Este documento é uma lista de exercícios extras para a disciplina de Vibrações I, contendo 41 exercícios sobre sistemas oscilatórios e vibratórios. O monitor Gustavo Frez fornece esta lista complementar de exercícios além da lista do professor, para ajudar os alunos a melhor entenderem os conceitos da disciplina.

1. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
UERJ – Instituto Politécnico
Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
Lista de Exercícios Extras para P1 de Vibrações I – R
* Equação de Movimento.
* Resposta livre sem amortecimento e
* Resposta livre com amortecimento.
Outros exercícios do RAO, além da lista que o professor passou, que indico fazer:
1.8, 1.13, 1.29, 1.34, 2.5, 2.16, 2.40, 2.45, 2.53, 2.55, 2.62, 2.68, 2.2.69, 2.71, 2.73, 2.88, 2.89,
2.93, 2.99, 2.100, 2.101, 2.109.
1) Determine a rigidez equivalente do sistema abaixo
2) Considere o sistema abaixo, onde a barra é articulada em O, determine a massa
equivalente do sistema abaixo (utilize a coordenada do ponto A para determinar a massa
equivalente).
3) O sistema abaixo é composto por um pinhão-cremalheira, o pinhão tem momento de
inércia J0 e gira com velocidade angular θ̇ acionando a cremalheira de massa m, a uma
velocidade linear ẋ. Determine:
a) a massa equivalente translacional (meq) e
b) a massa equivalente rotacional (Jeq).

2. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
4) Determine a rigidez equivalente da figura abaixo
5) Sabendo que a viga abaixo tem módulo de elasticidade E, comprimento L e momento de
inercia I, determine a rigidez equivalente do sistema abaixo
6) Determine a equação de movimento do sistema abaixo, em relação a coordenada x
7) Um veículo de 500kg é montado sobre molas, de forma que a deflexão estática é de
1,5 mm. Qual é o coeficiente de amortecimento do amortecedor que deve ser adicionado ao
sistema, em paralelo com as molas, de modo que o sistema seja amortecido criticamente.
OK
I = (mR^2)/2

3. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
8) Calcule a rigidez equivalente do sistema mecânico abaixo, admitindo que a barra AB seja
rígida e de peso desprezível.
9) Determine a frequência natural de vibração da barra AB de peso P e comprimento L,
para pequenas oscilações em A.
10) Determine a rigidez equivalente do sistema abaixo

4. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
11) Determine a frequência natural, em rad/s, de vibração do sistema abaixo
12) Para o sistema mostrado na figura abaixo, determine
a) a equação dinâmica em relação a θ, despreze a massa do fio;
b) a frequência amortecida e
c) o coeficiente crítico de amortecimento (cc).
13) Para o sistema abaixo, determine
a) sua equação de movimento;
b) a frequência de oscilação, em Hz e
c) o período de oscilação (T).
OK

5. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
14) Desenhe o diagrama de corpo livre do sistema abaixo e determine a equação de
movimento para o sistema abaixo e, além disso, seu período de oscilação, sabendo que está
pivotado em A e a barra, de comprimento L, possui massa desprezível.
15) Dado o sistema abaixo, determine
a) sua equação de movimento em θ,
b) ωn e
c) ζ.
16) Determine a equação de movimento do pêndulo abaixo, sabendo que ele está pivotado
em O, a haste tem massa m2 e comprimento L2 e o centro de gravidade do sistema está na
metade da haste. Dados: J1
CG
=
2
5
m1r2
e J2
CG
=
1
12
m2L2
.
OK
OK

6. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
17) Determine a frequência natural do sistema abaixo.
18) Um sistema eletromecânico possui 0,40 μg de massa, rigidez equivalente de 0,08 N/m
e coeficiente de amortecimento desprezível. Determine a resposta desse sistema sabendo
que parte do repouso e sofre um deslocamento inicial de 2 μm.
19) Faça um esquema de sistema equivalente e determine a rigidez equivalente do sistema
abaixo.
20) Uma massa de 4,5 kg é suspensa por uma mola de rigidez 1400 N/m. Um amortecedor
com um coeficiente de amortecimento viscoso 50 N.s/m é conectado ao sistema.
Determine: a freqüência natural, o fator de amortecimento e classifique o sistema e a
freqüência natural amortecida ωd.
OK

7. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
21) Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m = 20kg e deslocamento
inicial x0 = 0.01 m. A figura abaixo mostra a resposta livre deste sistema. Estime os
coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema.
22) O sistema representado na figura consiste em uma barra rígida, apoiada em um ponto
fixo O, ligada a uma mola e a um amortecedor. A massa total m1 = 2m da haste OB está
uniformemente distribuída no seu comprimento. As hastes AO e BC não possuem massa. A
haste BC está ligada a uma placa circular de massa m2 = m ligada rigidamente ao ponto C .
Sabendo que m = 2 kg, L = 3 m, k = 800 N/m e c = 200 N∙s/m, determine:
(a) a equação de movimento do sistema para pequenas oscilações. Tome o ângulo θ de
rotação da barra em torno do ponto O como coordenada generalizada;
(b) a frequência amortecida, o fator de amortecimento do sistema e classifique .
OK
OK

8. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
23) Determine a equação de movimento do sistema abaixo, na coordenada x, utilizando
métodos de Energia.
24) Um sistema massa-mola é largado, da posição onde a força na mola é nula, com
velocidade inicial de 100 mm/s. O sistema oscila com amplitude de 10 mm. Ache a
frequência natural do sistema.
25) Descreva a equação de movimento do sistema abaixo, por momento, considerando
pequenas variações de θ. Determine a constante de amortecimento c para que, uma vez
deslocada da posição de equilíbrio, o corpo composto (barra e esfera) tenha um
decaimento de 60% em 4 ciclos.
Dados:
kA = kB = 2000 N/m; Me = 1 kg; R = 5 cm; Je
∗
=
2
5
MeR2
, Mb = 9 kg, L = 1 m;
Jb
∗
=
1
12
MbL2
e g = 9,8 m/s².
OK
OK

9. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
26) Determinar, em função de x, a E.D.M. do sistema abaixo.
27) A figura abaixo representa uma serra para cortar tubulações em um processo de
produção contínua. Essa serra consiste de um disco grande de raio r e massa M, podendo
girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento ℓ, em cuja
extremidade é montado um motor de massa m contendo um disco de corte. O sistema pode
oscilar no plano em torno do ponto O. Determine o período da oscilação natural do sistema
para pequenos ângulos.
28) Uma haste rígida e uniforme é restringida a mover-se verticalmente por molas tanto
lineares como de torção, conforme é observado na figura abaixo. Determine a equação de
movimento do sistema, em relação a θ e calcule a frequência de oscilação vertical da haste
quando há pequenas variações de θ.
OK
OK

10. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
29) A barra curva mostrada na figura tem massa desprezível e suporta um cursor de 5 kg
em sua extremidade. Desenhe o D.C.L. do sistema, escreva sua E.D.M. e determine o período
natural de vibração para o sistema.
30) Considere um bloco de 6 kg suspenso por uma mola de rigidez 200 N/m. Emprega-se
ao bloco uma velocidade de 0,4 m/s para cima quando este está 75 mm acima da sua
posição de equilíbrio. Determine a equação que descreve o movimento do bloco e seu
deslocamento máximo para cima, medido a partir de sua posição de equiilíbrio. Suponha
que os deslocamentos positivos sejam medidos para baixo.
31) Faça um D.C.L. do sistema abaixo, determine sua E.D.M. e classifique o sistema. Dados
k = 100 N/m, c = 200 N∙s/m e m = 25 kg.
32) Determine a frequência natural do sistema abaixo. Considere a massa e atrito das polias
são desprezíveis.
OK

11. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
33) Dado o sistema massa-mola abaixo, determine a deflexão estática, o período, o
deslocamento quando t = 3 s e a velocidade e acelereção máxima do sistema que resultam
quando o cilindro é deslocado de 100 m para baixo a partir de sua posição de equilíbrio é
solto.
34) Um oscilador harmônico linear que possui massa de 1,10 kg é colocado em movimento
com um amortecimento viscoso. Se a frequência é de 10 Hz e temos a disposição o gráfico
da resposta em função do tempo. Calcule o coeficiente de amortecimento viscoso, a partir
da dedução da fórmula para o amortecimento viscoso, sendo dada δ =
1
n
ln (
x(t)
x(t + nTd)
) e
também a partir da E.D.M. do sistema.
35) Determine a E.D.M. do sistema abaixo usando a coordenada x.OK

12. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
36) O disco tem raio R e rola sem deslizar no piso, tem massa m e momento de inércia em
relação ao seu eixo J* = mR²/2. A mola k1 está ligada a um mancal no eixo do disco. A mola k2 e
amortecedor viscoso c estão presos a um cabo que abraça o ressalto de raio r do disco sem
deslizar.
a) Armar a equação diferencial de movimento do sistema em termos da coordenada x de
deslocamento do centro do disco.
b) Determinar a expressão para a frequência natural de oscilação do sistema.
c) Determinar a expressão para o coeficiente de amortecimento crítico para o amortecedor.
Considerar r = R/2 e k1 = k2 = k.
37) O disco de massa m2 e momento de inércia J0 em relação a seu eixo rola sem deslizar no
trilho horizontal em seu ressalto circular de raio r. O bloco de massa m1 está ligado ao disco por
uma haste mancalizada no eixo deste em O. As molas k1, e k2 estão ligadas ao bloco e ao disco
conforme mostrado na figura.
Determinar a equação diferencial de movimento do sistema em termos da coordenada x para
pequenos deslocamentos de m1.
38) J1
∗
= m1R1
2
/2 e J2
∗
= m2R2
2
/2 são os momentos de Inércia das polias em relação a seus eixos.
A fita inextensível rola sem deslizar na polia J2
∗
. Esta polia gira no mancai fixo O. A polia J1
∗
, rola
sem deslizar no plano inclinado e está ligada à massa m, pela fita inextensível que abraça a
polia J2
∗
.
a) Determinar a equação diferencial de movimento do sistema em função do deslocamento x e
suas derivadas temporais.
OK
OK
OK

13. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
b) Determinar a expressão para a frequência natural fn.
39) A barra rígida e homogênea de massa M e comprimento L está pivotada no pino O e
sustentada por uma mola com rigidez k e amortecedor com coeficiente de amortecimento
viscoso c, conforme mostrado na figura. Usando a coordenada angular θ, medida a partir da
posição de equilíbrio estático horizontal, determinar:
a) a equação diferencial de movimento para pequenos ângulos θ, (o momento de inércia da
barra em relação a O é ML²/3.
b) a expressão para a frequência natural não-amortecida.
c) a expressão para o coeficiente de amortecimento crítico.
40) O sistema pendular consiste da haste de comprimento L e massa desprezível, do disco de
raio r e massa m e do amortecedor ligado à haste, no ponto distante a do pino O. Determinar
as expressões para a frequência natural de oscilação livre não-amortecida fn e o coeficiente de
amortecimento crítico cc nos dois casos:
a) quando o disco de massa m e raio r está livre para girar em torno do pino em A.
b) quando o disco está travado na haste L. Considerar pequenas oscilações: θ << 1.
OK
OK

14. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
41) O sistema pendular consiste em um disco de raio R e momento de inércia em relação ao
seu eixo J* = mR²/2. A barra de ligação do disco à mola e ao amortecedor é pivotada em O, é
soldada ao disco e tem massa desprezível.
Determinar, para pequenas oscilações θ do conjunto em tomo do pino O, em relação à vertical:
a) a equação diferencial de movimento.
b) a pulsação natural do movimento livre não-amortecido ωn.
c) o coeficiente de amortecimento crítico cc.
42) O conjunto de uma balança de precisão e seu bloco inercial tem massa M = 20 kg e está
apoiado em isoladores elásticos de vibração cujas características de rigidez e amortecimento
não são conhecidas. Perturbando o conjunto com uma condição inicial qualquer e deixando-o
oscilar livremente obteve-se o gráfico de deslocamento versus tempo mostrado na figura. Deste
gráfico determinar os parâmetros dinâmicos ωn e ζ do sistema de isolamento.
OK
OK

15. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
Do gráfico: X0 = 1 mm; X6 = 0,35 mm e Td = 0,98 s.

16. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
Respostas:
1) 7k/6
2) meq = m1 + m2 (
l2
l1
)
2
+ m3 (
l3
l1
)
2
3) meq = m + J0/R²
Jeq = J0 + mR²
4) keq = k1 + k2(a/b)²
5) keq =
48EIk1
48EI + k1L3
6) (m +
J
9r2
) ẍ +
c
9
ẋ + 3k = 0
7) d ≈ 80870, 266 N∙s/m
8) keq =
6EIk2
3EI + 2k2L3
9) keq =
a
L
√
3k1
m
10) keq =
k3(k1 + k2)
k1 + k2 + k3
11) ωn = √
k
m +
M
2
12) a) mb2
θ̈ + ca2
θ̇ + (ka2
+ mgb)θ = 0
b) ωd = (√1 − ζ2) (√
ka2 + mgb
mb2
)
c) cc = 2√(ka2 + mgb)(mb2)
13) a) mL2
θ̈ + (ka2
− mgL²)θ = 0
b) ƒ =
√ka2 − mgL2
mL2
2π
c) T =
2π
√ka2 − mgL2
mL2
14) a) mL2
θ̈ + ka2
θ = 0
b) T =
2πL
a
√
m
k
15) a)
3mr2
2
θ̈ + cr2
θ̇ + kr2
θ = 0

17. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
b) ωn = √
2k
3m
c) ζ =
c
√6km
16) (
2
5
m1r2
+ m1L1
2
+
1
3
m2L2
2
) θ̈ + cL1
2
θ̇ + (kL1
2
− m1gL1 −
m2gL2
2
) θ = 0
17) ωn =
√
kt + kL2
2
+ (
m2g(L2 − L1)
2
)
J0 + m1L2
2
18) y(t) = [2cos(14142,14t)] μm
19) keq ≈ 4,69 ∙ 105 N/m
20) ωn ≈ 17,638 rad/s; ζ ≈ 0,315 Sub amortecido; ωd ≈ 16,740 rad/s
21) k ≈ 2,22 ∙ 105 N/m; d ≈ 4,63 ∙ 102 N∙s/m
22) a)
667
384
mL2
θ̈ +
1
4
cL2
θ̇ + (
9
16
kL2
−
1
4
Lmg) θ = 0
b) ωn ≈ 11,36 rad/s; ζ ≈ 0,633 (Sub-amortecido); ωd ≈ 6,79 rad/s
23) (m +
J
r1
2 + 4M) ẍ + 9kx = 0
24) ωn = 10 rad/s
25) 4,1035θ̈ + 0,25cθ̇ + 2445,5545θ = 0; c ≈ 29,198 N∙s/m
26) (m0 + m1 +
J1
r1
2 +
J2
r2
2) ẍ + (k1 (
R
r1
)
2
+ k2) x = 0
27) T = 2π√
m(ℓ + r)2 +
Mr2
2
mg(l + r)
28)
mL2
3
θ̈ + Kθ + 2kL2
sen(θ) = 0; ωn = √
3K + 6kL2
mL2
29) θ̈ + 20θ = 0; T ≈1,405 s
30) y(t) = [−0,0693 sem(5,774t) − 0,075 cos (5,774t)] m; Ymáx = 0,102 m.
31) ÿ + 16ẏ + 12y = 0; Superamortecido
32) ωn = √4k/5m
33) δst = 0,2 m; T = 0,898 s; y(3) = −0,0548 m; ẏmáx = 0,7 m/s; ÿmáx = 4,9 m/s²
34) d = 1,721 N∙s/m
35) meq = m +
Jp
rp
2
+
1
3
m1l1
2
rp
2
+
m2l1
2
rp
2
+
1
2
mcl1
2
rp
2
+
mcl1
2
rp
2

18. Lista de Exercícios extras para P1. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez
36) a) ωn = √
13k
6m
b) cc = √312km
37) fn =
1
2π
√
k1 + k2 (1 +
a
r
)
2
J0
r2 + m1 + m2
38) a) (
3
2
m1 +
1
2
m2 + m3) ẍ + (k1 + k2)x = 0
b) fn =
1
2π √
k1 + k2
3
2
m1 +
1
2
m2 + m3
39)a)
Ml2
3
θ̈ + ca2
θ̇ + kl2
θ = 0
b) fn =
1
2π
√
3k
M
c) cc =
l2
a2
√
4Mk
3
40) a) fn =
1
2π
√
g
l
; cc =
2ml2
a2
√
g
l
b) fn =
1
2π √
gl
l2 +
r2
2
; cc =
2ml2
a2
√gl (l2 +
r2
2
)
41) a) (
1
2
mR2
+ ml2
) θ̈ + cb2
θ̇ + (ka2
− mgl)θ = 0
b) ωn = √
ka2 − mgl
mR2
2
+ ml2
c) cc = √
4
b4
(
mR2
2
+ ml2) (ka2 − mgl)
42) ωn = 6,414rad/s; ζ = 0,0278