RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
6º CICLO (EEM – 6NA)
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul
gracekellyq@yahoo.com.br
grace.ganharul@aedu.com

2. Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
* EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA.
* FLAMBAGEM.
AULA 05
*BEER, F. P.; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4ª ed. São
Paulo: McGraw-Hill, 2006.
* Aula de Resistência dos Materiais – UniLins.
* Aula de Resistência dos Materiais – UNIP.
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul

3. Introdução:
✓ Deflexão de vigas por integração.
✓ Equação da linha elástica.
✓ Flambagem.
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4. C A B
M = wa2
Exercício:
Pelo processo da integração da linha elástica, determinar:
a) Rotação e flecha da seção A
b) Rotação e flecha da seção B
c) Esboçar a linha elástica
F = wa
w
a 3a
Equações da linha elástica
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5. C A B
M = wL2/8
Exercício:
Pelo processo da integração da linha elástica, determinar:
a) Rotação da seçãoA
b) Rotação da seção B
w
L/4
L
Equações da linha elástica
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6. Flambagem: Introdução
OBJETIVO:
Estudar a estabilidade de barras ou colunas submetidas à
forças de compressão.
CRITÉRIO:
Utilização dos critérios de resistência (tensões) e de rigidez
(deformações).
METODOLOGIA:
Fórmula de Euler.
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7. Flambagem: Introdução
OBJETIVO:
Estudar a estabilidade de barras ou colunas submetidas à
forças de compressão.
CRITÉRIO:
Utilização dos critérios de resistência (tensões) e de rigidez
(deformações).
METODOLOGIA:
Fórmula de Euler.
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8. Flambagem: Critérios
RESISTÊNCIA: a tensão atuante na barra ou coluna deve
ser menor do que a tensão que o material suporta
carregar (σadmissível => ensaio de tração)
σatuante < σadmissível
RIGIDEZ: a flecha e a rotação na barra ou coluna deve
ser menor do que um valor máximo permitido.
yatuante < yadmissível => flecha
θatuante < θadmissível => rotação
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9. Flambagem
Considerando as barras retas, axialmente comprimidas,
verifica-se experimentalmente que sob a ação de
carregamentos crescentes pode ser atingido um estado
limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é
instável.
A carga correspondente a esse estado limite é dita carga
crítica (Pcr), ou carga de Flambagem.
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10. Flambagem
P: carga a qual a barra
ou coluna está sujeita.
Pcr: carga crítica, ou
seja, valor de carga
que a barra ou coluna
suporta.
Momento da barra ou
coluna flambada, ou
seja, já deformada:
M = P.y
=>Não flamba
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=> Flamba

11. Flambagem: Fórmula de Euler
Em princípio, a determinação das
flechas das barras para cargas
superiores à carga crítica exige que se
empregue a expressão exata da
equação diferencial da linha elástica.
d2y M x
dx2 =
E. I
Adotando-seque:
P
E. I
= K2
d2y
dx2 = K2. y
Portanto:
d2y
dx2 —K2. y = 0
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12. Flambagem: Fórmula de Euler
Raízes da Equação diferencial:
y = A. sen Kx + B. cosKx
Condições de contorno:
Para x=0 => y=0
Portanto: B=0
Para x=l => y=0
Portanto: 0 = A. sen Kl + 0
sen Kl = 0
sen 0 ‹ 180º, 360º n
Kl = n
K =
n
l
2
n2
K =
l2
P P
E. I
= K2 ‹
E. I
=
l2
n2
‹ P =
n2. E. I
l2
(primeira carga que flamba a peça)
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13. Flambagem: Fórmula de Euler
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14. Flambagem: Fórmula de Euler
Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão
geral da fórmula de Euler:
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15. Flambagem: Fórmula de Euler
Comprimentos de Flambagem => Dependem do tipo de apoio:
Barra com dois apoios (fixos ou móveis): le = 1 x l
Barra com apenas um engastamento: le = 2 x l
Barra com um apoio e um engastamento e uma borda
livre: le = 0,7 x l
Barra com dois engastamentos: le = 0,5 x l
le = comprimento de flambagem
l = comprimento da barra
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16. Flambagem: Fórmula de Euler
Fórmula geral de Euler:
Pcr =
n2. E. I
le2
As expressões anteriormente
implicitamente a existência de um
consideradas
comportamento
admitem
elástico
linear do material da barra. Isso será verdade enquanto a
tensão crítica de compressão σcrit for inferior ao limite de
proporcionalidade do material.
Tensão crítica de flambagem:
acr =
Carga crítica de flanbagen
=
Pcr
Área da secção transversal A
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17. Flambagem: Fórmula de Euler
acr =
Pcr
A
n2. E. I
acr =
A. le2
r = raio de giração(earânetro geonétrico) =
I
A
acr =
n2. E. r2
le2
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18. Flambagem: Fórmula de Euler
acr =
n2. E. r2
le2
acr =
n2. E
le
r
2
r
le
= h índice de esbeltez ‹ adinensional
‹ acr=
n2. E
h2 € aadniccíveS
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19. Flambagem: Fórmula de Euler
Quando:
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fi ≤ filimite
Regime Elástico, a formulação de Euler é válida.
No Regime Plástico: fi € filimite
A formulação de Euler não é válida, portanto, devem ser
utilizadas outras teorias como Shanley: acr = aecc—0,046.(h2).
NOTA: A Flambagem sempre ocorre no eixo y e sempre no
menor Momento de Inércia (I ou J).

20. Flambagem: Fórmula de Euler
Momento de Inércia:
O momento de inércia representa na Engenharia Industrial,
a resistência aos esforços proporcionada pela geometria
da seção transversal da estrutura.
Nos cálculos de flambagem, não havendo restrição lateral
à flambagem deve-se utilizar o menor momento de inércia
da seção transversal da barra, ou seja, a barra irá falhar
segundo a direção do menor momento de inércia.
Foi enviado juntamente com a aula o formulário da UNICAMP dos momentos de
inércia das seções de barras/ colunas mais comumente utilizadas.
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21. Flambagem: Fórmula de Euler
Momento de Inércia: Exemplos.
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22. Flambagem: Fórmula de Euler
Conforme se mostra na figura, a fórmula de Euler é válida para
λ > λlimite, pois nesse caso a flambagem se dá dentro do
regime elástico.
Quando λ < λlimite, a barra é menos esbelta, e σcr > σadmissível
(Tensão de escoamento do material - limite elástico).
σ
admissíve
l
σcr
λlimite
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23. Flambagem: Roteiro
filimite =
1) Achar a força de compressão P;
2) Achar o menor momento de inércia da peça;
3) Calcular o raio de giração da peça;
4) Calcular o comprimento de flambagem (le);
5) Calcular o índice de esbeltez da peça (λ);
6) Comparar λ com λlimite;
g2. E
apr
7) Se λ > λlimite => usar Euler (calcular carga e tensão atuante);
8)Se λ < λlimite => usar outras teorias (calcular carga e tensão
atuante);
9) Calcular a carga máxima admissível;
10)Comparar a carga máxima atuante com a carga máxima
admissível.
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24. Exercícios:
P que causa flambagem nas
5
cm
15
cm
Secção transversal
3
cm
0,5 cm
Material:
ASTM A7
σesc = 2400 kgf/cm2
σpr = 1900 kgf/cm2
E = 2,1 x 106 kgf/cm2
CS = 3
a) b)
P
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1) Achar a força de compressão
colunas demonstradas nas figuras:
P

25. Exercícios:
2)Um edifício alto terá no térreo uma coluna maciça de concreto
armado com 1,80 m de diâmetro, sendo sua base engastada em
uma fundação profunda e articulado a uma viga na extremidade
superior. A coluna foi calculada à compressão para uma tensão
admissível de 20 MPa e deseja-se obter um coeficiente de
segurança à flambagem igual a 3,0. Para estas condições pede-se o
cálculo da altura da coluna.
Dado: E = 300 tf/cm2.
3)Um pilar retangular com 1 m x 3 m, foi calculado à compressão
para uma tensão admissível de 16 MPa e é bi-articulado.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2013 Slide 25
mesmo para um fator de segurança à
Calcular a altura do
flambagem igual a 2,5.
Dado: E = 270 tf/cm2.

26. Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
* EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA.
* FLAMBAGEM.
AULA 05
*BEER, F. P.; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4ª ed. São
Paulo: McGraw-Hill, 2006.
* Aula de Resistência dos Materiais – UniLins.
* Aula de Resistência dos Materiais – UNIP.
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