Aula 17 - Torção.pdf

Resistência dos Materiais
Prof. Antonio Dias
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 1

Torção

Introdução
• A princípio vamos estudar eixos circulares
• Analisaremos tensões e deformações de eixos circulares,
submetidos a “momentos de torção” ou “torque”
• Os “momentos de torção” ou “torque” são grandezas vetoriais
e podem ser representadas da seguinte forma:

Aplicação
• As mais diversas possíveis, desde o mecanismo de
funcionamento do relógio até um veículo automotivo de última
geração.

Aplicação(2)
Análise de esforços / Sistema dividido em 3 módulos
Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção
2
3
1
5

Propriedades dos eixos circulares
Quando um eixo circular é submetido à torção, todas as
seções transversais permanecem planas e indeformadas.
(apesar de haver uma deformação angular entre as seções dentro de cada seção não há
deslocamento entre os pontos da mesma seção, cada seção se comporta como um disco
sólido)
.

Propriedades dos eixos circulares(2)
Determinação da distribuição de deformações
específicas de cisalhamento em um eixo circular e
concluir que a deformação específica de cisalhamento
varia linearmente com a distância ao centro do eixo.
T
𝜙
7

Tensões em uma barra de seção circular
T = T′
Centro da Barra
𝜌
𝑑𝐹
𝜌. 𝑑𝐹 = 𝑇
se 𝑑𝐹 = 𝜏. 𝑑𝐴
𝜏 ⇒ 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝐴
𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 = 𝑇
8

Considerações importantes
• Tensões nos planos longitudinais e perpendiculares

Distribuição de deformações no cisalhamento
• Comprimento => L
• Raio máximo => c
• Desl. Angular => Φ
• Raio do elemento => ρ
• Def. de Cisalhamento => γ [rad]
A’
A
𝐴𝐴′ = 𝛾. 𝐿 𝐴𝐴′ = 𝜌. 𝜙
𝛾. 𝐿 = 𝜌. 𝜙 ⇒ 𝛾 =
𝜌. 𝜙
𝐿
Portanto : 𝛾𝑚𝑎𝑥. =
𝑐.𝜙
𝐿
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
10

Distribuição de deformações no cisalhamento(2)

Tensões no regime elástico (𝑇 < 𝜏𝐸)
• Fase elástica => lei de Hooke
• Lei de Hooke para cisalhamento => 𝜏 = 𝐺. 𝛾
• 𝐺 => módulo de elasticidade transversal do material.
• Utilizando a equação de deformação por cisalhamento:
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
• E multiplicando ambos os membros por 𝐺 temos:
𝐺𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝐺. 𝛾𝑚𝑎𝑥.
Portanto:
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏𝑚𝑎𝑥.

Tensões no regime elástico (𝑇 < 𝜏𝐸)(2)
Tensão de cisalhamento na barra
circular varia linearmente com a
distância até o eixo da barra.
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏𝑚𝑎𝑥.

Torque x momento polar de inércia (J)
• Soma dos momentos das forças elementares deve ser igual a intensidade
𝑇 => 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 = 𝑇
• Substituindo 𝜏 podemos escrever:
𝑇 = 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 =
𝜏𝑚𝑎𝑥.
𝑐
. 𝜌2. 𝑑𝐴
• Mas 𝜌2. 𝑑𝐴 representa o momento polar de inércia 𝐽da seção
transversal com relação ao centro. Portanto:
𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥. . 𝐽
𝑐
• Para 𝜏𝑚𝑎𝑥.:
𝜏𝑚𝑎𝑥. =
𝑇. 𝑐
𝐽

Exemplo
• Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros
interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm.
a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de
cisalhamento não deve exceder 120 Mpa?
b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular?
Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : 𝐽 =
1
2
𝜋 (𝑐𝑒𝑥𝑡.
4
−
𝑐𝑖𝑛𝑡.
4
)

Exercício:
• Uma barra circular vazada de aço cilíndrica com diâmetros interno e externo, respectivamente,
iguais a 40 mm e 60 mm, sofre um torque de 2,5 kN.m
a) Qual a tensão de cisalhamento máxima?
b) Determine para o mesmo carregamento do item a) o diâmetro de um eixo cheio para o qual a
tensão de cisalhamento máxima é a mesma do item a)
Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : 𝐽 =
1
2
4
− 𝑐𝑖𝑛𝑡.
4
) e
para a barra cheia 𝐽 =
1
2
4
)

Transmissão de Potência

Transmissão de potência
• Potência – trabalho realizado por unidade de tempo
• O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao torque
aplicado multiplicado pelo ângulo de rotação.
𝑃 =
𝑇𝑑𝜃
𝑑𝑡
• Velocidade angular é:
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
• portanto podemos expressar a potência como:
𝑃 = 𝑇 . 𝜔 ou 𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇

Unidades
SI FPS
Potênica Watts ft.lb/s ou hp ou BTU/h
Torque N.m Ft.lbf
𝜔 rad/s rad/s
unidade símbolo equivalência
watt W 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kgm2/s3
horse power hp 1 hp = 745,7 W = 550 ft.lbf/s
cavalo vapor cv 1 cv = 0,9863 hp = 735,5 W
velocidade angular 𝜔 1 rad/s = 2𝜋 𝑓 [ℎ𝑧] rad/s
tensão 𝜏
1 Pa = 145,0377.10-6 psi ou
1 M Pa = 145,0377 psi
1 G pa = 145,0377 ksi

Projeto do eixo
• Potência e frequência:
𝑃 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑇 => 𝑇 =
𝑃
2.𝜋.𝑓
se 𝑇 =
𝜏𝑚𝑎𝑥. .𝐽
𝑐
𝐽
𝑐
=
𝑃
𝜏𝑚á𝑥.. 2. 𝜋. 𝑓

Exemplo
O eixo maciço AB da figura deve ser usado para
transmitir 5 hp do motor M ao qual está acoplado.
Supondo que o eixo gire a 175 rpm e o aço tenha a
tensão de cisalhamento admissível de 14,5 ksi,
determine o diâmetro do eixo necessário de acordo
com o padrão de mercado.
diâmetros padrão
[mm]
3 22
4 25
5 28
6 30
7 32
8 35
9 40
10 45
12 50
15 55
17 60
20 65

Exercício
O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques
aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento
desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento
nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Sabendo-se que o eixo gira a 3600
rpm, qual a potência transferida
em cada uma das engrenagens?

Ângulo de torção
• Limitação de projeto ao ângulo de torção
• Importante na analise de reações em eixos estaticamente
indeterminados
• Iremos desenvolver â fórmula para o ângulo de torção 𝜙

Suposições
• Eixo com seção transversal circular que pode variar
gradualmente ao longo do seu comprimento
• Material homogêneo com comportamento linear-elástico
quando o torque é aplicado
• Desprezar as deformações localizadas nos pontos de aplicação
dos torques (cargas) e onde a seção transversal muda
abruptamente suas dimensões. (princípio de Saint-Venant)

Dedução
• Método das seções / disco infinitesimal:
• Disco 𝑑𝑥 na posição 𝑥
• Torque 𝑇(𝑥) (pode variar ao longo da linha
de centro do eixo)
• Rotação relativa de face em relação a
outra - 𝑑𝜙
• Elemento num raio arbitrário 𝜌
• Sofre deformação por cisalhamento 𝛾
𝑑𝜙 = 𝛾.
𝑑𝑥
𝜌

Dedução(2)
• Aplica-se a Lei de Hooke => 𝛾 =
𝜏
𝐺
• Tensão de cisalhamento expressa em torque em funçào d
posição x => 𝜏 =
𝑇(𝑥).𝜌
𝐽(𝑥)
• Portanto => 𝛾 =
𝑇(𝑥).𝜌
𝐽(𝑥).𝐺
𝑑𝜙 = 𝛾.
𝑑𝑥
𝜌
𝑑𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥).𝐺
𝑑𝑥
• Integrando:
𝜙 =
0
𝐿 𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥). 𝐺
𝑑𝑥

Equação do ângulo de torção
𝜙 =
0
𝐿 𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥). 𝐺
𝑑𝑥
Onde:
𝜙 Ângulo de torção de uma extremidade em relação a outra, em radianos
𝑇(𝑥)
Torque interno na posição arbitrária x, determinado pelo método das
seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada
em torno da linha de centro do eixo
𝐽(𝑥) Momento de Inércia polar do eixo expresso como função da posição “x”
𝐺 Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material

Caso particular:
Torque e área da seção transversal constantes
𝑇 𝑥 = 𝑇 𝐽 𝑥 = 𝐽
Integrando a equação do ângulo de torção temos:
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
Ou seja, em cada trecho onde não tem variação do torque e do
diâmetro, pode ser utilizada a formula acima, e eixos
escalonados, ou com várias cargas de torque, podem ser
calculados cada trecho que atenda a condição acima e no final
somar todos os ângulos de torção.

Determinação do 𝐺
𝜙 =
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺
ou 𝜙 =
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺

Convenção de sinais
• Regra da mão direita

Exemplo da convenção de sinais
• 𝜙𝐴/𝐷 = ?
• Três seções:
AB / BC / CD
𝜙𝐴/𝐷 =
+80𝑁𝑚 . 𝐿𝐴𝐵
𝐽. 𝐺
+
−70𝑁𝑚 . 𝐿𝐵𝐶
𝐽. 𝐺
+
−10𝑁𝑚 . 𝐿𝐶𝐷
𝐽. 𝐺
Se 𝜙𝐴/𝐷 > 0 o ângulo de torção relativo é no sentido positivo do
torque e se for negativo é no sentido contrário.

Procedimento de análise
• Torque interno:
• Determinação do torque em um ponto na linha de centro pelo
método das seções.
• Se houver variação da seção deve-se fazer o troque em posição
arbitrária 𝑥 do eixo e o torque deve ser expresso em função da
posição, 𝑇(𝑥)
• Se houver vários torques atuando no mesmo eixo, deve-se determinar
o torque em cada segmento do eixo, e o resultado pode ser
apresentado como um diagrama de torque.
• Ângulo de torção:
• Quando a área da seção transversal varia ao longo da linha de centro
do eixo o momento polar de inércia deve ser expresso em função da
posição 𝑥 , ou seja, 𝐽(𝑥)
• Se o momento polar de inércia, ou o torque interno do eixo mudarem
subitamente entre as extremidades, então deve ser analisado cada
segmento
• Utilizar convenção de sinais consistente

Exemplo
As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das
extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura
abaixo. Supondo que o módulo de elasticidadede cisalhamento
seja 80 G Pa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o
deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira
livremente no mancal em B

Solução
• Torque interno:
Diagrama de corpo livre

Exercício
Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a eficácia do
tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de
raio 𝑐. Para isto, calcular a porcentagem de aumento de tensão
de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento do
tubo em relação aos valores do eixo de seção maciça.
𝜏𝑚𝑎𝑥. =
𝑇. 𝑐
𝐽
𝜙 =
𝑇.𝐿
𝐽.𝐺
𝐽 =
1
2
4
− 𝑐𝑖𝑛𝑡.
4
)
𝐽 =
1
2
4
)

Eixos Sólidos não-circulares

Conceito(1)
• Eixos circulares se comportam como discos sólidos e mediante a aplicação de torque os
deslocamentos não provocam a mudança de geometria da seção transversal.
• Formas com seção transversal não circular como os incrementos de volume não possuem
simetria com o eixo de aplicação de torque a tensão de cisalhamento na seção transversal
é distribuída de maneira muito complexa. Fazendo com que as seções transversais
arqueiem ou “entortem” quando há a deformação por torque.

Conceito(2)
• Utilizando a análise matemática baseada na teoria da
elasticidade:

Conceito(3)
• Dedução extremamente
complexa
• Formas mais comuns –
tabela
• Eficiência do eixo circular

Concentração de Tensão

Características
• Equação 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇.𝑐
𝐽 destinada a eixo circular constante ou
levemente cônico.
• Alterações bruscas da seção transversal resultam em
comportamento extremamente complexo
• Solução experimental ou métodos de análise matemática
baseados na teoria da elasticidade.
• Para simplificar o dia-a-dia dos engenheiros as
descontinuidades mais comuns foram estudadas e
correlacionadas a geometria base através de um fator 𝑲 –
fator de concentração de tensões de torção
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑲.
𝑇. 𝑐
𝐽

Geometrias mais comuns

Fator de concentração de tensões
A equação é
aplicada para o
menor dos eixos
sendo que a
𝜏𝑚á𝑥ocorre na base
da curva de
concordância.

Exemplo
O eixo em degrau mostrado na figura abaixo é apoiado por
mancais em A e B. Determinar a tensão máxima nele
desenvolvida devido aos torques aplicados. A curva de
concordância na junção de cada eixo tem raio r = 6 mm.

Solução
𝐷
𝑑
= 2
𝑟
𝑑
= 0,15
𝐾 = 1,3
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑲.
𝑇. 𝑐
𝐽

Solução: distribuição de tensão verdadeira

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