5 escoamentos sup livre - pt2

Hidráulica II – Escoamentos com superfície livre (parte 2)
Copyright © por Prof. João Braga
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Escoamentos permanentes com superfície livre
Como se viu, um escoamento permanente com superfície livre, é um escoamento que
ocorre com caudal constante ao longo do tempo e, muitas vezes, também constante ao
longo do canal. Em geral, são condicionamentos de natureza geométrica que implicam
que o escoamento deixe de ser uniforme. Este tipo de escoamentos, podem dividir-se
em gradualmente variados e rapidamente variados.
Neste tipo de escoamentos há variação da altura da secção ao longo do escoamento.
Para o primeiro caso (gradualmente variados), ao traçado da superfície livre
chamamos de regolfo.

Autor: Prof. João Braga
2

3
Este tipo de escoamentos (permanentes gradualmente variados) possui determinados
critérios:
 Trajectórias aproximadamente rectilíneas e paralelas;
 Secções rectas planas;
 Distribuição hidrostática de pressões.
O teorema de Bernoulli pode ser exprimido pela equação seguinte:
J
t
U
gg
U
z
p
s
'1
2
2
Para escoamentos permanentes/uniformes, esta equação reduz-se a:
J
g
U
z
p
s 2
2

4

5

6

7
Apesar de a altura de água variar ao longo do escoamento, a curvatura é
suficientemente pequena para que a pressão se possa considerar constante em
qualquer ponto de uma secção. Assim, sendo A um ponto à superfície:
0, AAA
A
pquevistozz
p
z
p
yhzA cos
sen
ds
dy
Θ é positivo para leitos
descendentes

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Analisando novamente a equação do teorema de Bernoulli (que traduz a variação da
energia ou carga total do escoamento) para escoamentos permanentes:
J
g
U
yh
ds
d
2
cos
2
Jsen
g
U
h
ds
d
2
cos
2
Para valores pequenos de θ, sen(θ) ≈ tg(θ) = i (declive do canal) e cos(θ) ≈ 1. Em
escoamentos turbulentos e canais rectilíneos, é ainda válido considerar α = 1, pelo
que a equação do T. Bernoulli transforma-se em:
Ji
g
U
h
ds
d
2
2

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O termo entre parêntesis no membro esquerdo da equação, designado por energia
específica, E, representa a energia do escoamento por unidade de peso de líquido, em
relação ao fundo do canal.
g
U
hE
2
2
Ji
ds
dE
Para escoamentos uniformes, i = J, e
portanto a linha de energia é paralela ao
fundo do canal
Do ponto de vista energético, sen(θ) ≈ i (diminuição da cota do leito ao longo do
percurso) representa o trabalho realizado pelas forças de gravidade por unidade de
peso de líquido escoado e na unidade de percurso.
A perda de carga unitária J representa o trabalho realizado pelas forças resistentes,
também por unidade de peso de líquido e na unidade de percurso.

10
Energia específica
2
22
22
)(
hAg
Q
h
g
U
hhE
Para um caudal constante Q0, a altura líquida e a energia específica com que esse
valor de caudal se pode escoar, em regime permanente, relacionam-se através da
expressão:
2
2
0
2 Ag
Q
hE
Esta função da energia específica em função da altura de água, é uma parábola que
possui duas assimptotas, o eixo vertical das ordenadas E e a recta E = h.
 Para valores de h muito pequenos, 2 é preponderante;
 Para valores de h muito grandes, 1 é preponderante.
1 2

11
Energia específica
Se tivermos as três variáveis, E, Q e h, a função F(E,Q,h) = 0 é um paraboloide de
revolução.

12
Energia específica
Plano Q = Q0

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Tipos de escoamento

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Tipos de escoamento
Existem, portanto, três tipos de escoamento: lento ou fluvial, crítico, e rápido ou
torrencial.
O escoamento crítico, de acordo com o gráfico anterior, será então o escoamento com
a menor energia possível, para um dado valor de caudal. Ao regime de escoamento
crítico, atribuem-se também as definições de altura crítica hc, velocidade crítica Uc e
energia específica crítica Ec.
Quando o escoamento para um caudal Q0 não é crítico,
obtêm-se para o mesmo valor de E, duas alturas
possíveis: uma superior, e outra inferior à altura crítica.
Esta peculiaridade pode ser evidenciada no caso em
que se instala, num canal de fundo horizontal, uma
comporta com uma abertura inferior, na qual o
escoamento sobre esta pode considerar-se sem perdas
de carga.

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Tipos de escoamento

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Tipos de escoamento
Influência do caudal e da largura do rasto da secção na curva E(h)

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Energia específica crítica
Vejamos o caso de um escoamento para um dado valor de caudal Q = Q0. A equação
da energia específica, como já vimos atrás, é:
2
2
0
2
)(
hAg
Q
hhE
O regime crítico é aquele que corresponde ao mínimo valor da função. Ora, este ocorre
quando a derivada da função supracitada se anula.
22
2
0
2
2
0
2
22
1
2 Ag
dh
dAAgQ
Ag
Q
h
dh
d
dh
dE
01
4
4
1 3
2
0
42
2
0
dh
dA
Ag
Q
Ag
dh
dAAgQ
dh
dE

18
c
c
c
B
A
AgQ
Ag
BQ
dh
dE
03
2
0
10
No caso geral, calcula-se e iguala-se a Q0, sendo o valor
respectivo de h igual à altura crítica.
c
c
c
B
A
Ag

19

20

21
O número de Froude traduz o quociente entre as forças de inércia e as forças de
gravidade.

22

23
Para uma secção rectangular, o cálculo da altura crítica é directo.
3
2
2
0
3
2
0
10 ch
Bg
Q
Ag
BQ
dh
dE
3
2
03
2
2
0
g
q
Bg
Q
hc
Quando A(h) é uma função monómia [S=C.hn], tem-se:
12
2
2
0n
c
Cg
Qn
h

24
Altura crítica:
Velocidade crítica:
Energia específica
crítica:

25

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Pode definir-se outra grandeza, designada por altura média, que simboliza a relação
entre a área da secção líquida (A) e a largura superficial (B).
B
A
hm
Assim:
mcc
c
c
c hgA
B
A
AgQ0
mcc hgU
mccc hhE
2
1

27

28
Função h(Q) para E = E0
Veja-se agora o que se passa no plano E=E0 [função h(Q)].

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hEgAQ
hAg
Q
hE 02
2
0 2
2
= U
Esta curva representa todos os escoamentos uniformes possíveis com a mesma
energia específica. Esta é uma função não linear que tem dois pontos de caudal
nulo:
 Anulação da área da secção (h = 0 → A = 0)
 Anulação da velocidade (h = E0 → U = 0)
O caso em que temos dois escoamentos correspondentes a dois pontos desta curva é
o caso que já se falou do escoamento sob uma comporta com abertura inferior.

30

31
O caudal máximo corresponde ao regime crítico, logo, quando a derivada da função se
anula.
020 0 hEgA
dh
d
dh
dQ
022 2
1
00 hEg
dh
d
AhEg
dh
dA
022
2
1
2 2
1
00 hEggAhEg
dh
dA
020
2
2 0
0
0 gAhEgB
hEg
gA
hEgB
c
c
c
B
A
hEhBAEB
2
1
22 00

32
Influência do energia específica e da largura do rasto da secção na curva h(Q)
h(Q) para diferentes
valores de E0
h(Q) para diferentes
valores de B

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Veja-se um caso particular com mudança de largura numa secção rectangular. A
equação da curva h(Q) pode ser descrita em termos do caudal por unidade de largura
q = Q/b.
2
2
0
2 hg
q
hE
 Nesta situação, há um para o qual é possível o escoamento sem
haver alterações das condições fora da zona estreita. A esta largura mínima
corresponde o escoamento crítico com hc.
 Se a largura for inferior a este mínimo no estreitamento, o caudal unitário será
superior ao máximo compatível com a energia específica E0. Neste caso, as condições
do escoamento fora da zona estreita têm de se modificar de forma a ser possível
passar o estreitamento com a energia específica crítica.
máxq
Qbmin

34

35

36

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Alturas para regime lento e rápido
Em geral, a equação E(h) não é resolúvel analiticamente em ordem às alturas h1 e h2,
referentes ao escoamento do caudal Q0 com uma dada energia específica E.
Uma hipótese, corresponde a calcular o valor de E(h) por tentativas, adoptando valores
para h. Note-se que, para regime lento, um valor mais alto de h sobe também o valor
de E, enquanto que no regime rápido E sobe com a descida de h.
Pode, ainda, adoptar-se um processo de iteração (fácil de aplicar com calculadoras
programáveis).
2
2
12
2
)(22 n
n
hAg
Q
Eh
Ag
Q
hE Converge para
escoamento lento
Para obter a fórmula de convergência para escoamento rápido, é necessário trocar
os índices n+1 e n, e resolver novamente a equação em ordem a hn+1.

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Controlo do escoamento
Viu-se, anteriormente, que o número de Froude característico de um escoamento
define se este é um escoamento lento, crítico ou rápido.
 FR < 1 – Escoamento lento
 FR = 1 – Escoamento crítico
 FR > 1 – Escoamento rápido

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A velocidade do escoamento no regime crítico é dada por:
mcc hgU
Relativamente à propagação de pequenas perturbações na direcção longitudinal de
canais, tanto a formulação teórica como a observação prática confirmam que:
 Num escoamento crítico, as pequenas perturbações propagam-se com velocidade
igual à do escoamento. Forma-se uma onda estacionária na origem da perturbação e
propaga-se para jusante com velocidade dupla do escoamento;
 No regime rápido, as pequenas perturbações só se propagam para jusante, visto a
velocidade de propagação para montante ser inferior à velocidade do escoamento;
 No regime lento, propagam-se nos dois sentidos.

40
Isto vai implicar que:
 O regime lento é controlado por jusante;
 O regime rápido é controlado por montante.
operturbaçãpequenaceleridade
escoamentodomédiavelocidade
Fr

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