Livro hidraulica cap_01-04

I
LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
Gilberto Queiroz da Silva

Lições de Hidráulica Básica
II
LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
FEVEREIRO DE 2015
GILBERTO QUEIROZ DA SILVA
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto

III
Endereço para contato:
Gilberto Queiroz da Silva
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas/UFOP
Campus Universitário do Morro do Cruzeiro
35.400-000 – Ouro Preto, MG
gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546
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IV
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Dedicatória

V
Informações sobre o autor:

VI
CONTEÚDO
Prefácio .............................................................................................................. X
Agradecimentos .................................................................................................XI
1. Introdução ........................................................................................................1
1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6
2. Generalidades ..................................................................................................7
2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7
2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15
2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19
2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21
2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22
2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24
a) Massa específica...................................................................................24
b) Peso Específico ...................................................................................28
c) Volume específico................................................................................30
d) Densidade.............................................................................................30
e) Compressibilidade................................................................................31
f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34
Distinção entre Líquido e Gás............................................................35
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36
g) Pressão de vapor..................................................................................37
h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38
Exercícios ..........................................................................................40
i) Viscosidade..........................................................................................43
Unidades de viscosidade:...................................................................48

VII
Viscosidade Cinemática ....................................................................50
Variação da viscosidade ....................................................................50
Determinação da viscosidade ............................................................54
Exercícios de Aplicação..........................................................................58
3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62
3.1 – Introdução............................................................................................62
3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62
3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62
3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64
3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66
3.3 – Empuxo................................................................................................69
3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72
3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72
3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73
3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78
3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81
a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um
líquido:......................................................................................82
b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão
atmosférica................................................................................83
c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85
d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87
e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87
3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88
3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88
3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90
3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92
3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92

VIII
a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92
Exemplo: .........................................................................................95
b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95
c) Barômetro eletrônico.........................................................................96
3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98
a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98
b) Vacuômetro ....................................................................................103
c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103
d) Piezômetro......................................................................................105
e) Manômetro de tubo U.....................................................................106
f) Piezômetros pressurizados...............................................................107
g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109
h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111
i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112
j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115
k) Manômetro de Betz.........................................................................117
Exemplo:...........................................................................................117
l) Manômetro de Prandtl......................................................................118
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120
3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137
3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137
3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139
3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140
3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141
Exemplos ................................................................................150
3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160
Exemplos de Aplicação .......................................................................167
4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171
4.1. Generalidades..........................................................................................171

X
Prefácio

XI
Agradecimentos

1
1. INTRODUÇÃO
A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor
significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem
um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos
líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento.
Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é
sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos
nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na
Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por
volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação.
Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o
lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro
sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C.,
tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu
um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da
Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi

2
inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes
aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro
Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no
ano 70 a.C.
No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes
ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou
um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642),
Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para
a Hidráulica.
Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que
tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos
relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica
Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a
Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base
científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos
teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a
conhecemos hoje.
Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as
investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o
estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos
envolvendo o escoamento de líquidos.
A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de
resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os
serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando
um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e
Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir
a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas

3
começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até
hoje.
Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os
estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos
projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de
máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores.
O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta
uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos
relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01.
Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem
estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem
inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra.
Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência
de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da
espécie humana.
O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em
determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior
quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das
populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo,
envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política,
administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da
água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos
internacionais.

5
Rio Paraibuna (Zona da Mata em Juiz de Fora). As turbinas foram importadas dos
Estados Unidos e o objetivo foi ampliar a produção de tecidos.
• Em 1899: Criação da São Paulo Light, com a entrada de capital estrangeiro no
setor elétrico brasileiro.
• Em 1903: aprovação do primeiro texto de lei pelo Congresso Nacional,
disciplinando o uso da energia elétrica no país.
• Em 1905: criação da rio Light, do mesmo conglomerado financeiro da São Paulo
Light.
• Em 1940: Regulamentação da situação das usinas termelétricas do país, mediante
incorporação às disposições do Código de Águas.
• Em 1952: fundação da Centrais Elétricas de Minas Gerais - CEMIG.
Hoje, a água além de ser usada para fins domésticos e industriais,
também é muito usada nas atividades agrícolas e pecuárias (crescentes áreas de
irrigação), navegação, geração de energia, lazer e até mesmo para a deposição
de rejeitos humanos e industriais.
Sob tal ponto de vista, a água torna-se uma preciosidade que deve ser
preservada a qualquer custo. Existem previsões de que a falta de água será um
grande problema para a humanidade, já que é um bem insubstituível na
atividade humana. Basta lembrar que uma pessoa consome facilmente cerca de

6
150 litros de água por dia, que se gastam 18 litros de água para produzir 1 litro
de petróleo e até 270 litros de água para produzir 1 quilograma de aço ou
mesmo 5 litros de água para produzir 1 litro da melhor cerveja. Da mesma
forma, dados da FAO apontam para um gasto de 15 977 litros de água para
produção de 1 kg de carne bovina, 5 096 litros de água para produção de 1 kg de
carne suína, 2 828 litros de água para produção de 1 kg de carne de aves, 18.000
litros de água para a produção de 1 kg de manteiga, 865 litros de água para
produção de 1 kg de leite e 2 300 litros de água para produção de 1 kg de soja.
Gasta-se de 160 a 200 litros de água para a produção de 1 m3
de concreto, 300
litros de água para compactação de 1 m3
de aterro (dados da Revista
Sustentabilidade). Estima-se que são gastos cerca de 25.000 litros de água na
construção de uma casa popular de 36 m2
de área. Na Engenharia Civil, gasta-se
água em diversas operações tais como, produção de concreto e argamassas,
resfriamento e cura do concreto, lavagem de superfícies em geral, lavagem de
formas utilizadas em estruturas de concreto, dentre outros. A construção civil
pode consumir até 50% da água potável produzida em regiões urbanizadas.
Assim, dá para notar que a água é um líquido economicamente importante.
A água está distribuída em mananciais de superfície e em mananciais
subterrâneos. É daí que o homem retira a água de que necessita. Atualmente a
quase totalidade das águas superficiais se encontram poluídas com resíduos
humanos, industriais e com detergentes. Assim existe a obrigação de se
construírem enormes estações de tratamento de água (ETA) para que seja
possível a sua utilização pelo homem.
Todos esses aspectos apontam para uma disciplina no uso e uma
preservação dos recursos hídricos existentes na face do planeta, acarretando a
aplicação de enormes quantidades de dinheiro.
Como a água não se distribui uniformemente na superfície terrestre, as
comunidades e as indústrias tendem a se desenvolver próximas às fontes de
água, tais como os rios, lagos ou oceanos.

7
Também existe uma falta de uniformidade temporal. Isso pode ser visto
constatando que os rios têm seu volume reduzido na estiagem ou têm o seu
volume aumentado no período chuvoso, provocando enchentes e obrigando o
homem a construir grandes obras de regularização da água: diques, açudes,
reservatórios ou barragens.
Para o Engenheiro Civil fica a responsabilidade de projetar obras para o
controle e a distribuição de água. Assim ele estará envolvido com obras em
portos, rios, canais, barragens, sistemas de irrigação, drenagem, sistemas de
geração de energia, redes de abastecimento, redes de esgotos e de águas
pluviais, tudo isso envolvendo o meio ambiente. Atualmente é tão importante
essa modalidade de atuação profissional, que a Escola de Minas acaba de criar o
curso de Engenharia Ambiental (curso criado em julho de 2000), no qual a
principal preocupação é o relacionamento do homem com o meio ambiente.
A grande interface entre os assuntos relacionados à água e ao meio
ambiente faz com que o Engenheiro Civil não trabalhe sozinho. Ele conta com a
colaboração de economistas, advogados, arquitetos, contabilistas, geólogos,
biólogos, químicos e de uma infinidade de outras especialidades, quando tem de
realizar estudos, projetos ou mesmo a execução da grande maioria das obras
hidráulicas.
É necessário preservar o meio ambiente e cabe ao Engenheiro Civil
uma grande participação na melhoria do bem estar da humanidade,
promovendo o aproveitamento racional dos recursos hídricos.
1.1. Divisões da Hidráulica
Atualmente pode-se dividir a Hidráulica em Hidráulica Geral (ou Teórica) e
Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica). A Hidráulica Geral, divide-se, para efeitos de
estudos, em Hidrostática e Hidrodinâmica. A Hidráulica Aplicada divide-se em
Hidráulica Urbana (sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários, galerias de

8
águas pluviais e drenagem urbana), Hidráulica Rural ou Agrícola (irrigação e drenagem
agrícola), Hidráulica Fluvial (rios e canais), Hidráulica Marítima (portos e obras
marítimas), Instalações Hidráulicas Industriais e Técnica Hidrelétrica.

10
As grandezas físicas possuem relação entre si, de forma que, em um
sistema coerente de unidades, a relação existente entre uma grandeza física, G,
que depende de outras grandezas físicas, G1, G2,..., Gn,, pode ser escrita,
genericamente, por uma relação da forma:
G = f(G1, G2, G3, ..., Gn) ..................................................2.2
Para tratar corretamente com todas as grandezas físicas que se
relacionam na solução de um problema físico, é necessário escrever um
conjunto de regras adequadas, formando um sistema de unidades.
2.2. Sistemas de Unidades
Um sistema de unidades é formado pelo conjunto das unidades
necessárias para descrever todas as grandezas físicas e por algumas regras de
utilização. Ao longo dos anos, com o desenvolvimento da ciência, vários
sistemas foram construídos, uns em uso até os dias de hoje e outros em desuso
completamente. Ressalta-se que alguns dos sistemas mais utilizados na
atualidade resultaram do aperfeiçoamento de outros sistemas já existentes. Os
dois sistemas de unidades mais utilizados no momento são o Sistema
Internacional de Unidades e o Sistema CGS, descritos mais à frente. O primeiro
é o único sistema mundialmente reconhecido e recomendado para uso para
expressar as grandezas físicas com as quais os engenheiros se deparam. Apesar
disso, não raro encontramos unidades sendo medidas em sistemas diferentes
desses, como é o caso da pressão. É comum expressar a pressão medida nos
seres humanos em cm de Hg. Também é comum utilizar-se a lbf/pol2
(psi),
corriqueiramente denominada apenas de libra, para medir a pressão do ar no
interior dos pneus dos veículos. Estas unidades não pertencem a nenhum
sistema coerente de unidades. Assim, no momento em que forem utilizadas nas
equações físicas, elas precisam ser convertidas para o sistema de unidades que

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se está utilizando, daí a necessidade de se conhecer alguns detalhes dos sistemas
de unidades.
Todo sistema de unidades deve ser construído sobre um conjunto de
grandezas independentes entre si denominadas grandezas fundamentais e de um
conjunto de grandezas dependentes entre si, denominadas grandezas derivadas.
Assim, as unidades que expressam as grandezas fundamentais são
convenientemente arbitradas, porém as unidades das grandezas derivadas não
podem ser arbitradas e passam a ser conseqüência das grandezas fundamentais,
das suas unidades e das relações de interdependência entre as grandezas.
Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de unidades: aqueles que
usam a massa como grandeza fundamental e os que usam a força como
grandeza fundamental. A tendência moderna é de se usarem sistemas de
unidades nos quais a massa é uma grandeza fundamental, devido à maior
precisão ao se representar as grandezas derivadas.
Cinco sistemas de unidades são conhecidos, sendo que alguns deles já
foram muito usados e outros estão em pleno uso atualmente. São eles o Sistema
Internacional de Unidades, Sistema CGS, Sistema Inglês Absoluto, Sistema
Técnico e Sistema Inglês Técnico. Os três primeiros pertencem à categoria dos
sistemas que têm a massa como grandeza fundamental e os dois últimos são da
categoria que consideram a força como grandeza fundamental.
Em 1960 a 11ª
Conferência Geral sobre Pesos e Medidas do Sistema
Internacional de Unidades adotou oficialmente esse sistema. O SI é um sistema
de unidades completo e com recurso para escrever a unidade de qualquer
grandeza que venha a ser definida, resultante da ampliação do antigo Sistema de
Unidades MKS ou sistema métrico. O termo sistema métrico é usado devido ao
fato da unidade de comprimento ser o metro e não o pé como ocorria nos
sistemas de língua inglesa.

12
Em 1984, todo grande país do mundo, exceto os Estados Unidos, estava
usando ou tinha oficialmente decidido usar o Sistema Internacional de Unidades
(SI) como sistema oficial de medidas. O uso desse sistema de medidas levará à
conversão de todas as medidas feitas em outros sistemas de unidades para as do
SI. Os livros mais modernos, inclusive os de autores americanos já trazem as
grandezas expressas em unidades do SI. Às vezes ainda trazem as unidades dos
antigos sistemas entre parênteses, apenas por força do hábito.
Por questões práticas apenas serão relacionadas as grandezas usuais na
mecânica, já que as demais grandezas são muito pouco usadas no curso de
Hidráulica.
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades
É o sistema mundialmente adotado para a medição das grandezas
físicas. No Brasil é o sistema legal desde a década de setenta. No domínio da
mecânica as suas grandezas fundamentais são: comprimento, massa, tempo e
temperatura, além de outras não referenciadas nesse texto. Já as demais
grandezas são derivadas. Exemplo de grandezas derivadas: velocidade,
aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc.
Unidades das grandezas fundamentais
a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m.
Inicialmente o metro foi definido como sendo o comprimento
equivalente à décima milionésima parte de um quatro do meridiano terrestre que
passa pela cidade de Greenwich na Inglaterra. Para materializar tal
comprimento foi construída uma barra de platina e irídio, com uma seção
transversal especial, em forma de “X”. Nessa barra foram feitas duas marcas
distantes entre si de um comprimento exatamente igual a um metro. Esse padrão
primário do metro permanece guardado no Bureau Internationel de Poids et

13
Mesures, em Sèvres, França, até os dias de hoje. Note que a unidade ainda era a
décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre que passa pela
cidade de Greenwich, embora o padrão fosse o comprimento gravado na barra
de platina e irídio. Desse padrão foram feitas reproduções tanto mais fiéis
quanto possível, denominados de padrão secundário e distribuídos pelo mundo
inteiro. Quase todo órgão de peso e medida dos diversos países do mundo tem
um padrão secundário. A partir desse padrão secundário foram feitas novas
cópias denominadas de padrão terciário, originando os instrumentos de uso
corrente na medição de comprimento.
Porém com o decorrer do tempo e o avanço da qualidade dos
instrumentos de medição verificou-se que a definição original do metro não
correspondia exatamente ao comprimento da barra de platina e irídio guardada
no museu de Sèvres. O novo comprimento encontrado nas medições mais exatas
revelou-se ligeiramente superior ao padrão. Assim gerou-se um impasse
terrível: ou se mudava o padrão e procedia-se à correção de todas as medidas
feitas até então ou se alterava a definição do metro. Assim optou-se pela última
alternativa e o metro ganhou nova definição: o comprimento gravado na barra
de platina e irídio guardada no museu de Sèvres em Paris.
Posteriormente, por questões estratégicas e de segurança, criou-se uma
nova definição para o metro, que prevalece até os dias de hoje. O metro
atualmente é definido como o comprimento equivalente a 1 650 763,37 vezes o
comprimento de onda de uma radiação de cor laranja, do isótopo criptônio 86,
na sua transição entre os estados 2p10 e 5d5. Dessa forma os laboratórios de
física do mundo inteiro têm condição de reproduzir com certa facilidade a
unidade de comprimento do SI, ou seja, o metro.
O que importa que o metro é hoje utilizado em todas as medidas oficiais
de comprimento em praticamente todos os países do mundo. Ele foi dividido em
partes menores para permitir a medição de pequenos comprimentos. Assim tem-
se o centímetro e o milímetro.

15
Unidades das Grandezas Derivadas
Em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre as
grandezas físicas também prevalece entre suas unidades. Assim se existir uma
relação entre a grandeza física, G e outras grandezas físicas G1, G2,..., Gn, da
forma da equação 2.2, existirá uma relação análoga entre as unidades da
grandeza física G e as grandezas físicas Gi, tal que:
U(G) = f[U(G1), U(G2), U(G3),...,U(Gn)] …………………………..2.3
Como exemplo pode-se citar o caso da velocidade, definida como sendo
a relação entre o espaço e o tempo. Assim, como V = e/t, podemos escrever que
U(V) = U(e)/U(t). No SI, tem-se:
U(V) = m/s = ms-1
.
Para a aceleração que é definida como sendo a variação da velocidade
com o tempo, a = ∆V/∆t, tem-se: U(a) = U(∆V)/U(∆t). Logo
U(a) = m/s/s ou U(a) = m/s2
= ms-2
.
Para o caso da força, nesse sistema considerada uma grandeza derivada,
a segunda lei de Newton permite escrever a seguinte relação:
F = m.a U(F) = U(m).U(a).
Assim, U(F) = kg.m/s2
. A essa unidade foi dado o nome de newton em
homenagem a Isaac Newton, convencionando-se que o seu símbolo seria N.
Logo 1 N é a força que aplicada a uma massa de 1 quilograma provoca nela uma
mudança de velocidade de 1 m/s a cada s. Então
1 N = 1 kg.m/s2
.
A pressão também é uma das grandezas derivadas, cuja unidade pode
ser facilmente encontrada no SI. Como pressão é a relação entre uma força
normal e a área na qual ela atua, podemos dizer que: p = Fn/A. Logo U(p) =
U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais
teremos:

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U(p) = N/m2
. Tal unidade foi denominada de pascal, e a ela foi
reservado o símbolo Pa. Com isso pode-se escrever que:
U(p) = N/m2
= Pa
De uma maneira análoga é possível escrever todas as unidades das
demais grandezas derivadas. Na tabela 02 estão resumidas algumas das
principais grandezas físicas que aparecem nos estudos da Hidráulica, bem como
as suas unidades correspondentes no Sistema Internacional de Unidades.
Tabela 02 – Exemplos de algumas grandezas físicas derivadas.
Grandeza Física Notação Unidade Símbolo
Área A m2
--
Volume Vol m3
--
Velocidade V m/s --
Aceleração a m/s2
--
Força F kg.m/s2
N
Pressão p N/m2
Pa
Massa específica ρ kg/m3
--
Peso específico γ N/m3
--
Energia E N.m J
Vazão Q m3
/s --
Vazão em massa m& kg/s --
Viscosidade µ kg/m/s Pa.s
Viscosidade cinemática ν m2
/s --
Potência P N.m/s W
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS
O sistema de unidades que ficou conhecido como CGS possui
grandezas fundamentais com unidades pequenas, de forma que as medidas das
grandezas usuais são expressas por números mais adequados. As suas grandezas
fundamentais são comprimento, massa, tempo e temperatura. As grandezas
derivadas são, velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia,

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dentre outras. A seguir relaciona-se as unidades das grandezas fundamentais, no
domínio da mecânica.
a) Unidade de comprimento: foi denominada de centímetro, cujo símbolo é cm,
tendo sido definida tal que um centímetro vale 10-2
m.
b) Unidade de massa: foi denominada de grama, cujo símbolo é g, tendo sido
definida como sendo a milésima parte do quilograma (10-3
kg).
c) Unidade de tempo: foi definida, como nos demais sistemas, e denominada de
segundo, cujo símbolo é s. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.
d) Unidade de temperatura: foi denominada de grau Celsius, cujo símbolo é ºC,
tendo sido definida em relação ao ponto de fusão do gelo (0,15ºC) e o ponto de
vaporização da água à condições normais de temperatura e pressão (100,15ºC).
O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 100 partes e a cada
parte corresponde um grau Celsius, à semelhança do grau Kelvin.
Nesse sistema, para as grandezas físicas derivadas temos as seguintes
unidades:
U(V) = cm/s
U(a) = cm/s2
U(F) = g.cm/s2
= dyna cuja abreviatura é dyn. Nesse caso pode-
se ver que 1 dyna é equivalente a 10-5
N.
U(p) = dyna/cm2
= bária. Pode-se deduzir que 1 bária eqüivale
a 0,1 Pa.
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto
Grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão,
viscosidade, energia, etc.

18
Unidades das grandezas fundamentais:
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.
1 ft = 0,3048 m
b) Unidade de massa: libra cujo símbolo é lb
1 lb = 0,45359 kg. Valor correto: 1 lb = 0,45359237 kg
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é sec.
O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.
d) Unidade de temperatura: grau Rankine cujo símbolo é R.
O grau Rankine é definido em relação ao ponto de fusão
do gelo (491.67 R) e o ponto de vaporização da água nas condições normais de
temperatura e pressão (671,67 R). O intervalo entre ambas as temperaturas foi
dividido em 180 partes iguais e a cada parte corresponde um grau Rankine.
Para as grandezas físicas derivadas temos:
U(V) = ft/sec
U(a) = ft/sec2
U(F) = lb.ft/sec2
= poundal cuja abreviatura é pdl. Nesse caso
pode-se ver que 1 pdl é equivalente a 0,138257 N.
U(p) = pdl/ft2
. Pode-se deduzir que 1 pdl/ft2
eqüivale a
1,48819 Pa.
2.2.4 - Sistema Técnico
Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,

20
d) Unidade de temperatura: grau Celsius cujo símbolo é ºC.
Essa unidade é a mesma do sistema CGS.
Unidades das Grandezas Derivadas:
Devido à escolha da força para ser uma grandeza física fundamental, a
massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é
possível obter:
m = F/a U(m) = U(F)/U(a).
Assim, U(m) = kgf/(m/s2
) = kgf.s2
/m. Tal unidade é conhecida pelo
nome de unidade técnica de massa e abreviada por utm. Decorre da definição
que 1 utm = 9,80665 kg.
A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no SI.
A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas
fundamentais teremos:
U(p) = kgf/m2
. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das
unidades fundamentais estabelecer a relação:
U(p) = 1 kgf/m2
= 9,80665 N/m2
= 9,80665 Pa
Nesse curso utilizaremos com freqüência a relação 1 kgf/m2
= 9,807 Pa.
Observação: Há uma tendência entre os alunos desavisados de confundir o kg
com o kgf. Entretanto deve-se observar que se trata de duas grandezas
diferentes, com unidades de sistemas de unidades diferentes. Portanto não há
possibilidade de confusão. Deve-se ressaltar que os livros que adotam o sistema
técnico de unidades abreviam o quilograma-força por kg ou até mesmo kgp.

21
Entretanto não haverá risco de confusão já que nesse sistema adotado não existe
o quilograma definido como unidade de massa. Aqui a unidade de massa é a
utm. A confusão aparece quando são considerados diversos sistemas. Deve-se
ressaltar que tal confusão é cometida em vários artigos científicos e, até mesmo,
em alguns livros. Com um pouco de cuidado o leitor poderá perceber quando o
kg está representando o quilograma-força ou a unidade de massa do SI.
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico
Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.
Essa grandeza é a mesma definida no Sistema Inglês Absoluto.
b) Unidade de Força: libra-força cujo símbolo é lbf.
A libra-força foi definida como a força com que a terra atrai o cilindro
de platina que definiu a unidade de massa do Sistema Inglês Absoluto, ao nível
do mar e na cidade de Greenwich. Essa unidade padece dos mesmos defeitos da
unidade de força do Sistema Técnico.
1 lbf = 0,45359237 kgf
c) Unidade de tempo: segundo (second) cujo símbolo é sec.
Essa unidade de tempo é a mesma do SI
d) Unidade de temperatura: grau Farenheit cujo símbolo é ºF.
Essa unidade é definida também com relação aos pontos de fusão e de
ebulição da água. À temperatura de fusão da água atribuiu-se 32 ºF e à de

22
ebulição atribuiu-se 212 ºF. O intervalo entre ambas foi dividido em 180 partes
iguais, sendo cada parte correspondente a um grau Farenheit (ºF).
Unidades das Grandezas Derivadas:
Da mesma forma que no Sistema Técnico, escolheu-se a força para ser
uma grandeza física fundamental. Logo a massa passa a ser uma grandeza física
derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter:
m = F/a U(m) = U(F)/U(a).
Assim, U(m) = lbf/(ft/s2
) = lbf.s2
/ft. Tal unidade é conhecida pelo nome
de slug. Decorre da definição que 1 slug =1,48816 utm = 14,5939 kg.
A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no Sistema
Inglês Absoluto.
A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas
fundamentais teremos:
U(p) = lbf/ft2
. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das
unidades fundamentais, estabelecer a relação:
U(p) = 1 lbf/ft2
= 4,8825 kgf/m2
= 47,88106 Pa.
Regra geral:
No uso de grandezas físicas em equações algébricas devemos
obedecer a certas regras para que as unidades tenham consistência em um
sistema coerente de unidades.
Regra 1: As dimensões das grandezas nos dois lados da equação devem ser as
mesmas, a menos que seja uma equação empírica.

23
Regra 2: Pode-se somar ou subtrair apenas grandezas físicas que tenham as
mesmas dimensões.
Regra 3: A multiplicação ou divisão de grandezas físicas é possível desde que o
produto ou o quociente resultante seja o produto ou o quociente das
dimensões envolvidas.
2.2.6 – Caso de grandeza física de valor muito elevado ou muito
pequeno
Quando tratarmos de grandezas físicas expressas por medida muito grande ou
eventualmente muito pequena, é aconselhável o uso de prefixos para tornar os números
mais adequados à escrita. A tabela 03 ilustra os prefixos atualmente em uso.
Tabela 03 – Prefixos usados como multiplicadores das unidades
Prefixo Símbolo Multiplicador
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
Assim, 1MPa significa 106
Pa, 1mm representa 10-3
m e 1 kN representa 103
N.

25
p = 50 lb.ft/s2
/ft2
= 50 lb/ft/s2
= 50 x 0,4536 kg/(0,3048 m)/s2
= 74,409
kg/m/s2
.
p = 74,409 kg.m/s2
/m2
= 74,409 N/m2
Finalmente, p = 74,409 Pa
d) ρ = 3,50 slug/ft3
Lembrete: slug é a unidade de massa do Sistema Inglês Técnico, logo 1
slug = 1 lbf / (ft / s2
) ou 1 slug = 1 lbf . s2
/ ft.
ρ = 3,50 lbf . s2
/ ft4
= 3,50 x 0,4536 kgf . s2
/ (0,3048 m)4
ρ = 3,50 x 0,4536 x 9,80665/0,30484
N.s2
/m4
= 1 803,86 kg.m.s-2
.s2
/m4
.
Finalmente: ρ = 1 803,86 kg/m3
.
2.
3.2.8 – Exercícios
1. A viscosidade de um dado óleo é 5,0 Poise. Sabendo que o Poise é a unidade
de viscosidade do sistema CGS e que vale 1 dyna.s/cm2
, determine o seu valor
em unidades do Sistema Internacional.
2. Calcular o valor de uma pressão igual a 1 lbf/pol2
em unidades do Sistema
Internacional e em hPa.

26
3.3 - Propriedades Físicas dos fluidos
Ao estudar os fluidos, devemos construir equações que descrevem o seu
movimento. Tais equações serão mais simplificadas quando forem escritas usando
propriedades físicas dos fluidos e, principalmente, aquelas propriedades que
independem da massa. As propriedades físicas dos fluidos, em última análise, são os
meios usados para caracterizar esse fluido.
a) Massa específica
A massa específica, na língua inglesa denominada de density, é definida como
a massa contida em uma unidade de volume do fluido. Matematicamente, podemos
calcular a massa específica através da relação entre a massa do fluido e o volume por ele
ocupado. Assim, sendo m a massa de um fluido e V o seu volume, por definição, a
massa específica, ρ, será:
V
m
=ρ

27
Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre a massa e o volume. Todavia
isso nem sempre acontece, pois podem existir problemas envolvendo fluidos que não
sejam homogêneos ou fluidos em que a massa específica varia de ponto para ponto
dentro da massa fluida, o que exige uma definição mais precisa e que considere essas
variações. Nesse caso, é necessário fazer a relação entre uma porção de massa muito
pequena, ∆m e o seu volume correspondente, ∆V. Assim, de forma mais precisa, diz-se
que a massa específica ρ é definida pelo limite:
V
m
V ∆
∆
=
→∆ 0
limρ
Observando esse limite, podemos verificar que se trata exatamente da definição
de derivada da função m em relação ao volume V. Assim, na prática, a massa específica
é calculada pela seguinte relação:
dV
dm
=ρ
Diz-se que a massa específica é a derivada da massa em relação ao volume ou,
em termos práticos, é a taxa de variação da massa com o volume. Deve-se observar que
a massa específica é uma grandeza absoluta pois apenas depende da massa contida em
um certo volume de fluido.
Essa relação é muito importante, quando se conhece a massa específica e
deseja-se calcular a massa total de um fluido. Da expressão acima podemos escrever:
∫=∴=
V
dVmdVdm ρρ .
Sabendo como a massa específica varia com o volume, a integral acima pode
ser avaliada para obter a massa total de fluido contida no volume V. Essa equação será
muito usada no estabelecimento das equações de previsão dos escoamentos em
Hidráulica.

28
Unidades:
As unidades da massa específica decorrem da própria definição, o que, em um
sistema coerente de unidades, pode ser escrito como:
U(ρ) = U(m) / U(V)
No SI, a unidade de ρ é kg/m3
; no sistema CGS é g/cm3
; no sistema Inglês Absoluto é
lb/ft3
; no sistema Inglês Técnico é slugg/ft3
e, finalmente, no sistema Técnico é utm/m3
.
A massa específica dos líquidos em geral decresce com o aumento de
temperatura, exceto para a água na faixa entre 0ºC e 4o
C, quando se verifica um
aumento de ρ com a temperatura. Para os gases a massa específica diminui com o
aumento da temperatura, mantendo-se a pressão constante.
Apesar da massa específica dos fluidos aumentar conforme se aumenta a
pressão os líquidos apresentam uma variação muito pequena, quase imperceptível.
Tanto é assim que os líquidos são considerados fluidos incompressíveis. Ao contrário, a
mudança da massa específica coma a pressão nos gases é bastante acentuada.
A água pura a 4o
C tem a massa específica exatamente igual a 1 000,00 kg/m3
.
Já a 20o
C, a sua massa específica é de 998,23 kg/m3
. O mercúrio metálico tem a sua
massa específica a 0o
C igual a 13 595,1 kg/m3
e a 20o
C igual a 13 545,8 kg/m3
.
Observar que a variação não é grande, porém ela ocorre. O valor exato da massa
específica da água a 4o
C concorreu para se estabelecer a água como padrão para
relacionar as demais substâncias, através da densidade que será definida adiante.
A tabela 04, dada a seguir, mostra os valores da massa específica da água e do
mercúrio a diversas temperaturas. Para a água é possível ajustar uma equação aos dados
da massa específica (kg/m3
) e temperatura (ºC) com resultados excelentes na faixa entre
0º
C a 40º
C e satisfatórios entre 40 e 95 ºC. A equação encontrada é:
( ) ( )
( )26,6757,503
28398,3
1000
2
+
+−
−=
T
TT
agρ

IX
4.2. Exemplo de aplicação.............................................................................179
4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS............................180
4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:.................................................182
4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO............................................................186
a) Vazão em volume: Q....................................................................186
b) Vazão em massa: m& ou Qm.........................................................190
c) Vazão em peso: G.........................................................................192
d) Velocidade média: V ...................................................................192
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO.............................................................193

30
b) Peso Específico
O peso específico, denominado de specific weight, é definido como sendo o
peso da unidade de volume de um fluido. Assim, ele representa a força exercida pela
atração gravitacional da terra sobre a unidade de volume do fluido. A relação
estabelecida, em que P é o peso de fluido contido no volume V, é a seguinte:
V
P
=γ
Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre o peso e o volume. Quando o
fluido não é homogêneo, diz-se que o peso específico γ é definido pelo seguinte limite:
V
P
V ∆
∆
=
→∆ 0
limγ
Nesse limite, ∆P é o peso de fluido contido no volume ∆V. À semelhança do ocorrido
com a massa específica, usa-se, na prática, a seguinte relação para calcular o peso
específico:
dV
dP
=γ
Diz-se que o peso específico é a derivada do peso em relação ao volume ou, em termos
práticos, é a taxa de variação do peso com o volume.
Essa relação é de fundamental importância quando se deseja conhecer o peso
total de um fluido. A expressão acima permite escrever:
∫=∴=
V
dVPdVdP γγ .
Unidades:
As unidades de peso específico podem ser determinadas em um sistema
coerente de unidades através da relação:

31
U(γ) = U(P) / U(V)
No SI, a unidade de γ é N/m3
; no sistema CGS é dyn/cm3
; no sistema Inglês Absoluto é
pdl/ft3
; no sistema Inglês Técnico é lbf/ft3
e, finalmente, no sistema Técnico é kgf/m3
.
A água pura a 4o
C tem o peso específico ao nível do mar igual a 9 806,65 N/m3
ou, aproximadamente 9 807 N/m3
. Os engenheiros usaram muito o valor 1000 kgf/m3
. O
mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0o
C igual a 133 322,4 N/m3
.
Da definição de peso específico decorre uma relação muito usual que permite o
cálculo do peso específico caso se conheça a massa específica e vice-versa. A segunda
lei de Newton permite escrever o peso de certa massa dm como sendo:
g
dV
gdm
gdmdP ργγ =∴=∴=
.
. .
Ao contrário da massa específica, o peso específico não é uma grandeza
absoluta, visto que depende do valor da aceleração da gravidade local, função da
posição na superfície terrestre.
A aceleração da gravidade varia com a latitude e com a altitude do local onde
está sendo observada. A variação com a latitude está dada na tabela 05.
Tabela 05 - Aceleração da gravidade, go ao nível do mar.
Latitu-
de (°)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
go
(m/s
2
)
9,780 9,782 9,786 9,793 9,802 9,811 9,819 9,826 9,831 9,832
Com a altitude, z, a aceleração da gravidade pode ser avaliada pela equação:
2






+
=
zR
R
gg o

32
Nessa equação, R é o raio da terra e go a valor da aceleração da gravidade na latitude do
local, conforme tabela 05.
c) Volume específico
Por definição o volume específico é o volume ocupado por uma unidade de
massa do fluido:
dm
dV
vs = ou
m
V
vs =
A comparar com a definição de massa específica, vê-se que essa grandeza
física pode ser determinada por uma relação mais usual:
ρ
1
=sv
O volume específico é comumente usado ao tratar do equacionamento do
movimento dos gases, sendo medido em m3
/kg no Sistema Internacional de Unidades.
d) Densidade
A densidade de um fluido, d, denominada de specific gravity na língua inglesa,
é definida pela relação entre a massa de um dado volume do fluido e a massa de um
mesmo volume de água pura a 4o
C. Depreende-se dessa definição que a densidade é um
número puro ou uma grandeza adimensional. Alguns autores teimam em chamá-la de
densidade relativa para diferenciar da massa específica à qual chamam de densidade
absoluta. Entretanto denominando essa grandeza apenas de densidade, não corremos o
risco de provocar dubiedades.
Como a massa de um volume de um dado fluido pode ser escrita como sendo
m = ρ.V e a massa do mesmo volume de água pura a 4o
C pode ser escrito como
ma = ρoV, tem-se:

33
ooVa
V
d
V
V
d
m
m
d
ρ
ρ
ρ
ρ
=∴=∴=
Tal expressão mostra que podemos calcular a densidade de um fluido através da relação
entre a sua massa específica, ρ, e a massa específica da água pura a 4o
C, ρo.
Devido à relação entre a massa específica e o peso específico, podemos, ainda,
se for conveniente, calcular a densidade de um fluido como sendo a relação:
o
d
γ
γ
=
Nessa relação, γ é o peso específico do fluido considerado e γo é o peso específico da
água pura a 4o
C.
Como exemplo, podemos citar a densidade do mercúrio a 0o
C. Ela vale d =
13,5951, já que a sua massa específica a 0o
C é 13 595,1 kg/m3
e a massa específica da
água padrão é 1 000,00 kg/m3
. A densidade da água a 20o
C é igual a 0,9982.
e) Compressibilidade
Os fluidos são mais ou menos compressíveis, dependendo da sua natureza.
Constata-se que os gases são bastante compressíveis ao passo que os líquidos são pouco
compressíveis. Assim, na realidade não existe um fluido completamente incompressível.
Por aproximação trataremos os líquidos como fluidos incompressíveis, mesmo sabendo
eles mudam muito pouco de volume quando sujeitos a elevadas pressões. Considera-se
um fluido incompressível quando alterações na pressão provocam uma variação
desprezível na massa específica. Uma evidência clara da compressibilidade dos líquidos
reside no fato de que uma perturbação na pressão viaja com uma certa velocidade no
seu interior. As ondas sonoras são decorrentes de uma variação de pressão. Elas viajam
nos líquidos com uma velocidade bem definida.
Mesmo os gases, quando submetidos a variação de pressão tal que a sua massa
específica altera muito pouco, podem ser considerados como fluidos incompressíveis. É
o caso do escoamento de ar em sistemas de ventilação de prédios.

34
A compressibilidade é a propriedade que os fluidos têm de alterar o seu volume
devido a uma alteração na pressão a que estão submetidos. A variação de volume
relativa que um fluido sofre ao ser submetido a uma variação de pressão é escrita como
sendo ∆V/V, onde ∆V é a variação de volume sofrida e V o volume inicial. Se essa
variação relativa de volume é devida a uma variação ∆p da pressão, define-se o módulo
de elasticidade volumétrica E como sendo a relação:
V
V
p
E
∆
∆
−= ou
V
p
VE
∆
∆
−=
O sinal negativo decorre do fato de se pretender valores de E sempre positivos
e do fato de que haverá uma variação inversa entre a pressão e a variação de volume. Se
aumentarmos a pressão o volume diminui e vice-versa.
Mais precisamente devemos definir E como sendo o caso limite da relação
∆p/∆V, quando ∆V tender para zero. Nesse caso tem-se:
dV
dp
VE −=
Nesta equação V é o volume inicial, dp é a variação elementar de pressão que causou a
variação de volume, dV, também elementar.
Como a variação relativa de volume é uma grandeza adimensional, nota-se que
as unidades de E são as mesmas da pressão. Assim, E é medido em N/m2
, dyn/cm2
,
kgf/m2
, etc.
O módulo de elasticidade volumétrica é análogo ao módulo de elasticidade
definido para os sólidos. A diferença é que o primeiro é definido com base na variação
de volume, ao passo que o segundo é definido com base na relação unidimensional da
tensão-deformação dos corpos sólidos.
Como m = ρV = const., diferenciando, tem-se: dm = ρ.dV+ V.dρ =0. Logo -
dV/V = dρ/ρ. Assim, substituindo essa relação na equação de E dada acima, chega-se a:
ρ
ρ
d
dp
E =

35
Dessa equação pode-se tirar uma importante relação muito usada para calcular
a taxa de variação da pressão com a massa específica:
ρρ
E
d
dp
=
A expressão acima pode ser posta sob a forma
E
dpd
=
ρ
ρ
e integrada para
obter:
∫∫ =




 p
poo E
dpdρ
ρ ρ
ρ ou
E
pp o
o
−
=)ln(
ρ
ρ
.
Para os líquidos, observando que a variação é pequena, a última equação pode ser
aproximada pela equação
E
pp o
o
o −
=
−
ρ
ρρ .
Finalmente, esta equação pode ser re-escrita na forma:
( )





−+= oo pp
E
1
1ρρ
Esta equação pode ser usada para previsão de novos valores da massa específica quando
um líquido for submetido a um aumento de pressão p – po, desde que se conheça o
módulo de elasticidade volumétrico do líquido. Considerando-se a água como fluido
incompressível, despreza-se a segunda parcela dentro dos colchetes na equação anterior,
o que permite concluir que ρ = ρo.
Na realidade constata-se que E varia com a pressão e com a temperatura no
caso dos fluidos. Para os líquidos tal variação é muito menor. Assim é que os gases têm
um valor de E relativamente baixo, ao passo que os líquidos têm um elevado valor de E.
A tabela 06 fornece alguns valores do módulo de elasticidade volumétrica da água.

37
a
v
M =
Ele expressa quantas vezes a velocidade de escoamento de um fluido é maior ou menor
que a velocidade de propagação de uma onda de pressão no mesmo.
Considerando-se as variações de massa específica, pode-se escrever:
n
o M
n −





 −
+=
1
1
2
2
1
1ρρ
n é o expoente adiabático do fluido e ρo é a massa específica quando a velocidade de
deslocamento do fluido for nula. A expressão acima mostra que a massa específica não
varia muito. Assim, se M = 0,3 e n = 1,4, para uma velocidade v = 100m/s tem-se ρ =
0,96ρo. Ao desconsideramos a variação da massa específica, nesse caso, o erro cometido
é de apenas 4% para uma velocidade exageradamente grande.
Distinção entre Líquido e Gás
Os fluidos são substâncias líquidas ou gasosas. O que vai diferenciar um
líquido de um gás é o arranjo interno na estrutura molecular de cada substância.
Nos gases as moléculas estão muito mais distantes entre si, de forma que a
força de coesão entre elas torna-se bastante pequena. Tanto é assim que os gases tendem
a ocupar todo o volume que os encerra. Se toda a força externa que encerra uma da
massa gasosa cessa, o gás tende a se expandir indefinidamente. O equilíbrio só ocorre
quando o gás está encerrado entre paredes confinantes, formando um sistema fechado.
Nos líquidos, as moléculas estão bem mais próximas umas das outras. Essa
proximidade aumenta as forças de coesão entre elas, fazendo com que o líquido ocupe a
forma do recipiente que o contém, às vezes deixando uma superfície livre. Essa
superfície livre aparece sempre que a pressão torna-se igual a um valor que não seja a
sua pressão de vapor.
Dessa maneira é que dizemos que os gases são mais compressíveis que os
líquidos, considerados incompressíveis.

38
Um vapor é um gás cuja temperatura e pressão a que está submetido são
próximas daquelas que caracterizam a fase líquida. O vapor d’água é considerado um
gás pois o seu estado é próximo ao estado da água líquida. Já para um gás as condições
de T e p estão muito longe do estado líquido. Muitos autores referem-se a um gás como
um vapor superaquecido. O volume de um gás é muito afetado pela temperatura e pela
pressão ou por ambos.
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis
A Hidráulica trata essencialmente do estudo dos fluidos incompressíveis e a
mecânica dos fluidos estuda ambos os fluidos. Na realidade devemos observar que
todos os fluidos reais são compressíveis, uns mais e outros menos. Um fluido é
considerado incompressível quando, no seu estudo, pode-se desprezar as variações de
massa específica causadas pela variação da pressão. Se essas variações são
significativas, não podendo ser desprezadas, devemos estudar o fluido do ponto de vista
de sua compressibilidade, tentando estabelecer relações entre a compressibilidade e as
variações de pressão. Na maioria das vezes os líquidos são considerados
incompressíveis pois a variação da sua massa específica com a pressão é desprezível.
Entretanto, em alguns poucos casos, essa variação deve ser considerada, mesmo em se
tratando de um líquido. É o caso da ocorrência do fenômeno denominado de golpe de
aríete, efeito muito danoso aos alguns escoamentos em tubulações. A comprovação da
compressibilidade dos líquidos é o fato de que ondas sonoras viajam através deles com
uma velocidade finita. As ondas sonoras são manifestações de variação de pressão.
Os gases, em certos casos, também podem ser considerados como tendo um
comportamento de fluido incompressível. É o caso de escoamentos a baixas velocidades
e com pequenas variações de pressão, tais como os que ocorrem em sistemas de
ventilação de edifícios ou no escoamento através da asa de aviões que se deslocam a
velocidades inferiores a 100 m/s.

39
g) Pressão de vapor
Todo líquido tende a evaporar quando possuir uma superfície livre. As
moléculas dos líquidos que estiverem próximas à superfície livre podem escapar do
líquido, passando à fase de vapor nas proximidades da superfície livre, de tal forma que
a evaporação se dá pela perda de moléculas do líquido. Quando esse espaço não é
confinado, o número de partículas que passa à fase de vapor é estatisticamente maior do
que o que volta novamente à fase líquida, fazendo com que haja evaporação.
Quando o espaço acima da superfície livre é confinado, a pressão parcial do
gás vai aumentando até que haja um equilíbrio entre as moléculas que passam à fase de
vapor e as que retornam à fase líquida. Nesse caso de equilíbrio a pressão é denominada
de pressão de saturação ou pressão de vapor do líquido. Se a pressão acima da
superfície livre de um líquido se tornar igual à pressão de vapor, ocorre a ebulição do
líquido. A água pode entrar em ebulição a 20o
C, desde que a pressão na sua superfície
seja abaixada para 2 334 Pa (a pressão atmosférica ao nível do mar é de 101 325 Pa). A
tabela 07 fornece o ponto de ebulição da água para diversas altitudes.
Tabela 07 – Ponto de ebulição da água e temperatura
Altitude
(m)
0 500 800 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000
Temp
(ºC)
100 98 97 96 95 93 91 89
A atividade molecular, que é dependente da temperatura, é de fundamental
importância ao se estabelecer a pressão de vapor. Assim constata-se que a pressão de
vapor de um líquido é tanto maior quanto mais elevada for a temperatura na qual o
líquido se encontra. A tabela 08 fornece a pressão de vapor da água com a temperatura,
em unidades do sistema Internacional, sistema técnico e em metros de coluna de água
(mca)
Nos escoamentos de um líquido podem ocorrer pressões inferiores à pressão de
vapor. Nesses pontos o líquido evapora muito rapidamente, formando uma bolsa ou
cavidade que se expande rapidamente e ao deslocar pode voltar a ser submetida a

40
pressões maiores, tornando a voltar à fase líquida (colapso da bolha). Esse fenômeno é
denominado de cavitação e deve ser evitado nos escoamentos. Nas bombas, quando ela
ocorre, haverá uma perde de eficiência e pode levar ao desgaste prematuro das peças
envolvidas.
Tabela 08 – Pressão de vapor da água e temperatura
Temperatura Pressão de vapor da água
(ºC) Pa kgf/m2
mca
-10 260 26,5 0,027
-5 403 41,1 0,041
0 611 62,3 0,062
4 813 82,9 0,083
5 872 88,9 0,089
10 1 225 124,9 0,125
15 1 705 173,9 0,174
20 2 339 238,5 0,239
25 3 169 323,1 0,323
30 4 246 433,0 0,433
50 12 350 1 259 1,259
80 47 390 4 832 4,832
100 101 325 10 332 10,332
150 475 800 48 518 48,518
h) Tensão superficial e capilaridade
Os líquidos na realidade são formados por partículas que estão sujeitas a forças
de coesão e de adesão. Estas são forças de atração que ocorrem a nível molecular. As
forças de coesão tendem a manter as moléculas do líquido unidas entre si. Já as forças
de adesão tendem a manter partículas do líquido junto com partículas de outros corpos
próximos, como no caso das paredes que contêm os líquidos.
Se as forças de adesão são superiores às forças de coesão aparece a conhecida
tendência dos líquidos de molharem o recipiente que os contém. Isso é o que acontece
com a água e a maioria dos recipientes que a encerra. Se as forças de coesão superam as

42
Fig. 01 - Relação entre a tensão superficial e a temperatura para a água
A variação da tensão superficial da água (em N/m) com a temperatura, na faixa
entre 0ºC e 100ºC pode ser aproximada pelo polinômio:
0756,010.403,110.751,2 427
+−= −−
TTσ .
Os efeitos da tensão superficial em geral são pequenos, podendo ser
desprezados na maioria dos problemas encontrados na Engenharia. Entretanto em
alguns problemas envolvendo capilaridade, formação de bolhas ou gotas, quebra de jato
líquido, eles podem assumir papel preponderante.
A capilaridade é devida aos efeitos da tensão superficial. Quando as forças de
adesão superam as de coesão, o líquido adere à parede do recipiente que o contém
promovendo uma elevação da superfície de separação um pouco acima do nível do
líquido. Ocorre, assim, uma elevação capilar, como no caso da água. Quando as forças
de adesão são inferiores às de coesão, o líquido não adere à parede do recipiente. Nesse
caso a superfície de separação tende a se abaixar, ficando algo abaixo do nível normal
da superfície líquida. Esse é o caso do mercúrio. Quando mergulhamos um tubo de
vidro na água, observa-se uma elevação do nível da água dentro do tubo, acima da
superfície normal da água. Quando introduzimos um tubo de vidro no mercúrio, ocorre
uma depressão do nível do mercúrio dentro do tubo. Tanto a elevação quanto a
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0 20 40 60 80 100
TensãoSuperficial(N/m)
Temperatura (ºC)

43
depressão capilar depende do inverso do raio do tubo. Tubos finos tendem a mostrarem
uma grande elevação capilar. Tubos de diâmetros acima de 10mm mostram uma
elevação capilar desprezível.
A figura 02 ilustra a elevação capilar, h, ocorrida ao se introduzir um tubo de
raio R dentro da água de peso específico γ e tensão superficial σ. Considera-se θ o
ângulo de ataque, formado pela tangente ao bordo do menisco ao atingir a parede do
tubo de vidro e a vertical. Quando o tubo está limpo, para a água θ = 0o
e para o
mercúrio θ = 140o
.
Figura 02 – Elevação capilar em um tubo de vidro.
A força que tende a levar a superfície da água é devida à tensão superficial da
água e se manifesta ao longo de toda a linha de contato da água com as paredes internas
do tubo de vidro. Essa força tem uma componente vertical dada por:
Fv = 2π.R.σ.cosθ

44
O equilíbrio será conseguido quando o peso da coluna de água de altura h for
suficientemente grande para se contrapor à força dada acima. O peso da coluna de água
será:
P = γπR2
h
Igualando as duas expressões, tem-se a equação que permite prever a altura capilar, h:
R
h
γ
θσ cos2
=
Através dessa equação podemos calcular a elevação capilar em um tubo de
vidro de 5mm de diâmetro, quando imerso em água a 20o
C. O resultado é h = 5,9mm.
Para o mercúrio deverá ocorrer uma depressão h = 1,4mm. Na prática consideram-se
desprezíveis os efeitos capilares se o diâmetro do tubo é superior a 10mm.
EXERCÍCIOS
Dados: g = 9,807 m/s
2
; 1 cm = 10
-2
m; 1 ft = 0,3048m, 1 pol = 2,54 cm, 1 lb =
0,4536 kg.
1. Dois dm
3
de um dado líquido pesam 1,640 kgf. Calcular o seu peso
específico, massa específica e densidade, expressos em unidades do
Sistema Internacional de Unidades.
2. Um reservatório cilíndrico de diâmetro igual a 8,50 m está preenchido com
três líquidos de massas específicas diferentes. O líquido que ocupa a parte
inferior do reservatório tem densidade 1,60 e forma uma camada de 0,45 m
de espessura. o líquido que ocupa a região intermediária tem densidade
1,30 e forma uma camada de 0,80 m de espessura. O líquido da camada
superior tem densidade 1,05 e espessura de 3,00 m. Nesse caso,
determinar a massa e o peso total dos fluidos no reservatório, em um local
situado a 20º de latitude Sul e a uma altitude de 1220 m.

45
3. Um reservatório cilíndrico de 8,50 m de diâmetro encontra-se cheio de um
líquido cuja massa específica varia linearmente com a altura, medida em
relação à0 sua base, segundo uma relação do tipo ρ = ρo + a.h, sendo ρo e a
constantes. Na base, quando h = 0, a massa específica é ρo = 1.600 kg/m
3
.
Na parte superior, em contato com a atmosfera, a 4,25 m do fundo, a
massa específica é ρ = 1.000 kg/m
3
. Nesse caso, determinar a massa e o
peso do fluido contido no reservatório em um local em que a aceleração da
gravidade vale 9,795 m/s
2
.
4. Um reservatório de aço, cilíndrico, de 4,0 m de diâmetro, está cheio de água
com temperatura variável, desde o fundo até 6,0 m de altura. No fundo do
reservatório, a massa específica da água vale 998,2 kg/m
3
e a 6,0 m de
altura vale 995,7 kg/m
3
. Adotando uma variação linear da massa específica
com a altura, determinar a massa de água contida no reservatório. Calcular,
ainda, o peso da água no reservatório em um local onde a aceleração da
gravidade vale 9,78 m/s
2
.
6. A água tem um módulo de compressibilidade volumétrico E = 21.000
kgf/cm
2
. Determinar o acréscimo de pressão necessário para reduzir o seu
volume em 0,5%.
6. Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é E = 2.206,32
MPa, calcular o percentual de redução de volume da água quando a mesma
estiver sujeita a uma variação de pressão de 440 kPa.

47
Fig. 03 - Perfil de velocidades, u = f(y), de um escoamento hipotético.
Na Fig. 03, representa-se a velocidade, u, na direção do escoamento na direção
do eixo Ox, em relação a distância do ponto considerado ao contorno, na direção Oy,
perpendicular ao eixo Ox. Assim podemos dizer que u é depende de y ou que u é uma
função de y, o que, genericamente, pode ser representado por u = u(y). Assim, essa
função u = u(y) representa o perfil de velocidades, lei muito importante para definir as
propriedades de um escoamento.
Uma propriedade importante dessa função é expressa pela maneira como u
varia com y. A velocidade u varia desde zero, quando y for nulo, até um certo valor U
longe do contorno sólido. Para uma dada posição y, seja u o valor correspondente da
velocidade. Essa seria a velocidade de uma pequena camada de fluido centrada na
posição y. Se considerarmos uma camada de fluido adjacente, em uma posição y’ = y +
dy, o perfil de velocidade mostra que a velocidade correspondente será u’ = u + du.
Nesse caso, vê-se que a relação du/dy expressa a inclinação da tangente à curva do perfil
de velocidades na posição y em relação ao eixo Oy, conforme ilustrado na figura 04.
Essa inclinação é exatamente a taxa de variação de u com y para o escoamento
considerado. Ela é denominada de velocidade de deformação, taxa de deformação ou
gradiente de velocidades, pois é uma medida da velocidade de deformação contínua do
fluido durante o seu movimento. Observar que tal número atinge um valor máximo

48
quando y = 0, isto é, no contorno sólido, sendo decrescente na medida em que y
aumenta, em direção ao interior do fluido. Em alguns escoamentos essa taxa é tão
pequena que até pode ser considerada nula, como é o caso das regiões do escoamento
em que a velocidade deixa de variar. Observar, ainda, que du/dy tem dimensões de
tempo elevado ao expoente -1, isto é s-1
.
Fig. 04 - variação de velocidades entre duas camadas de
fluido de posições diferentes (y e y').
Na prática, uma maneira de se determinar o valor do gradiente de velocidade, é
adotar um triângulo de lados finitos, de abscissa ∆u e ordenada ∆y, valores muito
superiores aos infinitésimos du e dy, respectivamente. Logo
du/dy ≈ ∆u/∆y
tal valor, na verdade representa o coeficiente angular da tangente ao perfil de
velocidades em relação ao eixo Ou, na posição y. Quanto maior o ∆u adotado, maior
será o ∆y correspondente e, menor será o erro ao fazer a aproximação para du/dy.
Supondo que a camada de fluido que se encontra na posição y tenha uma área
infinitesimal, dA, e que a camada vizinha a ela também tenha a mesma área, a força
necessária para imprimir a alteração de velocidade du na camada superior será

49
denominada dFt. Essa, é uma força na direção do movimento do fluido, portanto uma
força tangencial, capaz de provocar o aumento de velocidade, du. Se a força na camada
superior (posição y' = y + dy) está para a direita (no sentido do movimento), na camada
inferior (posição y) a reação a ela certamente estará para a esquerda (sentido contrário
ao movimento). Nesse caso, na área dA das camadas de fluido, é possível definir a
relação dFt/dA como sendo a tensão cisalhante que age sobre a camada fluida, pela
relação:
dA
dF
A
F tt
A
=
∆
=
→∆ 0
limτ
A figura 05 ilustra o caso das placas planas de fluido escoando com
velocidades diferentes no interior do mesmo fluido.
Fig. 05 - Figura com camadas de velocidade u e u+du e área dA, com a força viscosa
dFt.
A unidade da tensão cisalhante é N/m2
ou pascal, Pa. Observar que, sob a ação
da tensão cisalhante, o fluido deforma continuamente, com uma velocidade ou taxa de
deformação dada por du/dy. A figura 05, ilustra os elementos envolvidos.
Experimentalmente, pode ser verificado que, para a grande maioria dos fluidos,
existe uma relação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidades. Tal
observação foi feita por Isaac Newton no passado. Então,
τ α du/dy ou τ = k. du/dy

50
À constante de proporcionalidade da variação linear entre a tensão cisalhante e
o gradiente de velocidade, k, denominou-se viscosidade, viscosidade absoluta,
coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica. Nesse texto, ela será designada
apenas por viscosidade e será representada pela letra grega minúscula µ. Finalmente,
pode-se escrever que:
τ = µ. du/dy
Tal relação foi estabelecida por Isaac Newton por volta de 1687 e, em
homenagem a ele, é denominada de lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que
obedecem essa lei durante o seu escoamento, recebem o nome de fluidos newtonianos.
O gráfico da figura 06, mostra dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. O
fluido B tem viscosidade superior à do fluido A, oferecendo maior resistência ao
escoamento. Notar que, a inclinação da reta para o fluido B é maior do que a do fluido
A, confirmando que a viscosidade do primeiro fluido é maior que a do segundo fluido.
Fig. 06 - Gráfico mostrando dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes.
Na natureza não existem apenas fluidos newtonianos, embora a maioria dos
fluidos sejam desse tipo, assim como a água, o ar, o álcool, a gasolina ou certos óleos,
para citar apenas alguns. Existem também os fluidos não-newtonianos, para os quais a
tensão cisalhante não tem variação linear com o gradiente de velocidades, conforme
mostrado no gráfico da figura 07.

52
centésima parte do poise e que se representa por cPo, para expressar a viscosidade dos
líquidos e dos gases. Nessa unidade, a viscosidade da água a 20 ºC é de 1,0 cPo, daí ter
virado referência de viscosidade.
Existe uma relação entre as unidades Pa.s e Po, tendo-se em vista que 1 m2
=
104
cm2
e que 1 N = 103
g. 102
cm/s = 105
dyn. Assim 1 Po = 0,1 Pa.s.
Os demais sistemas de unidades têm a sua unidade de viscosidade, todavia de
pouco uso atualmente, razão pela qual não serão apresentadas nesse texto.
Alguns exemplos de viscosidade de líquidos são dados na tabela xx.
Tabela 10 - Viscosidades de alguns líquidos.
Líquido Viscosidade ou viscosidade
dinâmica, µ (Pa.s)
Água pura a 0ºC 0,0180
Água pura a 20 ºC 0,0010
Água pura a 100 ºC (líquido) 0,00 028
Água pura a 100 ºC (vapor) 0,000 012
Mercúrio metálico a 20 ºC 0,0 015
Glicerina a 20 ºC 1,52
Glicerina a 40 ºC 0,31
Gasolina a 20 ºC 0,00 029
Álcool etílico a 20 ºC 0,0 012
Óleo para motores SAE 10W 0,10
Sangue a 37 ºC 0,00 040
Viscosidade cinemática.
Em muitas equações destinadas a representar os escoamentos de fluido
aparecerá a relação entre a viscosidade e a massa específica, µ/ρ. Tal relação é
denominada de viscosidade cinemática, representada pela letra grega minúscula ν.
Assim, tem-se:
ν = µ/ρ.

53
mais uma vez, se uma relação existe entre grandezas físicas ela prevalece entre
as suas unidades em qualquer sistema de unidades coerente. logo, pode-se escrever que:
U(ν) = U(µ)/U(ρ).
A unidade de ν no Sistema Internacional de Unidades e no sistema técnico será
m2
/s. Já no sistema de unidades CGS a unidade de ν será cm2
/s, denominada de stoke e
abreviada por St. Então, pode-se concluir que 1 stoke = 1 cm2
/s = 10-4
m2
/s. Como o
stoke ainda é uma unidade grande de viscosidade cinemática, criou-se o centi-stoke ou
cSt igual à centésima parte do stoke, de forma que 1 cSt = 10-2
St = 10-6
m2
/s.
No estudo dos líquidos é bastante interessante explicitar as equações em termos de ν. Já
nos gases, é comum o uso de µ. A título de exemplo, verifica-se que a água, a 20 ºC,
tem viscosidade cinemática igual a 1,0.10-6
m2
/s.
Variação da viscosidade
A viscosidade de um fluido, em geral, depende da temperatura e da pressão.
Porém a variação da viscosidade de um líquido com a pressão é pequena e será
desconsiderada nos estudos dos escoamentos desse tipo de fluido. Por outro lado, a
variação da viscosidade com a temperatura é significativa e precisa ser considerada nos
diversos casos a serem estudados. Se a temperatura aumenta a viscosidade diminui no
caso dos líquidos, Já no caso dos gases a um aumento de temperatura corresponde um
aumento da viscosidade. Ver desenho esquemático na figura 08.
Nos líquidos as moléculas possuem mais energia e quando se aumenta
a temperatura a distância entre as partículas aumenta, fazendo com que as forças
intermoleculares de coesão ficam diminuídas de maneira que a força tangencial
necessária para executar um certo escoamento fica diminuída, assim como a
viscosidade. Já nos gases, como as moléculas já estão bem distantes umas das outras, as
forças intermoleculares de coesão são insignificantes de forma que o aumento da
temperatura causará mais colisões entre essas moléculas e, portanto maior resistência ao
escoamento. Nesse caso quando se aumenta a temperatura a viscosidade também
aumenta.

54
Fig. 08 - Figura ilustrando a variação da viscosidade
de gases e líquidos com T
Na prática constata-se que existe uma proporcionalidade entre a viscosidade e a
raiz quadrada da temperatura, para os gases, isto é:
Tαµ
A equação de Sutherland, para os gases informa que a viscosidade de um gás é
dada por:
T
b
Ta
+
=
1
µ
onde T é a temperatura absoluta e a e b são constantes determinadas experimentalmente
para cada gás. Para o ar a = 1,458 . 10-6
kg/(m.s.K0,5
) e b = 110,4 K, sob condições
atmosféricas normais. A viscosidade dos gases é considerada independente da pressão
sob condições de pressão baixa ou moderada. Considerar que, sob elevadas pressões, a
viscosidade aumenta, devido ao aumento na massa específica do gás.
Para os líquidos, a variação da viscosidade com a temperatura pode ser
aproximada por uma lei exponencial do tipo: cT
b
a −
= 10.µ
sendo T a temperatura absoluta e a, b e c são constantes determinadas
experimentalmente para cada líquido. Para a água, valores de a = 2,414.10-5
N.s/m2
, b =
247,8 K e c = 140 K permitem avaliar a viscosidade da água na faixa de temperatura
entre 0 e 350 ºC, com erro inferior a 2,5%, segundo Touloukian et al, 1975.

55
Diversos autores apresentam gráficos de variação da viscosidade dos fluidos
com a temperatura, conforme ilustrado na figura 09.
Figura 09 - Gráfico com a variação da viscosidade com a temperatura
para diversos fluidos. Fonte: Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e
Aplicações - Yunus A. Çengel e John M. Cimbala.
Para a água pura, a viscosidade também diminui com o aumento da
temperatura. Tal variação, para a viscosidade cinemática, pode ser vista na tabela 11.

56
Tabela 11 – Variação da viscosidade da água com a temperatura
Temperatura
(ºC)
Viscosidade
Cinemática
(10-6
m2
/s)
Temperatura
(ºC)
Viscosidade
Cinemática
(10-6
m2
/s)
0 1,792 24 0,923
1 1,729 25 0,901
2 1,673 26 0,880
3 1,623 27 0,859
4 1,567 28 0,839
5 1,523 29 0,819
6 1,476 30 0,804
7 1,431 32 0,765
8 1,388 34 0,732
9 1,346 36 0,702
10 1,308 38 0,674
11 1,269 40 0,657
12 1,238 45 0,615
13 1,208 50 0,556
14 1,179 55 0,520
15 1,146 60 0,478
16 1,123 65 0,442
17 1,096 70 0,416
18 1,069 75 0,381
19 1,043 80 0,367
20 1,007 85 0,337
21 0,993 90 0,328
22 0,969 95 0,311
23 0,946 100 0,296
Para fins de facilitar os cálculos, uma equação para determinação aproximada
da viscosidade cinemática da água, com T em ºC e ν em m2
/s foi ajustada chegando-se à
forma:
( ) ( )[ ] 62
10.1500068,015031,0146,1 −
−+−−= TTν

58
Figura 10 - hipótese do perfil linear de velocidades
Tal equação simples é útil em muitos problemas práticos onde não se requer
uma grande precisão nos cálculos ou onde o valor de y, para o qual a velocidade é u,
tornar-se significativamente pequeno.
A viscosidade ou a viscosidade cinemática de um fluido é determinada
experimentalmente através de equipamentos denominados de viscosímetros, que
funcionam sob vários princípios ligados aos escoamentos.
Viscosímetros funcionando segundo a queda de uma esfera no meio viscoso.
São equipamentos baseados na medição da velocidade de queda de uma esfera
dentro de um tubo de vidro preenchido com uma amostra do fluido (cerca de 130 ml)
cuja viscosidade deverá ser determinada. O tubo de vidro deve ter a sua superfície
interna retificada para que o diâmetro seja conhecido com rigor. Esse tubo é
ligeiramente inclinado (cerca de 10º) e nele são efetuadas três marcas externas a
distâncias previamente determinadas (geralmente 50 mm). Uma esfera de diâmetro e
massa específica conhecidos é deixada cair livremente no interior do fluido contido no
tubo. O tempo,∆t, gasto para a esfera passar entre a marca inicial e a final é medido e a
velocidade de queda determinada pela relação ∆L/∆t. Nesse caso, a viscosidade
(dinâmica) será proporcional a esse tempo. Levando-se esse tempo em uma equação
conveniente, perfeitamente dedutível em função das forças presentes, pode-se
determinar a viscosidade µ do fluido. Deve se ter o cuidado de envolver o tubo de vidro

59
em um banho termostático com a finalidade de se manter a temperatura sobre rigoroso
controle. Um tipo desse viscosímetro é o viscosímetro Höeppler, ilustrado na figura 11.
Sendo o fluido cuja viscosidade é objeto de determinação, de massa específica
ρf, o tubo de vidro de diâmetro interno Dt e a esfera de diâmetro De, feita de um material
(vidro ou aço inoxidável) de massa específica ρe. A velocidade de queda da esfera será
determinada cronometrando-se o tempo gasto pela esfera percorrer uma distância L
(entre as duas marcas extremas do tubo de vidro), no caso igual a 100 mm. Observe a
existência de uma marca intermediária a 50 mm da marca superior, que pode ser usada
para verificar se a velocidade da esfera é realmente constante. Não usar tempos de
queda inferiores a 30 s (média de pelo menos 3 medições). A viscosidade será dada por:
µ = k.t.(ρe - ρf),
sendo k uma constante que leva em conta os diâmetros do tubo e da esfera (portanto
cada esfera terá o seu próprio valor), a distância L e um fator de conversão de unidades.
Nessa equação µ será a viscosidade do fluido obtida em centipoise. Com esse
dispositivo pode-se medir viscosidades desde 0,01 centipoise até 10 000 poise.
Um dos modelos desse tipo de viscosímetro, fabricado pela Hoppler é ilustrado
na figura 11 e tem suas características dadas na tabela 12.
Tabela 12 - Dados do viscosímetro de queda de esfera Höeppler
Dados do Fabricante do viscosímetro Hoppler : ( )fetk ρρµ −∆=
Nro. da
Esfera
Faixa de µ
(centipoise)
Diâmetro da
esfera (mm)
Peso da
esfera (g)
ρe
(g/cm3
)
Constante
(k)
1 0,2 - 2,5 15,81 4,945 2,390 0,00712
2 2,0 - 20 15,66 4,801 2,389 0,0554
3 15 - 200 15,6 16,188 8,143 0,0910
4 100 - 1200 15,20 14,985 8,145 0,6430
5 800 - 10 000 14,28 11,729 7,694 4,60
6 6 000 - 75 000 11,12 5,559 7,723 33,0

60
Figura 11 - Desenho esquemático de um viscosímetro de queda de esfera.
Viscosímetros funcionando segundo o escoamento em um tubo capilar.
Nesse tipo de equipamento, um escoamento controlado é feito acontecer
através de um tubo capilar, de forma que ocorra um escoamento laminar. Nesse caso, a
medida do tempo de escoamento de um dado volume, sob certas condições, permite a
determinação da viscosidade cinemática. è o caso do viscosímetro de Ostwald.
Ainda utilizando tal princípio, existe o viscosímetro Saybolt Universal, muito
usado na indústria que trabalha com óleos e líquidos mais viscosos. Nesse caso, um
volume equivalente a 50 ml de líquido é colocado a escoar a partir de um reservatório
de dimensões padronizadas, através de um tubo de pequeno diâmetro (1,77 mm) e
comprimento padronizado (12,12 mm). O tempo de escoamento desse volume de
líquido, expresso em segundos, representa a sua viscosidade. Tal tempo, foi
denominado de SSU (Segundos Saybolt Universal). Esse tempo poderá ser utilizado em
equações empíricas para se chegar ao valor da viscosidade cinemática do líquido
ensaiado, em stoke ou m2
/s. Todo o equipamento é instalado em um banho termostático
para garantir que o escoamento ocorra à temperatura desejada. Os testes de óleos são
feitos a temperaturas de 21,1 ºC, 27,8 ºC, 54,4 ºC e 89,9 ºC e os tempos de escoamento
não devem ser inferiores a 32 segundos. Nesse caso, para tempos entre 32s e 100 s, a
viscosidade cinemática em centi-stokes será dada por:
t
t
195
226,0 −=ν

61
se os tempos forem superiores a 100 s, a equação a ser utilizada será:
t
t
135
226,0 −=ν
A figura 12 é um desenho esquemático desse tipo de viscosímetro.
Figura 12 - Desenho esquemático de um viscosímetro Saybolt Universal
Quando o tempo de escoamento fica demasiadamente elevado, é necessário
aumentar o diâmetro do tubo por onde acontece o escoamento, Assim, para líquidos de
viscosidade mais elevadas que os óleos, tais como asfaltos e graxas, existe um
viscosímetro semelhante ao Saybolt Universal, porém com maior diâmetro do tubo
(3,15 mm) e de mesmo comprimento (12,25 mm) que o Saybolt Universal, por onde
ocorrerá o escoamento. Tal viscosímetro é denominado de Saybotl Furol e deve ser
usado quando para líquidos de viscosidade superior a 1000 SSU. Da mesma forma, o
tempo de escoamento medido em segundos e a viscosidade é medida sem SSF
(Segundos Saybolt Furol). A viscosidade Saybolt Universal representa cerca de um
décimo da viscosidade Saybolt Furol. Também é possível converter a viscosidade em
segundos Furol para stoke ou m2
/s, através de equações empíricas convenientemente
determinadas para tal equipamento. Para conversão das viscosidades de SSF para centi-
stoke usam-se fórmulas empíricas que, para tempos SSF entre 22 e 40 será:
t
t
∆
−∆=
184
24,2ν
Se o tempo for superior a 40 SSF, a fórmula para o cálculo da viscosidade cinemática
em centi-stoke é

4
Tabela 01 - Principais Invenções relacionadas com a Hidráulica.
Invenções Autores Ano País
Esgotos --- 3750 a.C. Babilônia
Drenagem Empédocles 450 a.C. Grécia
Parafuso de Arquimedes Arquimedes 250 a.C. Grécia
Bomba de Pistão Ctesibius-Hero 200-120
a.C.
Grécia
Aquedutos Romanos -- 150 a.C. Roma
Termas romanas -- 20 a.C. Roma
Uso do vapor d’água David Ramsey/Thomas
Savery
1630/1698 Inglaterra
Barômetro E. Torricelli 1643 Itália
Compressor de ar Otto von Gueriche 1654 Alemanha
Tubos de ferro fundido Johan Jordan 1664 França
Bomba centrífuga Johan Jordan 1680 França
Máquina a vapor Denis Papim 1690 França
Bacia sanitária Joseph Bramah 1775 Inglaterra
Turbina hidráulica Benoit Fourneyron 1827 França
Prensa hidráulica S. Stevin/Joseph Bramah 1600/1796 Holanda/Inglaterra
Emprego de hélice John Ericson
Manilhas cerâmicas Francis 1846 Inglaterra
Tubos de concreto armado J. Monier 1867 França
Usina hidrelétrica --- 1882 Estados Unidos
Turbina a vapor Ch. A. Parsons –De Laval 1884/1890 Inglaterra/Suécia
Submarino J. P. Holland 1898 Estados Unidos
Tubos de cimento amianto A. Mazza 1913 Itália
Propulsão a jato Frank Whittle 1937 Inglaterra
No Brasil:
• Em 1879: o Imperador dom Pedro II concede à empresa norte-americana Edison
Eletric Light Co. (de Thomas Edison) a instalação de iluminação elétrica na
estação da Estrada de Ferro Pedro II.
• Em 1885: uma usina hidrelétrica foi instalada para geral energia em Diamantina,
com as águas do Ribeirão do Inferno, para utilização em mineração de diamantes.
• Em 1889: Início da operação da Usina de Marmelos, primeira hidrelétrica do
continente, idealizada pelo industrial mineiro Bernardo Mascarenhas, instalada no

63
Sendo F a força tangencial na superfície do rotor, devida ao gradiente de
velocidades formado entre a parede fixa e a superfície do mesmo, dada pela lei de
Newton da viscosidade, no caso de se adotar um perfil linear de velocidades, tem-se que
o torque, T, a ser aplicado sobre o rotor para que o mesmo gire com uma velocidade u,
será dado por:
RA
y
u
RFT .. µ==
Logo, pode-se escrever que:
L
R
R
T
∆
=
ωπ
µ
3
2
ou L
R
NR
T
∆
=
32
4π
µ ou
LNR
RT
.4
.
32
π
µ
∆
=
Finalmente, tem-se:
N
T
LR
R
.
.4 32
π
µ
∆
=
A medida da rotação, N, para um torque conhecido e para uma dada geometria
rotor/recipiente, permite determinar a viscosidade µ. A equação acima mostra que para
maior N, µ será menor e vice, versa. Um exemplo desse tipo de viscosímetro é o Rion.

64
Exercícios de Aplicação
1. Sabendo que a viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6
m2
/s e que a
sua massa específica é 998,2 kg/m3
, determinar a sua viscosidade dinâmica.
2. A viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6
m2
/s e a sua massa
específica é 998,2 kg/m3
. Calcular a tensão cisalhante a 5 cm da parede fixa que
limita o escoamento, sabendo que o perfil de velocidades é dado por u = 0,1 + 2.y,
onde y deve estar em cm e u em cm/s.
3.

65
3. - HIDROSTÁTICA
3.1 - Introdução
A hidrostática é uma parte da Hidráulica que estuda os líquidos em equilíbrio.
Essa divisão é puramente para efeitos didáticos, já que na maioria das vezes os
problemas a serem resolvidos decorrem do movimento dos líquidos, onde os princípios
decorrentes da hidrostática são aplicados.
Na Hidrostática, trataremos dos conceitos de pressão e suas unidades, tensão
cisalhante, variação da pressão nos líquidos, superfície de nível, escalas de pressão,
pressão atmosférica, medidores de pressão, esforços sobre superfícies planas e curvas
submersas nos líquidos e casos de aplicação destes conceitos.
3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades
Neste item serão estudados conceitos importantes que estarão presentes no
estudo do escoamento dos líquidos.
3.2.1 – Conceito de pressão
Para introduzir o conceito de pressão, vamos imaginar uma porção definida de
fluido, encerrado em um volume V, definido por uma superfície A. Dessa superfície,
destaca-se uma pequena porção de área ∆A, sobre a qual atua a força F
r
, resultante de
todas as forças de contato exercidas pelo fluido de massa específica ρ sobre ∆A,
conforme ilustra a figura seguinte.

66
Fig. 01 – Forças devida ao fluido que atua sobre uma área ∆A, parte da
superfície A que define o volume de fluido V.
Seja nF
r
a força componente do vetor F
r
sobre a direção da normal à área ∆A,
cujo módulo (intensidade), denominaremos de nF . De maneira análoga, seja tF
r
a
componente do vetor F
r
sobre a direção da tangente à área ∆A, cujo módulo
(intensidade) será denominado de tF . É através das componentes nF
r
e tF
r
que
determina-se a força F
r
, o que é possível caso sejam conhecidas nF
r
e tF
r
.
Componente Normal: nF
r
O módulo da componente normal da força F
r
pode ser relacionado com a área
∆A. Assim, a pressão sobre a área ∆A é definida como sendo a relação entre a força
normal que age sobre a área ∆A e essa área, representada por:
A
F
p n
∆
= ..................................................................3.1

67
Muitas das vezes a pressão pode variar conforme a área escolhida, o que torna
a relação acima a pressão média nessa área. Por isso torna-se necessário melhorar a
definição anterior, de forma a definir a pressão em torno de uma área muito pequena ou
a pressão em torno de um ponto. Passando à condição limite de se ter essa relação
calculada sobre uma área muito pequena, teremos:
A
F
p n
A ∆
=
→∆ 0
lim ......................................................................3.2
Assim, a pressão sobre uma área é definida como o limite da relação entre a
força normal e a área na qual ela age, quando esta área tender para zero. Na prática, este
limite pode ser calculado através da derivada de Fn em relação a A, resultando em:
dA
dF
p n
= ..........................................................................3.3
Então a pressão sobre uma determinada área pode ser calculada como a taxa de
variação da força normal em relação à área A. Por outro lado, o módulo da componente
normal da força nF
r
sobre toda a superfície A pode ser calculada por:
∫=∴=
A
nn dApFdApdF .............................................3.4
Dessa forma, fica determinado o módulo da componente normal, Fn, sabendo-
se, ainda, que ela tem a direção da normal à área considerada e sentido voltado para fora
do volume V, estando aplicada no centro de gravidade de A.
A determinação da pressão que age sobre uma área é feita através de
instrumentos apropriados, tornando relativamente simples a determinação da
componente nF
r
.
3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante
O conceito de tensão cisalhante ou tensão de cisalhamento nos escoamentos
dos fluidos leva em consideração a componente da força sobre os fluidos na direção do
escoamento, devida ao atrito existente entre as partículas envolvidas.

69
sobre dA, combinando-se estas duas equações. A intensidade da componente tangencial
da força F sobre toda a superfície A pode ser calculada por:
∫=∴=
A
tt dAFdAdF ττ
Conforme viso acima, fica determinado o módulo da componente tangencial Ft,
sabendo que ela tem a direção da tangente à área e sentido contrário ao do movimento
do fluido, estando aplicada no centro de gravidade de A.
A tensão cisalhante tem as mesmas unidades de pressão que serão vistas a
seguir.
3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante
Em qualquer sistema de unidades, dito coerente, a relação que prevalece entre
as grandezas físicas também prevalece entre as suas unidades. Portanto a unidade de
pressão será definida por:
)(
)(
)(
AU
FU
pU n
=
Assim, no Sistema Internacional de Unidades, a unidade de pressão será:
Papascal
m
N
AU
FU
pU n
==== 2
)(
)(
)(
Tal unidade foi denominada de pascal, tendo sido simbolizada por Pa. Como se
trata de uma unidade muito pequena, nos problemas que aparece na engenharia,
costuma-se medir a pressão em hPa, kPa ou MPa, onde 1 hPa equivale a 100 Pa, 1 kPa
equivale a 1.000 Pa e 1 MPa equivale a 1.000.000 Pa, isto é, 102
Pa, 103
Pa e 106
Pa,
respectivamente.
No Sistema de Unidades CGS, a unidade de pressão recebeu o nome de bária,
tendo sido definida da seguinte maneira:
bária
cm
dina
AU
FU
pU n
=== 2
)(
)(
)(

70
Essa é a unidade preferida dos profissionais que lidam com quantidades muito
pequenas, como os químicos ou engenheiros químicos.
No Sistema Inglês de Unidades, a unidade de pressão é definida por:
22
)(
)(
)(
ft
pdl
ft
poundal
AU
FU
pU n
===
Tal unidade é muito pouco conhecida, quase não sendo usada na atualidade.
No Sistema Técnico de Unidades, a unidade de pressão foi definida como
sendo:
2
)(
)(
)(
m
kgf
AU
FU
pU n
==
Esta unidade não recebeu nenhum nome em especial, estando atualmente em
desuso. É usual encontrar medidores de pressão que apresentam suas escalas graduadas
em um múltiplo dessa unidade, denominada kgf/cm2
, de forma que:
22
000.101
m
kgf
cm
kgf
=
No Sistema Inglês Técnico de Unidades, a unidade de pressão é a lbf/ft2
, sem
nenhum nome em especial e definida por:
2
)(
)(
)(
ft
lbf
AU
FU
pU n
==
Apesar de todas essas unidades pertencentes a sistemas coerentes de unidades,
outras unidades de pressão são utilizadas, ainda nos dias de hoje. Dentre estas,
destacamos a lbf/pol2
ou psi, o Bar, a atmosfera padrão (atp), o mm de mercúrio ou
Torricelli (Torr) e o metro de coluna de água (mca).
A unidade de pressão psi (pound per square inch) é o nome dado à lbf/pol2
,
muito utilizada nos paises da América do Norte e em equipamentos usuais de medida de

71
pressão no Brasil. Esse é o caso de se medir a pressão nos pneus dos veículos pelos
equipamentos existentes nas oficinas e nos postos de gasolina. Nesses equipamentos
existem, em geral, duas escalas de pressão, uma em a lbf/pol2
e outra em kgf/cml2
ou
Bar. Sabe-se que:
2222
070308,0
54,2
4536,0
11
cm
kgf
cm
kgf
pol
lbf
psi === ou psi
pol
lbf
cm
kgf
2231,142231,141 22
==
Sabe-se, também, que 1 Bar equivale a 1.000.000 bária ou 100.000 Pa. Mas,
para medidas de pressões que não sejam relativamente grandes, é usual encontrar a
unidade mBar equivalente a 0,001 Bar ou 100 Pa. Assim, tem-se que:
1 Bar = 1.000 mBar 1 mBar = 0,001 Bar = 100 Pa = 1 hPa.
A unidade mm de mercúrio (mm Hg) na verdade não é uma unidade de pressão
e sim uma unidade de comprimento em um dispositivo cheio de mercúrio metálico a 0
ºC. Ela representa a pressão equivalente ao deslocamento da coluna de mercúrio a ºC
correspondente a 1 mm. Mas, por ser muito usada, acabamos dizendo que se trata de
uma unidade de pressão. Ao medir a pressão arterial em um paciente, os médicos
informam que a pressão é 12 por 8, medida em aparelhos analógicos, quando o paciente
está bem. Isso significa, na verdade, que a pressão mais elevada é de 12 cm de mercúrio
a 0 ºC e que a menor pressão é de 8 cm de mercúrio a 0 ºC. Às vezes os aparelhos
indicam 120 mm Hg por 80 mm Hg, como é comum nos equipamentos digitais de
medida da pressão arterial. O maior valor diz respeito à pressão diastólica (quando o
coração está realizando um esforço para bombear o sangue para o resto do corpo) e o
menor valor diz respeito à pressão sistólica (quando o coração está admitindo sangue
para ser bombeado).
A conversão desta unidade pode ser feita da seguinte maneira:
1 mm Hg 13.595,1 kg.m-3
.9,80665 m.s-2
.0,001 m = 133,3224 Pa ou 1 mm Hg
1,333224 mBar
A unidade metro de coluna de água (mca), também não é exatamente uma
unidade de pressão. Na realidade ela expressa uma pressão equivalente à pressão

72
relativa a uma coluna de água a 4 ºC que possui uma altura exata de 1,0 metro. Assim 1
mca equivale a 9.806,65 Pa.
Exemplos:
• Pressão atmosférica ao nível do mar nas condições normais de temperatura e
pressão: 760 mm Hg equivalentes a 101.325,0 Pa.
• Pressão atmosférica em Ouro Preto, no Laboratório de Hidráulica no Campus
do Morro do Cruzeiro: 657,3 mm Hg equivalentes a 87.600 Pa.
• Pressão de vapor do mercúrio a 20 ºC: 0,0013 mm Hg equivalentes a 0,17 Pa
• Pressão no interior do pneu de um carro: 30 psi = 206.846,2 Pa
3.3 – Empuxo
O empuxo sobre um corpo mergulhado no interior de um fluido é uma força
decorrente da ação da pressão do fluido sobre toda a superfície do corpo, visto que essa
pressão varia conforme a posição que se considera para a área no corpo. Quando o
corpo estiver em equilíbrio, o empuxo devido ao fluido é uma força vertical, de baixo
para cima, igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Isso se deve ao fato
de que a força resultante das pressões sobre a superfície do corpo ter uma resultante
vertical e voltada para cima.
Seja o corpo inteiramente mergulhado no interior de um líquido de massa
específica ρ, conforme mostra a figura seguinte.
Fig. 02 – Corpo mergulhado no interior de um líquido, sujeito a forças decorrentes da pressão em
cada elemento de área.

73
Sobre o corpo, em cada elemento de área, estará agindo uma força devida à
pressão do líquido, de intensidade crescente à medida em que a profundidade aumenta e
sempre perpendicular à superfície do corpo. As componentes das forças voltadas para
baixo são menores que as que estão voltadas para cima. A resultante das componentes
verticais resulta em uma força, E, vertical, voltada para cima, denominada de empuxo
do fluido sobre o corpo. As componentes horizontais das forças devidas à pressão
devem se anular, se o corpo estiver em equilíbrio. Caso contrário, originam forças que
tendem a girar o corpo.
Nesse caso, é possível demonstrar que o empuxo pode ser calculado da
seguinte forma:.
olol
A
VgVdApE γρ === ∫
Em geral os corpos podem estar mergulhados total ou parcialmente em um
fluido. Quando o corpo está parcialmente mergulhado no fluido, parte de sua superfície
se encontra fora do fluido e, portanto não fica sujeito a forças decorrentes da ação do
fluido. Se o corpo está completamente mergulhado no interior do fluido, todo elemento
de área superficial do corpo fica sujeito a uma força devido ao contato do fluido contra
as paredes do corpo. Tais forças, irão interagir com outras forças presentes, de forma a
haver o equilíbrio desse corpo, quer sob a condição de flutuação, quer sobre a condição
de completamente imerso no fluido. Geralmente pode-se identificar três tipos de força
agindo sobre os corpos em contato com fluidos: forças decorrentes da pressão (E), força
peso (P) e outras forças eventualmente presente como a força normal (N) aplicada pelo
fundo do recipiente, conforme ilustra a Fig. 02.

74
Fig. 02 – Empuxo sobre um corpo flutuante, totalmente imerso
e imerso e no fundo de um recipiente contendo um líquido.
É preciso discutir se o equilíbrio é estável, instável, ou indiferente, o que
origina o estudo do equilíbrio dos corpos flutuantes e submersos. No caso do corpo ser
flutuante, na condição de equilíbrio estável, a resultante de todas as forças que agem
sobre o corpo será:
P – E = 0 P = E
P = mg e E = γ.Vi, com Vi igual ao volume da parte do corpo que está
imerso no fluido.
Como P = γc.Vc, chega-se à relação: γc.Vc = γ.Vi, Vi = γc / γ. Vc.
Observa-se, nesse caso, que o volume imerso é uma parcela do volume do
corpo. Ainda mais, para que haja volume emerso é preciso que γc < γ. Corpos de menor
massa específica (mais leves) flutuam em fluidos de maior massa específica (mais
pesados).
No caso do corpo estar completamente imerso no fluido, porém em equilíbrio
estável no meio da massa fluida, o equilíbrio de forças permite escrever:
P – E = 0 P = E
Sendo P = mg e E = γ.Vol, onde Vol é o volume do corpo, pode-se
escrever que:
P = γc.Vol γc.Vol = γ.Vol γc. = γ. Conclui-se que o corpo somente
ficará em equilíbrio quando o seu peso específico for igual ao peso específico do
líquido.

76
Fig. 03 – Paralelepípedo infinitesimal de fluido e as
forças devidas ‘a pressão nas suas faces.
Da trigonometria pode-se escrever que:
ds
dy
sen =θ e
ds
dx
=θcos
Para que o paralelepípedo de fluido esteja em equilíbrio é necessário que a
soma de todas as forças que agem sobre ele seja nula. Considerando-se, por
simplicidade, apenas as duas direções Ox e Ou, pode-se escrever:
0.1..1..0 =−∴=∑ θsendspdypF sxx
02/...cos.1..1..0 =−−∴=∑ dydxgdspdxpF syy ρθ
Como θsendsdy .= , da primeira equação resulta sx pp = . Da segunda equação,
lembrando que θcos.dsdx = e que ao se somarem infinitésimos podemos desprezar os
de ordem superior, obteremos sy pp = . Assim, syx ppp == , isto é, a pressão em
torno de um ponto é a mesma em qualquer direção quando o fluido se encontra em
repouso. Embora a demonstração tenha considerado apenas duas dimensões, ela poderia
ser demonstrada no caso tridimensional, considerando-se um tetraedro de fluido, com
um pouco mais de esforço matemático.
3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática
Para fins de estudo sobre a variação da pressão no interior dos fluidos, vamos
considerar um paralelepípedo de fluido, de lados dx, dy e dz, de volume dVol, cheio de

77
um fluido de massa específica ρ, tudo referenciado a um referencial cartesiano tri-
ortogonal, Oxyz, conforme esquematizado na figura seguinte.
Fig. 04 – Paralelepípedo de fluido de massa específica ρ.
O paralelepípedo de fluido mostrado possui lados dx, dy e dz, sendo o ponto P
de coordenadas x, y e z um dos seus vértices e o ponto P´, de coordenadas x´, y´ e z´, o
outro vértice oposto.
Com isto, P ≡ (x,y,z) e P´ ≡ (x´,y´,z´), com x´ = x + dx, y´ = y + dy e z´ = z +
dz.
O volume de fluido no paralelepípedo é: dV = dx.dy.dz.
A massa de fluido contida em dV é: dm = ρ.dV = ρ.dx.dy.dz.
O peso do fluido contido em dV é: dP = ρ.g.dV.
Suponhamos que no ponto P a pressão seja p e que no ponto P´ a pressão seja
p´, diferente de p. Como pode-se escrever que p´ = p + dp, deseja-se calcular a variação
elementar de pressão, dp, ocorrida ao se variar a posição no interior do fluido, de P até
P´, através de um deslocamento infinitesimal. Para simplicidade das equações a serem

78
obtidas, considerar-se-á que a aceleração da gravidade seja um vetor paralelo ao eixo Oz
que está voltado para cima.
Para que a massa de fluido dm esteja em equilíbrio, torna-se necessário que a
soma de todas as forças presente seja nula.
Ao longo do eixo Ox: 0...0 =





∂
∂
+−∴=∑ dzdydx
x
p
pdzdypFx
Logo,
0...... =
∂
∂
−− dzdydx
x
p
dzdypdzdyp .
Então,
0=
∂
∂
x
p .
Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Ox, isto é, a pressão p
não varia com x.
Ao longo do eixo Oy: 0...0 =





∂
∂
+−∴=∑ dzdxdy
y
p
pdzdxpFy
Logo,
0...... =
∂
∂
−− dzdydx
y
p
dzdxpdzdxp .
Então,
0=
∂
∂
y
p
Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Oy, isto é, a pressão p
não varia com y.
Como 0=
∂
∂
x
p e 0=
∂
∂
y
p , conclui-se que a pressão não varia ao longo do plano xOy ou de
planos paralelos a xOy. Como o plano xOy é perpendicular a Oz, que é vertical, por
hipótese, conclui-se que a pressão não varia ao longo de um plano horizontal de um

79
mesmo fluido em repouso. Tal conclusão é de suma importância no estudo dos fluidos
em repouso, pois define a igualdade das pressões o longo de uma superfície de nível.
Ao longo de uma mesma superfície de nível de um mesmo fluido em repouso, a
pressão não varia.
Essa conclusão, juntamente com mais algumas observações leva ao princípio
dos vasos comunicantes, permite a marcação de pontos em uma mesma horizontal,
procedimento conhecido como nivelamento.
Resta, agora, obter a lei de variação da pressão ao longo do eixo Oz. Como
0...0 =−





∂
∂
+−∴=∑ dPdydxdz
z
p
pdydxpFz
,
onde dP é a componente do peso do fluido contido no paralelepípedo, segundo o eixo
Oz. O sinal negativo decorre do fato de que a aceleração da gravidade estar voltada para
baixo e o eixo Oz estar voltado para cima. Lembrando que dP = ρ.g.dV e que dV =
dx.dy.dz, teremos:
0......... =−
∂
∂
−− dzdydxgdzdydx
z
p
dypdxdydxp ρ
Logo,
γρ −=−=
∂
∂
g
z
p
Tal conclusão, diz que a taxa de variação da pressão ao longo do eixo Oz vale menos o
peso específico do fluido. Lembrando que p não varia com x e nem com y, portanto
somente variando com z, conclui-se que a derivada parcial da pressão com relação ao
eixo z é igual à derivada total da mesma pressão com relação ao mesmo eixo z, isto é,
dz
dp
z
p
=
∂
∂
.
Finalmente, pode-se escrever que:

81
3.4.3 – Variação da pressão nos gases
No curso de Mecânica dos Fluidos é discutido como a pressão varia nos gases,
através da solução da integral acima, em alguns casos conhecidos. Quando se admite
que o fluido em repouso é um gás perfeito, à temperatura constante, a Lei de Boyle
ensina que:
.
0
0
Cte
pp
==
ρρ
Nessa equação p é a pressão na qual a massa específica é ρ e po é a pressão inicial, na
qual a massa específica é ρo, considerando-se que a temperatura não tenha mudado.
Logo,
0
0
ρρ
p
p
= ,
substituindo esse resultado na equação diferencial da hidrostática, encontraremos:
dz
p
g
p
dp
0
0.ρ
= .
A equação acima pode ser integrada de po até p e de zo até z para fornecer a expressão da
variação da pressão em um gás ideal, à temperatura constante:
( )
o
oo
p
zzg
epp
−
=
ρ
.0
A lei de Charles determina que para gases sob a mesma pressão, o volume
ocupado é proporcional à temperatura. Assim, para uma dada pressão constante, a
relação V para T é uma constante. Combinando-se esse resultado com a lei de Boyle,
encontra-se uma equação conhecida como equação universal dos gases ideais, escrita
da seguinte forma:
TnRpV o=
Onde p é a pressão na qual o gás se encontra, V o volume ocupado, n o número de
moles, Ro a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta do gás. O valor
aceito para Ro é de 8134 N.m/(kg.mol.K).

82
Como n = m/M e ρ = m/V, a equação anterior pode ser escrita como sendo:
T
M
R
V
m
pTR
M
m
pV o
o =∴= RTp ρ=
Nessa equação, M é a massa molecular, R a constante específica do gás e ρ a sua massa
específica. Essa é uma forma usual no estudo dos fluidos.
Deve ser lembrado que os gases reais não obedecem exatamente a essa lei,
havendo um pequeno desvio que aumenta quanto maior for a pressão na qual o gás está
submetido. A tabela xx abaixo fornece o valor de R para os principais gases no domínio
da engenharia.
Tabela xx – Propriedades dos gases comuns nas condições normais de
temperatura e pressão (T = 15ºC e p = 101 325 Pa).
Gás Símbolo
Químico
Massa Molecular,
M
Constante
específica, R, em
N.m/(kg.K)
Ar --- 28,98 286,9
Dióxido de Carbono CO2 44,01 188,9
Monóxido de Carbono CO 28,01 296,8
Hélio He 4,003 2 077
Hidrogênio H2 2,016 4 124
Metano CH4 16,04 518,3
Nitrogênio N2 28,01 286,8
Oxigênio O2 32,00 259,8
Vapor d´água * H2O 18,02 461,4
* Quando superaquecido a 55ºC ou mais.
Tabela compilada de Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox & MacDonald.
Outro caso conhecido de variação da pressão nos gases e que pode ser
facilmente resolvido, é quando se admite que a atmosfera se comporte como um gás
ideal e que existe um gradiente de temperatura constante, β = dT/dz, tal que T = To +
β.z, onde T é a temperatura absoluta, To é a temperatura média na superfície da terra, β o
gradiente de temperatura considerado constante e z a altitude onde se que avaliar a

83
pressão atmosférica. Para a Troposfera (camada da atmosfera entre 0 e 11.019 m de
altura) pode-se considerar β = -0,00651 ºK/m, desde 288 ºK (15ºC) ao nível do mar (zo =
0) até 216,5 ºK (-56,5ºC) onde z = 11 019 m. O sinal negativo expressa a diminuição da
temperatura quando se eleva na atmosfera. Tais valores serviram para definição da
atmosfera padrão nos Estados Unidos da América. Lembrar que a pressão atmosférica
ao nível do mar, para fins de definição da atmosfera padrão, vale 101.325 Pa. Entre 11
019m e 20 100 m a temperatura permanece constante (β = 0). A 32 200 m a temperatura
sobe para 228,5 K (-44,5 ºC), subindo novamente para 270,5 K (-2,5ºC) a 47 300 m,
fica constante nesse valor até 52 400 m, depois cai para 252,5K a 61 600m, tornando a
cair para 180,5K (-92,5ºC) a 80 000 m e ficando constante nesse valor para altitudes
maiores.
Considerando a validade da equação dos gases ideais, p = ρRT, com R sendo a
constante específica do ar presente na atmosfera e adotando, para o ar atmosférico R =
286,9 N.m/kg/ºK, é possível deduzir uma equação que representa a variação da pressão
com a altitude.
Considerando que a equação dos gases ideais, ρ = p/(RT), é válida para o ar
atmosférico e que a equação diferencial fundamental da hidrostática é dp = -ρgdz, pode-
se escrever que:
( )
gdz
zTR
p
dpgdz
RT
p
dp
o β+
−
=∴
−
=
( ) ( )zT
dz
R
g
p
dp
dz
zTR
g
p
dp
oo β
β
ββ +
−
=∴
+
−
=
Integrando a equação acima com a pressão entre po e p e z entre 0 e z, tem-se:
( )∫∫ +
−
=
z
o
p
p
dz
zTR
g
p
dp
o 0 β
β
β
] ( )]z
o
p
p zT
R
g
p o 0lnln β
β
+
−
=
( )[ ]ooo TzT
R
g
pp lnlnlnln −+
−
=− β
β

84
( )





 +−
=





o
o
o T
zT
R
g
p
p β
β
lnln ( ) ββ R
g
o
o
o T
zT
p
p
−





 +
=





lnln
( ) ββ R
g
o
o
o T
zT
p
p
−





 +
=
Finalmente, a equação que permite avaliar a pressão atmosférica a uma data
altitude, z, pode ser escrita na forma:
ββ R
g
o
z
T
pp
−






+= 10
Tal equação permite avaliar o valor da pressão atmosférica padrão em diversas altitudes,
apenas escolhendo um valor correto para o gradiente de variação da temperatura com a
altura. Não deve ser esquecido que variações locais da pressão são observadas com
freqüência, em virtude das condições atmosféricas variarem ligeiramente. Esses desvios
são detectados corretamente quando se mede a pressão atmosférica local com os
barômetros.
3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos
No caso dos líquidos, considerados incompressíveis para a maioria dos
propósitos, pode-se admitir que ρ é constante. Assim, nas proximidades da superfície
terrestre, considerando a aceleração da gravidade, g, constante, pode-se concluir que γ
seja aproximadamente constante. Nesse caso, para dois pontos onde as pressões são p e
p´ e as cotas respectivamente z e z´, tem-se:
∫∫∫ −=−=∴−=
´´´ z
z
z
z
p
p
dzdzdpdzdp γγγ
Logo,
)´(´´
´
zzppdzpp
z
z
−−=−∴−=− ∫ γγ ou )´(´ zzpp −=− γ

86
Fig. xxx- Variação da pressão no interior de um líquido.
A figura xx seguinte ilustra esse princípio de variação da pressão dentro de um
líquido.
Fig. xxx- Variação da pressão entre dois pontos 1 e 2 no interior de um líquido.
b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica
Quando um líquido ocupa parcialmente um reservatório, automaticamente se
estabelece uma superfície plana horizontal, na sua parte mais elevada, na qual a pressão
é constante (superfície de nível). Quando esta superfície está em contato direto com o ar
atmosférico (reservatório aberto), diz-se que a superfície é livre e que está sujeito à
pressão atmosférica do local onde se encontra o líquido. No caso de reservatórios em

87
que a superfície fica sujeita a uma pressão maior (ou menor) que a pressão atmosférica,
diz-se que o reservatório é fechado, não possuindo uma superfície livre.
A atmosfera terrestre é formada por uma camada gasosa com espessura de
cerca de 1.500 km, composta de uma mistura gasosa. Sabe-se que o nitrogênio constitui
cerca de 78% da atmosfera, seguido pelos 21% do oxigênio e 1% de outros gases, tais
como o argônio, dentre outros. Os gases possuem massa e, consequentemente um peso
que exerce uma pressão sobre uma superfície com a qual estejam em contato. A relação
entre o peso da camada gasosa em contato com a superfície e a área desta superfície é
uma pressão denominada de pressão atmosférica. Apenas para efeito de exemplo, ao
nível do mar e em condições normais, a pressão atmosférica é igual a 101.325 Pa,
equivalente a altura de uma coluna de mercúrio metálico a 0 ºC de 760 mm.
Seja um ponto P, no interior de um líquido de massa específica ρ, onde a
pressão vale p. Este ponto se encontra a uma cota z em relação a um plano horizontal de
referência. A superfície livre do líquido sujeita à pressão atmosférica se encontra a uma
cota zatm. É óbvio que a profundidade do ponto P, estabelecida à partir da superfície
livre do líquido é h = zatm – z, conforme mostra a figura seguinte.
Fig. xx – Variação da pressão no interior de um líquido cuja superfície está
sujeita à pressão atmosférica.
Pela lei de Stevin, pode-se escrever que:
ghpp atm ρ+=

88
Como a pressão atmosférica tem um valor para cada ponto na superfície
terrestre, a pressão p é dita pressão absoluta, pois considera a pressão devida à coluna
gasosa da atmosfera e a pressão relativa à coluna de líquido de massa específica ρ e
altura h. Para se ter uma idéia, no Laboratório de Hidráulica do Departamento de
Engenharia Civil da Escola de Minas, no Campus Universitário do Morro do Cruzeiro,
essa pressão atmosférica vale aproximadamente 87.600 Pa, o que corresponde a exatos
657,3 mm de mercúrio. Se o líquido acima fosse água a 20 ºC, a pressão relativa à
coluna de água correspondente a um h = 1,00 m seria de 9.789 Pa. Assim a pressão no
ponto P, de uma caixa d´água instalada em Ouro Preto, seria de 97.389 Pa (notar que se
trata de uma pressão absoluta).
No entanto, a expressão acima pode ser escrita como:
relatm phgpp ==− ρ
À diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica dá-se o nome de pressão
relativa, pressão manométrica ou pressão efetiva, pois ela simplesmente informa a
parcela da pressão que ultrapassa ou que está abaixo da pressão atmosférica. Nota-se,
portanto, que a pressão em um ponto pode ser medida de duas maneiras: uma incluindo
a pressão atmosférica e outra desconsiderando a pressão atmosférica. Em Hidráulica,
assim como na engenharia de uma maneira geral, quando se trata de problemas relativos
aos líquidos é costume falar apenas na pressão relativa. Quando se trata de problemas
envolvendo os gases a pressão a ser considerada é a pressão absoluta.
Vê-se que relatmabs ppp =− ou que relatmabs ppp += . De agora em diante,
denominaremos a pressão relativa apenas de p (prel = p) e a pressão absoluta de pabs.
Assim, as equações acima doravante serão escritas da seguinte forma:
ppp atmabs =− ou que ppp atmabs += , onde relpp = .
Sempre que for necessário escrever a pressão absoluta, deveremos chamar atenção para
esse caso.

89
c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta
A partir destas observações, é possível criar, então, duas escalas para a medida
da pressão em um ponto: uma, a escala absoluta, e outra, a escala relativa. Na realidade
as pressões poderiam ser expressas em relação a qualquer referência arbitrária. Todavia
duas referências são usuais. Uma delas, a escala de pressão absoluta, expressa a
diferença entre a pressão e o vácuo total. A outra, a pressão relativa, expressa a
diferença entre a pressão e a pressão atmosférica, seja qual valor ela tiver. A figura
seguinte ilustra as duas escalas.
Fig. xx – Desenho esquemático das escalas de pressão absoluta e de pressão
relativa.
Na escala de pressões absoluta, o menor valor é zero. Nessa escala não existe
pressão menor que zero. Isso significa que sobre uma dada área, a resultante de todas as
forças normais é nula. Assim não é possível ter resultante negativa.
Na escala de pressões relativas, o zero corresponde à pressão atmosfera local,
qualquer que seja o seu valor medida na outra escala, sendo as pressões maiores
positivas e as menores negativas. Nesta escala pequenas pressões negativas são
denominadas de vácuo parcial. Essas pressões ocorrem na tubulação de sucção de
algumas instalações de bombeamento, como será visto posteriormente. Ainda nesta
escala, a maior pressão negativa possível corresponde a –patm. Esse é o vácuo total. Em
Ouro Preto corresponderia a cerca de -87.600 Pa ou – 657,3 mm de Hg. Então, a título

9
2. Generalidades
Nos estudos da hidráulica, com freqüência, torna-se necessário realizar
mudanças de unidades de grandezas físicas para adequá-las às equações ou leis
envolvidas nos problemas. Tais mudanças decorrem, muitas vezes, de medidas
realizadas por equipamentos fabricados em diversos países e que se encontram
em uso no controle dos processos. Essas mudanças, quando feitas com
freqüência, fazem uso de fatores de conversão estabelecidos previamente.
Todavia, são inúmeros os fatores de conversão, de forma que a maneira mais
correta e confiável é conhecer os sistemas de unidades e apenas as relações
entre as grandezas fundamentais de cada sistema envolvido.
2.1. As Grandezas Físicas
As grandezas físicas com as quais lidamos, sempre serão escritas em
função de uma unidade e do número que expressa a magnitude dessa grandeza
em relação à sua unidade. Assim, para toda grandeza física G, pode-se escrever:
G = m(G).U(G) ………………………………….……..2.1
onde m(G) é a medida da grandeza G e expressa o número de vezes que a
grandeza é maior ou menor que a unidade utilizada para medir a grandeza,
m(G).

91
e) Pressão com Líquidos Imiscíveis
Quando se tem dois líquidos imiscíveis, de massas específicas diferentes, ρ1 e
ρ2, a pressão no fundo pode ser calculada diretamente com a lei de Stevin, aplicada aos
dois fluidos, conforme figura xx a seguir.
Fig. xx – Pressão expressa em altura de coluna de líquido para dois líquidos
imiscíveis de massa específica ρ1 e ρ2, sendo ρ1 > ρ2.
Nesse caso a pressão no fundo do recipiente será dada por 2211 hhp γγ += .
3.5 – Exemplos de Aplicação:
Muitos são os exemplos de aplicação dos princípios vistos até aqui. Citaremos,
a título de ilustração, apenas dois: a prensa hidráulica e os vasos comunicantes.
3.5.1 – Prensa hidráulica
A prensa hidráulica é um dispositivo hidráulico que permite equilibrar grandes
cargas, pela aplicação de pequenas forças sobre um êmbolo que encerra um líquido em
um cilindro, conforme ilustra a figura xx a seguir. A força F1 a ser aplicada em uma
área A1 é inferior à força F2 aplicada em uma área A2, tal que A2 > A1.

92
Fig. xx – Esquema ilustrativo da prensa hidráulica.
Pelo fato da pressão ser constante ao longo das áreas A1 e A2, tem-se: p1 =
F1/A1 e p2 = F2/A2.
Sabe-se que p3 = p2 + ρog∆h
Mas, p1 = p3. Logo, escreve-se que:
h
A
F
A
F
o ∆+= γ
2
2
1
1
Finalmente, a equação da prensa hidráulica será:
12
2
1
1 hAF
A
A
F o ∆+= γ
Observações:
1. Se ∆h for desprezível:
2
2
1
1 F
A
A
F = . Nesse caso, quanto maior for A1/A2, maior será F1,
para equilibrar uma força F2.
2. Em geral A1 é muito inferior a A2, de forma que a relação A1/A2 é muito menor que 1.
Nesse caso, F1 será muito menor que F2, isto é, é possível equilibrar uma F2 grande com
uma força F1 bem menor, aplicada no êmbolo da direita.

93
A ilustração seguinte sugere a possibilidade e se equilibrar um
fusca sobre uma prensa hidráulica, com a aplicação de uma pequena força f.
Fig. xx – Esquema do uso de uma prensa hidráulica.
3.5.2 – Vasos Comunicantes
Uma consequência do teorema de Stevin é o princípio dos vasos
comunicantes. Colocando-se um líquido em recipientes de forma e capacidade
diferentes, interligados pela base por um conduto, ao se estabelecer o equilíbrio, a altura
do líquido é a mesma em todos os recipientes. Isso se deve ao fato de que a pressão
exercida por um dado líquido só depende da altura da coluna de líquido. Se as alturas
fossem diferentes, as pressões na base seriam diferentes, produzindo um desequilíbrio.

94
Fig. xx – Vasos comunicantes.
Relações no exemplo acima

96
Fig. xx – Esquema da aplicação do princípio dos vasos comunicantes no
nivelamento de pontos na construção civil.
3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO
A pressão em um fluido pode ser medida segundo duas escalas distintas. Uma,
considerando que a menor pressão possível é zero, denominada de escala de pressão
absoluta. A outra, considerando que o valor da pressão atmosférica seja zero,
denominada de pressão relativa, pressão efetiva ou pressão manométrica.
3.6.1. Medidores de pressão absoluta
Como o próprio nome diz, são dispositivos mecânicos ou eletrônicos
destinados à medir a pressão absoluta de um fluido. Dentre eles pode-se salientar três
tipos, conforme descrição a seguir.
a) Barômetro de Torricelli:
É um instrumento inventado por Torricelli, em 1643, para medir a pressão
atmosférica de uma localidade através de uma coluna de mercúrio metálico, razão pela

97
qual também é denominado de barômetro de mercúrio. Ele é formado por um tubo de
vidro com uma das extremidades fechada e a outra conectada a um reservatório
contendo mercúrio metálico com uma superfície livre, conforme indicado na figura.
Evangelista Torricelli – físico e matemático italiano nascido em 1608
e falecido em 1647.
Fig. xxx – Esquema de um barômetro de Torricelli
Um tubo com uma das extremidades fechada é cheio de mercúrio e em seguida
é introduzido em uma cuba contendo o mesmo líquido. Ao inverter o tubo de vidro, a
pressão na parte superior do tubo irá diminuir devida ao peso da coluna de mercúrio, até
atingir a sua pressão de vapor. No equilíbrio, a coluna se estabiliza sob a ação da
pressão atmosférica agindo na superfície livre do mercúrio e da pressão de vapor agindo
na superfície livre que se forma dentro do tubo de vidro e com a coluna de mercúrio
atingindo a altura h. A altura h indica a pressão atmosférica local.
Como a pressão em uma superfície de nível de um mesmo fluido não varia,
pode-se escrever que p1 = p2.
Mas p1 = patm e p2 = pv + γm.h, sendo pv a pressão de vapor do mercúrio e γm.o seu peso
específico. Portanto a pressão atmosférica pode ser calculada por:

98
patm = pv + γm h
Por outro lado, observa-se que a pressão de vapor do mercúrio é muito pequena
quando comparada com a segunda parcela da equação anterior, podendo ser desprezada.
A 20o
C a pressão de vapor do mercúrio é de 0,17Pa o que corresponde a 0,0013 mm Hg
a 0ºC. Para efeito de comparação, a pressão de vapor para a água a 20ºC é de 2.340 Pa o
que corresponde a 17,6 mm Hg a 4 ºC ou 238,6 mm de água a 4ºC.
Se pv = 0 pode-se escrever, finalmente, uma expressão para o cálculo da
pressão atmosférica à partir da leitura da coluna de mercúrio e de sua massa específica:
patm = γm h ou patm = ρm g h
Observações:
1. Unidades freqüentes: mm de Hg, hPa ou mbar.
2. Ao nível do mar e nas condições normais de temperatura e pressão, estando o
mercúrio a 0ºC, a coluna de mercúrio será igual a 760 mm. Assim diz-se que a
pressão atmosférica nessas condições é de 760 mm de mercúrio. Nesse caso, a
pressão atmosférica é expressa por uma coluna de 760 mm de mercúrio. Na
verdade, 760 é a relação entre a pressão atmosférica e o peso específico do
mercúrio, quando expressa em milímetros.
Ao se medir a pressão atmosférica com o barômetro de Torricelli deve-se
atentar para a correção da coluna lida dos efeitos da capilaridade (se presentes), da
dilatação do vidro e da escala de medição da altura h e da variação da massa específica
do mercúrio com a temperatura.
1. correção da dilatação da escala desprezível
2. correção da dilatação do vidro desprezível
Em aparelhos confiáveis as correções de capilaridade, da dilatação do vidro e
da escala de medida são desprezíveis, restando apenas a correção devida à variação da
massa específica do mercúrio com a temperatura, já que, dificilmente, a coluna de
mercúrio se encontra a 0ºC.
Correção devida à temperatura do mercúrio

99
Na maioria das vezes que se mede a pressão atmosférica com o barômetro de
Torricelli, a coluna de mercúrio se encontra a uma temperatura diferente de 0o
C,
temperatura na qual foi definida unidade de pressão denominada de Torricelli (Tor) ou
milímetro de mercúrio. Assim, ao se obter a medida da altura h do mercúrio a uma
temperatura T, é preciso corrigir a altura para mercúrio a 0o
C. Para tanto, basta
considerar o caso de se ter dois barômetros medindo a mesma pressão atmosférica: um a
0o
C e outro a To
C, As alturas das colunas de mercúrio seriam ho e h, respectivamente. É
óbvio que:
patm = γ.h = γo.ho
Logo:
ho = γ / γo.h ou ho = ρ / ρo.h
Assim, basta multiplicar a altura da coluna de mercúrio obtida a uma dada temperatura
pelo peso específico do mercúrio nessa mesma temperatura e dividir pelo peso
específico do mercúrio a 0o
C.
Exemplo:
Mediu-se a pressão atmosférica no Laboratório de Hidráulica da Escola de Minas, 25o
C,
encontrando-se uma altura de coluna de mercúrio igual a 670 mm. Qual a pressão
atmosférica no local, expressa em pascal e em milímetros de mercúrio?
Solução:
Consultando uma tabela de massas específicas do mercúrio com a temperatura,
encontramos que a 25o
C tem-se 13.533,6 kg/m3
e a 0o
C tem-se 13.595,1 kg/m3
.
Conforme visto anteriormente:
patm = 13.533,6 kg/m3
. 9,807 m/s2
. 0,670 m
patm = 88.925,1 Pa
A altura da coluna de mercúrio correspondente a 0o
C será:
ho = 13.533,6 / 13.595,1 . 0,670 m

101
A principal vantagem do equipamento é a sua portabilidade e robusticidade,
permitindo facilidade nas operações de campo. Entretanto a precisão não é grande, além
de necessitar aferições freqüentes, quando muito utilizado.
c) Barômetro eletrônico
Um equipamento bastante difundido recentemente é o barômetro eletrônico,
também denominado de transdutor de pressão absoluta. Ele é formado por um sensor de
pressão que incorpora um dispositivo semicondutor, uma caixa de vácuo, um
amplificador de sinal e um indicador. Sobre uma pequena cápsula onde de faz vácuo
total é montado um dispositivo semicondutor, formado por resistor, capacitor ou
indutor. Assim, o valor da resistência, capacitância ou indutância varia conforme a
pressão aplicada na outra extremidade da cápsula, formando assim um dispositivo
sensível à pressão atmosférica. Via de regra, usa-se um strain gage ou um elemento
piezo-resistivo.
O transdutor precisa receber alimentação elétrica a fim de fornecer um sinal
que é amplificado, convertido em milivoltagem e submetido ao indicador, que
normalmente é um milivoltímetro, que mostra o valor da pressão medida. A figura
seguinte é um esquema do aparelho.
Fig. xxx – Esquema de um barômetro Eletrônico
Quando se dispõe apenas do transdutor, principalmente em trabalhos ligados a
pesquisa, é comum a utilização de uma fonte de alimentação e de um indicador que já
contenha a amplificação do sinal para um valor desejado. Nesse caso, submete-se o
transdutor a diversas pressões conhecidas através de um padrão e faz-se a leitura da
indicação em mV. Em seguida constrói-se um gráfico da pressão p versus a leitura em
mV. Na maioria dos transdutores encontrados no mercado, dentro de uma faixa

102
adequada, a variação é linear entre p e mV, restando apenas determinar os valores da
constante (off set) e do coeficiente (ganho), através de uma regressão linear, conforme
gráfico da figura seguinte.
Seja p = a + b.mV, com a e b conhecidos, a reta obtida, denominada de curva
de calibração. Nesse caso, as pressões aplicadas podem ser conhecidas, medindo-se a
mV e com a curva de calibração.
Fig. xxx – Esquema de uma reta de calibração de um barômetro eletrônico.
3.6.2 – Medidores de pressão relativa
São denominados de manômetros os dispositivos de medida da pressão em
relação à pressão atmosférica. São muitos os princípios utilizados para medição da
pressão relativa, pressa manométrica ou pressão efetiva. Esses equipamentos, quando
submetidos a uma pressão igual à pressão atmosférica devem indicar zero.
a) Manômetro de Bourdon
É um aparelho usado para medir pressões superiores à pressão atmosférica,
formado por um tubo curvo e achatado dentro do qual é aplicada a pressão que se quer
medir. A deformação devida a aplicação da pressão é sentida por um mecanismo de
amplificação de sinal e transmitida a um ponteiro que se desloca sobre uma escala
convenientemente construída, na unidade que se quer medir a pressão. Nesse caso o
valor da pressão é lido diretamente no ponteiro, sobre a escala de medição, conforme
ilustra o esquema da figura seguinte. A unidade de pressão da escala pode ser a mais

103
variada possível. É comum graduações em lbf/pol2
(psi), kgf/cm2
, mmHg, kPa, mca,
dentre outras.
Fig. xx – Esquema de um manômetro de Bourdon, para a unidade de pressão
U(p).
A forma do tubo curvo pode ser um C, uma ferradura ou espiralada. A seção do
tubo achatado pode ser elíptica. O material pode ser tomback (liga de aço e latão), latão,
aço inoxidável ou plástico duro.
A pressão lida será p = pabs – patm, sendo
admitida como a pressão no centro da escala do
aparelho. Aparelhos de grande sensibilidade, ao medir a
pressão de líquidos devem ter a sua indicação corrigida
da posição.
Correção de posição do manômetro.
Para se obter a pressão correta em um ponto A
conforme ilustrado na figura, adicionar ou subtrair a parcela devida à pressão relativa.

104
pA = pM + γ.h para o caso do manômetro se encontrar acima do ponto cuja
pressão deseja-se medir.
pA = pM - γ.h para o caso do manômetro se encontrar abaixo do ponto cuja
pressão deseja-se medir.
O equipamento é encontrado em vários formatos, com diversos tamanhos
relacionados com a sua exatidão e para diversas faixas de pressão a serem medidas.
Cada tipo construtivo pode ter características adequadas ao processo no qual a pressão
precisa ser conhecida.
Classes de exatidão para manômetros:
CLASSE EXATIDÃO
A4 0,10 % da faixa
A3 0,25 % da faixa
A2 0,50 % da faixa
A1 1,00 % da faixa
A 1,00 % na faixa de 25 e 75% 2 % no restante da faixa
B 2,00 % na faixa de 25 e 75% 3 % no restante da faixa
C 3,00 % na faixa de 25 e 75% 4 % no restante da faixa
D 4,00 % na faixa de 25 e 75% 5 % no restante da faixa
Tipos de selagem:

Manômetro de Bourdon com Glicerina
São manômetros de Bourdon
de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração
mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar
a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja
medir a pressão. O uso de manômetros secos nessas
condições reduz a vida útil das engrenagens,
inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido
de enchimento do manômetro melhora a precisão do
instrumento e facilita a leitura pela redução das
oscilações.
Manômetro de Bourdon com ponteiro de arraste
Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação
da pressão, impossibilitando a leitura máxima.
Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro
é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação
da pressão, permanecendo no ponto máximo
atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro
indicador da pressão retorna ao seu valor normal.
Assim obtém-se um registro da pressão máxima
ocorrida no processo.
de Hidráulica Básica
105
construídos em caixa de latão forjado com anel
de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração
mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar
a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja
etros secos nessas
condições reduz a vida útil das engrenagens,
inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido
de enchimento do manômetro melhora a precisão do
instrumento e facilita a leitura pela redução das
teiro de arraste
Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação
da pressão, impossibilitando a leitura máxima.
Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro
é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação
ermanecendo no ponto máximo
atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro
indicador da pressão retorna ao seu valor normal.
se um registro da pressão máxima

106
Manômetro Padrão
Manômetro de Bourdon específico para teste, aferição ou calibração de outros
instrumentos medidores de pressão. Muito utilizado em laboratório de calibração de
manômetros ou em situações em que se deseja melhor exatidão da medição. O
mostrador é construído em arco de 270º com divisões
e subdivisões que permitem a determinação exata da
leitura, com auxílio de uma parte espelhada para se
evitar erros de paralaxe na leitura. Assim a imagem
do ponteiro no espelho deve ficar sob o ponteiro, na
condição de leitura. Nesse caso consegue-se precisão
de até +- 02,25% do fundo de escala.
Manômetro de Bourdon com selo tipo diafrágma
Utilizado em processos industriais que
manipulam fluidos corrosivos, viscosos, tóxicos, radioativos ou sujeitos a alta
temperatura. O manômetro é isolado para impedir o contato direto com o fluido do
processo, processo que é denominado de selagem.
A selagem pode ser feita através de um líquido ou
através de um diafragma e um líquido. No primeiro caso é
necessária a utilização de um pote de selagem que
receberá o líquido inerte que ficará em contato com o
bourdon. Geralmente utiliza-se a glicerina como líquido de
selagem. No segundo caso
Manômetro de Bourdon com contatos elétricos

107
Manômetro de Bourdon com contatos elétricos ou magnéticos utilizado para
ligar ou desligar circuitos elétricos na pressão
programada. Podem ter contato elétrico duplo,
substituindo os pressostatos. Os contatos elétricos
são utilizados com alerta de pressão máxima ou
pressão mínima, determinadas previamente.
b) Vacuômetro
É um equipamento destinado a medir pressões inferiores à pressão atmosférica,
construído com um tubo encurvado, à semelhança do tubo de Bourdon, com mecanismo
amplificador, ponteiro e escala. A diferença em relação ao manômetro de Bourdon é
que esse equipamento possui o mecanismo preparado para
medir deformações negativas. Em geral o Bourdon é montado
ao contrário.
Indicação de p < patm e correção de posição ==>
desenvolver o tema
c) Transdutor eletrônico de pressão relativa
O transdutor eletrônico de pressão relativa é um dispositivo que transfere
energia de um sistema hidráulico para um sistema elétrico (indicador). O manômetro de
Bourdon visto, é um transdutor mecânico, pois faz uso de um elemento elástico para
medir uma pressão.
Os transdutores eletrônicos podem ser passivos (que requer alimentação de energia) ou
ativos (que gera a sua própria energia de saída). É formado por uma cápsula na qual

108
existe uma membrana flexível associada a um componente eletrônico capaz de captar as
variações de pressão e enviar um sinal elétrico para um dispositivo
amplificador/indicador. As pressões são aplicadas à cápsula, cuja membrana flexível se
deforma, com a deformação sentida pelo componente eletrônico. Geralmente o
elemento sensor varia a sua resistência, capacitância ou indutância quando submetido a
diferentes pressões. Assim, gera-se um sinal eletrônico que é proporcional à pressão
indicada. A figura seguinte mostra um esquema do transdutor.
Fig. xxx – Esquema de ummanômetro eletrônico
O indicador pode ser de milivoltagem, voltagem, ou corrente. Ele também pode
ser substituído por um dispositivo de saída de sinal que pode ser ligado a um
computador de forma que os valores da pressão são obtidos diretamente.
O sistema requer calibração de forma que pressões
conhecidas devem ser aplicadas à cápsula e os valores dos
sinais de saídas lidos. Se a pressão for p e a saída for mV, um
gráfico será obtido, mostrando uma variação linear entre p e
mV, do tipo p = a + b.mV. Através de uma regressão linear é
possível obter os valores de a (offset) e de b (ganho), conforme
ilustração seguinte.

109
Fig. xxx – Esquema de variação linear em um manômetro eletrônico
d) Piezômetro
É um dispositivo hidráulico que indica a pressão através da própria coluna de
líquido, medida em uma escala associada a um tubo transparente, conforme
esquematizado na figura seguinte.
Fig. xxx – Esquema de um piezômetro.
Da figura, a pressão no interior de um recipiente cheio com um líquido de
massa específica ρ, será dada pela lei de Stevin:
pA = patm + γ.h

111
Fig. xxx – Esquema de um manômetro de Tubo em U.
Da definição de peso específico: γ = ρ.g e γm = ρm.g
Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo
fluido:
p1 = p2
Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos
fluidos, pode-se escrever:
p1 = pA + γ.y
p2 = patm + γm.h
pA = patm + γm.h - γ.y
Em termos de pressão relativa (fazendo patm = 0, pA será uma pressão relativa):
pA = γm.h - γ.y
Quando se tratar de gás, tal que a variação de pressão possa ser desprezada
(γgás.y = 0), a pressão relativa no ponto A será calculada por:
pA = γm.h

112
f) Piezômetros pressurizados
É um equipamento formado por dois tubos transparentes (dois piezômetros)
com uma das extremidades conectadas às fontes de pressão, tanto em A quanto em B, e
as outras conectadas a um reservatório que contenha ar sob pressão, par associados a
uma escala. A pressão no reservatório deve ser suficiente para colocar os meniscos de
separação dos líquidos dentro da escala para leitura das alturas h e y, conforme ilustrado
na figura seguinte.
Fig. xxx – Esquema de piezômetros pressurizados.
Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γar = ρar.g
fluidos e desprezando-se a variação da pressão relativa à coluna de ar, pode-se escrever:
pA = par + γA.(∆y + y + h) e pB = par + γB.y
Assim, por diferença encontramos o valor da diferença de pressão entre os
pontos A e B:
pA - pB = ∆pAB = γA.(∆y + h) + (γA - γB) y
Observações:
1. Notar que o valor da pressão do ar, par, não interfere na diferença de pressão.
2. No caso dos líquidos em A e em B serem iguais, isto é, γA = γB = γ, a equação
acima fica simplificada para dar: ∆pAB = γ.(∆y + h).

113
3. S os pontos A e em B estão sobre a mesma horizontal (caso comum em
hidráulica) e γA = γB = γ, a equação para a determinação da diferença de
pressão é reduzida a: ∆pAB = γ.h.
g) Manômetro Diferencial de Tubo U
É um tipo de manômetro capaz de medir a diferença de pressão entre dois
pontos, independentemente dos valores das pressões existentes. É constituído por um
tubo transparente, em forma de um “U”, tendo uma das extremidades conectada ao
ponto A e a outra conectada ao ponto B, parcialmente cheio de um líquido manométrico
de forma a criar dois meniscos de separação dos fluidos com o líquido manométrico,
conforme ilustrado esquematicamente na figura seguinte. Associado ao tubo em “U”
existe uma escala para determinação dos desníveis dos meniscos formados. O fluido
manométrico deve ser imiscível com os dois outros fluidos e ter uma massa específica
maior que as dos fluidos A e B, para que haja uma estabilidade física do dispositivo.
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de Tubo em U.
Quanto maior a massa específica do fluido manométrico maior será a diferença
de pressão que o equipamento pode medir. Geralmente, para a água ou ar, utiliza-se o
mercúrio metálico. Todavia outros fluidos podem ser utilizados, desde que seja

114
conhecida a sua massa específica. No caso de gases, pode ser usado o álcool, a água,
alguns óleos ou até mesmo alguns compostos de carbono como líquido manométrico.
Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g. Nesse caso
γA < γm e γB < γm, para que o líquido manométrico fique em equilíbrio na parte mais
baixa do tubo U.
fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se:
p1 = p2
p1 = pA + γA.(h + y + ∆y)
p2 = pB + γm.h + γB.y
Com a igualdade das pressões nos pontos 1 e 2, tem-se:
pA + γA.(h + y + ∆y) = pB + γm.h + γB.y
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B será dada por:
pA - pB = ∆pAB = (γm - γA) h + (γB - γA) y - γA ∆y
Observações:
1. Quando se mede a diferença de pressão entre pontos localizados entre dois
líquidos iguais, γA = γB = γ . Nesse caso a diferença de pressão será dada
por: ∆pAB = (γm - γ) h - γ ∆y.
2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os
pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h. Esta equação é muito
utilizada par medir a diferença de pressão em escoamentos de água.
3. No caso de medida da diferença de pressão em gases iguais (γA = γB = γgas
≅ 0), a equação fica reduzida a: ∆pAB = γm h.
4. Se as pressões entre os pontos A e B são iguais (pA =pB) e se os líquidos
também forem iguais (γA = γB = γ), pode-se calcular o desnível entre os

116
pA = p1 + γA.(h + y) e pB = p2 + γB (y + ∆y) + γm.h
Subtraindo pB de pA, membro a membro, tem-se:
pA - pB = ∆pAB = p1 + γA.(h + y) - p2 - γB.(y+ ∆y) - γm.h
Já que p1 = p2, o simples re-arranjo dos termos da equação acima dá:
∆pAB = (γA.- γm). h + (γA.- γB).y - γB. ∆y)
A equação acima mostra que quanto menor for a diferença entre as massas
específicas, maior será o h para um mesmo ∆pAB, mostrando que o equipamento deve
ser usado para medir pequenos valores da diferença de pressão. Ela também mostra que
para líquidos diferentes, a posição do manômetro influencia na medida da diferença de
pressão, já que a medida y aparece na equação.
Observações:
1. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γ - γm) h - γ ∆y.
2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é
nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γ - γm) h.
3. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases.
4. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos
também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para
determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.
i) Manômetro Diferencial de Reservatório
É um dispositivo destinado a medir diferenças de pressão entre dois pontos da
mesma forma que no manômetro diferencial de tubo “U”, com a vantagem de se fazer
uma única leitura da coluna do líquido manométrico. Ele é formado por um tubo U
transparente, ligado a um reservatório que contém o fluido manométrico. Do lado do
reservatório se conecta a maior pressão (no caso do ponto A). Do lado do tubo
transparente se conecta à menor pressão (ponto B), conforme ilustração esquemática na
figura seguinte. A coluna de fluido manométrico pode ser determinada com a ajuda de

117
uma escala milimétrica cujo zero se encontra na exata posição em que o líquido
manométrico se encontra em equilíbrio quando não houver diferença de pressão
aplicada.
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de reservatório.
Ao ser submetido a uma diferença de pressão, o nível do líquido manométrico
desce no interior do reservatório, de uma quantidade ∆h ao passo que a coluna sobre no
interior do tubo transparente. É preciso adicionar o valor de ∆h ao valor de h lido na
escala do equipamento, para que a real coluna de líquido manométrico que estará
equilibrando a diferença de pressão aplicada seja determinada. Outra opção é construir
uma escala que fornece a real altura da coluna de líquido manométrico, conforme
indicado adiante neste texto.
A relação entre ∆h e h pode ser estabelecida lembrando que o volume de fluido
correspondente ao abaixamento do nível no reservatório é o mesmo que adentrou ao
tubo transparente. Assim, sendo A a área transversal do reservatório e a a área da seção
transversal do tubo transparente, tem-se:
A ∆h = a h
Então,
∆h = a/A h.

118
fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se:
p1 = p2
p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y
Assim, teremos:
pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y
Logo,
∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y
Substituindo ∆h teremos:
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y
Para evitar cálculos com a relação de área, os fabricantes do manômetro criam
uma escala corrigida para h, tal que h´= (a/A +1) h. Nesse caso, o valor da altura
corrigida é lida diretamente na escala e a expressão para o cálculo da diferença de
pressão fica análoga à que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:
∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y
Observações:
1. A equação acima mostra que se os dois líquidos são diferentes, a posição do
equipamento (y) deve ser levada em consideração no cálculo da diferença de
pressão.
2. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γm - γ) h´ - γ ∆y.
3. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é
nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h´.
4. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases.
5. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos
também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para
determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.

119
j) Manômetro de tubo inclinado
É um tipo de manômetro diferencial utilizado para medição de pequenas
diferenças de pressão. É formado por um reservatório ligado a um tubo transparente,
parcialmente cheio com um líquido manométrico de massa específica conhecida,
conforme ilustrado na figura seguinte. Aplica-se a pressão maior na tomada de pressão
conectada ao reservatório e a pressão menor na extremidade do tubo transparente. O
desnível da coluna de líquido manométrico necessária para equilibrar a diferença de
pressão é medida diretamente em uma escala construída adequadamente. Com esse
desnível determina-se a diferença de pressão causadora do desnível na coluna do
manômetro.
Quando a diferença de pressão for nula, o nível do menisco do líquido
manométrico deve coincidir com o zero da escala. Quando aplicada uma diferença de
pressão, o líquido abaixa, ligeiramente, de uma altura ∆h dentro do reservatório. Ao
mesmo tempo, o líquido sobe de uma altura h dentro do tubo transparente. Sendo as
áreas das seções transversais do reservatório e do tubo transparente constantes, haverá
uma relação entre ∆h e h, obtida à partir da consideração das áreas e dos volumes.
Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de tubo inclinado.

120
Assim, sendo A a área da seção transversal do reservatório, a a área da seção
transversal do tubo transparente e L o comprimento do tubo correspondente à altura h,
tem-se:
A.∆h = a.L
O valor de h pode ser determinado por L e pelo ângulo θ formado pelo eixo do
tubo transparente e uma linha horizontal, de forma que:
h = L.senθ
O valor do ângulo θ é pequeno, de forma que L é bem maior que h. Em muitos
equipamentos o valor do ângulo θ varia entre 5º e 12º. Se a escolha de θ for tal que senθ
= 0,100, vê-se que L = 10.h. Medindo-se L, ao invés de h, tem-se uma melhor precisão,
daí a justificativa para o uso de tal equipamento.
Considerando dois pontos, 1 e 1, sobre a mesma superfície de nível que
coincida com o nível o líquido manométrico no interior do reservatório, pode-se
escrever que:
p1 = p2
p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y
Assim, teremos:
pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y
Logo,
∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y
Substituindo ∆h teremos:
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y
Mas, foi visto que h = L.senθ, de forma que:
∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1).L.senθ +(γB.-γA)y - γA.∆y
Duas possibilidades podem ocorrer. A primeira é construir uma escala
milimétrica para leitura de L, em seguida realizar os cálculos para se obter a diferença

121
de pressão. Outra possibilidade é construir uma escala especial onde será lançado o
valor h´ = (a/A + 1) ).L.senθ. Nesse caso, o valor da altura corrigida é lida diretamente
na escala para ser usada na expressão para o cálculo da diferença de pressão, análoga à
que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:
∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y
Observações:
1. A utilização do equipamento, quando se tratar de dois líquidos diferentes,
deve levar em conta a posição do equipamento (y), conforme visto na
equação anterior.
2. Caso o equipamento estiver sendo utilizado para dois líquidos iguais (γA =
γB = γ), a diferença de pressão será dada pela equação: ∆pAB = (γm - γ) h´ -
γ ∆y.
3. No caso de mesmo líquido, tanto em A quanto em B, (γA = γB = γ ) e a
diferença de nível entre os pontos for nula (∆y = 0), tem-se a seguinte
equação para avaliar a diferença de pressão: ∆pAB = (γm - γ) h´.
4. O equipamento é bastante utilizado para a medida da diferença de pressão
em gases, caso em que a equação utilizada será: ∆pAB = γm h´.
5. Quando se quer determinar o pequeno desnível entre os pontos A e B,
decorrente do fato das pressões nos pontos A e B serem iguais (pA =pB), no
os líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), o desnível entre os pontos
A e B, será dado pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.
O manômetro pode ser utilizado, ainda, para se obter pequenas diferenças entre
uma pressão e a pressão atmosférica. Para tal, basta deixar a tomada de pressão do lado
do tubo transparente aberta para a atmosfera. A pressão medida, nesse caso, será a
pressão relativa no ponto A.
k) Manômetro de Betz
É um equipamento fabricado especialmente para determinação de diferença de
pressão em gases. É formado por um reservatório e um tubo transparente, associados a

14
b) Unidade de massa: quilograma cujo símbolo é kg
O quilograma é definido como a quantidade de matéria contida em um
determinado cilindro de platina, com dimensões adequadamente definidas,
guardado no museu de Sèvres em Paris. Pretendia-se que esse cilindro tivesse a
mesma massa de 0,001 m3
de água pura a 4 ºC. Esse cilindro foi o mesmo que
serviu à definição da unidade de força do Sistema Técnico de Unidades,
denominada de quilograma-força. Dele fizeram-se cópias que representam os
padrões secundários da unidade de massa.
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s.
Essa unidade de tempo foi inicialmente definida em relação ao dia solar
médio. O segundo era definido como o tempo médio que a terra leva para dar
uma rotação completa sobre o seu eixo dividido por 86400. Também devido à
imprecisões, essa unidade foi novamente definida, passando a ser o tempo
correspondente a 9 182 631 770 vezes o período de uma certa radiação emitida
pelo Césio 133. Tal definição foi completamente adotada na 13ª
Conferência
Geral de Pesos e Medidas de 13 de outubro de 1967. Essa base de tempo pode
ser facilmente reproduzida em laboratório, permitindo a comparação precisa de
certo tempo com o padrão.
d) Unidade de temperatura: Kelvin cujo símbolo é K.
O Kelvin foi definido a partir do ponto tríplice da água (273,15 K) e do
ponto de evaporação da água pura às condições normais de pressão (373,15 K).
Esse intervalo foi dividido em 100 partes iguais e a cada uma destas partes
definiu-se como 1 K.

123
conforme mostra a figura seguinte. É bastante utilizado para medidas em gases ou
mesmo quando se pretende determinar pequenas variações de altura de água. Nesse
último caso o líquido manométrico é a própria água.
Quando a diferença de pressão for nula, entre o reservatório e o tubo inclinado,
o menisco formado pelo fluido manométrico deve estar sobre a marca de referência no
tubo transparente inclinado. Quando uma diferença de pressão é aplicada, o menisco
será deslocado para cima ou para baixo no tubo flexível. Com o parafuso micrométrico
desloca-se o reservatório contendo o fluido até que o menisco volte à posição inicial
indicado pela referência no tubo inclinado. Nesse caso, basta verificar a altura deslocada
pelo reservatório, h, para se efetivar o cálculo da diferença de pressão aplicada, através
da equação:
∆pAB = γm h = ρm.g.h.
A fim de se evitar problemas com a tensão superficial, recomenda-se que o
movimento do menisco seja realizado sempre no mesmo sentido, de quando o
equipamento foi zerado. Assim, se para obter o zero o reservatório foi movimentado no
sentido ascendente, recomenda-se que a posição de medição seja atingida
movimentando-se o reservatório no sentido ascendente.

124
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - PRESSÃO
1. Em uma localidade a pressão atmosférica é expressa por uma coluna de mercúrio (a
0ºC) de 760 mm. Calcular o valor dessa pressão em kgf/m2
e em Pa, bem como a
altura da coluna de água equivalente. Considerar a massa específica do mercúrio
igual a 13.595,1 kg/m3
.
Solução
Resposta: patm = 101.328,6 Pa e patm = 10.332,28 kgf/m2
.

125
2. Quais os valores das pressões absoluta e relativa a 10 m de profundidade na água do
mar, de densidade 1,024, sabendo-se que a leitura de um barômetro na superfície
da água indica 758 mm de mercúrio? Considerar a massa específica do mercúrio
igual a 13.595,1 kg/m3
.
Solução
Resposta: prel = 100.423,7 Pa e pabs = 201.485,7 Pa

126
2a. Um reservatório cilíndrico, de 2,0m de diâmetro, contendo água a 20 ºC é suspenso
pelas laterais. Determinar a força aplicada pela água no fundo do reservatório,
quando o nível da água atingir a 1,0 m do fundo. Dado: massa específica da água a
20 ºC vale 998,2 kg/m3.

129
5. O reservatório da figura é fechado e está parcialmente cheio de um líquido de
densidade 0,880. A pressão manométrica obtida pela leitura do manômetro M tem
valor igual a 3,20*104
Pa. Determinar a pressão no fundo do reservatório e a altura
de elevação da coluna líquida no tubo vertical, h.
Solução
Resposta: pfundo = 44.082,2 Pa e h = 6,108 m.

130
6. Os recipientes da figura têm a mesma área de fundo, A, e contêm o mesmo líquido de
densidade d, até às alturas indicadas. Calcular a força resultante da pressão no
fundo de cada recipiente. Considerar d = 0,850 e A = 3,5 m2
.
Solução
Resposta: F = 145.879,1 N para os casos a e b.
F = 291.758,3 N para os casos c, d e e.

131
7. Calcular o valor da força F a ser aplicada no êmbolo menor da prensa hidráulica
mostrada na figura, necessária para equilibrar a carga F´ de 4.400 kgf no êmbolo
maior. Os cilindros e a tubulação estão cheios de um óleo cuja densidade é 0,780 e
as seções transversais dos êmbolos têm área de 40 cm2
e 4.000 cm2
.
Solução
Resposta: F = 42,752 kgf ou F = 419,3 N.

132
8. Considerar um fluido em um reservatório onde o seu peso específico varia
linearmente com a profundidade, h, segundo a equação γ = γo + K.h, onde γo é o
peso específico do fluido a uma profundidade h e γo é o peso específico do fluido na
superfície livre do mesmo, onde atua uma pressão atmosférica, po. Partindo da
equação diferencial da Hidrostática, determinar uma expressão para a pressão no
fluido a uma profundidade h.
Solução
Foi dado que se h = ho = 0 p = patm = po. e γ = γo.
Para uma dada profundidade h, tem-se que o peso específico é γ e a pressão é p, função
de h.
A equação fundamental da hidrostática diz que dp = -γ.dz, sendo o eixo Oz vertical e
voltado para cima. Adotando-se um eixo h vertical e voltado para baixo, certamente dz
= -dh, logo:
dp = γ.dh
Integrando a equação acima, desde po onde a profundidade é h = 0 até p, onde a
profundidade é h, tem-se:
∫∫ =
hp
p
dhdp
o 0
γ ( )∫ −=
h
o
p
p dhKhp o 0
] γ
h
oo
Kh
hpp
0
2
2 





−=− γ
Assim,
2
2
Kh
hpp oo −+= γ h
Kh
pp oo 





−+=
2
γ
Observar que, nesse caso, a pressão varia com a profundidade segundo uma parábola.

133
9. Um reservatório hermeticamente fechado está parcialmente cheio de ar a uma pressão
de 25 psi, indicada por um manômetro M, conforme mostrado na figura seguinte. Do
lado direito do reservatório existe uma saída que se comunica com um cilindro de 10
cm de diâmetro, fechado por um êmbolo onde está aplicada uma força F, indicada.
Do lado esquerdo do reservatório existe um manômetro de mercúrio, de tubo em U.
Adotar a massa específica da água como sendo 1.000 kg/m3
.
Nesse caso pede-se:
a) Calcular a força F, vertical, para cima, a ser aplicada sobre o êmbolo que pesa 100 N,
para que o sistema fique em equilíbrio.
b) Calcular o desnível, ∆h, no manômetro de mercúrio de tubo em U, sabendo que a sua
massa específica vale 13.545,2 kg/m3.
Solução
a) Cálculo de F:
Considerar os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 indicados na figura.
Segundo a lei de Stevin: p1 = p4 + γ.(0,5 + 1,0 +2,0).
Mas p4 = par = pM, assim p1 = pM + γ.(3,5).

134
pM = 25 psi = 25 lbf/pol2
= 25*0,4536 kgf/pol2
pM = 25*0,4536*9,80665 N/pol2
= 25*0,4536*9,80665/0,02542
N/m2
Ou pM = 25*6.894,87 Pa
Assim, pM = 172.371,8 Pa.
Então, substituindo na expressão de p1, tem-se:
p1 = 172.371,8 Pa + 1.000 kg/m3
*9,807 m/s2
*3,5 m = 172.371,8 Pa + 34.324,5 Pa
p1 = 206.696,33 Pa
Por definição de pressão: p1 = Fn.A. Assim, Fn = p1*A, onde Fn é a força devida à
pressão sobre a área horizontal do êmbolo que encerra a água no cilindro.
Fn = 206.696,33 Pa*π*d2
/4 = 206.696,33 Pa*3,142*0,12
/4
Fn =206.696,33 Pa*0,007854 m2
. Fn = 1.623,4 N
Supondo o êmbolo em equilíbrio, sujeito às forças F para cima, Fn para baixo e o peso P
para baixo, tem-se:
Fn + P – F = 0 F = Fn + P = 1.623,4 N + 100 N
F = 1.723,4 N.
b)

135
10. A figura apresenta dois manômetros diferenciais de mercúrio (ρm = 13.545 kg/m3
)
sendo utilizados para a medida da diferença
de pressão entre duas tubulações A e B,
que estão com um desnível z = 1,50m,
conforme mostrado na figura. As duas
tubulações conduzem água (ρ = 998,2
kg/m3
) e o espaço acima dos manômetros
diferenciais também está cheio de água.
Determinar a diferença de pressão entre as
tubulações A e B (centro das seções
transversais), em Pa e em metro de coluna
de água.
Solução
Resposta: Dif. Pressão entre A e B = pA – pB = 157.581,0 Pa.
(pA – pB)/γa = 16,068 m.

139
14. Determine as pressões relativas (em mca) e absolutas (em Pa) do ar dentro do
reservatório e do ponto M mostrado na figura abaixo. Sabe-se que a pressão
atmosférica local é de 735 mmHg. Consultando uma tabela encontrou-se que a
densidade relativa do óleo usado é 0,85 e a do mercúrio 13,56. A massa específica
do mercúrio a 0oC é de 13595,1 kg/m3
e a da água a 4o
C é de 1000 kg/m3
.

140
15. No Laboratório de Hidráulica você realizou um ensaio de calibração de um
manômetro eletrônico digital. Como padrão usou-se um manômetro de Mercúrio
de tubo em U com uma das extremidades aberta para a atmosfera. Pode ser
observado que uma das tomadas de pressão do manômetro eletrônico também
estava aberta para a atmosfera. A outra tomada de pressão do manômetro
eletrônico estava conectada a uma câmara de pressão, juntamente com a segunda
tomada do manômetro de Mercúrio de tubo em U. Nessa calibração foram usados
apenas dois pontos sendo que o primeiro deles corresponde a uma pressão padrão
igual a 20 cm de mercúrio e a uma indicação digital de 33,33 mV. Para o segundo
ponto, a pressão padrão estabelecida foi de 60 cm de mercúrio e a indicação digital
de 100,00 mV. Admitindo uma variação linear da pressão sobre o manômetro com
a indicação digital do transdutor e que a massa específica do mercúrio é igual a 13
536,0 kg/m3
, determinar:
a) a equação que converte a leitura digital indicada pela manômetro eletrônico
digital (em mV) em pressão relativa (use o Sistema Internacional de
Unidades);
b) o erro percentual devido a uma medida de confirmação em que o equipamento
em calibração indicava 59,98 mV para uma pressão relativa correspondente a
36,0 cm de mercúrio

141
16. Determinar a diferença de pressão entre as tubulações A e B mostradas na figura,
ambas cheias de água cuja massa específica é de 998,2 kg/m3
. Esta montagem é
uma associação de dois manômetros em série sendo que o óleo do reservatório,
de massa específica 820,0 kg/m3
, é usado apenas para conectar os dois
manômetros. Todas as dimensões necessárias estão indicadas esquematicamente
na figura.

142
3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS
Quando um líquido entra em contato com uma superfície sólida que o encerra,
a pressão irá originar uma força sobre essa superfície. É de fundamental importância
determinar essa força resultante da pressão sobre as superfícies que estão em contato
com os fluidos. Tal força deverá ser determinada em módulo, direção, sentido e ponto
de aplicação.
No caso da superfície submersa no fluido ser plana, o cálculo da força é
facilitado e as equações mais simples.
3.7.1 – Caso da superfície horizontal:
Considerar o caso de uma superfície plana e horizontal, que está sob a ação de
um líquido de massa específica ρ. Esse é caso típico de se calcular a força sobre o fundo
plano e horizontal de reservatórios ou piscinas. Nesse caso a pressão sobre um elemento
de área será dada por:
p = dF / dA
onde dF é o módulo da força elementar, perpendicular ao elemento de área dA e p é a
pressão resultante sobre esse elemento de área. Assim, tem-se:
∫∫ =∴=∴=
AA
pdAFdFFdApdF .
Nesse caso, sabe-se que p = γ.h, sendo h a profundidade em que se encontra o fundo,
em relação à superfície livre do líquido. Notar que h é constante para qualquer dA que
se adote, sobre A. Nesse caso, escreve-se:
AhFdAhdAhFpdAF
AAA
γγγ =∴==∴= ∫∫∫ ou F = p.A.
Observar que a profundidade h é a mesma profundidade em que se encontra o centro de
gravidade de A, hA. Assim, pode-se escrever que F = γ.hG.A. Tal força, em módulo,

144
3.7.2 - Caso de superfície vertical:
Considerar, agora, o caso de se calcular a força devida a ação de um líquido
sobre uma superfície plana e vertical, conforme ilustrado na figura seguinte. Esse é o
caso de se caso de se calcular a força sobre paredes verticais dos reservatórios.
A pressão sobre uma área infinitesimal continua sendo p = dF/dA, porém tal
pressão não é mais constante, como no caso anterior. Nesse caso, conforme o dA que se
considere, existirá uma dada profundidade h, diferente. Diz-se, que h varia conforme o
dA escolhido. Assim,
∫ ∫∫ ==∴=∴=
A AA
hdAdAhFpdAFdApdF γγ.
Como h varia com dA, a integral acima não pode ser encontrada, para cálculo
de F, há menos que se conheça a forma de variação de h com dA, o que será feito mais
adiante. A direção da força será horizontal, já que todos os vetores dA são
perpendiculares a área A e o sentido é da direita para a esquerda, no caso indicado na
figura seguinte.
Fig. xx – Força sobre uma superfície plana e vertical.
Para se encontrar o ponto de aplicação de F é preciso construir o prisma das
pressões e encontrar o seu centro de gravidade. Tal prisma sempre será construído
tomando, sobre os lados que forma a área considerada, comprimentos perpendiculares à

145
área e proporcionais à pressão no ponto considerado, conforme indicado na figura
anterior. Assim se constrói um paralelepípedo trapezoidal, cuja base é a área A
conforme indicado. O ponto CP, centro das pressões, é o centro de gravidade do prisma
das pressões construído. No caso em foco, a projeção desse ponto sobre a área A estará
abaixo do centro de gravidade da área. Essa é uma característica do centro das pressões.
Pelo centro das pressões traça-se um vetor F perpendicular a A, determinando-se, assim
a força sobre A, em módulo, direção, sentido e ponto de aplicação.
Por questões de simplicidade, conforme já dito, a representação do problema
pode ser feita através de um plano perpendicular a A e que passe pelo centro das
pressões, CP, conforme ilustrado no lado direito da figura anterior, onde é mostrado
apenas uma face do prisma das pressões.
3.7.3 - Caso de superfície inclinada:
No caso da parede do reservatório na qual se deseja calcular a força resultante
da pressão ser inclinada, conforme ilustrado na figura seguinte, usa-se o mesmo
raciocínio. Resolver a integral para encontrar o módulo de F, construir o prisma das
pressões, agora com a base inclinada, encontrar o centro das pressões e localizar o vetor
F. A figura seguinte mostra o prisma numa figura tridimensional, à esquerda, e o corte
vertical com os elementos envolvidos, à direita.
Figura xx - Força sobre uma superfície plana inclinada ==> refazer essa figura

146
3.7.4 - Caso geral de superfície inclinada:
Seja o caso geral em que se tem uma área A, representada por AB na figura
seguinte, contida em um plano (π), inclinado de um ângulo α com a horizontal. A
superfície livre do líquido, sobre a qual age a pressão atmosférica, está contida no plano
(Σ). Considerar a interseção do plano (π) com o plano (Σ), que, nesse caso formará um
eixo horizontal que será denominado eixo O-O’. Para que seja possível ver a superfície
considerada, de área A, representada pelo segmento AB, é necessário rebater o plano
(π), que contém a área A, em torno do eixo AO, conforme ilustrado na figura XX
seguinte. Após tal rebatimento, pode-se ver a área A, genérica, como ilustrado na figura
seguinte. Nessa figura é mostrada a posição do centro de gravidade, G, e a projeção do
centro de gravidade do prisma das pressões sobre a área, CP. Nesse caso, o prisma das
pressões é um paralelepípedo reto, cuja base tem área A. O cálculo dos centros de
gravidade, tanto de A quanto do prisma das pressões é um mero exercício de geometria,
que o leitor deverá dominar.
As profundidades dos pontos A, B, G e CP serão denominadas por hA, hB, hG, e
hp, respectivamente. São distâncias verticais medidas desde a superfície livre do líquido.
Uma outra forma de referenciar os elementos envolvidos no problema é considerar as
distâncias medidas ao longo do plano que contém a área A, desde o eixo O-O’ até o
ponto, representadas por l . Assim tem-se as distâncias da superfície até os pontos A,
B, G, CP, respectivamente, Al , Bl , Gl e pl .

147
Fig. xx – Elementos envolvidos no cálculo da força sobre uma superfície plana
inclinada de forma genérica.
O vetor força F deverá ser calculado em módulo, direção, sentido e ponto de
aplicação, no caso CP. Para calcular o módulo do vetor F, tomar uma área infinitesimal,
dA, formada, aproximadamente, por um retângulo de base a e largura ld , tal que a seja
horizontal, conforme indicado na figura xx anterior. Assim, ldadA .= e sobre dA
estará agindo uma força cujo módulo é dF. Essa área dA se encontra a uma
profundidade h, indicada na figura anterior. Pode-se escrever que:
∫ ∫∫ ==∴=∴=
A AA
hdAdAhFpdAFdApdF γγ.
Na figura pode-se notar a presença de alguns triângulos retângulos
semelhantes. Da semelhança de triângulo, as seguintes relações trigonométricas podem
ser encontradas:
p
p
G
G
B
B
A
A
hhhhh
sen
lllll
=====α
Considerando que αsenh .l= e, com α e γ constante, tem-se:

149
Sendo α e γ constantes, a equação de Mo pode ser escrita como:
∫=
A
o dAsenM ... 2
lαγ
A integral presente na equação de Mo é conhecida como momento de inércia (momento
de segunda ordem) da área A em relação ao eixo O-O’, sendo representado por Io. Esse
momento de inércia é uma propriedade geométrica de A e do eixo em relação ao qual
ele está sendo calculado. Logo, simplificadamente, o momento do sistema de forças
paralelas dF será:
αγ senIM oo ..=
Entretanto, se a força F for conhecida e se a distância até o eixo O-O’ também
fosse conhecida, tal momento poderia ser calculado como sendo:
po FM l.=
Mas, o momento de um sistema de forças paralelas em relação a um dado ponto é igual
ao momento da resultante desse sistema de forças em relação ao mesmo ponto. Ora, F é
a resultante do sistema de forças dF. Logo pode-se escrever que:
poo FsenIM l... == αγ
Assim, pode-se explicitar o valor de pl , distância do ponto onde está aplicada a força
F até o ponto O, na superfície livre, o que dá:
A
I
G
o
p
l
l =
Como Io depende da área A e do eixo que em relação ao qual se calcula o
momento de inércia (eixo O-O’), é conveniente escrever esse momento em função
apenas da área, o que permite que ele seja determinado de antemão e tabelado para as
diversas áreas. Para tanto usa-se o teorema do eixo paralelo ou teorema de Huygens-
Steyner, para se trabalhar com o momento de inércia em relação a um eixo que passe
pelo baricentro da área A e que seja paralelo ao eixo O-O’, portanto paralelo à
superfície livre do líquido.

150
O teorema do eixo paralelo permite relacionar o momento de inércia de uma
área em relação a um dado eixo com o momento de inércia da mesma área em relação a
um outro eixo que lhe seja paralelo e, colocado a uma distância d um do outro conforme
ilustrado na fig. xx, seguinte.
Fig. xx – Teorema do eixo paralelo, com eixo baricêntrico e eixo original.
O teorema do eixo paralelo permite escrever que:
AII GGo .2
l+=
Nessa equação, Io é o momento de inércia de A em relação ao eixo O-O’ e IG é o
momento de inércia de A em relação a um eixo que passe pelo centro de gravidade de A
(eixo baricêntrico) e que seja paralelo ao eixo O-O’. Substituindo esse valor na equação
de lp, tem-se:
A
I
G
G
Gp
l
ll +=
Lembrando que
αsen
hG
G =l e que
αsen
hp
p =l e, por substituição na
equação acima, tem-se uma equação útil para se calcular a profundidade do centro de
pressão, medida à partir da superfície livre do líquido, conforme abaixo.
α2
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp +=
Observações:

151
1. IG é o momento de inércia da área A em relação a um eixo baricêntrico
paralelo à superfície livre do líquido, sendo sempre positivo. Tal valor pode
ser encontrado nos livros de geometria analítica, para diversas formas da área
A.
2. Como IG, hG e A são sempre positivos, assim como o valor do sen2
α, a
segunda parcela da equação anterior será sempre positiva, de maneira que se
conclui que o centro das pressões estará sempre abaixo do centro de gravidade
da área A.
3. Para uma mesma área A e um mesmo ângulo de inclinação com a horizontal,
α, observa-se que quanto mais profunda estiver a área, menor será a distância
entre o centro de gravidade da área e o centro das pressões. Em alguns casos,
quando hG for elevada, costuma-se considerar, por aproximação, que hG e hp
são iguais, para todos os propósitos práticos.
Lembretes: A título de recordação, deve ser lembrado que:
1) O momento de ordem zero de uma área, A, será a própria área.
∫=
A
o dAM
2) O momento de primeira ordem de uma área em relação a um eixo é o produto
da distância desse eixo ao centro de gravidade da área multiplicado pela
própria área.
AxxdAM
A
.1 == ∫
3) O momento de segunda ordem de uma área em relação a um eixo deverá ser
obtido pela equação dada a seguir, estando tabelado para diversas formas das
áreas para os eixos baricêntricos:
y
A
IdAxM == ∫
2
2

152
4) O raio de giração de uma área A, propriedade geométrica dessa área, muito
utilizado pelos engenheiros, é definido como k2
:
A
I
k G=2
5) Centro de gravidade e momento de inércia de algumas figuras simples.
5.1) Retângulo:
Área: A = b.h;
2
bx = ;
2
hy = ;
12
3
bhIG =
5.2) Triângulo:
Área: A = b.h /2;
2
bx = ;
3
hy = ;
36
3
bhIG =
5.3) Círculo:
Área: A = πD2
/4; 0=x ; 0=y ;
64
4
DIG
π=
5.4) Semi-círculo:

19
a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m.
Essa grandeza é a mesma definida no SI.
b) Unidade de Força: quilograma-força cujo símbolo é kgf.
O quilograma-força foi definido como a força com que a terra atrai o
cilindro de platina que mais tarde foi usado para definir a unidade de massa do
SI, ao nível do mar e na cidade de Greenwich. Dele não adianta muito fazer
cópias par uso local já que as condições da gravidade muda de local para local
na superfície terrestre. A variação não é muito apreciável, mas a pequena
diferença serviu para alimentar muitas discussões entre físicos e engenheiros ao
longo dos tempos. Atualmente, devido a essa nuance, o sistema técnico de
unidades está em franco desuso.
Nas condições padrão, a aceleração da gravidade vale g = 9,80665 m/s2
.
Devido ao fato de que a massa contida no cilindro de platina ser o quilograma e
sabendo que no local padrão a força com que a terra atrai essa massa é o
quilograma-força, a segunda lei de Newton permite escrever a relação: Peso =
m.g.
1 kgf = 1 kg . 9,80665 m/s2
. Daí pode-se saber que 1 kgf = 9,80665 N.
Essa relação às vezes , por questões de simplicidade é escrita como 1 kgf = 9,81
N ou até mesmo 1 kgf = 9,8 N. Durante o nosso curso de Hidráulica usaremos a
relação abaixo:
1 kgf = 9,807 N
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s.
Essa unidade de tempo é a mesma do SI

154
5.9) Setor de parábola com simetria:
Área: A = 2bh/3; 0=x ; hy
5
3
= ; 3
2
1
bhIG =
5.10) Trapézio:
Área: A = (b + B).h/2;
definirx = ;
definiry = ;
3
22
4
36
1
h
bB
bBbB
IG 





+
++
=
5.11) Figuras compostas por retângulo e triângulo:
Área 1: A1 = ab; x1 = b/2 e y1 = a/2
Área 2: A2 = bh/2; x2 = b/2 e y2 = a+h/3
Área: A = ab + bh/2
x = b/2 por simetria
y = (y1A1 + y2A2)/(A1 + A2)
5.12) Figuras compostas por duas circunferências, sendo uma delas vazia:
Área 1: A1 = ab; x1 = 0 e y1 = b/2
Área 2: A2 = πR2
; x2 = 0 e y2 = R

155
Área: A = A1 - A2
x = 0 por simetria
y = (y1A1 - y2A2)/(A1 - A2)
Exemplos
1. Calcular a força devida à ação da água sobre um comporta plana, retangular, AB,
quando o nível da água atingir o ponto B, conforme mostrado na figura.
Considerar que a comporta tem um comprimento H e uma largura L e que se
encontra inclinada de um ângulo α em relação ao plano horizontal.
Solução:
AB = H Área = L.H e Peso específico: γ = ρ.g
Profundidade centro de gravidade de AB: hG = (H/2).senα
Módulo da força: F = γ.hG.A ou F = γ.(H/2).senα.L.H
αγ senLHF 2
2
1
=
Direção: perpendicular a AB

156
Sentido da água para a comporta AB.
Ponto de aplicação: CP que será dado por lp.
Al
I
ll
G
G
Gp += ou
H
HH
LH
H
LH
H
lp
3
2
62
2
12
2
3
=+=+=
Assim a força resultante das pressões sobre a comporta AB estará aplicada a um ponto
situado a 2H/3 da superfície, ao longo de AB.
Em termos de profundidade:
hG = lG.senα = H.senα / 2
A força sobre a superfície plana AB será:
αγ senLHF 2
2
1
=
O ponto de aplicação da força será dado por:
α2
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp += ou
α
αα
α
α
α
Hsen
HsenHsen
sen
LH
Hsen
LH
Hsen
hp
3
2
62
2
12
2
2
3
=+=+=
Observação:
se a profundidade da lâmina d´água for h = H.senα, tem-se que hhp
3
2
= .
2. Barragem de gravidade: caso simples de dimensionamento. Seja uma barragem de
forma retangular, de altura h e largura L, com espessura b, usada para barramento
de um líquido de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme

157
ilustrado na figura. Determinar a espessura que a barragem deve ter, para que haja
equilíbrio, sabendo que o material usado na sua construção tem peso específico γm.
Solução:
Área: A = L.h
Profundidade do centro de gravidade da área submersa: hG = h/2.
Módulo da força devida a ação da água: AhF Gγ=
2
2
1
2
LhLh
h
F γγ ==
Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp
90
2
12
2
2
3
2
sen
Lh
h
Lh
h
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp +=+= α o que dá:
3
2h
hp =
O peso da barragem pode ser calculado por: LhbVP molm γγ == . Ele estará
atuando no centro de gravidade da barragem, pondo CG na figura xx.

159
3. Barragem de gravidade: caso mais geral de dimensionamento. Seja uma barragem de
gravidade, prismática e de paramento de montante plano, de altura h e largura L,
com espessura no topo b e largura na base B, usada para barramento de um líquido
de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme ilustrado na
figura. Relacionar as forças presentes e propor um esquema de solução do
problema, para que haja equilíbrio, sabendo que o material usado na sua
construção tem peso específico γm.
Solução
Peso do prisma retangular de volume V1: P1 = γmV1.
Peso do prisma triangular de volume V2: P2 = γmV2.
Força devida a ação da água: AhF Gγ= ou 2
2
1
2
LhLh
h
F γγ ==
Empuxo de subpressão (valor aproximado): Es = F/3.
Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp
90
2
12
2
2
3
2
sen
Lh
h
Lh
h
sen
Ah
I
hh
G
G
Gp +=+= α
o que dá:
3
2h
hp =
Ponto de aplicação do empuxo de subpressão (aproximado): x' = 2B/3.

160
Rx e Ry componentes da resultante das forças (R) sobre a barragem: 22
yx RRR +=
Condição de equilíbrio:
Rx = F e Ry = P1 + P2 - Es
0=∑ OM ou P1.x1 + P2.x2 +F.(h-2h/3) - Es.x' - Ry.x - Rxx0 = 0
Essas três equações permitem o cálculo das duas componentes da resultante R e da
distância da componente Ry até o ponto O. Também impondo condições extras sobre o
comportamento da barragem (onde deve atuar a força resultante) é possível dimensionar
a barragem.
Lembre-se que o problema foi simplificado, em relação a um caso real.
4. Caso de uma comporta reguladora de nível: seja uma comporta composta por duas
superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 60º, usada para
regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 0,60 m de largura, pesa
2200 N, tem o comprimento OB igual a 1,20 m e é livre para girar em torno de um
eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado
em um ponto situado a 0,37 m à direita de O e 0,27 m acima de O. Determinar
para quais valores da profundidade h a comporta permanecerá fechada,
desprezando-se eventuais forças de atrito presentes.
Solução:

161
Dados: L - 0,60 m, OB = 1,20 m, P = 2200 N, x = 0,37 m, y = 0,27 m.
Dos triângulos semelhantes:
G
G
p
p
l
h
l
h
OA
h
sen ===α
OA = h/sen60 = 1,1547.h
Cálculo da força devida a ação da água na superfície OB: F1
Módulo: 111 AhF Gγ= ou OBhLF .1 γ= ou hF 04,70611 =
Direção: vertical
Sentido: de baixo para cima
Ponto de aplicação: CP1 coincidente com CG1
hhG =1
Cálculo da força devida a ação da água na superfície OA: F2
Módulo: 222 AhF Gγ= ou OAL
h
F .
2
2 γ= ou 2
2 25,3397 hF =
Direção: perpendicular a OA (fazendo 30º com a horizontal)
Sentido: da água para OA.
Ponto de aplicação: CP2 dado por hp2
hg2 = h/2 ; lG2 = OA/2 e A = OA.L
Al
I
ll
G
G
Gp
2
2
22 += ou
°
+=
°
+=
602
12
º602..
602
12
.
º602
23
2
sen
h
OA
sen
h
OAL
sen
h
OAL
sen
h
lp
hlp 7698,02 =
Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula é necessário que a soma
dos momentos de cada uma das forças também o seja. Assim, adotando como centro de
momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos positivos, tem-se:

162
0=∑ OM ou P.x + F2.(OA - 0,7698h) - F1.OB/2 = 0
2200x0,37 + 3397,25h2
.(1,1547h - 0,7698h) - 7061,04hx1,2/2 = 0
h3
- 3,24h + 0,625 = 0.
A solução da equação acima fornece 3 valores de h, sendo um deles negativo, o
que fisicamente não é solução do problema. Resolvendo-se, uma das raízes é 0,194 m e
a outra é 1,695 m.
Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta
estará fechada sempre que a soma dos momentos de todas as forças for negativo, o que
ocorre quando h estiver entre 0,194 m e 1,695m.
5. Caso de comportas reguladoras de nível: seja uma comporta composta por duas
superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 90º, usada para
regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 1,20 m de largura, pesa
5,0 kN, tem o comprimento OB igual a 1,50 m e é livre para girar em torno de um
eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado
em um ponto situado a 0,50 m à direita de O e 0,60 m acima de O. Determinar o
valor da profundidade h para que a comporta inicie o processo de abertura,
desprezando-se eventuais forças de atrito presentes.

164
h
hh
h
OA
h
OAL
h
OAL
h
hp
3
2
62
2
12
2..
2
12
.
2
23
2 =+=+=+= , o que dá hhp 667,02 =
Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula, é necessário
que a soma dos momentos de cada uma das forças também se anule. Assim, adotando
como centro de momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos
positivos, tem-se:
0=∑ OM ou P.x + F2.(h - 0,667h) - F1.OB/2 = 0
5000x0,50 + 5884,2h2
.0,333h - 17652,6hx1,5/2 = 0
h3
- 6,75h + 1,2746 = 0.
A solução da equação acima fornece três valores de h, sendo um deles negativo
(h = -2,688 m), o que não é solução do problema físico. As demais raízes do polinômio
do terceiro grau são h1 = 0,190 m e h2 = 2,498 m.
Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta
estará aberta sempre que a soma dos momentos de todas as forças for positiva (maior
que zero), o que ocorre quando h for inferior 0,190 m e quando h for superior a 2,498 m.
Isso pode ser facilmente visto no desenho abaixo.

165
3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas
Quando se trata do cálculo dos esforços resultante da pressão sobre uma
superfície curva submersa, é preciso considerar que os vetores forças elementares
agindo sobre elementos de área não têm a mesma direção, o que invalida a utilização da
técnica apresentada para o cálculo dos esforços sobre superfície plana submersa. A
figura xx ilustra a variação da força elementar com a direção e com a profundidade.
Figura xx - Representação da força elementar que age sobre um elemento de área
horizontal da superfície curva AB.
AB agora é uma superfície curva.
dA elemento de área a uma profundidade h
Fd
r
vetor força resultante da ação da pressão sobre dA

166
módulo: dF = p.dA = γhdA ==> variável com h.
Direção: θ com a vertical, nesse caso variável com h.
Sentido: do líquido para a área dA
Ponto de aplicação: centro de gravidade de dA
A força Fd
r
pode ser decomposta em duas componentes, uma segundo a direção
horizontal e outra segundo a direção vertical, conforme ilustrado na figura xx, de forma
que:
VH FdFFd
rrr
+=
Figura xx - Representação da força infinitesimal e suas componentes horizontal e
vertical.
O seu módulo será:
22
VH dFdFdF +=
Direção:
V
H
dF
dF
tg =θ
O esforço total F
r
sobre a área curva A será calculado através das componentes
horizontal e vertical da força total exercida pelo fluido sobre a superfície curva AB.

167
3.8.1 - COMPONENTE HORIZONTAL: HF
r
Módulo: dFH = dF.senθ
dF = p.dA, p = γ.h e dFH = γ h dA.senθ
Pela figura xx, nota-se que a projeção da área dA em um plano vertical é dAV,
tal que: dAV = dA.senθ. Da mesma forma, a projeção de dA em um plano horizontal
será dAH = dA.cosθ.
Substituindo dA.senθ tem-se: dFH = γhdAV. A componente horizontal, em
módulo, será, portanto: ∫∫ ==
VV A VA HH dAhdFF γ . Para γ constante, essa integral é
semelhante à integral calculada para uma superfície plana vertical, de área Av, projeção
da área A em um plano vertical, sendo dada por:
VGH AhF '
γ=
onde h'G é a profundidade do centro de gravidade de AV em relação à superfície livre do
líquido e AV é o valor da projeção da área da superfície curva sobre um plano vertical.
Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da
componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre uma
superfície curva AB.

169
Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da
componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre uma
superfície curva AB.
Como o peso específico é constante e pode ser retirado de dentro da integral, o
volume de fluido (real ou virtual) acima da superfície curva AB será ∫=
A
olol dVV , de
forma que
olV VF γ= .
Como γ.Vol é o peso do fluido contido no volume, diz-se que a componente
vertical da força F é igual ao peso do fluido deslocado, à semelhança do empuxo sobre
um corpo.
Direção: vertical.
Sentido: sempre voltada do líquido para a superfície curva AB.
Ponto de aplicação: Gv
A componente vertical da força resultante da ação das pressões sobre a
superfície curva AB estará aplicada no centro de gravidade do volume Vol, ponto a que

170
denomina-se de Gv, cujas coordenadas são xV e yV. A determinação das coordenadas de
Gv resulta de simples cálculos do centro de gravidade de um volume.
Lembrete:
ol
V
ol
V
V
xdV
x ol
∫= e
ol
V ol
V
V
ydV
y ol
∫=
3.8.3 - FORÇA TOTAL RESULTANTE DAS PRESSÕES SOBRE UMA
SUPERFÍCIE CURVA:
O cálculo da força total resultante das pressões sobre uma superfície
curva será determinada pelas suas componentes horizontal e vertical já determinadas de
forma que:
VH FFF
rrr
+=
Como F
r
é o resultado da soma de duas forças perpendiculares entre si, é fácil calcular
essa força partindo de suas componentes, conforme elementos representados na figura
xx.
Módulo:
22
VH FFF +=
Direção: data através de um ângulo α feito pela direção da força e a vertical, tal que
V
H
F
F
tg =α . Assim






=
V
H
F
F
arctgα

171
Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da força resultante da
ação da pressão sobre uma superfície curva AB, através de suas componentes horizontal
e vertical.
Sentido: sempre do líquido para a superfície curva AB.
Ponto de aplicação: será o ponto I, dado pelas coordenadas xI e yI. A abscissa xI será
determinada à partir da escolha do referencial e da coordenada xV, abscissa do ponto de
aplicação da componente vertical. A ordenada yI será determinada pela escolha do
referencial e da distância h'p que define o ponto de aplicação da componente horizontal.

172
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
1. Determinar a espessura de uma tubulação de diâmetro interno D, feita de um material
cuja tensão de tração é σ, para suportar a ação de uma pressão p.
Solução:
Seja uma tubulação de comprimento L e raio R. Separando apenas uma metade
da tubulação, a força de tração a que o tubo está submetido devida à ausência da outra
metade será: T1 = T2 = T. A força resultante da pressão na parede interna do tubo,
considerando-se apenas a metade destacada, será F.
Para que haja o equilíbrio das forças segundo o eixo horizontal deve-se ter: T1
+ T2 - F = 0 ou seja F = T + T. Logo F = 2T.
Assim: T = F/2.
A força resultante da pressão, será VVG pAAhF == γ .
Mas AV = 2R.L, o que dá T = p.2R.L/2 ou T = pRL.
A tensão de tração é definida como sendo σ = T/A, sendo A = e.L.
Substituindo os valores tem-se pRLeL =σ . O que resulta em uma pressão dada por:
e
R
p
σ
= ou e
D
p
σ2
=
A equação acima mostra que a pressão máxima que um tubo pode suportar
depende da tensão normal de tração do material do tubo, do diâmetro e da sua
espessura.

174

175
3. Uma comporta é formada pela quarta parte de um cilindro de raio igual a 2,00 m e
eixo horizontal de 1,50 m de altura, construído com um material tal que o peso do
cilindro será de 2,00 kN. O centro de gravidade do cilindro se encontra situado em
um ponto a 0,80 m a esquerda e 0,90 m abaixo do seu centro. A água de massa
específica 1000 kg/m3
, está sendo barrada pelo cilindro e atinge a altura h igual a
4,00 m acima do ponto A, conforme indicado na figura. A comporta cilíndrica pode
girar livremente em torno do ponto O, articulação de eixo horizontal. Nesse caso
pede-se:
a) a componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre a superfície
curva AC;
b) a componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre a superfície curva
AC;
c) o valor de uma força externa Fa, vertical, para cima, aplicada no ponto A, destinada a
abrir a comporta formada pela quarta parte do cilindro descrito.
d) o momento da força Fa em ralação ao ponto O.

176

177
4. HIDRODINÂMICA
Definição: - É a parte da Hidráulica encarregada do estudo do movimento dos fluidos e
das suas causas.
Escoamentos dos fluidos estão sujeitos a:
Determinadas condições gerais
Princípios fundamentais
Leis da dinâmica
Teoria da turbulência
Na hidráulica, a hidrodinâmica estuda o movimento dos líquidos,
correlacionando esse movimento com as causas desse movimento. O caso do estudo dos
líquidos em repouso ou com movimento retilíneo uniforme já foi visto no capítulo
anterior.
4.1. Generalidades
Para o estudo do movimento dos líquidos faz-se necessário estabelecer a
posição de alguns pontos no espaço ocupado pelo líquido em seu movimento.
O movimento pode ser descrito de duas formas distintas. A descrição
Lagrangeana consiste, basicamente, em seguir cada partícula fluida no espaço, (através
do vetor de posição de cada partícula fluida) e aplicar as leis básicas da mecânica para
cada uma dessas partículas em movimento. A segunda forma é a descrição Euleriana, na
qual um volume finito definido no espaço é estudado, através das variáveis de campo

24
2.2.7 – Exercícios de Aplicação
1. Baseado nos princípios dos sistemas de unidades, calcular o valor das
seguintes grandezas físicas no Sistema Internacional de Unidades (SI):
a) µ = 1,05 cPo b) p = 30 psi
c) p = 50 pdl/ft2
d) ρ = 350 slug/ft3
Lembrete: 1 cPo = 10-2
Po; 1 lbf = 0,4536 kgf; 1 kgf = 9,80665 N; 1 pol = 2,54
cm e 1 ft = 0,3048 m.
SOLUÇÃO:
a) µ = 1,05 cPo = 1,05 x 10-2
Po = 1,05 x 10-2
dyn.s/cm2
= 1,05 x 10-2
g.cm.s2
.s/cm2
µ = 1,05 x 10-2
g./(cm.s) = 1, 05 x 10-2
x 10-3
kg./(10-2
m.s) = 1,05 x 10-3
kg./(m.s)
µ = 1,05 x 10-3
kg.m.s/(m.m.s.s) = 1,05 x 10-3
N.s/m2
= 0,00105 Pa.s
Finalmente, tem-se que: µ = 0,00105 Pa.s
b) p = 30 psi = 30 lbf/pol2
= 30 x 0,4536 kgf / (2,54 cm)2
= 30 x 0,4536
x9,80665 N / (2,542
cm2
)
p = 30 x 0,4536 x9,80665 / 2,542
N / (10-2
m)2
= 30 x 0,4536 x9,80665
/ 2,542
x 10-4
N / m2
.
Finalmente: p = 206 846,2 Pa
c) p = 50 pdl/ft2
Lembrete: pdl é unidade de força do Sistema Inglês Absoluto e, portanto, vale
lb.ft/s2
, considerando a segunda Lei de Newton (F = m.a).

179
A posição do ponto P no espaço também poderia ser estabelecida através de
um vetor de origem O e extremidade P, denominado de vetor posicional de P. Tal vetor,
r
r
, resulta da soma dos vetores deslocamentos em relação a cada um dos eixos
coordenados, ix
r
, jy
r
e kz
r
e a sua expressão cartesiana fica sendo:
kzjyixr
rrrr
++=
Sendo i
r
, j
r
e k
r
os vetores unitários das direções Ox, Oy e Oz, respectivamente.
Cada ponto do espaço possui um vetor r
r
, que pode estar variando com o
tempo. Assim )(trr
rr
= . Se há movimento do ponto P, ele é definido no tempo
quando se conhece a função )(tr
r
, ou as coordenadas cartesianas x, y e z, tal que:
x = x(t)
y = y(t) |> equações paramétricas da trajetória
z = z(t) /
Se o ponto P muda de posição em um intervalo de tempo muito pequeno, dt, denomina-
se vetor deslocamento infinitesimal ao vetor rd
r
dado por:
kdzjdyidxrd
rrrr
++=
Quando se relaciona este deslocamento infinitesimal com o intervalo de tempo
correspondente, define-se o vetor velocidade, V
r
, tal que:
kwjviu
dt
kzjyixd
dt
rd
V
rrr
rrrrr
++=
++
==
(
onde,
dt
dx
u = ,
dt
dy
v = e
dt
dz
w = são as componentes cartesianas do
vetor velocidade.
Nesse caso o vetor velocidade, pode ter seus atributos determinados(módulo,
direção e sentido.
O módulo será dado por
222
wvuVV ++==
r
.
A direção será dada pelos cossenos diretores: Vu=αcos ; Vv=βcos ;
Vw=γcos . Assim, o unitário da direção do vetor velocidade será
kjiuV
rrrr
)(cos)(cos)(cos γβα ++= , com VuVV
rrr
= .
O sentido do vetor velocidade será o sentido do movimento.

180
Fig. xx - Componentes do vetor velocidade no espaço.
Como temos infinitos pontos no espaço ocupado pelo fluido no seu escoamento
e, a cada ponto corresponde um vetor velocidade, conclui-se que V
r
depende da posição
e do tempo, de forma que se escreve ),,,( tzyxVV
rr
= para expressar tal dependência,
sendo tal equação a representação do campo de velocidades existente numa dada região
do espaço, em qualquer instante de tempo. Nesse caso, as componentes cartesianas do
vetor velocidade também dependem da posição e do tempo, relação esta que se escreve
genericamente da seguinte forma:
u = u (x,y,z,t)
v = v (x,y,z,t)
w = w (x,y,z,t)
Da mesma maneira, podemos pensar em um campo de pressões dado por p = p
(x,y,z,t), um campo de massa específica dado por ρ = ρ (x,y,z,t), um campo de

181
aceleração dado por ),,,( tzyxaa
rr
= ou mesmo de um campo de forças
),,,( tzyxFF
rr
= . Como exemplo de um campo de velocidades poderíamos ter um
escoamento jviuV
rrr
+= tal que jyixV
rrr
)3,02,1()06,02,0( −++= . Lembre-se de
que o vetor velocidade será nulo na posição P=(-0,33;4,00). A título de exemplo, calcule
o vetor velocidade, o seu módulo e a sua orientação no espaço, para um partícula fluida
que se encontre na posição P=(2;3).
Em geral V
r
muda com o tempo e com a posição, de maneira que em uma
posição genérica, P, Vd
r
será o vetor velocidade infinitesimal, correspondente a
mudança de V
r
ness intervalo de tempo infinitesimal dt. Assim, pode-se definir o vetor
aceleração como sendo:
dt
Vd
a
r
r
=
Substituindo o vetor velocidade por sua expressão cartesiana, tem-se:
( )
dt
kwjviud
a
rrr
r ++
= ou kajaiak
dt
dw
j
dt
dv
i
dt
du
a zyx
rrrrrrr
++=++=
com
ax = ax (x,y,z,t);
ay = ay (x,y,z,t);
az = az (x,y,z,t);
A expressão cartesiana do vetor aceleração será
),,,( tzyxakajaiaa zyx
rrrrr
=++= , sendo ),,,( tzyxaa
rr
= o campo de aceleração na
posição definida por x, y e z e no instante genérico t. As componentes cartesianas do
vetor aceleração podem ser obtidas, lembrando que as derivadas a serem calculadas são
de funções que dependem da posição e do tempo.
Para o eixo Ox, o cálculo diferencial ensina, pela regra da cadeia, que a
diferencial da variável u será:
dt
t
u
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
du
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

182
Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
dt
du
ax
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
Para o eixo Oy, tem-se, de maneira análoga:
dt
t
v
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
u
dt
dv
ay
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
De maneira análoga, para o eixo Oz, tem-se:
dt
t
w
dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
dw
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Ao dividir ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
dt
dw
az
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
Assim, a expressão cartesiana do vetor aceleração no escoamento de um fluido
será obtido substituindo as derivadas na equação de a
r
, para se obter:
+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= j
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
ui
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
ua
rrr
k
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
r






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
Nessa equação, ∂ foi usado para representar a derivada parcial de uma
grandeza e d para representar a derivada total. Alguns autores, ao escrever a equação de
a
r
costuma usar a letra D para diferenciar a derivada total e denominam tal derivada de
derivada substancial. Todavia, isso não é necessário, desde que seja admitido que o
vetor velocidade é função do espaço e do tempo. Nesse caso, escreve-se que:
Dt
VD
dt
Vd
a
rr
r
==
As vezes é de interesse, escrever a equação do vetor aceleração de uma forma
mais compacta, tal que:

184
k
t
w
j
t
v
i
t
u
aloc
rrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ou
t
V
alocv
∂
∂
=
r
r
O vetor aceleração também pode ser obtido e escrito, na forma vetorial, mais
compacta, a partir da definição do operador gradiente, a ser aplicado sobre uma
variável, definido da seguinte forma:
k
z
j
y
i
x
rrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Multiplicando escalarmente o vetor velocidade pelo operador gradiente, tem-se um
novo operador que pode ser aplicado sobre uma grandeza, conforme a equação seguinte.
Lembrar que o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo é um e que o
produto escalar de vetores unitários normais entre si é zero.
( ) 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅++=∇⋅ k
z
j
y
i
x
kwjviuV
rrrrrrrr
Logo,
z
w
y
v
x
uV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇⋅
rr
Esse novo operador pode ser aplicado sobre o vetor velocidade, para dar:
( ) z
V
w
y
V
v
x
V
uVV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇⋅
rrr
rrr
Observar que o segundo membro da equação acima é exatamente a expressão do vetor
aceleração convectiva. Portanto, é comum escrever a expressão do vetor aceleração em
um campo de escoamento de um fluido, na forma compacta, da seguinte forma:
( ) t
V
VVa
∂
∂
+∇⋅=
r
rrrr
Observação:

185
1. Se o escoamento for permanente, o vetor aceleração local será nulo e o vetor
aceleração será: ( )VVa
rrrr
∇⋅= .
2. Se o escoamento for uniforme, o vetor aceleração convectiva será nulo e o
vetor aceleração será apenas
t
V
a
∂
∂
=
r
r .
Nos caso considerados, as variáveis x, y, z e t são denominadas de variáveis
independentes e as variáveis dependentes são velocidade, aceleração, quantidade de
movimento, energia, dentre outras.
Nos problemas envolvendo a hidrodinâmica normalmente podemos escrever
até seis equações envolvendo até seis incógnitas, o que permite solucionar os mais
diversos problemas relacionados aos escoamentos dos líquidos. Estas equações são:
Equações Básicas:
• 3 equação do movimento
• 1 equação da continuidade
• 1 equação da energia
• 1 equação de estado

186
4.2. Exemplo de aplicação
Seja o escoamento permanente de água através de um bocal cônico
convergente, instalado no final de uma tubulação de área A. Determinar o módulo do
vetor aceleração.
Figura 02 - Escoamento através de um bocal cônico convergente.
Solução
O vetor velocidade média será unidimensional, estando ao longo da direção
Ox. O seu valor não varia com o tempo, todavia varia ao longo do bocal desde um valor
V1 até um valor V2, maior, no final da distância ∆x.
Nesse caso, u varia desce V1 até V2, v = w = 0. Tem-se, também, ∂u/∂t =
v∂u/∂y = w∂u/∂z = 0, de forma que ax = u∂u/∂x. Como não há movimento nas direções
de Oy e de Oz, tem-se, ainda, ay = az = 0, assim como todas as parcelas dessas
componentes.
O problema, agora é calcular u e a sua derivada em relação a x. Uma
aproximação usual é adotar u = (V1 + V2) / 2 e ∂u/∂x = (V2 - V1)/ ∆x.
Logo,
x
VVVV
x
u
uax
∆
−+
=
∂
∂
= 1221
.
2
, o que resulta em
x
VV
ax
∆
−
=
2
2
1
2
2 .
PONTO DE VISTA DE EULER X PONTO DE VISTA DE LAGRANGE
Ver desenvolvimento no quadro

187
4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS
A natureza do escoamento de um fluido real é um pouco complexa, visto que
as leis básicas que descrevem o seu movimento na têm uma formulação muito simples,
levando a complexas equações matemáticas. Para evitar esse problema, é comum fazer
uso de recursos experimentais, para melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao
movimento dos fluidos.
No estudo do movimento dos fluidos aparecem muitos conceitos básicos que a
seguir serão recordados.
Sistema: quantidade definida de matéria, distinta de todo o restante do meio
que o cerca, separada para efeito de estudos. O sistema possui uma quantidade de massa
perfeitamente caracterizada. A lei da conservação da massa afirma que a massa de um
sistema permanece constante com o tempo, de maneira que matematicamente se pode
escrever que dm/dt = 0, sendo m a massa total do sistema e t o tempo.
Fronteira do sistema: superfície fechada que delimita o sistema. Ela pode
variar com o tempo, todavia terá sempre a mesma massa.
Volume de controle: é uma região do espaço ocupada por um fluido, escolhida
para realizar a análise de um escoamento. Às vezes é denominado de sistema aberto. A
forma e o tamanho do volume de controle podem variar, além de poder serem arbitradas
livremente nos problemas.
Superfície de controle: superfície fechada que delimita o volume de controle.
Através dela pode haver ou não passagem de massa. É comum fazer coincidir parte da
superfície de controle com as paredes sólidas que delimitam um escoamento e outra
parte com superfícies definidas perpendicularmente aos escoamentos.

189
Tubo de corrente ou tubo de fluxo é definido pelo conjunto das linhas de
corrente que tocam uma linha fechada traçada no interior de um escoamento. O tubo de
corrente é fixo no escoamento permanente e varia com o tempo no escoamento não
permanente. Já que o vetor velocidade num mesmo ponto não pode ter duas direções
num mesmo instante, conclui-se que não poderá haver escoamento através das paredes
de um tubo de corrente.
Fig. 04 – Tubo de fluxo formado por linhas de corrente em um escoamento.
(Refazer esta figura)
4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:
Quando se estuda os líquidos, em especial a água, é comum agrupar os
escoamentos em determinados tipos, com características comuns, para fins de estudos.
Os escoamentos podem ser classificados em função de suas características,
capaz de identificar completamente aquele tipo ou regime de escoamento. Assim é
comum classificar os escoamentos em:
• ideal (invíscido) • real (viscoso, µ≠0)
• uniforme • não uniforme (variado)
• permanente • não permanente
(variável)

190
• acelerado • retardado
• compressível • incompressível
• rotacional • irrotacional
• adiabático • unidimensional
(grandezas = f(x)
• bidimensional (grandezas = f(x,y) • tridimensional grandezas
= f(x,y,z)
• laminar (ação viscosa e velocidade baixa) • turbulento
• forçado (condutos forçados) • livre (canais)
• crítico • fluvial (subcrítico)
• torrencial (supercrítico)
Escoamento de fluido ideal é quando a tensão cisalhante é muito pequena,
tornando-se desprezível. Nesse caso não há atrito e a perda de energia ao longo do
escoamento é desprezível. Também chamado de escoamento de fluido invíscido. Em
alguns casos faz-se a hipótese de escoamento de fluido ideal para se obter equações
simplificadas de um problema real.
Escoamento de fluido real ou escoamento viscoso é aquele para o qual a
tensão cisalhante não é desprezível, devendo ser considerada no equacionamento. Nesse
caso existe influência da viscosidade real (µ≠0), de maneira que o atrito e a perda de
energia ao longo do escoamento existem e precisam ser consideradas. É o caso da
maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza.
Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor velocidade do escoamento
é o mesmo em todos os pontos (em módulo, direção e sentido) em um dado instante.
Diz-se que a derivada parcial do vetor velocidade com a posição é nula (
0=
∂
∂
posição
V
r
). Assim não há aceleração convectiva. Costuma-se estender tal
definição para escoamentos que, embora a velocidade varie à partir do contorno sólido
(como é o caso do escoamento de fluido real), a velocidade média mantém-se a mesma
na região estudada, num dado instante. É o caso de escoamentos em condutos retilíneos
de diâmetro constante.

191
Escoamento não uniforme ou variado é aquele para o qual o vetor velocidade
do escoamento varia de um ponto para outro, num mesmo instante. Para tais
escoamentos a derivada parcial do vetor velocidade com a posição não é nula (
0≠
∂
∂
posição
V
r
), existindo a aceleração convectiva. É o caso do escoamento em
condutos em que o diâmetro varia ao longo do escoamento.
Escoamento permanente é aquele para o qual as grandezas físicas que
descrevem o escoamento não variam com o tempo numa dada região do espaço. Diz-se
que a derivada parcial da grandeza com o tempo é nula ( 0=
∂
∂
t
grand ). Nesse caso,
0=
∂
∂
t
V
r
, 0=
∂
∂
t
p , 0=
∂
∂
t
ρ , 0=
∂
∂
t
T , etc. A principal característica é que não
haverá aceleração local, visto que o vetor velocidade não varia com o tempo.
Escoamento não permanente, também denominado de escoamento variável, é
aquele para o qual as grandezas físicas que caracterizam o escoamento variam com o
tempo em uma dada posição do espaço. A derivada parcial das grandezas em relação ao
tempo não é desprezível, devendo ser considerada nesse tipo de escoamento (
0)( ≠
∂
∂
t
gradn ), assim como as derivadas parciais das demais grandezas. Nesse tipo
de escoamento não se pode desprezar a aceleração local.
Um escoamento é dito acelerado quando a velocidade aumenta no sentido do
escoamento, de forma que aparece uma aceleração positiva segundo essa direção. Isso
acontece, nas regiões em que a área da seção transversal do escoamento diminui, como
nos injetores.
Um escoamento retardado é denominado retardado, quando a velocidade
diminui no sentido do escoamento, de maneira a existir uma aceleração negativa, isto é,
o escoamento está sendo freado. Ele pode ser visto em regiões onde a área da seção
transversal vai aumentando, como nos difusores.

192
Um escoamento é dito compressível quando não se pode desprezar a variação
da sua massa específica. É o caso de escoamento de gases em velocidades elevadas ou
mesmo o escoamento de água que fica sujeita a grandes variações na pressão.
Um escoamento é dito incompressível quando a variação da massa específica
puder ser desprezada. É o caso da maioria dos escoamentos de líquidos sujeitos a pouca
variação da pressão. Pode-se admitir escoamento incompressível de ar, quando ele
ocorrer a baixas velocidades (o número de Mach deve ser inferior a 0,3).
Escoamento adiabático é aquele que ocorre sem transferência de calor para o
fluido ou do fluido. Um escoamento adiabático de fluido ideal é denominado de
escoamento isoentrópico.
Um escoamento é irrotacional ocorre quando o fluido não apresenta rotação
num certa região do espaço.
Um escoamento é rotacional quando as partículas do fluido, em uma certa
região do espaço, sofrer uma rotação em torno de um eixo qualquer.
Escoamento unidimensional é aquele em que as grandezas físicas que
caracterizam o escoamento, tais como velocidade, pressão, massa específica, variam
com apenas uma coordenada espacial, além do tempo. Diz-se que tais grandezas variam
apenas em uma única direção, que em geral é a direção na qual o escoamento acontece.
A variação das grandezas ao longo da direção transversal ao escoamento é desprezível.
O escoamento pode ser tratado em termos médios na seção transversal, como ocorre nas
tubulações. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que acontecem nos condutos.
Escoamento bidimensional é aquele para o qual as grandezas físicas que o
caracterizam variam ao longo de duas direções do espaço, isto é, variam em um plano
xOy e nesse caso diz-se que grandezas são uma função, f(x,y), das coordenadas s e y.
Admite-se que todas as partículas escoam em planos paralelos segundo trajetórias

194
com o quadrado da velocidade, ao passo que no escoamento laminar as perdas variam
linearmente com a velocidade.
Escoamentos forçado em condutos forçados é aquele que se dá sob a ação de
uma pressão diferente da pressão atmosférica. A principal força que governa o
escoamento é decorrente da pressão. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que
ocorrem no domínio da engenharia, assunto principal da hidráulica dos condutos
forçados.
Escoamento livre, escoamento com superfície livre ou escoamento em canais é
aquele que ocorre de forma que haja sempre uma superfície sujeita à pressão
atmosférica. Nesse caso a principal força motriz do escoamento é a força gravitacional.
Um escoamento é denominado crítico quando ocorre com a menor energia
específica possível. A velocidade do escoamento é denominada de velocidade crítica.
Este escoamento será melhor definido ao se estudar a hidráulica dos canais.
Escoamento fluvial ou subcrítico é aquele para o qual a velocidade do
escoamento é inferior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade de
escoamento é muito baixa, de forma que o escoamento é lento ou tranqüilo.
Escoamento torrencial ou supercrítico é aquele pra o qual a velocidade é
superior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade assume valores mais
elevados, fazendo aparecer turbilhões ou vórtices.
4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO
Quando os fluidos se encontram em escoamento é necessário quantificar esse
escoamento em termos de quantidades transportadas medidas em volume, em massa ou
em peso, o que permitirá a aplicação de equações que levam em conta essas

195
quantidades. Para que isso aconteça é preciso estabelecer os conceitos de vazão, vazão
em massa, vazão em volume e de velocidade média.
a) Vazão em volume: Q
É o volume de líquido que atravessa uma determinada seção normal ao
escoamento na unidade de tempo. Também denominada de descarga ou débito.
Matematicamente a vazão é calculada por:
Q = Vol/∆t
Entretanto, há casos em que a própria vazão varia com o tempo, como nos
escoamentos não permanentes. Nesse caso o intervalo de tempo ∆t influencia no valor
calculado da vazão, o que indica que a definição de vazão precisa ser estendida para ser
calculada em um dado instante. Isso é feito, definindo que a vazão é, num dado instante,
o limite da relação entre o volume que atravessa uma determinada seção normal ao
escoamento e o tempo, quando esse tempo tende para zero. Isso corresponde, na prática,
a adotar-se intervalos de tempo muito pequenos, para se determinar a vazão em um
determinado instante.
No limite: Q = l i m (Vol/∆t) = dVol/dt
∆t 0
Se Q é constante Q = Vol/∆t

196
Figura 05 - Volume escoado em um intervalo de tempo ∆t.
A vazão também pode ser calculada em uma área muito pequena, denominada
de área elementar e representada por dA. Nesse caso, tem-se:
dQ = dVol/dt
onde a vazão dQ, agora é um infinitésimo de primeira ordem e, dVol, um infinitésimo
de ordem superior a dt.
Fig. 06 – Vazão em uma área elementar, dA, onde a velocidade é v.
Observar que todas as partículas que se encontram sobre dA num dado instante,
deslocam-se de um comprimento infinitesimal, ds, formando um prisma de fluido de
base dA e altura ds. Assim,
dVol = dA.ds e,
dQ = dA.ds/dt

197
Lembrar que ds/dt é exatamente o valor da velocidade tangencial à linha de corrente que
passa pelo centro de gravidade de dA, de forma que v = ds/dt.
Assim, finalmente, pode-se escrever que
dQ = v.dA
resultado que expressa uma nova maneira de se calcular a vazão, como o produto entre a
velocidade do escoamento e a área normal à direção do escoamento.
A vazão total em uma área finita, A, pode ser calculada somando-se as infinitas
parcelas vdA de forma a varrer toda a área A. Matematicamente, escreve-se que
∫=
A
dAvQ .
Podem ocorrer casos que v não seja perpendicular à área dA. Portanto é
necessário ampliar o conceito de vazão para considerar tais casos. Para tal, define-se um
vetor área, de forma que ele tenha um módulo igual ao valor da área, direção
perpendicular a essa área e sentido voltado para fora da área, conforme esquematizado
na figura seguinte. Esse vetor fará um ângulo θ com o vetor velocidade, conforme
ilustrado na figura seguinte.
Fig. 07 – Vetor velocidade não é perpendicular à área e vetor área infinitesimal.
dQ = dVol/dt
dQ= dA.ds/dt = v.dA
∫=
A
dAvQ .

198
Nesse caso, a vazão é definida como o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor
área definido anteriormente, ou seja:
AdvdQ
rr
.=
Pela definição de produto escalar entre dois vetores, resulta:
θcos..dAvdQ =
Onde v é o módulo do vetor velocidade, dA é o módulo do vetor área e θ o menor
ângulo entre as direções dos dois vetores anteriormente referidos.
Lembrando que a componente da velocidade na direção da tangente é
denominada de velocidade tangencial, pode-se escrever que:
θcos.vvt =
Logo, a vazão elementar em uma área dA será calculada como:
dAvdAvdQ t== .cos. θ
Para o caso de uma área finita, podemos calcular a vazão através dela pela
aplicação das seguintes expressões:
∫∫ ==
AA
dAvAdvQ .cos.. θ
rr
Caso v não seja perpendicular a dA:
θcos... dAvAdvdQ ==
rr
dAvdAvdQ t== .cos. θ
ou
∫∫ ==
AA
dAvAdvQ .cos.. θ
rr

199
Unidades de vazão:
Em todo sistema coerente de unidades, se uma relação prevalece entre
grandezas, ela também ocorre entre suas unidades. Assim,
U(Q) = U(Vol)/U(t)
U(Q) = m3
/s SI e Sistema técnico
= cm3
/s CGS
= ft3
/sec Sistema Inglês Absoluto e Sist. Inglês Técnico
Essas são as unidades usuais para medida da vazão. Entretanto outras podem ser
utilizadas, dependendo do valor da vazão. Vazões podem ser expressas em m3
/h, l/s,
m3
/dia, ml/s, etc. Ressalta-se que no Sistema Inglês, a vazão é sempre expressa em ft3
/s,
também denominada de cfs (cubic feet for second).
b) Vazão em massa: m& ou Qm
É a massa de fluido que atravessa uma dada seção transversal ao escoamento
na unidade de tempo.
Para uma área A, matematicamente se escreve:
Qm = m& = m/∆t
Quando a vazão em massa varia com o tempo, deve-se passar ao limite da
relação acima quando ∆t tende para zero, de forma que:
t
m
mQ
t
m
∆
==
→∆ 0
lim&
O limite acima é exatamente a definição de derivada da massa em relação ao
tempo, logo, na prática, apesar da definição acima, usa-se a seguinte expressão para o
cálculo da vazão em massa:

201
= lb/sec Sistema Inglês Absoluto e
= slug/sec Sistema Inglês Técnico
Essas são as unidades usuais para medida da vazão.
c) Vazão em peso: G
Por definição é o peso de fluido que atravessa uma dada seção normal ao
escoamento na unidade de tempo.
t
P
G
∆
=
No caso de G variar com o tempo tem-se:
∫==
∆
=
→∆ At
Advg
dt
dP
t
P
G
rr
..lim
0
ρ
É uma grandeza pouco utilizada nos escoamentos de líquidos.
d) Velocidade média: V
Em muitos escoamentos que ocorrem na prática, é usual falar-se em uma velocidade que
representa tal escoamento: a velocidade média. Com freqüência, os escoamentos têm as
suas equações expressas em termos da velocidade média. Portanto, define-se a
velocidade média como sendo a relação entre a vazão e a área da seção transversal ao
escoamento onde ela ocorre. Assim, escreve-se:
A
Q
V =
Como
∫=
A
vdAQ ,
tem-se que
A
Q
vdA
A
V
A
== ∫
1

202
No caso geral, quando o vetor velocidade do escoamento não for perpendicular
à área, velocidade média será calculada pela seguinte equação:
∫=
A
Adv
A
V
rr
.
1
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO
Exercício 1:
Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de
450 m3
/h. Se a velocidade econômica na linha for definida como 1,05 m/s, qual deveria
ser o diâmetro utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no mercado
são 350 mm, 400 mm e 500 mm, dentre outros.
SOLUÇÃO
Q = A.V, onde A = π.D2
/4
Logo
Q = π.D2
/4.V
Assim:
450/3600 m3
/s = 3,142*D2
/4*1,05m/s D2
= 0,151576 m2
.
D = 0,3893 m.
Em decorrência dos diâmetros comerciais existentes, o diâmetro indicado será
400 mm, visto que a adoção de um diâmetro menor (350 mm) tornaria a velocidade
acima do limite dado.
Exercício 2:

203
Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima na coluna de distribuição é
de 7,5 l/s. Se a coluna de distribuição tiver diâmetro de 60 mm, qual a velocidade de
escoamento da água? Observação: a ABNT recomenda 2,5 m/s par colunas de 75 mm.
SOLUÇÃO
Q = A.V, onde A = π.D2
/4
Logo
Q = π.D2
/4.V
Assim:
7,5/1000 m3
/s = 3,142*0,0602
/4m2
*V.
V = 2,653 m/s.
Esse valor é superior ao recomendado pela ABNT, mesmo para uma coluna de 60 mm
de diâmetro.
4.4 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

204
Seja um volume de fluido infinitesimal, dVol, escolhido no interior de uma
fluido em escoamento, de massa específica ρ, referido a um sistema de eixos cartesianos
tri-ortogonal, conforme mostra a figura seguinte:
Fig. xx – Volume de controle utilizado para obtenção da equação diferencial da
conservação da massa.
Seja m a massa contida em um volume de controle no instante t e m´ a massa
num instante t´. Sendo t´ = t + dt m´ = m + dm. Diz-se que no intervalo de tempo,
dt, a massa variou de uma quantidade dm. Nesse caso:
dm = ρ.dVol dm = ρ.dx.dy.dz
No instante t, a massa é m.
No instante t´ = t + dt, a massa é m´= m + dm
A variação da massa no volume dVol, em um intervalo de tempo dt será:
dt
t
dzdydx
∂
∂ )...(ρ

29
Tabela 04 - Massa específica da água e do mercúrio, em função
da temperatura.
Temp.
ºC
Água
(kg/m
3
)
Mercúrio
(kg/m
3
)
Temp.
ºC
Água
(kg/m
3
)
Mercúrio
(kg/m
3
)
0 999,867 13595,1 20 998,232 13545,8
1 999,927 13592,6 21 998,021 13543,4
2 999,968 13590,1 22 997,799 13540,9
3 999,992 13587,7 23 997,567 13538,5
4 1000,000 13585,2 24 997,326 13536,0
5 999,992 13582,7 25 997,074 13533,6
6 999,968 13580,3 26 996,813 13531,1
7 999,930 13577,8 27 996,542 13528,7
8 999,876 13575,4 28 996,262 13526,2
9 999,809 13572,9 29 995,974 13523,8
10 999,728 13570,4 30 995,676 13521,3
11 999,633 13568,0 31 995,369 13518,9
12 999,525 13565,5 32 995,054 13516,4
13 999,404 13563,0 33 994,731 13514,0
14 999,271 13560,6 34 994,399 13511,6
15 999,127 13558,1 35 994,059 13509,1
16 998,970 13555,7 36 993,712 13506,6
17 998,802 13553,2 37 993,357 13504,2
18 998,623 13550,7 38 992,994 13501,8
19 998,433 13548,3 39 992,623 13499,4
20 998,232 13545,8 40 992,246 13496,9
Acima de 40 ºC:
50 988,07 60 983,24
70 977,81 80 971,83
90 965,34 100 958,38
Para o mercúrio, uma equação do primeiro grau ajusta-se muito bem os dados
na faixa de 0º
C a 40º
C. Essa equação é:
T454529813594Hg ,, −=ρ

206
• Massa que sai do volume elementar através da face do paralelepípedo
perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo:
dydxdz
z
.
)(






∂
∂
+
ρω
ρω
• Balanço de massa na direção de Oz:
dzdydx
z
..
)(
∂
∂
−
ρω
Considerando que a equação da conservação da massa afirma que a massa que
entra, na unidade de tempo, menos a massa que sai, na unidade de tempo, é igual a taxa
de variação da massa com o tempo no interior do volume, tem-se:
dxdydz
tz
dzdxdyw
y
dydxdzv
x
dxdydzu
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂− ρρρρ )()()(
Dividindo-se a equação acima, membro a membro, por dx.dy.dz, tem-se:
tz
w
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ρρρρ )()()(
A equação acima é a forma diferencial da equação da conservação da massa
para o escoamento, quando se considera um volume elementar de fluido de massa
específica ρ.
Na forma vetorial esta equação pode ser escrita como:
t
Vdiv
∂
∂
−=
ρ
ρ )(
r
Observações:
1. Escoamento permanente: 0=
∂
∂
t
ρ
0
)()()(
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u ρρρ .
2. Escoamento incompressível (ρ constante): 0=
∂
∂
t
ρ
0
)()()(
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u .

207
Em termos finitos, quando o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente, é
possível escrever a equação da conservação da massa numa forma mais intuitiva.
Figura xx -
Considerar um líquido escoando por um tubo de corrente tal que o regime de
escoamento seja permanente. Para as áreas elementares que formam um tubo de
corrente dA1 e dA2, pode-se escrever:
1111 dAVmd ρ=& e c
Como a equação da continuidade afirma que 21 mdmd && = tem-se:
222111 dAVdAV ρρ =
Integrando para as áreas A1 e A2, teremos:
∫∫ =
21
222111
AA
dAVdAV ρρ
Como a massa específica não varia em cada uma das áreas, tem-se:
∫∫ =
21
222111
AA
dAVdAV ρρ
Em termos do escoamento médio, em cada seção transversal ao escoamento, tem-se:
222111 AVAV ρρ =
Para o escoamento incompressível a massa específica não varia nem em cada
seção, nem de uma seção para outra. Logo a equação da continuidade para o
escoamento de um fluido incompressível se torna:

208
QCAVAV te
=== 2211
Essa equação mostra que para o escoamento incompressível, a vazão em volume é
constante ao longo do escoamento, embora a velocidade possa variar de uma seção para
outra. Esse resultado é importante, pois permite concluir que se o escoamento for
incompressível, quando se aumentar a seção do escoamento, a velocidade terá que
diminuir e vice-versa.
1
2
1
2 V
A
A
V =
Portanto, quando a área aumentar (A2 > A1), a equação acima permite concluir que V2 <
V1.
EXEMPLOS DE ALICAÇÃO
1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de 450
m3
/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual deveria ser o
diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no
mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 mm e 450 mm.
SOLUÇÃO
Q =A.V, sendo A = π.D2
/4.
A = π.D2
/4 = Q/V.
D2
=4.Q/V/π e D2
= 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558
D = 0,389 m ou D =389 mm.
Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido.
2. Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devida ao uso de uma coluna de
distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, qual será a
velocidade do escoamento da água?
SOLUÇÃO
Q =A.V, sendo A = π.D2
/4.
V =Q / A = 4.Q/(π.D2
).

209
V =4*0,0075/(3,142*0,0602
)
V= 2,65 m/s
Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm.
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO
1. Em uma tubulação de 50 m de diâmetro a água entra com uma vazão de 5 l/s. Após
um comprimento igual a 1,20 m da entrada, a seção da tubulação é reduzida de forma
que o diâmetro é de 25 mm. Determinar a velocidade da água na seção reduzida (de
saída).
SOLUÇÃO
Q = AV
Fluido incompressível e escoamento permanente: Q = A1.V1 = A2.V2
Logo,
22
2
2
025,0
0015,044
x
x
d
Q
A
Q
V
ππ
=== ou V2 = 3,06 m/s.
2. Um reservatório prismático, com área da base igual a 5 m2, recebe água de duas
tubulações e fornece água através de uma terceira tubulação, conforme figura a seguir.
Sabe-se que Q1 = 2 l/s e D1 = 40 mm; V2 = 1,5 m/s e D2 = 50 mm; V3 = 1,10 m/s e
D3 = 75 mm. No instante inicial (t = 0s) o volume de água existente no reservatório
era de 1.000 litros. Nesse caso pede-se:
a) verificar se o reservatório está enchendo ou esvaziando e que taxa;
b) caso o reservatório tenha uma capacidade de 5.000 litros, qual o tempo que ele levará
para transbordar?

210
SOLUÇÃO
a) Equação da continuidade para escoamento não permanente:
dt
dV
AVAVAV ol
=−+ 332211
Assim: 10,1
4
075,0
50,1
4
050,0
002,0
22
33221 x
x
x
x
AVAVQ
dt
dVol ππ
−+=−+=
sml
s
mxx
dt
dVol
/86106,810086,0
353
=== −−
Como dVol/dt > 0 conclui-se que o reservatório está em processo de enchimento, a uma
taxa de 0,086 litros por segundo ou 5,16 litros por minuto.
b) tempo de enchimento
Nota-se que Q1, A2.V2 e A3.V3 são constantes, o que permite concluir que dVol/dt
também é constante. Assim,
smx
t
V
dt
dV olol
/106,8 35−
=
∆
∆
= , o que dá shs
x
t 4,53min58124,733.46
106,8
00,100,5
5
==
−
=∆ −

211
4.5 - EQUAÇÃO DE ESTADO:
Fluido homogêneo e incompressível: te
c=ρ
Fluido homogêneo e compressível:
ρ
ρ
d
dp
V
dV
dp
E =
−
=
p = pressão, V = volume e ρ = massa específica do fluido
gás ideal: RTp ρ= com R = R0/M
Com Ro = constante universal dos gases; R = constante específica do gás
M = massa molecular do gás e T = temperatura absoluta

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