n5 + n3
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 2 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n3
de onde conclu´ ımos que a s´rie considerada tem a mesma natureza do que a s´rie
e e
1
, ou seja, ´ convergente.
e
n3

27. 22 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
2n2 + 1
Exemplo 2.12. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n2
2n2 + 1
5 2 2n4 + n2
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n2
1
de onde conclu´
ımos que como a s´rie
e ´ convergente e o limite ´ 0, ent˜o a
e e a
n3
s´rie considerada ´ convergente.
e e
2n2 + 1
Exemplo 2.13. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n
2n2 + 1
5 2 2n3 + n
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n
1
mas como a s´rie
e ´ divergente, nada podemos concluir acerca da s´rie consi-
e e
n
derada.
Proposi¸˜o 2.10. (Crit´rio de d’Alembert ou da Raz˜o) Seja
ca e a un uma
un+1
s´rie de termos positivos (un > 0) tal que lim
e = L. Temos que
un
1. Se L > 1 a s´rie ´ divergente.
e e
2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da s´rie.
e
3. Se L < 1 a s´rie ´ convergente.
e e
Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa
ordem se tem
un+1 Rn+1 un+1 un
<R= n
⇒ n+1 < n .
un R R R

28. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 23
un un
Assim, a sucess˜o de termo geral n ´ decrescente e como n
a e 0 para todo o
R R
un un
n ∈ N, a sucess˜o
a ´ limitada. Assim, conclu´
e ımos que ´ convergente,
e
Rn Rn
digamos para c. Como a s´rie
e Rn ´ convergente, quer seja c = 0 ou c > 0, pelo
e
Crit´rio do Limite conclu´
e ımos que un ´ convergente.
e
O outro caso ´ an´logo.
e a
cn n!
Exemplo 2.14. Consideremos a s´rie
e un , onde un = , com c > 0. Vamos
nn
aplicar o Crit´rio de d’Alembert para determinar a natureza da s´rie. Temos que
e e
n
un+1 (n + 1)! nn n 1
=c =c =c n,
un n! (n + 1)n+1 n+1 1
1+
n
un+1 c
de onde conclu´
ımos que lim = . Assim, se c > e a s´rie ´ divergente; se
e e
un e
0 < c < e a s´rie ´ convergente.
e e
Proposi¸˜o 2.11. (Crit´rio de Cauchy ou da Raiz) Seja
ca e un uma s´rie de
e
√
termos n˜o negativos tal que lim n un = L. Temos que
a
1. Se L > 1 a s´rie ´ divergente.
e e
2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da s´rie.
e
3. Se L < 1 a s´rie ´ convergente.
e e
Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa
ordem se tem
√
n
un < R ⇒ un < R n .
Como a s´rie
e Rn ´ convergente, pelo Crit´rio de Compara¸ao conclu´
e e c˜ ımos que
un ´ convergente.
e
O outro caso ´ an´logo.
e a

29. 24 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
n2
n+k
Exemplo 2.15. Consideremos a s´rie
e un com un = . Como
n
n n
√ n+k k
lim n
un = lim = lim 1 + = ek ,
n n
pelo Crit´rio de Cauchy, a s´rie diverge se ek > 1 ⇔ k > 0, a s´rie converge se
e e e
ek < 1 ⇔ k < 0.
Proposi¸˜o 2.12. Dada uma s´rie de termos n˜o negativos, qualquer uma outra
ca e a
que resulte desta por reordenamento dos seus termos tem a mesma natureza.
´
Nota 2.3. E necess´rio ter algum cuidado, pois o mesmo j´ n˜o acontece numa s´rie
a a a e
gen´rica, ou seja, numa s´rie que tamb´m tenha termos negativos, como veremos
e e e
mais adiante.
2.1.4 S´ries Alternadas. Convergˆncia Absoluta.
e e
Vamos agora estudar a natureza de algumas s´ries que apresentam termos negativos.
e
Come¸amos com um caso particular em que os termos s˜o alternadamente posi-
c a
tivos e negativos.
Defini¸˜o 2.13. Uma s´rie alternada ´ uma s´rie da forma
ca e e e
∞
(−1)n un = u0 − u1 + u2 − u3 + u4 − u5 + . . . ,
n=0
em que un > 0 para todo o n ∈ N0 .
Proposi¸˜o 2.14. (Crit´rio de Leibnitz) Seja (un ) uma sucess˜o decresente de
ca e a
∞
termos positivos. A s´rie
e (−1)n un ´ convergente se e s´ se un ´ um infinit´simo.
e o e e
n=0
Prova: Vide [1].

30. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 25
∞
1
Exemplo 2.16. Consideremos a s´rie
e (−1)n un , onde un =
com α ∈ R. Temos
n=0
nα
que un > 0 para todo o n ∈ N e a sucess˜o (un ) ´ decrescente. Para α > 0, un
a e
´ um infinit´simo de onde conclu´
e e ımos que a s´rie considerada ´ convergente, pelo
e e
Crit´rio de Leibnitz. Para α
e 0, un n˜o tende para 0 de onde conclu´
a ımos que a
s´rie diverge, pelo Crit´rio de Leibnitz.
e e
∞
1
Em particular, a chamada s´rie harm´nica alternada
e o (−1)n ´ convergente.
e
n=0
n
Nota 2.4. No Crit´rio de Leibnitz o facto de un tender para 0 n˜o assegura a con-
e a
vergˆncia da s´rie alternada, ´ mesmo necess´rio que un tamb´m seja decrescente.
e e e a e
1 (−1)n
Basta pensar na s´rie
e (−1)n un , com un = √ + , ´ f´cil ver que lim un = 0,
e a
n n
mas n˜o podemos concluir que a s´rie convirja, pelo Crit´rio de Leibnitz. De facto
a e e
1 1
a s´rie considerada diverge, uma vez que
e (−1)n un = (−1)n √ + , onde
n n
a primeira s´rie ´ convergente (aplicando o Crit´rio de Leibnitz) e a segunda s´rie ´
e e e e e
divergnte.
Defini¸˜o 2.15. Consideremos a s´rie
ca e un , ` s´rie
a e |un | chamamos s´rie dos
e
m´dulos de
o un . No caso em que |un | ´ uma s´rie convergente, dizemos que
e e
un ´ uma s´rie absolutamente convergente. Se a s´rie
e e e un converge, mas a
respectiva s´rie dos m´dulos diverge, dizemos que
e o un ´ uma s´rie simplesmente
e e
convergente.
1
Exemplo 2.17. A s´rie
e (−1)n ´ simplesmente convergente, pois j´ vimos que ´
e a e
n
1 1
convergente, mas (−1)n = ´ divergente.
e
n n
1
Exemplo 2.18. A s´rie
e (−1)n n ´ absolutamente convergente, uma vez que temos
e
2
1 1 1
(−1)n n = n
a s´rie geom´trica de raz˜o , e portanto, convergente.
e e a
2 2 2
Nota 2.5. Qualquer s´rie convergente de termos n˜o negativos ´ tamb´m absoluta-
e a e e
mente convergente.
Proposi¸˜o 2.16. Se a s´rie
ca e un ´ absolutamente convergente, ent˜o
e a un ´
e
convergente. Ou seja, se |un | ´ convergente, ent˜o
e a un ´ convergente; e temos
e

31. 26 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
que un |un |.
Prova: Vide [1].
Exemplo 2.19. Consideremos a s´rie
e nk n , com k ∈ R e vamos estudar a con-
e ´
vergˆncia simples e absoluta. E claro que para k = 0 temos a s´rie nula e portanto
e
absolutamente convergente. Para k = 0, tomemos a s´rie dos m´dulos
e o n|k|n e
pelo Crit´rio de d’Alembert temos
e
un+1 (n + 1)|k|n+1 n+1
lim = lim n
= |k| lim = |k|,
un n|k| n
de onde conclu´
ımos que: se |k| < 1, a s´rie
e n|k|n converge, ou seja, a s´rie
e
nk n converge absolutamente; se |k| > 1, a s´rie
e n|k|n diverge, mas a s´rie
e
nk n pode ser simplesmente convergente ou divergente.
No entanto, como para |k| 1 temos que o termo geral nk n n˜o ´ um infinit´simo,
a e e
pelo que a s´rie considerada ´ divergente.
e e
Proposi¸˜o 2.17. Dada uma s´rie absolutamente convergente, qualquer uma ou-
ca e
tra que resulte desta por reordenamento dos seus termos ´ tamb´m absolutamente
e e
convergente e tem a mesma soma.
Observa¸˜o 2.6. A Proposi¸˜o anterior n˜o ´ verdadeira para s´ries simplesmente
ca ca a e e
convergentes, como podemos ver no exemplo seguinte.
Exemplo 2.20. Vamos apresentar um exemplo em que a s´rie n˜o ´ absolutamente
e a e
convergente e que fazendo uma reordena¸ao dos termos temos uma s´rie com uma
c˜ e
soma diferente.
∞
1
Consideremos (−1)n a qual converge simplesmente pelo Crit´rio de
e
n=0
n+1

32. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 27
Leibnitz. Seja S a soma desta s´rie e ent˜o temos
e a
∞
1 1 1 1 1 1
S= (−1)n = 1 − + − + − + ...
n=0
n+1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
= 1− + − + − + ...
2 3 4 5 6
∞
1 1
= −
n=0
2n + 1 2n + 2
1 1 1 1 1 1 1
= 1− + − + − + − + ...
2 3 4 5 6 7 8
∞
1 1 1 1
= − + −
n=0
4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
e pod´
ıamos dizer que
∞ ∞
S 1 1 1 1 1 1 1
+S = − + − + − =
2 2 n=0
2n + 1 2n + 2 n=0
4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
∞
1 1 1 1 1 1
= − + − + − =
n=0
4n + 2 4n + 4 4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
∞
1 1 1
= − =
n=0
4n + 1 4n + 3 2n + 2
1 1 1 1 1
=1+ − + + − + ... = S
3 2 5 7 4
o que ´ absurdo, pelo que n˜o podemos trocar a ordem dos termos da referida s´rie,
e a e
j´ que a mesma n˜o ´ absolutamente convergente.
a a e
Proposi¸˜o 2.18. Sejam
ca un e vn duas s´ries absolutamente convergentes,
e
com somas U e V , respectivamente. Ent˜o o produto das s´ries,
a e un . vn
´ ainda uma s´rie absolutamente convergente com soma UV.
e e
Prova: Vide [1].
Nota 2.6. A Proposi¸˜o anterior refere-se ` s´rie que resulta de fazer o produto de
ca a e
outras duas s´ries, o que usualmente se chama de produto de Cauchy. N˜o confundir
e a

33. 28 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
com a s´rie cujo termo geral ´ o produto dos termos gerais de outras duas s´ries, ou
e e e
seja, com (un vn ), ` qual se refere a pr´xima Proposi¸ao.
a o c˜
Proposi¸˜o 2.19. Sejam
ca un e vn duas s´ries absolutamente convergentes.
e
Ent˜o a s´rie cujo termo geral ´ o produto dos termos gerais, ou seja,
a e e un v n , ´
e
ainda uma s´rie absolutamente convergente.
e
Prova: A sucess˜o (un ) converge para 0, logo ´ limitada, pelo que existe c ∈ R tal
a e
que |un | c ⇒ |un vn | c|vn |. Como vn ´ absolutamente convergente,
e |vn |
´ convergente o que implica que
e c|vn | ´ convergente. Pelo Crit´rio da Com-
e e
para¸˜o conclu´
ca ımos que |un vn | ´ convergente, ou seja,
e un vn ´ absolutamente
e
convergente.
Observa¸˜o 2.7. Na Proposi¸ao anterior ´ mesmo necess´rio que as s´ries
ca c˜ e a e un e
n
(−1)
vn sejam absolutamente convergentes. De facto, se tivermos un = 1 e vn =
n3
(−1)n
2 , as s´ries
e un e vn convergem simplesmente, uma vez que convergem
n3
pelo Crit´rio de Leibnitz, mas em m´dulo obtemos duas s´ries de Dirichelet, ambas
e o e
divergentes. Mas a s´rie
e un vn diverge, visto que temos a s´rie harm´nica, j´ que
e o a
1
un vn = .
n
2.1.5 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 2.1. Use a defini¸˜o de s´rie num´rica para estudar a natureza das se-
ca e e
guintes s´ries. Em caso de convergˆncia calcule a sua soma.
e e
∞ ∞
1
1. a, com a ∈ R 4. ln 1 +
n=1 n=1
n
∞ ∞
1
2. (−1)n 5. ln 1 −
n=1 n=2
n2
∞ ∞
1 2n + 3n
3. 6.
n=1
(2n − 1)(2n + 1) n=1
6n

34. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 29
Exerc´
ıcio 2.2. Use a condi¸ao necess´ria de convergˆncia para verificar que as
c˜ a e
seguintes s´ries s˜o divergentes.
e a
∞ ∞
n+1 √ 1
1. 3. n tg √
n=1
n+2 n=1
n
∞ ∞
n n+1
2. (−2) 4.
n=1 n=1
n
Exerc´
ıcio 2.3. Determine a natureza das seguintes s´ries, e em caso de convergˆncia
e e
determine a sua soma.
∞ ∞
−n 1
1. 2 7.
n=1 n=2
(n − 1)(n + 1)
∞ ∞
2 1
2. 8.
n=1
3n−1 n=1
4n2 − 1
∞ n−1 ∞
π2 2
3. 9.
n=1
7n+2 n=1
n(n + 1)(n + 3)
∞ n−1 ∞
2 π π
4. n
+ e−n 10. cos − cos
n=0
6 n=1
n n+3
∞ ∞ √ √
32n−1 n+1− n
5. 11. √
n=0
23n+1 n=1
n2 + n
∞ ∞
√ √
6. (−1)n 63n 47−2n 12. n
n− n+3
n+3
n=1 n=1
Exerc´
ıcio 2.4. Calcule os racionais correspondentes `s seguintes d´
a ızimas:
(a) 3, 6666 . . . (b) 2, 18181818 . . . (c) 0, 9999 . . . (d) 1, 57141414 . . .
Exerc´
ıcio 2.5. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de Compara¸ao
e e c˜
ou do Limite.

35. 30 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
∞ ∞
1 ln n
1. 2+1
7.
n=1
n n=1
n
∞ 2 ∞ √
5n + 2n + 3 n ln n
2. 8.
n=1
n3 + 4n n=1
n 2+1
∞ ∞
√
n n+1 π
3. 3 9. sen
n=1
n(n + 2) n=1
2n
∞ ∞
1 π
4. 10. tg
n=1
(2n − 1)22n−1 n=1
4n
∞ ∞
1 1 + cos n
5. 11.
n=1
ln(n + 1) n=1
2n
∞ ∞
1 2n
6. 2 + ln n
12.
n=1
n n=1
1 + 3n
∞
an
Exerc´
ıcio 2.6. Estude a natureza da s´rie
e no caso em que:
n=1
1 + bn
(a) 0 < a < b (b) 0 < b a < 1 (c) 1 b a
Exerc´
ıcio 2.7. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de d’Alembert.
e e
∞ ∞
2 × 5 × . . . × (3n − 1) (n + 1)!
1. 5.
n=1
1 × 5 × . . . × (4n − 3) n=1
e3n
∞ ∞
3 × 5 × 7 × . . . × (2n − 1) 10n × 2 × n!
2. 6.
n=1
n!7n n=1
(2n)!
∞ ∞
n2n ((2n)!)2
3. 7.
n=1
en n=1
n!(3n)!
∞ ∞
nn en (n + 1)2n+3
4. 8.
n=1
n!3n n=1
(n + 1)!3n
Exerc´
ıcio 2.8. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de Cauchy.
e e