Teoria das estruturas I

1. Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
C d E h i Ci ilCurso de Engenharia Civil
Teoria das Estruturas ITeoria das Estruturas I
Aula 05Aula 05
ProfProf FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade LimaProf.Prof. FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade Lima

2. Aula 05Aula 05
Determinação geométrica das estruturas planasDeterminação geométrica das estruturas planas
Cálculo das reações de apoio em estruturas isostáticasCálculo das reações de apoio em estruturas isostáticas

3. Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
B i l i l tB i l i l tBarras vinculares equivalentesBarras vinculares equivalentes
Apoio simples, ou Apoio do 1º gêneroApoio simples, ou Apoio do 1º gênero
Apoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou RótulaApoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou Rótula
Apoio do 3º gênero ou EngasteApoio do 3º gênero ou Engaste

4. Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
bbSendoSendo bb oo númeronúmero dede barras,barras, incluindoincluindo asas barrasbarras vincularesvinculares
equivalentes,equivalentes, ee nn oo númeronúmero dede nósnós dede umauma treliçatreliça plana,plana, aa
condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãocondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposição
determinadadeterminada éé::
b = 2 nb = 2 n

5. Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 2b < 2 Treliça indeterminada (mó el)Treliça indeterminada (mó el)b < 2 nb < 2 n Treliça indeterminada (móvel)Treliça indeterminada (móvel)
b = 2 nb = 2 n Treliça determinadaTreliça determinada
b > 2 nb > 2 n Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminada

6. TreliçasTreliças
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
ExemploExemplo
44
n = 14n = 14n 14n 14
b = 29b = 29
b > 2 nb > 2 n
Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminada
b = 29b = 29 ç pç p

7. CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ParaPara esseesse estudo,estudo, seráserá consideradaconsiderada umauma chapachapa aa estruturaestrutura ouou oo
conjuntoconjunto dede peçaspeças estruturaisestruturais responsávelresponsável pelapela posiçãoposição dede trêstrês ouou
maismais pontospontos emem seuseu domíniodomínio
Treliça geometricamenteTreliça geometricamenteTreliça geometricamenteTreliça geometricamente
Determinada (Determinada (n = 7 e b = 14n = 7 e b = 14))
“Chapa” de treliça“Chapa” de treliça
A chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no planoA chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no plano

8. CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
AA condiçãocondição parapara queque umauma treliça,treliça, excluindoexcluindo--sese asas ligaçõesligações
externasexternas (barras(barras vinculares)vinculares) sejaseja umauma “chapa”,“chapa”, éé dadadada porpor::
b 2b 2 33b = 2 nb = 2 n -- 33
Treliça como chapaTreliça como chapa ((n = 7 e b = 11n = 7 e b = 11))2 graus de liberdade2 graus de liberdade
2 graus de liberdade2 graus de liberdade 3 graus de liberdade3 graus de liberdade

9. Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
CCChapasChapas
NasNas estruturasestruturas constituídasconstituídas porpor chapaschapas ee vínculos,vínculos, sãosão necessáriosnecessários
umum ouou maismais vínculosvínculos equivalentesequivalentes aa trêstrês barrasbarras vincularesvinculares,, parapara
queque aa suasua posiçãoposição sejaseja fixafixa
SendoSendo cc oo númeronúmero dede chapaschapas abertasabertas dada estruturaestrutura ee bb oo númeronúmero dede
barrasbarras vincularesvinculares equivalentesequivalentes,, aa condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa
t tt t jj t i tt i t d t i dd t i d ééqueque aa estruturaestrutura sejaseja geometricamentegeometricamente determinadadeterminada éé::
b 3b 3b = 3 cb = 3 c

10. Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 3b < 3 E t t i d t i d ( ó l)E t t i d t i d ( ó l)b < 3 cb < 3 c Estrutura indeterminada (móvel)Estrutura indeterminada (móvel)
b = 3 cb = 3 c Estrutura determinadaEstrutura determinada
b > 3 cb > 3 c Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada

11. ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos
11
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c
(2)
b = 3b = 3
(1)
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada
b = 3b = 3
22
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 ccc b 3b 3 b 3 cb 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada

12. ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos
33
(2)
(2) (2)
c = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cc = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 c
Estrutura determinadaEstrutura determinada

13. ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ExemplosExemplos
44
(3) Continuidade = 3 barras
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c
(3) (3)
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c
Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada
grau = 6grau = 6

14. Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em treliçasEstruturas em treliças
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 2b < 2 Treliça hipostáticaTreliça hipostáticab < 2 nb < 2 n Treliça hipostáticaTreliça hipostática
b = 2 nb = 2 n Treliça isostáticaTreliça isostática
b > 2 nb > 2 n Treliça hiperestáticaTreliça hiperestática

15. Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em chapasEstruturas em chapas
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3b < 3 E t t hi tátiE t t hi táti
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3 cb < 3 c Estrutura hipostáticaEstrutura hipostática
b = 3 cb = 3 c Estrutura isostáticaEstrutura isostática
b > 3 cb > 3 c Estrutura hiperestáticaEstrutura hiperestática

16. Cálculo de reações de apoioCálculo de reações de apoio
Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas
as forças que nele atuam é nulaas forças que nele atuam é nula
Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,
resultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesresultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintes
equações de equilíbrio:equações de equilíbrio:
∑∑
∑∑
==
==
00
00
yy
xx
MF
MF
x
y
z
∑∑
∑∑
== 00 zz
yy
MF
z
Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:
∑∑∑ 000 MFF
y
∑∑∑ === 000 zyx MFF x

17. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio
A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaA correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completa
especificação de todas as forças externas atuantes sobre a estruturaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estrutura
Di d li é ã á i dDi d li é ã á i dDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com as
forças atuantes, substituindoforças atuantes, substituindo--se os vínculos por forças que correspondemse os vínculos por forças que correspondem
às reações de apoioàs reações de apoio
Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção eSe faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e
sentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emsentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo em
qualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estrutura
y
+
Inicialmente admiteInicialmente admite--se um sentido para as reações e após aplicado asse um sentido para as reações e após aplicado as
x
equações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentidoequações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentido

18. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 1Exemplo 1 –– Viga biViga bi--apoiada com carga concentradaapoiada com carga concentrada
60kN 60kN
2m4m RVBRVA
BA
x
y
+
kNRxRxxR
M
VBVAVB
A
40006046
0
=∴=+−
=∑
kNRxRxxR
M
VAVBVA
B
20006026
0
=∴=++−
=∑
BA
60kN
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
40kN20kN
pp

19. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 2Exemplo 2 –– Viga biViga bi--apoiada com carga uniformemente distribuídaapoiada com carga uniformemente distribuída
3kN/m R=3x6=18kN
A
6m
3m 3m RVBRVA
B
x
y
+
kNRxxR
M
VBVB
A
901836
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
901836
0
=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
3kN/m
BA
pp
9kN9kN

20. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 3Exemplo 3 –– Viga biViga bi--apoiada com carga parcialmente distribuídaapoiada com carga parcialmente distribuída
6kN/m R=6x4=24kN
2m
RVA
A
2m RVB
B
4m 4m
x
y
+
kNRxxR
M
VBVB
A
1602446
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
802426
0
=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
6kN/m
BA
pp
16kN8kN

21. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 4Exemplo 4 –– Viga biViga bi--apoiada com carga triangularmente distribuídaapoiada com carga triangularmente distribuída
6kN/m 18kN
2
6x6
R ==
2m
RVA
A
RVB
B
6m 4m
x
y
+
kNRxxR
M
VBVB
A
12018246
0
=∴=−−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
601826
0
=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
6kN/m
BA
pp
12kN6kN

22. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
30kN.m30kN.m
Exemplo 5Exemplo 5 –– Viga biViga bi--apoiada com carga momento concentradaapoiada com carga momento concentrada
2m RVA
A
RVB
B
4m
x
y
+
kNRxR
M
VBVB
A
50306
0
=∴=−
=∑
kNRxR
M
VAVA
B
50306
0
−=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
30kN.m
A B
pp
5kN
5kN

23. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 6Exemplo 6 –– Viga engastada ou em balanço com carga concentradaViga engastada ou em balanço com carga concentrada
20kN 20kN
A B
A
RVA
4m
x
y
+
kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMx
M
AA
A
.800204
0
=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre A B
80kN.m
20kN
pp
20kN

24. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 7Exemplo 7 –– Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniformeViga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme
5kN/m
R=5x4=20kN
RVA
2m
A B
A
4m
x
y
+
kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMx
M
AA
A
.400220
0
=∴=+−
=∑
BA
40kN.m
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp

25. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
10kN.mMA
Exemplo 8Exemplo 8 –– Viga engastada ou em balanço com carga momentoViga engastada ou em balanço com carga momento
10kN.m
RVA
A B
A
4m
x
y
+
000
0
=∴=+
=∑
VAVA RR
Y
mkNMM
M
AA
A
.10010
0
=∴=+−
=∑
BA
40kN.m
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp

26. Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 9Exemplo 9 –– Viga biViga bi--apoiada com balanço e carga uniformemente distribuídaapoiada com balanço e carga uniformemente distribuída
7,5kN/m R=7,5x8=60kN
2m
2m
A
6m
4m RVBRVA
B
x
y
+
kNRxxR
M
VBVB
A
4006046
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
2006026
0
=∴=+−
=∑
Diagrama deDiagrama de
corpo livrecorpo livre A
7,5kN/m
pp
40kN20kN
B