Redação em Matemática: Formalização do Texto Dissertativo
1. ¸˜
Redacao
´
em Matematica
Leandro Augusto Ferreira
Coord. Profa. Dra Edna Maura Zuffi
Centro de Divulga¸˜o Cient´
ca ıfica e Cultural
Universidade de S˜o Paulo - CDCC
a
Agosto - 2008
4. ´
SUMARIO 4
A C´lculo de inversa de matrizes
a 34
A.1 Via sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.2 Via matriz dos cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B M´todo para resolu¸˜o de sistemas lineares
e ca 37
C Equa¸˜es alg´bricas
co e 39
Referˆncias Bibliogr´ficas
e a 40
´
Indice Remissivo 41
5. ´
SUMARIO 5
“N˜o se preocupem com as dificuldades em matem´tica, as minhas s˜o muito maiores”
a a a
Albert Einstein
6. Pref´cio
a
Esta apostila foi elabora para a utiliza¸˜o no curso ”Reda¸˜o em matem´tica”,
ca ca a
ministrado no CDCC (Centro de Divulga¸˜o Cient´
ca ıfica e Cultural) da USP em
S˜o Carlos. Pode servir como material de apoio para alunos do Ensino M´dio, e
a e
tem como principal objetivo auxiliar no aprendizado da escrita em matem´tica. a
A apostila est´ dividida de acordo com a ordem do curso: no Cap´
a ıtulo 1,
tratamos da formaliza¸˜o do texto, caracterizando a disserta¸˜o em matem´tica
ca ca a
de forma simplificada e pr´tica, trabalhando com exemplos de exerc´
a ıcios de
vestibulares de forma progressiva, conforme a ordem: introdu¸˜o, desenvolvi-
ca
mento e conclus˜o. Demos ainda algumas orienta¸˜es de como redigir um bom
a co
texto, mostrando algumas coisas que devemos evitar numa reda¸˜o. No Cap´
ca ıtulo
2, trabalhamos com a l´gica matem´tica, assunto absolutamente importante no
o a
ensino de matem´tica, mas alertamos, que este assunto foi tratado com bas-
a
tante simplicidade, deixando um pouco de lado o rigor dos bons livros de l´gica,
o
tentando passar apenas algumas id´ias elementares. Ainda nesses cap´
e ıtulo, trou-
xemos alguns exerc´ ıcios resolvidos e propostos. Deixamos algumas sugest˜es de
o
como resolvˆ-los no final desta apostila.
e
Alguns assuntos, talvez pouco explorados no Ensimo M´dio, foram acrescen-
e
tados como apˆndice, pois acreditamos que ser˜o de grande valia ao leitor em
e a
sua base Matem´tica para empliar a compreens˜o e a reda¸˜o de textos da ´rea.
a a ca a
Gostaria de agradecer ao apoio dado pela Profa. Dra. Edna Maura Zuffi na
coordena¸˜o deste projeto, ao apoio de Jonas Eduardo Carraschi pela colabora-
ca
¸˜o na ministra¸˜o do minicurso e a todos os participantes do mesmo.
ca ca
Leandro Augusto Ferreira
S˜o Carlos, 28 de Julho de 2008.
a
6
7. Cap´
ıtulo 1
Formaliza¸˜o do texto
ca
Para redigir um bom texto, ´ necess´rio estimular o racioc´
e a ınio, a capacidade
de an´lise e s´
a ´
ıntese. E preciso desenvolver um pensamento ordenado, revestido
por um vocabul´rio expressivo, revelando assim, um repert´rio preciso e comu-
a o
nicativo.
Em matem´tica n˜o ´ diferente: temos as mesmas necessidades quando de-
a a e
sejamos redigir um bom texto, seja ele na resolu¸˜o de um exerc´ ou na de-
ca ıcio
monstra¸˜o de uma proposi¸˜o.
ca ca
Daremos aqui alguns conceitos necess´rios para uma boa escrita. Nossos tex-
a
tos ser˜o todos dissertativos, por isso estudaremos como fazer uma disserta¸˜o.
a ca
1.1 Disserta¸˜o
ca
Dissertar ´ desenvolver uma id´ia, uma opini˜o, um conceito ou tese sobre
e e a
um determinado assunto. Como outras formas de reda¸˜o, a disserta¸˜o se ap´ia
ca ca o
em alguns elementos: introdu¸˜o, desenvolvimento e conlus˜o.
ca a
A introdu¸˜o deve apresentar, de maneira clara, o assunto que ser´ tratado
ca a
e delimitar as quest˜es referentes a ele que ser˜o abordadas. Neste momento
o a
pode-se formular uma tese, que dever´ ser discutida e provada no texto, propor
a
uma pergunta, cuja resposta dever´ constar no desenvolvimento e explicitada na
a
conclus˜o.
a
O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as id´ias, pontos de vista, con-
e e
ceitos, informa¸˜es de que se disp˜e ser˜o desenvolvidas, desenroladas e avaliadas
co o a
progressivamente.
A conclus˜o ´ o momento final do texto, e dever´ apresentar um resumo forte
a e a
de tudo o que j´ foi dito, expondo uma avalia¸˜o final do assunto discutido.
a ca
1.2 Disserta¸˜o em matem´tica
ca a
Quando resolvemos um exerc´ ıcio ou um problema de matem´tica, por e-
a
xemplo, estamos tamb´m dissertando; estamos convencedo o leitor de que nosso
e
racioc´
ınio est´ correto. De forma an´loga, vamos estabelecer os conceitos de
a a
introdu¸˜o, desenvolvimento e conclus˜o, vistos na se¸˜o anterior.
ca a ca
A introdu¸˜o deve apresentar as vari´veis utilizadas no texto, bem como a
ca a
´
que conjuntos pertencem e o que representam no problema. E claro que exis-
7
8. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 8
tem v´rias formas de fazer uma introdu¸˜o: veremos basicamente duas formas,
a ca
posteriormente.
O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as id´ias devem ser trabalhadas
e e
atrav´s da l´gica, dos dados do problema e da simbologia matem´tica. Esta ´
e o a e
a parte mais complexa do texto matem´tico, por isso n˜o exibiremos aqui um
a a
m´todo e, sim, resolveremos alguns problemas e comentaremos alguns t´picos
e o
mais relevantes.
A conclus˜o ´ parte mais simples, finalizamos o texto explicitando a resposta
a e
do problema, ou o que quer´
ıamos provar numa demonstra¸˜o de uma proposi¸˜o.
ca ca
Daqui por diante, quando mencionarmos a palavra disserta¸˜o, estamos na
ca
verdade nos referindo a disserta¸˜o em matem´tica.
ca a
1.3 Simbologia
Muita gente se pergunta: ”Por que devemos utilizar os s´ ımbolos quando
redigimos um texto matem´tico?”. A resposta para esta pergunta ´ bastante
a e
simples, utilizamos s´
ımbolos para escrever um texto de uma forma mais compacta
e concentramos nossos esfor¸os nos racioc´
c ınios, mais do que nas palavras em si.
Tome cuidado com o exagero em sua utiliza¸˜o, pois os textos em geral ficam
ca
carregados com o uso excessivo da simbologia, e nesse caso ficar˜o cansativos de
a
serem lidos.
Vejamos agora alguns dos principais s´ ımbolos matem´ticos:
a
• N: N´meros naturais.
u
• Z: N´meros inteiros.
u
• Q: N´meros racionais.
u
• I ou R-Q: N´meros irracionais.
u
• R: N´meros reais.
u
• C: N´meros Complexos.
u
• ∈ : Pertence
• ⊂: Contido
• ⊃: Cont´m
e
• ⇒: Implica
• ∴ : Portanto
• ∃ : Existe
• ∀ : Para todo, ou ”para qualquer”.
Caso vocˆ n˜o conhe¸a o emprego correto destes s´
e a c ımbolos, n˜o tente sim-
a
plesmente memoriz´-los, eles aparecem natulmente no estudo da matem´tica do
a a
ensino fundamental e m´dio, e alguns deles ser˜o comentados no cap´
e a ıtulo 2:
L´gica matem´tica.
o a
9. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 9
1.4 Estrutura dissertativa
Assim como existem muitas maneiras de escrever um texto, uma introdu¸˜o,
ca
o mesmo ocorre para o desenvolvimento e a conclus˜o. Na verdade mostraremos
a
as maneiras mais comuns, na matem´tica, para tratar da resolu¸˜o de exerc´
a ca ıcios
e problemas.
1.4.1 Introdu¸˜o
ca
Como foi dito anteriormente, devemos exibir as vari´veis do problema: para
a
isto, uma maneira batante simples ´ nomear as vari´veis colocando dois pontos
e a
(:) na frente delas e explicando o que representam. Esta forma n˜o ´ nada rigo-
a e
rosa, pois n˜o dizemos, necessariamente, a que conjunto pertencem as vari´veis,
a a
por exemplo, mas para exerc´ ıcios de sistemas lineares, ´ uma forma bastante
e
pr´tica, pois j´ sabemos, pelo contexto do problema, a que conjunto as vari´veis
a a a
pertencem.
Vejamos o exemplo abaixo, que mostra a utiliza¸˜o deste formato de in-
ca
trodu¸˜o.
ca
˜
Exemplo 1.4.1 Joao entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambur- ´
gueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao
´
lado,algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranja
e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preco de um
¸
´
hamburguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada
totaliza R$ 10,00, calcule o preco de cada um desses itens.
¸
A introdu¸˜o ser´ feita da seguinte maneira:
ca a
x: quantitade de hamburgueres
y: quantitade de sucos de laranja
z: quantitade de cocadas
No texto fica bem claro que x,y,z ∈ N, (x, y e z s˜o n´meros naturais), por
a u
isso foi omitido na introdu¸˜o, mas em textos mais rigorosos, existe a necessidade
ca
desta informa¸˜o, por isso adotaremos, sempre, uma maneira mais rigorosa para
ca
fazer uma introdu¸˜o.
ca
Uma outra forma de fazer a introdu¸˜o, seria utilizando a palavra ”seja”,
ca
para dizer quem s˜o as vari´veis do problema, logo em seguida a que conjuntos
a a
elas pertencem e o que representam no problema. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 1.4.2 Ainda no problema do exemplo 1.4.1, a introdu¸˜o poder´ ser
ca a
feita da seguinte maneira:
Sejam x, y, z ∈ N, que representam respectivamente, quantidade de hambur-
gueres, de sucos de laranja e cocadas.
10. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 10
Este formato ´ muito mais formal e completo, como j´ foi dito, mas caso o
e a
leitor n˜o se sentiu muito ` vontade em utiliz´-lo, daremos a seguir mais um
a a a
exemplo de sua utiliza¸˜o.
ca
Exemplo 1.4.3 Como resultado de uma pesquisa sobre a relacao en-¸˜
tre o comprimento do pe de uma pessoa, em cent´
´ ´
ımetros, e o numero
´
(tamanho) do calcado brasileiro, Carla obteve uma formula que
¸
´ ´ ´
da, em media, o numero inteiro n (tamanho do calcado) em funcao
¸ ¸˜
´ ´
do comprimento c, do pe, em cm. Pela formula, tem-se n = [x], onde
5
x = 4 c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exem-
˜
plo, se c = 9 cm, entao x = 18, 25 e n = [18, 25] = 19. Com base nessa
´
formula,
´ ´
a) determine o numero do calcado correspondente a um pe cujo
¸
´
comprimento e 22 cm.
´ ´ ˜
b) se o comprimento do pe de uma pessoa e c = 24 cm, entao ela
calca 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calca 38 ou mais. Determine
¸ ¸
o maior comprimento poss´ ´
ıvel, em cm, que pode ter o pe de uma
pessoa que calca 38.
¸
Sejam x ∈ R∗ e n ∈ N, como no enunciado.
+
Desta vez, de uma forma mais resumida, dizemos simplesmente que as vari´veis
a
s˜o da mesma forma como no enunciado, j´ que no problema estava bem explicito
a a
o que x e c representavam.
1.4.2 Desenvolvimento
Chegamos, agora, na parte mais trabalhosa da disserta¸˜o e o mais impor-
ca
tante ´ tentar escrever seu texto numa forma l´gica sequencial, caso contr´rio,
e o a
tornaremos a leitura do exerc´ uma verdadeira ca¸a ao tesouro.
ıcio c
Prosseguiremos na resolu¸˜o dos exemplos vistos no t´pido introdu¸˜o.
ca o ca
Exemplo 1.4.4 Pelo exemplo 1.4.1, t´
ınhamos conclu´ que:
ıdo
x: quantitade de hamburgueres
y: quantitade de sucos de laranja
z: quantitade de cocadas
Ent˜o,
a do enunciado, temos o seguinte sistema linear:
3x + y + 2z = 21, 50
8x + 3y + 5z = 57
x + y + z = 10
11. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 11
Pela regra de Crammer, temos:
21, 5 1 2
57 3 5
10 1 1 4
x= = = 4,
3 1 2 1
8 3 5
1 1 1
3 21, 5 2 3 1 21, 5
8 57 5 8 3 57
1 10 1 2, 5 1 1 10 3, 5
y= = = 2, 5 e z = = = 3, 5
3 1 2 1 3 1 2 1
8 3 5 8 3 5
1 1 1 1 1 1
Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima:
co
1. Utilizamos poucos s´
ımbolos na resolu¸˜o.
ca
2. Escrevemos o texto de forma objetiva, omitimos alguns c´lculos.
a
Ex: N˜o escrevemos passo a passo os c´lculos dos determinantes.
a a
3. Citamos a Regra de Crammer, pois a utilizamos na resolu¸˜o.
ca
Faremos a resolu¸˜o de outro exemplo iniciado no t´pico introdu¸˜o.
ca o ca
Exemplo 1.4.5 Pelo exemplo 1.4.3, temos:
a) Pela f´rmula dada, temos:
o
5
x= · 22 + 7 ⇒ x = 34, 5
4
∴ n = 35
b) Podemos escrever a desigualdade:
5
37 ≤ · c + 7 ≤ 38
4
Resolvendo, temos:
5
30 ≤
· c ≤ 31
4
4 4
24 = 30 · ≤ c ≤ 31 · = 24, 8
5 5
Portanto, c = 24, 8.
Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima:
co
1. Utilizamos alguns s´
ımbolos na resolu¸˜o.
ca
12. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 12
2. Escrevemos o texto de forma objetiva e omitimos alguns c´lculos.
a
Ex: N˜o escrevemos passo a passo os c´lculos nas desigualdades.
a a
3. Em x = 5 ·22+7 ⇒ x = 34, 5 , poder´
4 ıamos ter escrito x = 5 ·22+7 = 34, 5,
4
sem a utiliza¸˜o do s´
ca ımbolo de implica¸˜o (⇒). Note que os s´
ca ımbolos “⇒”
e “=” n˜o s˜o usados com as mesmos significados, em geral. Pense por
a a
quˆ.
e
1.4.3 Conclus˜o
a
Como j´ dissemos anteriormente, esta ´ parte mais simples do texto, uma
a e
vez que a resolu¸˜o esteja feita, de forma clara, devemos destacar, no caso de
ca
um exerc´ ou problemas a sua resposta, ou, no caso de uma demonstra¸˜o, o
ıcio ca
que quer´
ıamos demonstrar.
´
E importante sempre indicar as unidades de medida da vari´vel utilizada.
a
Vejamos, agora, alguns exemplos mostrando como devemos proceder.
Exemplo 1.4.6 Pelo exemplo 1.4.4, temos:
Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o
c e e
da cocaca ´ R$ 3,50.
e
Exemplo 1.4.7 Pelo exemplo 1.4.5, temos:
a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35.
u c a
b) Portanto, o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm.
e a
Nas provas de vestibular, em geral, devemos ainda explicitar, no final da
resolu¸˜o, todas as respostas de cada item de forma resumida. Vejamos como
ca
ficariam os exemplos anteriores com este formato.
Exemplo 1.4.8 Pelo exemplo 1.4.4, temos:
Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o da
c e e
cocaca ´ R$ 3,50.
e
Respostas: R$4,00, R$2,50 e R$3, 50
Exemplo 1.4.9 Pelo exemplo 1.4.5, temos:
a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35.
u c a
b) Portanto o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm.
e a
Respostas:
a) 35
b) 24,8 cm
13. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 13
1.5 Modelos de disserta¸˜o
ca
Trataremos, aqui, do tipo de disserta¸˜o que interessa ao aluno do Ensino
ca
M´dio. Em especial, daremos nesta se¸˜o uma contextualiza¸˜o para a formali-
e ca ca
za¸˜o do texto.
ca
1.5.1 A disserta¸˜o escolar
ca
O aluno de Ensino M´dio, principalmente o vestibulando, depara-se com uma
e
grande dificuldade de elaborar textos matem´ticos. A express˜o das id´ias ´ algo
a a e e
a ser conquistado, e em geral, o aluno precisa adquirir uma certa maturidade para
expressar suas id´ias de forma t˜o precisa.
e a
Apesar de tratarmos aqui de alguns aspectos da cria¸˜o de textos, sabemos
ca
o esfor¸o que o aluno ter´ para aprender a escrever uma disserta¸˜o, ao longo de
c a ca
toda a sua forma¸˜o escolar
ca
1.5.2 “Receita” para um texto dissertativo
Considerando toda a formaliza¸˜o apresentada at´ aqui, observe a s´
ca e ıntese das
principais id´ias de como elaborar um texto dissertativo.
e
• Como come¸ar?
c
Leia atentamente e interprete o enunciado.
• Como elaborar?
Comece dizendo quais s˜o as vari´veis do problema, bem como a qual
a a
conjunto elas pertencem.
• Como argumentar?
Seja claro e siga uma sequencia l´gica no desenvolvimento, utilizando de
o
forma moderada a simbologia matem´tica.
a
• Como concluir?
Para concluir, interprete o rac´
ıocinio desenvolvido e escreva a resposta.
Etapas para elaborar uma disserta¸˜o
ca
1. Ler atentamente o tema e refletir sobre o assunto.
2. Fazer um esbo¸o do encadeamento das id´ias.
c e
3. Ler o texto, submetendo-o a uma avalia¸˜o cr´
ca ıtica.
4. Pass´-lo a limpo.
a
Orienta¸˜o para elaborar uma disserta¸˜o
ca ca
• Seu texto deve apresentar introdu¸˜o, desenvolvimento e conclus˜o.
ca a
• Redija na 3o pessoa do singular ou do plural, ou ainda na 1o pessoa do
plural. Por exemplo:
14. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 14
◦ Sejam a, b, c vari´veis . . .
a
◦ Sabemos que a2 = b2 + c2 . . .
◦ Tome f (x) = x2 . . .
◦ Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1 . . .
o
• Se n˜o souber resolver o exerc´
a ıcio, n˜o tente inventar teorias matem´ticas
a a
para aparentar resolvˆ-lo.
e
• N˜o construa frases embromat´rias. Verifique se as palavras e s´
a o ımbolos
empregados s˜o fundamentais e informativos.
a
• N˜o utilize s´
a ımbolos em demasia; isso pode tornar seu texto enfadonho.
• Observe se h´ repeti¸˜o de id´ias, falta de clareza e constru¸˜es sem nexo.
a ca e co
• Verifique se os argumentos utilizados s˜o convincentes.
a
• Tente citar os nomes dos principais teoremas e resultados da teoria que
est´ utilizando, isso enriquece o texto, mas cuidado para n˜o utiliz´-los
a a a
erroneamente.
• N˜o utilize abrevia¸˜es das palavras usuais sa L´
a co ıngua Portuguesa: vocˆ
e
corre o risco do leitor n˜o enterder o que quer dizer.
a
1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerc´
ıcios de vestibular
Exerc´ ıcio 1.5.1 Em uma determinada residˆncia, o consumo mensal de ´gua
e a
com descarga de banheiro corresponde a 33% do consumo total e com higiene
pessoal, 25% do total. No mˆs de novembro foram consumidos 25 000 litros de
e
´gua no total e, da quantidade usada pela residˆncia nesse mˆs para descarga de
a e e
banheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 40%.
Determine a quantidade de ´gua, em litros, consumida pela adolescente no mˆs
a e
de novembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene pessoal.
Resolu¸˜o: Sejam Qd , Qh e Qa , respectivamente, as quantidades de descarga
ca
de banheiro, higiene pessoal e total de ´gua consumida, por essa adolescente.
a
Temos:
Qd = 25% · 25000 = 6250
Qh = 33% · 25000 = 8250
Logo, Qa = (40% · Qd ) + (40% · Qh ) = (40% · 6250) + (40% · 8250) =
= 2500 + 3300 = 5800
Portanto a adolescente gastou 2500 litros com descarga, 3300 litros com
higiene pessoal, somando no total 5800 litros.
Resposta: 2500 litros, 3300 litros e 5800 litros
15. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 15
Exerc´ ıcio 1.5.2 Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em 5% a
produ¸˜o de CO2 com a queima de combust´ de sua frota de carros, diminuindo
ca ıvel
a quantidade de quilˆmetros a serem rodados no ano. O total de quilˆmetros ro-
o o
dados pelos carros dessa empresa em 2005 foi de 199 200 km. Cada carro faz
em m´dia 12 km por litro de gasolina, e a queima de cada 415 litros desse com-
e
bust´ pelos carros da empresa produz aproximadamente uma tonelada de CO2 .
ıvel
Mantidas as mesmas condi¸˜es para os carros, em termos de consumo e queima
co
de combust´ ıvel, determine quantas toneladas a menos de CO2 os carros da em-
presa deixariam de emitir em 2006, relativamente ao ano de 2005.
Resolu¸˜o: Sejam Ql e Qt , respectivamente, a quantidade de combust´
ca ıvel,
em litros, em 2005, e a quantidade, em toneladas, de CO2 produzida pela queima
desse combust´ ıvel, ent˜o:
a
199200
Ql = = 16600
12
16600
Qt = = 40
415
Portanto os carros deixariam de emitir 5% de 40t, que ´ igual a 2t.
e
Resposta: 2t (ou 2 toneladas)
Exerc´ ıcio 1.5.3 Seja x o n´mero de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0).
u
A fun¸˜o y = f (x) = x+320 fornece, aproximadamente, a m´dia de concentra¸˜o
ca e ca
de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milh˜o) em fun¸˜o de x. A m´dia de
a ca e
varia¸˜o do n´
ca ıvel do mar, em cm, em fun¸ao de x, ´ dada aproximadamente
c˜ e
pela fun¸˜o g(x) = x . Seja h a fun¸˜o que fornece a m´dia de varia¸˜o do
ca 5 ca e ca
n´ do mar em fun¸˜o da concentra¸˜o de CO2 . No diagrama seguinte est˜o
ıvel ca ca a
representadas as fun¸˜es f , g e h.
co
g
T / MV
<
h zzzz
f
zz
zz
C
T : tempo (anos)
M V : M´dia da varia¸˜o do n´ do mar(cm)
e ca ıvel
C: Concentra¸˜o de CO2 (ppm)
ca
Determine a express˜o de h em fun¸˜o de y e calcule quantos cent´
a ca ımetros o
n´ do mar ter´ aumentado quando a concentra¸˜o de CO2 na atmosfera for
ıvel a ca
de 400 ppm.
Resolu¸˜o: Sejam f , g e h, como no enunciado,
ca
e seja ainda p : R −→ R, tal que, y → p(y).
Sabemos que:
y = f (x) = x + 320, ent˜o x = y − 320. Tome p(y) = y − 320, logo
a
1
h(y) = g ◦ p(y) =⇒ h(y) = · (y − 320)
5
16. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 16
400 − 320
Ent˜o: h(400) =
a
5
O n´ do mar ter´ subido 16cm.
ıvel a
1
Resposta: h(y) = 5 · (y − 320) e 16 cm
Exerc´
ıcio 1.5.4 Considere a matriz
x 1 x
A= 0 x 1− x
2
2 0 x
O determinante de A ´ um polinˆmio p(x).
e o
a) Verifique se 2 ´ uma raiz de p(x).
e
b) Determine todas as ra´
ızes de p(x).
Resolu¸ao:
c˜
a) Seja A como no enunciado, como o determinante de A ´ p(x), ent˜o
e a
p(x) = x3 − 2x2 − x + 2.
Logo
p(2) = 8 − 8 − 2 + 2 = 0
Portanto 2 ´ raiz de p(x).
e
b) Pelo item a, 2 ´ raiz de p(x)
e
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
2 1 -2 -1 2
1 0 -1 0
Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1, cujo as ra´
o ızes s˜o: ±1.
a
Ent˜o S = {−1, 1, 2}
a
Respostas:
a) 2 ´ raiz de p(x)
e
b) -1,1 e 2.
Exerc´ ıcio 1.5.5 Um polinˆmio de grau 3 possui trˆs ra´
o e ızes reais que, colocadas
em ordem crescente, formam uma progress˜o aritm´tica em que a soma dos
a e
termos ´ igual a 9 . A diferen¸a entre o quadrado da maior raiz e o quadrado
e 5 c
da menor raiz ´ 24 . Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do
e 5
polinˆmio ´ 5, determine
o e
a) a progress˜o aritm´tica.
a e
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinˆmio.
o
17. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 17
Resolu¸ao:
c˜
a) Sejam a − r, a e a + r as trˆs ra´
e ızes em progress˜o aritm´tica com r 0,
a e
temos, pelo enunciado:
9
a = 3
a−r + a + a+r = 5 5
24 =⇒
(a + r)2 − (a − r)2 = 5
r = 2
Logo a progress˜o aritm´tica ser´:
a e a
7 3 13
− , e
5 5 5
b) Pelo enunciado, temos P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 5. Pelas rela¸oes de
c˜
Girard, temos:
a2 7 3 7 13 3 13 73
= − · + − · + · =−
5 5 5 5 5 5 5 5
Respostas:
a) − 7 , 3 e
5 5
13
5
b) − 73
5
Exerc´ıcio 1.5.6 Em uma progress˜o aritm´tica a1 , a2 , . . . , an . . . a soma dos n
a e
primeiros termos ´ dada por Sn = bn
e 2 + n sendo b um n´mero real. Sabendo-se
u
que a3 = 7 , determine
a) o valor de b e a raz˜o da progress˜o aritm´tica.
a a e
b) o 20o termo da progress˜o.
a
c) a soma dos 20 primeiros termos da progress˜o.
a
Resolu¸ao:
c˜
a) Admitindo que Sn = bn2 + n ´ v´lida, ent˜o:
e a a
6
7 = a3 = S3 − S2 = b22 + 2 − b32 − 3 = 5b + 1 =⇒ b =
5
6 23
a2 = S2 − S1 = 3b + 1 = 3 · +1=
5 5
Portanto a raz˜o ser´:
a a
23 12
r = a3 − a2 = 7 − =
5 5
b) Temos que
6 239
a20 = S20 − S19 = b202 + 20 − b192 − 19 = 39b + 1 = 39 · =
5 5
18. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 18
c) Utilizando a express˜o fornecida pelo enunciado, temos:
a
S20 = b202 + 20 = 500
Respostas:
6 12
a) b = er=
5 5
239
b) a20 =
5
c) S20 = 500
19. CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 19
1.6 Exerc´
ıcios propostos
1. Sejam a e b n´meros inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferen¸a
u c
entre a e b com o dobro do produto de a por b.
a) Calcule N(3, 9).
b) Calcule N(a, 3a) e diga qual ´ o algarismo final de N(a, 3a) para
e
qualquer a ∈ Z.
2. Em Matem´tica, um n´mero natural a ´ chamado pal´
a u e ındromo se seus al-
garismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo n´mero. Por
u
exemplo, 8, 22 e 373 s˜o pal´
a ındromos. Pergunta-se:
a) Quantos n´meros naturais pal´
u ındromos existem entre 1 e 9 999?
b) Escolhendo-se ao acaso um n´mero natural entre 1 e 9 999, qual ´ a
u e
probabilidade de que esse n´mero seja pal´
u ındromo? Tal probabilidade
´ maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.
e
3. Se Am´lia der R$ 3,00 a L´cia, ent˜o ambas ficar˜o com a mesma quantia.
e u a a
Se Maria der um ter¸o do que tem a L´cia, ent˜o esta ficar´ com R$ 6,00
c u a a
a mais do que Am´lia. Se Am´lia perder a metade do que tem, ficar´ com
e e a
uma quantia igual a um ter¸o do que possui Maria. Quanto possui cada
c
uma das meninas Am´lia, L´cia e Maria?
e u
4. Sejam a e b dois n´meros inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o
u
mmc(a, b) = 105.
a) Qual ´ o valor de b se a = 35?
e
b) Encontre todos os valores poss´
ıveis para (a, b).
5. Dada a equa¸˜o polinomial com coeficientes reais
ca
x3 − 5x2 + 9x − a = 0
a) Encontre o valor num´rico de a de modo que o n´mero complexo 2 + i
e u
seja uma das ra´
ızes da referida equa¸ao.
c˜
b) Para o valor de a, encontrado no item anterior, determine as outras
duas ra´
ızes da mesma equa¸˜o.
ca
20. Cap´
ıtulo 2
L´gica matem´tica
o a
O objetivo deste cap´
ıtulo ´ mostrar a importˆncia da l´gica matem´tica tanto
e a o a
na demonstra¸˜o de teoremas quanto na leitura de enunciados e produ¸˜es de
ca co
textos.
2.1 Defini¸oes gerais
c˜
Defini¸˜o 2.1.1 Uma proposi¸˜o ´ todo o conjunto de palavras ou s´
ca ca e ımbolos
que exprimem um pensamento de sentido completo.
Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos de proposi¸˜es.
co
a) A Lua ´ um Sat´lite da Terra.
e e
b) Recife ´ a Capital de Pernambuco.
e
c) 5 ´ a raiz quadrada de 25.
e
d) 9 = 2 · 4 + 1
Defini¸˜o 2.1.2 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar no-
ca
vas proposi¸˜es a partir de outras.
co
Estudaremos apenas os conectivos:
a) e
b) ou
c) N˜o
a
d) Se, ent˜o
a
e) Se, e somente se
Pois s˜o os mais utilizados em l´gica matem´tica.
a o a
Exemplo 2.1.2 Vejamos alguns exemplos de proposi¸˜es formadas por outra
co
proposi¸˜es utilizando os conectivos listados acima.
co
20
21. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 21
a) O n´mero 6 ´ par e o n´mero 8 ´ cubo perfeito.
u e u e
b) O triˆngulo ABC ´ retˆngulo ou ´ is´sceles.
a e a e o
c) N˜o est´ chovendo.
a a
d) Se Jorge ´ Policial, ent˜o ele tem arma.
e a
e) O triˆngulo ABC ´ eq¨il´tero se, e somente se ´ eq¨iˆngulo.
a e u a e ua
2.2 Princ´
ıpios da l´gica matem´tica
o a
Enunciaremos aqui os dois prnc´
ıpios da l´gica matem´tica.
o a
2.2.1 N˜o contradi¸˜o
a ca
Uma proposi¸˜o n˜o pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
ca a
2.2.2 Terceiro exclu´
ıdo
Toda proposi¸˜o ou ´ verdadeira ou ´ falsa, isto ´, verifica-se sempre um
ca e e e
destes casos e nunca um terceiro.
2.3 Proposi¸oes do tipo “se A, ent˜o B”
c˜ a
Encontra-se com freq¨ˆncia um tipo de proposi¸˜o importante em Matem´tica:
ue ca a
as proposi¸˜es da forma se A, ent˜o B, onde, A e B s˜o proposi¸˜es. Note que
co a a co
formamos esta proposi¸˜o utilizando o conectivo Se, ent˜o, mostrado anterior-
ca a
mente. Esta comumente chamada de “implica¸˜o l´gica”.
ca o
Exemplo 2.3.1 Os exemplos a seguir ser˜o utilizados em todo cap´
a ıtulo.
¸˜
Proposicao 2.3.1 Se m e n s˜o inteiros pares, ent˜o o produto ´ um inteiro
a a e
par.
¸˜ ımpar, ent˜o m = 2k 2 + 1 , para algum
Proposicao 2.3.2 Se m ´ inteiro ´
e a
n´mero inteiro k.
u
Na proposi¸˜o 2.3.1, A ´ a proposi¸˜o ”m e n s˜o inteiros pares”, e B ´ a
ca e ca a e
proposi¸˜o ”produto m · n ´ um inteiro par”.
ca e
Na proposi¸˜o 2.3.2, A ´ a senten¸a ”m ´ inteiro ´
ca e c e ımpar”, e B ´ a senten¸a
e c
”m = 2k 2 + 1, para algum n´ mero inteiro k.”
u
A partir de agora, chamaremos A de hip´tese e B de Tese.
o
Analisando as proposi¸˜es acima, o leitor pode se perguntar: ”As proposi¸˜es
co co
acima sempre s˜o verdadeiras?”, ou ainda: ”Proposi¸˜es do tipo se A, ent˜o B s˜o
a co a a
sempre verdadeiras?”. A resposta para essas perguntas ´ n˜o, vejamos quando
e a
uma proposi¸˜o deste tipo ´ verdadeira.
ca e
22. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 22
Uma proposi¸˜o ”Se A, ent˜o B”´ verdadeira quando em todas
ca a e
as situa¸˜es nas quais a hip´tese seja verdadeira
co o
a tese tamb´m seja verdadeira.
e
Ent˜o podemos concluir que uma proposi¸˜o ”Se A, ent˜o B”´ falsa quando
a ca a e
em pelo menos uma situa¸˜o a hip´tese seja verdadeira a tese seja falsa. Neste
ca o
caso, dizemos que a proposi¸˜o possui um contra-exemplo, ou seja, um exemplo
ca
que mostra que a proposi¸˜o ´ falsa.
ca e
Vejamos, abaixo, um contra-exemplo para a proposi¸˜o 2.
ca
e ımpar e 5 = 2k 2 +1,
Exemplo 2.3.2 Tome o inteiro 5, sabemos que o mesmo ´ ´
para qualquer que seja k. (Experimente!)
Cuidado: Enquanto um s´ contra-exemplo permite concluir
o
que uma proposi¸˜o ´ falsa,
ca e
n˜o basta exibir exemplos para
a
mostrar que uma proposi¸˜o seja verdadeira.
ca
Mais adiante veremos como mostrar quando uma proposi¸˜o ´ verdadeira,
ca e
mas vejamos primeiro como podemos reformular uma proposi¸˜o deste tipo.
ca
• A implica B.
• A =⇒ B.
• Se A for verdadeira, ent˜o B ser´ verdadeira.
a a
• A ´ uma condi¸˜o suficiente para B
e ca
• B ´ uma condi¸˜o necess´ria para A.
e ca a
2.4 A rec´
ıproca de uma proposi¸˜o
ca
Considere uma proposi¸˜o do tipo “Se A‘, ent˜o B”, a proposi¸˜o “Se B,
ca a ca
ent˜o A” ´ dita ser a rec´
a e ıproca da proposi¸˜o inicial.
ca
Exemplo 2.4.1
Se a proposi¸˜o ´ verdadeira n˜o significa que a rec´
ca e a ıproca seja verdadeira e
vice-versa, por isso estudaremos o caso quando ambas s˜o verdadeiras.
a
2.5 Proposi¸oes do tipo “A se, e somente se B”
c˜
Como foi dito anteriormente, se tivermos que uma proposi¸˜o e sua rec´
ca ıproca
sejam ambas verdadeiras, ent˜o teremos uma proposi¸˜o “A se, e somente se B”.
a ca
De forma an´loga, mostraremos as formas equivalentes de enunciar este tipo
a
de proposi¸˜o.
ca
• A implica B e reciprocamente
23. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 23
• A ⇐⇒ B
• A ´ verdadeira se, e somente se, B for verdadeira
e
• A ´ uma condi¸˜o necess´ria e suficiente para B
e ca a
• A e B s˜o equivalentes.
a
Uma proposi¸˜o “A se, e somente se B” ´ verdadeira
ca e
quando “Se A, ent˜o B” e “Se B, ent˜o A” s˜o verdadeiras..
a a a
Observa¸˜o: Se tivermos, por exemplo, duas defini¸˜es equivalentes, ent˜o
ca co a
deveremos mostrar que a primeira implica na segunda e a segunda na primeira.
2.6 Nega¸˜o de uma Proposi¸˜o
ca ca
Ser´ de extrema importˆncia o conceito de nega¸˜o de uma proposi¸˜o, n˜o
a a ca ca a
que isso ir´ de fato mudar sua vida, mas geralmente muitos alunos cometem erros
a
quando tentam negar proposi¸˜es. Denotaremos a nega¸˜o de uma proposi¸˜o
co ca ca
P por n˜o P , ou simplesmente por ∼ P .
a
Exemplo 2.6.1 ”Rodrigo n˜o ´ cantor.” ´ a nega¸˜o da proposi¸˜o ”Rodrigo ´
a e e ca ca e
cantor.”
2.6.1 Nega¸˜o de conectivos
ca
Quando negamos uma proposi¸˜o nossa intui¸˜o falha quando tentamos negar
ca ca
conectivos. Vejamos como fazer isso.
1. N˜o “e” = “ou”
a
2. N˜o “ou” = “e”
a
3. N˜o “Para todo” = “Existe”
a
4. “N˜o Existe” = “Para todo”
a
Vejamos alguns exemplo de nega¸˜es de proposi¸˜es
co co
Exemplo 2.6.2 Vamos negar as proposi¸˜es abaixo:
co
a) Eu tenho um carro.
b) Renato ´ aluno e mecˆnico.
e a
c) Para toda tampa existe uma panela.
Ent˜o a nega¸˜o ser´:
a ca a
a) Eu n˜o tenho um carro.
a
b) Renato n˜o ´ aluno ou mecˆnico.
a e a
c) Existe uma panela que N˜o tem tampa.
a
24. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 24
2.7 Exerc´
ıcios resolvidos
Exerc´ ıcio 2.7.1 Se algu´m te dissesse: “Se fizer Sol ent˜o eu vou ` praia”, e
e a a
dias depois vocˆ visse essa pessoa na praia o que vocˆ concluiria?
e e
Resolu¸˜o:
ca
Nada podemos concluir, pois se trata de uma proposi¸˜o do tipo “Se A, ent˜o
ca a
B”, logo, se B, ´ verdadeira n˜o, podemos concluir que A ´ verdadeira. (Pode
e a e
estar chovendo e ele estar na praia, pois a afirma¸˜o n˜o diz nada sobre quando
ca a
estiver chovendo).
2.8 Tipos de Demonstra¸oes
c˜
Vejamos como podemos responder a quest˜o deixada na se¸˜o anterior, ou
a ca
seja, como podemos demonstrar (mostrar, provar,..) que uma proposi¸˜o ´ ver-
ca e
dadeira. Infelizmente n˜o existe um m´todo pr´tico para fazer isso em qualquer
a e a
situa¸˜o, ali´s existem problemas abertos na matem´tica que ainda n˜o se sabe
ca a a a
como demonstrar e prˆmios que valem US$ 1.000.000. Mas podemos respon-
e
der outra pergunta: “Quais s˜o as maneiras de se provar uma proposi¸˜o?” ,
a ca
vejamos abaixo, como classific´-las:
a
1. Demonstra¸˜o direta
ca
2. Demonstra¸˜o por meio de argumentos l´gicos
ca o
3. Demonstra¸˜o por contradi¸˜o (ou por absurdo)
ca ca
Ao final de cada demonstra¸˜o, devemos indicar ao leitor o seu t´rmino. Isso
ca e
pode ser feito de duas formas: utilizando o s´
ımbolo ou a sigla c.q.d .
2.8.1 Demonstra¸˜o direta
ca
Neste tipo de demonstra¸˜o, verificamos todos os casos em que a proposi¸˜o
ca ca
´
seja verdadeira. E bom lembrar que isto s´ acontece quando temos um n´mero
o u
finito de casos para verificar.
Exemplo 2.8.1 Considere a proposi¸˜o ”Se n ∈ {3, 5, 17, 31}, ent˜o n ´ um
ca a e
n´mero primo”
u
verificaremos os casos em que a proposi¸˜o seja verdadeira.
ca
Como podemos ver, todos os n´meros deste conjunto s˜o primos, logo a proposi¸˜o
u a ca
´ verdadeira.
e
Exemplo 2.8.2 Prove que o conjunto P = {6, 28, 496}, possui pelo menos 2
n´meros perfeitos .
u
Prova:
Vejamos, os divisores pr´prios de 6 s˜o 3, 2 e 1 e 6 = 3 + 2 + 1
o a
e analogamente temos que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, logo 6 e 28 s˜o n´meros
a u
perfeitos.
Portanto P possui pelo menos 2 n´meros perfeitos.
u
25. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 25
2.8.2 Demonstra¸˜o por meio de argumentos l´gicos
ca o
Esse tipo ´ a mais utilizada, talvez a id´ia mais intuitiva quando tentamos
e e
fazer uma demonstra¸˜o. O objetivo ´ concluir a veracidade da tese com ar-
ca e
gurmentos l´gicos e sempre utilizando as hip´teses. Embora pare¸a f´cil, n˜o
o o c a a
existe um m´todo pr´tico para este tipo de demonstra¸˜o; ali´s, essa ´ a maior
e a ca a e
dificuldade de se provar proposi¸˜es.
co
Veremos agora alguns exemplos de demonstra¸˜es.
co
Exemplo 2.8.3 Prove que o quadrado de um n´mero par ´ sempre par e o
u e
quadrado de um n´mero ´
u ımpar ´ sempre ´
e ımpar.
Prova:
Seja x um n´mero par, ent˜o x = 2n, para algum n ∈ Z, elevando x ao quadrado,
u a
temos x2 = (2n)2 , ent˜o x2 = 22 n2 = 2(2n2 ). Logo x2 ´ par.
a e
Analogamente, seja x um n´mero ´
u ımpar, ent˜o x = 2n+1, para algum n ∈ Z,
a
elevando x ao quadrado, temos x2 = (2n + 1)2 , ent˜o x2 = (2n)2 + 2(2n) + 1 =
a
2(2n 2 + 2n) + 1. Logo x2 ´ ´
e ımpar.
Exemplo 2.8.4 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, n˜o possuem
a
ra´
ızes em comum.
Prova: Achando as ra´
ızes de p(x)
x2 − 5x + 6 = 0,
ent˜o por B´skara x = 2 ou x = 3
a a
Portanto
S1 = {2, 3}
Achando as ra´
ızes de q(x)
x2 − 1 = 0
x2 = 1
x = ±1,
Portanto
S2 = {−1, 1}
Como S1 ∩ S2 = ∅, ent˜o p(x) e q(x) n˜o possuem ra´
a a ızes em comum.
26. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 26
2.8.3 Demonstra¸˜o por contradi¸˜o (ou por absurdo)
ca ca
Este tipo de demonstra¸˜o ´ muito comum em matem´tica, apesar de n˜o
ca e a a
ser natural aos iniciantes.
Para provamos uma proposi¸˜o por absurdo, procedemos da seguinte maneira:
ca
Negamos a tese e chegamos na nega¸˜o da hip´tese. Veremos agora alguns e-
ca o
xemplos.
Exemplo 2.8.5 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, n˜o possuem
a
ra´
ızes em comum.
Prova: Vamos supor por absurdo que p(x) e q(x) possuam pelo menos uma
raiz em comum. Ent˜o existe um n´mero a tal que p(a) = q(a)
a u
a2 − 5a + 6 = a2 − 1
Ent˜o
a
5a − 6 = 1,
7
Logo a = 5
Como p( 7 )
5 = 0, ent˜o chegamos num absurdo.
a
Portanto p(x) e q(x) n˜o possuem ra´
a ızes em comum.
√
Exemplo 2.8.6 Prove que 2 n˜o ´ um n´mero racional .
a e u
√
Prova: Vamos supor por absurdo que 2 ∈ Q, ent˜o existem p ∈ Z e q ∈ Z∗ ,
√ a
tais que p = 2, seja uma fra¸˜o irredut´
q ca ıvel. Elevando ao quadrado, temos:
2
p
=2
q
p2
=2
q2
p2 = 2q 2 ,
Ent˜o p2 ´ par.
a e
Afirma¸˜o: p2 ´ par, ent˜o p tamb´m ´ par.
ca e a e e
Vamos supor por absurdo que p fosse ´ ımpar, ent˜o p = 2k + 1, para algum
a
k ∈ Z =⇒ p2 = (2k)2 + 2(2k) + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, logo p2 ´ ´
e ımpar.
Mas isso ´ um absurdo, pois p2 ´ par.
e e
Ent˜o p ´ par.
a e
Como p ´ par, ent˜o p = 2a. Logo
e a
(2a)2 = 2q 2
2a2 = q 2 ,
Analogamente q 2 ´ par e portanto q ´ par.
e e
p
Portanto q ´ uma fra¸˜o redut´
e ca ıvel, pois p e q s˜o ambos pares.
a
27. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 27
o que ´ um absurdo, pois p ´ uma fra¸˜o irredut´
e q e ca ıvel.
√
Logo 2 n˜o ´ um n´mero racional.
a e u
2.9 Nomenclatura para proposi¸oes
c˜
Estudamos at´ agora um tipo especial de proposi¸˜es, mas veremos que exis-
e co
tem contextos em que nomeamos estes tipos de proposi¸˜es. Vejamos agora esta
co
nomenclatura.
• Axioma: Proposi¸˜o aceita como verdadeira.
ca
• Teorema: Proposi¸˜o que pode ser demonstrada.
ca
• Lema: Teorema usado na demonstra¸˜es de outros teoremas principais.
co
• Corol´rio: Consequˆncia imediata de um teorema.
a e
28. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 28
2.10 Exerc´
ıcios Resolvidos
Exerc´ ıcio 2.10.1 Sejam A e B duas matrizes de ordem n × n, tal que n ´
e
inteiro. Sabendo que det(A · B) = det(A) · det(B):
a) Mostre o resultado para o caso particular n = 2.
b) Mostre que det(A) · det(A−1 ) = 1, onde A−1 ´ a inversa de A.
e
Resolu¸ao:
c˜
a11 a12 b11 b12
a) Tome A = e B = , ent˜o fazendo a multi-
a
a21 a22 b21 b22
plica¸˜o de matrizes temos:
ca
a11 a12 b11 b12 a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22
· =
a21 a22 b21 b22 a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b12 + a22 · b22
Calculando det(A · B), temos:
det(A · B) =
(a11 ·b11 +a12 ·b21 )(a21 ·b12 +a22 ·b22 )−(a21 ·b11 +a22 ·b21 )(a11 ·b12 +a12 ·b22 )
=
(a11 · b11 · a21 · b12 + a12 · b21 · a21 · b12 + a11 · b11 · a22 · b22 + a12 · b21 · a22 · b22 )−
(a21 · b11 · a11 · b12 + a22 · b21 · a11 · b12 + a21 · b11 · a12 · b22 + a22 · b21 · a12 · b22 )
=
(a11 · a22 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21 ) − (a11 · a22 · b12 · b21 + a12 · a21 · b11 · b22 )
=
a11 · a22 · b11 · b22 − a11 · a22 · b12 · b21 − a12 · a21 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21
=
(a11 · a22 − a12 · a21 )(b11 · b22 − b12 · b21 ) = det(A) · det(B).
b) Sabemos que A · A−1 = In , ent˜o det(A) · det(A−1 ) = det(A · A−1 ) =
a
det(In ) = 1
Exerc´
ıcio 2.10.2 Sejam α, β e γ os ˆngulos internos de um triˆngulo.
a a
a) Mostre que as tangentes desses trˆs ˆngulos n˜o podem ser, todas elas,
e a a
maiores ou iguais a 2.
b) Supondo que as tangentes dos trˆs ˆngulos sejam n´meros inteiros posi-
e a u
tivos, calcule essas tangentes.
29. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 29
Resolu¸˜o:
ca
a) Suponha por absurdo que as trˆs tangentes sejam maiores ou iguais a 2,
e
ou seja,
tg(α) 2 α 60o
tg(β) 2 =⇒ β 60o
tg(γ) 2 γ 60o
Ent˜o chegamos num absurdo, que α + β + γ 180o .
a
b) Sabemos que α + β = 180o − γ, ent˜o:
a
tg(α + β) = tg(−γ) = −tg(γ), ent˜o
a
tg(α) + tg(β)
= −tg(γ)
1 − tg(α) · tg(β)
tg(α) + tg(β) = −tg(γ) + tg(α) · tg(β) · tg(γ)
tg(α) + tg(β) + tg(γ) = tg(α) · tg(β) · tg(γ).
Pelo item a, sabemos que as tangentes n˜o podem ser todas elas maiores
a
que 2, ent˜o sabemos que pelo menos uma das tangentes ´ igual a 1, pois
a e
s˜o n´meros inteiros, supondo digamos que tg(α) = 1, ent˜o
a u a
1 + tg(β) + tg(γ) = tg(β) · tg(γ).
Como todas as tangentes s˜o n´meros inteiros positivos, ent˜o basta
a u a
testar um n´mero pequeno que casos e concluir que tg(α) = 1, tg(β) = 2 e
u
tg(γ) = 3.
Respostas:
a) Demosntra¸˜o
ca
b) 1, 2 e 3
Exerc´
ıcio 2.10.3 Sejam x = 1 e y = 0, 999 . . . (d´
ızima per´
ıodica). Quais das
afirma¸˜es s˜o verdadeiras?
co a
a) x y
b) x = y
c) x y
Justifique rigorosamente sua resposta.
Resolu¸˜o: Exibiremos duas maneiras para resolver esse exerc´
ca ıcio.
30. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 30
1o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., ent˜o 10y = 9, 999 . . ..
a
Subtraindo a segunda equa¸˜o pela primeira, temos:
ca
10y − y = 9, 999 . . . − 0, 999 . . . =⇒ 9y = 9 =⇒ y = 1,
e portanto x = y.
2o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., ent˜o escrevendo y uma forma diferente,
a
temos:
y = 0, 999 . . . = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + . . .
que ´ nada mais do que uma soma infinita de uma
e
P.G. (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; . . .)r=10−1 , logo
0, 9 0, 9
y = 0, 999 . . . = 0, 9+0, 09+0, 009+0, 0009+. . . = −1
= = 1 = x,
1 − 10 0, 9
logo x = y.
Alternativa b
1
Exerc´ıcio 2.10.4 Considere as fun¸˜es f (x) = log3 (9x2 ) e g(x) = log3 ( x ),
co
definidas para todo x 0.
a) Resolva as equa¸oes f (x) = 1 e g(x) = −3
c˜
b) Mostre que 1 + f (x) + g(x) = 3 + log3 x
Resolu¸ao:
c˜
√
1 3
a) log3 (9x2 ) = 1=⇒9x2 = 3=⇒x2 = =⇒x = ± , mas como tinhamos a
3 3
condi¸˜o x 0.
ca
√
3
Ent˜o S = {
a }
3
1 1 1
log3 ( x ) = −3 =⇒ = =⇒ x = 27.
x 27
Ent˜o S = {27}
a
b) Temos que:
1
1 + f (x) + g(x) = 1 + log3 (9x2 ) + log3 ( ) =
x
1 1
log3 (3) + log3 (9x2 ) + log3 ( ) = log3 (3 · 9x2 · ) =
x x
log3 (33 x) = log3 (33 ) + log3 (x) = 3 + log3
31. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 31
2.11 Exerc´
ıcios Propostos
1. Sejam a e b n´meros naturais, mostre que:
u
a) Se a e b s˜o pares, ent˜o a + b ´ par.
a a e
b) Se a e b s˜o pares, ent˜o a · b ´ par.
a a e
c) Se a e b s˜o ´
a ımpares, ent˜o a + b ´ par.
a e
d) Se a e b s˜o ´
a ımpares, ent˜o a · b ´ ´
a e ımpar.
2. Prove as seguintes igualdades trigonom´tricas:
e
1 1
a) cos(a2 ) = 2 + 2 cos2a
1 1
b) sen(a2 ) = 2 − 2 cos2a
c) sen(a + b) · sen(a − b) = cos2 a − cos2 b
3. Prove que:
a) A fun¸˜o f : X −→ Y ´ injetora se, e somente se, existe uma fun¸˜o
ca e ca
g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, para todo x ∈ X.
b) A fun¸˜o f : X −→ Y ´ sobrejetora se, e somente se, existe uma
ca e
fun¸˜o h : Y −→ X tal que f (h(y)) = y, para todo y ∈ Y .
ca
4. Mostre que se a 0, b 0 e c 0, c = 1 ent˜o:
a
a
logc ( ) = logc (a) − logc (b)
b
5. Demonstre que a mediana relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´
a a o e
tamb´m bissetriz.
e
6. Demonstre que a bissetriz relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´ tamb´m
a a o e e
mediana.
7. Demonstre que as medianas relativas aos lados congruentes de um triˆngulo
a
is´sceles s˜o congruentes.
o a
8. Enuncie e prove o teorema de Pit´goras.
a
32. Sugest˜es e Respostas
o
Cap. 1
1. a) Primeiro calcule a express˜o geral N (a, b) = (a − b)2 + 2ab = a2 + b2 , para
a
ent˜o concluir que N (3, 9) = 90.
a
b) Com a express˜o geral encontrada conclua que N (a, 3a) ´ um n´mero m´ltiplo
a e u u
de 10, logo possui final 0.
2. a) 198 n´meros pal´
u ındromos.
198 22 2 2
b) Calculando a probabilidade, temos = = = 2%
9999 1111 101 100
3. Am´lia possui 24 reais, L´cia possui 18 reais e Maria possui 36 reais.
e u
4. a) Utilize a rela¸˜o mdc(a, b) · mmc(a, b) = a · b, ent˜o conclua que b = 15
ca a
b) Decomponha 105 em n´meros primos e veja que o unico fator comum entre
u ´
105 e 35 ´ 5, ent˜o as unicas possibilidades s˜o (5; 105), (15; 35), (35; 15)
e a ´ a
ou (105; 5).
5. a) Substitua 2 + i na equa¸˜o e iguale a zero, obtendo a = 5.
ca
b) Utilize o teorema das ra´ complexas e conclua que 2 − i ´ uma outra raiz
ızes e
da equa¸˜o, utilize uma das rela¸˜es de Girard e conclua que 1 ´ a terceira
ca co e
raiz.
Cap. 2
1. a) Tome a = 2k e b = 2n, ent˜o a + b = 2(k + n). Logo a + b ´ par.
a e
b) Tome a = 2k e b = 2n, ent˜o a · b = 2(k · n). Logo a · b ´ par.
a e
c) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, ent˜o a + b = 2(k + n + 1).Logo a + b ´ par.
a e
d) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, ent˜o a · b = 2[2(k · n) + (k · n)] + 1 =. Logo
a
a·b ´´
e ımpar.
2. a) Na f´rmula da soma de cossenos, cos(a + b) = cos(a) · cos(b) − sen(a) · sen(b),
o
tome a = b. Ent˜o cos(2a) = cos2 (a)−sen2 (a) = cos(2a) = 2cos2 (a)−1 =⇒
a
cos(a2 ) = 1 + 1 cos2a
2 2
b) An´logo ao ”item a”.
a
c) Na f´rmula da soma e diferen¸a de senos, temos sen(a+b) = sen(a)·cos(b)+
o c
sen(b) · cos(a) e sen(a − b) = sen(a) · cos(b) − sen(b) · cos(a). Ent˜o fa¸a
a c
sen(a + b) · sen(a − b) e conclua a igualdade.
3. a) Sabemos que f ´ injetora, logo se f (x1 ) = f (x2 ), ent˜o x1 = x2 , portanto
e a
tomamos g(x) = x, pois x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 . Reciprocamente, se
existe uma g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, ent˜o em particular, g(f (x1 )) =
a
x1 e g(f (x2 )) = x2 , logo se f (x1 ) = f (x2 ), ent˜o x1 = x2 , o que implica que
a
f ´ injetora.
e
32
33. CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 33
4. Tome x = log( a )c , y = log(a)c e z = log(b)c . Pelas propriedades de logaritmo
b
cy
e potencia¸˜o, temos: cx = a , cy = a e cz = b =⇒ cx = z = cy−z =⇒ x =
ca b c
y − z=⇒log( a )c = log(a)c − log(b)c .
b
5. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, seja M um ponto em BC, tal que
a o
AM seja a mediana. Por constru¸˜o AB ≡ AC e BM ≡ M C e B ≡ C, logo
ca
pelo caso LAL (lado ˆngulo lado), os triˆngulo ABM e ACM s˜o congruentes e
a a a
portanto os ˆngulos B AM e C AM s˜o congruentes e por isso AM tamb´m ´ a
a a e e
bissetriz do triˆngulo.
a
6. An´logo ao anterior.
a
7. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, sejam M, N, pontos em AC e
a o
AB,respectivamente, tais que BM e CN sejam as medianas destes triˆngulos rela-
a
tivas aos lados AC e AB. Constru´
ımos, desta forma, dois triˆngulos ACN e ABM
a
congruentes pelo caso LAL, ent˜o conclu´
a ımos que BM e CN s˜o congruentes.
a
34. Apˆndice A
e
C´lculo de inversa de matrizes
a
A.1 Via sistemas lineares
Defini¸˜o A.1.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se exister uma ma-
ca
triz quadrada A−1 de ordem n tal que A · A−1 = In e A−1 · A = In , onde In ´ a
e
matriz identidade de ordem n, ent˜o A−1 ´ dita ser a matriz inversa de A.
a e
Veremos agora atrav´s de um exemplo como podemos encontrar a matriz inversa
e
pela defini¸˜o.
ca
2 1 x11 x12
Exemplo A.1.1 Seja A = , ent˜o tomamos A−1 =
a ,
1 2 x21 x22
usando a defini¸˜o, temos:
ca
2 1 x11 x12 0 1
A · A−1 = I =⇒ · =
1 2 x21 x22 1 0
Fazendo a multiplica¸˜o das matrizes e igualdando matriz resultante com a ma-
ca
triz identidade, temos o seguinte sistema:
x11 = 2
3
2x11 + x21 = 1
2x12 + 12 = − 1
x
x22 = 0 3
=⇒
x11
1
+ 2x21 = 1 x
21 = −
3
x12 + 2x22 = 0
x 2
22 =
3
2 1
−
3 3
Logo, A−1 =
1 2
−
3 3
34
35. ˆ ´
APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 35
A.2 Via matriz dos cofatores
Com o uso deste m´todo ´ poss´
e e ıvel calcular inversas de matrizes de ordem
maiores que 2 e 3, cujo os c´lculos pela defini¸˜o costumam ser longos.
a ca
Defini¸˜o A.2.1 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um
ca
elemento de M , definimos menor complementar do elemento aij , o deter-
minante da matriz que se obt´m suprimindo a linha i e a coluna j de M e o
e
indicaremos por Dij .
Defini¸˜o A.2.2 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um
ca
elemento de M , o cofator do elemento aij ´ dito ser, o n´mero (−1)i+j · aij · Dij
e u
e o indicaremos por Aij
4 3 4
Exemplo A.2.1 Seja A = 2 1 5 , calculando os cofatores de a11 = 4 e
3 3 2
a23 = 5
1 5 4 4
A11 = (−1)1+1 · = −6 e A23 = (−1)2+3 · = −6
3 2 3 2
Defini¸˜o A.2.3 Seja M uma matriz quadrada, a matriz formada pelos cofa-
ca
tores dos elemnetos de M ´ dita ser a matriz dos cofatores de M e ´ repre-
e e
sentada por M , ou seja,
a11 a12 . . . a1n A11 A12 . . . A1n
a21 a22 . . . a2n A21 A22 . . . A2n
a31 a32 . . . a3n A31 A32 . . . A3n
M = =⇒ M =
.
. .
. .. .
. .
. .
. .. .
.
. . . . . . . .
an1 an2 . . . ann An1 An2 . . . Ann
2 1
Exemplo A.2.2 Seja M = , calculando os cofatores da matriz M ,
1 2
temos
A11 = 2, A12 = −1, A21 = −1 e A22 = −2
2 −1
M =
−1 2
1 0 2
Exemplo A.2.3 Seja M = 2 1 3 , calculando os cofatores da matriz
3 1 0
M , temos
A11 = −3, A12 = 9, A13 = −1,
A21 = 2, A22 = −6, A23 = −1
A31 = −2, A32 = 1, A33 = 1
36. ˆ ´
APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 36
−3 9 −1
M = 2 −6 −1
−2 1 1
Defini¸˜o A.2.4 Seja M como na defini¸˜o anterior, a transposta da matriz
ca ca
dos cofatores ´ dita ser a matriz adjunta, e ´ denotada por
e e
M = (M )t .
Teorema A.2.1 Seja M ´ uma matriz quadrada de ordem n e det(M ) = 0
e
ent˜o a matriz inversa ´ dada por:
a e
M
M −1 = .
det(M )
1 0 2
Exemplo A.2.4 Seja M = 2 1 3 , Vemos facilmente que
3 1 0
det(M ) = −5,
Ent˜o
a
−3 9 −1 −3 2 −2
M = 2 −6 −1 =⇒ M = 9 −6 1
−2 1 1 −1 −1 1
Pelo teorema,
3 2 2
−
5 5 5
9 6 1
M −1 = −
5 −
5 5
1 1 3
−
5 5 5
37. Apˆndice B
e
M´todo para resolu¸˜o de
e ca
sistemas lineares
Sejam A, X e B matrizes, tais que A seja invert´ e
ıvel
A·X =B
Como A ´ invert´
e ıvel ent˜o existe uma matriz A−1 tal que A · A−1 = In , onde
a
In ´ a matriz identidade de ordem n. Se multiplicarmos A · X = B, por A−1 ,
e
teremos:
A−1 · A · X = A−1 · B,
Ent˜o
a
X = A−1 · B.
E como vimos, conseguimos expressar a matrix X em fun¸˜o de A e B.
ca
Agora considere o sistema linear abaixo:
a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . ... . .
an1 x1 + an2 x2 + . . . ann xn = bn
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
Sejam A, X e B matrizes, ent˜o Tome A = a31 a32 . . . a3n
a ,
. . .. .
. . .
. . .
.
an1 an2 . . . ann
x1 b1
x2 b2
x3
X= e B = b3
. .
.
. .
.
xn bn
E desta forma, encontramos a matriz X formada pela inc´gnitas x1 , x2 , . . . , xn
o
e ent˜o resolvemos o sistema linear.
a
37
38. ˆ ´ ¸˜
APENDICE B. METODO PARA RESOLUCAO DE SISTEMAS LINEARES38
Observe que ao fazermos a multiplica¸˜o de matrizes, obtemos exatamente o
ca
sistema linear exibido. Ent˜o, como visto anteriormente podemos escrever
a
−1
x1 a11 a12 . . . a1n b1
x2 a21 a22 . . . a2n b2
x3 a31 a32 . . . a3n
= · b3
. . . .. . .
. .
. . .
. . .
. .
.
xn an1 an2 . . . ann bn
Exemplo B.0.5 Vamos resolver o sistema linear abaixo:
−x + y − z = 5
x + y + z = 4
3x + y + 2z = −3
Escrevendo na forma de matriz, temos:
−1 1 −1 x 5
1 2 4 · y = 4
3 1 −2 z −3
Agora precisamos achar a matriz inversa de
−1 1 −1
1 2 4
3 1 −2
Aplicando o m´todo via matriz dos cofatores, obtemos a matriz
e
8 1 6
− 27 27 27
14
5 3
27 27 27
5 4 3
− 27 27 − 27
Fazendo a multiplica¸˜o de matriz, temos:
ca
8 1 6
x − 27 27 27 5 2
14
y = 5 3 · 4 = 3
27 27 27
5 4 3
z − 27 27 − 27 −3 0
Logo a solu¸˜o do sistema linear ´: S = {(2, 3, 0)}.
ca e