1. CAPITULO
3
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
Torção
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Torçor em Eixos Circulares
• O sistema da figura é composto de
um gerador e uma turbina,
interligados por um eixo.
• A turbina exerce um torque T no eixo.
• O eixo transmite o torque para o
gerador e o gerador cria um torque
igual e contrário T’, chamado
Momento Torçor.
• Efeitos da torção :
- Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções tranversais do eixo;
- Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra.
1-2
1

2. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torque Interno
• A resultante das tensões de cisalhamento,
geram um torque interno igual e oposto ao
torque externo aplicado,
T    dF     dA
• Embora a resultante do torque devido às tensões
de cisalhamento seja conhecida, a distribuição
das tensões ainda não o é.
• A determinação da distribuição das tensões de
cisalhamento é estaticamente indeterminada,
deve-se considerar as deformações do eixo para
a sua solução.
• Diferentemente da distribuição das tensões
normais devido à cargas axiais, a distribuição das
tensões de cisalhamento devido ao torque não
pode ser considerada uniforme.
1-3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Componentes das Tensões de Cisalhamento
• O torque aplicado na barra circular
produz tensões de cisalhamento nas faces
perpendiculares ao eixo axial.
• As condições de equilíbrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces dos dois
planos que contêm o eixo da barra.
• A existência destas tensões pode ser
demonstrada, considerando que a barra é feita
de tiras axiais, conforme figura ao lado.
1-4
2

3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção
• Considere um elemento no interior de uma seção de
um eixo, submetido a um torque T.
• Desde que a extremidade do elemento permanece
plana, a deformação de cisalhamento é proporcional
ao ângulo de torção.
Lg   f ou g 
• Temos então:
f
g máx  c e
L
• Logo:
g 

c
f
L
g máx
Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
  g G 
 f
L
1-5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção – cont.
Logo, se:
  0   0
  c     máx
Encontramos então, a seguinte relação:
Onde : J    2 dA
  máx


    máx

c
c
• Como a soma dos momentos internos causados pela
tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque
externo,
T    dA 
 máx 2

  dA  máx J
c
c
• Ficamos então com:
 máx 
Tc
J
e
 
T
J
1-6
3

4. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Polar de Inércia
a) Eixos Circulares Cheios:
J    2 dA
A   2  dA  2 d
c
J    2 .2 d 
0
c 4
2
ou
J  1  c4
2
J
D 4
32
b) Eixos Circulares Vazados:

4
4
J  1  c2  c1
2

4
4
J  1  c2  c1
2


ou
J

32
( De4  Di4 )
1-7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação do Eixo – Ângulo de Torção
• Quando submetido a torção, o eixo circular
permanece com a sua seção tranversal plana e
sem distorção.
• A seção transversal de barras não circulares
submetidas a torção são distorcidas, devidas a
falta de axisimetria.
• Verifica-se que o ângulo de torção no eixo, é
proporcional ao torque aplicado e ao
comprimento do eixo.
f T
fL
1-8
4

5. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Ângulo de Torção
• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação
de cisalhamento estão relacionadas por:
cf
g máx 
L
• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
g máx 
 máx
G

Tc
JG
• Igualando as equações e resolvendo para o
ângulo de torção, encontramos:
f
TL
JG
• Se o torque, a seção, o material ou o
comprimento variam ao longo do eixo:
f 
i
Ti Li
J i Gi
1-9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
O eixo BC é ôco com diâmetro interno de
90mm e diâmetro externo de 120mm. Os
eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d.
Para o carregamento mostrado, determine:
(a) as tensões de cisalhamento minima e
máxima no eixo BC,
(b) o diâmetro d necessário para os eixos
AB e CD, se a tensão admissível ao
cisalhamento para o material do eixo é de
65 MPa.
1 - 10
5

6. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
SOLUÇÃO:
• Corte o eixo através de AB e BC e
aplique as equações de equilíbrio para
encontrar os torques internos:
 M x  0  6 kN  m   TAB
 M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC
TAB  6 kN  m  TCD
TBC  20 kN  m
1 - 11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
• Para o eixo BC, temos:
J

2
• Para os eixos AB e BC, temos:
c24  c14    0.0604  0.0454 
2
 max 
 13.92 10 6 m 4
 max   2 
Tc
Tc

J  c4
2
TBC c2 20 kN  m 0.060 m 

J
13.92 10 6 m 4
65MPa 
6 kN  m
 c3
2
3
c  38.9 10 m
d  2c  77.8 mm
 86.2 MPa
 min c1

 max c2
 min
86.2 MPa
 min  64.7 MPa

45 mm
60 mm
 max  86.2 MPa
 min  64.7 MPa
1 - 12
6

7. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.2
Que valor de momento de torção deve ser
aplicado à extremidade do eixo circular da
figura, de modo a produzir um ângulo de torção
de 20? Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
LOGO:
TL
GJ
T 

GJ
L
2

 34,9 10 3 rad
180

J

32
80 109 1,02110 6
 34,9 10 3
1,5
T  1,9 KN .m
T
( De4  Di4 )  1,02110 6 m 4
1 - 13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.3
Calcular, para o eixo da figura, o valor do
ângulo de torção que provoca uma tensão de
cisalhamento de 70 MPa na face interna do
eixo. Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
A distribuição das tensões no
eixo se dá como abaixo:
LOGO:
g min 
 min

G
L  g min

ri
70 106
 875 10 6 rad
9
80 10
1500mm

 875 10 6 rad
20mm
  65,6 10 3 rad  3,760
1 - 14
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8. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
Dois eixos sólidos de aço são
conectados
por
engrenagens.
Sabendo que o material dos eixos tem
G = 77,2 GPa e tensão admissível ao
cisalhamento de 55 MPa, determine:
900mm
25mm
(a) o torque máximo T0 que pode ser
aplicado em A,
19mm
(b) o correspondente ângulo de
torção em A.
650mm
62mm
22mm
1 - 15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
SOLUÇÃO:
• Aplique a equação de equilíbrio da
estática
para
as
engrenagens,
encontrando a relação entre TCD e T0
62mm
22mm
 M B  0  F  22mm  T0
 M C  0  F 62mm  TCD
TCD  2.82 T 0
• Aplique a analise cinemática para as
engrenagens, encontrando a relação
entre as suas rotações
22mm
62mm
rBf B  rCfC
f B  rC fC 
rB
62mm.
22mm.
fC
f B  2.82 fC
1 - 16
8

9. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
• Encontre T0 permitido em função • Encontre o correspondente ângulo de torção
de cada eixo e escolha o menor:
para cada eixo e a rotação da extremidade A
9,5mm
0,65m
12,5mm
f A / B  TAB L 
0,9m
J ABG
 max  TAB x c
J AB
59,84 N.m0,6m
0,0095m4 77,2 109 Pa 
2

 0.394 rad  2.26o
T 0,0095 
55MPa   0
=>T0  74,07N.m
 0,0095 4
2
2,82 59,84 
fC / D  TCD L 
J CDG
 max  TCD c
J CD
2.8 T 0,0125 
=>T 0  59,84N.m
55Mpa   0
0,0125  4
2
T0  59,84 N.m
 0,9 m 
0,0125 4  109Pa
77,2
2

 0.513 rad  2,94o
.


f B 2,82fC 2,82 2,94o  8,28o
f A  f B  f A / B  8,28o  2,26o
.
f A  10,54o
1 - 17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo
• Elementos com faces perpendiculares e
paralelas ao eixo axial, estão submetidas a
cisalhamento puro. Tensões normais e tensões
de cisalhamento são encontradas para outras
orientações.
• Considere um elemento a 45o do eixo axial,
F  2 máx A0  cos 45   máx A0 2
 45 
o
F  máx A0 2

  máx
A
A0 2
• Elemento a está sob cisalhamento puro.
• Elemento c está submetido a tração em duas
de suas faces e a compressão nas outras duas.
1 - 18
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10. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Falhas Sob Torção
• Materiais
dúcteis
geralmente
falham por cisalhamento. Materiais
frágeis são mais suceptiveis a falhas
por
tensão
normal.
• Quando submetidos a torção, os
materiais dúcteis rompem no plano
onde
ocorre
a
tensão
de
cisalhamento máxima, isto é, o
plano perpendicular ao eixo axial.
• Quando submetidos a torção, os
materiais frágeis ropem em um
plano que forma 45o com eixo axial,
isto é, o plano onde ocorre a tensão
normal máxima.
1 - 19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Estaticamente Indeterminados
• São aqueles, onde o número de incógnitas a
encontrar é maior que o número de equações da
estática aplicáveis.
• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar
os torque reativos em A e B.
• Da análise do diagrama de corpo livre do eixo:
TA  TB  T
• Dividindo o eixo em duas partes, as quais
precisam ter compatibilidade de deformações,
f  f1  f2 
TA L1 TB L2

0
J1G J 2G
LJ
TB  1 2 TA
L2 J1
• Substituindo na equação de equilíbrio,
LJ
T A  1 2 TA  T
L2 J1
TA 
L2 J1
T
L2 J1  L1 J 2
e
TB 
L1 J 2
T
L2 J1  L1 J 2
1 - 20
10

11. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Projeto de Eixos de Transmissão
• O projeto de eixos de • A seção do eixo é encontrada,
transmissão (árvores) baseia-se
igualando-se a tensão máxima à tensão
na Potência transmitida e na
admissível do material,
Velocidade de rotação do eixo
 máx  Tc
J
J  3
• O projetista precisa selecionar o
material
e
calcular
adequadamente a seção do eixo,
sem que exceda a tensão
admisível do material e o ângulo
de torção máximo permitido para
a aplicação.
• O torque aplicado é uma função
da potência e da velocidade de
rotação,
P  T  2fT
T 
P


c

2
c 

T
 máx
 Eixo cheio

 4 4
J
T

c2  c1 
 máx
c2 2c2
 Eixo ôco 
• O ângulo de torção deve ser
verificado pela expressão:
f 
P
2f
TL
JG
1 - 21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Concentração de Tensões
• A equação da tensão de cisalhamento,
Tc
 máx 
J
supõe a seção circular uniforme, sem
descontinuidades.
• A utilização de acoplamentos, engrenagens,
polias, etc., acopladas através de chavetas,
ou no caso de descontinuidades na seção,
causam concentrações de tensão.
• Nestes casos, deve-se multiplicar a
tensão pelo fator de concentração de
tensões:
Tc
 máx  K
J
• Para eixos com rasgo para chavetas:
K=1,25
1 - 22
11

12. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas Em Eixos
 max 
• Na região elástica do material:
Tc
J
• Se a tensão de escoamento é atingida ou se o material
tem uma cuva tensão-deformação não linear (material
frágil), a expressão anterior não pode ser usada.
g

c
g máx
• A deformação de cisalhamento γ varia linearmente
com a distância ρ ao centro da seção, independente
das propriedades do material. Podemos então,
continuar utilizando a relação:
• A integral do momento causado pela distribuição
interna das tensões de cisalhamento é igual ao torque
externo aplicado,
T   dF .    .dA.
A
A
c
c
0
0
T    2 d   2   2 d
1 - 23
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos de Material Elastoplástico
• O máximo torque elástico é:
TY 
Y 
Material Elastoplástico
J
 Y  1 c3 Y
2
c
Lg Y
fY 
f
e
Lg Y
c
• A medida que o torque aumenta, uma região plástica


Y )
(   Y ) se desenvolve no eixo, com (
Y
T 
2 c 3
Y
3
3

1  1 Y
4

c3


f3
T  4 TY 1  1 Y
3
4

f3

3


  4 TY 1  1 Y
3
4


c3










• Se Y  0, o torque atinge o seu valor
máximo, TP  4 TY  torque plástico
3
1 - 24
12

13. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Residuais
• Uma região plástica é desenvolvida em um eixo, quando
submetido a um torque suficientemente grande.
• Quando o torque é removido, a redução da tensão e da
deformação se dá ao longo de uma linha reta, paralela a
reta inicial do carregamento.
• Na curva T-f , o eixo é descarregado ao longo de uma
linha reta, ficando no final com um ângulo residual,
surgindo no final as tensões residuais..
• As tensões residuais são encontradas pelo pricípio da
superposição

m 
Tc
J
   dA  0
1 - 25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
Um eixo circular maciço é sumetido
a um torque T=4,60 KN.m em cada
uma de suas extremidades. Adotando
o material do eixo como sendo
elastoplástico, com Y  150 MPa e
G=77GPa determine:
(a) o raio do núcleo elástico,
(b) O ângulo de torção.
Após a remoção
determine:
do
torque,
(c) O ângulo de torção permanente,
(d) A distribuição
residuais.
das
tensões
1 - 26
13

14. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
SOLUÇÃO:
• b) Resolva a Eq. (3.36) para o ângulo
de torção:
a) Resolva a Eq. (3.32) e encontre
o raio do núcleo elástico

3
T  4 TY 1  1 Y
3
 4 c3

J 
1 c 4
2


 


1
2
Y
c
1
 3

T
 4 3 

TY 


f

 Y
fY
c
fY 
2510 m
3
TY 
TY c
J
fY
Y c


TY L
3.68 103 N 1.2 m 

JG
614  10-9 m 4 77 10 Pa 


fY  93.4 103 rad
 614  109 m 4
Y 
 f
 J
 TY  Y
c
f
150106 Pa 614109 m4 
3
25  10
93.4 103 rad
 148.3 103 rad  8.50o
0.630
f  8.50o
m
 3.68 kN  m
Y
4.6 

 4 3

c
3.68 

1
3
 0.630
Y  15.8 mm
1 - 27
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
• c) Utilize a Eq. (3.16) para o
ângulo
de
torção
no
descarregamento. O ângulo de
torção permanente é a diferença
entre o âgulo no carregamento e
o no descarregamento:
• d) Utilize o método da superposição
de efeitos para encontrar as tensões
residuais

 max 


Tc 4.6 103 N  m 25 103 m

J
614 10-9 m 4

 187.3 MPa
f   TL
JG

 .6 103 N  m1.2 m 
4
 .14 109 m4 109 Pa 
6
77
 116.8 103 rad
φp  f  f


 148.3  103  116.8 103 rad
 1.81o
f p  1.81o
1 - 28
14

15. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torção em Barras Não Circulares
• As fórmulas anteriormente vistas, são
válidas para eixos circulares.
• Seções planas de barras não circulares
não permanecem planas durante a torção
e a distribuição da tensão e da
deformação não é linear.
• Para seções retangulares uniformes,
 max 
T
c1ab2
f
TL
c2ab3G
• Para altos valores de a/b, a tensão de
cisalhamento máxima e o ângulo de
torção podem ser calculados pelas eq.
Anteriores, desde que a seção seja
aberta.
1 - 29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Vazados de Paredes Finas
• Somando as forças na direção x em AB,
 Fx  0   A t ADx   B t B Dx 
 At A  Bt B   t  q  fluxo de cisalhamento
a tensão de cisalhamento varia inversamente
com a espessura.
• O torque e a tensão de cisalhamento são
calculados conforme abaixo:
dM 0  p dF  p t ds   q pds  2q dA
T   dM 0   2q dA  2qA

T
2tA
• O ângulo de torção é calculado por:
f
TL
4 A2G
ds
 t
1 - 30
15

16. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.10
100mm
4mm
60mm
4mm
Um tubo de aluminio de seção
retangular de 60 x 100mm, fabricado
por extrusão, é submetido a um torque
3 KN.m.
Determine a tensão de
cisalhamento em cada uma das quatro
paredes, com:
(a) espessura uniforme de 4mm.
100mm
(b) espessura de parede de 3mm em AB
e AC e espessura de 5mm em CD e BD.
3mm
60mm
5mm
1 - 31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.10
SOLUÇÃO:
• Determine o fluxo de cisalhamento
através das paredes do tubo:
96mm
56mm
t=4mm
t=4mm
• A tensão de cisalhamento para cada
espessura de paredes é o fluxo de
cisalhamento pela espessura.
a) Para espessura uniforme de
paredes,
q 279,02 KN / m
 
-3
t
4 10 m
  69,8MPa
b) Para espessura de paredes
variável
A  (96  56) 10 6  5,376 10 3 m 2
q
T
3 103
KN

 279,02
2 A 2  5,376 10 3
m
 AB   AC 
279,02 KN / m
3 103 m
 AB   BC  93,0MPa
 BD   CD 
279,02 KN / m
5 103 m
 BC   CD  55,8MPa
1 - 32
16