Analise dimensional

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
FÍSICA
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© 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]
732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_FIS_001
Análise
dimensional,
ordem de
grandeza e
algarismos
significativos
Este assunto é considerado, em todos os progra-
mas de Física das universidades e escolas militares,
como primeiro requisito. Trata-se do conhecimento
das noções básicas das grandezas físicas e suas
relações intrínsecas. Os fenômenos físicos, isto é,
tudo que ocorre na natureza, pode ser apresentado
por meio de uma lei física, de um gráfico ou de uma
fórmula matemática. Especialmente quando se usa
uma fórmula matemática em Física, precisamos ter
certeza que as correlações entre as grandezas en-
volvidas estão em harmonia.
Grandeza física
O conceito de grandeza física é semelhante ao
conceito de substantivo em português; são gran-
dezas físicas: o comprimento, a massa, o tempo, a
velocidade, a força etc. Podemos classificar essas
grandezas segundo vários critérios; um deles classi-
fica as grandezas como escalares ou vetoriais.
As grandezas escalares são aquelas cuja soma
é um processo escalar como, por exemplo, o compri-
mento, a massa, a intensidade de corrente elétrica.
As grandezas vetoriais são aquelas cuja soma é
um processo vetorial, isto é, a soma é feita usando-se
a regra do paralelogramo, que será vista mais adiante
no estudo dos vetores; como exemplo podemos citar:
a força, a velocidade, a aceleração etc.
Uma outra maneira de classificar as grandezas
é considerá-las fundamentais ou derivadas.
As grandezas fundamentais são aquelas es-
colhidas arbitrariamente como base de um sistema
de unidades.
As grandezas derivadas serão, obrigatoria-
mente, definidas em função das fundamentais
escolhidas, para isso usamos o chamado Teorema
de Bridgman: “Qualquer grandeza pode ser sempre
definida como
G = k . g1
. g2
... . gn
onde G representa a grandeza derivada, k é
uma constante matemática, g1
, g2
, gn
representam
as grandezas escolhidas arbitrariamente como fun-
damentais”.

2
EM_V_FIS_001
Em vários sistemas de unidades, algumas gran-
dezas fundamentais escolhidas são, por exemplo:
o comprimento, com dimensional•• L;
a massa, com dimensional•• M;
o tempo, com dimensional•• T.
Por exemplo, o Sistema Internacional de Unida-
des (SI) usa como unidade de L o metro (m), de M o
quilograma (kg) e de T o segundo (s).
Vamos determinar, para esse sistema, aa)
equação dimensional de área, isto é, vamos
mostrar a relação da grandeza derivada área
com as grandezas fundamentais comprimen-
to, massa e tempo.
A área de qualquer figura plana é sempre
dada por
A = k . (comprimento) . (comprimento)
como pode ser facilmente comprovado:
área de triângulo A = 1
2
. (base) . (altura)
área de retângulo A = 1 . (base) . (altura)
área de círculo A = . (raio) . (raio)
Como podemos observar em qualquer área,
temos sempre o produto de um número (pode
ser 1 e não aparecer) e de duas dimensões de
comprimento. Podemos, então, baseados no
teorema de Bridgman, escrever:
[ A ] = [ k ] . L2
Os colchetes significam dimensional.
Como qualquer constante matemática indepen-
de de comprimento, massa ou tempo, então temos
sempre:
[k] = L0
M0
T0
isto é, k é adimensional ( [ k ] = 1 ) e, portanto,
[A] = L2
M0
T0
o que significa que a grandeza derivada da
área depende de duas dimensões de comprimento,
independe da massa e do tempo.
Não se pode confundir uma constante matemá-
tica com uma constante física; algumas constantes
físicas têm dimensão, o que quer dizer que têm
unidades, como será visto várias vezes durante o
curso de Física.
Velocidade: definimos a velocidade escalarb)
média como a razão entre a variação de
posição ocorrida em determinado intervalo
de tempo:
v = S
t
portanto:
[v]=[ S
t ] e, finalmente,
[v] = LM0
T -1
o que significa que a grandeza velocidade
depende de uma dimensão de comprimento,
não depende da massa e varia inversamente
com o tempo (expoente negativo).
Aceleração: é a razão entre a variação dac)
velocidade no intervalo de tempo:
a = v
t
portanto:
[a]=[ v
t ] e, finalmente,
[a] = LM0
T -2
Força: é definida, dinamicamente, como od)
produto da massa pela aceleração do corpo:
F = m.a e, portanto,
[F] = LMT -2
Velocidade angular: representa a razão en-e)
tre o ângulo central descrito por um móvel,
em movimento circular, em um intervalo de
tempo:
t
, portanto:
[ [ [ [
t[ [ e, finalmente,
[ ] = L0
M0
T -2
Trabalho mecânico: admitida uma força cons-f)
tante, o trabalho pode ser considerado como o
produto da força pelo seu deslocamento, pelo
cosseno do ângulo entre a direção da força e
a do deslocamento:
W = F . d . cos , portanto:
[W] = [F] . [d] . [cos ] e como [cos ] = 1 (constan-
te matemática)
[W] = L2
M T -2
Potência média: representa a razão entre og)
trabalho executado e o intervalo de tempo
gasto nesse trabalho.
P = W
t
portanto:
[P] =
[W]
[ t]
e, finalmente,
[P] = L2
M T -3

3
EM_V_FIS_001
Massa específica: representa a razão entre ah)
massa de um corpo e o seu volume.
= m
V
portanto:
[ ]=
[m]
[V]
e, finalmente,
[ ] = L -3
MT0
Princípio da
homogeneidade
das equações físicas
Qualquer equação física é homogênea, isto é, a
dimensional do lado direito do sinal de igualdade de-
verá ser sempre igual à dimensional do outro lado.
Observe que, por isso, as operações de produto
ou divisão podem ser feitas com grandezas de di-
mensionais diferentes, como foi visto nos exemplos
anteriores, mas só podemos somar ou subtrair gran-
dezas que possuam a mesma dimensão.
Unidades de medida
Como as grandezas físicas se assemelham aos
substantivos em português, as unidades também se
parecem com os adjetivos: elas qualificam as gran-
dezas. As unidades são agrupadas em Sistemas de
Unidades, definidos em função daquelas grandezas
escolhidas como fundamentais.
Muitas vezes usamos prefixos para aumentar
ou diminuir uma unidade. São eles:
Aumentativos
Nome Símbolo Valor
deca da 101
hecto h 102
quilo k 103
mega M 106
giga G 109
tera T 1012
peta P 1015
exa E 1018
Diminutivos
Nome Símbolo Valor
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
O angström ( Å ) é uma unidade de comprimento
e vale 10 – 10
m.
São sete as grandezas fundamentais do Sistema
Internacional de Medidas (1960), divididas em :
comprimento, unidade:a) metro (m)
massa, unidade:b) quilograma (kg)
tempo, unidade:c) segundo (s)
quantidade de matéria, unidade:d) mol
temperatura termodinâmica, unidade:e) kelvin
(K)
intensidade de corrente elétrica, unidade:f)
ampere (A)
intensidade luminosa, unidade:g) candela (cd)
Vamos definir essas unidades:
O metro é o comprimento do caminho percor-1)
rido pela luz, no vácuo, no intervalo de tempo
igual a 1
299.792.458
s.
O quilograma corresponde à massa do protó-2)
tipo internacional do quilograma-padrão, que
está depositado no Bureau Internacional de
Pesos e Medidas, em Sèvres, França.
O segundo é a duração de 9.192.631.7703)
períodos da radiação correspondente à tran-
sição entre dois níveis hiperfinos do estado
fundamental do átomo do césio 133.
O mol é a quantidade de matéria de um siste-4)
ma que contém tantas entidades elementares
quantos são os átomos contidos em 0,012 kg
de carbono 12.
O kelvin corresponde a5) 1
273,16
da temperatura
termodinâmica do ponto tríplice da água.
O ampère é a corrente elétrica invariável6)
que, mantida em dois condutores retilíneos,
paralelos, de comprimento infinito e de área
de secção transversal desprezível e situados

4
EM_V_FIS_001
no vácuo a um metro de distância um do
outro, produz entre esses condutores uma
força igual a 2 x 10 – 7
newton, por metro de
comprimento desses condutores.
A candela é a intensidade luminosa em uma7)
dada direção, de uma fonte que emite radia-
ção monocromática de frequência 540 x 10 12
Hz e que tem intensidade de energia nessa
direção igual a 1
683
W/sr, onde sr é uma uni-
dade de ângulo sólido, definido a seguir.
Existem, ainda, para o SI, duas unidades su-
plementares, ambas de grandezas derivadas adi-
mensionais:
Radiano (rad), para ângulo plano; definido1)
como o ângulo plano formado por dois raios
de um círculo, tal que o comprimento do arco
de curva compreendido por eles seja numeri-
camente igual ao comprimento do raio.
Esterradiano (sr), para ângulo sólido; definido2)
como o ângulo sólido que, tendo vértice no
centro de uma esfera, subtende na superfície
da mesma uma área igual ao quadrado do
raio da esfera.
O Sistema Internacional antigamente era conhe-
cido como sistema MKS, iniciais das três primeiras uni-
dades; outro sistema muito utilizado é o CGS, em que
as letras representam centímetro, grama, segundo.
Em engenharia o sistema MkgfS ainda é usado,
especialmente nos livros técnicos de origem ameri-
cana e inglesa; suas grandezas fundamentais são o
comprimento, a força e o tempo. A unidade de massa
do MkgfS é a utm (unidade técnica de massa ), tal
que 1 utm 9,81 kg.
As principais unidades mecânicas são:
velocidade1) CGS cm/s ou cm.s -1
MKS m/s ou m.s-1
MkgfS m/s ou m.s-1
Muito usada e fora dos sistemas é o km/h,
tal que 36km/h = 10m/s
aceleração2) CGS cm/s 2
ou cm.s -2
MKS m/s2
ou m.s-2
MkgfS m/s2
ou m.s-2
força3) CGS dyn (dina)
MKS N (newton)
MkgfS kgf (quilograma-força)
energia4) CGS erg
MKS J (joule)
MkgfS kgm (quilogrâmetro)
Muito usadas como energia calorífica: cal e
btu, tal que 1cal = 4,184J e 1 btu 252cal
potência5) CGS erg/s
MKS W (watt)
MkgfS kgm/s
Muito usadas e fora de sistemas : HP e CV,
tal que 1CV 735,5 W e 1HP 1,014CV
massa específica6)
CGS g/cm3
MKS kg/m3
MkgfS utm/m3
Observe que a unidade CGS é muito mais
usada que a unidade MKS (SI)
pressão7) CGS b (bária)
MKS Pa (pascal)
MkgfS kgf/m2
Muito usadas e fora de sistemas: mm de
Hg e atm, tal que:
1atm = 101.325 Pa = 1,01325 . 105
Pa e
1 atm = 760 mm de Hg
Transformações
de unidades
Como foi dito no módulo anterior, uma das ma-
neiras mais corretas de se fazer transformações de
unidades é por intermédio das equações dimensio-
nais. Observe o exemplo:
Qual é a relação entre o J e o erg?
Solução:``
Como são unidades de trabalho, vamos pegar a equação
dimensional de trabalho
[ W ] = L2
M T– 2
e substituir, para cada sistema, as unidades fundamentais:
MKS (SI) J = m 2
.kg.s – 2
CGS erg = cm2
.g.s – 2
Dividindo-se, membro a membro, as duas equações
teremos:
J
erg = m2
cm2
. kg
g
. s-2
s-2
e substituindo os prefixos, já nossos conhecidos, vem
J
erg = m2
(10-2
m)2
. 103
g
g e, portanto, J
erg = m2
10-4
m2
.103
ou
J
erg = 103
10-4 , então J = 107
erg
Fazendo de maneira análoga a relação entre o N e a
dyn, encontraremos N = 10 5
dyn

5
EM_V_FIS_001
Notação científica
A notação científica visa facilitar a escrita de
valores por meio de uma potência de dez. Um número
qualquer n, em notação científica, deverá ser escrito
com a forma:
n = N . 10 m
onde N < 10 e m um inteiro qualquer.
Exemplo:``
o número 34 527 pode ser escrito de várias maneiras:
34 527 = 345,27 . 10 2
34 527 = 34,527 . 10 3
34 527 = 3,4527 . 10 4
Nessas três maneiras, a última apresenta um número
maior que 1 e menor que 10; essa é a notação científica
do número 34.527.
Ordem de grandeza (OG)
A ordem de grandeza (OG) é a comparação de
qualquer número com uma potência inteira de 10; ela
representa uma estimativa e, dentro das finalidades
a que se propõe, é extremamente aceitável.
Como o número n, escrito em notação científica,
já nos oferece uma potência de 10, cabe-nos aproxi-
mar o número N da potência de 10 mais próxima dele,
já que estará compreendido entre 1 e 10.
Precisamos, então, estabelecer uma divisa para
separar os números maiores ou menores que essa
divisa. Das várias médias que a Matemática nos
oferece, usamos aqui a média geométrica.
Vamos apresentar um exemplo:
Imaginemos uma régua, começando em 1 e
terminando em 10.
100
101
1 a b c 10
Admitindo-se que b seja o ponto médio entre 1 e
10, o ponto a estará mais perto de 1 e o ponto c, mais
perto de 10; o ponto b representa a média geométrica
entre 1 e 10, ou seja:
b = 1 x 10 = 10 10 3,162
Como 10 é um número irracional, não existe
nenhum número real que esteja a igual distância
de 1 e de 10 e, portanto, qualquer número N esta-
rá, obrigatoriamente, mais perto de 1 ou de 10; se
tivéssemos feito o ponto b como média aritmética
poderíamos ter um número real que seria equidis-
tante de 1 e de 10.
Podemos observar que 1 é uma potência de 10
(100
) e então nossa régua começa em 100
e termina
em 101
; o termo médio seria 100,5
que pode ser escrito
101/2
ou 10.
Os exercícios cobrando ordem de grandeza são
treinos de observação do cotidiano onde prevalece
sempre o bom senso.
Exemplo``
Determine a ordem de grandeza do número de passa-
geiros em um ônibus lotado.
Solução:``
Cada pessoa tem uma ideia da lotação de um ônibus:
50, 62, 79, 85 etc., passageiros.
Se fizermos as ordens de grandeza desses valores usando
a notação científica, obteremos:
50 5,0 x 10: como 5,0 é maior que 10
( 10 3,1622...) a OG de 50 é 10 2
.
79 7,9 x 10: como 7,9 é maior que 10 a OG de 79
é 10 2
.
85 8,5 x 10: como 8,5 é maior que 10 a OG de 85
é 10 2
.
Como pode ser visto, para qualquer estimativa lógica do
número de passageiros, a resposta será sempre 10 2
; em
questões desse tipo, não se pode confundir as palavras:
observe que um ônibus não é uma kombi, não é um
micro-ônibus, nem é o metrô.
Operações com estimativas
Quando estivermos, em física, operando esti-
mativas deveremos ter o cuidado de, antes de fazer
uma operação, passar essas estimativas para uma
ordem de grandeza.
Exemplo:``
Determinar a ordem de grandeza do número de bati-
mentos cardíacos de um adulto normal, no período de
um ano.
Solução:``
Consideremos duas estimativas, ambas lógicas, 60 e 70
batimentos por minuto. Se fizermos a estimativa vezes
60 minutos, vezes 24 horas, vezes 365 dias para calcular
em um ano:
n60
= 60 x 60 x 24 x 365 = 31 536 000
n70
= 70 x 60 x 24 x 365 = 36 792 000
então 31 536 000 = 3,1536 x 10 7
e como
3,1536 é menor que 10 a OG (n60
) = 10 7

6
EM_V_FIS_001
36 792 000 = 3,6792 x 10 7
e como 3,6792 é maior que
10 a OG (n70
) = 10 8
O erro está na multiplicação da estimativa por valores de
medida (1 h = 60 min , 1 dia = 24 h , 1 ano = 365 dias).
O correto é passar, primeiro, a estimativa para OG e só
então fazer o produto:
OG(60) = 6,0 x 10 = 10 2
OG(70) = 7,0 x 10 = 10 2
e, então,
n60
= 10 2
x 60 x 24 x 365 = 525 600 x 10 2
n70
= 10 2
x 60 x 24 x 365 = 525 600 x 10 2
e, portanto, em ambos os casos, OG (n 60
) = 10 8
e OG
(n70
) = 10 8
Algarismos significativos
Quando fazemos uma medida física, o valor da
grandeza, obtido a partir de uma medição ou de um
cálculo, pode ser expresso sob forma decimal, com
muitos algarismos.
Medir uma grandeza física é compará-la com
outra grandeza de mesma espécie; se a comparação
é entre grandezas de espécies diferentes temos uma
avaliação.
Entende-se algarismo significativo numa
medida física, como cada algarismo que apresenta
individualmente algum significado.
Observe,então,quematematicamente1=1,0000,
porém, fisicamente esses valores são diferentes.
Imaginemos medir o comprimento (c) do corpo
abaixo, usando duas réguas graduais com diferentes
precisões:
0 1 2
cm
cm
0 1 22 4 6 82 4 6 8
c
c
Na primeira medida, como a menor divisão da
régua é um centímetro, temos certeza da leitura 1cm
e "mais alguma coisa"; essa "alguma coisa" pode ser
estimada como 3, pois está aquém do ponto médio
entre 1 e 2 ; essa leitura será, então, 1,3cm, isto é,
1,25 < c < 1,35cm
Na segunda medida, como a menor divisão da
régua é dois milímetros, temos certeza das leituras
1cm e da medida 2mm e "mais alguma coisa"; essa
"alguma coisa" pode ser estimada como 5, pois está
no ponto médio entre 2 e 4; essa leitura será 1,25cm,
isto é, 1,245 < c < 1,255cm.
Dizemos, então, que a medida 1,3cm está ex-
pressa com dois algarismos significativos (2 AS) e a
segunda medida com três algarismos significativos
(3 AS ). Portanto, o número de significativos é dado
pelos algarismos que representam a certeza na
medida e mais o primeiro algarismo duvidoso; esse
duvidoso é obrigatório.
Como pode ser notado, um maior número de al-
garismos significativos indica uma medida com maior
precisão e, portanto, a única maneira de aumentar o
número de algarismos significativos de uma medida
é melhorar o processo de medida.
Se tivermos uma massa 0,03450g, ela apresenta
quatro algarismos significativos (3450); os zeros à es-
querda não são significativos, apenas os da direita.
Se escrevermos esse número usando a potência
de dez ele ficará 3,450 x 10 – 2 e continuará apresen-
tando quatro algarismos significativos, isto é, a po-
tência de dez não altera o número de significativos.
Operações com significativos
Soma e subtração•• : o resultado deve apresen-
tar apenas um algarismo duvidoso.
Exemplo``
Somar os seguintes comprimentos
8,85m, 377mm, 0,353cm e 5,441m colocando na forma
matemática e sublinhando os duvidosos
8, 85 m
0, 377 m
0, 00353 m
5, 441 m
14, 67153 m
O resultado está apresentando 3 duvidosos. Como só
podemos ter no resultado 1 duvidoso, faremos as apro-
ximações: jogando fora o último 3, pela regra de aproxi-
mação, mantemos o 5; jogando fora o 5, passamos o 1
para 2; jogando fora esse 2, mantemos o 7; o resultado,
fisicamente correto, dessa soma é 14,67m; na prática,
como pode ser visto, o resultado tem o menor número de
casas decimais das medidas e não tem nenhuma relação
com o número de significativos das medidas.
Produto e divisão•• : o resultado não pode con-
ter número de significativos maior que o me-
nor número de significativos das medidas.

7
EM_V_FIS_001
Exemplo``
Calcular a área de um retângulo de lados 5,8746m e
7,43m.
Colocando na forma matemática, temos:
5,6746
x 7,43
170238
226984
397222
42,162278
Como a primeira medida tem 5 AS e a segunda medida
tem 3 AS, a resposta só pode conter 3 AS ; fazendo as
aproximações, como no caso anterior, encontramos 42,2
m2
, que é o valor fisicamente correto para essa área.
Verificação da pertinência de equações físicas: pelo1.
princípio da homogeneidade, podemos dizer se uma
equação física pode ou não existir; como exemplo, pe-
gamos uma questão do IME do ano de 1989.
A potência P de uma hélice de avião depende do raio
R da hélice, de sua velocidade angular e da massa
específica do ar .
Um aluno fica em dúvida se a equação correta que liga
essas grandezas é P = K 3
R5
ou P = K 5
R3
, em
que K é uma constante adimensional.
Identifique a equação correta e justifique sua afirmação.
Solução:``
Aplicando o Teorema de Bridgman e dimensionando
[P] = [K] [ ] [R] [ ]
L2
M T - 3
= 1 . (T - 1
) L (M L- 3
)
M L 2
T - 3
= M L - 3
T -
Quanto a M 1 =
Quanto a T – 3 = – = 3
Quanto a L 2 = – 3 = 5
Portanto, a fórmula correta é P = K 3
R 5
e a outra
fórmula não pode existir fisicamente.
Na identificação de grandezas em equações físicas,2.
como aconteceu na seguinte questão da UERJ.
Uma das fórmulas mais famosas deste século é:
E = m c2
SeE temdimensãodeenergiaem demassa,crepresenta
a seguinte grandeza:
força.a)
torque.b)
aceleração.c)
velocidade.d)
Solução:``
Dimensionando,
[ E ] = [ m ] . [ c ] 2
M L 2
T – 2
= M [ c ] 2
ou L 2
T – 2
= [ c ] 2
e extraindo a raiz L T – 1
= [ c ] que possui a mesma
dimensão de velocidade (D).
Na identificação das unidades das grandezas.3.
(PUC) Na análise de determinados movimentos, é
bastante razoável supor que a força de atrito seja
proporcional ao quadrado da velocidade da partícula
que se move. Analiticamente
f = K v 2
A unidade da constante de proporcionalidade K, no
SI, é:
a)
kg m2
s2
b)
kg s
m2
c)
kg m
s
d) kg
m
e)
kg
s
Solução:``
Dimensionando,
[ f ] = [ K ] . [ v ] 2
M L T – 2
= [ K ] . ( L T – 1
) 2
ou
M L T – 2
= [ K ] . L 2
T – 2
e, portanto,
[ K ] = M L – 1
, isto é, [ K ] = M / L
Como no SI, M é expressa por kg e L por m,vem
U(K)SI
= kg / m (D).
(Unificado) Um aluno procurou seu professor de geo-4.
metria para sanar uma dúvida sobre um problema no
qual havia um triângulo de lados a, b e c e dois pontos
P e Q, cuja distância era pedida. O aluno não lembrava
a posição do ponto P, embora soubesse com certeza
que a resposta era:
a (b + c) + bc (1 + 3)
a + b
a)
b) a 2
– 2bc
2

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EM_V_FIS_001
ab 3
4(a + b + c)
c)
ad) 2
+ 2b + c
a (b2
+ 2c2
) + b 3
a2
+ b2
e)
Solução:``
Observando-se as dimensionais:
L x L + L x L
L + L
a) = L ( comprimento )
L 2
– L . L = L2
1
b) L2
(área)
L . L
L + L + Lc) = L(comprimento)
Ld) 2
+ L + L impossível
L(L 2
+ L2
)+L
L 2
+ L 2
e)
impossível
(Unicamp) Quando um recipiente aberto contendo um5.
líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento
ondulatório na superfície do líquido. Para pequenos com-
primentos de onda , a velocidade de propagação v de
uma onda na superfície livre do líquido está relacionada
à tensão superficial conforme a equação:
v = 2 onde é a densidade do líquido (massa
específica). Essa equação pode ser utilizada para
determinar a tensão superficial, induzindo-se na superfície
dolíquidoummovimentoondulatóriocomumafrequência
conhecida e medindo-se o comprimento de onda .
Quaissãoasunidadesdetensãosuperficial( )noSistema
Internacional de Unidades?
Solução:``
Dimensionando [v]2
= [2][ ][ ]
[ ][ ]
L 2
T – 2
=
[ ]
ML-3
L
ou [ ] = M T – 2
, portanto,
U( ) SI
= kg . s – 2
ou kg/s 2
; se multiplicarmos essas
unidades por m
m
elas não se alteram e ficaríamos com
U( ) SI
= kg m
m
s – 2
ou kg m/m s 2
; como
kg m s – 2
= N, então U( ) SI
= N/m
(FUVEST-SP) No Sistema Internacional de Unidades6.
(SI), as sete unidades de base são o metro (m), o qui-
lograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A),
a candela (cd) e o mol (mol).
A lei de Coulomb da eletrostática pode ser representada
pela expressão:
F = 1
4 0
Q1
Q2
r2 onde 0
é uma constante fundamental
de física e sua unidade, em função das unidades de
base do SI, é:
ma) – 2
s 2
A 2
mb) – 3
kg – 1
A 2
mc) – 3
kg – 1
s 4
A 2
m kg sd) – 2
Solução:``
Em eletricidade definimos a intensidade de corrente
elétrica como a razão entre a carga elétrica e o intervalo
de tempo, isto é, i =
Q
t
ou Q = i Δ t ; dimensionan-
do a Lei de Coulomb, vem [F] =
[1]
[4 ][ 0
]
[Q1
Q2
]
[r]2
ou
[ 0
] = 1
LMT -2
I2
T2
L2
e, portanto, [ 0
] = L -3
M– 1
T 4
I 2
;
substituindo-se pelas unidades SI teremos:
[ 0
] = m -3
kg – 1
s 4
A 2
Letra C
(UFRGS) Ao resolver um problema de física, um estu-7.
dante encontra sua resposta expressa nas seguintes
unidades: kgm2
/s3
. Essas unidades representam:
força.a)
energia.b)
potência.c)
pressão.d)
quantidade de movimento.e)
Solução:``
U(G)SI
= kgm2
/s3
[G] = L 2
M T – 3
; como
[Po] = L 2
M T – 3
concluímos que essa grandeza é a
potência.
(ESFAO) Um meteorologista decide fazer a leitura, por8.
meio de um barômetro, da pressão atmosférica no alto
de uma montanha; ele sabe que 1atm corresponde a,
aproximadamente, 105
Pa, mas o barômetro que possui
está graduado em bárias. Determine, então, para ajudar
o meteorologista, a relação entre pascal e bária.
Solução:``
Como são unidades de pressão, vamos pegar a equação
dimensional de pressão.
A pressão é definida como a razão entre a força normal
exercida sobre uma área e o valor dessa área, isto é,
Pr = F
A
ou [Pr] =
[F]
[A]
, e substituindo vem [Pr] = LMT-2
L2 ,
ficando [ Pr ] = L – 1
M T – 2
Vamos agora substituir, para cada sistema, as unidades
fundamentais:

9
EM_V_FIS_001
MKS (SI) Pa = m – 1
. kg . s – 2
CGS b = cm– 1
. g . s – 2
Dividindo-se, membro a membro, as duas equações,
teremos:
Pa
b
= m-1
cm-1
. kg
g
e substituindo os prefixos,vem
Pa
b = m-1
(10-2
m)-1
. 103
g
g , portanto, Pa
b
= m-1
10-2
m-1
.103
ou
Pa
b
=
10-2
103
dando então Pa = 105
b
(Olimpíada de Física - RJ) Qual a ordem de grandeza do9.
número de vezes que o coração humano bate durante
a vida de um indivíduo ?
10a) 10
10b) 9
10c) 8
10d) 7
10e) 6
Solução:``
Estimando o tempo de vida de um indivíduo em 70 anos
OG(70) = 7,0 x 10 = 10 2
Estimandoonúmeromédiodebatimentoscardíacoscomo
60 batimentos por minuto OG(60) = 6,0 x 10 = 10 2
Então, durante a vida do indivíduo, teremos:
V = OG(70) x OG(60) x 60 x 24 x 365 ou
V = OG(70) x OG(60) x 525 600 e, portanto,
V = OG(70) x OG(60) x 5,25600 x 10 5
e como
5,256 > 10 V = OG(70) x OG(60) x 10 x 10 5
OG(V) = 10 2
x 10 2
x 10 6
, e OG(V) = 10 10
Letra A
(Unirio) Foram feitas as seguintes medidas aleatórias:10.
3,28 x 10I. 3
m2
2,89 x 10II. 2
g
8,21 x 10III. 4
cm
0,00006mIV. 3
0,0091mV. 2
As ordens de grandezas são, respectivamente :
10a) 3
;102
;104
;10– 5
;10– 4
10b) 2
;102
;102
;10– 5
;10– 4
10c) 1
;101
;101
;10– 5
;10– 4
10d) 3
;102
;105
;10– 5
;10– 4
10e) 4
;102
;105
;10– 4
;10– 2
Solução:``
Como 3,28 >I. 10 OG(I) = 104
m 2
Como 2,89 <II. 10 OG(II) = 102
g
Como 8,21 >III. 10 OG(III) = 105
cm
Como 0,00006 = 6 x 10IV. – 5
e sendo 6 > 10
OG(IV) = 10 – 4
m 3
Como 0,0091 = 9,1 x 10V. – 3
e sendo 9,1 > 10
OG(V) = 10 – 2
m 2
Letra E
(OBF) Uma caravana de imigrantes do Movimento dos11.
Sem Terra resolve sair em caminhada a partir de São
Paulo para fazer um protesto em Brasília. Obtenha uma
estimativa da ordem de grandeza do número de passos
necessários para completar essa caminhada, sabendo
que a distância de São Paulo a Brasília, ao longo do
caminho escolhido é de, aproximadamente, 1 000km.
10a) 12
10b) 9
10c) 6
10d) 3
10e) 0
Solução:``
O número de passos será obtido dividindo-se a distância
total da viagem pela distância percorrida em cada passo,
ou seja,
n =
S total
S passo
; estimando-se Δ S passo
como sendo 60 cm,
teremos OG(passo) = 60 x 10 – 2
m = 6 x 10 x 10 – 2
m e
como 6 > 10, OG(passo) = 10 x 10 x 10 – 2
m ou
OG(passo) = 10 0
m ; estimando-se Δ S total
como sendo
1 000km, teremos OG(total) = 103
x 103
m = 10 6
m;
então OG(n) = 106
100
então OG(n) = 10 6
Letra C
(PUC) Um certo recipiente contém 5,0 moles de H12. 2
.
Após um certo tempo, verifica-se que, devido a uma
pequena rachadura, 8,0 x 10 10
moléculas de H 2
esca-
param desse recipiente. Sabendo-se que o número de
Avogadro é 6,0 x 1023
moléculas, a ordem de grandeza
do número de moléculas no interior do recipiente no
instante em que se notou a rachadura é de:
10a) 11
10b) 12
10c) 13
10d) 23
10e) 24

10
EM_V_FIS_001
Solução:``
1 mol 6,0 x 10 23
5 mols x x = 30,0 x 10 23
n = 30,0 x 10 23
– 8,0 x 10 10
ou
n = 10 10
(30,0 x 10 13
– 8,0) e, portanto,
n = 10 10
x 30,0 x 10 13
= 30,0 x 10 23
Como 30 = 3 x 10 e 3 < 10
OG(n) = 10 24
Letra E
(Cesgranrio) Para conhecer a altura de um prédio de13.
quatro andares, um estudante mede uma só vez, com um
cronômetro cuja sensibilidade é o décimo de segundo, o
tempo de queda até o solo, de uma bilha de aço largada
do topo do prédio com velocidade inicial nula. Qual é o
número máximo de algarismos significativos com que a
altura obtida poderá ser fornecida ?
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
Solução:``
A altura do prédio será estimada: como um andar tem,
em média, 3 metros, a altura da queda será de 12m; a
altura de um corpo que cai (velocidade inicial nula) sob
ação exclusiva da aceleração da gravidade é dada por h =
gt 2
2
; considerando-se g = 10ms – 2
e calculando o tempo
de queda, teremos t 2
= 2 x 12
10
ou t 2
= 2,4 ; extraindo-se
essa raiz, teremos t = 1,55s ; desde que a sensibilidade
do cronômetro é a do décimo de segundo só consegui-
remos ler, nesse cronômetro, 1,5s ; então, o tempo será
apresentado com dois algarismos significativos e como
estamos fazendo operações de produtos e divisões, a
regra nos diz que a resposta não pode conter número
de significativos maior que a menor significação das
medidas; portanto, a altura não poderá ser apresentada
com mais de dois algarismos significativos.
(Unirio) Numa experiência com um móvel, foram anota-14.
dos 4,163 x 10m para a distância e 3,38s para o tempo.
No cálculo da velocidade média, uma calculadora de oito
dígitos apresentou 12,316568 (m/s) como resultado.
De acordo com a precisão das medidas e utilizando o
SI (Sistema Internacional) a velocidade média deve ser
anotada como de:
1,231657 x 10m/sa)
1,232 x 10m/sb)
1,23 x 10m/sc)
1,232 x 10d) 2
m/s
1,23 x 10cm/se)
Solução:``
O cálculo da velocidade média será feito pela divisão da
distância percorrida pelo tempo gasto, isto é:
vm
= distância
tempo ; substituindo pelos valores apresentados
teremos: vm
= 4,163 x 10
3,38 ; como ambas as medidas con-
têm três algarismos significativos, a resposta não pode
conter mais de três algarismos significativos, pois a regra
a ser usada é a dos produtos e divisões . A opção correta
é a letra C , porque as opções A, B e D têm mais de três
AS e a opção E deveria ser 1,23 x 102
cm/s.
Letra C
(ITA) Uma bola de 1,0 x 1015. – 1
kg tem velocidade V , de
módulo 11m/s no instante em que é golpeada por um
bastão e obrigada a voltar com uma velocidade, em
módulo, igual à anterior. Supondo que o bastão esteve
em contato com a bola durante 3 x 10– 2
s, calcular o valor
médio da força exercida pelo bastão sobre a bola.
73,3Na)
3,7 x 10Nb)
36,6Nc)
3,67 x 10Nd)
7 x 10Ne)
Solução:``
Um aluno, conhecedor de dinâmica sabe que o impulso
de uma força é igual à variação da quantidade de movi-
mento, ou seja, I = Q; o impulso é a grandeza definida
como o produto da força pelo intervalo de tempo em
que ela atua I = F x t e a quantidade de movimento é
definida pelo produto da massa pela velocidade Q= m x v
, portanto, F x t = m v; como v significa a diferença
vetorial entre a velocidade final e a inicial, ele teria
v = v final
- v inicial
v inicial
, ou seja, v = 22m/s ; fazendo
F = m x I v I
t e substituindo pelos valores ele teria então
3 x 10-2
1,0 x 10-1
x 22F = = 73,33333...
Como o tempo foi apresentado com apenas um algarismo
significativo, nota-se que não era preciso fazer conta algu-
ma; sabendo que esse cálculo envolvia produtos e divisões,
a única resposta fisicamente correta seria a letra E.
(UERJ) No rótulo de um vidro de mostarda, à venda16.
nos supermercados, obtêm-se as seguintes informa-
ções: massa de 536g e volume de 500ml. Calculando a

11
EM_V_FIS_001
massa específica do produto em unidades do Sistema
Internacional, com o número correto de algarismos
significativos, encontra-se:
1,07 x 10a) 3
kgm– 3
1,1 x 10b) 3
kgm– 3
1,07 x 10c) 6
kgm– 3
1,1 x 10d) 6
kgm– 3
Solução:``
Vamos passar inicialmente os dados do exercício para
as unidades SI .
m = 536g = 536 x 10 – 3
kg
V = 500ml = 500 x 10 – 3
l e como 1l = 10 – 3
m 3
V = 500 x 10 – 3
x 10 – 3
m 3
= 500 x 10 – 6
m 3
Sendo a massa específica a razão entre a massa e o
volume, podemos escrever = m
V
e substituindo pelos
valores dados já passados para as unidades SI, teremos:
= 536x10-3
500x10-6 ou = 1,07 x 10 3
kg/m– 3
.
Como as medidas foram apresentadas com três alga-
rismos significativos e realizamos operação de divisão,
a resposta deve ser apresentada com três algarismos
significativos.
Letra A
(VEST-RJU) As grandezas físicas podem ser classifica-1.
das em escalares e vetoriais. A alternativa que contém
apenas grandezas vetoriais é :
empuxo / aceleração / pressão.a)
empuxo / impulso / aceleração.b)
trabalho mecânico / impulso / pressão.c)
potencial elétrico / trabalho mecânico / pressão.d)
potencial elétrico / trabalho mecânico / aceleração.e)
(EMC-RJ) Dadas as fórmulas dimensionais :
La) 0
M 0
T 0
L Mb) 0
T – 1
L Mc) 0
T – 2
Ld) 2
M T – 3
Le) 0
M 0
T – 1
Indiquepelaletracorrespondente,aqueserelacionacom
o resultado de cada uma das seguintes expressões
Quociente do espaço percorrido por um móvel pelo2.
tempo.
Quociente do peso de um corpo pela respectiva massa.3.
Quociente do ângulo de rotação de um raio luminoso4.
pela respectiva fração de tempo.
(UFF) Uma certa grandeza tem para expressão G = a5.
m.t2
v
. cos , onde a = aceleração, m = massa, t = tempo
e v = velocidade. A equação dimensional de G é :
La) 0
M T
L Tb) 0
M
Lc) –1
T2
M0
Ld) 2
T –1
M 2
Le) 0
M T –1
(PUC) A frequência de oscilações de um pêndulo sim-6.
ples depende do seu comprimento L e da aceleração g
da gravidade. Uma expressão dimencionalmente correta
para o seu período é :
a)
L
g
b)
g
L
c) L
g
d) L
g
e) g
L
(Cesgranrio) A velocidade de propagação de uma onda7.
numa corda homogênea depende de sua massa (M)
, de seu comprimento (L) e da tensão (F) a que está
submetida. Em função destas grandezas, essa velocida-
de pode ser expressa por :
a) M
LF
b) FL
M
c)
FL
M
d)
M
LF
e)
MF
L

12
EM_V_FIS_001
(Cesgranrio) São propostas a seguir três expressões8.
literais para a velocidade v de uma partícula em deter-
minadas situações experimentais :
v = kI. 1
R1
R2
+ 1
v = kII. 2
( R 1
+ R 2
+ 1)
v = kIII. 3
( R 1
x R 2
)
Os símbolos R1
e R2
representam comprimentos.
Independentemente das dimensões físicas dos
coeficientes k1
, k2
e k3
, qual (quais) das expressões
acima está (estão), com toda a certeza, errada
(erradas)?
somente I.a)
somente II.b)
somente III.c)
I e II somente.d)
I , II , III.e)
(Cesgranrio) Na expressão seguinte,9. x representa uma
distância, v uma velocidade, a uma aceleração, e k
representa uma constante adimensional.
x = k
vn
a
Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão
seja fisicamente correta?
1
3
a)
1
2
b)
1c)
2d)
3e)
(FCM-UEG) Dada a equação W =10. 1
2
K 2
em que
W é trabalho e ω a velocidade angular, a fórmula di-
mensional de K é :
M La) 2
T 0
Mb) 2
L 2
T 2
M Lc) 2
T 2
Md) 2
L T
Me) 2
L 2
T
(FCM-UEG) A expressão11. em que P é a pressão
exercida por um líquido, g é a aceleração da gravidade
e d a respectiva massa específica, tem significado:
indeterminável.a)
de uma energia.b)
de uma força.c)
de um ângulo.d)
de uma altura.e)
(UFF) A força que atua sobre um móvel de massa12. m,
quando o mesmo descreve, com velocidade constante
v, uma trajetória circular de raio R é dada por
onde g representa a aceleração da gravidade. Para
que haja homogeneidade, a unidade de a no Sistema
Internacional de Unidades é :
m sa) – 1
m sb) – 2
m sc)
m sd) 2
me) 2
s
(13. FAC MED. – UFRJ) Sabe-se que a dimensão de um
núcleo atômico é da ordem de 10–5
Å. Desejando-se
expressar esse valor em submúltiplos do metro estabe-
lecidos pelo SI, deve-se escrever :
1fma)
1nmb)
10c) –5
nm
10d) –5
fm
nenhuma das citadas anteriores está certa.e)
(14. FAC MED. – UFRJ) Considere a massa de uma bac-
téria isolada como sendo 5 x 10–13
g. Admitindo-se que
a densidade dessa bactéria seja igual a 1, podemos
calcular que, para perfazer um volume total de 1cm 3
,
serão necessárias :
1 000 bactérias.a)
2 x 10b) 12
bactérias.
2 x 10c) 6
bactérias.
5 x 10d) 13
bactérias.
10e) 13
bactérias.
(Unirio) Para o movimento de um corpo sólido em conta-15.
to com o ar foi verificado experimentalmente que a força
de atrito, Fat
é determinada pela expressão Fat
= k .v2
, na
qual v é a velocidade do corpo em relação ao ar e k, uma
constante. Considerando a força medida em newtons, N ,
e a velocidade em m/s, a unidade da constante k será :
a)
Ns2
m2
N sb) 2
N sc)
d)
N
m2
N me)

13
EM_V_FIS_001
(PUC) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma16.
caixa d’água cilíndrica com 2m de diâmetro e 70cm de
altura?
1 250a)
2 200b)
2 450c)
3 140d)
3 700e)
(Cesgranrio) A fórmula abaixo relaciona a dilatação linear17.
de uma barra (de ferro, por exemplo) em função de seu
comprimento e da variação de temperatura T por ela
sofrida = T
O coeficiente de dilatação linear α é expresso em :
ma) 3
K
m Kb) – 1
mc) – 2
K
md) – 2
Ke) – 1
(EFOMM) Os símbolos das unidades fundamentais do18.
Sistema Internacional de Unidades são:
A , K , cd , s , kg , ma)
A , C , cd , s , kg , mb)
A , K , cd , S , kg , mc)
C , K , cd , s, kg , md)
A , K , N , s , kg , me)
(Cesgranrio) No19. SI, a constante universal dos gases
perfeitos (R) , é expressa em :
a)
atml
mol k
b)
cal
go
C
c)
J
kg K
d)
J
mol k
e)
J
kg
(Cesgranrio) O fumo é comprovadamente um vício20.
prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização
Mundial da Saúde, um fumante médio, ou seja, aquele
que consome cerca de 10 cigarros por dia, ao chegar à
meia-idade terá problemas cardiovasculares. A ordem
de grandeza do número de cigarros consumidos por
esse fumante durante 30 anos é de :
10a) 2
10b) 3
10c) 4
10d) 5
10e) 6
(PUC ) A ordem de grandeza de 15% do número de21.
mulheres brasileiras é :
10a) 4
10b) 5
10c) 6
10d) 7
10e) 8
(Associado) Uma partida de vôlei masculino, no último22.
Campeonato, teve duração de 2 horas e 35 minutos. A
ordem de grandeza da partida, em segundos, foi de :
10a) 1
10b) 2
10c) 3
10d) 4
10e) 5
(Unirio) Os resultados finais do segundo turno da eleição23.
à Prefeitura do Rio de Janeiro mostraram que 104 119
votos separam o vencedor da perdedora. Qual a ordem
de grandeza desse número de votos ?
1,04119 × 10a) 5
1,041 × 10b) 5
1,0 × 10c) 5
10d) 5
10e) 6
(Cesgranrio) Para se percorrer certo trecho de uma24.
estrada pavimentada, gastam-se, em média, duas horas
e meia. O comprimento do trecho é da ordem de :
10a) 2
m
10b) 3
m
10c) 4
m
10d) 5
m
10e) 6
m
(Cesgranrio) A distância da Terra ao Sol é cerca de25.
cento e cinquenta milhões de quilômetros. A ordem de
grandeza dessa distância, expressa em km, é :
10a) 4
10b) 5
10c) 6

14
EM_V_FIS_001
10d) 7
10e) 8
(Cesgranrio) Qual a ordem de grandeza do número de26.
segundos contidos em um mês ?
10a) 3
10b) 4
10c) 5
10d) 6
10e) 7
(Cesgranrio) Qual é a ordem de grandeza, em volts, da27.
tensão disponível nas tomadas da rede elétrica de uma
residência ?
10a) 0
10b) 1
10c) 2
10d) 3
10e) 4
(PUC) Um elevador tem capacidade máxima para 2028.
pessoas. Qual a ordem de grandeza, em kg, da massa
total que ele pode transportar?
(Cesgranrio) No decorrer de uma experiência, você29.
precisa calcular a soma e a diferença dos comprimentos
de dois pedaços de fio de cobre. Os valores desses
comprimentos são, respectivamente, 12,50cm e 12,3cm,
medidos com instrumentos de diferentes precisões. Qual
das opções oferecidas abaixo expressa a soma e a dife-
rença calculadas, com o número correto de algarismos
significativos?
soma (cm) diferença (cm)
24,60 0,20a)
24,8 0,2b)
24,8 0,200c)
25 0,2d)
24,8 0,20e)
(EMC) Quantos algarismos significativos tem o número30.
0,0031400 × 102
?
8a)
10b)
3c)
5d)
7e)
(Cesgranrio) O modo mais correto de escrever o número31.
1 650 000 em notação científica é :
165 × 10a) 3
16,5 × 10b) 6
1,7 × 10c) 6
1,6 × 10d) 6
1,65 × 10e) 6
(CESCRANRIO) Deseja-se medir a massa de um cubo32.
de platina de 1,0 x 102
cm de aresta e tendo massa es-
pecífica de 2,145 x 104
kg/m3
. Qual o valor fisicamente
correto para essa massa, em kg ?
2,145 x 10a) 2
2,1b)
2,15 x 10c)
2,145 x 10d) 3
2,2 x 10e) 4
(Cesgranrio) Um cubo de alumínio de 3,0cm de aresta33.
tem massa de 73g. A massa específica do alumínio, em
g/cm3
, expressa-se como:
2,703703a)
2,704b)
2,70c)
2,7d)
3e)
(EMC) Ao transformarmos 0,50 minutos em horas34.
obtemos
8,3 × 10a) – 3
h
0,083 hb)
0,8 × 10c) – 3
h
83 × 10d) – 3
h
0,008 h.e)
(Cesgranrio) A massa de uma caneta esferográfica,35.
com a carga completa, é 7,00g. Depois da carga ter
acabado a massa da caneta (medida com balança de
maior sensibilidade) é 6,54213g. Considerando-se as
medidas efetuadas, a massa da tinta contida na caneta
quando nova era:
0,45787ga)
0,4578gb)
0,458gc)
0,46gd)
0,5ge)

15
EM_V_FIS_001
(PUC) Um estudante realizou no laboratório de sua36.
escola uma experiência para a determinação do calor
específico de um metal. Tendo anotado todos os dados,
ele fez as contas com uma calculadora eletrônica de oito
dígitos, encontrando o resultado : 0,0320154 , que seria
o calor específico procurado em cal/g °C. No entanto,
da análise de sua experiência, o estudante sabe que
deve expressar o seu resultado com três algarismos
significativos. Assim fazendo, ele deve escrever :
0,03 cal/g °Ca)
0,032 cal/g °Cb)
0,0320 cal/g °Cc)
0,03201 cal/g °Cd)
0,03202 cal/g °Ce)
(ITA) A velocidade de uma onda transversal em uma1.
corda depende da tensão F a que está sujeita a corda,
da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo
uma análise dimensional, concluímos que a velocidade
poderia ser dada por :
a)
b)
c)
d)
e)
(IME) Suponha que a velocidade de propagação2. v de
uma onda sonora dependa somente da pressão P e da
massa específica μ, de acordo com a expressão:
v = Px
μy
.
Use a equação dimensional para determinar a expressão
da velocidade do som, supondo que não exista constante
adimensional entre essas grandezas.
(IME) Seja a equação T = 2M3. a
Kb
Lc
, onde T é o tempo,
M é a massa, K é e L é comprimento.
Para que a equação seja dimensionalmente homogênea,
determine os valores de a, b e c.
(IME) As transformações politrópicas dos gases per-4.
feitos são regidas pela equação PVn
= K, onde P é a
pressão do gás, V o seu volume e n e K são constantes.
Determine o valor de n para que a constante K tenha a
dimensional de trabalho.
(ITA) Os valores de5. x, y e z para que a equação (força)x
(massa)y
= (volume) (energia)z
seja dimensionalmente
correta são, respectivamente :
(– 3, 0, 3)a)
(– 3, 0, – 3)b)
(3, – 1, – 3)c)
(1, 2,–1)d)
(1, 0, 1)e)
(Fuvest) Um estudante está prestando um concurso6.
e não se lembra da fórmula correta que relaciona o
módulo V da velocidade de propagação do som com
a pressão P e a massa específica ρ (kg/m3
), num gás.
No entanto, se recorda de que a fórmula é do tipo
V = C , onde C é uma constante adimensional.
Analisando as dimensões (unidades) das grandezas
físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes
e são:
a) α = 1, β = 2
b) α = 1, β = 1
c) α = 2, β = 1
d) α = 2, β = 2
e) α = 3, β = 2
(UFF) A potência7. P segundo a qual um catavento
transforma a energia cinética do vento em outra forma
utilizável de energia depende, segundo os especialistas,
do raio r de suas pás, da densidade absoluta do ar e
da velocidade v do vento.
Sendo k uma constante adimensional, a expressão
que mostra corretamente a dependência de P com r,
e v é:
P = k ra) ρ 2
v 3
P = k rb) ρ 3
v 2
P = k rc) 2
ρ v 3
P = k rd) 2
ρ 3
v
P = k re) 3
ρ v 2
(MACK) Considerando as grandezas físicas8. A e B de
dimensões respectivamente iguais a MLT–2
e L2
, onde M
é dimensão de massa, L é dimensão de comprimento
e T é dimensão de tempo, a grandeza definida por A x
B–1
tem dimensão de :
potência.a)
energia.b)
força.c)
quantidade de movimento.d)
pressão.e)

16
EM_V_FIS_001
(MACK) Na equação dimensionalmente homogênea9.
x = a t2
– b t3
, em que x tem dimensão de comprimento
(L) e t tem dimensão de tempo (T), as dimensões de a
e b são, respectivamente :
LT e LTa) –1
Lb) 2
T 3
e L–2
T–3
LTc) –2
e LT–3
Ld) –2
T e T –3
Le) 2
T3
e LT–3
(Fac. Med. - UFRJ) Deseja-se determinar a lei que rege10.
a medida da potência efetiva de um motor térmico por
meio de um freio de Prony. A lei é da forma P = k a x
Q y
C z
, onde P é a potência efetiva do motor e Q é a
força aplicada à alavanca do freio, de comprimento C,
e x, y e z são diferentes de zero. Aplicando-se a análise
dimensional verifica-se que :
sendoa) k adimensional, a é dimensionalmente uma
força.
sendob) k adimensional, a é dimensionalmente uma
velocidade.
a expressão para a lei procurada éc) .
kd) é um número inteiro e positivo, cujo valor, para ser
conhecido, prescinde de dados experimentais.
sendo a dimensão dee) k igual a L0
M0
T0
, a é dimen-
sionalmente igual à frequência.
(UFRJ) O vertedouro de uma represa tem uma forma11.
triangular, conforme a figura abaixo. Um técnico quer
determinar empiricamente o volume de água por uni-
dade de tempo que sai pelo vertedouro, isto é, a vazão.
Como a represa é muito grande, a vazão não depende
do tempo. Os parâmetros relevantes são: h, a altura do
nível de água medida a partir do vértice do triângulo,
e g a aceleração da gravidade local. A partir dessas
informações, o técnico escreve a seguinte fórmula para
a vazão Q :
Q = Chx
gy
onde C é uma grandeza adimensional.
Calcule os valores dos expoentes x e y para que Q tenha
dimensão de vazão .
(ITA) Em determinadas circunstâncias verifica-se que12.
a velocidade V das ondas na superfície de um líquido
dependem da massa específica e da tensão superficial τ
do líquido, bem como do comprimento de onda , das
ondas. Nesse caso, admitindo-se que C é uma constante
adimensional, pode-se afirmar que :
a)
V = Cb) τ ρ λ
Cc) ρλλ
d)
A velocidade é dada por uma expressão diferentee)
das mencionadas.
Obs.: tensão superficial possui dimensão de força
dividida por perímetro
(UFF) Considere a expressão:13.
onde : z - energia
m - massa
r - distância
Para que a homogeneidade da expressão seja
garantida, as grandezas x e y devem ser medidas no
SI, respectivamente, em:
a)
kgm4
s2
, kgm2
s2
b)
kgN
s
, kg2
Nm2
c)
N2
m
s
, Nm2
kg
d)
Nm
s2
, Nm
kg2
e)
kgm2
s
, m3
kgs2
(Cesgranrio) A lei de Newton para gravitação estabelece14.
que duas partículas de massas m 1
e m 2
, separadas
por uma distância r se atraem com uma força f , dada
por :

17
EM_V_FIS_001
onde G é uma constante denominada constante
universal de gravitação. A unidade SI de G é :
a)
b)
c)
d)
e)
(PUC) O pêndulo de um relógio cuco faz uma oscilação15.
completaemcadasegundo.Acadaoscilaçãoopesodesce
0,02mm. Em 24 horas, o peso se desloca, aproxima-
damente :
1,20ma)
1,44mb)
1,60mc)
1,73md)
1,85me)
(Unirio) Na resolução de problemas de Física, é sempre16.
necessário verificar a coerência entre as unidades de
medida antes mesmo de partir para a solução.
Sabendo-se que, na expressão P =
Zv2
2
, P é a pressão
e v a velocidade e que ambas estão medidas de acordo
com o Sistema Internacional de Medidas (SI), marque a
opção que representa corretamente a unidade de Z.
a)
kg
m
b)
kg
m2
c)
kg
m3
d)
kg2
m
e)
kg2
m3
(Cesgranrio) Uma barra metálica cilíndrica, de compri-17.
mento L e área de secção reta A, tem sua superfície
lateral isolada termicamente; suas bases estão em
contato térmico com dois grandes reservatórios de água
mantidos, respectivamente, às temperaturas constantes
T1
e T2
, com T2
> T1
.
temperatura T1
A quantidade Q de calor, transferida pela barra do
reservatório quente (T2
) para o reservatório frio (T1
), no
intervalo de tempo t , é dada pela expressão:
Q = k (T2
- T1
) ∆ t,
onde k é a chamada condutividade térmica do metal de
que é feito a barra. A unidade de k , no SI, é :
a)
cal
ms
b)
cal
m3
s
c) W
mK
d)
J
mK
e)
W
m3
K
(UFF) Na equação18. as letras repre-
sentam grandezas físicas como segue :
F – força
– massa específica
v – velocidade
g – aceleração
h – comprimento
Assim, a grandeza é medida, no SI, em :
Na)
mb) – 1
mc) 2
d)
m2
s2
e)
kg
m3
(Fuvest) Um conhecido autor de contos fantásticos19.
associou o tempo restante de vida de certa personagem
à duração de escoamento da areia de uma enorme am-
pulheta. A areia escoa uniforme, lenta e inexoravelmente,
à razão de 200 gramas por dia. Sabendo-se que a ampu-
lheta comporta 30kg de areia e que 2/3 do seu conteúdo
inicial já se escoaram, quantos dias de vida ainda restam
à personagem?

18
EM_V_FIS_001
100a)
50b)
600c)
2 000d)
1 000e)
(Unificado) Centrifugador é um aparelho utilizado para20.
separar os componentes de uma mistura, a ela imprimin-
do um movimento de rotação. A sua eficiência (G) é uma
grandeza adimensional, que depende da frequência do
movimento de rotação (f) e do seu raio (r). Sendo esta
eficiência definida por G = K r f2
, então, a constante K,
no Sistema Internacional, será:
adimensionala)
expressa em mb) – 1
expressa em mc) – 1
s 2
expressa em m sd) – 2
expressa em se) 2
(Fund. Carlos Chagas) Efetuando-se a separação de 1mg21.
de polônio, por espectroscopia de massa, detectou-se
até a total desintegração da amostra 3 x 1018
, partículas
alfa emitidas pelos átomos de polônio. Supondo que
cada átomo emita uma partícula somente, a massa de
um átomo de polônio é , mais aproximadamente, dada
pelo valor seguinte expresso em miligramas:
3 x 10a) – 20
3 x 10b) – 19
3 x 10c) – 27
3 x 10d) – 18
3 x 10e) – 16
(UFF) A quantidade de calor22. Q transmitida para o ar
durante o tempo t através da superfície aquecida de um
ferro de passar roupa de área A é dada por :
Q = h t A (θ – θ0
)
onde éatemperaturadasuperfícieaquecidadoferro, 0
é
atemperatura doar, héa constantede proporcionalidade
denominada coeficiente de transferência de calor.
A unidade da constante h no SI pode ser expressa por:
W ma) – 1
K – 1
J mb) – 2
K – 1
W mc) – 2
K – 1
W md) – 1
s – 1
J me) – 2
s – 1
(UFF) A memória de um computador armazena dois23.
milhões de unidades de informação. Uma calculadora
tem capacidade de armazenar 0,1% desse valor.
A ordem de grandeza do número de unidades de
informação da memória dessa calculadora é de :
10a) 3
10b) 4
10c) 5
10d) 6
10e) 7
(Unirio) Cada exemplar de um jornal é lido, em média,24.
por três pessoas. Num grupo de 7 500 leitores, a ordem
de grandeza da quantidade de exemplares necessários
corresponderá a :
10a) 0
10b)
10c) 2
10d) 3
10e) 4
(Cesgranrio) Se fosse possível contar molécula por25.
molécula de uma amostra de um determinado gás e se
essa contagem fosse efetuada à frequência de 1MHz , a
ordem de grandeza para o tempo gasto na contagem das
moléculas contidas em um mol desse gás seria de:
10a) 36
anos.
10b) 10
anos.
1 ano.c)
1 mês.d)
10 dias.e)
(UERJ) Para se obter 1mol de qualquer substância, é26.
necessário reunir, aproximadamente, 6 x 1023
moléculas.
Deixa-se 1mol de água (18g) numa vasilha exposta ao
Sol. Algum tempo depois, verifica-se que se evapora-
ram 3g de água. A ordem de grandeza do número de
moléculas de água restantes na vasilha é:
10a) 24
10b) 22

19
EM_V_FIS_001
10c) 20
10d) 18
10e) 16
(PUC) Qual a ordem de grandeza, em kg, da massa27.
d’água contida uma banheira na qual um adulto se banha
totalmente coberto pela água?
(PUC) A distância da Terra à Lua é de 384 mil quilô-28.
metros. Qual é a ordem de grandeza, em segundos, do
tempo que a luz leva para percorrer essa distância ?
(c = 3,00 x 108
m/s)
10a) – 6
s
10b) – 3
s
10c) 0
s
10d) 1
s
10e) 3
s
(Cesgranrio) Qual é a ordem de grandeza, em kWh, do29.
consumo mensal de energia elétrica de uma família de
três pessoas (consumo residencial)?
10a) 0
10b) 2
10c) 4
10d) 6
10e) 8
(Unificado) Alguns experimentos realizados por virolo-30.
gistas demonstram que um bacteriófago (vírus que pa-
rasita e se multiplica no interior de uma bactéria) é capaz
de formar 100 novos vírus em apenas 30 minutos.
Se introduzirmos 1 000 bacteriófagos em uma colônia
suficientemente grande de bactérias, qual a ordem de
grandeza do número de vírus existentes após 2 horas?
10a) 7
10b) 8
10c) 9
10d) 10
10e) 11
(UFF) O rio Amazonas injeta, a cada hora, 680 bilhões31.
de litros de água no oceano atlântico. Esse volume
corresponde a cerca de 17% de toda a água doce que
chega aos oceanos do planeta, no mesmo intervalo de
tempo.
A ordem de grandeza do volume total de água doce, em
litros, que chega aos oceanos a cada hora é, então :
10a) 7
10b) 9
10c) 11
10d) 13
10e) 15
(EMC) O valor da velocidade da luz no vácuo, expressa32.
no sistema CGS, com 3 algarismos significativos, será:
2 997 x 10a) 9
290 x 10b) 10
300 x 10c) 8
3,00 x 10d) 8
diferente das 4 anteriores citadas.e)
(Fac Med – UFRJ) A massa de um corpo, determinada,33.
apresentou o seguinte resultado: 2,305x103
mg. Tal valor
contém:
3 algarismos significativos.a)
7 algarismos significativos.b)
6 algarismos significativos.c)
4 algarismos significativos.d)
um número desconhecido de algarismos significa-e)
tivos.
(Cesgranrio) Um estudante, tendo medido o corredor de34.
sua casa, encontrou os seguintes valores:
comprimento: 5,7m / largura: 1,25m
Desejando determinar a área desse corredor com a maior
precisão possível, o estudante multiplica os dois valores
acima e registra o resultado com o número correto de
algarismos, isto é, somente com os algarismos que sejam
significativos. Assim fazendo, ele deve escrever:
7,125ma) 2
7,12mb) 2
7,13mc) 2
7,1md) 2
7me) 2
(Cesgranrio) Deseja-se realizar a soma dos seguintes35.
comprimentos:
2,7m ; 4,02dm ; 137,4cm ; 3756,3mm.
A opção que melhor exprime essa soma, em mm, é :
8232,3a)
8,2 × 10b) 3
8,3 × 10c) 3
8 × 10d) 3
8 232e)
(Cesgranrio) Com uma pequena régua de seu estojo36.
escolar, um estudante repetiu por cinco vezes a medição

20
EM_V_FIS_001
do comprimento ( ) de sua sala de aula. Os resultados
encontrados foram por ele anotados na seguinte tabela:
l (m)
14,164
14,453
14,212
14,346
14,391
Pararegistrar,então,ovalordestamedidacomumnúmero
correto de algarismos, isto é, só com os algarismos
significativos, o estudante deverá escrever:
a) = 14,3132m
b) = 14,313m
c) = 14,31m
d) = 14,3m
e) = 14m
(Unirio) Numa viagem interestadual, um motorista de37.
ônibus registrou os seguintes tempos:
Da parada A à parada B 1,53h
Da parada B à parada C 2,7h
Da parada C à parada D 0,856h
Da parada D à parada E 2,00h
Quanto tempo levou para dirigir da parada A à parada E?
7ha)
7,1hb)
7,07hc)
7,08hd)
7,075he)
(UFF) Fez-se a medida de um objeto AB, como mostra38.
a figura, e obteve-se valor mais provável 13,72cm.
Podemos afirmar que a régua utilizada é graduada em:
milímetros.a)
décimos de milímetro.b)
centímetros.c)
decímetros.d)
metros.e)
(EN) As massas da esfera e dos líquidos 1 e 2 represen-39.
tados na figura são, respectivamente, iguais a 35,988g,
3,5kg e 2,356kg .
1
2
Nestas condições, pode-se afirmar que a massa total de
conjunto constituído pela esfera e líquidos representados
tem um valor (em kg) igual a :
5,8a)
5,89b)
5,891988c)
5,892d)
5,9e)
(Cesgranrio) Uma piscina olímpica deve medir cin-40.
quenta metros de comprimento e o tempo gasto pelos
nadadores nas várias provas é medido com precisão do
centésimo de segundo. Os recordes da prova de cem
metros nado livre estão por volta de cinquenta segundos.
Qual é, então, a quantidade mínima de significativos
com que deve se expressar o comprimento de uma
piscina olímpica para que os tempos registrados em
piscinas diferentes possam ser comparados de modo
significativo?
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
(PUC) Um caderno de 110 folhas idênticas, sem contar41.
as capas, tem espessura de 1,35cm. O número que
melhor expressa a espessura de uma das folhas é :
1,223 × 10a) – 2
cm
12,2mmb)
1,23 × 10c) – 2
cm
1,22 × 10d) – 2
cm
1,22mme)

21
EM_V_FIS_001
B1.
B2.
C3.
E4.
A5.
A6.
C7.
B8.
D9.
A10.
E11.
B12.
A13.
B14.
A15.
B16.
E17.
A18.
D19.
D20.
D21.
D22.
D23.
D24.
E25.
D26.
C27.
OG(m28. total
) = 103
kg
B29.
D30.
E31.
E32.
D33.

22
EM_V_FIS_001
A34.
D35.
C36.
D1.
v = P2.
1
2
1
2
ou v = P
a =3.
1
2
, b = – 1
2
e c = 0
n = 14.
B5.
C6.
C7.
E8.
C9.
E10.
x =11.
5
2
e y =
1
2
A12.
E13.
E14.
D15.
C16.
C17.
C18.
B19.
C20.
B21.
C22.
A23.
D24.
B25.
A26.
OG ( m27. água
) = 102
kg
C28.
B29.
E30.
D31.
C32.
D33.
D34.
B35.
D36.
B37.
A38.
E39.
D40.
C41.

23
EM_V_FIS_001

24
EM_V_FIS_001

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